江西省南昌市2015届高三第一轮复习训练 数学(4)(导数及其应用)

第四节指数函数[基础达标]一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·威海测试)若点(a,9)在函数y=()x的图象上,则+1的值为()A.4B.C.D.01.C【解析】点(a,9)在函数y=()x的图象上,所以9=()a,解得a=4,所以+1+1=2+(24=2+2-1=.2.下列函数中值域为正实数的是()A.y=-5xB.y=C.y=D.y=(-3)|x|2.B【解析】∵1-x∈R,y=的值域是正实数,∴y=的值域是正实数.3.(2016·某某某某一中月考)方程2-x+x2=3的实数解的个数为()A.2B.3C.1D.43.A【解析】方程2-x+x2=3的解的个数即为方程=3-x2的解的个数,易知两图象y1=,y2=3-x2有两个交点,因此方程的实数解的个数为2.4.(2015·某某质检)曲线y=e x与直线y=5-x交点的纵坐标在区间(m,m+1)(m∈Z)内,则实数m 的值为()A.1B.2C.3D.44.C【解析】因为函数y1=e x的图象单调递增,y2=5-x的图象单调递减,当x=1时,y1=e,y2=4,∴y1<y2,当x=2时,y1=e2,y2=3,∴y1>y2,∴交点的横坐标x0满足1<x0<2,对应的纵坐标y0满足3<y0<4,故m=3.5.(2016·某某某某中学开学测试)若函数f(x)=2(x-a)(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的取值X围()A.(-∞,1]B.(-∞,0]C.[1,+∞)D.[2,+∞)5.C【解析】由f(1+x)=f(1-x)可知函数图象关于直线x=1对称,所以a=1,所以f(x)=2|x-a|=2|x-1|,易知其在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故要使f(x)在[m,+∞)上单调递增,则m的取值X围是[1,+∞).6.(2016·某某三校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),都有<0.则下列结论正确的是()A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25)B.f(log25)<f(20.3)<f(0.32)C.f(log25)<f(0.32)<f(20.3)D.f(0.32)<f(log25)<f(20.3)6.A【解析】对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),都有<0可知函数在(-∞,0)上单调递减,又由于f(x)为偶函数,因此在(0,+∞)上函数f(x)单调递增,而0<0.32<1,1<20.3<2,log25>2,所以f(0.32)<f(20.3)<f(log25).7.(2016·某某一中调研)如图给出了函数y=a x,y=log a x,y=log(a+1)x,y=(a-1)x2的图象,则与函数y=a x,y=log a x,y=log(a+1)x,y=(a-1)x2依次对应的图象是()A.①②③④B.①③②④C.②③①④D.①④③②7.B【解析】由题可知a>0,a≠1,由图可知①对应函数y=a x,且0<a<1,所以a+1>1,a-1<0,因此③对应于函数y=log a x,④对应于函数y=(a-1)x2,②对应于函数y=log(a+1)x.二、填空题(每小题5分,共15分)8.函数y=a x-2016+2016(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.8.(2016,2017)【解析】令x-2016=0,得x=2016,此时y=a0+2016=2017,故函数y=a x-2016+2016的图象恒过定点(2016,2017).9.已知函数f(x)=+sin x,则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=.9.5【解析】由f(x)=+sin x,得f(x)+f(-x)=2,所以f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=2×2+f(0)=4++sin 0=5.10.(2015·某某师大附中模拟)已知函数f(x)=log2x(x>0)的反函数为f-1(x),且f-1(a)·f-1(b)=8,若a>0且b>0,且的最小值为.10.3【解析】由题可知函数f(x)=log2x(x>0)的反函数为y=2x,即f-1(x)=2x,所以f-1(a)·f-1(b)=2a·2b=2a+b,因此2a+b=8,即a+b=3,所以(a+b)·×(5+2)=3.[高考冲关]1.(5分)(2015·某某质检)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),下列结论必成立的是()A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<21.D【解析】因为f(x)=|2x-1|=其图象如图所示,要使a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b)成立,则有a<0,b<0,c>0且1-2a>2c-1,即2a+2c<2,观察选项知D项正确.2.(5分)关于x=1对称的函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=1-x,则关于x的方程f(x)=在x∈[0,3]上解的个数是()A.1B.2C.3D.42.D【解析】由f(x-1)=f(x+1)知函数的周期为2,作出f(x)在[0,3]上的图象与函数y=的图象,易知它们交点个数为4,则方程f(x)=在x∈[0,3]上解的个数是4.3.(5分)(2015·某某一诊)计算:2=.3.6【解析】原式=2××1=2×=2×=6.4.(5分)(2015·某某调研)已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则在直角坐标系下函数g(x)=的图象为()4.B【解析】由题可知f(x)=x-4+=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x=2时,等号成立,所以a=2,b=f(2)=1,故g(x)=,其图象可由y=向左平移1个单位得到,观察知B项正确.5.(10分)(2015·某某日照一中月考)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最小值1和最大值4,设f(x)=.(1)求a,b的值;(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在区间[-1,1]上有解,某某数k的取值X围.5.【解析】(1)由已知可得g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故解得a=1,b=0.(2)由已知可得f(x)=x+-2,所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+-2≥k·2x,即1+-2·≥k,令t=,由x∈[-1,1],得t∈,则k≤t2-2t+1,t∈.记h(t)=t2-2t+1,t∈,易得h(t)max=h(2)=1,所以k的取值X围是(-∞,1].。

第三章 章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.(2013·泰安高三二模)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于 ( )A.12B ．1C ．2D ．02．函数f (x )＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则 ( )A ．a <1B ．a <13C ．a <0D ．a ≤03．(2013·洛阳模拟)已知f (x )＝(a ＋1)x ＋a x ＋1，且f (x －1)的图象的对称中心是(0,3)，则f ′(2)的值为 ( )A ．－19 B.19C ．－14 D.144．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为 ( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角 5．(2013·山东)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) A ．13万件 B ．11万件C ．9万件D ．7万件6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 是常数)在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上f (x )的最小值是 ( )A ．－5B ．－11C ．－29D ．－377．(2013·江西) 如图，一个正五角形薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t ) (S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图象大致( )8．已知x ≥0，y ≥0，x ＋3y ＝9，则x 2y 的最大值为 ( )A ．36B ．18C ．25D ．429．(2013·合肥模拟)已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为 ( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)10.如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于 ( )A.89B.109C.169D.5411．(2013·宝鸡高三检测三)已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 12．(2013·唐山月考)已知函数y ＝f (x )＝x 3＋px 2＋qx 的图象与x 轴切于非原点的一点，且y 极小值＝－4，那么p ，q 的值分别为 ( )A ．6,9B ．9,613．函数f (x )＝x ln x 在(0,5)上的单调递增区间是____________．14．(2013·安庆模拟)已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，则f (1)，f (2)，f (3)的大小关系为________________________．15．(2013·福建改编)22(1cos )x dx ππ-+⎰＝________. 16．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是________(填写所有正确的序号)． ①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )没有最小值，也没有最大值．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5. (1)求函数f (x )的单调递增、递减区间；(2)当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2013·莆田月考)已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2＋3x (x ∈R )． (1)若a ＝1，点P 为曲线y ＝f (x )上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程；(2)若函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a .19．(12分)(2013·福州高三质检)已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数．20．(12分)(2013·全国)已知函数f (x )＝3ax 4－2(3a ＋1)x 2＋4x .(1)当a ＝16时，求f (x )的极值； (2)若f (x )在(－1,1)上是增函数，求a 的取值范围．21．(12分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？22．(12分)(2013·黄山模拟)设函数f (x )＝x 2e x －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点．(1)求a 和b 的值；(2)讨论f (x )的单调性；(3)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．答案 1．C [由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，所以f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.]2．D [由题意知，f ′(x )＝3ax 2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，a ＝0时，f ′(x )≤0在(－∞，＋∞)上恒成立；a >0时，1a≥3x 2在(－∞，＋∞)上恒成立，这样的a 不存在； a <0时，1a≤3x 2在(－∞，＋∞)上恒成立，而3x 2≥0， ∴a <0.综上，a ≤0.]3．B [f (x )＝a ＋1－1x ＋1，中心为(－1，a ＋1)，由f (x －1)的中心为(0,3)知f (x )的中心为(－1,3)，∴a ＝2.∴f (x )＝3－1x ＋1. ∴f ′(x )＝1(x ＋1)2.∴f ′(2)＝19.] 4．C [f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， f ′(4)＝2e 4sin ⎝⎛⎭⎫4＋π4<0， 则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为钝角．]5．C [∵y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0得x ＝9(x ＝－9舍去)．当0<x ≤9时，y ′≥0，f (x )为增函数，当x >9时，y ′<0，f (x )为减函数．∴当x ＝9时，y 有最大值．]6．D [f ′(x )＝6x 2－12x ，若f ′(x )>0，则x <0或x >2，又f (x )在x ＝0处连续，∴f (x )的增区间为[－2,0)．同理f ′(x )<0，得减区间(0,2]．∴f (0)＝a 最大．∴a ＝3，即f (x )＝2x 3－6x 2＋3.比较f (－2)，f (2)得f (－2)＝－37为最小值．]7．A [利用排除法．∵露出水面的图形面积S (t )逐渐增大，∴S ′(t )≥0，排除B.记露出最上端小三角形的时刻为t 0.则S (t )在t ＝t 0处不可导．排除C 、D ，故选A.]8．A [由x ＋3y ＝9，得y ＝3－x 3≥0，∴0≤x ≤9. 将y ＝3－x 3代入u ＝x 2y ， 得u ＝x 2⎝⎛⎭⎫3－x 3＝－x 33＋3x 2. u ′＝－x 2＋6x ＝－x (x －6)．令u ′＝0，得x ＝6或x ＝0.当0<x <6时，u ′>0；6<x <9时，u ′<0.∴x ＝6时，u ＝x 2y 取最大值36.]9．D [由f (x )的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,1)上f ′(x )<0. 由(x 2－2x －3)f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )<0，x 2－2x －3<0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ x >1或x <－1，x >3或x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1－1<x <3， 所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．]10．C [由图象知f (x )＝x (x ＋1)(x －2)＝x 3－x 2－2x ＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，∴b ＝－1，c ＝－2，d ＝0.而x 1，x 2是函数f (x )的极值点，故x 1，x 2是f ′(x )＝0，即3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，∴x 1＋x 2＝－2b 3，x 1x 2＝c 3， x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49b 2－2c 3＝169.] 11．A [∵x ∈[0，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又因f (x )是偶函数，∴f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13⇒|2x －1|<13，∴－13<2x －1<13. 即13<x <23.] 12．A [y ′＝3x 2＋2px ＋q ，令切点为(a,0)，a ≠0，则f (x )＝x (x 2＋px ＋q )＝0有两个不相等实根a,0 (a ≠0)，∴x 2＋px ＋q ＝(x －a )2.∴f (x )＝x (x －a )2，f ′(x )＝(x －a )(3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝a 3. 当x ＝a 时，f (x )＝0≠－4，∴f ⎝⎛⎭⎫a 3＝y 极小值＝－4，即427a 3＝－4，a ＝－3，∴x 2＋px ＋q ＝(x ＋3)2. ∴p ＝6，q ＝9.]13.⎝⎛⎭⎫1e ，5解析 ∵f ′(x )＝ln x ＋1，f ′(x )>0，∴ln x ＋1>0，ln x >－1，∴x >1e.∴递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，5. 14．f (3)<f (1)<f (2)解析 由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称， 又当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f ′(x )＝1＋cos x >0恒成立， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上为增函数，。

