高中数学必修2《统计》知识点讲义(最新整理)

高三数学统计知识点归纳数学统计是高中数学中的一个重要内容，旨在通过搜集观测数据并对其进行整理、分析和解释，从而得出结论。

本文将对高三数学统计知识点进行归纳和总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。

一、描述统计学描述统计学是数学统计的基础，它通过搜集、整理和分析数据，揭示数据的特征和规律。

1. 数据的分类和整理数据可以分为定性和定量两种类型。

定性数据是指具有特征或属性的数据，如性别、颜色等；定量数据是指可用数量表示的数据，如身高、体重等。

将数据分类后，我们可以采用表格、频数分布表、频率分布图等方式对数据进行整理和展示。

2. 数据的汇总和呈现数据的汇总可以使用简单统计量，如平均数、中位数、众数和极差等来描述数据的集中趋势和离散程度。

同时，通过制作直方图、饼图、柱状图等图表，可以直观地展示数据的分布情况。

二、概率与统计概率与统计是数学统计的核心内容，它包括了概率的基本概念、随机变量与概率分布、统计推断等知识点。

1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，常用概率公式包括频率概率、古典概型和几何概型等。

此外，概率运算法则也是概率计算的重要工具，包括加法法则和乘法法则。

2. 随机变量与概率分布随机变量是指在试验过程中可能取得不同值的变量，分为离散随机变量和连续随机变量。

离散随机变量的概率分布可以用概率函数或概率分布列来描述，连续随机变量的概率分布则可以用概率密度函数描述。

3. 统计推断统计推断是根据样本数据对总体特征进行推断和估计的过程。

它包括参数估计和假设检验两个方面。

参数估计可以利用样本统计量来估计总体参数，常见的估计方法有点估计和区间估计。

假设检验则通过构建假设和检验统计量来判断样本数据是否支持某种假设。

三、相关性分析与回归分析相关性分析和回归分析是统计学在实际问题中的应用，旨在研究变量之间的关系和预测。

1. 相关性分析相关性分析用来研究两个或多个变量之间的相关性强度和方向。

常见的相关性指标包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼等级相关系数等，用来度量变量之间的线性关系和等级关系。

高一下册《统计》知识点统计是指根据一定的方法、规则和程序，对所研究的对象（个体或现象）进行资料的收集、整理、描述、分析和解释的过程。

它是一门研究数据的科学，为我们提供了认识和了解客观世界的重要手段。

下面将介绍高一下册《统计》的一些重要知识点。

1. 数据的收集数据的收集是统计研究的基础。

常见的数据收集方法包括调查、实验和观测等。

在进行数据收集时，我们需要确定研究对象、制定调查方案、设计问卷或实验方案，并按照一定的规则和程序进行实施。

2. 数据的整理数据的整理是指对收集到的原始数据进行整理和分类，以便更好地进行后续的分析和解释。

常见的数据整理方法包括分类、排序、编码和录入等。

3. 数据的描述数据的描述是指对数据进行形容和概括，以便更好地了解数据的特征和规律。

常见的数据描述方法包括频数分布表、统计图表和数值指标等。

4. 数据的分析数据的分析是指在数据描述的基础上，通过运用统计学方法进行深入的研究和分析，以便找出数据之间的关系和规律。

常见的数据分析方法包括相关分析、回归分析和方差分析等。

5. 数据的解释数据的解释是指对数据分析结果进行解读和说明，从而对研究对象或现象提供合理的解决方案或建议。

数据的解释需要严谨、准确地表达，并结合具体的背景和领域知识进行解读和说明。

通过对以上统计知识点的学习和掌握，我们可以更好地理解和运用统计学，从而更好地分析和解释我们所研究的对象或现象。

统计不仅在科学研究中发挥着重要的作用，也广泛应用于经济、社会学、医学等领域，在我们的日常生活中也随处可见统计的身影。

总之，高一下册《统计》知识点涉及数据的收集、整理、描述、分析和解释等方面，通过学习和掌握这些知识，我们可以更好地认识和了解客观世界，为我们的学习和工作提供有力支持。

统计高三知识点总结1.高三统计学的基本概念统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科。

在高三学习统计学时，我们需要掌握一些基本概念。

1.1 总体和样本总体是指我们要研究的所有个体或事物的集合。

样本是从总体中选择出来的一部分个体或事物。

1.2 参数和统计量参数是总体的数值特征，如总体的平均数、标准差等。

统计量是样本的数值特征，如样本的平均数、标准差等。

我们通常通过样本统计量来估计总体参数。

1.3 随机变量和概率分布随机变量是对随机事件进行数值化的变量。

概率分布描述了随机变量的取值和对应的概率。

2.描述统计描述统计是统计学的一个重要分支，用于对数据进行整理、概括和描述。

在高三中，我们主要学习了以下几个方面的描述统计方法。

2.1 数据的集中趋势数据的集中趋势是指数据中心的位置。

常用的统计量有均值、中位数和众数。

均值是所有数据之和除以数据个数，中位数是将数据按大小排列后，处于中间位置的数，众数是出现次数最多的数。

2.2 数据的离散程度数据的离散程度是指数据的扩散程度或变异程度。

常用的统计量有极差、方差和标准差。

极差是最大值与最小值之差，方差是每个数据与平均数的离差平方和的平均数，标准差是方差的平方根。

2.3 数据的分布形态数据的分布形态描述了数据的形状。

常用的图形有直方图、频数分布直方图和箱线图。

直方图用柱状图表示数据的频数分布情况，箱线图用箱体和须线展示数据的分布特征。

3.概率与统计推断概率与统计推断是统计学的另一个重要分支，用于通过样本数据来推断总体的特征。

3.1 概率概率是描述随机事件发生可能性的数值。

概率可用于计算事件发生的可能性，判断事件间的关系，以及预测未知的结果。

3.2 参数估计参数估计是通过样本统计量来估计总体参数。

常用的参数估计方法有点估计和区间估计。

点估计是通过单一的统计量来估计总体参数，区间估计是通过一个区间来估计总体参数，包含了真值的概率。

3.3 假设检验假设检验是用于检验某个关于总体的假设是否成立。

第二章统计一、三种抽样方法1、统计的的基本思想是：用样本的某个量去估计总体的某个量总体：在统计中，所有考察对象的全体。

个体：总体中的每一个考察对象。

样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。

样本容量：样本中个体的数目。

2、抽样方法：要求：总体中每个个体被抽取的机会相等（1）简单随机抽样：抽签法和随机数表法简单随机抽样的特点是：不放回、等可能．抽签法步骤（1）先将总体中的所有个体（共有N个）编号（号码可从1到N）（2）把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可用小球、卡片、纸条等制作（3）将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌（4）抽签时，每次从中抽出一个号签，连续抽取n次（5）抽出样本随机数表法步骤（1）将总体中的个体编号(编号时位数要统一)；（2）选定开始的数字；（3）按照一定的规则读取号码；（4）取出样本（2）系统抽样系统抽样特点：容量大、等距、等可能．步骤:1.编号,随机剔除多余个体,重新编号2.分组 (段数等于样本容量),确定间隔长度 k=N/n3.抽取第一个个体编号为i4.依预定的规则抽取余下的个体编号为i+k, i+2k, …（3）分层抽样分层抽样特点：总体差异明显、按所占比例抽取、等可能．步骤：1.将总体按一定标准分层;2.计算各层的个体数与总体的个体数的比;3.按比例确定各层应抽取的样本数目4.在每一层进行抽样 (可用简单随机抽样或系统抽样)二、用样本估计总体1、用样本的频率分布估计总体的分布①作样本频率分布直方图的步骤：（1）求极差；（2）决定组距与组数; (组数＝极差/组距)（3）将数据分组；（4）列频率分布表（分组，频数，频率）；（5）画频率分布直方图。

根据频率分布表做频率分布直方图应注意两点：频率⑴纵轴的意义：组距⑵横轴的意义：样本内容（每个矩形下面是组距）.例1、为了了解中学生的身高情况,对育才中学同龄的50名男学生的身高进行了测量,结果如下：（单位：cm）175 168 180 176 167 181 162 173 171 177171 171 174 173 174 175 177 166 163 160166 166 163 169 174 165 175 165 170 158174 172 166 172 167 172 175 161 173 167170 172 165 157 172 173 166 177 169 181列出样本的频率分布表,画出频率分布直方图.解：在这个样本中,最大值为181,最小值为157,它们的差是24,可以取组距为4,分成7组,根据题意列出样本的频率分布表如下：频率分布直方图(略)②茎叶图作图步骤:1.将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分.2.将最小茎和最大茎之间的数按大小顺序排成一列,写在左(右)侧;3.将各个数据的叶按大小次序写在其右(左)侧.例、某中学高二(2)班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩如下：甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,130,98,114,98,79,101.画出两人数学成绩茎叶图,请根据茎叶图对两人的成绩进行比较.解：甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图：甲乙5 65 6 1 7 98 9 6 1 8 6 3 84 15 9 3 9 8 87 10 3 10 11 4从这个茎叶图上可看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位数是99；甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是89.因此乙同学发挥比较稳定,总体得分情况比甲同学好.2、用样本的数据特征估计总体的数据特征（1）、在频率直方图中计算众数、平均数、中位数众数：在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。

