人教版九年级数学下册第二十八章达标测试卷及答案【新编辑】

人教版九年级数学下册28.1一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝10，AC ＝8，则sinA 等于( ) A.35 B.45 C.34 D.432．在直角三角形ABC 中，若各边的长都扩大到原来的5倍，则∠A 的正弦值( ) A ．扩大到原来的5倍 B ．缩小到原来的15C ．不变D ．不能确定3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则sinB 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列表示正确的是( ) A ．sin A ＝1213 B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1255．在正方形网格中，△ABC 的位置如图，则sin B 的值为( ) A ．12B ．22C ．32 D ．336．如图，CD 是Rt △ABC 的高，∠ACB ＝90°，下列用线段比表示sin α的值，错误的是( )A ．CD BCB ．AC ABC ．AD AC D ．CD AC7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝( )A ．4B ．6C ．8D ．108．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝35，则斜边上的高等于( )A.6425B.4825C.165D.1259. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( ) A.43 B.34 C.35 D.4510. 如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD ＝( ) A.12 B.34 C.45 D.35二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠α＝_____.12．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，CD ＝4，AC ＝6，则sinB 的值是_______. 13．如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为_____.14．如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC＝7，AB＝4，则sinC的值为______.15．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sinα＝_____.16. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos C＝．17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sin A=_______，sin B=_________．18. 如图，则图中∠A的正弦值分别是___________、__________．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，⊙O的半径为3，弦AB的长为4.求sinA的值．20．(6分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝14，BC ＝2，求AC ，AB 的长．21．(6分)如图，菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE ⊥AB ，sinA ＝35，求DE 的长和菱形ABCD 的面积．22．(6分) 如图，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，求sinB 的值．23．(6分) 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，求sinA 的值．24.(8分)如图，AB 是半圆的直径，点O 为圆心，OA ＝5，弦AC ＝8，OD ⊥AC ，垂足为E ，交⊙O 于D ，连接BE.设∠BEC ＝α，求sinα的值．25．(8分) 如图，CD 是Rt △ABC 的高，∠ACB ＝90°，BC ＝10，sin ∠DCA ＝25，求CD 的长．参考答案：1-5ACBAB 6-10DDBDD 11. 32 12. 34 13. 24 14. 25 15. 55 16. 25 5 17. 35，45 18. 33434，25519. 解：过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则有AC ＝BC ， ∵AB ＝4，∴AC ＝2，在Rt △AOC 中，OC ＝OA 2－AC 2＝32－22＝5， ∴sinA ＝OC OA ＝5320. 解：∵sinA ＝14，∴BC AB ＝14，∴AB ＝4BC ＝4×2＝8，∴AC ＝AB 2－BC 2＝82－22＝215 21. 解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°， 在Rt △AED 中，sinA ＝DEAD ，即35＝DE10，解得DE ＝6 cm ， ∴菱形ABCD 的面积为10×6＝60(cm 2)22. 解：作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝90°， ∵∠BAC ＝120°，∴∠DAC ＝180°－∠BAC ＝60°， 在Rt △ADC 中，AC ＝2，∴AD ＝1，CD ＝3，∴BD ＝5， 在Rt △BCD 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝27， ∴sinB ＝CD BC ＝327＝211423. 解：作AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，由勾股定理得AB ＝AC ＝25，BC ＝22，AD ＝32， 由BC·AD ＝AB·CE ，得CE ＝22×3225＝655，∴sinA ＝CE AC ＝65525＝3524. 解：连接BC ，∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB ＝90°， 在Rt △ABC 中，AC ＝8，AB ＝10， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝6，∵OD ⊥AC ， ∴AE ＝CE ＝12AC ＝4，在Rt △BCE 中，BE ＝BC 2＋CE 2＝213， ∴sin α＝BC BE ＝6213＝3131325. 解：∵CD 是Rt △ABC 的高，∠ACB ＝90°， ∴∠DCA ＋∠A ＝90°， ∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠B ＝∠DCA.∵sin ∠DCA ＝25，∴sin B ＝25，∴CD BC ＝25. ∵BC ＝10，∴CD ＝4.28.2.1解直角三角形一、基础训练1．在R t △ABC 中，∠C =900，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，那么（1）三边之间的关系为 ；（2）锐角之间的关系为 ； （3）边角之间的关系为 ． 2．填空：在Rt △ABC 中，∠C =90°，（1）已知a=4，b=8，则c= ， （2）已知b=10，∠B =60°，则a= ，c= ． （3）已知c=20，∠A =60°，则a= ，b= ．3．已知等腰△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，则sin B = ,cos B = ,tan C = ．4．在△ABC 中，∠C ＝90°，a=3 2 ,b=3 6 ，则∠A = °，边c= ．二、典型例题例1．由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C =90°： （1） 已知c=20，∠A =45°； （2） 已知a+c=12，∠B =60° 分析 利用三角函数进行计算．例2．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察点与第一次观察点的距离是多少米？分析 利用30°、45°的正切进行计算，再相减即可．三、拓展提升某省计划将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？分析 过C 作AB 的垂线，垂足为D ，计算出CD 的长，如果 CD >0.7km ，则不会穿过公园，如果CD <0.7km ，则穿过公园．四、课后作业1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，则∠A 、a 、c 关系式是c= ． 2．在Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，b=310，则a= ，c= ．CAB3．已知在直角梯形ABCD 中，上底CD =4，下底AB =10，非直角腰BC =34，则底角∠B = ． 4．若∠A 是锐角，且cos A =53，则cos （900—A ）= ． 5．在△ABC 中，∠C=90°，（1）已知∠A =30°，BC =8cm ，求AB 与AC 的长；（2）已知∠A =60°，AC =3cm ，求AB 与BC 的长．6．设直线y=3x -3与x 轴所成的锐角为α，试求锐角α．7.Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，两直角边的和为14，求这个直角三角形的面积．8．如图，在△ABC 中，∠C =90︒，∠BAC =30︒，延长CA 至D ，使AD =AB ，试由图求tan15︒的值．DC BA 第8题答案一、基础训练1. (1)a 2 + b 2 =c 2 (2)∠A + ∠B=90°(3) sinA=cosB= a c cosA=sinB=b c tanA=a b tanB=ba2.(1) 4 5 (2)103 3 203 3 (3) 10 3 103. sinB=1213 cosB=513 tanC= 125 4. 30°6 2 二、典型例题例1 (1)∠B=45° a=b=10 2 (2) ∠C=30°a=4 b=4 3 c=8 例2 5 3 - 5 三、拓展提升点C 到AB 的距离约为0．8082km >0．7km ，所以不会穿过公园. 四、课后作业 1.a sinA 2. a=10 c=20 3.30° 4. 455. (1)AB=8 3 AC=16 (2) AB=2 3 AC=36. 60°7.面积为98 3 -1478. 2 - 3。

初中数学人教版九年级下学期第二十八章测试卷一、单选题（共7题；共14分）1.tan30°的值等于( )A. B. C. D.2.如图，AB是⊙O的直径，C, D是⊙O上AB两侧的点，若∠D＝30°，则tan ∠ABC的值为( )A. B. C. D.3.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）A. AF= CFB. ∠DCF=∠DFCC. 图中与△AEF相似的三角形共有5个D. tan∠CAD=4.在锐角中，，则（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°5.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（）A. B. C. D.6.如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．A. B. 51 C. D. 1017.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AC的长为（）A. 6B. 5C.D.二、填空题（共3题；共3分）8.河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶2，则AB的长是________．9.如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的余弦值是________．10.小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m.三、计算题（共3题；共20分）11.计算：6tan30°+cos245-sin60°12.计算：13.计算：（1）。

（2）。

四、综合题（共2题；共15分）14.如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70o方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50o 方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25o方向上，求灯塔C与码头B之间的距离(结果保留根号)．15.为积极参与文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图。

人教版九年级数学下册第二十八章综合测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列实数中是无理数的是()A．tan 30°B．38 C．17D．492．(母题：教材P84复习题T1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos A等于()A．35B．45C．34D．433．[2023·太原五中模拟]在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝3，则∠B等于()A．15°B．45°C．30°D．60°4．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin B的值为()A．22B．33C．12D． 35．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为()A．34B．43C．35D．456. 为出行方便，近日来越来越多的市民使用了共享单车，图①为单车实物图，图②为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D共线，点D，F，G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为20 cm，当BC＝60 cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为()(结果精确到1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)A．80 cm B．72 cm C．76 cm D．70 cm7．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin E 的值为( ) A ．12B ．22C ．32D ．338．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC 的边OB 在x 轴上，∠AOB ＝60°，B (4，0)，点D ，E 分别是边OB ，OA 上的点，将△OED 沿DE 折叠，使点O 的对应点F 落在边AC 上，若AE ＝AF ，则点F 的坐标为( ) A ．(23，23) B ．(23，4) C ．(3，4) D ．(23，3)9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是12，则等腰三角形顶角的度数为( )A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°10．[2022·泸州]如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(10，4)，四边形ABEF 是菱形，且tan ∠ABE ＝43，若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为( ) A ．y ＝3xB ．y ＝－34x ＋152 C ．y ＝－2x ＋11 D ．y ＝－2x ＋12二、填空题(每题3分，共24分)11. 如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m 高的支柱，则共需钢材约________m(结果取整数)．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)12．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－cos B 2＝0，∠A ，∠B 都是锐角，则∠C ＝________.13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，sin A ＝513，以点C 为圆心，R 为半径作圆，使A ，B 两点一点在圆 内，一点在圆外，那么R 的取值范围是__________．14．(母题：教材P69习题T8)如图，在平行四边形ABCD 中，AD ⊥BD ，AB ＝4，sin A ＝34，则平行四边形ABCD 的面积是______．15．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D落在CB 的延长线上的点D ′处，那么tan ∠BAD ′等于________．16．[2023·连云港]如图，矩形OABC 的顶点A 在反比例函数y ＝kx (x <0)的图象上，顶点B ，C 在第一象限，对角线AC ∥x 轴，交y 轴于点D ．若矩形OABC 的面积是6，cos ∠OAC ＝23，则k ＝________．17．[2022·桂林]如图，某雕塑MN 位于河段OA 上，游客P 在步道上由点O 出发沿OB 方向行走，已知∠AOB ＝30°，MN ＝2OM ＝40 m ，当观景视角∠MPN 最大时，游客P 行走的距离OP 是________m.18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是BC 边上的动点，过点E 作EF ⊥AE交CD 于点F ，点G 在AE 上，且EG ＝EF ，点M ，N 分别为GF ，CD 的中点，连接MN ，则MN 的最小值为________．三、解答题(20题8分，21题10分，其余每题12分，共66分) 19．(母题：教材P68习题T3)计算： (1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°； (2)(3－1)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＋|3－2|＋tan 60°.20．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．21．[2022·鄂尔多斯]如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC的中点，连接OE，DE，B D．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝5，cos∠ABD＝45，求OE的长．22．[2023·重庆]为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(1)求AD的长度．(结果精确到1千米)(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？23．[2023·潜江]为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝34是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)24. “十四五”开局，全面推进乡村振兴，加快农村农业现代化，无人机遥感数据采集引领农业精准发展．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为120 m的A处测得试验田一侧边界N处俯角为60°，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田另一侧边界M处俯角为48°，已知点A，B，M，N在同一平面内，求试验田边界M，N之间的距离．(参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73，结果精确到0.1 m)答案一、1．A2．B3．D【点拨】根据直角三角形的边角关系，求出tan B的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．4．A【点拨】过点A作BC的垂线，与BC的延长线交于点D，在Rt△ABD中，由AD＝3，BD＝3，可得△ABD是等腰直角三角形，计算即可得出答案．5．D6．C【点拨】作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函数求出CH，再求出CH＋AP即可得到答案．7．A8．A【点拨】过A作AH⊥OB于H，作AG⊥EF于G.根据四边形AOBC是菱形，∠AOB＝60°，B(4，0)，可得∠OAC＝120°，OH＝12OA＝2，AH＝3OH＝23，则A(2，23)．又∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，EF＝2EG.∴EG＝AE·cos30°＝32AE.故EF＝3AE.由将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，有OE＝EF＝3AE，从而3AE＋AE＝4，则AE＝23－2，即AF＝23－2，可得F(23，23)．9．D【点拨】有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A＝12，则∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)＝12，则180°－∠BAC＝30°，所以∠BAC＝150°.10．D 【点拨】连接OB ，AC ，它们交于点M ，连接AE ，BF ，它们交于点N ，作直线MN ，则直线MN 为符合条件的直线l ，如图．∵四边形OABC 是矩形， ∴OM ＝BM .∵点B 的坐标为(10，4)， ∴M (5，2)，AB ＝10，BC ＝4. ∵四边形ABEF 为菱形， ∴BE ＝AB ＝10.如图，过点E 作EG ⊥AB 于点G .在Rt △BEG 中，∵tan ∠ABE ＝43，∴EG BG ＝43. 设EG ＝4k ，则BG ＝3k ， ∴BE ＝EG 2＋BG 2＝5k . ∴5k ＝10.∴k ＝2. ∴EG ＝8，BG ＝6. ∴AG ＝4.∴E (4，12)．∵点B 的坐标为(10，4)，AB ∥x 轴， ∴A (0，4)．易知点N 为AE 的中点，∴N (2，8)． 设直线l 的解析式为y ＝ax ＋b ， ∴⎩⎨⎧5a ＋b ＝2，2a ＋b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝12.∴直线l 的解析式为y ＝－2x ＋12.故选D ．二、11.21 【点拨】∵CA ＝CB ，CD ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12A B ．在Rt △ACD 中，∠CAD ＝37°，CD ＝3 m ，∴AC ＝CD sin 37°≈30.6＝5(m)，AD ＝CD tan 37°≈30.75＝4(m)， ∴CA ＝CB ≈5 m ，AB ＝2AD ≈8(m)， ∴AC ＋CB ＋AB ＋CD ≈5＋5＋8＋3＝21(m)． ∴共需钢材约21 m. 12．105°13．5＜R ＜12 【点拨】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，sin A ＝513，∴BC ＝AB ×sin A ＝13×513＝5. ∴AC ＝AB 2－BC 2＝12.∵以点C 为圆心，R 为半径作圆，使A ，B 两点一点在圆内，一点在圆外， ∴5＜R ＜12. 14．3715. 2 【点拨】由题意知BD ′＝BD ＝2 2.在Rt △ABD ′中，tan ∠BAD ′＝BD ′AB ＝ 222＝ 2. 16．－83 【点拨】如图，作AE ⊥x 轴于点E .∵矩形OABC 的面积是6， ∴△AOC 的面积是3，∵∠AOC ＝90°，cos ∠OAC ＝23， ∴OA AC ＝23.∵对角线AC ∥x 轴，∴∠AOE ＝∠OA C ． ∵∠OEA ＝∠AOC ＝90°，∴△OEA ∽△AOC ， ∴S △OEA S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA AC 2，∴S △OEA 3＝49.∵S △OEA ＝12|k |，k <0，∴k ＝－83. 故答案为－83. 17．20318.2 【点拨】如图，连接AC ，BD 交于点O ，由题意得∠BCD ＝90°，∠ACD ＝45°，连接ME ，CM ，由EG ＝EF ，EF ⊥AE ，点M 为GF 的中点，可知EM ⊥GF ，∠MEF ＝45°，所以∠EMF ＝∠BCD ＝90°，故E ，M ，F ，C 在以EF 为直径的圆上，所以 ∠MCN ＝∠MEF ＝45°，则M 在线段AC 上运动，当NM ⊥AC 时，MN 最短，从而可得答案．三、19.【解】(1)原式＝33×12＋1×32＝36＋32＝233.(2)原式＝1＋9＋2－3＋3＝12.20．【解】过C 点作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，∴∠CDB ＝90°. ∵∠ABC ＝120°，∴∠CBD ＝180°－∠ABC ＝60°. ∵BC ＝2，∴sin ∠CBD ＝CD BC ＝CD 2，cos ∠CBD ＝BD BC ＝BD2， 即sin 60°＝CD 2＝32，cos 60°＝BD 2＝12.∴CD ＝3，BD ＝1.∵AB ＝4，∴AD ＝AB ＋BD ＝4＋1＝5.∴AC ＝AD 2＋CD 2＝52＋(3)2＝27，即AC 的长为27.21．(1)【证明】如图，连接OD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∴∠BDC ＝90°.∵E 是BC 的中点，∴DE ＝BE ＝EC ＝12B C ． ∵⊙O 与BC 相切于点B ，∴∠ABC ＝90°.在△DOE 和△BOE 中，⎩⎨⎧OD ＝OB ，DE ＝BE ，OE ＝OE ，∴△DOE ≌△BOE (SSS) .∴∠ODE ＝∠ABC ＝90°.∴OD ⊥DE .又∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°.由(1)知∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C＋∠CBD＝90°，BC＝2DE＝10. ∴∠C＝∠ABD．在Rt△ABC中，AC＝BCcos C＝BCcos∠ABD＝1045＝252.∵OA＝OB, BE＝CE，∴OE＝12AC＝254.22．【解】(1)如图，过点D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米．在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝AFcos 45°＝1022＝102≈10×1.41≈14(千米)．∴AD的长度约为14千米；(2)小明应该选择线路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，AB＝CF＝DF＋CD＝24千米，∴AE＝AB·tan 30°＝24×33＝83(千米)，∴EB＝2AE＝163千米．按线路①A－D－C－B走的路程为AD＋DC＋CB≈14＋14＋10＝38(千米)；按线路②A －E －B 走的路程为AE ＋EB ＝83＋163≈24×1.73＝41.52(千米)． ∵38千米<41.52千米，∴小明应该选择线路①.23．【解】如图，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，由题意得AF ⊥BC ，DE ＝AF ，∵斜面AB 的坡度i ＝3∶4，∴AF BF ＝34.设AF ＝3x 米，则BF ＝4x 米， 在Rt △ABF 中，AB ＝AF 2＋BF 2＝(3x )2＋(4x )2＝5x (米)，在Rt △DEC 中，∠C ＝18°，CD ＝20米，∴DE ＝CD ·sin 18°≈20×0.31＝6.2(米)．∴AF ＝DE ≈6.2米，∴3x ≈6.2，解得x ≈3115.∴AB ≈5×3115＝10.3(米)．∴斜坡AB 的长约为10.3米．24．【解】如图，延长AB 交MN 于点O ，则AO ⊥MN .由题意得∠N ＝60°，∠M ＝48°，AO ＝120 m ，AB ＝40 m ，则BO ＝AO －AB ＝80(m)．在Rt △AON 中，tan N ＝AO NO ＝tan60°，∴NO＝AOtan60°≈69.36 m.在Rt△BOM中，tan M＝BOMO＝tan48°，∴MO＝BOtan48°≈72.07 m.∴MN＝MO＋NO≈72.07＋69.36≈141.4(m)．答：试验田边界M，N之间的距离约为141.4 m.。