2014－2015学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题数学（二）（函数1）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且4)1()1(,2)1()1(=-+=+-g f g f ，则)1(g 等于A ．4B ．3C ．2D ．1 2．函数)1ln(x x y -=的定义域为 A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1]3．若函数ax y =与xb y -=在),0(+∞上都是减函数，则bx ax y +=2在),0(+∞上 A ．单调递减 B ．单调递增 C ．先增后减 D ．先减后增4．下列函数中，在(1,1)-内有零点且单调递增的是A ．2log (2)y x =+B ．21xy =-C D ．3y x =- 5．若a b c <<，则函数()()()()()f x x a x b x a x c =--++--的两个零点分别位于区间A ．(,)a b ,(,)b cB ．(,)a -∞,(,)a bC ．(,)b c ,(,)c +∞D ．(,)a -∞,(,)c +∞ 6．定义在R 上的函数)(x f y =在),(a -∞上是增函数，且函数)(a x f y +=是偶函数， 当a x a x ><21,，且a x a x -<-21时，有A ．)()(21x f x f >B ．)()(21x f x f ≥C ．)()(21x f x f <D ．)()(21x f x f ≤7．设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=)(,)(),(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是A ．9[,0](1,)4-+∞B ．[0)+∞，C ．9[,)4-+∞D ．9[,0](2,)4-+∞8．已知函数)(x f 对任意R x ∈都有)3(2)()6(f x f x f =++，)1(-=x f y 的图像关于点)0,1(对称，且4)1(=f ，则=)2015(f A ．0 B ．4- C ．8- D ．16-9．函数()y f x =，x D ∈，若存在常数C ，对任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得C =，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为C .已知3()f x x =，[1,2]x ∈，则函数()f x 在[1,2]上的几何平均数为A.2 B ．2 C ．4D ．2210．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m )的取值范围是 A ．]20,15[ B ．]25,12[ C ．]30,10[ D ．]30,20[二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上.11．若)(x f 的定义域为R ,2)(>'x f 恒成立，2)1(=-f ,则42)(+>x x f 解集为 ． 12．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，在(0,)+∞上单调递减，且0)3()21(>->f f ，则方程()0f x =的根的个数为 . 13．若存在正数x 使1)(2<-a x x成立，则a 的取值范围是 .14．若函数14)(2+=x xx f 在区间)12,(+m m 上是单调递增函数，则m 的取值范围是 ． 15．若函数)(x f y =的值域是]3,1[，则函数)3(21)(+-=x f x F 的值域是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.16．已知⎩⎨⎧<-≥-=-=.0,2,0,1)(,1)(2x x x x x g x x f（1）求)]2([g f 和)]2([f g 的值； （2）求)]([x g f 和)]([x f g 的表达式．17．已知函数)(x f y =的定义域为R ，且对任意R b a ∈,，都有)()()(b f a f b a f +=+． 且当0>x 时，0)(<x f 恒成立，.3)3(-=f （1）证明：函数)(x f y =是R 上的减函数； （2）证明：函数)(x f y =是奇函数；（3）试求函数)(x f y =在),](,[*N n m n m ∈上的值域. .18．已知函数)(x f 的定义域为R ，且满足)()2(x f x f -=+．若f (x )为奇函数，且当10≤≤x 时，x x f 21)(=，求使21)(-=x f 在区间]2014,0[上的所有x 的个数．19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有(2)()f x f x +=-． 当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-. （1）求证：()f x 是周期函数；（2）当[2,4]x ∈时，求()f x 的解析式； （3）计算(0)(1)(2)(2014)f f f f ++++L ．20．（1）已知函数()y f x =的定义域为R ，且当R x ∈时，()()f m x f m x +=-恒成 立，求证()y f x =的图象关于直线x m =对称；（2）若函数2log |1|y ax =-的图象的对称轴是2x =，求非零实数a 的值．21．已知函数x b b ax x f ⋅-+-=22242)(，).,()(1)(2R b a a x x g ∈---= （1）当0=b 时，若)(x f 在]2,(-∞上单调递减，求a 的取值范围；（2）求满足下列条件的所有整数对),(b a ：存在0x ，使得0()()f x f x 是的最大值，0()()g x g x 是的最小值.2014－2015学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题数学（二）参考答案11．(1)-+∞， 12．2 13．(1)-+∞， 14．(－1,0] 15．[51]--， 三.解答题：本大题共6小题，共75分16．解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2.(2)当x ≥0时，g (x )＝x －1，∴f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x ＜0时， g (x )＝2－x ，∴f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；⎩⎨⎧<+-≥-=∴.0,34,0,2)]([22x x x x x x x g f 当x ≥1或1-≤x 时，f (x )≥0，∴g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2；当11<<-x 时，0)(<x f ，.3)(2)]([2x x f x f g -=-=∴⎩⎨⎧<<---≤≥-=∴.11,3,11,2)]([22x x x x x x f g 或 17．（1）证明：设任意R x x ∈21,，且21x x <，f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)．∵x 2－x 1＞0，∴f (x 2－x 1)＜0.∴f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)＜f (x 1)， 故f (x )是R 上的减函数．（2）证明：∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )恒成立， ∴可令a ＝－b ＝x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)．又令a ＝b ＝0，则有f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.从而任意的R x ∈，f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．)(x f y =∴是奇函数． (3)解：)(x f y = 是R 上的单调递减函数，)(x f y =∴在],[n m 上也是减函数， 故f (x )在],[n m 上的最大值f (x )max ＝f (m )，最小值f (x )min ＝f (n )．)1()1()1()]1(1[)(nf n f f n f n f ==-+=-+= ，同理f (m )＝mf (1)． 又f (3)＝3f (1)＝－3，.)(,)(,1)1(n n f m m f f -=-=∴-=∴ )(x f y =∴在],[n m 上的值域为].,[m n -- 18. 解：当0≤x ≤1时，1()2f x x =，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴11()()22f x x x -=-=- ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴1()2f x x -=-，即1()2f x x =. ).11(21)(≤≤-=∴x x x f 又设1＜x ＜3，则－1＜x －2＜1. ∴f (x －2)＝12(x －2)．又)()]([]2)[()2()2(x f x f x f x f x f -=---==--=--=- ，).2(21)(-=-∴x x f )31)(2(21)(<<--=∴x x x f ．⎪⎩⎪⎨⎧<<--≤≤-=∴.31),2(21,11,21)(x x x x x f 由21)(-=x f ，解得1-=x .又∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，)(x f ∴是以4为周期的周期函数．21)(-=∴x f 的所有)(14Z n n x ∈-=. 令2014140≤-≤n ，则4201541≤≤n ， 又Z n ∈ ，).(5031Z n n ∈≤≤∴ ∴在]2014,0[上共有503个x 使.21)(-=x f19．解：（1）)()2(x f x f -=+ ，).()2()4(x f x f x f =+-=+∴ )(x f ∴是周期为4的周期函数．(2)当]0,2[-∈x 时，]2,0[∈-x ，由已知得.2)()(2)(22x x x x x f --=---=-又)(x f 是奇函数，.2)(,2)()(22x x x f x x x f x f +=∴--=-=-∴又当]4,2[∈x 时，]0,2[4-∈-x ，).4(2)4()4(2-+-=-∴x x x f 又)(x f 是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. ∴当]4,2[∈x 时，.86)(2+-=x x x f(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又)(x f 是周期为4的周期函数， f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7) == f (2 009)＋f (2010)＋f (2011)＋f (2012)=0.又0)2()1()2014()2013(=+=+f f f f ，.0)2014()2()1()0(=++++∴f f f f 20．解：（1）设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点，则y 0＝f (x 0)． 又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)．又f (x ＋m )＝f (m －x )，得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)]＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0. 即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上．∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称． （2）对定义域内的任意x ，有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立．∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立，即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立． 又0≠a ，012=-∴a ，.21=∴a 21．解: (1）当0b =时，()24f x ax x =-，若0a =，()4f x x =-，则()f x 在]2,(-∞上单调递减，符合题意； 若0a ≠，要使()f x 在]2,(-∞上单调递减，必须满足0,42,2a a>⎧⎪⎨≥⎪⎩∴01a <≤．综上所述，a 的取值范围是]1,0[.(2）若0a =,()f x =-,则()f x 无最大值，故0a ≠，∴()f x 为二次函数，要使)(x f 有最大值，必须满足20,420,a b b <⎧⎨+-≥⎩即0a <且11b ≤+此时，0x =()f x 有最大值．又()g x 取最小值时，0x a =，a =∈Z ，则2a ，∵0a <且11b ≤+，∴)20a a <≤∈Z ，得1a =-，此时1b =-或3b =．∴满足条件的整数对(),a b 是()()1,1,1,3---．。

页眉内容南昌市2015届高三调研考试模拟卷理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的.1．设{|{|ln(1)}A x y B x y x ====+，则AB =（C ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x ≤C ．{|11}x x -<≤D ．ϕ 2．复数5)z i i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ A ） A ．2i - B ．2i + C ．4i - D ．4i + 3.下列说法不正确．．．的是（ D ） A.命题“对x R ∀∈,都有20x ≥”的否定为“0x R ∃∈,使得200x <”B.“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件；C.“若tan α≠3πα≠” 是真命题D. 甲、乙两位学生参与数学模拟考试,设命题p 是“甲考试及格”,q 是“乙考试及格”,则命题“至少有一位学生不及格”可表示为()()p q ⌝∧⌝4.设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值是（ C ） A.1- B. 2 C. 1 D. 2-5．阅读如下程序框图，如果输出4i =，那么空白的判断框中应填人的条件是（ A ）A ．?10≤SB ．?12≤SC ．?14≤SD ．?16≤S6．过抛物线24y x =焦点F 的直线交其于,A B 两点，O 为坐标原点．若||3AF =，则AOB ∆的面积为（ C ） ABCD．7.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的 三视图（如图所示），则余下部分的几何体的表面积为 （ A ）A ．532323++ππ＋1 B ．523323++ππ＋1 C ．53233++ππ D ．52333++ππ8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ，若21512m T -=，则m 的值为（ B ）A ．4B ．5C ．6D ．79.由()y f x =的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到12sin(3)6y x π=-的图象，则()f x 为（ B ）A ．312sin()26x π+B ．12sin(6)6x π-C ．312sin()23x π+D ．12sin(6)3x π+10. 若不等式lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋(1－a )n xn≥(x －1)lg n 对任意不大于1的实数x 和大于1的正整数n 都成立，则a 的取值范围是（ D ）（A ）[0，＋∞) （B ）(－∞，0] （C ）[ 1 2，＋∞) （D ）(－∞， 12]11. 已知三棱锥A BCD -中,2,2AB AC BD CD BC AD =====, 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此三棱锥外接球的表面积为（ B ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．312. 已知)()(R x ex x f x∈=，若关于x 的方程01)()(2=-+-m x mf x f 恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ C ）A.),2()2,1(e e⋃ B.)1,1(e C.)11,1(+e D.),1(e e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，若a ，b 在向量c 上的投影相等，且(c －a )·(c －b )＝－ 52，则向量c的坐标为________．(1 2， 32)14.若实数x ，y 满足条件04(3)(3)0x y x y x y ≤+≤⎧⎨--≤⎩，则2z x y =+的最大值为_______.【答案】715.已知F 是双曲线的右焦点12222=-by a x 的右焦点,点B A ,分别在其两条渐近线上，且满足2=，0=⋅（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为____________.16.ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）. ○1④⑤○1总存在某内角α，使1cos 2α≥ ②若AsinB>BsinA ，则B ＞A③存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ④若02=++AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π； ⑤若()10≤<<t tb a ，则tB A <.三、解答题：本大题共6小题，共70分17. (本小题满分12分)已知函数23()2cos 22f x x x =+- （I ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值（II ）在ABC ∆中,A B C ∠∠∠、、所对的边分别是,,a b c ，2,a =1()2f A =-，求ABC ∆周长L 的最大值.解：(Ⅰ)23()2cos 2f x x x=+-1cos 23222x x +=+-=sin(2)16x π+-所以()f x 最小正周期22T ππ== 70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦()f x ∴最大值为0.(Ⅱ) 由1()2f A =-得1sin(2)62A π+= 又132666A πππ<+<5266A ππ∴+=3A π∴= 解法一：由余弦定理得, 222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-22223()()()3()44b c b c b c bc b c ++=+-≥+-=即4b c +≤=, 6a b c ∴++≤ （当且仅当2b c ==时取等号）所以6L =解法二：由正弦定理得2sin sin sin3b cB Cπ==，即,b B cC ==， 所以sin )b c B C +=+2sin()]4sin()36B B B ππ=+-=+ 2503666B B ππππ<<∴<+< 1s i n ()126Bπ∴<+≤（当且仅当3B C π==时取最大值） 4b c ∴+≤，∴6a b c ++≤ 所以6L =18. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是24,a a 的等差中项，()n N *∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log ,n n n n b aa S =+为数列{}nb 的前n 项和，求使1280n n S +--≤成立的n 的 取值集合。