(名师选题)部编版高中数学必修二第九章统计知识点归纳总结(精华版)单选题1、为了鼓励学生积极锻炼身体，强健体魄，某学校决定每学期对体育成绩在年级前100名的学生给予专项奖励.已知该校高三年级共有500名学生，如图是该年级学生本学期体育测试成绩的频率分布直方图.据此估计，能够获得该项奖励的高三学生的最低分数为（）A．89B．88C．87D．86答案：B分析：根据题意确定出前100名的频率，进而判断出第100名的区间，然后根据频率求出答案.由题意，100500=0.2，[90,95)的频率为：0.02×5=0.1，[85,90)的频率为：0.05×5=0.25，则0.1<0.2<0.25，则第100名在[85,90)中，设分数为x，[x,90)的频率为：0.2−0.1=0.1，所以90−x5=0.2−0.10.25=0.10.25=25⇒x=88.故选：B.2、2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误．．的是（）A．成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人B．成绩第1-100名的100人中，高一人数不超过一半C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人D．成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多答案：D分析：根据饼状图和条形图提供的数据判断．由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多200×(45%−30%)=30，A正确；=45<50，由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为200×45%×12B正确；成绩第1-50名的50人中，高一人数为200×45%×0.2=18，因此高三最多有32人，C正确；第51-100名的50人中，高二人数不确定，无法比较，D错误．故选：D．3、新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重.以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（）A．第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平B．第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值C．若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元D．若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元答案：D分析：利用扇形统计图和第三产业中各行业比重统计图的数据即可求解.对于A，57%×6%=3.42%<6%，错误；对于B，57%×13%=7.41%>6%，错误；×16%=4000（亿），错误；对于C，75003%×37%=166500亿元，正确.对于D，根据题意，第二产业生产总值为4104016%×57%故选：D.4、甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队的平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队的平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3．下列说法正确的个数为（）①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③甲队的表现时好时坏．A．0B．3C．2D．1答案：B分析：根据平均数、方差的知识，对四个说法逐一分析，由此得出正确选项.∵甲队平均数大于乙队的平均数，∴甲队的技术比乙队好，又∵甲队的标准差大于乙队的标准差，∴乙队发挥比甲队稳定，甲队的表现时好时坏，故①②③都对．故选：B小提示：本题主要考查平均数、方差在实际生活中的应用，属于基础题.5、某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：103km）．A类轮胎：94，96，99，99，105，107．B类轮胎：95，95，98，99，104，109．根据以上数据，下列说法正确的是（）A．A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数B．A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差C．A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数D．A类轮胎的性能更加稳定答案：D分析：根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.解：对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A错误；对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为13，B类轮胎行驶的最远里程的极差为14，选项B错误．对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为100+−6−4−1−1+5+76=100，B类轮胎行驶的最远里程的平均数为100+−5−5−2−1+4+96=100，选项C错误．对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为(94−100)2+(96−100)2+(99−100)2×2+(105−100)2+(107−100)26=643，B类轮胎行驶的最远里程的方差为(95−100)2×2+(98−100)2+(99−100)2+(104−100)2+(109−100)26=763>643，故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确．故选：D.6、某购物广场开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对其中一日8时至22时的销售额进行统计，组距为2小时的频率分布直方图如图所示．已知12时至l6时的销售额为90万元，则10时至12时的销售额为（）．A．60万元B．80万元C．100万元D．120万元答案：A分析：依据频率分布直方图的性质即可求得10时至12时的销售额.12时至l6时的频率为0.100×2+0.125×2=0.45，10时至12时的频率为0.150×2=0.3010时至12时的销售额0.300.45×90=60（万元）则故选：A7、某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为x̅，s2，新平均分和新方差分别为x̅1，s12，若此同学的得分恰好为x̅，则（）A．x̅=x̅1，s2=s12B．x̅=x̅1，s2<s12C．x̅=x̅1，s2>s12D．x̅<x̅1，s2=s12答案：C分析：利用平均数和方差的公式即可求解.设这个班有n个同学，分数分别是a1，a2，a3，…，a n，第i个同学的成绩a i=x̅没录入，第一次计算时，总分是(n−1)x̅，方差s2=1n−1[(a1−x̅)2+(a2−x̅)2+⋅⋅⋅+(a i−1−x̅)2+(a i+1−x̅)2+⋅⋅⋅+(a n−x̅)2]；第二次计算时，x̅1=(n−1)x̅+x̅n=x̅，方差s12=1n [(a1−x̅)2+(a2−x̅)2+⋅⋅⋅+(a i−1−x̅)2+(a i−x̅)2+(a i+1−x̅)2+⋅⋅⋅+(a n−x̅)2]=n−1ns2，故s2>s12.故选：C.8、下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A．某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动B．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验C．从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本D．饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查答案：B分析：根据简单随机抽样的特点逐项判断可得答案.对于A，某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动，每个人被抽到的机会不相等，故错误；对于B，从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验，是简单随机抽样，故正确；对于C，从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本，由于被抽取的样本的总体个数是无限的，所以不是简单随机抽样，故错误；对于D，饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样，故错误.故选：B.多选题9、某赛季甲乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如下表：B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定答案：BD分析：按所给数据计算两人的极差，中位数，平均值，和方差．由题意甲的极差为34－9＝25，中位数是21，均值为22，方差为s2=75，同样乙的极差为35－10＝25，中位数是22，均值为22，方差为s乙2＝8913．比较知BD都正确，故答案为BD．小提示：本题考查样本的数据特征，掌握极差、中位数、均值、方差等概念是解题基础，本题属于基础题．10、为评估一种农作物的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg）互不相等，且从小到大分别为x1,x2,⋅⋅⋅,x10，则下列说法正确的有（）A．x1,x2,⋅⋅⋅,x10的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度B．x1,x2,⋅⋅⋅,x10的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度C．x10−x1可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度D．x1,x2,⋅⋅⋅,x10的中位数为x5答案：BC分析：根据平均数、标准差、极差、中位数的定义即可求解.解：标准差和极差都可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度，故BC正确.故A错误，中位数为x5+x62，故D错.故选：BC.11、在某文艺比赛中，由6名媒体代表组成的甲组、12名专家组成的乙组和12名观众代表组成的丙组分别给选手打分(100分制，选手得分为所有评委打分的平均分).已知甲组对某选手打分为;46,50,52,48,48,56,乙组、丙组对该选手打分的平均分分别为48和56,标准差分别为3.7和11.8，则（）A．该选手的得分为51.6B．甲组打分的中位数为50C．相对于丙组，乙组打分稳定性更高D．相对于丙组，乙组对该选手评价更高答案：AC分析：计算出甲组打分平均分，再根据选手得分为所有评委打分的平均分即可求得该选手的得分，即可判断A；将46,50,52,48,48,56,按照从小到大得顺序排列，求得中位数，即可判断B；根据乙组、丙组对该选手打分的标准差即可判断C；根据乙组、丙组对该选手打分的平均分即可判断D.解：甲组打分平均分为46+50+52+48+48+56=50,6=51.6,故A正确;∴x̅=6×50+12×48+12×566+12+12将46,50,52,48,48,56,按照从小到大得顺序排列得46,48,48,50,52,56，=49,B错误;所以甲组打分的中位数为48+502根据标准差知乙组评委打分的波动小，稳定性更高，故C正确;根据平均数知丙组对选手评价更高，D错误.故选：AC.填空题12、某班学号1−8的学生铅球测试成绩如下表：答案：7分析：利用百分位数的计算方法即可求解.将以上数据从小到大排列为5.2，6.9，7.1，7.9，8.0，8.1，8.4，9.1；=7.8×25%=2，则第25百分位数第2项和第3项的平均数，即为6.9+7.12所以答案是：7.13、某校为了解学生的课外阅读情况﹐随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，该调查中，得到的数据为______．（填“观测数据”或“实验数据”）答案：观测数据．分析：根据数据收集的方式，结合观测数据和实验数据的定义，即可求解.由题意，从课外阅读的学生中﹐随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，这个数据为观测数据.所以答案是：观测数据.。

必修第二册第九章 统计知识点总结知识点一：简单随机抽样1. 全面调查和抽样调查2.简单随机抽样的概念放回简单随机抽样不放回简单随机抽样一般地,设一个总体含有N(N 为正整数)个个体,从中逐个抽取n (1≤n<N)个个体作为样本如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本3.抽签法先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数.调查方式全面调查(普查)抽样调查定义对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为 抽样调查相关概念总体:在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体.个体:组成总体的每一个调查对象称为个体样本:把从总体中抽取的那部分个体 称为样本.样本量:样本中包含的个体数称为 样本量4.随机数法(1)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生已编号范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本,重复上述过程,直到抽足样本所需要的个体数.(2)产生随机数的方法:(i)用随机试验生成随机数;(ii)用信息技术生成随机数.5.总体均值和样本均值(1)总体均值:一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,Y N,则称Y=Y1+Y2+⋯+Y NN =1N∑i=1NY i为总体均值,又称总体平均数.(2)总体均值加权平均数的形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Y k,其中Y i出现的频数f i(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=1N ∑i=1kf i Y i.(3)如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,y n,则称y=y1+y2+⋯+y nn =1n∑i=1ny i为样本均值,又称样本平均数.6.分层随机抽样的相关概念(1)分层随机抽样的定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.(2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.(3)进行分层随机抽样的相关计算时,常用到的关系①样本容量n总体容量N =该层抽取的个体数该层的个体数;②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比;③样本的平均数和各层的样本平均数的关系:w=mm+n x+nm+ny=MM+Nx+NM+Ny.1.画频率分布直方图的步骤(1)求极差:极差为一组数据中最大值与最小值的差;(2)决定组距与组数:当样本容量不超过100时,常分成5-12组,为方便起见,一般取等长组距,并且组距应力求“取整”;(3)将数据分组;(4)列频率分布表:一般分四列:分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量,频率合计是⑥1;.(5)画频率分布直方图:横轴表示分组,纵轴表示频率组距=频率,各小长方形的面积的总和等于1.小长方形的面积=组距×频率组距2.其他统计图表统计图表主要应用扇形图直观描述各部分数据在全部数据中所占的比例条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率反映统计对象在不同时间(或其他合适情形)的发展折线图变化情况1.第p百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=n×p%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.3.四分位数:第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.知识点四：总体集中趋势的估计1.众数、中位数和平均数的定义(1)众数:一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于中间位置的数.如果这组数据是偶数个,则取中间两个数据的平均数.(3)平均数:一组数据的和除以数据个数所得到的数.2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)平均数:在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.(2)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.(3)众数:众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系众数众数是最高小长方形底边的中点所对应的数据,表示样本数据的中心值中位数①在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可以估计中位数的值,但是有偏差;②表示样本数据所占频率的等分线平均数①平均数等于每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和;②平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点1.一组数据x1,x2,…,x n的方差和标准差数据x1,x2,…,x n的方差为1n ∑i=1n(x i-x)2=1n∑i=1nx i2-x2,标准差为√1n∑i=1n(x i-x)2.2.总体方差和总体标准差(1)总体方差和标准差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,Y N,总体的平均数为Y,则称S2= 1N ∑i=1N(Y i-Y)2为总体方差,S=√S2为总体标准差.(2)总体方差的加权形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Y k,其中Y i出现的频数为f i(i=1,2,…,k),则总体方差为S2= 1N ∑i=1kf i(Y i-Y)2.3.样本方差和样本标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,y n,样本平均数为y,则称s2= 1n ∑i=1n(y i-y)2为样本方差,s=√s2为样本标准差.4.标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.5.分层随机抽样的方差设样本容量为n,平均数为x,其中两层的个体数量分别为n1,n2,两层的平均数分别为x1,x2,方差分别为s12,s22,则这个样本的方差为s2=n1n [s12+(x1-x)2]+n2n[s22+(x2-x)2].必修第二册第十章概率知识点总结知识点一：有限样本空间与随机事件1.随机试验的概念和特点(1)随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.(2)随机试验的特点:(i)试验可以在相同条件下重复进行;(ii)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;(iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.2.样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用ω表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}3.事件的类型我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.而空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件.必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样,每个事件都是样本空间Ω的一个子集.知识点二：事件的关系和运算1.包含关系定义一般地,若事件A 发生,则事件B 一定发生,我们就称事件B 包含事件A(或事件A 包含于事件B)含义 A 发生导致B 发生 符号表示B ⊇A(或A ⊆B)图形表示特殊情形如果事件B 包含事件A,事件A 也包含事件B,即B ⊇A 且A ⊇B,则称事件A 与事件B 相等,记作A=B2.并事件(和事件)定义一般地,事件A 与事件B 至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A 中,或者在事件B 中,我们称这个事件为事件A 与事件B 的并事件(或 和事件)含义 A 与B 至少有一个发生符号表示A ∪B(或A+B)图形表示3.交事件(积事件)定义一般地,事件A 与事件B 同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B 中,我们称这样的一个事件为事件A 与事件B 的交事件(或积 事件)含义 A 与B 同时发生 符号表示A ∩B(或AB)图形表示4.互斥(互不相容)一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能定义事件,即A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示A∩B=⌀图形表示5.互为对立一般地,如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=定义Ω,且A∩B=⌀,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为A 含义A与B有且仅有一个发生符号表示A∩B=⌀,且A∪B=Ω图形表示6.清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.符号事件的运算集合的运算A 随机事件集合A A的对立事件A的补集AB 事件A与B的交事件集合A与B的交集A∪B 事件A与B的并事件集合A与B的并集知识点三：古典概型1.古典概型的定义试验具有如下共同特征:(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.2.古典概型的概率计算公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= kn =n(A)n(Ω),其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.知识点四：概率的基本性质1.概率的基本性质性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0.性质2 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0.性质3 如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4 如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5 如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).知识点五：事件的相互独立性1.相互独立事件的定义：对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A 与事件B相互独立,简称为独立.2.相互独立事件的性质：当事件A,B相互独立时,则事件A与事件B相互独立,事件A与事件B相互独立,事件A与事件B相互独立.【提示】公式P(AB)=P(A)P(B)可以推广到一般情形:如果事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2·…·A n)=P(A1)P(A2)·…·P(A n).3. 两个事件是否相互独立的判断方法(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法:若P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B为相互独立事件.4.求相互独立事件同时发生的概率的步骤:①首先确定各事件之间是相互独立的.②求出每个事件的概率,再求积.5.事件间的独立性关系已知两个事件A,B相互独立,它们的概率分别为P(A),P(B),则有事件表示概率A,B同时发生AB P(A)P(B)A,B都不发生A B P(A)P(B)A,B恰有一个发生(A B)∪(A B) P(A)P(B)+P(A)P(B)A,B中至少有一个发生(A B)∪(A B)∪(AB) P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)A,B中至多有一个发生(A B)∪(A B)∪(A B) P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)。

