下载文档原格式
第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第45~47页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x-236y=1或264y-236x=1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2， 所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a 2-2ac-5c 2=0，所以5c 2+2ac-3a 2=0.所以5e 2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2019·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即22因为离心率e=ca=32，所以ba21-ca⎛⎫⎪⎝⎭12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2. ②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(20)的距离与点P到定直线l：x=2222，求动点P的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358ca AF AF=⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.ca=⎧⎨=⎩，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为216x+212y=1.(2)设点P(x，y)，依题意，得22(-2)|-22|x yx+=22，整理，得24x+22y=1，所以动点P的轨迹C'的方程为24x+22y=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，再利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2(1)(2019·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2分别为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.(例2(1))(2)(2019·临川一中质检)如图(2)，已知点A，F分别是2 2 xa-22yb=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若S△ROS=2S△POQ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2019·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是.【点拨】依题设得出关于a，b，c的等式或不等式，再消去b.【答案】75(2)2(3)13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】(1)由题意知直线A1B2的方程为-xa+yb=1，直线B1F的方程为xc+-yb=1.联立方程组解得T2()--ac b a ca c a c+⎛⎫⎪⎝⎭，.又M()-2(-)ac b a ca c a c⎛⎫+⎪⎝⎭，在椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上，故22(-)ca c+22()4(-)a ca c+=1，即e2+10e-3=0，解得e=275.(2)由题意，得A(-a，0)，F(c，0)，直线PQ，RS的方程分别为x=-a，x=c，与渐近线y=±ba x 联立，可求得P(-a，b)，Q(-a，-b)，R-bcca⎛⎫⎪⎝⎭，，Sbcca⎛⎫⎪⎝⎭，，则S△ROS=12·2bca·c=2bca，S△POQ =12a·2b=ab，于是由S△ROS=2S△POQ，得2bca=2ab，即22ca=2，所以e=2.(3)设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c=PF2=2a-10，2m=10-2c，a=c+5，m=5-c，所以e1e2=5cc+·5-cc=2225-cc=2125-1c.又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c<4，0<225c-1<3，所以e1e2=2125-1c>13.变式1(2019·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2Mayc⎛⎫⎪⎝⎭，.由2ABk=k AM，得ba=2Myaac+，所以y M=b1ac⎛⎫+⎪⎝⎭.由1FBk=k FM，得bc=2-Myacc，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2019·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2019·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 .(变式3)【答案】112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF=FA ，而FA=2a c -c ，PF ≤a+c ，所以2a c -c ≤a+c ，即a 2≤ac+2c 2.又e=ca，所以2e 2+e ≥1，所以2e 2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2019·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为3 2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a =32，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB uuu r ·A C uuu r =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2019·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l的斜率为12，求APAQ的值；(2)若PQu u u r=λAPuuu r，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知2222422acaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得22.ab=⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆的方程为24x+22y=1，圆的方程为x2+y2=4.由题知直线l的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得3y2-4y=0，所以y P=4 3.由222-24x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得5y2-8y=0，所以y Q=85.所以APAQ=PQyy=43×58=56.(2)因为PQu u u r=λAPuuu r，且APuuu r，PQu u u r同向，则λ=PQAP=-AQ APAP=AQAP-1，设直线l：y=k(x+2)，联立方程组224(2)x yy k x⎧+=⎨=+⎩，，消去x，得(k2+1)y2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421k k +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2019·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为 .【答案】22【解析】根据双曲线的方程知a=22a=22.(2019·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x 为双曲线的渐近线，则b a =1，又a 2+b 2=c 2，所以a 2=12，b 2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2019·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】92【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2019·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】33【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=3所以e=ca=1212F FAF AF=33nn=33.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第23~24页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2019·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2019·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2019·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2019·普陀区调研)离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2019·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2019·盐城中学)设椭圆22xm+..