人教版数学九年级下册 第二十八章 基础过关测试卷一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C= 90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则 ( ) A ．sinA=baB ．cos A=caC ．sin B=cbD ．tan B=ba2．在△ABC 中，∠C= 90°，a=5，c= 13，用计算器求∠A 约等于 ( ) A.14°38' B. 65°22' C. 67°23' D. 22°37'3．如图，直线m ∥n ，△ABC 的顶点B 、C 分别在直线n 、m 上，且sinA=cos ∠1=23，tan ∠ABC=33，则∠2的度数为 ( )A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°4．如果30°<∠A <45°，那么sin A 的范围是 ( ) A ．0<sin A<21 B ．21<sin A<22 C ．22＜sin A<23 D ．23<sinA<15．定义：在直角三角形中，一个锐角A 的相邻直角边与相对直角边的比叫做∠A 的余切，记作cot A ．即cot A=的相对直角边的相邻直角边A A ∠∠，在△ABC 中，∠C= 90°，cot A=23，则sinA= ( ) A ．10102B ．10103C ．13132D ．131336．如图，要测量小河两岸相对的两点P 、A 之间的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC=8米，若cos ∠PCA=54，则PA 等于 ( )A ．5米B ．6米C ．7.5米D ．8米7．如图，一块三角木的侧面是直角三角形，已知直角边h=12 cm ，a= 20 cm ，斜边与直角边a 的夹角为θ，则tan θ的值等于 ( ) A ．53 B ．43 C ．35 D ．343438．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB= 90°，CD 是AB 边上的中线，AC=8，BC=6，则∠ACD 的正切值是 ( ) A ．34 B ．53 C ．35 D ．439．如图，菱形ABCD 的对角线AC 的长为6，sin ∠ABD=53，则这个菱形的周长是( )A ．20B ．24C ．14D ．3210.如图，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD ，连接AC ，则tan ∠ACD的值等于 ( ) A. 2 B ．2+3C ．1+3D. 22二、填空题11.如图，将∠BAC 放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A 及B 、C 均在格点上，那么∠BAC 的正切值为____．12.已知α为锐角，tan α= 2sin 30°，那么α=____°.13.在Rt △ABC 中，∠C= 90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 的对边，如果sin A ：sin B=2:3，那么a:b 等于____.14．如图，△ABC 内接于⊙O ，sin ∠CAB=21，cos ∠CBA=22，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O的半径为2，则CD 的长为____.15.如图，在距离铁轨200 m 的B 处，观察从南通开往南京的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上.10 s 后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这列动车的平均车速是____m/s(结果保留根号)．16.如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C 的俯角为60°，热气球A 的高度为270米，则这栋大楼的高度为____米．17．如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，AB=AC=5，cos C=54，那么GE=____．18.已知直角三角形纸片的两直角边AC 与BC 的比为3：4，首先将△ABC 折叠，使点C 落在斜边AB 上，折痕为BD ，然后将△ABD 折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则sin ∠DEA 的值为____．三、解答题19．计算：(1)3tan 30°+sin 45°-2sin 60°；(2)cos30°+sin 60°-(tan 45°-1)202020．在锐角△ABC中，AD、CE分别是边BC、AB上的高，AB=12，BC=16，SABC△=48.求：(1) ∠B的度数；(2)tan ∠ACB的值．21.(2019湖北黄冈中考，22)如图，两座建筑物的水平距离BC为40 m．从点A测得点D的俯角α为45°，测得点C的俯角β为60°.求这两座建筑物AB和CD的高度．(结果保留小数点后一位，2≈1.414，3≈1.732)22.(2019湖南衡阳模拟，22)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，航母再航行8海里到达B处，此时测得小岛C 位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD.(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)23.(2019浙江嘉兴二模，22)如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD内的ND处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在NM上移动，点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动，使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置，按下压柄完成装订(即点D与点H重合)．已知CA⊥AB，CA=2cm，AH=12cm，CE=5 cm，EP=6 cm，MN=2 cm.(1)求轨槽CD的长(结果精确到0.1 cm)；(2)装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD=53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉？(参考数据：5≈2.24，37≈6.08，sin 53°≈0.80，cos53°≈0.60)第二十八章基础过关测试卷1．C ∵∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∴sinA=ca，cosA=cb，sinB= cb，tanB=ab，故选C．2．D sinA=ca=135≈0.384 62，用计算器求得∠A≈22.62°≈22°37’.故选D.3.C ∵sin A=cos∠1=23，tan∠ABC=33，∴∠A= 60°，∠ABC= ∠1= 30°，∴∠ACB= 90°.如图，∵m∥n，∴∠3= ∠1= 30°．∵∠ACB=90°，∴∠4=60°，∴∠2=180°-∠4=120°．故选C.4．B当α为锐角时，sin α随α的增大而增大，∵30°< ∠A <45°，∴21<sin A<22，故选B．5．C由题意知cot A=BCAC=23，设BC= 2x，则AC= 3x，由勾股定理得AB=ACBC22+=13x，∴sin A=ABBC=xx132=13132.故选C．6．B在Rt△APC中，∠APC= 90°，PC=8米，cos∠PCA=54，∴AC=PCAPC∠cos=10(米)，∴PA=PCAC22-=6(米)．故选B．7．A ∵h=12 cm，a=20 cm，斜边与直角边a的夹角为θ，∴tanθ=ah=2012=53，故选A．8．D ∵CD是AB边上的中线，∴CD =AD，∴∠A= ∠ACD．∵∠ACB= 90°，BC=6，AC=8，tan ∠A=ACBC =86=43，∴tan ∠ACD=43．故选D ．9．A ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ．∵AC=6，∴AO=3，∵sin ∠ABD= 53，∴AB=ABDAO ∠sin =5 ，∴这个菱形的周长为20．故选A ．10.C 如图，作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H.∵∠ABD= 90°， ∠DBC= 45°，∴∠ABH=45°，∵∠AHB= 90°，∴△ABH 是等腰直角三角形，∴AH=BH.设AH= BH=a ，则AB=2a ，BD=6a ，BC= CD=3a ，CH=a+3a.∵∠AHB=∠DCB=90°，∴∠AHB+ ∠DCB= 180°，∴AH ∥DC ，∴∠ACD= ∠CAH ， ∴tan ∠ACD=tan ∠CAH=AHCH =3+1．故选C ．11．答案：1解析：如图，连接BC ，则AB= BC=3122+=10，AC=4222+ =25， ∴AB ²+BC ²= 10+ 10= 20= AC ²．∴△ABC 是等腰直角三角形，且∠ABC=90°，∴∠ BAC= 45°，则tan ∠BAC=1.12.答案：45解析：tan α=2sin30°=2×21=1，又∵α为锐角，∴α=45°.13.答案：2:3解析：在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 的对边，设c 为∠C 所对的边，则sin A=ca ，sin B=cb ，∵sinA ：sinB=2：3，∴ca ：cb =2：3，∴a ：b=2:3.14.答案：2解析：如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，∵sin ∠CAB=21，cos ∠CBA=22，∴∠CAB=30°，∠CBA=45°，∵同弧所对圆周角相等，∴∠E=∠A= 30°．∵CE 是⊙O 的直径，∴∠EBC= 90°．∴⊙O 的半径为2，∴CE=4，∴BC=21CE=2，∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD=22BC=2．15．答案：20(1+3)解析：如图，作BD ⊥AC 于点D ，则BD= 200 m.∵在Rt △ABD 中，∠ABD=60°，BD=200m ，∴AD= BD ·tan ∠ABD= 2003m ，∵在Rt △CBD 中，∠CBD=45°，∴CD=BD=200m ，∴AC=(200+2003)m ，则这列动车的平均车速是103200200+= 20( 1+3) m/s.16．答案：180解析：过A 作AD ⊥CB ，交CB 的延长线于点D ，则∠CDA= 90°，由题可知∠CAD= 60°，∠BAD= 30°，CD= 270米，在Rt △ACD 中，tan ∠CAD=ADCD ，∴AD=︒60tan CD= 903米，在Rt △ABD 中，tan ∠BAD=ADBD ．∴BD=AD ·tan 30°= 903×33= 90(米)，∴BC=CD -BD=270-90=180(米)，即这栋大楼的高度为180米．17.答案：217解析：过E 作EF ⊥BC 于点F ，∵AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，AB =AC=5，∴AD ⊥BC ，∴AD ∥EF ，∵cos C=ACCD =54，∴CD=4，∴AD=3，BC=8，∴EF=1.5，DF=2，易得△BDG ∽△BFE ，∴32===BEBG BFBD FEDG ，∴DG=1，∴BG=4122+=17，∴BE1764=，得BE=2173，∴GE=BE -BG=2173-17=217.18.答案：53解析：∵AC 与BC 的比为3：4，∴设AC=3x(x>0)，则BC=4x ，∴AB=BC AC 22+=5x ．∵将△ABC 折叠，点C 落在AB 上，∴∠DBC=∠DBA=21∠ABC ．∵将△ABD 折叠，点B 与点D 重合，∴∠ABD=∠BDE ，∴∠AED=2∠ABD= ∠ABC ，∴sin ∠DEA= sin ∠ABC=5353==x x AB AC .19.解析：(1)原式= 22322323222333=-+=⨯-+⨯． (2)原式=()31123232020=--+． 20．解析：(1)由题意可知S ABC △=21BC ·AD=48，BC=16，∴AD=6．在Rt △ABD 中，AB= 12， ∴sin B=21126==ABAD∴∠B= 30°.(2)在Rt △ABD 中，AD=6，AB=12，∴ BD=36，∵BC= 16，∴CD=16-36．在Rt △ACD 中，tan ∠ACD=373924338336166+=-=-=CDAD ．21．解析：延长CD ，交AE 于点E ，可得DE ⊥AE ，在Rt △AED 中，AE=BC=40 m ，∠EAD=45°， ∴ED=AE ·tan 45°=40 m ，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，BC=40 m ， ∴AB= 403≈69.3 m ，则CD=EC -ED=AB -ED=69.3-40=29.3 m.答：这两座建筑物AB 和CD 的高度分别约为69.3m 和29.3m ．22．解析：设BD=x 海里，在Rt △BDC 中，tan ∠BCD=CDBD ，∠BCD=37°，∴CD=BCDBD∠tan ≈75.0x=x 34海里．在Rt △ADC 中，tan ∠ACD=CDAD ，∠ACD=70°，∴AD=CD ·tan ∠ACD ≈CD 411=x 311海里，由题意得8+x=x 311，解得x=3．答：还需航行的距离BD 约为3海里． 23.解析：(1)连接CH ，由题意知CD= CH ， 在Rt △ACH 中，CH=12222+ =237≈12.2(cm)．∴CD=CH=12.2(cm)． (2)过点E 作EK ⊥PC 于K.在Rt △ECK 中，EK=EC ·sin 53°≈5×0.80= 4(cm)， CK= EC ·cos 53°≈5×0.60=3(cm)在Rt △EPK 中，PK=EK EP 22-=4622-=25≈4.48(cm)，∴DN=CD -CK -PK -MN=12.2-3-4.48-2= 2.72 cm>2.5 cm ， ∴能在ND 处装入一段长为2.5 cm 的订书钉．。

人教版九年级数学下册 第28章 达标检测卷(考试时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是( )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1252．某段河堤的横断面如图所示，堤高BC ＝5 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AC 的长是( ) A ．5 3 m B ．10 m C ．15 m D ．10 3 m3．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°.设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( )A ．0<n <22B ．0<n <12C ．0<n <33D ．0<n <324．将一张矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折起，使顶点C 落在点C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED 的值是( )A ．2 B.12 C.22 D.325．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( )A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm6．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B .若反比例函数y ＝k x的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k 的值为( )A. 3B. 4C. 6D. 8 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝32，则cos B ＝ ．8．若 3tan (x ＋10°)＝1，则锐角x 的度数为 ．9．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长为10 m ，则大树的长约为 m ．(结果精确到1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)10．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为 米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)11．如图，O 为原点，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标为(0，4)，⊙D 过A ，B ，O 三点，C 为ABO ︵上一点(不与O ，A 两点重合)，则cos C 的值是 .12．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y ．据此判断下列等式成立的是 (写出所有正确的序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋24；③sin 2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cosx ·sin y .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．计算：(1)sin 2 60°＋tan 45°－32cos 30°－tan 260°；(2)sin 30°－cos 2 45°＋34tan 2 30°＋sin 260°.14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝25，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AB 的长．15．如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，AC ＝BD ，已知sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．16．有一个三角形的钢架ABC ，∠A ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2(3＋1) m ，请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m 的圆形门？17．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(2019益阳中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB ＝∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 的延长线于点E.(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB ＝14，cos ∠CAB ＝78，求线段OE 的长．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC ＝15，cos A ＝35.(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值．20．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直马路l ，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．一数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A ，B 两点，并在AB 路段进行区间测速．在l 外取一点P ，作PC ⊥l ，垂足为点C ，测得PC ＝30米，∠APC ＝71°，∠BPC ＝35°，上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值；(2)如果CD ＝5，求BE 的值．22．如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1，l2，l3都垂直，垂足分别为点A，点B和点C，l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝ 3 km，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝1313，MN＝213 km，点A和点N是城际铁路线L上的两个相邻的站点．(1)求l2和l3之间的距离；(2)若城际火车平均时速为150 km/h，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时(结果用分数表示)．六、(本大题共12分)23．(2019年遂宁中考第24题 )如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．参考答案一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是( A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1252．某段河堤的横断面如图所示，堤高BC ＝5 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AC 的长是( A ) A ．5 3 m B ．10 m C ．15 m D ．10 3 m3．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°.设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( A )A ．0<n <22B ．0<n <12C ．0<n <33D ．0<n <324．将一张矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折起，使顶点C 落在点C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED 的值是( B )A ．2 B.12 C.22 D.325．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm6．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B .若反比例函数y ＝k x的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k 的值为( C )A. 3B. 4C. 6D. 8 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝32，则cos B ＝ 12．8．若 3tan (x ＋10°)＝1，则锐角x 的度数为__20°__．9．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长为10 m ，则大树的长约为 17 m ．(结果精确到1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)10．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为 2.9 米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)11．如图，O 为原点，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标为(0，4)，⊙D 过A ，B ，O 三点，C 为ABO ︵上一点(不与O ，A 两点重合)，则cos C 的值是 45.12．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y ．据此判断下列等式成立的是 ②③④ (写出所有正确的序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋24；③sin 2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cosx ·sin y .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．计算：(1)sin 2 60°＋tan 45°－32cos 30°－tan 260°；解：原式＝(32)2＋1－32×32－(3)2 ＝34＋1－34－3 ＝－2.(2)sin 30°－cos 2 45°＋34tan 2 30°＋sin 260°.解：原式＝12－(22)2＋34×(33)2＋(32)2＝12－12＋34×13＋34 ＝1.15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝25，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AB 的长．解：∵∠C ＝90°，∠BDC ＝45°， ∴∠DBC ＝45°，∴DC ＝BC ＝6.又∵sin A ＝25，∴BC AB ＝25，∴AB ＝15.15．如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，AC ＝BD ，已知sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．解：∵AD ⊥BC ，∴△ADC 为直角三角形，故sin C ＝AD AC ＝1213，设AD ＝12k ，则AC ＝13k ，∵AC ＝BD ，∴DC ＝BC －BD ＝12－13k ；由勾股定理得(13k)2＝(12k)2＋(12－13k)2，整理得6k 2－13k ＋6＝0，解得k ＝23或32；∴AD ＝8或AD ＝18(不合题意，舍去)． 故AD ＝8.16．如图，有一个三角形的钢架ABC ，∠A ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2(3＋1) m ，请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m 的圆形门？解：如图，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D. 在Rt △ABD 中，∠A ＝30°，则AD ＝3BD. 在Rt △BCD 中，∠C ＝45°，则CD ＝BD.∵AC ＝AD ＋CD ＝3BD ＋BD ＝(3＋1)BD ＝2(3＋1)， ∴BD ＝2，2<2.1.故工人师傅搬运此钢架能通过这个直径为2.1 m 的圆形门．17．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BCtan A＝23，则EF ＝AC ＝23，∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(10分)(益阳中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB ＝∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 的延长线于点E.(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB ＝14，cos ∠CAB ＝78，求线段OE 的长．(1)证明：∵∠CAB ＝∠ACB ，∴AB ＝CB ， ∴▱ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD.(2)解：在Rt △AOB 中，cos ∠CAB ＝AO AB ＝78，AB ＝14，∴AO ＝14× 78＝494， 在Rt △ABE 中，cos ∠EAB ＝AB AE ＝78，AB ＝14，∴AE ＝87AB ＝16，∴OE ＝AE －AO ＝16－494＝154.19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC ＝15，cos A ＝35.(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝15，cos A ＝35，∴AB ＝15cos A ＝25.又∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝252.(2)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴DC ＝DB ＝252，∴∠DCB ＝∠DBC .又∵∠E ＝∠ACB ＝90°，∴△BEC ∽△ACB ，∴EC BC ＝BCAB.又BC ＝AB 2－AC 2＝252－152＝20，∴EC 20＝2025，∴EC ＝16.∵CD ＝252，∴DE ＝16－252＝72.∴在Rt △DEB 中，sin ∠DBE ＝72×225＝725.20．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直马路l ，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．一数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A ，B 两点，并在AB 路段进行区间测速．在l 外取一点P ，作PC ⊥l ，垂足为点C ，测得PC ＝30米，∠APC ＝71°，∠BPC ＝35°，上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)．解：在Rt △APC 中，AC ＝PC · tan ∠APC ≈30×2.90＝87(米)． 同理求得BC ≈21米．∴AB ＝AC －BC ＝87－21＝66(米)．∴汽车的速度为666＝11(米/秒)＝39.6(千米/时)．∵39.6<40，∴该车没有超速．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值；(2)如果CD ＝5，求BE 的值．解：(1)∵∠ACB ＝90°， CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD.∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACH ＝90°， ∴∠B ＝∠BCD ＝∠CAH.∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC ＝5CH ，∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH AC ＝55；(2)∵sin B ＝55，∴AC ∶AB ＝1∶ 5.又∵CD ＝5，∴AB ＝25，∴AC ＝2. 设CE ＝x(x>0)，则AE ＝5x ，则在Rt △ACE 中，有x 2＋22＝(5x)2，∴x ＝1，即CE ＝1.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴BC ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝3.22．如图为某区域部分交通线路图，其中直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 与直线l 1，l 2，l 3都垂直，垂足分别为点A ，点B 和点C ，l 2上的点M 位于点A 的北偏东30°方向上，且BM ＝ 3 km ，l 3上的点N 位于点M 的北偏东α方向上，且cos α＝1313，MN ＝213 km ，点A 和点N 是城际铁路线L 上的两个相邻的站点．(1)求l 2和l 3之间的距离； (2)若城际火车平均时速为150 km /h ，求市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要多少小时(结果用分数表示)．解：(1)过点M 作MD ⊥NC 于点D.∵cos α＝1313，MN ＝213， ∴cos α＝DM MN ＝DM 213＝1313，解得DM ＝2 km .答：l 2和l 3之间的距离为2 km .(2)∵点M 位于点A 的北偏东30°方向上，且BM ＝3，∴tan 30°＝BM AB ＝3AB ＝33，解得AB ＝3，可得，AC ＝3＋2＝5.∵MN ＝213，DM ＝2，∴DN ＝（213）2－22＝43，则NC ＝DN ＋CD ＝DN ＋BM ＝53，∴AN ＝CN 2＋AC 2＝（53）2＋52＝10(km )．∵城际火车平均时速为150 km /h ，∴10150＝115.答：市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要115 h .六、(本大题共12分)23．(2019年遂宁中考第24题 )如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF＝90°，∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC，∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝6，∴CE＝3，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+32＝9x2，∴x＝（负值舍去），∴OC＝3x＝，∴⊙O的半径OC为；（3）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴，∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线．。