新教材湘教版2019版数学选择性必修第二册第4章知识点清单目录第4章统计4. 1 成对数据的统计相关性4. 2 一元线性回归模型4. 3 独立性检验第4章统计4. 1 成对数据的统计相关性一、散点图1. 散点图将成对观测数据用直角坐标系中的点表示，这些点称为散点，由坐标系及散点形成的数据图叫作散点图，散点图直观地描述了变量之间的关系形态.2. 线性相关关系如果两个变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称它们有线性相关关系，简称为相关关系.3. 线性相关如果一个变量的取值完全依赖于另一个变量，各观测点落在一条直线上，则称它们线性相关，这实际上就是函数关系.二、相关系数1. 定义一般地，对n个成对观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，我们用{x i}表示数据x1，x2，…，x n，{y i}表示数据y1，y2，…，y n，用x=1n ∑n i=1x i，y=1n∑n i=1y i分别表示{x i}与{y i}的均值，用s x=√1n ∑n i=1(x i−x)2，s y=√1n∑n i=1(y i−y)2分别表示{x i}与{y i}的标准差.记s xy=x1y1+x2y2+···+x n y nn −x y=1n∑n i=1(x i−x )(y i−y )，则当s x s y≠0时，我们称r xy=s xys x s y =1n∑n(x i−x)(y i−y)√1n∑i=1(x i−x)2 · 1n∑i=1(y i−y)2=n i=1i i−nx y√(∑xi2ni=1−nx2)·(∑y i2ni=1−ny2)为{x i}和{y i}的相关系数.2. 相关系数的性质(1)r xy的取值范围是[1，1]. 当0<r xy<1时，称{x i}和{y i}正相关；当1<r xy<0时，称{x i}和{y i}负相关；当r xy=0时，称{x i}和{y i}不相关.(2)|r xy|越接近于1，变量x，y的线性相关程度越高，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)分散在一条直线附近.(3)|r xy|越接近于0，变量x，y的线性相关程度越低.(4) r xy具有对称性，即r xy=r yx.(5) r xy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量. r xy=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系.三、相关系数与向量夹角1. 利用向量夹角的余弦值表示相关系数把两组成对数据分别看作n维空间的两个向量(x1，x2，…，x n)，(y1，y2，…，y n)，再将向量的每个元素都减去均值，形成a=(x1x，x2x，…，x n x)，b=(y1y，y2y，…，y n y)，从而有cos<a，b>=a⋅b|a||b|=n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1(x i−x)2⋅∑i=1(y i−y)2.2. 相关程度与向量夹角的关系(1)当<a，b>∈[0，π2)时，余弦值越大表示两个向量的夹角越小，两组数据的正相关程度越高；余弦值越小表示两个向量的夹角越大，两组数据的正相关程度越低.(2)当<a，b>∈(π2，π]时，余弦值越大表示两个向量的夹角越小，两组数据的负相关程度越低；余弦值越小表示两个向量的夹角越大，两组数据的负相关程度越高.(3)当<a，b>=π2时，余弦值为0，这说明两组数据不相关.四、两个变量相关性的判断 1. 利用散点图判断两个变量的相关性若散点落在一条直线附近，则认为这两个变量有线性相关关系. 一般地，如果变量x 和y正相关，那么大多数散点将分布在第一、三象限，对应的成对数据同号的居多；如果变量x和y负相关，那么大多数散点将分布在第二、四象限，对应的成对数据异号的居多.2. 利用相关系数判断两个变量的相关性|r xy|刻画了样本点集中于某条直线的程度. |r xy|越接近于1，散点图中的散点分布越接近于一条直线，两个变量的线性相关程度越高.3. 利用向量的夹角判断两个变量的相关性由相关系数r xy=cos<a，b>，结合相关程度与向量夹角的关系可直接判断两个变量的相关性.4. 2 一元线性回归模型一、回归直线方程1. 回归直线与回归直线方程我们常常用一条直线来反映所给出的散点图的分布趋势，找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这样所得到的直线就可以比较科学地反映实际问题中两个变量之间的相关关系. 这条直线叫作回归直线，这条直线的方程叫作回归直线方程.2. 回归分析(1)由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析.(2)在回归分析中，被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示. 用来预测或解释因变量的变量称为自变量，用x表示.二、一元线性回归模型1. 一元线性回归方程如果具有相关关系的两个变量x，y可用方程y=a+bx来近似刻画，则称此式为y关于x的一元线性回归方程，其中a，b称为回归系数.由于我们是利用样本数据(一组观测值)去估计总体的回归直线方程，因此我们在a ，b ，y 的上方加记号“∧”以区别实际的a ，b ，y ，此时得到估计的回归直线方程形式为y ^=a ^+b ^x ，它是根据样本数据求出的回归方程的估计. 2. 一元线性回归模型(1)当自变量x 取值x i (i=1，2，…，n)时，我们将根据回归直线方程估计出的y ^i 与实际观 测值y i 的误差，即y i y ^i =y i (a ^+b ^x i )(i=1，2，…，n)，称为随机误差，记作e i .(2)我们把y i =a ^+b ^x i +e i (i=1，2，…，n)这一描述因变量y 如何依赖于自变量x 和随机误 差e i 的方程称为一元线性回归模型. 3. 最小二乘法(1)用随机误差的平方和即Q=∑ n i=1(y i−a ^−b ^x i )2作为总随机误差来刻画各估计值与实际值之间的误差. 若总随机误差最小，则这条直线就是所要求的回归直线. 由于平 方又叫二乘方，所以这种使“随机误差平方和最小”的方法叫作最小二乘法. (2)(x ，y )称为样本中心，回归直线一定过样本中心. (3)令x =1n ∑x in i=1，y=1n ∑y in i=1，则Q 取最小值时，a ^，b ^的计算公式为b ^=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2=∑ n i=1x i y i −nxy∑ n i=1x i2−nx 2，a ^=yb ^x 此时，用最小二乘法得到的回归直线方程为y ^=a ^+b ^x ，其中a ^是回归直线在y 轴上的截 距， b ^是回归直线的斜率. 三、一元线性回归模型的应用1. 一般地，运用一元线性回归模型思想解决实际问题的基本步骤如下： (1)确定研究对象，明确哪个变量是因变量，哪个变量是自变量； (2)运用相关系数的计算公式，分析自变量与因变量之间的关系；(3)运用最小二乘原理估计一元线性回归方程的系数，建立一元线性回归方程； (4)根据一元线性回归方程进行预测. 知识拓展 研究两个变量的关系时，依据样本画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在一条直线附近，就称这两个变量之间不具有线性相关关系. 当两个变量不具有线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用一元线性回归模型建立两个变量间的非线性回归方程. 常见的非线性回归方程的转换方式如下：四、回归直线方程的求解与应用 1. 回归直线方程中系数的两种求法 (1)公式法：利用公式求出回归系数b ^， a ^.(2)待定系数法：利用回归直线必过样本中心(x ， y )求回归系数b ^， a ^.2. 回归分析的两种题型及解题策略(1)利用回归直线方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数的解析式，求函数值. (2)利用回归直线判断正、负相关：决定两个变量是正相关关系还是负相关关系的是回归系数b ^.五、非线性回归分析1. 建立非线性回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确涉及的变量；(2)画出确定好的变量间的散点图，观察它们之间的关系(是否存在非线性关系)； (3)由经验确定非线性回归方程的类型(如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数型、指数函数型、对数函数型模型等)；(4)通过换元，将非线性回归模型转化为一元线性回归模型； (5)按照公式计算回归直线方程中的参数，得到回归直线方程； (6)消去新元，得到非线性回归方程.4. 3 独立性检验一、列联表 1. 列联表一般地，对于两个分类变量X 和Y ，X 有两个取值：A 和A ，Y 也有两个取值：B 和B ，我们可得到下面的频数分布表：像上表这样，将两个(或两个以上)分类变量进行交叉分类得到的频数分布表称为列联表，称X ，Y 为分类变量. 2. 2× 2列联表由于所涉及的两个分类变量X ，Y 均有两个变量值，所以称上表为2×2列联表. 二、独立性检验1. 统计量χ2的计算公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.2. 独立性检验的概念利用统计量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验. 3. 独立性检验的步骤利用独立性检验推断“X 与Y 有关系”，可按下面的步骤进行： (1)提出统计假设H 0：X 与Y 之间没有关系； (2)根据2×2列联表及χ2的公式计算χ2的观测值； (3)查临界值表确定临界值x 0，然后做出判断.4. 临界值表表示在H0成立的情况下，事件“χ≥x0”发生的概率.5. 变量独立性判断的依据(1)如果χ2>10. 828，就有不少于99. 9%的把握认为“X与Y之间有关系”；(2)如果χ2>6. 635，就有不少于99%的把握认为“X与Y之间有关系”；(3)如果χ2>2. 706，就有不少于90%的把握认为“X与Y之间有关系”；(4)如果χ2≤2. 706时，就认为还没有充分的证据显示“X与Y之间有关系”，但也不能做出结论“H0成立”，即认为X与Y没有关系.三、由χ2进行独立性检验1. 应用独立性检验解决实际问题大致包括的几个主要环节(1)提出统计假设H0：分类变量X和Y无关(相互独立)，并给出在问题中的解释；(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值x0比较；(3)根据检验规则得出推断结论；(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律.注意：上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整. 例如，在有些时候，分类变量的抽样数据列联表是问题中给定的.四、独立性检验与统计、概率的综合应用1. 通过频率分布直方图中的数据作2×2列联表，从而对事件进行独立性检验，准确读取频率分布直方图中的数据，进行分组统计是解题的关键. 解决独立性检验的问题要注意明确两类主体，明确研究的两类问题，在写出2×2列联表中a，b，c，d的值时，注意一定要对应.。