[课堂练通考点]1．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 图像①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A ，D.图像②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.2．(2013·张家口模拟)已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40]B ．[160，＋∞)C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．∅解析：选C 函数h (x )的对称轴为x ＝k 8，要使h (x )在[5,20]上是单调函数，应有k 8≤5或k 8≥20，即k ≤40或k ≥160，故选C.3．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图像过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.答案：f (x )＝12(x －2)2－14．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝45．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？解：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·济南模拟)函数y ＝x －x 13的图像大致为( )解析：选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x 可得x 2>1，即x >1，结合选项，选A.2．已知二次函数的图像如图所示，那么此函数的解析式可能是( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋1B ．y ＝－x 2－2x －1C ．y ＝－x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2＋2x ＋1解析：选C 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题图像得：a <0，b <0，c >0.选C.3．已知函数f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．(2013·浙江高考)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：选A 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0.5．关于x 的二次方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )A ．－3<m <0B ．0<m <3C ．m <－3或m >0D ．m <0或m >3解析：选A 由题意知⎩⎨⎧Δ＝16m 2－4(m ＋3)(2m －1)>0， ①x 1＋x 2＝4m m ＋3<0， ②x 1·x 2＝2m－1m ＋3<0， ③由①②③得－3<m <0，故选A.6．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件． 解析：函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a 2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要7．(2014·中山一模)若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________．解析：函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a >4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.答案：18．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析：设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )． ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.由f (x )＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＝5，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图像可知由f (x )<5，得－5<x <5. ∴由f (x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5，∴－7<x <3. ∴不等式f (x ＋2)<5的解集是{x |－7<x <3}． 答案：{x |－7<x <3} 9．已知幂函数f (x )＝x21()m m －＋(m ∈N *)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：∵幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝221()m m －＋，即212＝221()m m －＋ .∴m 2＋m ＝2. 解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *， ∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1， 解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. 10．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)． 第Ⅱ组：重点选做题1.(创新题)已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1. ∴m －n 的最小值是1.2．(2013·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2。

2015 届高考数学（文科）一轮总复习导数及其应用第三篇导数及其应用第 1 讲导数的观点及运算基础稳固题组( 建议用时： 40 分钟 )一、填空题1．(2014 ?深圳中学模拟 ) 曲线 y ＝x3 在原点处的切线方程为 ________．分析∵ y′＝ 3x2 ，∴＝ y′ |x ＝ 0＝ 0，∴曲线 y＝ x3 在原点处的切线方程为y＝ 0.答案y＝ 02 ．已知 f(x)＝xlnx，若f′ (x0)＝2，则x0＝________.分析f(x)的定义域为(0，＋∞ )，f′ (x)＝lnx＋1，由 f ′ (x0) ＝ 2，即 lnx0 ＋ 1＝ 2，解得 x0＝ e.答案 e3 ．(2014 ?辽宁五校联考 ) 曲线 y＝ 3lnx ＋x＋ 2 在点 P0 处的切线方程为 4x－ y－ 1＝ 0，则点 P0 的坐标是 ________．分析由题意知 y′＝ 3x＋1＝ 4，解得 x＝ 1，此时 4× 1 －y－ 1＝0，解得 y＝ 3，∴点 P0 的坐标是 (1,3) ．答案 (1,3)4 ．(2014 ?烟台期末 ) 设函数 f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点 (t ，f(t))处切线的斜率为，则函数＝g(t)的部分图象为 ________．分析函数 f(x)的导函数为 f ′ (x) ＝(xsinx＋cosx)′＝xcosx ，即＝ g(t) ＝ tcost ，则函数 g(t) 为奇函数，图象对于原点对称，清除①，③ . 当 0＜ t ＜π 2 时， g(t) ＞ 0，因此清除④，选② .答案②5．曲线 y＝ sinxsinx ＋ cosx － 12 在点π 4， 0 处的切线的斜率为 ________．分析y′＝ cos2x ＋ sin2x sinx ＋ cosx2＝ 11＋sin2x ，故所求切线斜率＝＝12.答案126．(2013 ?广东卷 ) 若曲线 y＝ ax2 － lnx 在点 (1 ，a) 处的切线平行于 x 轴，则 a＝ ________.分析y′＝ 2ax－ 1x ，∴ y′ |x ＝ 1＝2a－ 1＝ 0，∴a＝12.7 答案12．已知 f(x)＝x2＋3xf′ (2)，则f′ (2)＝________. 分析由题意得 f ′ (x) ＝ 2x＋ 3f ′ (2) ，∴f ′ (2) ＝ 2× 2＋ 3f ′(2) ，∴ f ′ (2) ＝－ 2.答案－ 28 ．(2013 ?江西卷 ) 若曲线 y＝xα＋ 1( α∈ R)在点 (1,2) 处的切线经过坐标原点，则α＝ ________.分析y′＝α xα－ 1，∴斜率＝ y ′ |x ＝ 1＝α＝ 2－ 01－0＝ 2，∴α＝ 2.答案 2二、解答题9．求以下函数的导数：(1)y＝ex?lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝x－sinx2cosx2；(4)y＝(x＋1)1x－1.解(1)y ′＝ (ex ?lnx) ′＝ exlnx ＋ ex ?1x ＝ exlnx ＋1x.(2)∵ y＝ x3 ＋1＋ 1x2，∴ y ′＝ 3x2－ 2x3.(3)先使用三角公式进行化简，得y ＝x－ sinx2cosx2 ＝ x－ 12sinx ，∴ y′＝x－ 12sinx ′＝ x′－12(sinx) ′＝ 1－ 12cosx.(4)先化简， y ＝ x?1x－x＋ 1x － 1＝，∴y′＝ n＝－ 12x1＋ 1x.10 ．(2014 ?南通二模 )f(x)＝ax－1x，g(x)＝lnx，x＞0，a∈ R 是常数．(1)求曲线 y ＝ g(x) 在点 P(1 ， g(1)) 处的切线 l.(2)能否存在常数 a，使 l 也是曲线 y＝ f(x) 的一条切线．若存在，求 a 的值；若不存在，简要说明原因．解 (1) 由题意知， g(1) ＝ 0，又 g′(x) ＝ 1x， g′ (1)＝1，因此直线 l 的方程为 y＝ x－ 1.(2)设 y＝f(x) 在 x＝ x0 处的切线为 l ，则有ax0 － 1x0＝ x0－ 1， a＋1x20 ＝ 1，解得 x0＝ 2，a＝ 34，此时 f(2)＝1，即当 a＝34 时， l 是曲线 y＝ f(x)在点Q(2,1)的切线．能力提高题组( 建议用时： 25 分钟 )一、填空题1．(2014 ?盐城一模 ) 设 P 为曲线 c ：y＝ x2＋ 2x＋ 3 上的点，且曲线 c 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是0，π 4，则点 P 横坐标的取值范围是________．分析设 P(x0 ， y0) ，倾斜角为α，y′＝ 2x＋2，则＝tan α＝ 2x0＋ 2∈ [0,1]，解得x0∈－1，－12.答案－ 1，－ 122 ．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′ (x)，f2(x)＝f1′(x) ，， fn(x)＝f′ n－1(x)，n∈ N*，则f2013(x)＝________.分析f1(x) ＝ f0 ′ (x) ＝ cosx ， f2(x) ＝ f1 ′ (x) ＝－4 / 6sinx ，f3(x) ＝f2 ′(x) ＝－cosx ，f4(x) ＝f3 ′(x) ＝sinx ，，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2013(x)f1(x) ＝ cosx.答案cosx3 ．(2014 ?武汉中学月考) 已知曲线f(x) ＝ xn＋ 1(n ∈ N*)与直线 x＝ 1 交于点轴交点的横坐标为P，设曲线y＝ f(x)xn ，则log2013x1在点 P 处的切线与x＋ log2013x2 ＋＋log2013x2012 的值为________．分析 f ′ (x) ＝ (n ＋ 1)xn ，＝f ′(1) ＝ n＋1，点 P(1,1) 处的切线方程为y－ 1＝ (n ＋ 1)(x － 1) ，令 y＝ 0，得 x ＝ 1－ 1n＋ 1＝ nn＋1，即 xn＝ nn＋ 1，∴ x1 ?x2 ? ? x2012 ＝ 12 × 23 × 34 × × 20112012 ×20122013 ＝ 12013 ，则log2013x1＋log2013x2＋＋log2013x2012＝log2013(x1x2x2012) ＝－ 1.答案－ 1二、解答题4 ．设函数处的切线方程为f(x)＝ax－bx，曲线7x－ 4y－ 12＝ 0.y＝ f(x) 在点(2 ，f(2))(1)求 f(x) 的分析式；(2)证明：曲线 y＝ f(x) 上任一点处的切线与直线x＝ 0和直线 y＝ x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解方程 7x－4y－ 12＝0 可化为 y＝ 74x－3，当 x＝ 2 时， y＝ 12. 又 f ′(x) ＝ a＋ bx2，于是 2a－ b2＝12， a＋b4＝ 74，解得 a＝1， b＝ 3. 故 f(x)＝x－3x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由 f ′ (x) ＝ 1＋ 3x2 知曲线在点 P(x0 ，y0) 处的切线方程为 y－ y0＝ 1＋ 3x20(x － x0) ，即 y－ (x0 － 3x0) ＝ 1＋3x20(x － x0) ．令 x＝0，得 y＝－ 6x0，进而得切线与直线x＝ 0 交点坐标为0，－ 6x0.令 y＝ x，得 y＝ x＝ 2x0，进而得切线与直线 y＝ x 的交点坐标为 (2x0,2x0) ．因此点 P(x0 ，y0) 处的切线与直线x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为12－ 6x0|2x0| ＝ 6.故曲线y＝ f(x) 上任一点处的切线与直线x＝ 0 和直线y ＝ x 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6.。

ACD2014－2015学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题数学（三）（函数（2））命题人：黄润华 学校：江西师大附中 审题人：朱涤非学校：江西师大附中一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函A )C ．)1,0(D ．),1()1,0(+∞2．函数m x m m x f )1()(2--=是幂函数，且在),0(+∞∈x 上为增函数，则实数m 的值是 A ．1- B ．2 C ．3 D ．1-或2 3．已知0a >且1a ≠，下列四组函数中表示相同函数的是 A. log a y x =与1(log )x y a -= B ．log a xy a =与y x =C ．2y x =与2log x a y a =D ．2log a y x =与2log a y x =4．函数()2xf x e x =+-的零点所在的区间是A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)5．若)1,0(∈x ，则下列结论正确的是A ．xx x 2lg 21>>B ．21lg 2x x x>> C ．x x x lg 221>> D ．x x xlg 221>>6．若函数()(1)(0x x f x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是7．若函数(2),2,()1()1, 2.2x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数,则实数a 的取值范围是A ．(,2)-∞B ．13(,]8-∞C ．(0,2)D ．13[,2)88．定义在R 上的函数⎩⎨⎧=≠-=.2,1,2,2lg )(x x x x f 若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰好有5个不同的实数解54321,,,,x x x x x ,则=++++)(54321x x x x x fA ．2lgB ．4lgC ．8lgD ．19．函数|4||3|y x x =++-是A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数10A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条射线和一条线段二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上. 11．函数y =的定义域为 .12．若函数)(x f 的反函数)0(1)(21<+=-x x x f ，则=)2(f .13．设函数||||()cos x x a x x af x x+++=是奇函数，则a = .14．设定义在区间],[m m -上的函数xnx x f 211log )(2-+=是奇函数，则mn 的取值范围为 .15．设函数3y x =与2)21(-=x y 的图象的交点为),(00y x ，且Z m m m x ∈+∈),1,(0，则m = .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式； （2）解不等式()25f x x >+.17．已知m 为常数，函数xxm m x f 212)(⋅+-=为奇函数. （1）求m 的值；（2）若0>m ，存在]2,2[-∈x ，使0)2()(≤+-+f k xe e f xx，求实数k 的最大值．18．已知函数)()14(log )(4R k kx x f x ∈++=为偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程)2(log )(4a a x f x -⋅=有且只有一个根，求实数a 的取值范围．19．已知函数()log (3)a f x ax =-．（1）当]23,0[∈x 时，函数)(x f 恒有意义，求实数a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使得函数)(x f 在区间]3,2[上为增函数，且)(x f 的最大值 为1．如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．20．已知函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，且2()242f x x x =+-.（1）求函数()y g x =的解析式； （2）解不等式.122)()(-<+x x g x f21．已知函数x x x f 2)(2+=， （1）若[2,],x a ∈-求)(x f 的值域；（2）若存在实数t ，当[1,],x m ∈x t x f 3)(≤+恒成立，求实数m 的取值范围.2014－2015学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题数学（三）参考答案一．二.11. (1,1)- 12.1- 13. 0 14.15.1 三.解答题：本大题共6小题，共75分16．解：（1）设二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ．.1,1)0(=∴=c f 把)(x f 的表达式代入x x f x f 2)()1(=-+， 有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . .1,1-==∴b a .1)(2+-=∴x x x f（2）由5212+>+-x x x ，即0432>--x x ，解得4>x 或1-<x .∴原不等式解集为{}14-<>x x x 或．17．解：（1）由0)()(=+-x f x f ，得0212212=⋅+-+⋅+---xxx x m m m m , 0)22)(1(2=+-∴-xx m 即12=m ， .1±=∴m（2）由)2()2()(-=-≤-+f f k xe e f xx 得 2-≥-+k xe e x x ，即.2++≤x x xe e k又2)(++=xx xe e x g 在]2,2[-上单调递增, ∴当2=x 时，)(x g 取得最大值.232+e232+≤∴e k ， .232max +=∴e k18．解：（1）∵)(x f 为偶函数，)()(x f x f =-∴，即kx kx xx ++=-+-)14(log )14(log 44，即0)12(=+x k ，.21-=∴k（2）依题意，)2(log 21)14(log 44a a x xx-⋅=-+，即⎩⎨⎧>-⋅-⋅=+.02,2)2(14a a a a xx x x 令xt 2=，则01)1(2=++-at t a ，只需其有一正根即可满足题意． ①当a ＝1时，1-=t ，不合题意，舍去．②上式有一正一负根21,t t ，即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>--=∆.011,0)1(4212a t t a a 经验证满足a ·2x －a >0，.1>∴a③上式有两根相等，即2220-±=⇒=∆a ，此时)1(2-=a at ，若)12(2-=a ，则有0)1(2<-=a at ，此时方程01)1(2=++-at t a 无正根，故)12(2-=a 舍去；若)12(2+-=a ，则有0)1(2>-=a at ，且0)1(2)2(]1)1(2[)1(2>--=--=-=-⋅a a a a a a t a a a x，)12(2+-=∴a . 综上所述，a 的取值范围为{}2221--=>a a a 或。