人教版九年级下册数学第二十八章测试题（附答案）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共12题；共24分）1.在△ABC中，∠C =90o，若cosB= ，则∠B的值为（）．A. B. C. D.2.在中，，若cosB= ，则sinA的值为( )A. B. C. D.3.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A. B. C. D.4.如图，是意大利著名的比萨斜塔，塔身的中心线与垂直中心线的夹角A约为5゜28′，塔身AB的长为54.5m，则塔顶中心偏离垂直中心线的距离BC是（）A. 54.5×sin5°28′mB. 54.5×cos5°28′mC. 54.5×tan5°28'mD. m5.在中，，AB=15，sinA=，则BC等于（）A. 45B. 5C.D.6.如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（）A. 3B.C. 4D.7.用科学计算器求sin 9°的值,以下按键顺序正确的是( )A. sin9=B. 9sin=C. sin9D. 9sin8.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin∠A=，则cos∠A的值为A. B. C. D.9.教学用直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为（）.A. cmB. cmC. cmD. cm10.在Rt△中，∠C=90°，BC=1，那么AB的长为（）A. B. C. D.11.（2016•娄底）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）A. 不变B. 增大C. 减小D. 先变大再变小12.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC= BD，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD的值（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共16分）13.用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°________ cos50°．14.若tanα＝1（0°＜α＜90°），则sinα＝________.15.将一个三角形经过放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”．如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是1，那么它们周长的差是________．16.如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为________17.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为________米．18.如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为________米（结果保留根号）．19.某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1︰，堤坝高BC＝50m，则AB＝________m．20.如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．三、解答题（共4题；共20分）21.“蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）22.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．23.如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，结果取整数，其中=1.732，=4.583）24.如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）四、综合题（共4题；共40分）25.（2015•黄石）如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）求AE的长；（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？26.为了应对人口老龄化问题，国家大力发展养老事业．某养老机构定制轮椅供行动不便的老人使用．图①是一种型号的手动轮椅实物图，图②为其侧面示意图，该轮椅前后长度为120cm，后轮半径为24cm，CB=CD=24cm，踏板CB与CD垂直，横档AD、踏板CB与地面所成的角分别为15°、30°．求：（1）求横档AD的长；（2）点C离地面的高度．（sin15°=0.26，cos15°=0.97，精确到1cm）27.阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，= = ，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵= ∴b= = = =3 ．理解应用：如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 海里．（1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明；（2）求乙船每小时航行多少海里？28.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）答案一、单选题1. A2. B3.B4.A5.B6.D7.A8.A9.C 10.D 11. C 12.D二、填空题13.＞14. 15.16.17.12 18.100+100 19.100 20.4三、解答题21.解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M，由题意可得：EM⊥AC，DF=MC，∠AEM=29°，在Rt△DFB中，sin80°= ，则DF=BD•sin80°，AM=AC﹣CM=1890﹣1800•sin80°，在Rt△AME中，sin29°= ，故AE= = ≈242.1（m），答：斜坡AE的长度约为242.1m．22.解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ADE=∠B，在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，∴AB=13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC=AD+CD=12，∴，解得，∴．23.解：过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D．在△ABC中，∵AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，∴BC=3cm．当动点C移动至C′时，A′C′=AC=4cm．在△A′DC′中，∵∠C′=30°，∠A′DC′=90°，∴A′D= A′C′=2cm，C′D= A′D=2 cm．在△A′DB中，∵∠A′DB=90°，A′B=5cm，A′D=2cm，∴BD= = cm，∴CC′=C′D+BD﹣BC=2 + ﹣3，∵=1.732，=4.583，∴CC′=2×1.732+4.583﹣3≈5．故移动的距离即CC′的长约为5cm．24.解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，∵CD=12米，∠DCE=60°，∴DE=CD•sin60°=12× =6 米，CE=CD•cos60°=12× =6米．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE=D′E′=6 米．∵∠D′CE′=39°，∴CE′= ≈ ≈12.8，∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8≈7（米）．答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．四、综合题25.（1）解：∵BG∥CD，∴∠GBA=∠BAC=30°，又∵∠GBE=15°，∴∠ABE=45°，∵∠EAD=60°，∴∠BAE=90°，∴∠AEB=45°，∴AB=AE=10，故AE的长为10米．（2）解：在RT△ADE 中，sin∠EAD=，∴DE=10×=15，又∵DF=1，∴FE=14，∴时间t==28（秒）．故旗子到达旗杆顶端需要28秒．26.（1）解：如图所示：在Rt△DFC中，FC=DCsin30°=24× =12，DF=DCcos30°=24× = ，所以CG=DF=，所以AE=120﹣12﹣24﹣≈63.2（cm），在Rt△ADE中，AD= = ≈65（cm），因此，横档AD的长为65cm（2）解：在Rt△ADE中，DE=ADsin15°=65×0.26=16.9，所以点C离地面的高度为DE+24﹣DF=16.9+24﹣≈20（cm），因此，点C离地面的高度为20cm27.（1）解：△A1A2B2是等边三角形，理由如下：连结A1B2．∵甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2，∴A1A2=30 × =10 ，又∵A2B2=10 ，∠A1A2B2=60°，∴△A1A2B2是等边三角形（2）解：过点B作B1N∥A1A2，如图，∵B1N∥A1A2，∴∠A1B1N=180°﹣∠B1A1A2=180°﹣105°=75°，∴∠A1B1B2=75°﹣15°=60°．∵△A1A2B2是等边三角形，∴∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10 ，∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．在△B1A1B2中，∵A1B2=10 ，∠B1A1B2=45°，∠A1B1B2=60°，由阅读材料可知，= ，解得B1B2= = ，所以乙船每小时航行：÷ =20 海里．28.（1）解：过B作BG⊥DE于G，Rt△ABH中，i=tan∠BAH= = ，∴∠BAH=30°，∴BH= AB=5；（2）解：∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，∴四边形BHEG是矩形．∵由（1）得：BH=5，AH=5 ，∴BG=AH+AE=5 +15，Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5 +15．Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE= AE=15 ．∴CD=CG+GE﹣DE=5 +15+5﹣15 =20﹣10 ≈2.7m．答：宣传牌CD高约2.7米．。