第二章统计一、三种抽样方法1、的的基本思想是：用本的某个量去估体的某个量体：在中，所有考察象的全体。

个体：体中的每一个考察象。

本：从体中抽取的一部分个体叫做个体的一个本。

本容量：本中个体的数目。

2、抽方法：要求：体中每个个体被抽取的机会相等（1）随机抽：抽法和随机数表法随机抽的特点是：不放回、等可能．抽法步（ 1）先将体中的所有个体（共有N 个）号（号可从 1 到 N）（ 2）把号写在形状、大小相同的号上，号可用小球、卡片、条等制作（ 3）将些号放在同一个箱子里，行均匀拌（4）抽，每次从中抽出一个号，抽取n 次（5）抽出本随机数表法步（1）将体中的个体号 ( 号位数要一 ) ；（ 2）定开始的数字；（ 3）按照一定的取号；（ 4）取出本（2）系抽系抽特点：容量大、等距、等可能．步 :1.号 , 随机剔除多余个体 , 重新号2.分 ( 段数等于本容量 ), 确定隔度 k=N/n3.抽取第一个个体号 i4. 依定的抽取余下的个体号i+k, i +2k, ⋯（3）分抽分抽特点：体差异明、按所占比例抽取、等可能．步： 1. 将体按一定准分 ;2.算各的个体数与体的个体数的比;3.按比例确定各抽取的本数目4.在每一行抽 ( 可用随机抽或系抽 )二、用样本估计总体1、用样本的频率分布估计总体的分布①作样本频率分布直方图的步骤：（1）求极差；（2）决定组距与组数 ; ( 组数＝极差 / 组距 )（3）将数据分组；（4）列频率分布表（分组，频数，频率）；（5）画频率分布直方图。

根据频率分布表做频率分布直方图应注意两点：频率⑴纵轴的意义：组距⑵横轴的意义：样本内容（每个矩形下面是组距）.例 1、为了了解中学生的身高情况, 对育才中学同龄的50名男学生的身高进行了测量, 结果如下：（单位： cm）175168180176167181162173171177171171174173174175177166163160166166163169174165175165170158174172166172167172175161173167170172165157172173166177169181列出样本的频率分布表, 画出频率分布直方图.解：在这个样本中, 最大值为 181, 最小值为 157, 它们的差是24, 可以取组距为4, 分成 7 组 , 根据题意列出样本的频率分布表如下：分组频数频率156.5 ～ 160.530.06160.5 ～ 164.540.08164.5 ～ 168.5120.24168.5 ～ 172.5120.24172.5 ～ 176.5130.26176.5 ～ 180.540.08180.5 ～ 184.520.04合计50 1.00频率分布直方图( 略 )②茎叶图作图步骤:1.将每个数据分为茎 ( 高位 ) 和叶 ( 低位 ) 两部分 .2. 将最小茎和最大茎之间的数按大小顺序排成一列, 写在左 ( 右 ) 侧;3.将各个数据的叶按大小次序写在其右( 左 ) 侧.例、某中学高二(2) 班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩如下：甲的得分： 95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分： 83,86,93,99,88,130,98,114,98,79,101.画出两人数学成绩茎叶图, 请根据茎叶图对两人的成绩进行比较.解：甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图：甲乙565 6 1 798 9 6 1 8 6 3 84 15 9 3 9 8 87 10 310 114从这个茎叶图上可看出, 乙同学的得分情况是大致对称的, 中位数是99；甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称, 中位数是89. 因此乙同学发挥比较稳定, 总体得分情况比甲同学好.2、用样本的数据特征估计总体的数据特征（ 1）、在频率直方图中计算众数、平均数、中位数众数：在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。