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2019·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2019·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、 解答题9.(2019·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M u u u u r =λMP u u u r(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2019·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB u u u r=1，|OF u u u r |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎭，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(22)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x ，即y=±2x.3. 43 【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1，焦点F (1，0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0+1=5，所以x 0=4，所以20y=4x 0=16，y 0=4，从而点A (4，4)，直线AF 的斜率k=4-04-1=43.4.2 【解析】不妨设椭圆方程为22x a +22y b =1(a>b>0)，则有222-1b a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221b a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF 2+AF 2+AB=4a=8，因为BF 2+AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A 3-2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B3--2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c +294b =1.又c 2=a 2-b 2=4-b 2，所以24-4b +294b =1，即1-24b +294b =1，所以24b =294b ，解得b 2=3，所以6.4【解析】由题意可知抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以47.【解析】由题意知A (-a ，0)，B (a ，0)，取P (0，b )，则k AP ·k BP =b a×-b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=3.8. 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1=F 1F 2=2c 时，PF 2=2a-PF 1=2a-2c ，即2c>2a-2c ，解得e=c a >12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF 2=F 1F 2=2c 时，PF 1=2a-PF 2=2a-2c ，即2a-2c>2c ，且2c>a-c ，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、 解答题9. (1) 因为28x +24y =1，所以F 1(-2，0)，F 2(2，0)，所以k OP=22F Mk1F M k=4，所以直线F 2M 的方程为x-2)，直线F 1M 的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M 的横坐标为65.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM u u u u r=2MPuuu r ，所以1FM u u u u r =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M u u u u r =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P uuu r=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )， 所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF uuu r ·F B uuu r=1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP uuu r·FQ u u u r=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件， 所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)， 直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)， 解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +.由24m+23n=1，得n2=321-4m⎛⎫⎪⎝⎭，代入上式得24x+23y=1.所以点M恒在椭圆C上.。
第2讲 圆锥曲线的方程和性质高频考点高考预测椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程 重点考查椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；抛物线定义和性质的应用，常与三角、平面向量、圆相结合，以选择填空为主.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质直线和椭圆、抛物线、双曲线的位置关系1. (2023·全国新高考Ⅰ卷)设椭圆C 1：x2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，C 2：x24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝( A )A.233B ． 2C ． 3D ． 6【解析】 由椭圆C 2：x 24＋y 2＝1可得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝4－1＝3，∴椭圆C 2的离心率为e 2＝32，∵e 2＝3e 1，∴e 1＝12，∴c 1a 1＝12，∴a 21＝4c 21＝4(a 21－b 21)＝4(a 21－1)，∴a ＝233或a ＝－233(舍去)．故选A.2. (2023·全国新高考Ⅱ卷)已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左焦点和右焦点分别为F 1和F 2，直线y ＝x ＋m 与C 交于点A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的两倍，则m ＝( C )A.23 B ．23C ．－23D ．－23【解析】 记直线y ＝x ＋m 与x 轴交于M (－m,0)，椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由△F 1AB 面积是△F 2AB 的2倍，可得|F 1M |＝2|F 2M |，∴|－2－x M |＝2|2－x M |，解得x M ＝23或x M ＝32，∴－m ＝23或－m ＝32，∴m ＝－23或m ＝－32，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1y ＝x ＋m可得，4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∵直线y ＝x ＋m 与C 相交，所以Δ＞0，解得m 2＜4，∴m ＝－32不符合题意，故m ＝－23.故选C. 3. (多选)(2023·全国新高考Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( AC )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形【解析】 直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，可得p2＝1，所以p＝2，所以A 正确；抛物线方程为：y 2＝4x ，与C 交于M ，N 两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x 2－10x ＋3＝0，x M ＋x N ＝103，所以|MN |＝x M ＋x N ＋p ＝163，所以B 不正确；M ，N 的中点的横坐标为53，中点到抛物线的准线的距离为：1＋53＝83，所以以MN 为直径的圆与l 相切，所以C 正确；3x 2－10x ＋3＝0，不妨可得x M ＝3，x N ＝13，y M ＝－23，y N ＝233，|OM |＝9＋12＝21，|ON |＝19＋129＝133，|MN |＝163，所以△OMN 不是等腰三角形，所以D 不正确．故选AC.4. (2022·全国甲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→·BA 2→＝－1，则C 的方程为( B )A.x 218＋y 216＝1 B ．x 29＋y 28＝1C.x 23＋y 22＝1 D ．