第二十八章 锐角三角函数全章测试一、选择题1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( ) A ．6B ．52C ．53D ．1322．⊙O 的半径为R ，若∠AOB ＝α ，则弦AB 的长为( )A ．2sin2αR B ．2R sin α C ．2cos2αR D ．R sin α3．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．312B ．12C ．324D ．3484．若某人沿倾斜角为α 的斜坡前进100m ，则他上升的最大高度是( ) A ．m sin 100αB ．100sin α mC ．m cos 100βD ．100cos β m5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( ) A ．15m B ．12m C ．9m D ．7m6．P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2α ，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin R B ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B ＝β ，则AD 等于( ) A ．a sin 2β B ．a cos 2β C ．a sin β cos β D ．a sin β tan β8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APCC ．tan ∠APCD ．APC∠tan 19．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )第9题图A ．m )3828(+B ．m )388(+C ．m )33828(+D ．m )3388(+10．如图所示，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l 1＝5.2m 、l 2＝6.2m 、l 3＝7.8m 、l 4＝10m ，四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用( )第10题图A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 4二、填空题11．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______．12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度．13．如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31sin =∠ACB 则cos ∠ADC ＝______．第13题图14．如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度m 330=AB ，拱形的半径R ＝30m ，则拱形的弧长为______．第14题图15．如图所示，半径为r 的圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动，当⊙O 的移动到与AC 边相切时，OA 的长为______．第15题图三、解答题16．已知：如图，AB ＝52m ，∠DAB ＝43°，∠CAB ＝40°，求大楼上的避雷针CD 的长．(精确到0.01m)17．已知：如图，在距旗杆25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°，已知测角仪AB 的高为1.5m ，求旗杆CD 的高(精确到0.1m)．18．已知：如图，△ABC 中，AC ＝10，,31sin ,54sin ==B C 求AB ．19．已知：如图，在⊙O 中，∠A ＝∠C ，求证：AB ＝CD (利用三角函数证明)．20．已知：如图，P 是矩形ABCD 的CD 边上一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，AC＝15，BC ＝8，求PE ＋PF ．21．已知：如图，一艘渔船正在港口A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向．问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港(精确到1小时)(该船在C 岛停留半个小时)?)45.26,73.13,41.12(≈≈≈22．已知：如图，直线y ＝－x ＋12分别交x 轴、y 轴于A 、B 点，将△AOB 折叠，使A点恰好落在OB 的中点C 处，折痕为DE ．(1)求AE 的长及sin ∠BEC 的值；(2)求△CDE 的面积．23．已知：如图，斜坡PQ 的坡度i ＝1∶3，在坡面上点O 处有一根1m 高且垂直于水平面的水管OA ，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M 比点A 高出1m ，且在点A 测得点M 的仰角为30°，以O 点为原点，OA 所在直线为y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为x 轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B ，最高点为C ．(1)写出A 点的坐标及直线PQ 的解析式； (2)求此抛物线AMC 的解析式； (3)求｜x C －x B ｜；(4)求B 点与C 点间的距离．答案与提示第二十八章 锐角三角函数全章测试1．B ． 2．A ． 3．A ． 4．B ． 5．A ． 6．C ． 7．C ． 8．B ． 9．D ． 10．B ． 11．⋅23 12．60． 13．⋅54 14．20πm ． 15．.332r 16．约4.86 m ． 17．约15.9m ．18．AB ＝24．提示：作AD ⊥BC 于D 点．19．提示：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ．设⊙O 半径为R ，∠A ＝∠C ＝α ．则AB ＝2R cos α ，CD ＝2R cos α ，∴AB ＝CD ． 20．⋅151618提示：设∠BDC ＝∠DCA ＝α ．PE ＋PF ＝PC sin α ＋PD sin α ＝CD sin α ． ,158sin =αΘ ⋅=⨯=+∴151618158161PF PE21．约3小时，提示：作CD ⊥AB 于D 点．设CD ＝x 海里． 22．(1)⋅=∠=53sin .25BEC AE 提示：作CF ⊥BE 于F 点，设AE ＝CE ＝x ，则EF .29x -= 由CE 2＝CF 2＋EF 2得.25=x (2)⋅475提示：.4245sin 21o AE AD AE AD S S AED CDE ⋅=⋅==∆∆ 设AD ＝y ，则CD ＝y ，OD ＝12－y ，由OC 2＋OD 2＝CD 2可得⋅=215y 23．(1)A (0，1)，;33x y =(2).1332312)3(3122++-=+--=x x x y(3)m 15． (4).m 5230cos ||=-=οB C x x BC第二十八章．．．．． 锐角三角函数自主检测．．．．．．．．．．(．满分：．．．120．．．分． 时间：．．．100．．．分钟．．)．一、选择题．．．．．(．本大题共．．．．10．．小题，每小题．．．．．．3．分，共．．．30．．分．)． 1．．计算．．．6tan45°．．．．．．－．2cos60°．．．．．．的结果是．．．．(． )．A ．．．4 ．3．B ．．．4．C ．．．5．D ．．．5 ．3． 2．．如图．．．2．8­1．．．，在．．Rt ．．△．ABC ．．．中，．．∠．ACB ．．．＝．90°．．，．BC ．．＝．1．，．AB ．．＝．2．，则下列结论正确的是．．．．．．．．．．(． )．A ．．．sin ．．．A ．＝．3．2．B ．．．tan ．．．A ．＝．1．2．C ．．．cos ．．．B ．＝．3．2．D ．．．tan ．．．B ．＝．3． 3．．测得某坡面垂直高度为．．．．．．．．．．．2 m ．．，水平宽度为．．．．．．4 m ．．，则坡度为．．．．．(． )．A ．．．1．∶．5．2．B ．．．1．∶．5．C ．．．2．∶．1D ．．．．1．∶．2．图．28­1．．．． 图．28­2．．．．4．．如图．．．28­2．．．．，．AC ．．是电杆．．．AB ．．的一根拉线，测得．．．．．．．．BC ．．＝．6．米，．．∠．ACB ．．．＝．52°．．，则拉线．．．．AC ．．的．长为．．(． )．A.．．6．sin52°．．．．．米．B.．．6．tan52°．．．．．米． C ．．．6cos52°．．．．．．米． D.．．6．cos52°．．．．．米． 5．．在．．△．ABC ．．．中，．．(tan ．．．．A ．－．3．)．2．＋．⎪⎪⎪⎪⎪⎪2．2．－．cos ．．．B ．＝．0．，则．．∠．C ．的度数为．．．．(． )． A ．．．30° B ．．．．．45° C ．．．．．60．．° D ．．．75°．． 6．．如图．．．28­3．．．．，将．．∠．AOB ．．．放置在．．．5×5．．．的正方形网格中，则．．．．．．．．．tan ．．．∠．AOB ．．．的值是．．．(． )． A.．．2．3． B.．．3．2． C.．．2． 13．．13．． D.．．3． 13．．13．．图．28­3．．．． 图．28­4．．．．7．．在．．Rt ．．△．ABC ．．．中，．．∠．C ．＝．90°．．，若．．sin ．．．A ．＝．5．13．．，则．．cos ．．．A ．的值为．．．(． )． A.．．5．12．． B.．．8．13．． C.．．2．3． D.．．12．．13．．8．．在．．△．ABC ．．．中，．．a ．，．b ．，．c ．分别是．．．∠．A ．，．∠．B ．，．∠．C ．的对边，如果．．．．．．a ．2．＋．b ．2．＝．c ．2．，那么下列结．．．．．．论正确的是．．．．．(． )．A ．．．c ．sin ．．．A ．＝．a ．B ．．．b ．cos ．．．B ．＝．c ．C ．．．a ．tan ．．．A ．＝．b ．D ．．．c ．tan ．．．B ．＝．b ．9．．如图．．．28­4．．．．，在．．△．ABC ．．．中，．．∠．ACB ．．．＝．90°．．，．CD ．．⊥．AB ．．于点．．D ．，若．．AC ．．＝．2 ．3．，．AB ．．＝．4 ．2．，．则．tan ．．．∠．BCD ．．．的值为．．．(． )．A.．．2．B.．．15．．3．C.．．15．．5．D.．．3．3．10．．．如图．．．28­5．．．．，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．B ．处仰望树顶，测得仰角为．．．．．．．．．．．30°．．，再往大树的方向前进．．．．．．．．．．4 m ．．，测得仰角为．．．．．．60°．．，已知小敏同学身高．．．．．．．．．(．AB ．．)．为．1.6 m ．．．．，则这．．．棵树的高度为．．．．．．(． )(．．结果精确到．．．．．0.1m ．．．．，．3．≈1.73)．．．．．．．．图．28­5．．．．A ．．．3.5 mB ．．．．．．．3.6 m ．．．．C ．．．4.3 mD ．．．．．．．5.1 m ．．．．二、填空题．．．．．(．本大题共．．．．6．小题，每小题．．．．．．4．分，共．．．24．．分．)． 11．．．已知在．．．．Rt ．．△．ABC ．．．中，．．∠．C ．＝．90°．．，．tan ．．．A ．＝．3．，则．．cos ．．．B ．＝．________.．．．．．．．．．12．．．计算：．．．．12．．＋．2sin60°．．．．．．＝．________.．．．．．．．．． 13．．．在．．Rt ．．△．ABC ．．．中，．．∠．C ．＝．90°．．，．a ．＝．5 ．2．，．b ．＝．5 ．6．，则．．∠．A ．＝．________.．．．．．．．．．14．．．如图．．．28­6．．．．，已知．．．Rt ．．△．ABC ．．．中，斜边．．．．BC ．．上的高．．．AD ．．＝．4．，．cos ．．．B ．＝．4．5．，则．．AC ．．＝．________.．．．．．．．．．图．28­6．．．． 图．28­7．．．．15．．．如图．．．28．．­7．．，．C ．岛在．．A ．岛的北偏东．．．．．50°．．方向，．．．C ．岛在．．B ．岛的北偏西．．．．．40°．．方向，则从．．．．．C ．岛看．．A ．，．B ．两岛的视角．．．．．∠．ACB ．．．＝．________.．．．．．．．．．16．．．若方程．．．．x ．2．－．4．x ．＋．3．＝．0．的两根分别是．．．．．．Rt ．．△．ABC ．．．的两条边，若．．．．．．△．ABC ．．．最小的角为．．．．．A ．，那．．么．tan ．．．A ．＝．______.．．．．．．．三、解答题．．．．．(．一．)(．．本大题共．．．．3．小题，每小题．．．．．．6．分，共．．．18．．分．)．17．．．计算：．．．．4．＋．⎝ ⎛⎭⎪⎫1．2．－．1．－．2cos60°．．．．．．＋．(2．．－．π)．．0．.．18．．．如图．．．28­8．．．．，某河堤的横断面是梯形．．．．．．．．．．．ABCD ．．．．，．BC ．．∥．AD ．．，迎水坡．．．．AB ．．长．13．．米，且．．．tan ．．．∠．BAE ．．．＝．12．．5．，求河堤的高．．．．．．BE ．．.．图．28­8．．．．19．．．如图．．．28­9．．．．，在．．△．ABC ．．．中，．．AD ．．⊥．BC ．．，．tan ．．．B ．＝．cos ．．．∠．CAD ．．．.．求证：．．．AC ．．＝．BD ．．.．图．28­9．．．．四、解答题．．．．．(．二．)(．．本大题共．．．．3．小题，每小题．．．．．．7．分，共．．．21．．分．)． 20．．．如图．．．28­10．．．．．，在鱼塘两侧有两棵树．．．．．．．．．．A ．，．B ．，小华要测量此两树之间的距离，他在距．．．．．．．．．．．．．．．．．．A ．树．30 m ．．．的．C ．处测得．．．∠．ACB ．．．＝．30°．．，又在．．．B ．处测得．．．∠．ABC ．．．＝．120°.．．．．求．A ．，．B ．两树之间的距离．．．．．．．(．结．果精确到．．．．0.1 m ．．．．，参考数据：．．．．．．2．≈1.414．．．．．．，．3．≈1.732)．．．．．．．．．图．28­10．．．．．21．．．如图．．．28­11．．．．．，小明在公园放风筝，拿风筝线的手．．．．．．．．．．．．．．．．B ．离地面高度．．．．．AB ．．为．1.5．．．米，风筝．．．．飞到．．C ．处时的线长．．．．．BC ．．为．30．．米，这时测得．．．．．．∠．CBD ．．．＝．60°．．，求此时风筝离地面的高度．．．．．．．．．．．．(．结果精确．．．．到．0.1．．．米；参考数据：．．．．．．．3．≈1.73)．．．．．．．．图．28­11．．．．．22．．．图．．28­12．．．．．是一座堤坝的横断面，求．．．．．．．．．．．BC ．．的长．．(．精确到．．．0.1 m ．．．．；参考数据：．．．．．．2．≈1.414．．．．．．，．3．≈1.732)．．．．．．．．．图．28­12．．．．．五、解答题．．．27．．分．)．．．．．．．9．分，共．．．．．(．三．)(．．本大题共．．．．3．小题，每小题23．．．地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援，如图．．．．．，汽车在一条南北走．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．28­13向的公路上向北行驶，当汽车在．．．．．．．．．．．．)．显示村庄．．．．C．在北偏西．．．．全球卫星定位系统．．．．．GPS(．．．．．．．．．．．．．．A．处时，车载26°．．．显示村庄．．．．C．在北偏西．．方向．．．GPS．．．．52°．．．．．．．．．35 km/h．．方向，汽车以．．B．处，．．．．．．的速度前行．．．．．2 h．．到达(1)．．．．．．．．C．的距离；．．．求．B．处到村庄(2)．．．．．．sin26°≈0.438 4．．．．．．．．．．．．，．．．．．．；参考数据：．．．．．．．(．结果精确到．．．求村庄．．．C．到该公路的距离．．．．．0.1 kmcos26°≈0.89．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 8．．．．．．．．．．．．，．cos52°≈0.615 7)．．，．sin52°≈0.788 0图．28­13．．．．．24．．．如图．．．．25.．．．．．10．．，面积为．．．求：．．．．．．．．．．．．ABC．．．28­14．．．．．，已知一个等腰三角形．．．的底边长为(1)．．．．．．．．．的三个内角；．．．△．ABC图．28­14．．．．．25．．．如图．．，．∠．C．＝．30°.．．．折叠纸片．．AD．．∥．BC．．，．∠．A．＝．90°．．．．．．．．．，在直角梯形纸片．．．28­15．．．．．．．．ABCD．．．．中，使．BC．．经过点．．．．．BF．．＝．CF．．＝．8.．．．．．D．.．点．C．落在点．．BF．．是折痕，且．．．E．处，(1)．．．．．．．的度数；．．．求．∠．BDF(2)．．．．．．求．AB．．的长．图．28­15．．．．．1．．．C ． 2.D ．．． 3.D ．．． 4.D ．．． 5.D ．．． 6.B ．．． 7.D ．．． 8.A ．．．9．．．B ． 解析：在．．．．Rt ．．△．ABC ．．．中，．．BC ．．＝．AB ．．2．－．AC ．．2．＝．．4． 2．．2．－．．2． 3．．2．＝．2 ．5．，又因．．．为．∠．BCD ．．．＝．∠．A ．，所以．．．tan ．．．∠．BCD ．．．＝．tan ．．．A ．＝．BC ．．AC ．．＝．2． 5．2． 3．＝．15．．3．.． 10．．．．D ．11.．．．3．2． 12.3 ．．．．3． 13.30°．．．．． 14.5．．．． 15.90°．．．．． 16.．．．2．4． 17．．．解：原式＝．．．．．．2．＋．2．－．1．＋．1．＝．4.．．18．．．解：在．．．．Rt ．．△．ABE ．．．中，．．tan ．．．∠．BAE ．．．＝．BE ．．AE ．．＝．12．．5．，设．．BE ．．＝．12．．x ．，．AE ．．＝．5．x ．，由勾股定理，得．．．．．．．．13．．2．＝．(12．．．x ．)．2．＋．(5．．x ．)．2．，解得．．．x ．＝．1．，则．．BE ．．＝．12．．米．．．19．．．证明：在．．．．．Rt ．．△．ABD ．．．中，．．tan ．．．B ．＝．AD ．．BD ．．，． 在．Rt ．．△．ACD ．．．中，．．cos ．．．∠．CAD ．．．＝．AD．．AC ．．，． ∵．tan ．．．B ．＝．cos ．．．∠．CAD ．．．，．∴．AD ．．BD ．．＝．AD ．．AC ．．.．∴．AC ．．＝．BD ．．.． 20．．．解：作．．．．BD ．．⊥．AC ．．，垂足为点．．．．．D ．.．∵∠．．C ．＝．30°．．，．∠．ABC ．．．＝．120°．．．，．∴∠．．A ．＝．30°.．．． ∵∠．．A ．＝．∠．C ．.．∴．AB ．．＝．AC ．．.．∴．AD ．．＝．CD ．．＝．1．2．AC ．．＝．15.．．． 在．Rt ．．△．ABD ．．．中，．． AB ．．＝．AD ．．cos30°．．．．．＝．15．．3．2．＝．10 ．．3．≈17.3.．．．．．． 答：．．A ．，．B ．两树之间的距离为．．．．．．．．17.3 m.．．．．．．21．．．解：．．．∵．BC ．．＝．30．．，．∠．CBD ．．．＝．60°．．，．sin ．．．∠．CBD ．．．＝．CD ．．BC ．．，． ∴．CD ．．＝．BC ．．·sin ．．．∠．CBD ．．．＝．30×．．．3．2．＝．15 ．．3．≈26.0.．．．．．．∴．CE ．．＝．CD ．．＋．DE ．．＝．CD ．．＋．AB ．．＝．26.0．．．．＋．1.5．．．＝．27.5.．．．．． 答：此时风筝离地面的高度约为．．．．．．．．．．．．．．27.5．．．．米．．．22．．．解：如图．．．．．D102．．．．，过点．．．A ．，．D ．分别作．．．BC ．．的垂线．．．AE ．．，．DF ．．，分别交．．．．BC ．．于点．．E ．，．F ．，则．．EF ．．＝．AD ．．＝．6.．．∵∠．．ABE ．．．＝．45°．．，．∠．DCF ．．．＝．30°．．，．∴．DF ．．＝．7．＝．AE ．．＝．BE ．．，．且．FC ．．＝．CD ．．·cos ．．．∠．DCF ．．．＝．7 ．3．≈7×1.732≈12.1(m)．．．．．．．．．．．．．．．．．． ∴．BC ．．＝．7．＋．6．＋．12.1．．．．＝．25.1(m)．．．．．．．．．图．D102 ．．．．图．D103．．．． 23．．．解：过点．．．．．C ．作．CD ．．⊥．AB ．．交．AN ．．于点．．D ．，如图．．．D103.．．．．． (1)．．．∵∠．．CBD ．．．＝．52°．．，．∠．A ．＝．26°．．，． ∴∠．．BCA ．．．＝．26°.．．． ∴．BC ．．＝．AB ．．＝．35×2．．．．＝．70 (km)．．．．．．．． 即．B ．处到村庄．．．．C ．的距离为．．．．70 km.．．．．． (2)．．．在．Rt ．．△．CBD ．．．中，．．CD ．．＝．BC ．．·sin52°≈70×0.788 0≈55.2(km)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．即村庄．．．C ．到该公路的距离约为．．．．．．．．．55.2 km.．．．．．．． 24．．．解：过点．．．．．A ．作底边上的高，交．．．．．．．．BC ．．于点．．D ．，． ∴．AD ．．垂直平分．．．．BC ．．，即．．BD ．．＝．CD ．．＝．1．2．BC ．．＝．5.．．(1)．．．∵．等腰三角形．．．．．ABC ．．．的底边长为．．．．．10．．，面积为．．．．25．．，．∴．AD ．．＝．25×2．．．．10．．＝．5.．．∴．tan ．．．B ．＝．AD ．．BD ．．＝．1．，即．．∠．B ．＝．45°.．．． ∴∠．．C ．＝．∠．B ．＝．45°．．，．∠．BAC ．．．＝．180°．．．－．∠．B ．－．∠．C ．＝．90°.．．． (2)．．．∵△．．ABD ．．．为直角三角形，．．．．．．．AD ．．＝．BD ．．＝．5．，．∴．AB ．．＝．AD ．．2．＋．BD ．．2．＝．5．2．＋．5．2．＝．5 ．2．.． ∴．AC ．．＝．AB ．．＝．5 ．2．.．故．△．ABC ．．．的周长为．．．．5 ．2．＋．5 ．2．＋．10．．＝．10 ．．2．＋．10.．．． 25．．．解：．．．(1)．．．∵．BF ．．＝．CF ．．，．∠．C ．＝．30°．．，．∴∠．．FBC ．．．＝．30°.．．． 又由折叠性质知：．．．．．．．．∠．DBF ．．．＝．∠．FBC ．．．＝．30°.．．． ∴∠．．BDF ．．．＝．∠．BDC ．．．＝．180°．．．－．∠．DBC ．．．－．∠．C ．＝．180°．．．－．2×30°．．．．－．30°．．＝．90°.．．． (2)．．．在．Rt ．．△．BDF ．．．中，．．∵∠．．DBF ．．．＝．30°．．，．BF ．．＝．8．，．∴．BD ．．＝．4 ．3．.． ∵．AD ．．∥．BC ．．，．∠．A ．＝．90°．．，．∴∠．．ABC ．．．＝．90°.．．． 又．∵∠．．FBC ．．．＝．∠．DBF ．．．＝．30°．．，．∴∠．．ABD ．．．＝．30°.．．． 在．Rt ．．△．BDA ．．．中，．．∵∠．．ABD ．．．＝．30°．．，．BD ．．＝．4 ．3．，．∴．AB ．．＝．6.．．第二十八章．．．．． 锐角三角函数测试题．．．．．．．．．28．．．．1． 锐角三角函数．．．．．．1．．三角形在正方形风格纸巾中的位置如图．．．．．．．．．．．．．．．．．．28­1­3．．．．．．所示，则．．．．sin ．．．α．的值是．．．(． )．图．28­1­3．．．．．．A.．．3．4．B.．．4．3．C.．．3．5．D.．．4．5．2．．如图．．．28­1­4．．．．．．，某商场自动扶梯的长．．．．．．．．．．l ．为．10．．米，该自动扶梯到达的高度．．．．．．．．．．．．h ．为．6．米，．．自动扶梯与地面所成的角为．．．．．．．．．．．．θ．，则．．tan ．．．θ．＝．(． )．图．28­1­4．．．．．．A.．．3．4．B.．．4．3．C.．．3．5．D.．．4．5． 3．．．cos30°．．．．．＝．(． )． A.．．1．2． B.．．2．2． C.．．3．2．D.．．3． 4．．在．．△．ABC ．．．中，．．∠．A ．＝．105°．．．，．∠．B ．＝．45°．．，．tan ．．．C ．＝．(． )． A.．．1．2． B.．．3．3．C ．．．1 D.．．．3． 5．．若．．0°<．．A ．<90°．．．，且．．4sin ．．．．2．A ．－．2．＝．0．，则．．∠．A ．＝．(． )． A ．．．30° B ．．．．．45° C ．．．．．60° D ．．．．．75°．．6．．按．．GZ1206．．．．．．型科学计算器中的白键．．．．．．．．．．MODE ．．．．，使显示器左边出现．．．．．．．．．DEG ．．．后，求．．．cos9°．．．．的值，．．．以下按键顺序正确的是．．．．．．．．．．(． )．A.．．cos ．．．9．B.．．cos ．．．2ndF ．．．．9．C.．．9．cos ．．．D.．．9．2ndF ．．．．cos ．．．7．．在．．Rt ．．△．ABC ．．．中，．．∠．C ．＝．90°．．，．∠．A ．，．∠．B ．，．∠．C ．的对边分别为．．．．．．a ．，．b ．，．c ．.．已知．．2．a ．＝．3．b ．，．求．∠．B ．的三角函数值．．．．．．．．8．．下列结论中正确的有．．．．．．．．．．(． )． ①．sin30°．．．．．＋．sin30°．．．．．＝．sin60°．．．．．；． ②．sin45°．．．．．＝．cos45°．．．．．；． ③．cos25°．．．．．＝．sin65°．．．．．；．④．若．∠．A ．为锐角，且．．．．．sin ．．．A ．＝．cos28°．．．．．，则．．∠．A ．＝．62°.．．． A ．．．1．个． B ．．．2．个． C ．．．3．个． D ．．．4．个．9．．如图．．．28­1­5．．．．．．，直角三角形纸片的两直角边长分别为．．．．．．．．．．．．．．．．．6,8．．．，现．．将．△．ABC ．．．如图那样折叠，．．．．．．．使点．．A ．与．B ．点重合，折痕为．．．．．．．DE ．．，则．．tan ．．．∠．CBE ．．．＝．(． )．图．28­1­5．．．．．．A.．．24．．7．B.．．7．3．C.．．7．24．．D.．．1．3．10．．．如图．．．28­1­6．．．．．．，．AD ．．是．BC ．．边上的高，．．．．．E ．为．AC ．．边上的中点，．．．．．．BC ．．＝．14．．，．AD ．．＝．12．．，．sin ．．．B ．＝．4．5．.． (1)．．．求线段．．．CD ．．的长；．．．(2)．．．求．tan ．．．∠．EDC ．．．的值．．．．图．28­1­6．．．．．．28．．．．2． 解直角三角形及其应用．．．．．．．．．．1．．在．．Rt△．．．ABC ．．．中，．．∠．C ．＝．90°．．，．cos ．．．B ．＝．2．3．，则．．a ．∶．b ．∶．c ．为．(． )． A ．．．2∶．．5．∶．3． B ．．．2∶．．5．∶3．．C ．．．2∶3∶．．．．13．．D ．．．1∶2∶3．．．．．2．．等腰三角形的底角为．．．．．．．．．．30°．．，底边长为．．．．．2 ．3．，则腰长为．．．．．(． )． A ．．．4 B ．．．．2 ．3． C ．．．2 D ．．．．2 ．2．3．．如图．．．28­2­9．．．．．．，在．．△．ABC ．．．中，．．∠．ACB ．．．＝．90°．．，．CD ．．⊥．AB ．．于点．．D ．，．AC ．．＝．6．，．AB ．．＝．9．，则．．AD ．．的．长为．．(． )．A ．．．6B ．．．．5C ．．．．4D ．．．．3．图．28­2­9 ．．．．．．图．28­2­10．．．．．．．4．．轮船航行到．．．．．．C ．处时，观测到小岛．．．．．．．．B ．的方向是北偏西．．．．．．．65°．．，那么同时从．．．．．．B ．处观测到轮．．．．．船的方向是．．．．．(． )． A ．．南偏西．．．．65° B ．．．．东偏西．．．．65° ．．C ．．南偏东．．．．65°D ．．．．西偏东．．．．65°．． 5．．如图．．．28­2­10．．．．．．．，为了测量河两岸．．．．．．．．A ．、．B ．两点的距离，在与．．．．．．．．AB ．．垂直的方向点．．．．．．C ．处测得．．．AC ．．＝．a ．，．∠．ACB ．．．＝．α．，那么．．．AB ．．＝．(． )．A ．．．a ．si ．．n ．α．B ．．．a ．tan ．．．α．C ．．．a ．cos ．．．α． D.．．a ．tan ．．．α．6．．如图．．．28­2­11．．．．．．．，小颖利用有一个锐角是．．．．．．．．．．．30°．．的三角板测量一棵树的高度，已知她与．．．．．．．．．．．．．．．．．树之间的水平距离．．．．．．．．BE ．．为．5 m ．．，．AB ．．为．1.5 m(．．．．．即小颖的眼睛距地面的距离．．．．．．．．．．．．)．，那么这棵树高是．．．．．．．．(． )．图．28­2­11．．．．．．．A.．．⎝ ⎛⎭⎪⎫5． 3．3．＋．3．2．m ． B.．．⎝ ⎛⎭⎪⎫5． 3．＋．3．2．m ． C.．．5． 3．3．m ．D ．．．4 m ．． 7．．在．．Rt ．．△．ABC ．．．中，．．∠．C ．＝．90°．．，．a ．＝．2．，．∠．B ．＝．45°．．，则．． ①∠．．A ．＝．45°．．；．②．b ．＝．2．；．③．b ．＝．2 ．2．；．④．c ．＝．2．；．⑤．c ．＝．2 ．2．.． 上述说法正确的是．．．．．．．．________(．．．．．．．．．请将正确的序号填在横线上．．．．．．．．．．．．)．．．8．．一船上午．．．．．8．点位于灯塔．．．．．A ．的北偏东．．．．60°．．方向，在与灯塔．．．．．．．A ．相距．．64．．海里的．．．B ．港出发，．．．．向正西方向航行，到．．．．．．．．．9．时．3．0．分恰好在灯塔正北的．．．．．．．．．C ．处，则此船的速度为．．．．．．．．．__________．．．．．．．．．．．． 9．．如图．．．28­2­12．．．．．．．，某校教学楼．．．．．．AB ．．的后面有一建筑物．．．．．．．．CD ．．，当光线与地面的夹角是．．．．．．．．．．．22°．．时，教学楼在建筑物的墙上留下高．．．．．．．．．．．．．．．2．米的影子．．．．CE ．．；而当光线与地面夹角是．．．．．．．．．．．45°．．时，教学楼．．．．．顶．A ．在地面上的影子．．．．．．．F ．与墙角．．．C ．有．13．．米的距离．．．．(．B ．，．F ．，．C ．在一条直线上．．．．．．)．．．(1)．．．求教学楼．．．．AB ．．的高度；．．．．(2)．．．学校要在．．．．A ．，．E ．之间挂一些彩旗，请你求出．．．．．．．．．．．．A ．，．E ．之间的距离．．．．．(．结果保留整数；参考数．．．．．．．．．．据：．．sin22°≈．．．．．．3．8．，．cos22°≈．．．．．．15．．16．．，．tan22．．．．．°≈．2．5．)．．．图．28­2­12．．．．．．．10．．．如图．．．28­2­13．．．．．．．，小明家在．．．．．A ．处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路．．．．．．．．．．．．．．．．．．．l ．，．AB ．．是．A ．到．l ．的小路．现新修一条路．．．．．．．．．．AC ．．到公路．．．l ．.．小明测量出．．．．．∠．ACD ．．．＝．30°．．，．∠．ABD ．．．＝．45°．．，．BC ．．＝．50 m ．．．．请．．你帮小明计算他家到公路．．．．．．．．．．．l ．的距离．．．AD ．．的长度．．．(．精确到．．．0.1 m ．．．．；参考数据：．．．．．．2．≈1.414．．．．．．，．3．≈1.732)．．．．．．．．．图．28­2­13．．．．．．．第二十八章．．．．． 锐角三角函数．．．．．． 28．．．．1． 锐角三角函数．．．．．． 【．课后巩固提升】．．．．．．． 1．．．C ． 2.A ．．． 3.C ．．． 4.B ．．． 5.B ．．． 6.A ．．．7．．．解：由．．．2．a ．＝．3．b ．，可得．．．a ．b ．＝．3．2．.． 设．a ．＝．3．k ．，．b ．＝．2．k ．(．k ．>0)．．．，由勾股定理，得．．．．．．．．c ．＝．a ．2．＋．b ．2．＝．．3．k ．．2．＋．．2．k ．．2．＝．13．．k ．.．∴．sin ．．．B ．＝．b ．c ．＝．2．k ．13．．k ．＝．2． 13．．13．．，．cos ．．．B ．＝．a ．c ．＝．3．k ．13．．k ．＝．3． 13．．13．．，．tan ．．．B ．＝．b ．a ．＝．2．k ．3．k ．＝．2．3．.． 8．．．C ． 9．．．C ． 解析：设．．．．CE ．．＝．x ．，则．．AE ．．＝．8．－．x ．，由折叠性质知，．．．．．．．．AE ．．＝．BE ．．＝．8．－．x ．，在．．Rt ．．△．CBE ．．．中，．．由勾股定理，得．．．．．．．BE ．．2．＝．CE ．．2．＋．BC ．．2．，即．．(8．．－．x ．)．2．＝．x ．2．＋．6．2．，解得．．．x ．＝．7．4．.． ∴．tan ．．．∠．CBE ．．．＝．CE ．．BC ．．＝．7．4．6．＝．7．24．．.． 10．．．．解：．．(1)．．．在．Rt ．．△．ABD ．．．中，．．sin ．．．B ．＝．AD ．．AB ．．＝．4．5．，又．．AD ．．＝．12．．，． ∴．AB ．．＝．15.．．．BD ．．＝．15．．2．－．12．．2．＝．9.．． ∴．CD ．．＝．BC ．．－．BD ．．＝．14．．－．9．＝．5.．．(2)．．．在．Rt ．．△．ADC ．．．中，．．E ．为．AC ．．边上的中点，．．．．．．∴．DE ．．＝．CE ．．，．∴∠．．EDC ．．．＝．∠．C ．.．∴．tan ．．．∠．EDC ．．．＝．tan ．．．C ．＝．AD ．．CD ．．＝．12．．5．.． 28．．．．2． 解直角三角形及其应用．．．．．．．．．．【课后巩固提升】．．．．．．．． 1．．．B ． 2.C ．．．3．．．C ． 解析：．．．∵．AC ．．＝．6．，．AB ．．＝．9．，又．．∵．cos ．．．A ．＝．AD ．．AC ．．＝．AC ．．AB ．．，即．．AD ．．6．＝．6．9．，．∴．AD ．．＝．4.．． 4．．．C ． 5.B ．．．6．．．A ． 解析：．．．∵∠．．CAD ．．．＝．30°．．，．AD ．．＝．BE ．．＝．5 m ．．，．∴．CD ．．＝．AD ．．·tan ．．．∠．CAD ．．．＝．5tan30°．．．．．．＝．5． 3．3．(m)．．．，．∴．CE ．．＝．CD ．．＋．DE ．．＝．⎝ ⎛⎭⎪⎫5． 3．3．＋．3．2．m.．． 7．．．①②⑤．．．8.．．64．． 3．3．海里．．/．时． 解析：．．．∵．航行的距离．．．．．BC ．．＝．AB ．．·sin ．．．∠．BAC ．．．＝．64×．．．3．2．＝．32 ．．3．.．航．行的．．时间为．．．3．2．小时，．．．∴．此船的速度为．．．．．．32 ．．3．÷．3．2．＝．64．． 3．3．(．海里．．/．时．)．．．9．．．解：．．(1)．．．如图．．D73．．．，过点．．．E ．作．EM ．．⊥．AB ．．，垂足为．．．．M ．.． 设．AB ．．为．x ．.．在．Rt ．．△．ABF ．．．中，．．∠．AFB ．．．＝．45°．．，． ∴．BF ．．＝．AB ．．＝．x ．.． ∴．BC ．．＝．BF ．．＋．FC ．．＝．x ．＋．13.．．．在．Rt ．．△．AEM ．．．中，．．∠．AEM ．．．＝．22°．．，．AM ．．＝．AB ．．－．BM ．．＝．AB ．．－．CE ．．＝．x ．－．2．，．∴．tan22°．．．．．＝．AM ．．ME ．．·x ．－．2．x ．＋．13．．＝．2．5．，．x ．＝．1．2.．． 即教学楼的高．．．．．．12 m.．．．．(2)．．．由．(1)．．．，可得．．．ME ．．＝．BC ．．＝．x ．＋．13．．＝．12．．＋．13．．＝．25.．．．在．Rt ．．△．AME ．．．中，．．cos22°．．．．．＝．ME ．．AE ．．.．∴．AE ．．＝．ME ．．cos22°．．．．．≈．25．．15．．16．．≈27．．．，． 即．A ．，．E ．之间的距离约为．．．．．．．27 m.．．．．图．D73．．．10．．．．解：设小明家到公路的距离．．．．．．．．．．．．AD ．．的长度为．．．．x ． m.．． 在．Rt ．．△．ABD ．．．中，．．∵∠．．ABD ．．．＝．45°．．，．∴．BD ．．＝．AD ．．＝．x ．.．在．Rt ．．△．ACD ．．．中，．．∵∠．．ACD ．．．＝．30°．．，．∴．tan ．．．∠．ACD ．．．＝．AD ．．CD ．．，． 即．tan30°．．．．．＝．x ．x ．＋．50．．，解得．．．x ．＝．25(．．．3．＋．1)≈68.3.．．．．．．．．第二十八章．．．．． 锐角三角函数．．．．．．基础知识反馈卡．．．．．．．·28.1．．．．时间：．．．10．．分钟．． 满分：．．．25．．分．一、选择题．．．．．(．每小题．．．3．分，共．．．6．分．)．1．．如图．．．J28­1­1．．．．．．．，若．．cos ．．．α．＝．10．．10．．，则．．sin ．．．α．的值为．．．(． )．图．J28­1­1．．．．．．．A.．．10．．10．．B.．．2．3．C.．．3．4．D.．．3．10．．10．．2．．已知．．．∠．A ．为锐角，且．．．．．si ．．n ．A ．＝．1．2．，那么．．．∠．A ．＝．(． )． A ．．．15° B ．．．．．30° C ．．．．．45° D ．．．．．60°．．二、填空题．．．．．(．每小题．．．4．分，共．．．8．分．)．3．．计算：．．．．(1)2cos30°．．．．．．．．．－．tan60°．．．．．＝．________．．．．．．．．；．(2)．．．用计算器计算：．．．．．．．①．sin13°15′．．．．．．．．＝．________．．．．．．．．；．②．cos________°．．．．．．．．．．．＝．0.857 2.．．．．．．．4．．如图．．．J28­1­2．．．．．．．，．△．ABC ．．．是等边三角形，边长为．．．．．．．．．．2．，．AD ．．⊥．BC ．．，则．．sin ．．．B ．＝．________．．．．．．．．，可得．．．sin60°．．．．．＝．________.．．．．．．．．．图．J28­1­2．．．．．．．三、解答题．．．．．(．共．11．．分．)．5．．在．．Rt ．．△．A ．BC ．．中，．．∠．C ．＝．90°．．，．a ．，．b ．，．c ．分别为．．．∠．A ．，．∠．B ．，．∠．C ．的对边，．．．．b ．＝．5．，．c ．＝．7．，．求．sin ．．．A ．，．cos ．．．A ．，．tan ．．．A ．的值．．．．基础知识反馈卡．．．．．．．·28.2．．．．时间：．．．10．．分钟．． 满分：．．．25．．分．一、选择题．．．．．(．每小题．．．3．分，共．．．6．分．)．1．．如图．．．J28­2­1．．．．．．．，．CD ．．是．Rt ．．△．ABC ．．．斜边上的高，．．．．．．AC ．．＝．4．，．BC ．．＝．3．，则．．cos ．．．∠．BCD ．．．＝．(． )．图．J28­2­1．．．．．．．A.．．3．4．B.．．12．．25．．C.．．3．5．D.．．4．5．2．．小明由．．．．A ．出发向正东方向走．．．．．．．．10．．米到达．．．B ．点，．．再由．．B ．点向东南方向走．．．．．．．10．．米到达．．．C ．点，．．则．∠．ABC ．．．＝．(． )．A ．．．22.5°B ．．．．．．．45°C ．．．．．67.5°D ．．．．．．．135°．．．二、填空题．．．．．(．每小题．．．4．分，共．．．8．分．)．3．．在倾斜角为．．．．．．30°．．的斜坡上植树，若要求两棵树的水平距离为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 m ．．，则斜坡上相邻两．．．．．．．．树的坡面距离为．．．．．．．________m.．．．．．．．．．．4．．在．．Rt ．．△．ABC ．．．中，．．∠．C ．＝．90°．．，．a ．＝．3 ．3．，．c ．＝．6．，则．．b ．＝．________．．．．．．．．，．∠．B ．＝．________.．．．．．．．．．三、解答题．．．．．(．共．11．．分．)．5．．如图．．．J28­2­2．．．．．．．，若河岸的两边平行，河宽为．．．．．．．．．．．．．900．．．米，一只船由河岸的．．．．．．．．．A ．处沿直线方．．．．．向开往对．．．．岸的．．B ．处，．．AB ．．与河岸的夹角是．．．．．．．60°．．，船的速度为．．．．．．5．米．/．秒，求船从．．．．．A ．到．B ．处约需时．．．．间几分．．．(．参考数据：．．．．．3．≈1.7)．．．．．．．图．J28­2­2．．．．．．．基础知识反馈卡．．．．．．．·28.1．．．．1．．．D ． 2.B ．．．3．．．(1)0．．．． (2)．．．①．0.229 2．．．．．． ②．31．．4.．．AD ．．AB ．． 3．2．5．．解：．．．∵∠．．C ．＝．90°．．，．b ．＝．5．，．c ．＝．7．，．∴．a ．＝．c ．2．－．b ．2．＝．2 ．6．.．∴．sin ．．．A ．＝．a ．c ．＝．2． 6．7．，． cos ．．．A ．＝．b ．c ．＝．5．7．，． tan ．．．A ．＝．a ．b ．＝．2． 6．5．.． 基础知识反馈卡．．．．．．．·28.2．．．．1．．．D ． 2.D ．．． 3.4 ．．．3． 4.3．．． 30°．．5．．解：如图．．．．．DJ5．．．，过点．．．B ．作．BC ．．垂直对岸，垂足为．．．．．．．．C ．，则．．图．DJ5．．．在．Rt ．．△．ACB ．．．中，有．．．AB ．．＝．BC ．．sin ．．．∠．BAC ．．．＝．900．．．sin60°．．．．．＝．600 ．．．3．.． ∴．t ．＝．600．．． 3．5×60．．．．＝．2 ．3．≈3.4(．．．．．分．)．．． 答：船从．．．．A ．处到．．B ．处需时间．．．．3.4．．．分．．．。