第14章统计14.1获取数据的基本途径及相关概念....................................................................... - 1 -14.2抽样 ...................................................................................................................... - 3 -14.2.1简单随机抽样............................................................................................ - 3 -14.2.2分层抽样 ................................................................................................... - 7 -14.3统计图表 ............................................................................................................ - 11 -14.3.1扇形统计图、折线统计图、频数直方图.............................................. - 11 -14.3.2频率直方图 ............................................................................................. - 15 -14.4用样本估计总体................................................................................................. - 19 -14.4.1用样本估计总体的集中趋势参数.......................................................... - 19 -14.4.2用样本估计总体的离散程度参数.......................................................... - 22 -14.4.3用频率直方图估计总体分布.................................................................. - 22 -14.4.4百分位数 ................................................................................................. - 28 -14.1获取数据的基本途径及相关概念知识点1获取数据的基本途径获取数据的基本途径适用类型注意问题通过调查获取数据对于有限总体问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效地避免抽样过程中的人为错误通过试验获取数据没有现存的数据可以查询严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量通过观察获取数据自然现象要通过长久的持续观察获取数据通过查询获取数据众多专家研究过，其收集的数据有所存储必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真(1)利用统计报表和年鉴属于哪种获取数据的途径？(2)要了解一种新型灯管的寿命，能通过观察获取数据吗？[提示](1)属于通过查询获取数据的途径．(2)不能，应该通过试验获取数据．知识点2总体、个体、样本、样本容量的概念一般地，在获取数据时，我们把所考察对象(某一项指标的数据)的全体叫作总体，把组成总体的每一个考察对象叫作个体，从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本，样本中个体的数目叫作样本容量．知识点3统计分析的基本步骤和基本思想(1)统计分析的基本步骤获取数据↓分析数据↓作出估计(2)统计分析的基本思想：抽取具有较好代表性的样本，由样本数据的特征、规律估计总体的状况．重点题型类型1获取数据途径的选择【例1】(1)下列数据一般是通过试验获取的是()A．2019年南京市的降雨量B．2019年新生儿人口数量C．某学校高一年级同学的数学测试成绩D．某种特效中成药的配方(2)“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five hundred meters Aperture Spherical Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是()A．通过调查获取数据B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据D．通过查询获得数据(1)D(2)C[(1)某种特效中成药的配方的数据只能通过试验获得．(2)“中国天眼”主要是通过观察获取数据．]选择获取数据途径的依据选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种途径获取，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性．类型2获取数据途径的方法的设计【例2】为了缓解城市的交通拥堵情况，某市准备出台限制私家车的政策，为此要进行民意调查．某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果能很好地反映该市市民的意愿吗？[解](1)一个城市的交通状况的好坏将直接影响着生活在这个城市中的每个人，关系到每个人的利益．为了调查这个问题，在抽样时应当关注到各种人群，既要抽到拥有私家车的市民，也要抽到没有私家车的市民．(2)调查时，如果只对拥有私家车的市民进行调查，结果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿．因此，在调查时，要对生活在该城市的所有市民进行随机地抽样调查，不要只关注到拥有私家车的市民．在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断.14.2抽样14.2.1简单随机抽样知识点1简单随机抽样(1)简单随机抽样的概念一般地，从个体数为N的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本(n＜N)，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．(2)常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．知识点2抽签法抽取样本的步骤(1)将总体中的N个个体编号；(2)将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；(3)将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；(4)从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次；(5)将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出．采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以使用卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌？[提示]为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性．知识点3随机数表法抽取样本的步骤(1)对总体中的个体编号(每个号码位数一致)；(2)在随机数表中任选一个数；(3)从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止；(4)根据选定的号码抽取样本．重点题型类型1简单随机抽样的判断【例1】下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是()①一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件；②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；③某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；④一彩民选号，从装有33个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．A．0 B．1 C．2 D．3B[根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件它不是“逐个”抽取．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③不是简单随机抽样．因为5名同学是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．④是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．综上，只有④是简单随机抽样．]简单随机抽样必须具备的特点(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的；(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样．如果三个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．类型2抽签法的应用【例2】从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．[解]第一步，将20架钢琴编号，号码是01,02， (20)第二步，将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．第四步，从盒中不放回地逐个抽取5个号签，使与号签上编号相同的钢琴进入样本．1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．2．应用抽签法时应注意的问题：(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；(2)号签要求大小、形状完全相同；(3)号签要均匀搅拌；(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取．类型3随机数表法及其综合应用【例3】某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验．(1)利用随机数表法抽取样本时，应如何操作？(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．162,277,943,949,545,354,821,737,932,354,873,520,964,384,263,491,648,642,175, 331,572,455,068,877,047,447,672,172,065,025,834,216,337,663,013,785,916,955,567, 199,810,507,175,128,673,580,667．(3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足500±5g，二是10袋质量的平均数≥500g，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格．经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为：502,500,499,497,503,499,501,500,498,499．计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格．[解](1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002， (500)第二步，用随机数工具产生001～500范围内的随机数．第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本．第四步，重复上述过程，直到产生不同的编号等于样本所需要的数量．(2)应抽取的袋装牛奶的编号为：162,277,354,384,263, 491,175,331,455,068．(3)y＝502＋500＋499＋497＋503＋499＋501＋500＋498＋49910＝499.8＜500，所以该公司的牛奶质量不合格．1．该公司对质监局的这种检验方法并不认可，公司自己质检部门抽取了100袋牛奶按照本例(3)检验标准，统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足500±5g，平均数为500.4g，你认为质监局和公司的检验结果哪一个更可靠？为什么？[解]该公司的质检部门的检验结果更可靠．因为质监局抽取的样本较少，不能很好地反映总体，该公司的质检部门抽取的样本量较大，一般来说，样本量大的会好于样本量小的．尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果．2．为进一步加强公司生产牛奶的质量，规定袋装牛奶的质量变量值为Y i ＝⎩⎨⎧1，质量不低于500 g 0，质量低于500 g，质监局又抽取了一个容量为50的样本，其质量变量值如下：1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g 的比例．[解] 由样本观测数据，计算可得样本平均数为y ＝0.56，据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g 的比例约为0.56．随机数表法的注意点(1)当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数表法抽取样本．(2)用随机数表法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数．(3)掌握利用信息技术产生随机数的方法和规则．14.2.2 分层抽样知识点 分层抽样(1)分层抽样的概念当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这样的抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为层．分层抽样的总体具有什么特性？[提示] 分层抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体．(2)分层抽样的步骤①将总体按一定标准分层；②计算各层的个体数与总体的个体数的比；③按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)．重点题型类型1对分层抽样概念的理解【例1】(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般工作人员70人，后勤人员20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列方法最合适的是()A．抽签法B．随机数法C．简单随机抽样D．分层抽样(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行() A．每层等可能抽样B．每层可以不等可能抽样C．所有层按同一抽样比等可能抽样D．所有层抽取的个体数量相同(1)D(2)C[(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层抽样．(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]1．使用分层抽样的前提分层抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小．2．使用分层抽样应遵循的原则(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．类型2分层抽样的应用【例2】某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程．分层抽样中各层的样本容量如何确定？[解]第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为20160＝18．第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×18＝2(人)；从教师中抽取112×18＝14(人)；从后勤人员中抽取32×18＝4(人)．第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．分层抽样的步骤类型3分层抽样中的计算问题【例3】(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为() A．101 B．808 C．1 212 D．2 012(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．(3)分层抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为____________．(1)B (2)20 (3)6 [(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人， 所以四个社区抽取驾驶员的比例为1296＝18，所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷18＝808(人)．(2)∵A ，B ，C 三层个体数之比为5∶3∶2，又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层抽样应从C 中抽取100×210＝20(个)个体．(3)ω＝2020＋30×3＋3020＋30×8＝6．]在例3(2)中，A ，B ，C 三层的样本的平均数分别为15,30,20，则样本的平均数为________．20．5 [由题意可知样本的平均数为ω＝55＋3＋2×15＋35＋3＋2×30＋25＋3＋2×20＝20.5．]进行分层抽样的相关计算时，常用到的2个关系(1)样本容量n 总体的个数N ＝该层抽取的个体数该层的个体数； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.14.3统计图表14.3.1扇形统计图、折线统计图、频数直方图知识点统计图表统计图表主要应用扇形统计图能够直观描述各类数据占总体的比例频数直方图既直观反映分布状况，又可以表现变化趋势折线统计图描述数据随时间的变化趋势重点题型类型1频率分布表和频数直方图的画法【例1】一个农技站为了考察某种大麦穗生长的分布情况，在一块试验田里抽取了100株麦穗，量得长度如下(单位：cm)：6.5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.65.8 5.56.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.86.2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.56.8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.07.0 6.46.4 5.8 5.9 5.7 6.8 6.6 6.0 6.4 5.77.46.0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.65.36.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.05.66.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.75.8 5.37.06.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.06.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3根据上面的数据列出频率分布表，绘制出频数直方图，并估计在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm之间的麦穗所占的百分比．[解](1)计算最大值与最小值的差：7.4－4.0＝3.4．(2)决定组距与组数：若取组距为0.3，因为3.40.3≈11.3，需分为12组，组数合适，所以取组距为0.3，组数为12．(3)决定分点：使分点比数据多一位小数，并且把第1小组的起点稍微减小一点，那么所分的12个小组可以是3.95～4.25，4.25～4.55,4.55～4.85，…，7.25～7.55．(4)列频率分布表：分组频数频率[3.95,4.25)10.01[4.25,4.55)10.01[4.55,4.85)20.02[4.85,5.15)50.05[5.15,5.45)110.11[5.45,5.75)150.15[5.75,6.05)280.28[6.05,6.35)130.13[6.35,6.65)110.11[6.65,6.95)100.10[6.95,7.25)20.02[7.25,7.55]10.01合计100 1.00(5)绘制频数直方图如图．从表中看到，样本数据落在5.75～6.35之间的频率是0.28＋0.13＝0.41，于是可以估计，在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm之间的麦穗约占41%．频率分布表绘制频数直方图应注意的问题(1)在绘制出频率分布表后，绘制频数直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频数直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“频数”所占的比例来定高．如我们预先设定以“”为1个单位长度，代表“1”，则若一个组的频数为2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，如此类推．(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个左右时，应分成5～12组，在频数直方图中，小长方形的高就是频数，各组频数之和等于样本容量．类型2 频数直方图的应用【例2】 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频数直方图(如图所示)．(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？[解] (1)由频数直方图得，各组的频数分别为6,12,54,42,24,12，所以样本容量为150，因此第二小组的频率为126＋12＋54＋42＋24＋12＝0.08．(2)由频数直方图得达标的各组频数分别为54,42,24,12，可估计该校高一年级学生的达标率为54＋42＋24＋12150×100%＝88%．频数直方图的性质：因为小矩形的高表示频数，各组频数的和为样本容量，各组的频率＝频数/样本容量，即样本容量＝频数/相应的频率.类型3 统计图表的综合应用【例3】 如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位：℃)的扇形统计图．[解]该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：日期12345678910最低气温(℃)－3－20－1120－122其中最低气温为－3 ℃的有1天，占10%，最低气温为－2 ℃的有1天，占10%，最低气温为－1℃的有2天，占20%，最低气温为0℃的有2天，占20%，最低气温为1℃的有1天，占10%，最低气温为2℃的有3天，占30%，扇形统计图如图所示．若本例中条件不变，绘制该市3月1日到3月10日最低气温(单位：℃)的频数直方图．[解]该城市3月1日到3月10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：日期12345678910最低气温－3－20－1120－122 (℃)其中最低气温为－3 ℃的有1天，最低气温为－2 ℃的有1天，最低气温为－1 ℃的有2天，最低气温为0 ℃的有2天，最低气温为1 ℃的有1天，最低气温为2 ℃的有3天．频数直方图如图所示．折线统计图的读图方法(1)读折线统计图时，首先要看清楚直角坐标系中横、纵坐标表示的意义，其次要明确图中的数量及其单位．(2)在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．14.3.2频率直方图知识点1频率直方图把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为组距，然后以此线段为底作矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率直方图．(1)对数据分组时，组距、组数的确定有没有固定的标准？(2)当样本容量不超过100时，分多少组合适？[提示](1)组距与组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．在确定分组区间的端点，即分点时，应对分点进行适当调整，使分点比数据多一位小数，并确保每个数据均能落在一个区间内，而不是处于区间的端点．(2)组数与样本容量有关，一般地，样本容量越大，分的组数也越多．当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5至12组．知识点2频率折线图如果将频率直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来，并将两边端点向外延伸半个组距，就得到频率折线图，简称折线图．重点题型类型1频率分布表的制作及应用【例1】(1)容量为20的样本数据，分组的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数234542数据落在区间[10,40)的频率为________．(2)已知一个样本数据：2723252729312730323128262729282426272830以2为组距，列出频率分布表．(1)0.45[数据落在区间[10,40)内的频数为9，样本容量为20，所求频率为9 20＝0.45．故填0.45．](2)[解]①计算最大值与最小值的差：最大值为32，最小值为23，它们的差为32－23＝9．②已知组距为2，决定组数：因为92＝4.5，所以组数为5．③决定分点：[22.5,24.5)，[24.5,26.5)，[26.5,28.5)，[28.5,30.5)，[30.5,32.5]．④列频率分布表如下：分组频数频率[22.5,24.5)20.1[24.5,26.5)30.15[26.5,28.5)80.4[28.5,30.5)40.2[30.5,32.5]30.15合计2011．频率、频数和样本容量的关系为频率＝频数样本容量，利用此式可知二求一．2．制作频率分布表的步骤(1)求全距，决定组数与组距，组距＝全距组数；(2)分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间(或左开右闭区间)，最后一组取闭区间；(3)登记频数，计算频率，列出频率分布表．提醒：(1)在制作频率分布表时，分组过多或过少都不好．分组过多会给制作频率分布表带来困难，分组过少虽减少了操作，但不能很好地反映总体情况．一般样本容量越大，所分组数应越多．(2)所分的组数应力求“取整”．组数k＝全距组距，若k∈Z，则组数为k；否则，组数为大于k的最小整数，这时需适当增大全距，在两端同时增加适当的范围．(3)在决定分点时，应避免将样本中的数据作为分点，常将分点的数值取比样本中的数据多一位小数．类型2频率直方图、折线图的制作与应用【例2】有同一型号的汽车100辆，为了解这种汽车每耗油1 L所行路程的情况，现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油1 L所行路程试验，得到如下样本数据(单位：km)：13.7,12.7,14.4, 13.8,13.3,12.5,13.5,13.6，13.1，13.4，其分组如下：分组频数频率[12.45,12.95)[12.95,13.45)[13.45,13.95)[13.95,14.45]合计10 1.0(1)(2)根据上表，在给定坐标系中画出频率直方图及频率折线图；(3)根据上述图表，估计总体数据落在[12.95,13.95)中的可能性．[解](1)频率分布表如下．分组频数频率[12.45,12.95) 2 0.2 [12.95,13.45) 3 0.3 [13.45,13.95) 4 0.4 [13.95,14.45]1 0.1 合计101.0(2)频率直方图及频率折线图如图．(3)根据上述图表，可知数据落在[12.95,13.95)中的频率为0.3＋0.4＝0.7，故总体数据落在[12.95,13.95)中的可能性为0.7．1．制作频率直方图的方法步骤 (1)制作频率分布表．(2)建立直角坐标系：把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，纵轴表示频率组距． (3)画矩形：在横轴上标明各组端点值，以相邻两点间的线段为底，作高等于该组的频率组距的矩形，这样得到一系列矩形，就构成了频率直方图．2．频率折线图的制作步骤 (1)取每个矩形上底边中点． (2)顺次连接各个中点．(3)取值区间两端点需分别向外延伸半个组距，并取此组距上在x 轴上的点与折线的首、尾分别相连．3．解决频率直方图的相关计算 (1)频率组距×组距＝频率，即小长方形的高乘以宽即为落在相应区间数据的频率． (2)频数样本容量＝频率，此关系式的变形为频数频率＝样本容量．提醒：频率直方图中，每个矩形的高为频率组距，面积为对应组的频率．14.4用样本估计总体14.4.1用样本估计总体的集中趋势参数知识点平均数、众数与中位数的定义(1)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值．(2)众数：一组数据中出现次数最多的数．(3)中位数：一组数据按照从小到大的顺序排列后，如果数据的个数为奇数，处于正中间位置的数．如果数据的个数是偶数，则取正中间两个数据的平均数．(1)中位数一定是样本数据中的一个数吗？(2)一组数据可以有几个众数？中位数是否也具有相同的结论？[提示](1)不一定．一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数是中位数；如果有偶数个数据，则取中间两个数据的平均数是中位数．(2)一组数据中可能有一个众数，也可能有多个众数，中位数只有唯一一个．重点题型类型1平均数、中位数和众数的计算【例1】已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有() A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞aD[由题意得a＝110(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝15710＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞a．](1)求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照。