x 22＋y 2＝1【解析】 因为离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝13，解得b 2a 2＝89，b 2＝89a 2，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，则A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 为上顶点，所以B (0，b )．所以BA 1→＝(－a ，－b )，BA 2→＝(a ，－b )，因为BA 1→·BA 2→＝－1，所以－a 2＋b 2＝－1，将b 2＝89a 2代入，解得a 2＝9，b 2＝8，故椭圆的方程为x 29＋y 28＝1.故选B.5. (2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( B )A ．2B ．2 2C ．3D ．3 2【解析】 由题意得，F (1,0)，则|AF |＝|BF |＝2，即点A 到准线x ＝－1的距离为2，所以点A 的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，A (1,2)，所以|AB |＝3－12＋0－22＝2 2.故选B.6. (2022·全国甲卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( A )A.32B ．22C ．12D ．13【解析】 A (－a,0)，设P (x 1，y 1)，则Q (－x 1，y 1)，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a，故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21－x 21＋a 2＝14，又x 21a 2＋y 21b 2＝1，则y 21＝b 2a 2－x 21a2，所以b 2a 2－x 21a2－x 21＋a2＝14，即b 2a 2＝14，所以椭圆C 的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选A.7. (2022·全国甲卷)若双曲线y 2－x 2m2＝1(m >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0相切，则m ＝33. 【解析】 双曲线y 2－x 2m 2＝1(m >0)的渐近线为y ＝±xm，即x ±my ＝0，不妨取x ＋my ＝0，圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，所以圆心为(0,2)，半径r ＝1，依题意圆心(0,2)到渐近线x ＋my ＝0的距离d ＝|2m |1＋m2＝1，解得m ＝33或m ＝－33(舍去)． 8. (2021·全国新高考Ⅱ卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±3x .【解析】 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .故答案为y ＝±3x .9. (2022·全国新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE的周长是_13__.【解析】 ∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，∴不妨可设椭圆C ：x 24c 2＋y 23c2＝1，a ＝2c ，∵C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，∴△AF 1F 2为等边三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，∴k DE ＝tan 30°＝33，由等腰三角形的性质可得，|AD |＝|DF 2|，|AE |＝|EF 2|，设直线DE 的方程为y ＝33(x ＋c )，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将其与椭圆C 联立化简可得，13x 2＋8cx －32c 2＝0，由韦达定理可得，x 1＋x 2＝－8c 13，x 1x 2＝－32c213，|DE |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝13＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8c 132＋128c 213＝4813c ＝6，解得c ＝138，由椭圆的定义可得，△ADE 的周长等价于|DE |＋|DF 2|＋|EF 2|＝4a ＝8c ＝8×138＝13.10. (2023·全国新高考Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为 355.【解析】 方法一：如图，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，n )，设A (x ，y )，则F 2A →＝(x －c ，y )，F 2B →＝(－c ，n )，又F 2A →＝－23F 2B →，则⎩⎪⎨⎪⎧x －c ＝23c ，y ＝－23n ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53c ，－23n ，又F 1A →⊥F 1B →，且F 1A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83c ，－23n ，F 1B →＝(c ，n )，则F 1A →·F 1B →＝83c 2－23n 2＝0，化简得n 2＝4c 2.又点A在C 上，则259c 2a 2－49n 2b 2＝1，整理可得25c 29a 2－4n 29b 2＝1，代入n 2＝4c 2，可得25c 2a 2－16c 2b 2＝9，即25e2－16e 2e 2－1＝9，解得e 2＝95或15(舍去)，故e ＝355.方法二：由F 2A →＝－23F 2B →，得|F 2A →||F 2B →|＝23，设|F 2A →|＝2t ，|F 2B →|＝3t ，由对称性可得|F 1B →|＝3t ，则|AF 1→|＝2t ＋2a ，|AB →|＝5t ，设∠F 1AF 2＝θ，则sin θ＝3t 5t ＝35，所以cos θ＝45＝2t ＋2a 5t ，解得t ＝a ，所以|AF 1→|＝2t ＋2a ＝4a ，|AF 2→|＝2a ，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ＝16a 2＋4a 2－4c 216a 2＝45，即5c 2＝9a 2，则e ＝355.核心考点1 圆锥曲线的定义及标准方程核心知识· 精归纳1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：|MF 1|－|MF 2|＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)． 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px (p ＞0)；y 2＝－2px (p ＞0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)．多维题组· 明技法角度1：椭圆的定义及标准方程1. (2023·浙江二模)已知F 是椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左焦点，点M 在C 上，N 在⊙P ：x2＋(y －3)2＝2x 上，则|MF |－|MN |的最大值是( A )A ．2B ．10－1 C.13－1D ．13＋1【解析】 由⊙P ：x 2＋(y －3)2＝2x ，可得(x －1)2＋(y －3)2＝1，可得圆⊙P 的圆心坐标为P (1,3)，半径r ＝1，由椭圆C ：x 24＋y 23＝1，可得a ＝2，设椭圆的右焦点为F 1，根据椭圆的定义可得|MF |＝2a －|MF 1|，所以|MF |－|MN |＝2a －(|MF 1|＋|MN |)，又由|MN |min ＝|MP |－r ，如图所示，当点P ，M ，N ，F 1四点共线时，即为P ，N ′，M ′，F 1时，|MF 1|＋|MN |取得最小值，最小值为(|MF 1|＋|MN |)min ＝(|MF 1|＋|MP |－r )＝|PF 1|－r ＝3－1＝2，所以(|MF |－|MN |)max ＝2×2－2＝2.故选A.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 【解析】 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.角度2：双曲线的定义及标准方程3.设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( C )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2【解析】 由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝8 2.故选C.4. (多选)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( AB )A.x 24－y 22＝1 B ．y 24－x 28＝1C.x 24－y 28＝1 D ．y 24－x 22＝1【解析】 由题意，设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)，又2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，则m ＝2；当m <0时，－m ＝4，则m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.故选AB.