人教版九年级数学下册第二十八章综合测试卷01一、选择题（每小题3分，共36分）1.如图所示，在正方形网格中，tan α等于（）A .1B .2C .12D .52.如图所示，已知在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，1tan 2A =，则BC 的长是（）A .2B .8C .25D .453.已知α为锐角，()1cos 902α︒-=，则α∠的度数为（）A .30︒B .45︒C .60︒D .90︒4.如图所示，在Rt ABO △中，斜边1AB =．若OC BA ∥，36AOC ∠=︒，则（）A .点B 到AO 的距离为sin 54︒B .点B 到AO 的距离为tan 36︒C .点A 到OC 的距离为sin 36sin 54︒︒D .点A 到OC 的距离为cos 36sin 54︒︒5.将()05-，()33-，()2cos30--︒这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是（）A .()()()3235cos 30----︒＜＜B .()()()32cos 3053--︒--＜＜C .()()()3253cos 30----︒＜＜D .()()()32cos 3035--︒--＜＜6.一直角三角形的两条边长分别为3，4，则较小锐角的正切值为（）A .34B .43C .34或73D .以上答案都不对7.若A ∠是锐角，且2sin 5A =，则A ∠的取值范围是（）A .030A ︒︒＜∠＜B .3045A ︒︒＜∠＜C .4560A ︒︒＜∠＜D .6090A ︒︒＜∠＜8.河堤横断面如图所示，堤高 5 m BC =，迎水坡AB 的坡比为BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长为（）A .B .10mC .15mD .9.在等腰ABC △中，一腰上的高为1，腰与底边的夹角为15°，则ABC △的面积为（）A .1B C .12D .1410.若菱形的边长为1cm ，其中一内角为60°，则它的面积为（）A 2B 2C .22 cmD .211.如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，且2BE AE =，已知AD =，tan BCE ∠，那么CE 等于（）A .B .2-C .D .12.下图是以ABC △的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ．已知3cos5ACD ∠=，4BC =，AC 则的长为（）A .1B .203C .3D .163二、填空题（每小题3分，共24分）13.计算2sin 60tan 30sin 45︒÷︒+︒=________．14.如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则sin A =________．15.如图所示，P 为α∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为()3,4，则sin cos αα+=________．16.图是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离 6.5 m h =，自动扶梯的倾斜角为30°，若自动扶梯运行速度为0.5 m/s v =，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为________s ．17.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200 m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C （如图所示），那么，由此可知B ，C 两地相距________m ．18.数学实践探究课中，老师布置给同学们一个测量学校旗杆的高度的作业．如图所示，小民所在的学习小组在距离旗杆底部10m 的地方，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是________m ．19.如图所示，在顶角为30°的等腰三角形ABC △中，AB AC =，若过点C 作CD AB ⊥于点D ，则15BCD ∠=︒，根据图形计算tan 15︒=________．20.如图所示，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得 4 m CD =，10 m BC =，CD 与地面成30°角，且此时测得1m 长的杆的影子长为2m ，则电线杆的高度约为________m ．（结果保留到0.1 m 1.41≈ 1.73≈）三、解答题（共60分）21.（10分）（1）计算：()1120122|3tan 303π-⎛⎫--++︒ ⎪⎝⎭．（2）先化简，再求代数式的值：222111a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+-+⎝⎭，其中()20121tan 60a =-+︒．22.（8分）如图所示，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO （不计粗细）上有两个木瓜A ，B （不计大小），树干垂直于地面，量得=2 m AB ，在水渠的对面与O 处于同一水平面的C 处测得木瓜A 的仰角为45°、木瓜B 的仰角为30°．求C 处到树干DO 的距离CO ．（结果精确到1m ） 1.73≈ 1.41≈）23.（9分）一副直角三角板如图所示放置，点C 在FD 的延长线上，AB CF ∥，90F ACB ∠=∠=︒，45E ∠=︒，60A ∠=︒，10AC =，试求CD 的长．24.（12分）如图所示，梯形ABCD 是拦水坝的横截面（图中i =DE 与水平宽度CE 的比），60B ∠=︒， 6 m AB =， 4 m AD =，求拦水坝的横截面ABCD 的面积．（结果精确到20.1 m ，1.414≈）25.（10分）如图所示，一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上，小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为60°，然后他从P 处沿坡角为45°的山坡向上走到C 处，这时，30 m PC =，点C 与点A 恰好在同一水平线上，点A ，B ，P ，C 在同一平面内．（1）求居民楼AB 的高度；（2）求C ，A 之间的距离．（精确到0.1m 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈）26.（11分）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A 和海岛B ，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100m 的空中飞行，飞行到点C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角是60°，然后沿平行于AB 的方向水平飞行41.9910 m ⨯到达点D 处，在D 处测得正前方另一海岛顶端B 的俯角是45°，求两海岛间的距离AB ．第二十八章综合测试答案解析一、1.【答案】B 【解析】2tan ==21ααα=的对边的邻边．2.【答案】A 【解析】∵1tan 2BC A AC ==，所以122BC AC ==．3.【答案】A【解析】∵()1cos 902α︒-=，∴9060α︒-=︒，∴30α∠=︒．4.【答案】C【解析】B 到AO 的距离是指BO 的长．∵AB OC ∥，∴36BAO AOC ∠=∠=︒．在Rt BOA △中，∵90BOA ∠=︒，1AB =，∴.sin 36BOAB︒=，∴sin 36=sin 36BO AB =︒︒，故选项A 、B 均错误．过A 作AD OC ⊥于D ，则AD 的长是点A 到OC 的距离，∵36BAO ∠=︒，90AOB ∠=︒，∴54ABO ∠=︒．∵sin 36AD AO ︒=，∴·sin 36AD AO =︒．∵sin 54AOAB=，∴·sin 54AO AB -︒，∴·sin54·sin 36sin54sin36AD AB =︒︒=︒⋅︒，故选项C 正确，D 错误．5.【答案】A【解析】∵(01=，(3=-()224cos3023--⎛-︒=-= ⎝⎭，∴413-＜，即((()32cos30--︒＜＜．6.【答案】C【解析】当4为斜边时，较小锐角的正切值为3；当4为直角边时，较小锐角的正切值为34．7.【答案】A 【解析】∵1sin302︒=，2sin 5A =，∴sinA sin 30︒＜，∴30A ︒∠＜．8.【答案】A【解析】∵tanBC A AC ==5AC =，∴AC =．9.【答案】A【解析】如图，过B 作BD AC ⊥，在Rt ABD △中，21530BAD ∠=⨯︒=︒，∴2AB =，∴12112ABC S =⨯⨯=△．10.【答案】A【解析】如图所示，作AE BC ⊥于点E ．∵sin AE B AB=，∴()sin 1sin 60cm 2AE AB B ==⨯︒= ，∴()2=1cm 22ABCD S BC AE =⨯= 菱形．11.【答案】D【解析】∵tan BCE =∠，∴=30BCE ︒∠，∴=60B ︒∠．∵sin AD B AB =，∴6sin AD AB B ===．又2BE AE =，∴226433BE AB ==⨯=．∵tan BE BCE CE =∠，∴4tan tan30BE CE BCE ===︒∠．12.【答案】D【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒．∵CD AB ⊥，∴90BCD B ∠+∠=︒，∴B ACD ∠=∠．∵3cos 5ACD ∠=，∴3cos =5B ，∴4tan 3B =．∵4BC =，4tan 43AC AC B BC ===，∴163AC =．二、13.【答案】2【解析】2231sin 60tan 30sin 45223222⎛︒÷︒+︒==+= ⎝⎭．14.【答案】45【解析】5AB ===，4sin 5BC A AB ==．15.【答案】75【解析】如图所示，过点P 作PB 垂直x 轴于点B ．∵P 点的坐标为()3,4，∴3OB =，4PB =，∴5OP =．∴437sin cos =555PB OB OP OP αα+=+=+．16.【答案】26【解析】 6.5131sin 302h AB ===︒，∴13260.5AB t v ===（s ）．17.【答案】200【解析】由题意得30CAB ∠=︒，120ABC ∠=︒，∴30ACB ∠=︒，∴CAB ACB ∠=∠，∴200 m AB BC ==．18.【答案】【解析】由题意得旗杆的高度是10tan 6010⨯︒==m ）．19.【答案】2【解析】设CD x =，∵30A ∠=︒，∴2AC x =，∴2AB x =．∵tan CD A AD =，∴tan tan 30CD xAD A ===︒，∴(22DB AB AD x x =-==，∴(2tan 152x DBCD x-︒===-20.【答案】8.7【解析】如图D-6所示，延长AD ，BC ，交于点F ，作DE CF ⊥于点E ．∵30DCE ∠=︒， 4 m CD =，∴ 2 m DE =，CE ===m ）．∵1m 长的杆的影子的长为2m ，∴12DE EF =，∴2 4 m EF DE ==，∴(10414 m BF BC CE EF =++=+=+．∴12AB BF =，即(111478.722AB BF ==+=≈（m ）．三、21.【答案】（1）解：原式=132303-+-⨯==．（2）解：原式()()()2121=11a a a a a a-++++-()()313=111a a a a a a +=+-- ，把()20121tan601a =-+︒===．22.【答案】解：设OC x =，在Rt AOC △中，∵45ACO ∠=︒，∴OA OC x ==．在Rt BOC △中，∵30BCO ∠=︒，∴·tan 303OB OC x =︒=．∵23AB OA OB x x =-=-=，解得35x =+≈．因此，C 处到树于DO 的距离CO 约为5m ．23.【答案】解：如图，过点B 作BM FD ⊥于点M ．在ACB △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，10AC =，∴30ABC ∠=︒，tan 60BC AC =︒=．∵AB CF ∥，∴30BCM ABC ∠=∠=︒．∴1sin302BM BC =︒== ，1cos30152CM BC === ．在EFD △中，90F ∠=︒，45E ∠=︒，∴45EDF ∠=︒，∴MD BM ==15CD CM MD =-=-24.【答案】解：过点A 作AF BC ⊥，垂足为F ．在Rt ABF △中，60B ∠=︒， 6 m AB =，∴sin 6sin60AF AB B ==︒=（m ），cos 6cos603BF AB B ==︒=（m ）．∵AD BC ∥，AE BC ⊥，DE BC ⊥，∴四边形AFED 是矩形．∴DE AF ==， 4 m FE AD ==．在Rt CDE △中，ED i EC ==∴9EC ==（m ）．∴34916BC BF FE EC =++=++=（m ）．∴()()()211=4+1652.0m 22ABCD S AD BD DE +=⨯⨯≈ 梯形因此，拦水坝的横截面ABCD 的面积约为252.0 m ．25.【答案】（1）解：过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ，则45CPD PCD ∠=∠=︒，30APD ∠=︒．在Rt PCD △中，sin45CD PD PC ==︒=．易得四边形ABPD 为矩形，∴21.2AB PD ==≈（m ）．（2）解：在Rt APD △中，tan AD APD PD ∠==∴AD =．∴33.4AC AD DC =+=≈（m ）．26.【答案】解：如图，过点A 作AE CD ⊥于点E ，过点B 作BF CD ⊥，交CD 的延长线于点F ，连接AB ．∵AB CD ∥，∴90AEF EFB ABF ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABFE 为矩形，∴AB EF =，AE BF =．由题意可知：1100200900AE BF ==-=（m ），41.9910 m=19900 m CD =⨯．∴在Rt AEC △中，60C ∠=︒，900 m AE =，∴tan 60AE CE ===︒m ）．在Rt BFD △中，45BDF ∠=︒，900 m BF =．∴900===900tan 451BF DF ︒（m ）∴(1990090020800AB EF CD DF CE ==+-=+-=-m ）．因此，两海岛之间的距离AB 是(20800-m ．。