高中数学必修二第九章统计基础知识点归纳总结单选题1、下列调查所抽取的样本具有代表性的是（）A．利用某地七月份的日平均最高气温值估计该地全年的日平均最高气温B．在农村调查市民的平均寿命C．利用一块实验水稻田的产量估计水稻的实际产量D．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验答案：D分析：根据抽取样本要具的广泛性和代表性，抽取的样本必须是随机的，逐个分析判断即可A项中某地七月份的日平均最高气温值不能代表全年的日平均最高气温；B项中在农村调查得到的平均寿命，不具代表性；C项中利用一块实验水稻田的产量估计水稻的实际产量，不具代表性；D项抽取的样本是随机的，具有代表性.故选：D2、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案：C分析：根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02×3=0.10=10%,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%> 50%,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+ 9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.小提示：本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的×组距.估计值.注意各组的频率等于频率组距3、下列调查方式合适的是（）.A．为了了解一批头盔的抗压能力，采用普查的方式B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式D．为了了解一个寝室的学生（共5个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式答案：C分析：根据抽查和普查的特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.对于选项A，采用普查的方式测试头盔的抗压能力，成本较高，不适合，故A错误；对于选项B，采用普查的方式测试玉米种子的发芽率，较为繁琐且工作量较大，不适合，故B错误；对于选项C，采用抽查的方式了解河流的水质，适合，故C正确；对于选项D，为了了解5个人每周体育锻炼的时间，适合采用普查的方式，故D错误．故选：C．4、2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1~11班植树量的数据(单位：棵)，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确的是（）A．各班植树的棵数不是逐班增加的B．4班植树的棵数低于11个班的平均值C．各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数D．1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳答案：C分析：从图中直接观察可以判定AD正确，结合平均数的定义，将比4班多的里面取出部分补到比4班少的班中，可以使得4班的植树量最少，从而判定B正确；结合中位数的定义可以判定C错误.从图可知，2班的植树量少于1班，8班的植树量少于7班，故A正确；4班的指数棵数为10，11个班中只有2、3、8班三个的植树棵数少于10，且大于5棵，其余7个班的植树棵数都超过10棵，且有6、7、9、10、11班五个班的植树棵数都不少于15棵，将这五个班中的植树棵数各取出5棵，加到2、3、8班中取，除4班外，其余各班的植树棵数都超过了4班，所以4班植树的棵数低于11个班的平均值，故B正确；比6班植树多的只有9、10、11三个班，其余七个班都比6班少，故6班所对应的植树棵数不是中位数，故C是错误的；1到5班的植树棵数的极差在10以内，6到11班的植树棵数的极差超过了15，另外从图明显看出，1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳，故D正确；综上，不正确的只有C，故选：C.小提示：本题考查频数折线图的意义，涉及平均数，中位数，波动大小的判定，难点是平均数的估算，这里采用取长补短法进行估算，可以避免数字的计算.5、2020年广东12月份天气预报历史记录中1号至8号的数据如表所示，则（）C．这8天的最低气温的极差为5°C D．这8天的最低气温的中位数为11.5°C答案：D分析：由极差等于一组数据中的最大值与最小值的差，并根据中位数的定义，求最高、最低气温数据的中位数即可判断各项的正误.=22°C，这8天的最低气温的这8天的最高气温的极差为23−19=4°C，这8天的最高气温的中位数为21+232=11.5°C，故选：D．极差为15−9=6°C，这8天的最低气温的中位数为11+1226、某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：66674037146405711105650995866876832037905716031163149084452175738805905223594310若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（）A．10B．09C．71D．20答案：B分析：按照题意依次读出前4个数即可.从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个个体的编号为09，故选：B7、为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间[300,500)的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为A．0B．1C．2D．3答案：D解析：根据直方图求出a=0.0025，求出[300,500)的频率，可判断①；求出[200,500)的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为0.5的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.由(0.001+0.0015+0,002+0.0005+2a)×100=1，a=0.0025，[300,500)的频率为(0.002+0.0025)×100=0.45，①正确；[200,500)的频率为(0.0015+0.002+0.0025)×100=0.55，②正确；[200,400)的频率为0.3，[200,500)的频率为0.55，中位数在[400,500)且占该组的4，5×100=480，③正确.故中位数为400+0.5−0.30.25故选:D.小提示：本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题8、2021年是中国共产党成立100周年，某学校团委在7月1日前，开展了“奋斗百年路，启航新征程”党史知识竞赛.团委工作人员将进入决赛的100名学生的分数（满分100分且每人的分值为整数）分成6组：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]得到如图所示的频率分布直方图，则下列关于这100名学生的分数说法错误的是（）A．分数的中位数一定落在区间[85,90)B．分数的众数可能为97C．分数落在区间[80,85)内的人数为25D．分数的平均数约为85答案：B分析：根据小矩形的面积之和等于1，求出b=0.05，根据中位数的求法可判断A；根据众数的求法可判断B；由在区间[80,85)上的概率可判断C；由平均数的的计算公式：小矩形的底边中点横坐标与小矩形面积的乘积之和可判断D.A，由频率分布直方图可得(0.01+0.02×2+0.03+b+0.07)×5=1，解得b=0.05，前三组的概率为(0.02×2+0.05)×5=0.45<0.5，前四组的概率为(0.02×2+0.05+0.07)×5=0.7>0.5，所以分数的中位数一定落在第四组[85,90)内，故A正确；B，分数的众数可能为87.5，故B错误；C，分数落在区间[80,85)内的人数约为0.05×5×100=25，故C正确.D，分数的平均数为：72.5×0.02×5+77.5×0.02×5+82.5×0.05×5+87.5×0.07×5+92.5×0.03×5+97.5×0.01×5=85，故D正确.故选：B多选题9、2020年突如其来的新冠肺炎疫情对房地产市场造成明显的冲击，如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断，则判断正确的是（）A．日成交量的中位数是16B．日成交量超过平均成交量的只有1天C．10月7日认购量量的增长率大于10月7日成交量的增长率D．日认购量的方差大于日成交量的方差答案：BD解析：根据拆线图判断各数据特征后判断各选项．由拆线图日成交量的中位数是26，A错；日成交量均值为13+8+32+16+26+38+1667≈42.7，大于均值的只有一天，B正确；10月7日认购量量的增长率为y1=276−112112≈1.464，成交量的增长率为y2=166−3838≈3.368，显然C错；日认购量的均值为223+105+91+107+100+112+276≈144.857，7由各数据与均值的差可以看出日认购量的方差大于日成交量的方差，D正确．故选：BD．小提示：关键点点睛：本题考查统计图表，考查拆线图的识别．解题关键是由拆线图得出各数据，然后求得各数据特征．如中位数，均值，增长率，方差，解题中还要善于估值，如本题中的方差，从而大致比较出大小．10、成立时间少于10年.估值超过10亿美元且未上市的企业，称为独角兽企业.2021年中国新经济独角兽企业分布较广泛､覆盖居民生活的各个方面.如图为2021年中国新经济独角兽企业TOP200的行业分布图，中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京､沪､粤三地的企业数量共同占比达到69%.下列说法正确的是（）A．随着智能出行与共享经济观念的普及，汽车交通行业备受投资者关注B．这12个行业TOP200榜单中独角兽企业数量的中位数是17C．中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京､沪､粤三地的企业超过130家D．2021年中国新经济独角兽企业TOP200榜单中汽车交通､企业服务､文化娱乐的企业数量共同占比超过40% 答案：ABC分析：结合图表对选项进行分析，由此确定正确选项.A选项，由图可知，汽车交通行业独角兽企业TOP200榜单中数量最多，是由A选项正确.=17，B选项正确.B选项，数据为8,8,12,13,16,17,17,18,18,19,25,29，中位数为17+172C选项，200×69%=138>130，所以C选项正确.×100%=36.5%<40%，D选项错误.D选项，汽车交通､企业服务､文化娱乐占比29+25+19200故选：ABC11、立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A．图中的x值为0.020B．这组数据的极差为50C．得分在80分及以上的人数为400D．这组数据的平均数的估计值为77答案：ACD分析：根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.由(0.005+x+0.035+0.030+0.010)×10=1，可解得x=0.020，故选项A正确；频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B不正确；得分在80分及以上的人数的频率为(0.030+0.010)×10=0.4，故人数为1000×0.4=400，故选项C正确；这组数据的平均数的估计值为：55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77故选项D正确.故选：ACD.填空题12、某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380，为了调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为________答案：60分析：根据分层抽样，每层的抽样比相同计算即可.因为学校有高中学生1000人，抽取一个样本量为200的样本，故应抽取高二年级学生的人数为2001000×300=60.所以答案是：6013、有一组样本数据x1,x2,x3,x4，该样本的平均数和方差均为m．在该组数据中加入一个数m，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为__________．答案：45m##0.8m分析：由平均数和方差的计算公式直接计算即可.样本数据x1,x2,x3,x4，该样本的平均数和方差均为m，在该组数据中加入1个数m，则新样本数据的平均数x̅=15×(4×m+m)=m，方差为s2=15×[4×m+(m−m)2]=45m．所以答案是：45m.14、由6个实数组成的一组数据的方差为S12，将其中一个数5改为2，另一个数4改为7 ，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为S22，则S22−S12=________．答案：2分析：根据平均数和方差的定义进行求解即可.因为将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变，所以这6个实数组成的一组数据的平均数不变，设为x，设没有变化的4个数与平均数差的平方和为S，所以S22−S12=[S+(2−x)2+(7−x)2]−[S+(5−x)2+(4−x)2]6=2，所以答案是：2解答题15、从甲､乙两人中选选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：甲78686591074乙9578768677(1)分别计算甲､乙两人射击命中环数的平均数：(2)选派谁去参赛更好？请说明理由.答案：(1)甲乙的平均数均为7；(2)选派乙，理由见解析.分析：（1）应用平均数的求法求甲乙平均数；（2）由（1）知甲乙平均数相同，求出甲乙的方差并比较大小，即可确定选派方法.（1）由题设，甲的平均数为x̅1=7+8+6+8+6+5+9+10+7+410=7，乙的平均数为x̅2=9+5+7+8+7+6+8+6+7+710=7.（2）甲的方差为s12=110∑(x i−x̅1)210i=1=0+1+1+1+1+4+4+9+0+910=3，乙的方差为s22=110∑(x i−x̅2)210i=1=4+4+0+1+0+1+1+1+0+010=1.2.由（1）知：x̅1=x̅2，而s12>s22，所以选派乙去参赛更好.。