角度3：抛物线的定义及标准方程5. (2023·新乡三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，C 上一点M (x 0，x 0)(x 0≠0)满足|MF |＝5，则p ＝( D )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】 依题意得x 20＝2px 0，因为x 0≠0，所以x 0＝2p .由|MF |＝x 0＋p2＝5，解得p ＝2.故选D.6.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_x 2＝4y __.【解析】 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2.因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .方法技巧· 精提炼1.求解圆锥曲线标准方程的方法(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2和p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．2.焦点三角形的面积公式(1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中两焦点F 1，F 2；点P 为椭圆上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2·tan θ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2tanθ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(3)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦(即焦点弦)，焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S △AOB ＝p 22sin α＝12|AB ||d |＝12|OF |·|y 1－y 2|.加固训练· 促提高1. (2023·未央区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M为C 上一点，若MF 1的中点为(0,1)，且△MF 1F 2的周长为8＋42，则C 的标准方程为( A )A.x 216＋y 28＝1 B ．x 28＋y 24＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 232＋y 216＝1 【解析】 ∵M 1F 的中点为B (0,1)，∴OB 是△MF 1F 2的中位线，则MF 2＝2OB ＝2，且△MF 1F 2为直角三角形，∵△MF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝8＋42，∴a ＋c ＝4＋22①，∵MF 2＝2，∴MF 1＝2a －2，∵(MF 1)2－(MF 2)2＝4c 2，∴(2a －2)2－4＝4c 2，即(a －1)2－1＝c 2②，由①②得，a ＝4，c ＝22，b 2＝16－8＝8，∴C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.故选A.2.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为_9__.【解析】 因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9.。
高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
第二讲 圆锥曲线的方程与性质——小题备考微专题1 圆锥曲线的定义及标准方程常考常用结论1．椭圆的定义与方程：|MF 1|＋|MF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)； 焦点在x 轴上：x 2a 2+y 2b 2＝1(a>b>0)， 焦点在y 轴上：y 2a 2+x 2b 2＝1(a>b>0)．2．双曲线的定义与方程：||MF 1|－|MF 2||＝2a(2a<|F 1F 2|)； 焦点在x 轴上：x 2a 2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)，焦点在y 轴上：y 2a 2−x 2b 2＝1(a>0，b>0)．3．抛物线定义与方程：|MF|＝d(d 为M 点到准线的距离) y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py(p>0)．保分题1.[2022·山东济南三模]“0<a<12”是“方程x 22a−1+y 2a ＝1表示的曲线为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．[2022·全国乙卷]设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )A ．2B ．2√2C ．3D ．3√23．[2022·湖南湘潭三模]椭圆E ：x 2a 2+y 2a+2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与E 交于A ，B 两点，若△ABF 2的周长为12，则E 的离心率为( )A ．23 B ．13 C ．19 D ．49提分题例1 (1)[2022·山东济南历城二中模拟]设F 1，F 2分别是双曲线x 24−y 245＝1的左、右焦点，P 是该双曲线上的一点，且3|PF 1|＝5|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．14√3B ．7√15C ．15√3D ．5√15(2)[2022·河北石家庄二模]已知，点P 是抛物线C ：y 2＝4x 上的动点，过点P 向y 轴作垂线，垂足记为点N ，点M(3，4)，则|PM|＋|PN|的最小值是( )A ．2√5－1B ．√5－1C ．√5＋1D ．2√5＋1技法领悟1．关于圆锥曲线定义的应用：对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化．2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”：所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．巩固训练11.已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216+y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________．2．[2022·湖南岳阳一模]已知抛物线y ＝14x 2的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，点Q(1，1)，当△PQF 的周长最小时，点P 的坐标为________．微专题2 圆锥曲线的几何性质常考常用结论1．椭圆中，长轴是最长的弦，过焦点的所有弦长中，垂直长轴的弦长最短，最短为2b 2a.距焦点最短的点是相应的对称轴同侧顶点．过双曲线的焦点作对称轴的垂线，与双曲线交于A ，B 两点，|AB|＝2b 2a.过抛物线的焦点作对称轴的垂线，与抛物线交于A ，B 两点，|AB|＝2p.2．双曲线x 2a 2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±ba x. 双曲线y 2a 2−x 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±ab x. 3．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝√1−(b a )2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca ＝√1+(ba )2.4．抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F(p 2，0)，准线方程x ＝－p2； 抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点F(0，p2)，准线方程y ＝－p2.保分题1.[2022·湖北武汉二模]若椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a>0)的离心率为√22，则a 的值为( ) A ．√2B ．12C ．√2或√22D ．√2或122．[2022·河北沧州二模]已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率e 是它的一条渐近线斜率的2倍，则e ＝( )A ．2√33B ．√2C ．√3D ．23．[2022·山东潍坊一模]抛物线C ：x 2＝4ay 的焦点坐标为(0，2)，则C 的准线方程为________．提分题例2 (1)[2022·全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( )A ．√32B ．√22C ．12D ．13(2)[2022·河北唐山一模](多选)已知直线l ：x ＝ty ＋4与抛物线C ：y 2＝4x 交于A(x 1 ，y 1)，B(x 2，y 2)两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别记为k 1，k 2，则( )A ．y 1·y 2为定值B ．k 1·k 2为定值C ．y 1＋y 2为定值D ．k 1＋k 2＋t 为定值 听课笔记：技法领悟1．理清圆锥曲线中a，b，c，e，p的关系是关键．2．求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ca的值．