数学（四） （导数及其应用）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.6)(',)(3==x f x x f ，则=0x （ ） A ．2 B ．2- C ．2±D ．1±2.若)(x f 的定义域为R ，2)('>x f 恒成立，2)1(=-f ，则42)(+>x x f 解集为（ ） A ．)1,1(- B ．),1(+∞- C ．)1,(--∞ D ．),(+∞-∞3.设a 为实数，函数x a ax x x f )2()(23-++=的导数是)('x f ，且)('x f 是偶函数，则曲线)(x f y =在原点处的切线方程为（ ）A ．x y 2-=B ．x y 3=C ．x y 3-=D ．x y 4=4. 已知a 为常数，函数ax x x x f -=ln )(有两个极值点)(,2121x x x x <，则（ ）A ．21)(,0)(21->>x f x f B ．21)(,0)(21-<<x f x f C ．21)(,0)(21-<>x f x f D ．21)(,0)(21-><x f x f5.已知函数x x x f cos )(2-=，对于]2,2[ππ-上的任意21,x x ，有如下条件：①21x x >；②2221x x >；③21||x x >.其中能使)()(21x f x f >恒成立的条件序号是（ ） A ．①② B ．② C ．②③ D ．③6.已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论中错误的是（ ） A ．0)(,00=∈∃x f R x B ．函数)(x f y =的图象是中心对称图形 C ．若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减 D ．若0x 是)(x f 的极小值点，则0)('0=x f 7.正项等比数列}{n a 中的40311,a a 是函数36431)(23-+-=x x x x f 的极值点，则=20166log a（ ）A ．1B ．2C ．2D ．1-8. （理）一辆汽车在高速公路上行使，由于遇到紧急情况而刹车，以速度已知集合tt t v ++-=12537)(（t 的单位：s ，v 的单位：s m /）行使至停止，在此期间汽车继续行使的距离（单位：m ）是（ ）A ．5ln 251+B ．5ln 48+C ．5ln 254+D ．2ln 54+ （文）函数x x y sin 22=的导数为（ ）A ．x x y cos 22=‘ B ．x x x x y cos 4sin 22+=‘ C ．x x x x y sin 4cos 22+=‘ D ．x x x x y sin 4cos 222+=‘9. 设函数)(x f 的定义域为R ，)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ） A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀ B ．0x -是)(x f -的极小值点 C ．0x -是)(x f -的极小值点 D ．0x -是)(x f --的极小值点 10. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 最小值为（ ） A ．2ln 1- B ．)2ln 1(2- C ．2ln 1+ D ．)2ln 1(2+ 11.设函数mxx f πsin3)(=.若存在)(x f 的极值点0x 满足22020)]([m x f x <+，则m 的取值范围是（ ）A ．),6()6,(+∞--∞B ．),4()4,(+∞--∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞12. 已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f kx，则（ ）A ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. （理）曲线3x y =与直线x y 4=在第一象限内所围成的图形的面积为 . （文）设曲线)1ln()(+-==x ax x f y 在点)0,0(处的切线方程为x y 2=，则=a .14. 若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，则b 的取值范围是 . 15. 设函数a ax x e x f x+--=)12()(，其中1<a ，若存在唯一的整数0x ，使得0)(0<x f ，则a 的取值范围是 .16.（理）设56)1()1()(x x x f -+= ，则函数)('x f 中3x 的系数是 . （文）已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，0)()('2>-xx f x xf （0>x ），则不等式0)(2>x f x 的解集是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设L 为曲线C ：xxy ln =在点），（01处的切线. （1）求L 的方程；（2）证明：除切点），（01之外，曲线C 在直线L 的下方. 18. 已知函数ax ax x f +=2)(和a x x g -=)(.其中R a ∈且0≠a . （1）若函数)(x f 与)(x g 图象的一个公共点恰好在x 轴上，求a 的值； （2）若p 和q 是方程0)()(=-x g x f 的两根，且满足aq p 10<<<，证明：当),0(p x ∈时，a p x f x g -<<)()(.19.设函数x e x f xsin )(+=，2)(-=x x g . （1）求证：函数)(x f y =在),0[+∞上单调递增；（2）设))(,(11x f x P ，))(,(22x g x Q （01≥x ，02>x ），若直线x PQ //轴，求Q P ,两点间的最短距离.20.设函数)()1()(2R k kx e x x f x∈--=. （1）当1=k 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）当]1,21(∈k 时，求函数)(x f 在],0[k 上的最大值M . 21.已知函数1ln )(+=x a x f （0>a ）.（1）当0>x 时，求证：)11(1)(xa x f -≥-； （2）在区间),1(e 上x x f >)(恒成立，求实数a 的范围. 22. （理）已知函数)1()(2kx x e x f kx -+=-（0<k ）. （1）求)(x f 的单调区间；（2）是否存在实数k ，使得函数)(x f 的极大值等于23-e ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.（文）已知1ln )(+-=x x x f （+∈R x ），1)(-=mx x g （0>m ）. （1）判断函数)(x f y =的单调性，给出你的结论；（2）讨论函数)(x f y =的图象与直线1)(-=mx x g （0>m ）公共点的个数.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（理）4；（文）3； 14．]1,(--∞； 15．)1,23[e； 16．（理）40；（文）),1()0,1(+∞- .三、解答题：本大题共6个题，共70分． 17．解：（1）设xx x f ln )(=，则2ln 1)('x xx f -=. ∴1)1('=f ，∴L 的方程为1-=x y . （2）令)(1)(x f x x g --=，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于0)(>x g （0>∀x ，1≠x ）.)(x g 满足0)1(=g ，且22ln 1)('1)('x xx x f x g +-=-=. 当10<<x 时，012<-x ，0ln <x ，∴0)('<x g ，故)(x g 单调递减； 当1>x 时，012>-x ，0ln >x ，∴0)('>x g ，故)(x g 单调递增.∴0)1()(=>g x g （0>∀x ，1≠x ）. ∴除切点），（01之外，曲线C 在直线L 的下方.∵aq p x 10<<<<，∴0))((>--q x p x a . ∴当),0(p x ∈时，0)()(>-x g x f ，即)()(x g x f >.又)1)(()())(()()(+--=---+--=--aq ax p x a p a x q x p x a a p x f ，0<-p x ，且011>->+-aq aq ax ，∴0)()(<--a p x f ，∴a p x f -<)(，综上，a p x f x g -<<)()(.19．（1）证明：当0≥x 时，0cos 1cos )('≥+≥+=x x e x f x， ∴函数)(x f y =在),0[+∞上单调递增.（2）解：∵)()(21x g x f =，∴2sin 211-=+x x e x， ∴Q P ,两点间的距离等于|2sin |||11121+-+=-x x e x x x，设2sin )(+-+=x x e x h x（0≥x ），则1cos )('-+=x e x h x（0≥x ）， 记1cos )(')(-+==x e x h x l x（0≥x ），则0sin 1sin )('≥-≥-=x x e x l x， ∴01)0(')('>=≥h x h ，∴)(x h 在),0[+∞上单调递增，∴3)0()(=≥h x h ， ∴3||12≥-x x ，即Q P ,两点间的最短距离等于3.20．解：（1）当1=k 时，)2(2)1()('-=--+=xxxe x x e x e xf 令0)('=x f 得01=x ，2ln 2=x .∴函数)(x f 的单调递增区间为：)0,(-∞和),2(ln +∞，递减区间为)2ln ,0(. （2）)2(22)1()('k e x kx xe kx e x e x f xxxx-=-=--+=， 令0)('=x f 得01=x ，)2ln(2k x =， 令k k k g -=)2ln()(，]1,21(∈k ， 则0111)('≥-=-=k k k k g ，∴)(k g 在]1,21(上单调递增. ∴0ln 2ln 12ln )(<-=-≤e k g ，从而k k <)2ln(，∴),0()2ln(k k ∈. ∴当))2ln(,0(k x ∈时，0)('<x f ；当)),2(ln(+∞∈k x 时，0)('>x f ； ∴})1(,1max{)}(),0(max{3k e k k f f M k---==. 令1)1()(3+--=k e k k h k，则)3()('k e k k h k -=，令k e k k3)(-=ϕ，则033)('<-≤-=e e k kϕ，∴)(k ϕ在]1,21(上单调递减， 而0)3)(23()1()21(<--=e e ϕϕ∴存在]1,21(0∈x ，使得0)(0=x ϕ，且当),21(0x k ∈时，0)(>k ϕ；当)1,(0x k ∈时，0)(<k ϕ.∴)(k ϕ在),21(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减. ∵08721)21(>+-=e h ，0)1(=h ，∴0)(≥k h 在]1,21(上恒成立，当且仅当1=k 时取“=”.综上，函数)(x f 在],0[k 上的最大值3)1(k e k M k--=. 21．解：（1）证明：设)0)(11(ln )11(1)()(>--=---=x xa x a x a x f x g ， 则2)('x ax a x g -=，令0)('=x g ，则1=x ，易知)(x g 在1=x 处取得最小值，故0)1()(=≥g x g ，即)11(1)(xa x f -≥-.（2）由x x f >)(得x x a >+1ln ，即xx a ln 1->.令)1(ln 1)(e x xx x h <<-=，则2)(ln 1ln )('x x x x x h --=.令)1(1ln )(e x x x x x <<--=ϕ，则011)('2>-=xx x ϕ，故)(x ϕ在),1(e 上单调递增，所以0)1()(=>ϕϕx .因为0)(>x ϕ，所以0)('>x h ，即)(x h 在),1(e 上单调递增，则1)()(-=<e e h x h ，即1ln 1-<-e xx ，所以a 的取值范围为）+∞-,1[e . 22.解：（1）函数)(x f 的定义域为R ， ]2)2([)12()1()('22+-+-=++-+-=---x k kx e x e kx x ke x f kx kx kx ，即)0)(1)(2()('<+-=-k x kx e x f kx ，令0)('=x f ，解得1-=x 或kx 2=. 当2-=k 时，0)1(2)('22≥+=x e x f x，故)(x f 的单调递增区间是),(+∞-∞. 当02<<-k 时，)(x f ，)('x f 随x 的变化情况如下：所以，函数)(x f 的单调递增区间是)2,(k -∞和),1(+∞-，单调递减区间是)1,2(-k. 当2-<k 时，)(x f ，)('x f 随x 的变化情况如下：所以，函数)(x f 的单调递增区间是)1,(--∞和),2(+∞k ，单调递减区间是)2,1(k-. （2）当1-=k 时，)(x f 的极大值等于23-e .理由如下： 当2-=k 时，)(x f 无极大值.当0k 2<<-时，)(x f 的极大值为)14()2(22kk e k f +=-， 令2223)14(--=+e k k e ，即3142=+k k ，解得1-=k 或34=k （舍）. 当2-<k 时，)(x f 的极大值为k e f k-=-)1(.因为2-<e e k，2110<-<k ，所以221-<-e k e k .因为22321--<e e ，所以)(x f 的极大值不可能等于23-e . 综上所述，当1-=k 时，)(x f 的极大值等于23-e . 22.（文）解：（1）求导xxx x f -=-=111)('，由0)('=x f 得1=x . 当)1,0(∈x 时，0)('>x f ；当),1(+∞∈x 时，0)('<x f ，所以)(x f y =在)1,0(上是增函数，在),1(+∞是减函数.（2）当0>x 时，函数)(x f y =的图象与直线)0(1)(>-=m mx x g 公共点的个数等价于曲线12ln -+=xx y 与直线)0(>=m m y 公共点的个数.令12ln )(-+=x x x h ，则21ln )('x x x h +=，所以0)1('=e h .当)1,0(ex ∈时，0)('>x h ，)(x h 则)1,0(e上是增函数； 当).1(∞+∈e x 时，0)('<x h ，)(x h 则),1(+∞e上是减函数； 所以)(x h 在),0(+∞上的最大值为01)1(>-=e e h ，且01)1(2<-=e h ，014)(22<-=ee h ，如图，于是①当10-<<e m 时，函数)(x f 的图象与直线)0(1)(>-=m mx x g 有2个公共点； ②当1-=e m 时，函数)(x f 的图象与直线)0(1)(>-=m mx x g 有1个公共点； ③当1->e m 时，函数)(x f 的图象与直线)0(1)(>-=m mx x g 有0个公共点.。