必修2数学第九章统计知识点一、随机抽样。

1. 简单随机抽样。

- 定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤ N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

- 常用方法：抽签法和随机数法。

- 抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。

- 随机数法：利用随机数表、随机数生成器或统计软件来产生随机数，根据随机数抽取样本。

2. 系统抽样。

- 定义：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样。

- 步骤：- 先将总体的N个个体编号。

- 确定分段间隔k，对编号进行分段，当(N)/(n)（n是样本容量）是整数时，取k = (N)/(n)；当(N)/(n)不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数N'能被n整除，这时k=(N')/(n)。

- 在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤ k)。

- 按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l + k)，再加k得到第3个个体编号(l+2k)，依次类推，直到获取整个样本。

3. 分层抽样。

- 定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样。

- 步骤：- 根据已有的信息，将总体分成互不相交的层。

- 计算各层中个体的个数与总体个数的比。

- 按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量。

- 在每一层中进行简单随机抽样或系统抽样，获取相应的样本个体，合在一起得到分层抽样的样本。

- 特点：使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法。

二、用样本估计总体。

高中数学统计知识梳理在高中数学学习中，统计是一个非常重要的知识点，它涉及到数据的收集、整理、分析和解释，对我们了解世界，做出科学决策具有重要意义。

下面将对高中数学统计知识进行梳理。

**一、统计数据的收集**统计数据的收集是统计学中的第一步，它是通过各种方式获取有关事物的信息数据。

在高中数学中，我们常常会遇到以下几种方式：1. **实地观察**：直接对事物进行观察，记录所需要的信息。

2. **抽样调查**：从整体中选取一部分进行调查，代表整体情况。

3. **问卷调查**：通过设计合适的问卷收集数据，了解大众的看法和意见。

通过以上方式收集到的数据，会成为我们进行后续统计分析的基础。

**二、统计数据的整理与描述**统计数据的整理与描述是对收集到的数据进行加工处理，总结出一些有意义的信息。

在这一过程中，我们通常采取以下方法：1. **频数表**：将数据按照不同的取值范围进行分类，列出频数，便于分析数据的分布情况。

2. **频数分布直方图**：用矩形条表示各区间的频数，直观地展示数据的分布情况。

3. **数据的中心趋势度量**：包括均值、中位数和众数，帮助我们了解数据的核心特征。

通过整理与描述，我们可以更清晰地了解数据的规律和特点。

**三、统计数据的分析**统计数据的分析是统计学的关键环节，它能帮助我们做出合理的推断和决策。

在高中数学中，统计数据的分析通常包括以下内容：1. **概率统计**：研究随机事件发生的可能性，包括事件的概率计算和性质分析。

2. **参数估计**：通过样本数据对总体参数进行估计，推断总体的特征。

3. **假设检验**：利用抽样分布理论，对总体参数是否符合某种假设进行检验。

统计数据的分析可以帮助我们深入理解数据背后的规律和现象，为我们提供科学依据。

**四、统计学在实际生活中的应用**统计学不仅在学术研究中有着重要作用，更广泛地应用于实际生活中。

比如：1. **人口统计**：帮助政府了解人口结构和分布情况，制定相关政策。

新教材人教A版高中数学必修第二册第九章统计知识点汇总及解题规律方法提炼第九章统计学9.1 随机抽样1.全面调查与抽样调查全面调查是对每一个调查对象进行调查的方法，也被称为普查。

在一个调查中，调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体。

抽样调查是根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法。

从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量。

调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据。

2.简单随机抽样简单随机抽样包括放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样。

放回简单随机抽样是从一个总体含有N（N为正整数）个个体中逐个抽取n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样。

不放回简单随机抽样是如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本。

实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法。

3.总体平均数与样本平均数总体平均数是指总体中所有个体变量值的平均数，记为Y。

如果总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则Y=（Y1+Y2+…+YN）/N。

如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=（∑fiYi）/N。

样本平均数是指从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称y=（y1+y2+…+yn）/n为样本均值，又称样本平均数。

在简单随机抽样中，各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性。

在统计学中，我们常使用样本平均数y来估计总体平均数Y。

高中数学统计知识点统计是一种数学方法，可以将数据做一定的处理，然后归纳，最后将结果清晰的呈现在人们面前。

下面是店铺为你整理的高中数学统计知识点，一起来看看吧。

高中数学统计知识点：统计1.1.1简单随机抽样1.总体和样本在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体.把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量.为了研究总体x 的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：x₁，x₂……，xn 研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.2.简单随机抽样，也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

3.简单随机抽样常用的方法：(1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。

4.抽签法:(1)给调查对象群体中的每一个对象编号(2)准备抽签的工具，实施抽签(3)对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。

5.随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。

1.1.2系统抽样1.系统抽样(等距抽样或机械抽样)：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模)前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。

可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。

如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

(名师选题)部编版高中数学必修二第九章统计知识点总结归纳单选题1、某老师为了解某班50名同学在家学习的情况，决定将本班学生依次编号为01，02，⋅⋅⋅，50.利用下面的随机数表选取10名学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行第2列开始由左到右依次读取两个数字，则选出来的第4名学生的编号为（）7 2 5 6 0 8 1 3 0 2 5 8 3 2 4 9 8 7 0 2 4 8 1 2 9 7 2 8 0 19 8 3 1 0 4 9 2 3 1 4 9 3 5 8 2 0 9 3 6 2 4 4 8 6 9 6 9 3 87 4 8 1A．25B．24C．29D．19答案：C分析：利用随机表法从第1行第2列开始由左到右依次读取两个数字，超过50的跳过，重复的只取一个即可求解.从题中随机数表的第1行第2列开始由左到右依次读取两个数字，超过50的跳过，重复的只取一个可得：25 ，30 ，24，2 9，19，10 ，49 ，23，14，20，故选出来的第4名学生的编号为29.故选：C.2、从某中学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位cm）绘制成频率分布直方图，若要从身高在[150,160)，[160,170)，[170,180]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取16人参加一次活动.则从身高在[170,180]内的学生中选取的人数应为（）A．3B．4C．5D．7答案：B分析：先求得a 的值，然后结合分层抽样的知识计算出正确答案.依题意(0.005+0.015+a +0.035+0.02)×10=1，解得a =0.025，身高在[150,160)，[160,170)，[170,180]三组内的学生比例为0.025:0.035:0.02=5:7:4，用分层抽样的方法选取16人参加一次活动,则从身高在[170,180]内的学生中选取的人数应为4人故选：B3、某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团．已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：其中x ：y ：z ＝5：3：2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35．为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个容量为50的样本进行调查，则从“剪纸”社团的高二年级学生中应抽取的人数为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．10答案：B 分析：先按分层抽样求出高二年级人数，再按样本占总体的比例得解.因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，所以“剪纸”社团的人数占总人数的25，人数为800×25=320． 因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x+y+z =35+3+2=310，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310=96．以从“剪纸”社团的高二年级学生中抽取的人数为96×50800=96×116=6．故选：B.4、某书店新进了一批书籍，下表是某月中连续6天的销售情况记录：本B．1110本C．1340本D．1278本答案：A分析：由表格中的数据可以看出每天的销售数量在一个数值附近波动，故用平均数估计总体即可.(30+40+28+44+38+42)=37（本），该月共31由表中6天的销售情况可得，一天的平均销售量为16天，故该月的销售总量约为37×31=1147（本）．故选: A5、某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（）A．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为35%C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过2.7小时D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间答案：D分析：对A，利用直方图中2小时至2.5小时之间的频率判断A;对B，计算超过3小时的频率可判断B;对C，根据直方图中平均数的公式计算，可判断C;对D，计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D.对A，直方图中2小时至2.5小时之间的频率为(2.5−2)×0.5=0.25，故所抽取的学生中有100×0.25=25人在2小时至2.5小时之间完成作业，故A正确；对B，由直方图得超过3小时的频率为0.5×(0.3+0.2+0.1+0.1)=0.35,所以B正确；对C，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：1.25×0.05+1.75×0.15+2.25×0.25+2.75×0.20+3.25×0.15+3.75×0.10+4.25×0.05+4.75×0.05=2.75>2.7，所以C正确；对D，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为0.5×(0.5+0.4)=0.45<0.5，所以D错误.故选:D．6、人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，下图是这六次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是（）A．人口数逐次增加，第二次增幅最大B．第六次普查人数最多，第四次增幅最小C．第六次普查人数最多，第三次增幅最大D．人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小答案：C分析：人口数由柱状图判断，增幅由折线图判断.A.人口数逐次增加，第三次增幅最大，故错误；B.第六次普查人数最多，第六次增幅最小，故错误；C.第六次普查人数最多，第三次增幅最大，故正确；D.人口数逐次增加，从第三次开始增幅减小，故错误；故选：C7、某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：66674037146405711105650995866876832037905716031163149084452175738805905223594310若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（）A．10B．09C．71D．20答案：B分析：按照题意依次读出前4个数即可.从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个个体的编号为09，故选：B8、某大学工程学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，则应抽取博士生的人数为（）A．20B．25C．40D．50答案：A分析：直接利用分层抽样，即可计算.因为学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，×180=20．所以应抽取博士生的人数为2001200+400+200故选：A多选题9、2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》（以下简称《宣言》）.承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程.为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如下图所示：经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的2.5倍，预计该地区（）A．2030年煤的消费量相对2020年减少了B．2030年天然气的消费量是2020年的5倍C．2030年石油的消费量相对2020年不变D．2030年水、核、风能的消费量是2020年的7.5倍答案：BD分析：设2020年该地区一次能源消费总量为a，计算出2030年该地区煤、石油、天然气以及水、核、风能的消费量，逐项判断可得出合适的选项.设2020年该地区一次能源消费总量为a，2020年煤的消费量为0.6a，规划2030年煤的消费量为a×2.5×0.3=0.75a>0.6a，故A错误；2020年天然气的消费量为0.1a，规划2030年天然气的消费量为a×2.5×0.2=0.5a=5×0.1a，故B正确；2020年石油的消费量为0.2a，规划2030年石油的消费量为a×2.5×0.2=0.5a>0.2a，故C错误；2020年水、核、风能的消费量为0.1a，规划2030年水、核、风能的消费量为a×2.5×0.3=0.75a=7.5×0.1a，故D正确.故选：BD.10、冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）A．中位数为3，众数为2B．均值小于1，中位数为1C．均值为2，标准差为√2D．均值为3，众数为4答案：BC分析：根据题意，设连续7天，每天体温高于37.3℃的人数分别为a,b,c,d,e,f,g，可得0≤a≤b≤c≤d≤e≤f≤g，然后根据选项，结合反例依次判定，即可求解.由题意，连续7天，每天体温高于37.3℃的人数分别为a,b,c,d,e,f,g，可得0≤a≤b≤c≤d≤e≤f≤g，对于A中，取2,2,2,2,3,4,6，则满足中位数为3，众数为2，但第7天的人数6>5，所以A不正确；对于B中，若g≥6，由中位数为1，可知均值为1(a+b+c+d+e+f+g)≥1，与均值小于1矛盾，所以7B正确；对于C中，当均值为2，标准差为√2时，a+b+⋯+g=14，且(a−2)2+⋯+(g−2)2=14，若g≥6，则(a−2)2+(b−2)2+⋯+(g−2)2>14，例如：1,1,1,1,2,3,5，符合题意，所以C正确；对于D中，取0,1,2,4,4，4,6，则满足均值为3，众数为4，但第7天人数6>5，所以D不正确.故选：BC.11、小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（）A．x+y=180B．该组数据的均值一定为90C．该组数据的众数一定为84和96D．若要使该总体的标准差最小，则x=y=90答案：ABD分析：依题意可得x+y=180，即可求出平均数，即可判断A、B，再利用特殊值判断C，利用基本不等式判断D；(81+84+84+87+x+y+93+解：因为总体的中位数为90，所以x+y=180，所以该组数据的均值为11096+96+99)=90，故A正确，B正确，当x=y=90时，众数为84，90，96，当x=87，y=93时，众数为84，87，93，96，故C错误；要使该总体的标准差最小，即方差最小，即(x−90)2+(y−90)2最小，又(x−90)2+(y−90)2≥(x+y−180)2=0，当且仅当x−90=y−90时，即x=y=90时等号成立，故D正确．2故选：ABD填空题12、某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了50个样本，若样本数据x1,x2,⋯,x50的方差为8，则数据3x1−1,3x2−1,⋯,3x50−1的方差为___________.答案：72分析：根据方差的性质可得答案.样本数据x1,x2,⋯,x50的方差为8，所以数据3x1−1,3x2−1,⋯,3x50−1的方差为32×8=72.所以答案是：72.13、某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．答案：65分析：利用百分位数的定义求解.解：成绩在[20,60)的频率是(0.005+0.01)×20=0.3，成绩在[20,80)的频率为0.3+0.02×20=0.7，所以第40百分位数一定在[60,80)内，×20=65，所以这次数学测试成绩的第40百分位数是60+0.4−0.30.4所以答案是：65。