巩固训练21.[2022·河北保定一模]已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，在右支上存在点P，Q，使得POQF为正方形(O为坐标原点)，设该双曲线离心率为e，则e2＝() A．3+√52B．3＋√5C．9+√652D．9＋√652．已知椭圆C：x2m2−1+y2m2＝1(m>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为√3，则椭圆C的短轴长为________．微专题3圆锥曲线的交汇问题保分题1.[2022·山东淄博三模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2√3，则p＝()A．1 B．√3C．2 D．42．已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝√52x，且与椭圆x212+y23＝1有公共焦点．则C的方程为()A．x28−y210＝1 B．x24−y25＝1C．x25−y24＝1 D．x24−y23＝13．[2022·全国甲卷]若双曲线y2－x2m2＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．提分题例3 (1)[2022·福建泉州模拟]已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝4b25，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A．(0，2√105) B．(0，√64)C ．[2√105，1) D ．[√64，1)(2)[2022·湖北武汉模拟]已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左支、右支分别交于A 、B 两点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A ．√3B ．2C ．√7D ．3 听课笔记：技法领悟1．解决圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题时，关键是抓住两种曲线之间的联系，再结合其自身的几何性质解题．2．圆锥曲线常与向量知识交汇考查，一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件，再利用其他的知识解题，或者是其他的知识点转化条件，再利用圆锥曲线的几何性质解题．巩固训练31.[2022·山东威海三模]已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以原点O 为顶点，F 2为焦点的抛物线与双曲线C 在第一象限的交点为P.若∠PF 1F 2＝45°，则C 的离心率为( )A ．√2B ．√2＋1C ．√3D ．√3＋12．[2022·全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1 [TX →]·BA 2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218+y 216＝1 B ．x 29+y 28＝1 C ．x 23+y 22＝1D ．x 22＋y 2＝1第二讲 圆锥曲线的方程与性质微专题1 圆锥曲线的定义及标准方程保分题1．解析：方程x 22a−1+y 2a＝1表示的曲线为双曲线，则a (2a －1)＜0，解得0＜a ＜12，故“0<a <12”是“方程x 22a−1+y 2a ＝1表示的曲线为双曲线”的充要条件． 答案：C2．解析：由已知条件，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.又B (3，0)，则|AF |＝|BF |＝2.不妨设点A 在第一象限，则A (x 0，2√x 0)．根据抛物线的定义可知x 0－(－1)＝2，所以x 0＝1，所以A (1，2)，所以|AB |＝√(1−3)2+(2−0)2＝2√2.故选B.答案：B3．解析：因为△ABF 2的周长为12，根据椭圆的定义可得4a ＝12，解得a ＝3， 则c 2＝a 2－a －2＝4，所以c ＝2，则椭圆E 的离心率为e ＝ca ＝23.答案：A提分题[例1] 解析：(1)设|PF 1|＝5x ，|PF 2|＝3x ，则由双曲线的定义可得：|PF 1|－|PF 2|＝5x －3x ＝2x ＝2a ＝4，所以x ＝2，故|PF 1|＝10，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝14，故cos ∠F 1PF 2＝100+36−1962×10×6＝－12，故sin ∠F 1PF 2＝√32，所以△PF 1F 2的面积为12×10×6×√32＝15√3.(2)由抛物线C ：y 2＝4x 知，焦点F (1，0)，准线方程为x ＝－1， 过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，如图，由抛物线定义知|PN |＋|PM |＝|PQ |－1＋|PM |＝|PF |＋|PM |－1，当F ，P ，M 三点共线时，|PM |＋|PN |最小值为|MF |－1＝√(3−1)2+(4−0)2－1＝2√5－1.答案：(1)C (2)A[巩固训练1]1．解析：因为P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点， 且|PQ |＝|F 1F 2|，所以四边形PF 1QF 2为矩形， 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝8，m 2＋n 2＝48， 所以64＝(m ＋n )2＝m 2＋2mn ＋n 2＝48＋2mn, mn ＝8，即四边形PF 1QF 2面积等于8. 答案：82．解析：如图，设l ：y ＝－1是抛物线的准线，过P 作PH ⊥l 于H ，作QN ⊥l 于N ，则|PF |＝|PH |，F (0，1)，|FQ |＝1，|PF |＋|PQ |＝|PQ |＋|PH |，易知当Q ，P ，H 三点共线时，|PQ |＋|PH |最小，且最小值为1＋1＝2，所以△PQF 的周长最小值为3，此时x P ＝1，y P ＝14， 即P (1，14)． 答案：(1，14)微专题2 圆锥曲线的几何性质保分题1．解析：当a 2>1，即a >1时，则a 2−1a 2＝(√22)2，解得a ＝√2；当a 2<1，即0<a <1时，则1−a 21＝(√22)2，解得a ＝√22，综上：a 的值为√2或√22. 答案：C2．解析：由题意得{c a =2ba a 2+b 2=c2，解得c 2a 2＝43，即e ＝2√33. 答案：A3．解析：因为抛物线C ：x 2＝4ay 的焦点坐标为(0，2)， 所以C 的准线方程为y ＝－2. 答案：y ＝－2提分题[例2] 解析：(1)设P (x 1，y 1)，则点Q 的坐标为(－x 1，y 1)．由题意，得点A (－a ，0)．又直线AP ，AQ 的斜率之积为14，所以y 1x1+a·y 1−x1+a＝14，即y 12 a2－x 12 ＝14①.又点P 在椭圆C 上，所以x 12 a2＋y 12 b2＝1②.由①②，得b 2a 2＝14，所以a 2＝4b 2，所以a 2＝4(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝ca＝√32.故选A.(2)由{x =ty +4y 2=4x 得：y 2－4ty －16＝0，则{y 1+y 2=4t y 1y 2=−16；对于A ，y 1y 2＝－16为定值，A 正确；对于B ，k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2y 12y 2216＝16y1y 2＝－1，B 正确；对于C ，y 1＋y 2＝4t ，不为定值，C 错误； 对于D ，k 1＋k 2＋t ＝y 1x 1+y2x 2＋t ＝x 2y 1+x 1y 2x 1x 2＋t ＝(ty 2+4)y 1+(ty 1+4)y 2y 12y 22 16＋t ＝2ty 1y 2+4(y 1+y 2)y 12y 22 16＋t ＝−32t+16t16＋t ＝－t ＋t ＝0，则k 1＋k 2＋t 为定值，D 正确．答案：(1)A (2)ABD [巩固训练2]1．解析：由题意，当POQF 为正方形时，点P 的坐标为(c2，c2)，代入x 2a 2−y 2b 2＝1(a >0，b >0)可得c 24a 2−c 24b 2＝1，整理得b 2c 2－a 2c 2＝4a 2b 2， 即(c 2－a 2)c 2－a 2c 2＝4a 2(c 2－a 2)，整理得c 4－6a 2c 2＋4a 4＝0， 即e 4－6e 2＋4＝0，解得e 2＝3＋√5. 答案：B2．解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2√m 2−(m 2−1)＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12|F 1F 2|√m 2−1＝√3，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2√m 2−1＝2√3.答案：2√3微专题3圆锥曲线的交汇问题保分题1．解析：由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有x A2+y A2＝22，y A＝√3，x A<0，解得x A＝－1，故－p2＝－1，得p＝2.答案：C2．解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝√52x，则ba ＝√52①.又因为椭圆x212+y23＝1与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距2c＝6，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝√5，则双曲线C的方程为x24−y25＝1.