第二十八章 锐角三角函数一、单选题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 2．（2016甘肃省兰州市）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，BC =6，则AB =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．103．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=513，则tanA 的值为（ ） A ．513 B ．1213 C ．512 D ．1254．Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( ) A ．2sinA 3= B ．2cosA 3= C ．2tanA 3= D ．2cotA 3= 5．如图，过点C （﹣2，5）的直线AB 分别交坐标轴于A （0，2），B 两点，则tan ∠OAB=（ ）A ．25B ．23C ．52D ．326．如图，某超市自动扶梯的倾斜角 为 ，扶梯长 为 米，则扶梯高 的长为（ ）A．米B．米C．米D．米7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考≈3.162)()A．15.81米B．16.81米C．30.62米D．31.62米8．若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（）A．100 αm B．100sinαm C．100cosαm D．100 αm9．某水坝的坡度i=1，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米B．20米C．40米D．2010．如图，两建筑物的水平距离为32 m，从点A测得点C的俯角为30°，点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为()A．14 m B．17 m C．20 m D．22 m二、填空题11．2sin45°+2sin60°﹣＝_____． 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sin A = ．13．某同学沿坡比为1： 的斜坡前进了90米,那么他上升的高度是______米14．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.三、解答题15．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π0． 16．如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°．求该建筑物的高度AB ．（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．18．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据： 53°≈0.8， 53°≈0.6， 53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．答案1．D2．D3．D4．C5．B6．A7．A8．A9．A10．A1112．3513．4514．215．|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π﹣ ）0 =2﹣2×12+6﹣1 =6．16．解：设AM x =米，在Rt AFM ∆中，45AFM ︒∠=，∴FM AM x ==，在Rt AEM ∆中，AM tan EMAEM ∠=，则tan AM EM x AEM ==∠， 由题意得，FM EM EF -=，即40x x -=，解得，60x =+，∴61AB AM MB =+=+答：该建筑物的高度AB为(61+米．17．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。

第二十八章测试卷 [时间：90分钟 分值：120分]一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝2，则cos A 的值是( )图1A ．12B ．33C ．255D ．552．sin 260°＋cos 260°的计算结果为( ) A ．12B ．22C ．32D ．13．如图2，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，cos C ＝14，则sin B 的值为( )图2A ．102B ．153C ．64D ．1044．点M (－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C ．⎝⎛⎭⎪⎫－32，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，325．如图3，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的宽度为( )图3A ．26 mB ．28 mC ．30 mD ．46 m6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为“圭表”．图4是一个根据北京的地理位置设计的“圭表”，其中，立柱AC 高为a .已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC 约为26.5°，则立柱根部与“圭表”的冬至线的距离(即BC 的长)约为( )图4A ．a sin 26.5°B ．a tan 26.5°C ．a cos 26.5°D ．acos 26.5°7．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图5，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( )图5A ．a sin α＋a sin βB ．a cos α＋a cos βC ．a tan α＋a tan βD ．a tan α＋a tan β8．如图6，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则sin A 的值为( )图6A ．12B ．55C ．1010D ．2559．图7①是一个地铁站入口的双翼闸机．如图7②，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10 cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54 cm ，且与闸机侧立面夹角∠ACP ＝∠BDQ ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )A．(543＋10)cm B．(542＋10)cmC．64 cm D．54 cm10．如图8，已知月球到地球的平均距离约为38万公里，点L2到月球的平均距离约为6.5万公里．某刻，测得线段CL2与AL2垂直，∠CBL2＝56°，则下列计算“鹊桥”中继星到地球的距离AC的方法中正确的是()图8A．AC2＝(6.5sin 56°)2＋44.52B．AC2＝(6.5tan 56°)2＋44.52C．AC2＝(6.5cos 56°)2－44.52D．AC2＝(6.5cos 56°)2＋6.52二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图9，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为____.图912．在△ABC 中，如果∠A ，∠B 满足||tan A －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，那么∠C ＝____.13．如图10，AB 是⊙O 的直径，AB ＝15，AC ＝9，则tan ∠ADC ＝________.图1014．如图11，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是点E ，DE ＝6，sin A ＝35，则菱形ABCD 的周长是____.图1115．如图12，有一个底面直径与杯高均为15 cm 的杯子里面盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52°时才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面____cm(sin 52°≈0.79，cos 52°≈0.62，tan 52°≈1.28)．图1216．如图13，一艘渔船正以60海里/h的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5 h后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/h的速度沿BM继续航行____________h即可到达(结果保留根号)．图13三、解答题(共66分)17．(10分)计算：(1)2sin 30°＋cos 60°－tan 60°·tan 30°＋cos2 45°；(2)sin 30°1＋cos 30°＋tan 45°tan 30°.18．(10分)已知在△ABC中，∠C＝90°.(1)若c＝83，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)若a＝36，∠A＝30°，求∠B，b，c.19．(10分)地铁10号线某站点出口横截面平面图如图14所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．(参考数据：sin 14°≈0.24，tan 14°≈0.25，cos 14°≈0.97)图1420．(12分)在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息．已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里，如图15.(1)求收到求救讯息时，事故渔船P与救助船B之间的距离；(2)若救助船A，B分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．图1521．(12分)如图16，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)求证：点H为CE的中点；(3)若BC＝10，cos C＝55，求AE的长．图1622．(12分)阅读下列材料：题目：如图17①，在△ABC中，已知∠A<45°，∠C＝90°，AB ＝1，请用sin A，cos A表示sin 2A．解：如图17②，作AB边上的中线CE，过点C作CD⊥AB于点D，则CE＝12AB＝12，∠CED＝2∠A，CD＝AC sin A，AC＝AB cos A ＝cos A．在Rt△CED中，sin 2A＝sin∠CED＝CDCE＝AC sin A12＝2AC sin A＝2cos A sin A．根据以上阅读材料，请解决下列问题：(1)如图17③，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝3，求sin A，sin 2A的值；(2)上面阅读材料中，题目条件不变，请用sin A或cos A表示cos 2A．参考答案1．D 2.D 3.D 4.B 5.D 6.B 7.C 8．B 9.C 10.B11．2 12.75° 13.34 14.4015．21.15 16.18＋63517．(1)1 (2)218．(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝43 (2)∠B ＝60°，c ＝66，b ＝9 219．电梯AB 的坡度是5∶12，长度是19.5米． 20．(1)60 2 海里 B 船先到达 21．(1)相切，理由略． (2)略 (3)3 522．(1)sin A ＝223，sin 2A ＝429(2)cos 2A ＝2 cos 2A －1。