江西省南昌市2015高三第一次模拟测试数学理试卷一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1. 已知i 为虚数单位，则复数12iz i+=在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 若集合{}1381x x A =≤≤，(){}22log 1x x x B =->，则A B =（ ） A. (]2,4 B. []2,4 C. ()[],00,4-∞D. ()[],10,4-∞-3. 如图，在正四棱柱1111CD C D AB -A B 中，点P 是面1111C D A B 内一点，则三棱锥CD P -B 的正视图与侧视图的面积之比为（ ） A. 1:1B. 2:1C. 2:3D. 3:24. 已知过定点()2,0P 的直线l与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（ ）A. 150B. 135C. 120D. 不存在5. 已知实数x ，y 满足1040x y x y y m +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为（ ） A. 4B. 3C. 2D. 12-6. 在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1c =，45B =，3cos 5A =，则b 等于（ ）A. 53B.107C. 57D.147. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线倾斜角为3π，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B. 2或3C.3D. 28. 如图所示程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 值. 若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个9. 给出下列命题：①若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则1234532a a a a a ++++=②α，β，γ是三个不同的平面，则“γα⊥，γβ⊥”是“//αβ”的充分条件③已知1sin 63πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7cos 239πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭其中正确命题的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 310. 如图，(),x yM M M ，(),x y N N N 分别是函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>）的图象与两条直线1:l y m =，2:l y m =-（0m A ≥≥）的两个交点，记S x x N M =-，则()S m 图象大致是（ ）A.B.C.D.11. 设无穷数列{}n a ，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论多小），总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有n a ε-A <成立，就称数列{}n a 的极限为A . 则四个无穷数列：①(){}12n-⨯；②()()11111335572121n n ⎧⎫⎪⎪+++⋅⋅⋅+⎨⎬⨯⨯⨯-+⎪⎪⎩⎭；③231111112222n -⎧⎫++++⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭；④{}231222322n n ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，其极限为2共有（ ） A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个12. 设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值为（ ） A. 15B. 25C. 12D. 1二. 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. ）13. a ，b ，c ，d 四封不同的信随机放入A ，B ，C ，D 4个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中a 没有放入A 中的概率是 .14. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 90∠BA =，侧面11CC B B 的面积为2，则直三棱柱111C C AB -A B 外接球表面积的最小值为 .15. 已知三角形C AB 中，C AB =A ，C 4B =，C 120∠BA =，3C BE =E ，若P 是C B 边上的动点，则AP⋅AE 的取值范围是 .16. 已知函数(),01lg ,0ax f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为 .三. 解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，36S =，正项数列{}n b 满足1232nSn bb b b ⋅⋅⋅=.()1求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；()2若n n b a λ>对n *∈N 均成立，求实数λ的取值范围.18. （本小题满分12分）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布()280,σN （满分为100分），已知()750.3P X <=，()950.1P X ≥=，现从该市高三学生中随机抽取三位同学.()1求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[)80,85，[)85,95，[]95,100各有一位同学的概率；()2记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[]75,85的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE .19. （本小题满分12分）如图，C A 是圆O 的直径，B . D是圆O 上两点，C 2C 2CD 2A =B ==，PA ⊥圆O 所在的平面，13BM =BP .()1求证：C //M 平面D PA ；()2若C M 与平面C PA 求AP 的值.20. （本小题满分12分）已知圆:E 221924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭经过椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的左. 右焦点1F . 2F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线. 直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且λMN =OA （0λ≠）.()1求椭圆C 的方程；()2当三角形AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()()2ln 12xf x ax x =+-+（0a >）. ()1当12a =时，求()f x 的极值； ()2若1,12a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()f x 存在两个极值点1x ，2x ，试比较()()12f x f x +与()0f 的大小； ()3求证：()12!n n en ->（2n ≥，n ∈N ）.请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，20PA =，10PB =，C ∠BA 的角平分线与C B 和圆O 分别交于点D 和E .()1求证：C C AB⋅P =PA⋅A ； ()2求D A ⋅AE 的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）. ()1曲线C 在点()1,1处的切线为l ，求l 的极坐标方程； ()2点A的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，且当参数[]0,t π∈时，过点A 的直线m 与曲线C 有两个不同的交点，试求直线m 的斜率的取值范围.24. （本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x x a =-（R a ∈）.()1若2a =，解关于x 的不等式()f x x <；()2若对任意的(]0,4x ∈都有()4f x <，求a 的取值范围.参考答案一. 选择题二. 填空题13. 34 14. π4 15. 210[,]33- 16. ),0()0,1(+∞- 三. 解答题17. （1）解：等差数列}{n a ，11=a ，63=S ，1=∴d ，故n a n =………3分⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--)2(2)1(211321321 n n S n Sn b b b b b b b b ，)2()1(÷得na S S n n n nb 2221===--)2(≥n ， 222111===S b ,满足通项公式，故n n b 2=………7分（2）设n n a b >λ恒成立nn2>⇒λ恒成立，设n n c c n c n n n n 2121+=⇒=+ 当2≥n 时，1<n c ，}{n c 单调递减，………10分21)(1max ==∴c c n ，故21>λ. ………12分 18. 解：（1）(8085)1(75)0.2P X P X ≤<=-≤=，(8595)0.30.10.2P X ≤<=-=， 所以所求概率330.20.20.10.024P A =⨯⨯⨯=；………6分（每个结果各2分） （2）(7585)12(75)0.4P X P X ≤≤=-<=， 所以ξ服从二项分别(3,0.4)B ，3(0)0.60.216P ξ===，2(1)30.40.60.432P ξ==⨯⨯=，………8分 2(2)30.40.60.288P ξ==⨯⨯=，3(3)0.40.064P ξ===，………10分所以随机变量ξ的分布列是30.4 1.2E ξ=⨯=19. 解：（1）作AB ME ⊥于E ,连接CE ,ME ∴∥AP …①AC 是圆O 的直径，222===CD BC AC ，BC ABDC AD ⊥⊥∴,,030=∠=∠∴CAD BAC ,………2分 060=∠=∠DCA BCA ,3==AD AB=,3331==BA BE 33tan ==∠BC BE BCE , CAD ECA BCE ∠==∠=∠∴030EC ∴∥AD …②，………4分由①②，且E CE ME = ,∴平面MEC ∥平面PAD ,⊆CM 平面MEC ,⊄CM 平面PAD ∴CM ∥平面PAD ………6分（2）依题意，如图以A 为原点，直线AB ，AP 分别为x,z 轴建立空间坐标系，设a AP =)0,23,23(),,0,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(D a P C B A 设面PAC 的法向量为),,(z y x =，设CM 与平面PAC 所成角为θ⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅==⋅030yx az 设3=x ，)0,3,3(-=∴n ，………8分+=+=)3,1,33(a --= 55123993122||||||sin 22=+=++⨯===∴a a n CM θ………10分 3=∴a ………12分20. （1）解：如图圆E 经过椭圆C 的左右焦点12,F F ,1,,F E A 三点共线,∴1F A 为圆E 的直径,212AF F F ∴⊥2219(0)24x +-=,2±=∴x ,2=∴c ………2分189||||||2212122=-=-=F F AF AF ,4||||221=+=AF AF a222a b c =+，解得2,a b ==4分∴椭圆C 的方程22142x y +=，………5分 （2）点A的坐标(0)MN OA λλ=≠，………6分故设直线的方程为y x m =+22142y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2220x m ∴++-=，设1122(,),(,)M x y N x y2221212,2,2480x x x x m m m ∴+==-∆=-+>，22m ∴-<<………8分21||||MN x x =-== 点A到直线的距离d =2214||||22AMNm m S MN d m ∆-+=⋅==≤=………10分当且仅当224m m -=，即m =，直线的方程为y x =………12分 21. 解：（1）22)211ln()(+-+=x x x x f ，定义域2020211->⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+x x x ， 22')2(2)2(421)(+-=+-+=x x x x x f ，)2,2(-∴递减，),2(+∞递增故12ln )2()(-==f x f 极小值，没有极大值. ………3分 （2）22)1ln()(+-+=x x ax x f ，),1(+∞-∈ax ， 222')2)(1()1(4)2(41)(++--=+-+=x ax a ax x ax a x f ………4分 )1,21(∈a ，)41,0()1(∈-∴a a ，a a a a )1(21--<-∴ 0)1(42=--a ax ，aa a x )1(2-±=∴………5分 aa a aa a a a a a x f x f 2121421214])1(21ln[])1(21ln[)()(21+-----+-----+-+=+2212442()()ln[(12)]ln[(12)]22121a f x f x a a a a -+=-+=-+--- 设12-=a t ，当)1,21(∈a 时，)1,0(∈t ，22ln )()()(221-+==+∴tt t g x f x f 设 当)1,0(∈t 时，22ln 2)(-+=tt t g ，0)1(222)(22'<-=-=tt t tt g ………7分 )(t g 在)1,0(∈t 上递减，0)1()(=>g t g ，即0)0()()(21=>+f x f x f 恒成立综上述)0()()(21f x f x f >+………8分（3）当)1,0(∈t 时，022ln 2)(>-+=tt t g 恒成立，即011ln >-+tt 恒成立 设n t 1=),2(N n n ∈≥，即011ln >-+n n，n n ln 1>-∴ 1ln 2,2ln 3,3ln 4,,1ln n n ∴>>>->123(1)ln 2ln 3ln 4ln ln 234n n n ∴++++->++++=⨯⨯⨯⨯=()!ln n>-∴2)1(nn ()!ln n ∴),2(!2)1(N n n n e n n ∈≥>-………12分22. 解：（1）∵PA 为圆O 的切线,,PAB ACP ∴∠=∠又P ∠为公共角,PCA PAB ∆∆∽AB PC PA AC ⋅=⋅…………4分（2）∵PA 为圆O 的切线,BC 是过点O 的割线,2,PA PB PC ∴=⋅………6分40,30PC BC ∴==又∵022290,900CAB AC AB BC ∠=∴+==又由（1）知12AB PA AC AB AC PC ==∴==,连接EC ,则,CAE EAB ∠=∠ ADB ACE ∆∆∽，………8分ACAD AE AB =AD AE AB AC 360⋅=⋅==………10分23. 解：（1）,,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩222=+∴y x 点(1,1)C 在圆上，故切线方程为2=+y x ………2分2cos sin =+∴θρθρ，切线的极坐标方程：2)4sin(=+πθρ………5分（2）2)2(+-=x k y 与半圆)0(222≥=+y y x 相切时21|22|2=+-k k0142=+-∴k k 32-=∴k ，32+=k （舍去）………. 8分 设点)0,2(-B 222202-=+-=AB K ,故直线m 的斜率的取值范围为]22,32(--. ………10分24. 解：（1）当2a =时，不等式()f x x <即|2|x x x -< 显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为：|2|1121x x -<⇒-<-<13x ⇒<<……2分 当0x <时，原不等式可化为：|2|121x x ->⇒->或21x -<- 3x ⇒>或1x <∴0x <………4分综上得：当2a =时，原不等式的解集为{|130}x x x <<<或………5分（2）∵对任意(0,4]x ∈都有()4f x <即4()4x x a -<-<⇒(0,4]x ∀∈，44x a x x x -<<+恒成立………. 6分设4(),(0,4]g x x x x =-∈，4()p x x x =+，(0,4]x ∈,则对任意(0,4]x ∈， 44x a x x x-<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,4]x ∈………7分 ∵24'()1,g x x =+当(0,4]x ∈时'()0g x >∴函数()g x 在(0,4]上单调递增，∴max ()(4)3g x g ==………8分 又∵24'()1p x x =-＝2(2)(2)x x x -+，∴()p x 在(0,2]上递减,]4,2[上递增 ∴min ()(2)4p x p ==. ………9分 故)4,3(∈a ………10分。