答案：B3．解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝xm，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得√m2+1＝1，解得m＝±√33.又因为m＞0，所以m＝√33.答案：√33提分题[例3]解析：(1)由题意，如图，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则只需∠APB ≤90°，即α＝∠APO ≤45°，sin α＝2b √5a ≤sin 45°＝√22， 即8b 2≤5a 2，因为a 2＝b 2＋c 2，解得：3a 2≤8c 2.∴e 2≥38，即e ≥√64，而0<e <1， ∴√64≤e <1，即e ∈[√64，1)．(2)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即边BF 2的中线与边BF 2垂直，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|AF|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 同理可知△ABF 2为正三角形，|BF 1|－|BF 2|＝|BF 1|－|BA |＝|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝4a ，取AB 中点D ，|F 1D |＝4a ，|F 2D |＝2√3a ，|F 1F 2|＝2c ， ∵F 2D ⊥F 1D ，则(2c )2＝(4a )2＋(2√3a )2，整理得c 2a 2＝7， ∴e ＝√7.答案：(1)D (2)C[巩固训练3]1．解析：由题知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则抛物线方程为：y 2＝4cx ，直线PF 1方程为：y ＝x ＋c ， 由{y =x +c y 2=4cx⇒x 2－2cx ＋c 2＝0⇒x ＝c ，∴P (c ，2c )，∴PF 2⊥x 轴，∴|PF 2|＝2c ，|PF 1|＝2√2c ， ∴双曲线离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF1|−|PF 2|＝2√2−2＝√2−1＝√2＋1. 答案：B2．解析：由椭圆C 的离心率为13，可得e ＝c a ＝√a 2−b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B (0，b )，所以BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－a ，－b )·(a ，－b )＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组{8a 2=9b 2，−a 2+b 2=−1，解得{a 2=9，b 2=8.所以C 的方程为x 29+y 28＝1.故选B. 答案：B。
核心考点2 圆锥曲线的几何性质核心知识· 精归纳1.椭圆、双曲线中a ，b ，c ，e 之间的关系(1)在椭圆中，a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝ca＝1－b 2a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝ca＝1＋b 2a2. 2.双曲线的渐近线方程与焦点坐标(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，焦点坐标为F 1(－c,0)和F 2(c,0)．(2)双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±abx ，焦点坐标为F 1(0，－c ，)和F 2(0，c )．3.抛物线的焦点坐标与准线方程(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p2.(2)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p2. 多维题组· 明技法角度1：离心率问题1. (2023·邵阳二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，半焦距为c .在椭圆上存在点P 使得asin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则椭圆离心率的取值范围是( B )A ．[2－1,1)B ．(2－1,1)C ．(0，2－1)D ．(0，2－1]【解析】 ∵a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，∴在△PF 1F 2中，由正弦定理知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，∵asin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，∴|PF 2||PF 1|＝a c ＝1e，即|PF 1|＝e |PF 2|①.又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将①代入得|PF 2|＝2a e ＋1∈(a －c ，a ＋c )，同除以a 得，1－e ＜2e ＋1＜1＋e ，得2－1＜e ＜1.故选B.2. (2023·金东区校级三模)已知F 1，F 2分别为双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 为双曲线渐近线上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝14，则双曲线的离心率为( B )A.178B ．1715C ．158D ．85【解析】 PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝14，则|PF 1|＝4|PF 2|，△PF 1F 2是直角三角形，O 是F 1F 2的中点，又|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |＝12|F 1F 2|＝c ，且点P 在渐近线y ＝ab x 上，如图，点P 在第三象限，则点P 坐标为(－b ，－a )，∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|2＝16|PF 2|2，∴b 2＋(－a －c )2＝16b 2＋16(－a ＋c )2，又b 2＝c 2－a 2，∴15c 2－17ac ＝0，则e ＝1715.故选B.角度2：双曲线渐近线问题3. (2023·河南三模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，M ，N ，P 是双曲线C 上的点，其中线段MN 的中点恰为坐标原点O ，且点M 在第一象限，若NP →＝3NF →，∠OFM ＝∠OMF ，则双曲线C 的渐近线方程为( B )A ．y ＝±43xB ．y ＝±223xC ．y ＝±324xD ．y ＝±34x【解析】 设双曲线C 的右焦点为F ′，连接PF ′，MF ′，NF ′，∵∠OFM ＝∠OMF ，∴|OM |＝|OF |＝|OF ′|，∴MF ′⊥MF ，又O 为MN 中点，∴四边形MFNF ′为矩形；设|NF |＝x ，则|PF |＝2x ，|PN |＝3x ，∴|NF ′|＝2a ＋x ，|PF ′|＝2a ＋2x ，∵|PN |2＋|NF ′|2＝|PF ′|2，∴9x 2＋(2a ＋x )2＝(2a ＋2x )2，解得：x ＝23a ，又|NF |2＋|NF ′|2＝|FF ′|2，∴49a 2＋649a 2＝4c 2，即689a 2＝4a 2＋4b 2，整理可得：b a ＝223，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±223x .故选B.4. (2023·安庆二模)已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1，(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，过x 轴上方的焦点F 1的直线与双曲线上支交于M ，N 两点，以NF 2为直径的圆经过点M ，若|MF 2|，|MN |，|NF 2|成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±63x . 【解析】 如图所示：由双曲线的定义|MF 2|＝2a ＋|MF 1|，|NF 2|＝2a ＋|NF 1|，所以|MF 2|＋|NF 2|＝4a ＋|MF 1|＋|NF 1|＝4a ＋|MN |.因为|MF 2|，|MN |，|NF 2|成等差数列，所以|MF 2|＋|NF 2|＝2|MN |，即4a ＋|MN |＝2|MN |，|MN |＝4a .令|MF 1|＝x ，在△MNF 2中，MF 2⊥MF 1，所以|MF 2|2＋|MN |2＝|NF 2|2，即(2a ＋x )2＋(4a )2＝(6a －x )2，解得x ＝a ，即|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a ，又在Rt △F 1MF 2中，a 2＋(3a )2＝(2c )2,2c 2＝5a 2，又c 2＝a 2＋b 2，所以2b 2＝3a 2，即ab ＝63，y ＝±a b x ＝±63x . 角度3：抛物线的焦点弦问题5. (2023·贵州模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若A (1,22)，则|AB |＝( A )A ．9B ．7C ．6D ．