第二十八章检测卷时间：120分钟 满分：150分题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．tan30°的值等于( ) A.13 B.22 C.33 D.322．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为( )A.12B.22C.32D ．1第2题图 第6题图 第7题图3．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝34，则cos B 的值为( )A.74 B.34 C.35 D.454．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫cos B －322＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°5．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，则cos A2的值是( )A.35B.45C.34D.546．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( )A.35B.34C.105D ．1 7．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米8．如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD 测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB 为( )A ．503米B ．51米C ．(503＋1)米D ．101米9．如图，⊙O 的直径AB ＝4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC ＝5，则AD 的长为( )A.65B.85C.75D.23510．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，tan A ＝12.点P 是斜边AB 上一个动点，过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC (或边CB )于点Q .设AP ＝x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则tan B ＝________．12．菱形的两条对角线长分别为16和12，较长的对角线与菱形的一边的夹角为θ，则cos θ＝________．13．如图，一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为____________海里/时．14．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y .据此判断下列等式成立的是__________(填序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y .三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．计算： (1)3tan30°＋cos 245°－2sin60°； (2)tan 260°－2sin45°＋cos60°.16．根据下列条件解直角三角形：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°； (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝36，b ＝9 2.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．巢湖为我国五大淡水湖之一，是皖中著名的旅游胜地．如图，某同学欲测量巢湖的东西向长度，于是他选择了巢湖沿岸三个地点A ，B ，C ，并测得B ，C 两地直线距离为40km ，∠A ＝45°，∠B ＝30°，求巢湖东西向长度AB (结果精确到0.1km ，参考数据：3≈1.73)．课题 测量教学楼高度方案一二图示测得 数据 CD ＝6.9米，∠ACG ＝22°，∠BCG ＝13°. EF ＝10米，∠AEB ＝32°，∠AFB ＝43°. 参考sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，数据tan22°≈0.40，sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23. tan32°≈0.62，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93.请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度(结果保留整数)．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，点E 是AB 的中点，tan D ＝2，CE＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．20．将一盒足量的牛奶按如图①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P 时停止倒入．图②是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度(结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．六、(本题满分12分)21．如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC .若CD ＝3，BD＝26，sin∠DBC＝33，求对角线AC的长．七、(本题满分12分)22．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，如图，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．八、(本题满分14分)23．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)分别求出A与C、A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)；(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?参考答案与解析1．C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.D 8.C 9．B 解析：连接BD .∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，∴∠ADB ＝90°，OB ＝2.∵OC ∥AD ，∴∠A ＝∠BOC ，∴cos A ＝cos ∠BOC .∵BC 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥BC ，∴cos ∠BOC ＝OB OC ＝25，∴cos A ＝cos ∠BOC ＝25.又∵cos A ＝AD AB ，AB ＝4，∴AD ＝85.故选B. 10．B 解析：当点Q 在AC 上时，∵在Rt △APQ 中，tan A ＝12，AP ＝x ，∴PQ ＝12x ，∴y ＝12AP ·PQ ＝12x ·12x ＝14x 2；当点Q 在BC 上时，∵AP ＝x ，AB ＝10，∴BP ＝10－x .在Rt △BPQ中，tan B ＝AC BC ＝1tan A ＝2，∴PQ ＝2BP ＝20－2x ，∴y ＝12AP ·PQ ＝12x (20－2x )＝－x 2＋10x ，∴该函数图象前半部分是抛物线，开口向上，后半部分也为抛物线，开口向下，并且当Q 点在C 时，x ＝8，y ＝16.故选B.11.125 12.45 13.40＋403314．②③④ 解析：cos(－60°)＝cos60°＝12，故①错误；sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°＝12×22＋32×22＝24＋64＝2＋64，故②正确；sin2x ＝sin(x＋x )＝sin x ·cos x ＋cos x ·sin x ＝2sin x ·cos x ，故③正确；sin(x －y )＝sin x ·cos(－y )＋cos x ·sin(－y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y ，故④正确．故答案为②③④.15．解：(1)原式＝3×33＋⎝⎛⎭⎫222－2×32＝3＋12－3＝12.(4分)(2)原式＝(3)2－2×22＋12＝3－2＋12＝72－ 2.(8分) 16．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3.(4分)(2)∠A ＝30°，∠B ＝60°，c ＝6 6.(8分)17．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.(1分)∵在Rt △BDC 中，∠B ＝30°，BC ＝40km ，∴CD ＝BC ·sin B ＝40×12＝20(km)，BD ＝BC ·cos B ＝40×32＝203(km)．(4分)∵在Rt △ADC 中，∠A ＝45°，CD ＝20km ，∴AD ＝CD ＝20km ，∴AB ＝AD ＋BD ＝20＋203≈54.6(km)．(7分)答：巢湖东西向长度AB 大约是54.6km.(8分)18．解：若选择方法一，解法如下：∵在Rt △BGC 中，∠BCG ＝13°，BG ＝CD ＝6.9米，tan ∠BCG ＝BG CG ，∴CG ＝BG tan13°≈6.90.23＝30(米)．(3分)∵在Rt △ACG 中，∠ACG ＝22°，CG ≈30米，tan ∠ACG ＝AGCG ，∴AG ＝CG ×tan22°≈30×0.40＝12(米)，(6分)∴AB ＝AG ＋BG ＝12＋6.9≈19(米)．(7分)答：教学楼的高度约为19米．(8分)若选择方法二，解法如下：∵在Rt △AFB 中，∠AFB ＝43°，tan ∠AFB ＝AB FB ，∴FB ＝ABtan43°≈AB 0.93.(3分)∵在Rt △ABE 中，∠AEB ＝32°，tan ∠AEB ＝AB EB ，∴EB ＝AB tan32°≈AB0.62.(5分)∵EF ＝EB －FB ＝10米，∴AB 0.62－AB 0.93＝10，∴AB ≈19米．(7分)答：教学楼的高度约为19米．(8分)19．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°.∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB .(3分)∵BC CD ＝32，∴设BC ＝3x ，CD ＝2x .在Rt △ACD中，tan D ＝2，∴ACCD ＝2，∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ，∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.(7分)由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455.(10分)20．解：过点P 作PN ⊥AB 于点N .(1分)由题意可得∠APB ＝∠90°，ABP ＝30°，AB ＝8cm ，∴AP ＝4cm ，BP ＝AB ·cos30°＝43cm.(4分)∵S △APB ＝12AB ·PN ＝12AP ·BP ，∴PN ＝AP ·BPAB ＝4×438＝23(cm)，(8分)∴9－23≈5.5(cm)．(9分)答：容器中牛奶的高度约为5.5cm.(10分)21．解：如图，过点D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，(1分)则∠E ＝90°.∵在Rt △BDE 中，sin ∠DBC ＝33，BD ＝26，∴DE ＝22，∴BE ＝BD 2－DE 2＝4.∵在Rt △CDE 中，CD ＝3，DE ＝22，∴CE ＝CD 2－DE 2＝1，∴BC ＝BE －CE ＝3，∴BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB .(4分)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD .同理AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是菱形．(7分)设AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝12AC ，BO ＝DO ＝12BD ＝6，(10分)∴OC ＝BC 2－BO 2＝3，∴AC ＝2OC ＝2 3.(12分)22．解：过点E 作EF ⊥AC ，EG ⊥CD ，垂足分别为点F ，G .(1分)∵在Rt △DEG 中，DE ＝1620尺，∠D ＝30°，∴EG ＝DE ·sin D ＝1620×12＝810(尺)．(3分)由题意可得BC ＝857.5尺，CF ＝EG ＝810尺，∴BF ＝BC －CF ＝857.5－810＝47.5(尺)．∵在Rt △BEF 中，tan ∠BEF ＝BF EF ，∠BEF ＝30°，∴EF ＝3BF .(7分)设AB ＝x 尺．∵在Rt △AEF 中，∠AEF ＝60°，tan ∠AEF ＝AFEF，∴AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝3EF ＝3BF ，∴x ＋47.5＝3×47.5，∴x ＝95.(11分) 答：雕像AB 的高度为95尺．(12分)23．解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为点E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F .(2分)设AE ＝x 海里．在Rt △AEC 中，∠CAE ＝60°，∴CE ＝AE ·tan60°＝3x 海里，AC ＝AEcos60°＝2x 海里．(4分)在Rt △BCE 中，∠CBE ＝45°，∴BE ＝CE ＝3x 海里．∵AB ＝AE ＋BE ＝100(3＋1)海里，∴x ＋3x ＝100(3＋1)，解得x ＝100.∴AC ＝200海里．(6分)在△ACD 中，∠DAC ＝60°，∠ADC ＝75°，则∠ACD ＝45°.设AF ＝y 海里．在Rt △AFD 中，∠DAF ＝60°，∴AD ＝2y 海里，DF ＝3y 海里．在Rt △CFD 中，∠DCF ＝45°，∴CF ＝DF ＝3y 海里．∵AC ＝AF ＋CF ＝200海里，∴y ＋3y ＝200，解得y ＝100(3－1)，∴AD ＝2y ＝200(3－1)海里．(9分)答：A 与C 之间的距离AC 为200海里，A 与D 之间的距离AD 为200(3－1)海里．(10分)(2)没有．(11分)由(1)可知DF ＝3AF ＝3×100(3－1)≈127(海里)．(13分)∵127海里＞100海里，∴巡逻船A 沿直线AC 航行去营救船C ，在去营救的途中没有触暗礁危险．(14分)。

第二十八章综合测试一、选择题（每小题4分，共32分）1︒的值为（ ）AB .C .3D .12.已知在ABC △中，若90C ∠=︒，1sin 3A =，则cosB 等于（ ）A .13B .1C .23D .33.在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，如果222a b c +=，那么下列结论正确的是（ ） A . sin c A a = B . cos b B c = C . tan a A b =D . tan c B b =4.如图28-8，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，把A ∠的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记作cot bA a=.则下列关系式中不成立的是（ ） A .tan cot 1A A ⋅= B .sin tan cos A A A =⋅ C .cos cot sin A A A =⋅ D .22tan cot 1A A +=5.如图28-9，已知AD 是ABC △的外接圆的直径，13 cm AD =，5cos 13B =，则AC 的长等于（ ） A .5 cmB .6 cmC .12 cmD .10 cm6.在ABC △中，若21sin cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则ABC △是（ ）A .不等边的等腰三角形B .等边三角形C .不等腰的直角三角形D .等腰直角三角形7.（2014·山东威海）如图28-10，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则AOB ∠的正弦值是（ ）A .10B .12C .13D .108.如图28-11（示意图），小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30︒，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60︒，已知小敏同学眼睛到地面的距离AB 为1.6 m ，则这棵树的高度为（结果精确到0.1 m1.73≈）（ ）A .3.5 mB .3.6 mC .4.3 mD .5.1 m二、填空题（每小题5分，共20分）9.如图28-12，一束光线照在坡度为1:3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α=_________.10.如图28-13，在Rt ABC △中，斜边BC 上的高，4AD =，4cos 5B =，则AC =_________. 11.如图28-14所示，将以点A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到'''A B C △，使点'B 与点C 重合，连接'A B ，则tan ''A BC ∠=_________.12.如图28-15，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE AC ⊥交AB 于点E ，若4BC =，AOE △的面积为5，则sin BOE ∠的值为________.三、解答题（共48分）13.（12分）如图28-16，一根长63 m 的木棒（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，与地面的倾斜角（ABO ∠）为60︒.当木棒A 端沿墙下滑至点'A 时，B 端沿地面向右滑行至点'B . （1）求OB 的长；（2）当' 1 m AA =时，求'BB 的长.14.（12分）海上有一小岛，为了测量小岛两端A ，B 的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图28-17所示，已知点B 是CD 的中点，E 是BA 延长线上的一点，测得8.3 n mile AE =，30 n mile DE =，且DE EC ⊥，3cos 5D =.（1）求小岛两端A ，B 的距离；（2）过点C 作CF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，求sin BCF ∠的值.15.（12分）如图28-18，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物顶点A 的仰角为60︒，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为45︒.已知90 m BC =，且B ，C ，D 在同一条直线上，山坡坡度为12（即1tan 2PCD ∠=）. （1）求该建筑物的高度（即AB 的长）；（2）求此人所在位置点P 的铅直高度（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）.16.（12分）在东西方向的海岸线l 上有一长为1 km 的码头MN （如图28-19），在码头西端M 的正西19.5 km 处有一观察站A .某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30︒，且与A 相距40 km 的B 处，经过1 h 20 min ，又测得该轮船位于A 的北偏东60︒，且与A 相距的C 处.（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由.第二十八章综合测试答案解析一、 1.【答案】C3︒==. 2.【答案】A【解析】因为90A B ∠+∠=︒，所以1cos sin 3B A == 3.【答案】A【解析】因为222a b c +=，所以90C ∠=︒.因为sin aA c=，所以 sin c A a =，所以选项A 正确。

数学新人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数单元达标检测试题一．单项选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上）1.如图，为测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB （单位：米）为（ ）A ．B ．51C ．1D ．1011题图 2题图 4题图 5题图 6题图2.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm 长的绑绳EF ，tan α=5/2，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是（ ）A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm3.在△ABC 中，AB=12，AC=13，cos ∠B=，则BC 边长为 （ ）A ．7B ．8C ．8或17D ．7或174.如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD =2，tan ∠OAB =1/2，则AB 的长是 ( )A. 4B. 2C. 8D. 45.如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是（ ）A.R 2﹣r 2=a 2B.a=2Rsin36°C.a=2rtan36°D.r=Rcos36°6.如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为︒55，路基高度为5.8米，则路基下底宽为（精确到0.1米） （ ）A. 18.1米B.18.2米C.18.3米D.18.4米7.计算6tan45°－2cos60°的结果是 ( )A ．4 3B ．4C ．5D ．5 38.在△ABC 中，(tan A －3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－cos B ＝0，则∠C 的度数为 ( ) A ．30° B．45° C．60° D．75° 9.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝513，则cos A 的值为 ( ) A.512 B.813 C.23 D.121310.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是 ( )A ．c sin A ＝aB ．b cos B ＝cC ．a tan A ＝bD ．c tan B ＝b二．填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．把答案写在答题卡中的横线上11.如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是米．11题图13题图12.已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β=．13.△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=60°．14．如图，AB和⊙O切于点B，AB=5，OB=3，则tanA=．15.如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．15题图 16题图 17题图16. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是 m（结果保留根号）17.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB 与AC相交于点E．则∠OCA的度数为18.湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°（如图）．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为米（保留整数）18题图19题图19.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB＝________.20.若方程x2－4x＋3＝0的两根分别是Rt△ABC的两条边，若△ABC最小的角为A，那么tan A ＝______.三、解答题（每小题10分，共90分）21.如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求两根较粗钢管AD和BC的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73）22.如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h．经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D位，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O有多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)23.如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）24.“东方之星”客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨．搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现前方江面上B处有一漂浮物，从A测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距江面100米高度飞行搜索，飞行速度为10米每秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方？（结果精确到0.1，≈1.73）25.如图，一艘轮船航行到B 处时，测得小岛A 在船的北偏东60°的方向，轮船从B 处继 续向正东方向航行200海里到达C 处时，测得小岛A 在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）26.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量 ，眼睛与地面 的距离（AB ）是1.7米，看旗杆顶部E 的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD ） 是0.7米，看旗杆顶部E 的仰角为45°. 两人相距5米且位于旗杆同侧（点B 、D 、F 在同一 直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF ．（结果保留根号）（2）求旗杆EF 的高度．（结果保留整数.参考数据：4.12≈，7.13≈）27.如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A 处观测到灯塔C 在北偏西60°方向上，航行1小时到达B 处，此时观察到灯塔C 在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）28.如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E 的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）（1）求AE的长；（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？29.如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点．已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米（AB垂直地面BC），在地面C处测得点E的仰角α=45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β=60°，求点E离地面的高度EF．（结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7）2016年中考数学人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数单元达标检测试题答案一．单项选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上）1.C2.B3.D4.C5.A6.A7.C8.D9.D10.A二．填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．把答案写在答题卡中的横线上11. 12.75° 13. 60° 14. 3/5 15.1/216. ° 18.45 19. 90°20.2 4三、解答题（每小题10分，共90分）21.两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2cm、90.3cm．22. 13.5km23.AC=AB+BC=AB+DE=70+35=105cm24.该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行17.3秒可到达漂浮物的正上方25.解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险理由如下：如图所示．则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．∴∠CAB=∠ABD，∴BC=AC=200海里．在Rt△ACD中，设CD=x海里，则AC=2x，AD===x，在Rt△ABD中，AB=2AD=2x，BD===3x，又∵BD=BC+CD，∴3x=200+x，∴x=100．∴AD=x=100≈173.2，∵173.2海里＞170海里，∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．3(米) （2）EF=9.8≈10（米）26.（1）DF= 4+327. 17（海里）28.解：（1）AE的长为10米．（2）旗子到达旗杆顶端需要28秒29.点E离地面的高度EF是100米。