江西省2015届高三数学一轮复习备考试题导数及其应用（含积分）一、选择题1、（2014年江西高考）若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰A.1-B.13-C.13D.1 2、（2013年江西高考）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为 A.123S S S << B.213S S S << C.231S S S << D.321S S S <<3、（乐安一中2015届高三上学期开学考试）定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足'()()f x x f x >，则下列不等式成立的是（ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <4、（南昌二中2015届高三上学期第一次考）定义在R 上的可导函数)(x f ，当),1(+∞∈x 时，0)1)(()()1(''>--⋅-x x f x f x 恒成立，若)2(f a =， )3(21f b =， )2(121f c -=，则c b a ,,的大小关系是( )A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<5、（南昌三中2015届高三上学期第一次月考）设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A. 2e B. e C.ln 22D. ln 26、（南昌市八一中学2015届高三8月月考）已知函数f （x ）在R 上满足f （1+x ）=2f （1﹣x ）﹣x 2+3x+1，则曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是学科网（ ） A ． x ﹣y ﹣2=0 B ． x ﹣y=0 C ． 3x+y ﹣2=0 D ． 3x ﹣y ﹣2=0 7、（南昌市新建二中2015届高三9月月考）设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()f x f x '>，对任意的正数a ，下面不等式恒成立的是( ).A.()(0)af a e f <B.()(0)af a e f > C.(0)()a f f a e <D ．(0)()af f a e> 8、（遂川中学2015届高三上学期第一次月考）由直线3x π=-，3x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )A .12B .1C .32D . 39、（南昌三中2014届高三第七次考试）已知二次函数2()1f x ax bx =++的导函数为'()f x ，且'(0)f ＞0，()f x 的图象与x 轴恰有一个交点，则'(1)(0)f f 的最小值为 ( ) A ．3 B ．32 C ．2 D ．5210、（吉安一中2014届高三下学期第一次模拟）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A. 4B. 14-C. 2D. 12-二、填空题1、（2014年江西高考）若曲线xy e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________.2、（2013年江西高考）设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)xf =3、（2012年江西高考）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________。

专题一 高考中的导数应用问题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 答案 D解析 函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值X 围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D解析 f (x )在(0,1)内有最小值，即f (x )在(0,1)内有极小值，f ′(x )＝3x 2－6b ， 由题意，得函数f ′(x )的草图如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)<0，f ′(1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0，解得0<b <12.故选D.3．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0 答案 A解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20， 所以t 的最小值是20.4．已知函数f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值X 围为__________．答案 [e ，＋∞)解析 f ′(x )＝1x·x －(ln a ＋ln x )x 2＝1－(ln a ＋ln x )x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e.5．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值X 围是__________． 答案 [－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上， 故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3， 故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2， 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0， 则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0， 所以t ∈[－2，－1].题型一 利用导数研究函数的单调性 例1设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值X 围．思维启迪 求出f ′(x )，分析函数的单调性，得出结论．解 (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )，令g (x )＝e x －1－ax ，g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0. 若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数， 而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0. 综合得a 的取值X 围为(－∞，1]．思维升华 (1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )>0或f ′(x )<0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．(2)若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，某某数c 的取值X 围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23－1， 解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c .则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)，列表如下： x (－∞，－13)－13 (－13，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )↗ 极大值↘极小值↗所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值X 围是[11，＋∞)． 题型二 利用导数研究与不等式有关的问题 例2 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．思维启迪 (1)求f ′(x )，讨论参数t 求最小值； (2)分离a ，利用求最值得a 的X 围；(3)寻求所证不等式和题中函数f (x )的联系，充分利用(1)中所求最值． 解 (1)由f (x )＝x ln x ，x >0，得f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈(0，1e )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f (1e )＝－1e；②当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t <1et ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，①当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， ②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤h (x )min ＝4.(3)问题等价于证明x ln x >x e x －2e (x ∈(0，＋∞))．由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．思维升华 (1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解． (2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题．已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0)．(1)若f (x )≤g (x )恒成立，某某数a 的取值X 围； (2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3.(1)解 令h (x )＝sin x －ax (x ≥0)，则h ′(x )＝cos x －a .若a ≥1，h ′(x )＝cos x －a ≤0，h (x )＝sin x －ax (x ≥0)单调递减，h (x )≤h (0)＝0，则sin x ≤ax (x ≥0)成立．若0<a <1，存在x 0∈(0，π2)，使得cos x 0＝a ，当x ∈(0，x 0)，h ′(x )＝cos x －a >0，h (x )＝sin x －ax (x ∈(0，x 0))单调递增，h (x )>h (0)＝0，不合题意， 结合f (x )与g (x )的图象可知a ≤0显然不合题意， 综上可知，a ≥1.(2)证明 当a 取(1)中的最小值1时，g (x )－f (x )＝x －sin x .设H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)，则H ′(x )＝1－cos x －12x 2.令G (x )＝1－cos x －12x 2，则G ′(x )＝sin x －x ≤0(x ≥0)，所以G (x )＝1－cos x －12x 2在[0，＋∞)上单调递减，此时G (x )＝1－cos x －12x 2≤G (0)＝0，即H ′(x )＝1－cos x －12x 2≤0，所以H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)单调递减．所以H (x )＝x －sin x －16x 3≤H (0)＝0，即x －sin x －16x 3≤0(x ≥0)，即x －sin x ≤16x 3(x ≥0)．所以，当a 取(1)中的最小值时，g (x )－f (x )≤16x 3.题型三 利用导数研究方程解或图象交点问题 例3已知f (x )＝ax 2 (a ∈R )，g (x )＝2ln x .(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值X 围． 思维启迪 (1)通过讨论a 确定F (x )的符号；(2)将方程f (x )＝g (x )变形为a ＝2ln x x 2，研究φ(x )＝2ln xx 2图象的大致形状．解 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a. 由ax 2－1<0，得0<x <1a. 故当a >0时，F (x )在区间⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增， 在区间⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减．②当a ≤0时，F ′(x )<0 (x >0)恒成立． 故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a ＝2ln xx 2＝φ(x )在区间[2，e]上有两个不等解．∵φ′(x )＝2x (1－2ln x )x 4在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，而φ(e)＝2e 2<φ(2)＝2ln 24＝ln 22＝φ(2)． ∴φ(x )min ＝φ(e)， 如图当f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不等解时有 φ(x )min ＝ln 22， 故a 的取值X 围为ln 22≤a <1e.思维升华 对于可转化为a ＝f (x )解的个数确定参数a 的X 围问题，都可以通过f (x )的单调性、极值确定f (x )的大致形状，进而求a 的X 围．已知函数f (x )＝|ax －2|＋b ln x (x >0)．(1)若a ＝1，f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，求b 的取值X 围； (2)若a ≥2，b ＝1，求方程f (x )＝1x 在(0,1]上解的个数．解 (1)f (x )＝|x －2|＋b ln x＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2＋b ln x (0<x <2)，x －2＋b ln x (x ≥2).①当0<x <2时，f (x )＝－x ＋2＋b ln x ，f ′(x )＝－1＋b x .由条件，得－1＋bx ≥0恒成立，即b ≥x 恒成立．∴b ≥2.②当x ≥2时，f (x )＝x －2＋b ln x ，f ′(x )＝1＋bx，由条件，得1＋bx ≥0恒成立，即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2.综合①，②得b 的取值X 围是{b |b ≥2}． (2)令g (x )＝|ax －2|＋ln x －1x，即g (x )＝⎩⎨⎧－ax ＋2＋ln x －1x (0<x <2a)，ax －2＋ln x －1x (x ≥2a).当0<x <2a 时，g (x )＝－ax ＋2＋ln x －1x ，g ′(x )＝－a ＋1x ＋1x 2.∵0<x <2a ，∴1x >a2.则g ′(x )>－a ＋a 2＋a 24＝a (a －2)4≥0.即g ′(x )>0，∴g (x )在(0，2a )上是递增函数．当x ≥2a 时，g (x )＝ax －2＋ln x －1x ，g ′(x )＝a ＋1x ＋1x2>0.∴g (x )在(2a ，＋∞)上是递增函数．又因为函数g (x )在x ＝2a 有意义，∴g (x )在(0，＋∞)上是递增函数． ∵g (2a )＝ln 2a －a2，而a ≥2，∴ln 2a ≤0，则g (2a )<0.∵a ≥2，∴g (1)＝a －3. 当a ≥3时，g (1)＝a －3≥0， ∴g (x )＝0在(0,1]上解的个数为1. 当2≤a ≤3时，g (1)＝a －3<0，∴g (x )＝0在(0,1]上无解，即解的个数为0.1．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )， 即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋ (b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]， 从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2， 则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－ 2 )，(2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由上述讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值g (2)＝43.2．已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)某某数a 的值；(2)若k ∈Z ，且k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，求k 的最大值．解 (1)因为f (x )＝ax ＋x ln x ，所以f ′(x )＝a ＋ln x ＋1. 因为函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e 处的切线斜率为3， 所以f ′(e)＝3，即a ＋ln e ＋1＝3，所以a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋x ln x ，又k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，即k <x ＋x ln x x －1对任意x >1恒成立．令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2(x －1)2，令h (x )＝x －ln x －2(x >1)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 因为h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－2ln 2>0，所以方程h (x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3,4)． 当1<x <x 0时，h (x )<0，即g ′(x )<0，当x >x 0时，h (x )>0，即g ′(x )>0，所以函数g (x )＝x ＋x ln xx －1在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以[g (x )]min ＝g (x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0∈(3,4)，所以k <[g (x )]min ＝x 0∈(3,4)，故整数k 的最大值为3. 3．设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值X 围． 解 (1)若a ＝0，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立，故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)． ∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，令e －x (e x －1)(e x －2a )<0得1<e x <2a ，∴0<x <ln 2a .故当x ∈(0，ln 2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln 2a )上单调递减．而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln 2a )时，f (x )<0.不符合要求．综上可得a 的取值X 围为(－∞，12]． 4．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ， 整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)．令y ＝x 3＋x 2－x －2，求导得y ′＝3x 2＋2x －1，令y ′＝0，得x 1＝－1，x 2＝13， 故得极值点分别在－1和13处取得，且极大值、极小值都是负值． 故公共点只有一个． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ， 整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，令h (x )＝x 3＋x 2－x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)， 如图，求导h (x )可以得到极值点分别在－1和13处，画出草图， h (－1)＝1，h (13)＝－527， 当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a ＝－527时恰有两个公共点． 5．定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件：①f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f ′(x )是偶函数；③f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)设g (x )＝4ln x －m ，若存在x ∈[1，e]，使g (x )<f ′(x )，某某数m 的取值X 围． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，(*)由f ′(x )是偶函数得b ＝0，①又f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，∴f ′(0)＝c ＝－1，②将①②代入(*)得a ＝13， ∴f (x )＝13x 3－x ＋3. (2)由已知得，若存在x ∈[1，e]，使4ln x －m <x 2－1，即存在x ∈[1，e]，使m >(4ln x －x 2＋1)min .设M (x )＝4ln x －x 2＋1，x ∈[1，e]，则M ′(x )＝4x －2x ＝4－2x 2x， 令M ′(x )＝0，∵x ∈[1，e]，∴x ＝ 2. 当2<x ≤e 时，M ′(x )<0，∴M (x )在(2，e)上为减函数；当1≤x ≤2时，M ′(x )>0，∴M (x )在[1，2]上为增函数，∴M (x )在[1，e]上有最大值且在x ＝2处取到．又M (1)＝0，M (e)＝5－e 2<0，∴M (x )的最小值为5－e 2.∴m >5－e 2.6．(2013·某某)已知a >0，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a x ＋2a . (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值X 围；若不存在，请说明理由．解 (1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝a －xx ＋2a ； 当x >a 时，f (x )＝x －a x ＋2a. 因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝－3a (x ＋2a )2<0， f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝3a (x ＋2a )2>0， f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0<a <4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝12－4－a 4＋2a ＝a －12＋a，故当0<a ≤1时，g (a )＝f (4)＝4－a4＋2a ； 当1<a <4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 4＋2a ，0<a ≤1，12，a >1.(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0<a <4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1<x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直．则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.即－3a(x 1＋2a )2·3a (x 2＋2a )2＝－1. 亦即x 1＋2a ＝3a x 2＋2a.(*) 由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，3a x 2＋2a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4＋2a ，1. 故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a <x <3a }与集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |3a 4＋2a <x <1的交集非空． 因为3a 4＋2a<3a ，所以当且仅当0<2a <1， 即0<a <12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎫0，12.。