洋葱数学高一必修二统计摘要：一、统计学简介1.统计学的定义2.统计学的研究对象3.统计学的应用领域二、数据的收集与整理1.数据的来源2.数据的收集方法3.数据的整理三、描述性统计分析1.频数与频率分布2.图表法3.统计量度四、概率论基础1.随机实验2.样本空间与事件3.概率公理体系五、抽样分布与参数估计1.抽样分布2.参数估计3.置信区间六、假设检验1.假设检验的基本思想2.常见的检验方法3.检验的误差正文：统计学是研究数据收集、整理、分析与解释的科学方法。

它以实际数据为研究对象，通过对数据的观察和分析，来揭示数据背后的规律和趋势。

统计学应用广泛，涉及政治、经济、社会、医学、生物等各个领域。

数据的收集与整理是统计学的基础。

数据来源于各种渠道，如调查、实验、观测等。

收集数据的方法有抽样、全面调查等。

数据整理包括数据清洗、数据转换、数据汇总等步骤，目的是将杂乱无章的数据转化为可供分析的格式。

描述性统计分析是统计学的重要内容。

通过频数与频率分布，我们可以了解数据的集中趋势和离散程度。

图表法如条形图、饼图、折线图等可以帮助我们直观地了解数据特征。

统计量度如平均数、中位数、众数、标准差等可以更准确地描述数据的整体状况。

概率论是统计学的理论基础。

它研究随机现象的规律，为统计推断提供理论依据。

随机实验是概率论的研究对象，样本空间是所有可能结果的集合。

概率公理体系是概率论的基本理论，包括概率的基本定义、性质和运算法则。

抽样分布与参数估计是统计学的重要应用。

抽样分布描述了样本统计量在不同取值下的概率分布。

参数估计是根据样本数据估计总体参数，如均值、方差等。

置信区间是参数估计的一种表示形式，它给出了参数的一个区间估计。

假设检验是统计学中的核心方法。

它通过比较观测值与理论值，来判断原假设是否成立。

常见的检验方法有t 检验、方差分析、卡方检验等。

检验过程中可能出现误差，如第一类错误和第二类错误，需要在实际应用中权衡。

高一下册数学统计知识点高一下册是数学学科的重要阶段，其中包含了许多重要的统计学知识点。

统计学是数学中的一门分支，通过采集、分析和解释数据来研究现象和问题。

它在社会科学、自然科学和商业领域都有广泛的应用。

接下来，我将介绍几个重要的统计学知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握。

1. 数据的收集与整理统计学的前提是收集和整理数据。

数据可以通过实地观察、问卷调查、实验等方式获取。

在收集数据时，我们要注意数据的准确性和全面性，确保数据的真实反映研究对象。

整理数据主要有两种方式：定性和定量。

定性数据用文字描述事物的性质、特点或类别，例如性别、颜色等；而定量数据用具体数值表示事物的属性，如身高、体重等。

2. 描述统计量描述统计量是对数据进行概括和描述的指标。

其中最常用的包括平均值、中位数、众数、标准差和方差等。

平均值是将数据相加后除以数据个数得到的结果，它反映了数据的集中趋势；中位数是将数据按大小排列后，位于中间位置的数，它反映了数据的中间位置；众数是在一组数据中出现次数最多的数，它反映了数据的重点关注对象；标准差和方差则是用来衡量数据的离散程度，反映数据的分散程度。

3. 概率与事件概率是统计学中的重要概念，它描述了事件发生的可能性。

概率的范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

事件是样本空间的一个子集，可以包含一个或多个样本点。

例如，抛硬币的结果可以是正面或反面，它们分别构成了事件。

4. 随机变量与概率分布随机变量是数学统计中的一个重要概念，它把样本空间上的每个样本点都与一个实数对应起来。

随机变量分为离散型和连续型两种。

离散型随机变量的取值是可数的，例如扔骰子的结果；而连续型随机变量的取值是连续的，例如身高体重等。

概率分布描述了随机变量取值的可能性，其中最常见的是离散型的概率质量函数和连续型的概率密度函数。

5. 抽样与统计推断当我们无法对整个总体进行调查时，可以通过抽样来获取代表性的样本，并且通过样本推断总体的特征。

高二数学下册统计学知识点统计学是数学的一个重要分支，旨在研究和描述数据的收集、分析和解释方法。

在高二数学下册中学习统计学，我们将深入了解统计学的基本概念、方法和应用。

本文将重点介绍高二数学下册的统计学知识点，包括数据的收集与整理、描述统计、概率与统计以及统计推断等内容。

一、数据的收集与整理数据的收集是统计学的基础，合理、全面地收集数据对后续的统计分析至关重要。

数据的收集可以通过观察、实验或调查等方式进行。

1. 数据的类型在统计学中，数据可以分为定性数据和定量数据。

定性数据是指描述性的、非数值的数据，如性别、颜色等；而定量数据是指具有数值性质的数据，如身高、成绩等。

2. 数据的整理在数据收集完毕后，需要对数据进行整理和分类，以便进行后续的分析。

常用的整理方法包括分类频数表、统计图表等。

分类频数表可以清晰地展示数据的分布情况，而统计图表则能够直观地展示数据的特征。

二、描述统计描述统计是通过对数据的总结和分析，来揭示数据的分布规律和特征。

常用的描述统计方法包括集中趋势与离散程度的测度。

1. 集中趋势的测度集中趋势的测度可以反映数据的中心位置，常用的测度方法包括均值、中位数和众数。

均值是数据的平均值，中位数是按大小排列后的中间值，众数是数据中出现次数最多的值。

2. 离散程度的测度离散程度的测度可以反映数据的波动情况，常用的测度方法包括极差、方差和标准差。

极差是数据的最大值和最小值之差，方差是数据偏离均值的平均平方差，标准差是方差的平方根。

三、概率与统计概率与统计是统计学的重要内容，旨在研究和描述随机现象发生的规律和概率分布。

1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，常用的概率计算方法包括频率法、古典概型和几何概型。

频率法是通过统计实验的结果来计算概率，古典概型是通过等可能性事件的数量来计算概率，几何概型是通过几何图形来计算概率。

2. 离散型随机变量与概率分布离散型随机变量是指在一定范围内取有限个值的随机变量，常用的离散型概率分布包括二项分布、泊松分布和几何分布。

高中统计的核心知识点统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的科学。

在高中阶段，学生开始接触统计学的基本概念和方法。

本文将逐步介绍高中统计学的核心知识点，帮助学生建立对统计学的基础理解。

第一步：概念和术语在学习统计学之前，我们首先需要了解统计学中常用的概念和术语。

以下是一些重要的概念和术语：1.总体和样本：总体是我们研究的对象的全体，而样本是从总体中选取的一部分。

通过研究样本，我们可以推断总体的特征。

2.参数和统计量：参数是总体的特征，统计量是样本的特征。

通过统计量的计算和分析，我们可以推断参数的值。

3.随机变量：随机变量是可能取多个值的变量。

它可以是离散型的（例如，掷骰子的点数）或连续型的（例如，身高）。

4.频数和频率：频数是某个数值在样本中出现的次数，频率是频数除以样本大小的比值。

5.均值和中位数：均值是样本或总体中所有数值的平均值，中位数是将数据按大小排序后位于中间的数值。

第二步：数据的收集和整理统计学的第一步是收集和整理数据。

以下是一些常用的数据收集和整理方法：1.调查问卷：通过编制问卷并发放给调查对象，可以收集大量的数据。

2.实验设计：通过进行实验并观察实验结果，可以收集数据，并根据实验设计进行数据分析。

3.观察法：直接观察并记录感兴趣的事件，以便收集数据。

4.数据整理：在收集数据后，需要对数据进行整理和清洗，以去除错误和异常值，并使得数据适合分析。

第三步：数据的描述和展示数据的描述和展示是统计学的重要内容。

以下是一些常用的数据描述和展示方法：1.频数分布表和频率分布图：通过统计每个数值出现的频数或频率，可以将数据整理成表格或图形，以便更好地了解数据的分布情况。

2.直方图和条形图：直方图和条形图可以对数据进行可视化，并展示数据的分布情况。

3.累积频率分布图和箱线图：累积频率分布图和箱线图可以更详细地展示数据的分布情况，包括中位数、上下四分位数等。

第四步：数据的分析和推断在收集、整理和描述数据后，我们可以进行数据的分析和推断。