5【解析】 由题意直线l 的斜率必存在，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，设直线l ：y ＝k (x －2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1x 2＝4，又A (1，22)，则x 1＝1，x 2＝4，k 2＝8，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3×3＝9.故选A.6. (2023·茂南区校级三模)已知O 为坐标原点，直线l 过抛物线D ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，与抛物线D 及其准线依次交于A ，B ，C 三点(其中点B 在A ，C 之间)，若|AF |＝4，|BC |＝2|BF |.则△OAB 的面积是 433.【解析】 过点B 作BM 垂直于准线，垂足为M ，过点A 作AN 垂直于准线，垂足为N ，设准线与x 轴相交于点P ，如图，则|BM |＝|BF |，|AN |＝|AF |＝4，在△MBC 中，|BC |＝2|BF |，所以|BC |＝2|BM |，所以∠MCB ＝30°，故在△ANC 中，|AC |＝2|AN |＝8，所以|AC |＝|AF |＋|CF |＝8，则|CF |＝8－|AF |＝4.又CN ⊥x 轴，∠MCB ＝30°，所以|PF |＝12|CF |＝2，又抛物线D ：y 2＝2px ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以|PF |＝p 2＋p2＝p ＝2，所以抛物线D ：y 2＝4x ，点F (1,0)．因为∠MCB ＝30°，所以直线AB 的斜率k ＝－3，则直线AB ：y ＝－3(x －1)，与抛物线方程联立⎩⎨⎧y ＝－3x －1，y 2＝4x ，消y 并化简得3x 2－10x ＋3＝0，易得Δ＞0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，则|AB |＝|BF |＋|AF |＝|BM |＋|AN |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163，又直线AB ：y ＝－3(x －1)，可化为3x ＋y －3＝0，则点O 到直线AB 的距离d ＝|－3|3＋1＝32，所以S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×163×32＝433.方法技巧· 精提炼1.圆锥曲线中有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决．2.涉及双曲线渐近线的常用结论(1)求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ，或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±abx .(2)已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x 轴、y 轴对称． 3.抛物线焦点弦的4个性质设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 性质1：x 1·x 2＝p 24.性质2：y 1·y 2＝－p 2.性质3：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 α(α是直线AB 的倾斜角)．性质4：1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)．加固训练· 促提高1. (2023·船营区校级模拟)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2椭圆顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫5－22，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－22 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 D ．⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1【解析】 如图所示，∠B 1PA 2是B 2A 2→与F 2B 1→的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c ，则B 2A 2→＝(a ，－b )，F 2B 1→＝(－c ，－b )；∵向量的夹角为钝角时，B 2A 2→·F 2B 1→<0，∴－ac ＋b 2＜0，又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－ac －c 2＜0；两边除以a 2得1－e －e 2＜0，即e 2＋e －1＞0；解得e ＜－1－52，或e ＞－1＋52；又∵0＜e ＜1，∴－1＋52＜e ＜1；∴椭圆离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，1.故选D.2.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( D )A.334B ．938C ．6332D ．94【解析】 由2p ＝3，及|AB |＝2p sin 2 α，得|AB |＝2p sin 2 α＝3sin 2 30°＝12.又原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.3. (2023·淮安模拟)已知F 1，F 2，分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2作C 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M ，N 两点．若cos ∠MF 1N ＝513，则C的离心率为 5 .【解析】 易知MN 关于x 轴对称，令∠MF 1F 2＝α，cos 2α＝513，∴cos 2α＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋513＝913，sin 2α＝413，∴tan 2α＝49，∴tan α＝23，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝bax ，y ＝－ba x －c⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c2，y ＝bc2a ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc2a ，tan α＝bc 2a 32c ＝23，∴b a ＝2.∴e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.。
第17讲 圆锥曲线的定义、方程及性质题型一| 圆锥曲线的定义及其标准方程(1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．假设AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，那么椭圆E 的方程为________．(2)椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 及C 的焦点不重合．假设M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，那么AN＋BN ＝________.(1)x 2＋32y 2＝1 (2)12[(1)不妨设点A 在第一象限，∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0<b <1，c >0)．又∵AF 1＝3F 1B ，由AF 1→＝3F 1B →得B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－5c 3，－b 23，代入x 2＋y 2b 2＝1得25c 29＋b 49b 2＝1，又c 2＝1－b 2，∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.(2)根据条件画出图形，如图．设MN 的中点为P ，F 1，F 2为椭圆C 的焦点，连结PF 1，PF 2.显然PF 1是△MAN 的中位线，PF 2是△MBN 的中位线，∴AN ＋BN ＝2PF 1＋2PF 2＝2(PF 1＋PF 2)＝2×6＝12.]求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算〞．定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．2．数形结合，画出图形．根据椭圆的定义及几何性质求解．1．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 24－m －y 22＋m＝1表示双曲线，那么实数m 的取值范围为________．(－2,4) [由题意可知(4－m )(2＋m )>0，解得－2<m <4. ∴实数m 的取值范围为(－2,4)．]2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点及抛物线y 2＝43x 的焦点重合，那么该双曲线的方程为________．x 2－y 22＝1 [由双曲线的方程得其渐近线方程为y ＝b a x ，那么ba＝2，b ＝2a ，又抛物线的焦点为(3，0)，那么双曲线的右焦点为(3，0)，即c ＝3，可解得a ＝1，b ＝2，故双曲线的方程为x 2－y 22＝1.]3．如图17－1，正方形ABCD 与正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，那么ba＝________.