江西省2015届高三数学一轮复习备考试题立体几何一、选择题1、（2014年江西高考）一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是2、（2013年江西高考）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD，正+=方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为,m n，那么m nA.8B.9C.10D.113、（2012年江西高考）如图，已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分。

记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图像大致为4、（红色六校2015届高三第一次联考）已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是( )5、（2014届江西省高三4月模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.233B.223C.203D.1436、（吉安一中2014届高三下学期第一次模拟）如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线,,Ox Oy Oz 上，则在下列命题中，错误．．的为（ ）A. O-ABC 是正三棱B. 直线OB ∥平面ACDC. 直线AD 与OB 所成的角是45°D. 二面角D-OB-A 为45°7、（南昌三中2014届高三第七次考试）M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行.其中真命题是（ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③ 8、设a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α； ②若a ∥α，α⊥β则a ⊥β； ③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α；④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥β． 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．39、将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的 几何体，则该几何体的侧视图为10、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是A 、n n αβαβ⊥,⇒⊥∥,m ∥mB 、,,m n m n αβαβ⊥⊂⊥⇒⊥C 、,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥ D 、,,m n n αβαβ⊥⊥⇒⊥∥m11、平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CD BD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.π23 B. π3 C. π32 D. π2 12、如右图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．1B ．12C ．34D ．32二、解答题1、（2014年江西高考）如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD . （1）求证：;PD AB ⊥（2）若,2,2,90===∠PC PB BPC问AB 为何值时，四棱锥ABCD P -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.2、（2013年江西高考）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点，G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，，连接CE 并延长交AD 于F . (1) 求证：AD CFG ⊥平面；(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.11113、（2012年江西高考）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=AC=AA 1=5，BC=4，在A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O 。

江西省2015届高三数学一轮复习备考试题导数及其应用（含积分）一、选择题1、（2014年江西高考）若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰A.1-B.13-C.13 D.12、（2013年江西高考）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为 A.123S S S << B.213S S S << C.231S S S << D.321S S S <<3、（乐安一中2015届高三上学期开学考试）定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足'()()f x x f x >，则下列不等式成立的是（ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <4、（南昌二中2015届高三上学期第一次考）定义在R 上的可导函数)(x f ，当),1(+∞∈x 时，0)1)(()()1(''>--⋅-x x f x f x 恒成立，若)2(f a =， )3(21f b =， )2(121f c -=，则c b a ,,的大小关系是( )A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<5、（南昌三中2015届高三上学期第一次月考）设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A. 2e B. e C.ln 22D. ln 26、（南昌市八一中学2015届高三8月月考）已知函数f （x ）在R 上满足f （1+x ）=2f （1﹣x ）﹣x 2+3x+1，则曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是学科网（ ） A ． x ﹣y ﹣2=0 B ． x ﹣y=0 C ． 3x+y ﹣2=0 D ． 3x ﹣y ﹣2=0 7、（南昌市新建二中2015届高三9月月考）设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()f x f x '>，对任意的正数a ，下面不等式恒成立的是( ).A.()(0)af a e f <B.()(0)af a e f > C.(0)()a f f a e <D ．(0)()af f a e> 8、（遂川中学2015届高三上学期第一次月考）由直线3x π=-，3x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )A .12B .1C .32D . 39、（南昌三中2014届高三第七次考试）已知二次函数2()1f x ax bx =++的导函数为'()f x ，且'(0)f ＞0，()f x 的图象与x 轴恰有一个交点，则'(1)(0)f f 的最小值为 ( ) A ．3 B ．32 C ．2 D ．5210、（吉安一中2014届高三下学期第一次模拟）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A. 4B. 14-C. 2D. 12-二、填空题1、（2014年江西高考）若曲线xy e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________.2、（2013年江西高考）设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)xf =3、（2012年江西高考）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________。

江西省南昌市2015届高三第一次模拟测试数 学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知i 为虚数单位，则复数12iz i+=在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、若集合{}1381x x A =≤≤，(){}22log 1x x x B =->，则A B =（ ） A ．(]2,4 B ．[]2,4 C ．()[],00,4-∞ D ．()[],10,4-∞-3、如图，在正四棱柱1111CD C D AB -A B 中，点P 是面1111C D A B 内一点，则三棱锥CD P -B 的正视图与侧视图的面积之比为（ ）A ．1:1B ．2:1C ．2:3D ．3:24、已知过定点()2,0P 的直线l与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（ ）A ．150B ．135C ．120D ．不存在5、已知实数x ，y 满足1040x y x y y m +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12-6、在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1c =，45B =，3cos 5A =，则b 等于（ ）A ．53B ．107C ．57 D．147、以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线倾斜角为3π，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．2CD ．2 8、如图所示程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 9、给出下列命题：①若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则1234532a a a a a ++++= ②α，β，γ是三个不同的平面，则“γα⊥，γβ⊥”是“//αβ”的充分条件③已知1sin 63πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7cos 239πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310、如图，(),x y M M M ，(),x y N N N 分别是函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>）的图象与两条直线1:l y m =，2:l y m =-（0m A ≥≥）的两个交点，记S x x N M =-，则()S m 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11、设无穷数列{}n a ，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论多小），总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有n a ε-A <成立，就称数列{}n a 的极限为A ．则四个无穷数列：①(){}12n-⨯；②()()11111335572121n n ⎧⎫⎪⎪+++⋅⋅⋅+⎨⎬⨯⨯⨯-+⎪⎪⎩⎭；③231111112222n -⎧⎫++++⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭；④{}231222322nn ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，其极限为2共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 12、设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值为（ ）A ．15B ．25C ．12D ．1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、a ，b ，c ，d 四封不同的信随机放入A ，B ，C ，D 4个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中a 没有放入A 中的概率是 ．14、已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 90∠BA =，侧面11CC B B 的面积为2，则直三棱柱111C C AB -A B 外接球表面积的最小值为 ．15、已知三角形C AB 中，C AB =A ，C 4B =，C 120∠BA =，3C BE =E ，若P 是C B 边上的动点，则AP⋅AE 的取值范围是 ．16、已知函数(),01lg ,0ax f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，36S =，正项数列{}n b 满足1232n S nbb b b ⋅⋅⋅=． ()1求数列{}a ，{}b 的通项公式；()2若n n b a λ>对n *∈N 均成立，求实数λ的取值范围．18、（本小题满分12分）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布()280,σN （满分为100分），已知()750.3P X <=，()950.1P X ≥=，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．()1求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[)80,85，[)85,95，[]95,100各有一位同学的概率；()2记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[]75,85的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE ． 19、（本小题满分12分）如图，C A 是圆O 的直径，B 、D 是圆O 上两点，C 2C 2CD 2A =B ==，PA ⊥圆O 所在的平面， 13BM =BP ．()1求证：C //M 平面D PA ；()2若C M 与平面C PA 所成角的正弦值为5时，求AP 的值．20、（本小题满分12分）已知圆:E 221924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭经过椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点1F 、2F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线．直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且λMN =OA （0λ≠）． ()1求椭圆C 的方程；()2当三角形AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．21、（本小题满分12分）已知函数()()2ln 12xf x ax x =+-+（0a >）． ()1当12a =时，求()f x 的极值； ()2若1,12a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()f x 存在两个极值点1x ，2x ，试比较()()12f x f x +与()0f 的大小；()3求证：()12!n n en ->（2n ≥，n ∈N ）．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，20PA =，10PB =，C ∠BA 的角平分线与C B 和圆O 分别交于点D 和E ． ()1求证：C C AB⋅P =PA⋅A ；()2求D A ⋅AE 的值．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．()1曲线C 在点()1,1处的切线为l ，求l 的极坐标方程；()2点A的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，且当参数[]0,t π∈时，过点A 的直线m 与曲线C 有两个不同的交点，试求直线m 的斜率的取值范围． 24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x x a =-（R a ∈）．()1若2a =，解关于x 的不等式()f x x <；()2若对任意的(]0,4x ∈都有()4f x <，求a 的取值范围．江西省南昌市2015届高三第一次模拟测试数学（理）参考答案及评分标准二、填空题 13.34 14. π4 15. 210[,]33- 16),0()0,1(+∞- 三、解答题17. （Ⅰ）解：等差数列}{n a ，11=a ，63=S ，1=∴d ，故n a n = ………3分⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--)2(2)1(211321321 n n S n Sn b b b b b b b b ，)2()1(÷得n aS S n n n n b 2221===--)2(≥n ， 222111===S b ,满足通项公式，故n n b 2= ………7分（Ⅱ）设n n a b >λ恒成立nn2>⇒λ恒成立，设n n c c n c n n n n2121+=⇒=+ 当2≥n 时，1<n c ，}{n c 单调递减， ………10分21)(1max ==∴c c n ，故21>λ. ………12分18. 解：（Ⅰ）(8085)1(75)0.2P X P X ≤<=-≤=，(8595)0.30.10.2P X ≤<=-=，所以所求概率330.20.20.10.024P A =⨯⨯⨯=； ………6分（每个结果各2分） （Ⅱ）(7585)12(75)0.4PX P X ≤≤=-<=， 所以ξ服从二项分别(3,0.4)B ，3(0)0.60.216P ξ===，2(1)30.40.60.432P ξ==⨯⨯=，………8分 2(2)30.40.60.288P ξ==⨯⨯=，3(3)0.40.064P ξ===，………10分 所以随机变量ξ的分布列是19. 解：（Ⅰ）作AB ME ⊥于E ,连接CE , ME ∴∥AP …① AC 是圆O 的直径，222===CD BC AC ，BC AB DC AD ⊥⊥∴,, 030=∠=∠∴CAD BAC , ………2分060=∠=∠DCA BCA ,3==AD AB=,3331==BA BE 33tan ==∠BC BE BCE , CAD ECA BCE ∠==∠=∠∴030EC ∴∥AD …②，………4分 由①②，且E CE ME = ,∴CM ∥ 平面PAD ………6分（Ⅱ）依题意，如图以A 为原点，直线AB ，AP 分别为x,z 轴建立空间坐标系，设a AP =)0,23,23(),,0,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(D a P C B A 设面PAC 的法向量为),,(z y x =，设CM 与平面PAC 所成角为θ ⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅==⋅030y x AC n az 设3=x，)0,3,3(-=∴， ………8分CB BM CB CM+=+= )3,1,33(a CM --=∴ 55123993122||||||sin 22=+=++⨯===∴a a n CM θ ………10分 3=∴a ………12分20．（Ⅰ）解：如图圆E 经过椭圆C 的左右焦点12,F F ,1,,F E A 三点共线, ∴1F A 为圆E 的直径,212AF F F ∴⊥2219(0)24x +-=, 2±=∴x ,2=∴c ………2分 189||||||2212122=-=-=F F AF AF , 4||||221=+=AF AF a222a b c =+，解得2,a b ==………4分∴椭圆C 的方程22142x y +=，………5分 （Ⅱ）点A 的坐标 (0)MN OAλλ=≠， ， ………6分 故设直线的方程为y x m =+ 22142y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 2220x m ∴++-=，设1122(,),(,)M x y N x y 2221212,2,2480x x x xm m m ∴+==-∆=-+>，22m ∴-<< ………8分||||MN x x =-==点A到直线的距离d =2214||||22AMNm m S MN d m ∆-+=⋅==≤= ………10分当且仅当224m m -=，即m =，直线的方程为y x =………12分 21.解：（Ⅰ）22)211ln()(+-+=x x x x f ，定义域2020211->⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+x x x ， 22')2(2)2(421)(+-=+-+=x x x x x f ，)2,2(-∴递减，),2(+∞递增 故12ln )2()(-==f x f 极小值，没有极大值. ………3分 （Ⅱ）22)1ln()(+-+=x x ax x f ，),1(+∞-∈ax ， 222')2)(1()1(4)2(41)(++--=+-+=x ax a ax x ax a x f ………4分 )1,21(∈a ，)41,0()1(∈-∴a a ， a a a a )1(21--<-∴ 0)1(42=--a ax ， aa a x )1(2-±=∴ ………5分aa a aa a a a a a x f x f 2121421214])1(21ln[])1(21ln[)()(21+-----+-----+-+=+2212442()()ln[(12)]ln[(12)]22121a f x f x a a a a -+=-+=-+--- 设12-=a t ，当)1,21(∈a 时，)1,0(∈t ，22ln )()()(221-+==+∴tt t g x f x f 设 当)1,0(∈t 时，22ln 2)(-+=t t t g ，0)1(222)(22'<-=-=t t t t t g ………7分 )(t g 在)1,0(∈t 上递减，0)1()(=>g t g ，即0)0()()(21=>+f x f x f 恒成立 综上述)0()()(21f x f x f >+ ………8分（Ⅲ）当)1,0(∈t 时，022ln 2)(>-+=t t t g 恒成立，即011ln >-+tt 恒成立设n t 1=),2(N n n ∈≥，即011ln >-+n n ，n n ln 1>-∴1ln 2,2ln 3,3ln 4,,1ln n n ∴>>>->123(1)ln 2ln 3ln 4ln ln 234n n n ∴++++->++++=⨯⨯⨯⨯=()!ln n>-∴2)1(nn ()!ln n ∴),2(!2)1(N n n n en n ∈≥>- ………12分 22.解：（Ⅰ）∵ PA 为圆O 的切线, ,PAB ACP ∴∠=∠又P ∠为公共角,PCA PAB ∆∆∽ AB PC PA AC ⋅=⋅ …………4分（2）∵PA 为圆O 的切线,BC 是过点O 的割线, 2,PA PB PC ∴=⋅ ………6分40,30PC BC ∴== 又∵022290,900CAB AC AB BC ∠=∴+==又由（Ⅰ）知12AB PA AC AB AC PC ==∴==,连接EC ,则,CAE EAB ∠=∠ADB ACE ∆∆∽， ………8分ACADAE AB =AD AE AB AC 360⋅=⋅== ………10分23.解：（Ⅰ）,,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩222=+∴y x 点(1,1)C 在圆上，故切线方程为2=+y x ………2分2cos sin =+∴θρθρ，切线的极坐标方程：2)4sin(=+πθρ………5分（Ⅱ）2)2(+-=x k y 与半圆)0(222≥=+y y x 相切时21|22|2=+-kk0142=+-∴k k 32-=∴k ，32+=k （舍去）……….8分设点)0,2(-B 222202-=+-=AB K ,故直线m 的斜率的取值范围为]22,32(--. ………10分 24．解：（Ⅰ）当2a =时，不等式()f x x <即|2|x x x -<显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为： |2|1121x x -<⇒-<-<13x ⇒<< (2)分当0x <时，原不等式可化为：|2|121x x ->⇒->或21x -<-3x ⇒>或1x < ∴0x < (4)分综上得：当2a =时，原不等式的解集为{|130}x x x <<<或 ………5分 （Ⅱ）∵对任意(0,4]x ∈都有()4f x < 即4()4x x a -<-<⇒(0,4]x ∀∈，44x a x x x-<<+恒成立 ……….6分 设4(),(0,4]g x x x x =-∈，4()p x x x=+，(0,4]x ∈,则对任意(0,4]x ∈，44x a x x x-<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,4]x ∈ ………7分∵24'()1,g x x=+当(0,4]x ∈时'()0g x > ∴函数()g x 在(0,4]上单调递增，第 11 页 共 11 页 又∵24'()1p x x =-＝2(2)(2)x x x-+，∴()p x 在(0,2]上递减,]4,2[上递增 ∴min ()(2)4p x p ==. ………9分 故)4,3(∈a ………10分。