３２４３５３２４５时间:４５分钟满分:１００分题序一二三总分结分人核分人得分一、选择题(每题３分,共２４分)１．如图,R t△A B C,∠C＝９０°,A B＝６,c o s B＝２,则B C的长为()．A．４B．２５C．１８１３D．１２１３２．１３()．１３(第１题) s i n６０°的相反数是A．－１B．－３C．－３D．－２３．如图,已知一商场自动扶梯的长l为１０m,该自动扶梯到达的高度h为６m,自动扶梯与地面所成的角为θ,则t a nθ的值等于()．A.３B.４C.３(第３题) (第５题) (第６题)４．把△A B C三边的长度都扩大为原来的３倍,则锐角A的正弦函数值()．A．不变B．缩小为原来的１C．扩大为原来的３倍D．不能确定５．如图是教学用的直角三角板,边A C＝３０c m,∠C＝９０°,t a n∠B A C＝３,则边B C的长为()．３A．３０３c m B．２０３c m C．１０３c m D．５３c m６．如图,直径为１０的☉A经过点C(０,５)和点O(０,０),B是y轴右侧☉A优弧上一点,则∠O B C的余弦值为()．A.１B.３ C.３D.４第二十八章综合达标训练卷锐角三角函数D．４５B 的对边 , 如果 ７．如图,从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为３０°、４５°,如果此时热气球C 处的高度 C D 为１００米,点A 、D 、B 在同一直线上,则A B 两点的距离是( )．A ．２００米B ．２００ ３米C ．２２０ ３米D．１００(３＋１)米 (第７题) (第８题)８．小明想测一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图,此时测得地面上的影长为８米,坡面上的影长为４米,已知斜坡的坡角为３０°,同一时刻,一根长为１ 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为２米,则树的高度为( )． A ．(６＋ ３)米 B ．１２米C ．(４－２ ３)米D ．１０米二、填空题(每题３分,共２４分)９．数学实践探究课中,老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部１０米的地方,用测角仪测得旗杆顶端的仰角为６０°,则旗杆的高度是 米． (第９题) (第１０题) (第１３题)１０．如图,△A B C 的顶点都在方格纸的格点上,则s i n A ＝ ． １１．已知在△A B C 中,∠A 、∠B 为锐角,且s i n A ＝ ２,c o s B ＝１,∠C ＝．１２．在R t △A B C 中,∠C ＝９０°,a ,b 分别是∠A 、∠ ２２s i n A ∶s i n B ＝２∶３,那么a ∶b等于 ． １３．如图,为测量某物体A B 的高度,在D 点测得A 点的仰角为３０°,朝物体A B 方向前进２０米到达点C ,再次测得A 点的仰角为６０°,则物体的高度为 米． １４．如图,在 R t △A B C 中,C D 为斜边的高,若A D ＝８,B D ＝４,则s i n A ＝．(第１４题) (第１５题) (第１６题)１５．如图,某河道要建造一座公路桥,要求桥面离地面高度 A C 为３m ,引桥的坡角∠A B C 为１５°,则引桥的水平距离B C 的长是 m ．(精确到０．１m ) １６．如图,一副三角板拼在一起,O 为A D 的中点,A B ＝a ．将△A B O 沿B O 对折至△A ′B O ,M 为B C 上一动点,则A ′M 的最小值为 ．４三、解答题(第１７、１８题每题６分,第１９、２０题每题７分,第２１、２２题每题８分,第２３题１０分,共５２分)１７．计算:(１)s i n３０°＋c o s２６０°－t a n４５°－３t a n３０°;(２)２c o s４５°－３８＋(１－２)０．１８．在R t△A B C中,一锐角的正切值为３,△A B C的周长为２４,求△A B C的三边长．１９．小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差．如图,他利用测角仪站在C点处测得∠A C B＝６８°,再沿B C方向走８０m到达D处,测得∠A D C＝３４°,求落差A B．(测角仪高度忽略不计,结果精确到１m,可以使用计算器)(第１９题)２０．黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图(１)所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图(２)所示,其中∠B＝∠D＝９０°,A B＝B C＝１５千米,C D＝３２千米,请据此解答如下问题:(１)求该岛的周长和面积(结果保留整数,参考数据２≈１．４１４,３≈１．７３,６≈２．４５);(２)求∠A C D的余弦值．(第２０题)２１．青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且是屡败屡试,永不言弃．(如图所示)一天,灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为６０°,然后下到城堡的C处,测得B处的俯角为３０°．已知A C＝４０米,若灰太狼以５m/s的速度从城堡底部D处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊? (结果精确到个位)(第２１题)２２．水利部门为加强防汛工作,决定对某水库大坝进行加固,大坝的横截面是梯形A B C D．如图所示,已知迎水坡面A B的长为１６米,∠B＝６０°,背水坡面C D的长为１６３米,加固后大坝的横截面为梯形A B E D,C E的长为８米．(１)已知需加固的大坝长为１５０米,求需要填土石方多少立方米?(２)求加固后大坝背水坡面D E的坡度．(第２２题)２３．如图,已知斜坡A B长６０米,坡角(即∠B A C)为３０°,B C⊥A C,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线C A的平台D E和一条新的斜坡B E．(请将下面２小题的结果都精确到０．１米,参考数据:３≈１．７３２)(１)若修建的斜坡B E的坡角(即∠B E F)不大于４５°,则平台D E的长最多为米;(２)一座建筑物G H距离坡角A点２７米远(即A G＝２７米),小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HD M)为３０°．点B、C、A、G、H在同一个平面内,点C、A、G在同一条直线上,且H G⊥C G,问建筑物G H高为多少米?(第２３题)(１５ ２)２ －(３ ２)２４ ２BD ５ ５３C D３ １ 第二十八章 综合达标训练卷(A卷)．A ２．C ３．A ４．A ５．C ６．C ７．D ８．AA G ＝s i n ６０°AB ＝ ２ ×１６＝８ ３,９．１０ ３ １０．５ １１．７５° ∴ DH ＝８ ３． ５ １２ ２∶３ １３ ３∴ S △ ＝ １ D H C E ＝ １×８ ３×８＝３２ ３．． ．１０ ３ １４．３D C E２２１５．１１．２ １６． ６－ ２a１７．(１)－ ５ ;∴ 需要填土石方３２ ３×１５０＝４８００ ３(m ３);(２)在 R t △DH C 中,H C ＝ D C ２－DH ２ ＝(１６ ３)２ －(８ ３)２＝２４, ４ ∴ H E ＝H C ＋C E ＝２４＋８＝３２． ２ DH (２)原式＝２× ２ －３×２ ２＋１＝ －５ ２＋１．∴ 加固后大坝背水坡面 D E 的坡度＝ HE＝１８．６,８,１０, ,８ ３ １９．∵ ∠A C B ＝６８° ∠D ＝３４° ３２∴ ∠C A D ＝６８°－３４°＝３４°, ∴ ∠C A D ＝ ∠D , ∴ A C ＝C D ＝８０．在R t △A B C 中,A B ＝A C ×s i n ６８°＝８０×s i n ６８°＝７４, ∴ 瀑布的落差约为７４m ．(第２２题)２０．(１)连接A C , , ,２３．(１)∵ 修建的斜坡B E 的坡角(∠B E F )不大于４５°, ∵ A B ＝B C ＝１５千米 ∠B ＝９０°∴ ∠B E F 最大为４５°．∴ ∠B A C ＝ ∠A C B ＝４５°,A C ＝１５ ２千米． 又 ∠D ＝９０°, ∴ AD ＝ AC ２－CD ２ ＝当∠B E F ＝４５°时,E F 最短,此时E D 最长．∵ ∠D A C ＝ ∠B D F ＝３０°,A D ＝B D ＝３０, ∴ B F ＝E F ＝ １BD ＝１５, ∴ ＝１２ ３(千米), ＋ D F ＝１５ ３,２周长＝A B ＋B C ＋C D DA( ) ( );＝３０＋３ ２＋１２ ３故 D E ＝D F －E F ＝１５ ３－１ ≈１１．０ 米 ＝３０＋４．２４２＋２０．７８４≈５５(千米)．面积＝S △ABC ＋S △ADC(２)过点 D 作D P ⊥A C 于点P ． 在 R t △D P A 中,D P ＝ １A D ＝ １ ×３０＝１５, ＝ １ ×１５×１５＋ １ ×１２ ３×３ ２２ ２２ ２ P A ＝A D c o s ３０°＝ ３×３０＝１５ ３．＝２２５＋１８ ６≈１５７(平方千米); (２)c o s ∠A C D ＝C D ＝ ３ ２ ＝ １ ．在矩形 D P G M 中, ２ M G ＝D P ＝１５,D M ＝P G ＝１５ ３＋２７, AC ２１．在 R t △B C D 中, １５ ２５ ,在 R t △D M H 中,H M ＝D M t a n ３０°＝ ３×(１５＋２７)＝１５＋９ ３． ∵ ∠B C D ＝９０°－３０°＝６０°∴ B D ＝t a n ６０°,则B D ＝ ３C D ． ３G H ＝H M ＋M G ＝１５＋１５＋９ ３≈４５．６． CD 在 R t △A B D 中, ,故建筑物G H 高为４５．６米．∵ ∠A B D ＝６０°∴ A D ＝t a n ６０°, 即 ４０＋C D ＝ ３,C D ＝２０．∴ t ＝ ３C D ≈３５＝７．故约７秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊． ２２．(１)过点 A 作A G ⊥B C 于点G ,过点 D 作DH ⊥ B C 于点H , ∴ AG ＝DH ． 在 R t △A B G 中,(第２３题)＝ ３． ４。

第二十八章综合测试答案解析一、 1.【答案】B 【解析】2tan ==21ααα=的对边的邻边．2.【答案】A 【解析】∵1tan 2BC A AC ==，所以122BC AC ==． 3.【答案】A【解析】∵()1cos 902α︒-=，∴9060α︒-=︒，∴30α∠=︒． 4.【答案】C【解析】B 到AO 的距离是指BO 的长．∵AB OC ∥，∴36BAO AOC ∠=∠=︒． 在Rt BOA △中，∵90BOA ∠=︒，1AB =，∴.sin 36BOAB︒=，∴sin 36=sin 36BO AB =︒︒，故选项A 、B 均错误．过A 作AD OC ⊥于D ，则AD 的长是点A 到OC 的距离，∵36BAO ∠=︒，90AOB ∠=︒，∴54ABO ∠=︒．∵sin 36AD AO ︒=，∴·sin 36AD AO =︒．∵sin 54AOAB=，∴·sin 54AO AB -︒， ∴·sin54?sin 36sin54sin36AD AB =︒︒=︒⋅︒，故选项C 正确，D 错误． 5.【答案】A【解析】∵(01=，(3=-()224cos303--⎛-︒== ⎝⎭，∴413-＜，即((()302cos30--︒＜＜． 6.【答案】C【解析】当44为直角边时，较小锐角的正切值为34．7.【答案】A 【解析】∵1sin302︒=，2sin 5A =，∴sinA sin 30︒＜，∴30A ︒∠＜． 8.【答案】A【解析】∵tan BC A AC ==∴5AC =，∴AC =． 9.【答案】A【解析】如图，过B 作BD AC ⊥，在Rt ABD △中，21530BAD ∠=⨯︒=︒，∴2AB =，∴12112ABC S =⨯⨯=△．10.【答案】A【解析】如图所示，作AE BC ⊥于点E ．∵sin AE B AB =，∴)sin 1sin 60cm AE AB B ==⨯︒= ，∴)2=1cm ABCD S BC AE == 菱形．11.【答案】D【解析】∵tan BCE =∠，∴=30BCE ︒∠，∴=60B ︒∠．∵sin AD B AB =，∴6sin AD AB B ===．又2BE AE =，∴226433BE AB ==⨯=．∵tan BE BCE CE =∠，∴4tan tan 30BE CE BCE ===︒∠． 12.【答案】D【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒． ∵CD AB ⊥，∴90BCD B ∠+∠=︒，∴B ACD ∠=∠．∵3cos 5ACD ∠=，∴3cos =5B ，∴4tan 3B =． ∵4BC =，4tan 43AC AC B BC ===，∴163AC =． 二、 13.【答案】2【解析】2231sin 60tan 30sin 45222︒÷︒+︒=+=+=⎝⎭． 14.【答案】45【解析】5AB ===，4sin 5BC A AB ==． 15.【答案】75【解析】如图所示，过点P 作PB 垂直x 轴于点B ．∵P 点的坐标为()3,4，∴3OB =，4PB =，∴5OP =． ∴437sin cos =555PB OB OP OP αα+=+=+．16.【答案】26 【解析】 6.5131sin 302h AB ===︒，∴13260.5AB t v ===（s ）． 17.【答案】200【解析】由题意得30CAB ∠=︒，120ABC ∠=︒，∴30ACB ∠=︒，∴CAB ACB ∠=∠，∴200 m AB BC ==． 18.【答案】【解析】由题意得旗杆的高度是10tan 6010⨯︒==m ）． 19.【答案】2【解析】设CD x =，∵30A ∠=︒，∴2AC x =，∴2AB x =．∵tan CD A AD =，∴tan tan30CD xAD A ==︒，∴(22DB AB AD x x =-==，∴(2tan 152x DBCD x-︒=== 20.【答案】8.7【解析】如图D-6所示，延长AD ，BC ，交于点F ，作DE CF ⊥于点E ．∵30DCE ∠=︒， 4 m CD =，∴ 2 m DE =，CE ===m ）．∵1 m 长的杆的影子的长为2 m ，∴12DE EF =，∴2 4 m EF DE ==，∴(10414 m BF BC CE EF =++=++=+．∴12AB BF =，即(111478.722AB BF ==+=≈（m ）．三、21.【答案】（1）解：原式=13230-+-==． （2）解：原式()()()2121=11a a a a a a -++++-()()313=111a a a a a a +=+-- ，把()20121tan 601a =-+︒===．22.【答案】解：设OC x =，在Rt AOC △中，∵45ACO ∠=︒，∴OA OC x ==．在Rt BOC △中，∵30BCO ∠=︒，∴·tan 30OB OC x =︒=．∵2AB OA OB x x =-==，解得35x =≈． 因此，C 处到树于DO 的距离CO 约为5 m ． 23.【答案】解：如图，过点B 作BM FD ⊥于点M ．在ACB △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，10AC =，∴30ABC ∠=︒，tan 60BC AC =︒=． ∵AB CF ∥，∴30BCM ABC ∠=∠=︒．∴1sin302BM BC =︒== ， 1cos30152CM BC === ． 在EFD △中，90F ∠=︒，45E ∠=︒，∴45EDF ∠=︒，∴MD BM ==15CD CM MD =-=- 24.【答案】解：过点A 作AF BC ⊥，垂足为F ． 在Rt ABF △中，60B ∠=︒， 6 m AB =，∴sin 6sin60AF AB B ==︒=（m ）， cos 6cos603BF AB B ==︒=（m ）． ∵AD BC ∥，AE BC ⊥，DE BC ⊥，∴四边形AFED 是矩形．∴DE AF ==， 4 m FE AD ==． 在Rt CDE △中，ED i EC ==∴9EC =（m ）． ∴34916BC BF FE EC =++=++=（m ）．∴()()()211=4+1652.0m 22ABCD S AD BD DE +=⨯⨯≈ 梯形 因此，拦水坝的横截面ABCD 的面积约为252.0 m ．25.【答案】（1）解：过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ，则45CPD PCD ∠=∠=︒，30APD ∠=︒．在Rt PCD △中，sin45CD PD PC ==︒=． 易得四边形ABPD 为矩形，∴21.2AB PD ==≈（m ）．（2）解：在Rt APD △中，tan AD APD PD ∠==∴AD =．∴33.4AC AD DC =+=≈（m ）．26.【答案】解：如图，过点A 作AE CD ⊥于点E ，过点B 作BF CD ⊥，交CD 的延长线于点F ，连接AB ．∵AB CD ∥，∴90AEF EFB ABF ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABFE 为矩形，∴AB EF =，AE BF =． 由题意可知：1100200900AE BF ==-=（m ），41.9910 m=19900 m CD =⨯．∴在Rt AEC △中，60C ∠=︒，900 m AE =，∴tan 60AE CE ===︒m ）． 在Rt BFD △中，45BDF ∠=︒，900 m BF =．∴900===900tan 451BF DF ︒（m ）∴(1990090020800AB EF CD DF CE ==+-=+-=-m ）．因此，两海岛之间的距离AB 是(20800-m ．。

第二十八章达标测试卷时间：100分钟 满分：120分一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos 45°的值为( ) A.12B.22C.32D ．12．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高．若AB ＝5，AC ＝3，则tan ∠BCD 为( ) A.43B.34C.45D.35(第2题) (第4题) (第5题) (第6题) 3．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋(1－tan B )2＝0，则∠C 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°4．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( ) A.12B.13C.14D.245．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为24 m ，那么旗杆AB 的高度是( ) A ．12 mB ．8 3 mC ．24 mD ．24 3 m6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( ) A ．26 mB ．28 mC ．30 mD ．46 m7．如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( ) A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2)mD ．(26－2)m(第7题)(第8题)8．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan ∠OAB 等于()A.25 B.23 C.52 D.329．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝35，则下列结论中正确的有()①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝210 cm.A．1个B．2个C．3个D．4个(第9题)(第10题) (第12题)10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A.312 B.36 C.33 D.32二、填空题(每题3分，共24分)11．已知α为锐角，sin(α－20°)＝32，则α＝________.12．如图，若点A的坐标为(1，3)，则∠1＝________.13．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．(第14题) (第15题)(第16题)(第18题)14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，若sin∠CAM＝35，则tanB＝________．15．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90 m，那么该建筑物的高度BC约为________m(精确到1 m，参考数据：3≈1.73)．16．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC ＝2，则tan D＝________．17．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为________．18．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30 m，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10 m．请根据这些数据求出河的宽度为______________m.三、解答题(19，21，24题每题12分，其余每题10分，共66分)19．计算：(1)(－2)3＋16－2sin 30°＋(2 019－π)0；(2)sin2 45°－cos 60°－cos 30°tan 45°＋2sin2 60°·tan 60°.20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．21．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC 的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sin A＝45，求AD的长．(第21题)22．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC ＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．(第22题)23．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋3)m，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为22m/s.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？(第23题)24．如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3 m到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C 处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N 的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2 m，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求：(1)树DE的高度；(2)食堂MN的高度．(第24题)答案一、1. B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. D7．B8. B 9. C10．B点拨：如图，设BC＝x.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，∴AC＝2BC＝2x，AB＝3BC＝3x.根据题意，得AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB ＝3x，过点E作EM⊥AD于点M，则AM＝12AD＝12x.在Rt△AEM中，cos ∠EAD＝AMAE＝12x3x＝36. (第10题)二、11. 80°12. 60°13. 1214.2315. 20816．22点拨：如图，连接BC，易知∠D＝∠A.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AB＝3×2＝6，AC＝2，∴BC2＝62－22＝32, ∴BC＝4 2.∴tan D＝tan A＝BCAC＝422＝2 2.(第16题)17．123点拨：如图，过A点作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，则∠ABD＝180°－120°＝60°.在Rt△ABD中，AD＝AB·sin ∠ABD＝6×32＝33，∴S△ABC＝12AD·BC＝12×33×8＝12 3.(第17题)18．(30＋103)三、19.解：(1)原式＝－8＋4－2×12＋1＝－8＋4－1＋1＝－4；(2)原式＝(22)2－12－32＋2×(32)2×3＝ 3.20．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k ，∴sin B ＝b c ＝2k 13k ＝21313，cos B ＝a c ＝3k 13k ＝31313，tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23.21．解：(1)在Rt △ABE 中，∵∠A ＝60°，∠ABE ＝90°，AB ＝6，tan A ＝BEAB ，∴∠E ＝30°，BE ＝AB ·tan A ＝6×tan 60°＝6 3.在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝4，sin E ＝CDCE ，∠E ＝30°， ∴CE ＝CD sin E ＝412＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2)∵∠ABE ＝90°，AB ＝6，sin A ＝45＝BEAE ，∴可设BE ＝4x (x ＞0)，则AE ＝5x ，由勾股定理可得AB ＝3x ， ∴3x ＝6，解得x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∴tan E ＝AB BE ＝68＝CD DE ＝4DE ， 解得DE ＝163.∴AD ＝AE －DE ＝10－163＝143.22．解：在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC＝BCtan A＝2 3.∴EF＝AC＝2 3.∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sin E＝ 6.∴AF＝AC－FC＝23－ 6.23.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，小明的行走速度是a.(第23题)∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴CD＝AD＝x，∴AC＝2x.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝CDsin 30°＝x12＝2x.∵小军的行走速度为22m/s，小明与小军同时到达山顶C处，∴2x22＝2xa，解得a＝1(m/s)．答：小明的行走速度是1 m/s. 24．解：(1)设DE＝x.∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝EFtan∠EAF＝x－233＝3(x－2)．又∵CD＝DEtan ∠DCE ＝x3＝33x，BC＝ABtan ∠ACB＝233＝23，∴BD＝BC＋CD＝23＋3 3x.由AF＝BD可得3(x－2)＝23＋33x，解得x＝6(m)．答：树DE的高度为6 m.(2)如图，延长N M交DB的延长线于点P，则AM＝B P＝3.(第24题)由(1)知CD＝33x＝33×6＝23，BC＝23，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋4 3. ∵∠NDP＝45°，∴NP＝PD＝3＋4 3.∵MP＝AB＝2，∴NM＝NP－MP＝3＋43－2＝1＋43(m)．答：食堂M N的高度为(1＋43)m.。