图17－12＋1 [∵正方形ABCD 的正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 2＋b ，b . 又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＋b ，解得ba＝2＋1.]题型二| 圆锥曲线的几何性质(1)在平面直角坐标系xOy 中，假设中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为x ＝12，且它的一个顶点及抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，那么该双曲线的渐近线方程为________．(2)过点M (1,1)作斜率为－12的直线及椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，假设M 是线段AB 的中点，那么椭圆C 的离心率等于________．(1)y ＝±3x (2)22[(1)∵抛物线的焦点为(－1,0)，∴a ＝1.又a 2c ＝12，∴c ＝2，b ＝ 3.从而双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b2＝1，∴x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2. ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.]【名师点评】 1.两类离心率的求法：一是利用定义、方程、性质求出a ，c ，进而求e ；二是运用条件构建关于a ，c 的齐次方程，变形求e .2．两类离心率的变形应用：(1)椭圆的离心率e ：e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2，b a ＝1－e 2；(2)双曲线的离心率e ：e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，b a＝e 2－1.1．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，那么双曲线C 的渐近线方程为________．【导学号：19592051】y ＝±12x [双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，离心率为e ＝c a ＝52，所以c 2a 2＝54＝a 2＋b 2a 2，b 2a 2＝14， 即b a ＝12，故渐近线方程为y ＝±12x .] 2．(2021·苏北三市三模)点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，那么直线AF 的斜率为________．43[由题意可知F (1,0)，又由抛物线的定义可知 AF ＝x A ＋1，又AF ＝5，故x A ＝4.∴y A ＝4(y A ＝－4舍去)． ∴k AF ＝4－04－1＝43.]3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)及抛物线y 2＝2px (p >0)相交于A ，B 两点，公共弦AB 恰好过它们的公共焦点F ，那么双曲线C 的离心率为________．2＋1 [抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0，且c ＝p2，所以p ＝2c .根据对称性可知公共弦AB ⊥x 轴，且AB 的方程为x ＝p 2，当x ＝p2时，y A ＝p ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，p .又因为双曲线左焦点F 1的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，0，所以AF 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2－p 22＋p 2＝2p ，又AF ＝p ，所以2p －p ＝2a ，即(2－1)×2c ＝2a ，所以c a ＝12－1＝2＋1.]题型三| 直线及圆锥曲线的位置关系(1)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积为________．(2)双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，那么实数m 的值为________．(1)94 (2)0或－8 [(1)由得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.法一：联立抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝y A ＋y B2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12OF |y A －y B |＝12×34×6＝94.法二：联立方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有AB ＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12.同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋－432＝38，因此S △OAB ＝12AB ·h ＝94.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y223＝1，②由①－②得x 21－x 22＝y 21－y 223，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝13(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，也即2x 0＝13·y 1－y 2x 1－x 2·2y 0＝13·(－1)·2y 0， ∴y 0＝－3x 0，③又P 在直线y ＝x ＋m 上， ∴y 0＝x 0＋m ，④由③④解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－m 4，34m ， 代入抛物线y 2＝18x 得，916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－m 4，∴m ＝0或－8. 经检验m ＝0或－8均符合题意．]【名师点评】 及直线与圆锥曲线相交的有关问题的求解策略 在涉及直线及二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程与曲线方程联立后所得方程的根的情况，使用根及系数的关系进展整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线与二次曲线相交问题的最根本方法．1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，假设d 2＝6d 1，那么椭圆C 的离心率为________．33 [依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c .又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bc a.由可得b 2c ＝6·bca ，所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33.]2．点A (1,0)，椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过点A 作直线交椭圆C 于P ，Q 两点，AP →＝2QA →，那么直线PQ 的斜率为________．±52 [设Q (x 0，y 0)，P (x P ，y P )，那么AP →＝(x P －1，y P )，QA →＝(1－x 0，－y 0)，由AP →＝2QA →，得⎩⎪⎨⎪⎧x P －1＝21－x 0，y P ＝－2y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝3－2x 0，y P ＝－2y 0，因为点P ，Q 都在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 204＋y 203＝1，3－2x 024＋4y23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝74，y 0＝±358，即Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫74，±358， P 为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，±354， 所以直线PQ 的斜率k ＝±52.]3．直线3x －4y ＋4＝0及抛物线x 2＝4y 与圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A ，B ，C ，D ，那么ABCD的值为________．116 [由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y ，得x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1或4.所以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，14，D (4,4)． 直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，且该圆的圆心为F (0,1)，所以AF ＝y A ＋1＝54，DF ＝y D ＋1＝5，所以AB CD ＝AF －1DF －1＝116.]。