江西省2015届高三数学一轮复习备考试题导数及其应用（含积分）一、选择题1、（2014年江西高考）若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰A.1-B.13-C.13 D.12、（2013年江西高考）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为A.123S S S <<B.213S S S <<C.231S S S <<D.321S S S <<3、（乐安一中2015届高三上学期开学考试）定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足'()()f x x f x >，则下列不等式成立的是（ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <4、（南昌二中2015届高三上学期第一次考）定义在R 上的可导函数)(x f ，当),1(+∞∈x 时，0)1)(()()1(''>--⋅-x x f x f x 恒成立，若)2(f a =， )3(21f b =， )2(121f c -=，则c b a ,,的大小关系是( )A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<5、（南昌三中2015届高三上学期第一次月考）设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A. 2e B. e C.ln 22D. ln 26、（南昌市八一中学2015届高三8月月考）已知函数f （x ）在R 上满足f （1+x ）=2f （1﹣x ）﹣x 2+3x+1，则曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是学科网（ ） A ． x ﹣y ﹣2=0 B ． x ﹣y=0 C ． 3x+y ﹣2=0 D ． 3x ﹣y ﹣2=0 7、（南昌市新建二中2015届高三9月月考）设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()f x f x '>，对任意的正数a ，下面不等式恒成立的是( ).A.()(0)af a e f <B.()(0)af a e f > C.(0)()a f f a e <D ．(0)()af f a e> 8、（遂川中学2015届高三上学期第一次月考）由直线3x π=-，3x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )A .12B .1C .32D . 39、（南昌三中2014届高三第七次考试）已知二次函数2()1f x ax bx =++的导函数为'()f x ，且'(0)f ＞0，()f x 的图象与x 轴恰有一个交点，则'(1)(0)f f 的最小值为 ( ) A ．3 B ．32 C ．2 D ．5210、（吉安一中2014届高三下学期第一次模拟）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A. 4B. 14-C. 2D. 12-二、填空题1、（2014年江西高考）若曲线xy e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________.2、（2013年江西高考）设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()xxf e x e =+，则(1)xf =3、（2012年江西高考）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________。

江西省高考数学一轮基础复习：专题 3 导数及其应用姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2016 高三上·海淀期中) 如图所示，A 是函数 f（x）=2x 的图象上的动点，过点 A 作直线平行于 x 轴，交函数 g（x）=2x+2 的图象于点 B，若函数 f（x）=2x 的图象上存在点 C 使得△ABC 为等边三角形，则称 A 为函数 f（x）=2x 上的好位置点．函数 f（x）=2x 上的好位置点的个数为（ ）A.0B.1C.2D . 大于 22. （2 分） 设定义在 R 上的偶函数；当且 时，满足A . 12B . 16C . 18D . 20， ． 则方程是 的导函数，当 根的个数为（ ）时，3. （2 分） 二项式 A.3的展开式的第二项的系数为，则的值为（ ）第 1 页 共 11 页B. C . 3或 D . 3或 4. （2 分） (2018 高二下·科尔沁期末) 已知直线 y=3x+1 与曲线 y=ax3+3 相切,则 a 的值为（ ） A.1 B . ±1 C . -1 D . -2 5. （2 分） (2016·上饶模拟) 已知定义在[﹣ ， ]的函数 f（x）=sinx（cosx+1）﹣ax，若 y=f（x） 仅有一个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A . （ ，2] B . （﹣∞， ）∪[2，+∞） C . [﹣ ， ） D . （﹣∞，﹣ ]∪（ ，+∞）6. （2 分） (2019 高二下·宝安期末) 已知函数 则实数 的取值范围是（ ）A.B.C.D.第 2 页 共 11 页，若函数有 个零点，7. （2 分） (2016 高二上·眉山期中) 已知二次函数 f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1） 与（1，2）内，则（m+1）2+（n﹣2）2 的取值范围是（ ）A.B. C . [2，5] D . （2，5）8. （2 分） (2019 高二下·顺德期末) 设直线与函数，点，则 的最小值为（ ）的图像分别交于 A，B 两A.B.C.D. 9. （2 分） 三次函数 （）在区间上是减函数，那么 b+c 的取值范围是A.B.C.D.10. （2 分） (2017 高二上·邯郸期末) 设函数 f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤2016π），则函数 f（x）的 各极大值之和为（ ）第 3 页 共 11 页A. B. C. D. 11. （2 分） 已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（ ）A.cB . a+b+cC . 8a+4b+cD . 3a+2b12. （2 分） 已知 （）为定义在上的可导函数，且A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 函数 f（x）=xlnx 在（0，+∞）上的最小值为________．第 4 页 共 11 页对于任意 恒成立，则14. （1 分） (2020 高二下·慈溪期末) 已知函数 的图像在点 M 处的切线的方程是________.和点，则导数________；15. （1 分） (2019 高二下·固镇月考) 若存在 数 的最小值为________.，使得不等式成立，则实16. （1 分） (2020·湖南模拟) 若存在 ，使得对任意恒成立，则函数在 上有下界，其中 为函数的一个下界；若存在 ，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中 为函数的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列四个结论：①1 不是函数的一个下界；②函数有下界，无上界；③函数有上界，无下界；④函数其中所有正确结论的编号为________.三、 综合题 (共 6 题；共 40 分)有界.17. （10 分） (2017 高二下·黑龙江期末) 已知函数（1） 若存在极值点 1，求 的值；，.（2） 若存在两个不同的零点，求证：（ 为自然对数的底数，）.18. （10 分） (2018·恩施模拟) 函数.（1） 当时，讨论的单调性；（2） 若函数有两个极值点，且，证明：.19. （5 分） 已知函数 f（x）=ex﹣ax（e 为自然对数的底数，a 为常数）在点（0，1）处的切线斜率为﹣1．（Ⅰ）求 a 的值及函数 f（x）的极值；（Ⅱ）证明：当 x＞0 时，x2＜ex；第 5 页 共 11 页20. （5 分） (2020 高二下·天津期末) 设线与 y 轴相交于点.（1） 确定 a 的值；，，在点处的切（2） 求函数的单调区间与极值.21. （5 分） (2015 高三上·泰州期中) 设 f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2 ． （1） 求函数 f（x）的最小值；（2） 若存在 x∈（0，+∞），使 f（x）＞g（x），求实数 a 的取值范围；（3） 若使方程 f（x）﹣g（x）=0 在 x∈[ ，en]（其中 e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小 a 的 值为 an ， 数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 求证：Sn＜3．22. （5 分） (2019 高一上·郁南月考) 已知函数（1） 求的解析式；是奇函数，且=10（2） 判断函数在上的单调性，并加以证明．（3） 函数在[-3，0）上是单调增函数还是单调减函数？(直接写出答案，不要求写证明过程)．第 6 页 共 11 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、参考答案14-1、 15-1、第 7 页 共 11 页16-1、三、 综合题 (共 6 题；共 40 分)17-1、17-2、18-1、第 8 页 共 11 页18-2、19-1、第 9 页 共 11 页20-1、20-2、 21-1、21-2、第 10 页 共 11 页21-3、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。