八年级下数学解题技巧专题：函数图象信息题

函数图象题解题思路与方法简述：要解决以行程问题为背景的一次函数应用题，并用图象给出了相关信息类问题，简单来说有以下几种思路与解决方法：第一，必须读懂图象：1.两坐标轴表示的实际意义分别是什么。

2．图象的每一段的实际意义是什么。

3．图象的交点或拐点的实际意义是什么。

4．图象与两坐标轴的交点的实际意义是什么。

第二，借助行程图，是解决此类问题的关键：只有借助行程图，才能弄清每一过程中y与x的函数关系，从而各个击破．第三，应注意图象的各段对应的函数解析式中自变量的取值范围。

下面以具体题目来说明这几种方法的运用：例：一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为(Km)，出租车离甲地的距离为(Km)，客车行驶的时间为x (h)，与的函数关系如图1所示．（1）根据图象直接写出，与x的函数关系式；（2）分别求出当x＝3，x＝5，x＝8时，两车之间的距离；（3）若设两车之间的距离为s (Km)，请写出s关于x的函数关系式；（4）甲乙两地间有M、N两个加油站，相距200 Km，若客车进入M站加油时，出租车恰好进入N站加油，求M加油站到甲地的距离．解析：（1）由图1知，客车离甲地的距离与时间x成正比例函数关系（直线AB过原点），出租车离甲地的距离与时间x成一次函数关系（直线CD不过原点）．故设＝x （0≤x≤10），＝x＋（0≤x≤6），将点（10，600）代入＝x，点（6，0）和（0，600）代入＝x＋，易求得，与x的函数关系式为：＝60x（0≤x≤10）①，＝－100x＋600（0≤x≤6）②；（2）由图象知，点E的实际意义是：点E表示客车与出租车到甲地的距离相等（＝），即它们在此时相遇．联立①与②，解得，，所以点E的坐标为（，225），即两车同时出发后（＝3．75）小时相遇．借助行程图知：当x＝3时，如图2，＝60×3＝180，＝－100×3＋600＝300，此时两车之间的距离是－＝12 (Km)；当x＝5时，如图3，＝60×5＝300，＝－100×5＋600＝100，此时两车之间的距离是－＝200 (Km)；当x＝8时，如图4，＝60×8＝480，因出租车已经到达了甲地，所以＝0，此时两车之间的距离是－＝＝480 (Km) ．（3）由（2）知：两车相遇前，s关于x的函数关系式为s＝－＝－160x＋600（0≤x≤）；两车相遇后，s关于x的函数关系式为s＝－＝160x－600（≤x≤6）；（注：当x＝时，－＝0，即相遇时s＝0．）出租车到达甲地后，s关于x的函数关系式为s＝＝60x（6≤x≤10）．（注：在此时间段，出租车到达甲地后没有再行驶．）（4）由题意，知s＝200，当0≤x≤时，－160x＋600＝200，∴x＝，此时，A加油站到甲地的距离为＝60x＝60×＝150(Km)；当≤x≤6时，s＝160x－600＝200，∴x＝5，此时，A加油站到甲地的距离为＝60x ＝60×5＝300(Km)；当6＜x≤10时，s＝60x＝200，∵60x＞360，不合题意．最后预祝大家学业有成！。

专题20一次函数重点题型函数图像信息题（解析版）第一部分题组训练类型一根据信息判断函数图象1．（2022•邹城市一模）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与t的大致图象应为（）A．B．C．D．【思路引领】根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答案．【解答】解：根据题意，设小正方形运动的速度为v，由于v分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S＝2×2﹣vt×1＝4﹣vt（vt≤1）；②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S＝2×2﹣1×1＝3；③小正方形穿出大正方形，S＝2×2﹣（1×1﹣vt）＝3+vt（vt≤1）．分析选项可得，A符合，C中面积减少太多，不符合．故选：A．【总结提升】考查了动点问题的函数图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．2．（2023春•丰台区期末）如图所示，一个实心铁球静止在长方体水槽的底部，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x关系的是（）A．B．C．D．【思路引领】根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．【解答】解：当水的深度未超过球顶时，水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢；当水的深度超过球顶时，水槽中能装水的部分宽度不再变化，所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升．故选：C．【总结提升】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．3．（2023•湖北）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t，y1（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y1，y2随时间t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【思路引领】本题考查函数的图象，圆柱体和长方体的灌水时间与容积之间的关系，底面面积越大，注水相同时间，水面上升的高度越慢．【解答】解：根据题意，先用水管往铁桶中持续匀速注水，∴y1中从0开始，高度与注水时间成正比，当到达t1时，铁桶中水满，所以高度不变，y2表示水池中水面高度，从0到t1，长方体水池中没有水，所以高度为0，t1到t2时注水从0开始，又∵铁桶底面积小于水池底面积的一半，∴注水高度y2比y1增长的慢，即倾斜程度低，t2到t3时注水底面积为长方体的底面积，∴注水高度y2增长的更慢，即倾斜程度更低，长方体水池有水溢出一会儿为止，∴t3到t4，注水高度y2不变．故选：C．【总结提升】本题考查函数的图象，圆柱体和长方体的灌水时间与容积之间的关系，底面面积越大，注水相同时间，水面上升的高度越慢．解题的关键是倾斜程度的意义的理解．4．（2022春•高新区期末）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，如图的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（）A．B．C．D．【思路引领】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．【解答】解：公共汽车经历：加速﹣匀速﹣减速到站﹣加速﹣匀速．加速：速度增加；匀速：速度保持不变；减速：速度下降；到站速度为0．故选：D．【总结提升】此题考查的知识点是函数的图象，图象分析题一定要注意图象的横、纵坐标表示的物理量，分析出图象蕴含的物理信息，考查学生的图象分析和归纳能力．类型二根据函数图象判断物体形状5．（2022•武汉）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（）A．B．C．D．【思路引领】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是平缓，稍陡，陡；即随着时间的变化，水面高度变化的快慢不同，与所给容器的底面积有关．则相应的排列顺序就为选项A．故选：A．【总结提升】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．类型三获取函数图象信息6．（2023•河西区模拟）甲、乙两车分别从A城出发前往B城，在整个行程中，甲车离开A城的距离y1（单位：km）与甲车离开A城的时间x（单位：h）的对应关系如图所示．（Ⅰ）填空：①A，B两城相距360km；②当甲车出发2.5h时，距离A城120km；③当0＜x＜2时，甲车的速度为60km/h；④当83＜＜173时，甲车的速度为80km/h；⑤若乙车比甲车晚出发12ℎ，以60km/h的速度匀速行驶，则两车相遇时，甲车离开A城的时间为52或196h．（Ⅱ）当0≤≤173时，请直接写出y1关于x的函数解析式．【思路引领】（Ⅰ）根据图表信息，即可求出相应结果．（Ⅱ）根据图象可知0≤≤173时，被分为三部分，分别是0≤x≤2、2＜x≤83、83＜x≤173，找到对应点求出解析式即可．【解答】解：（Ⅰ）①根据图象可得A，B两城相距为360km；故答案为：360；②当甲车出发2.5h时，距离A城120km；故答案为：120；③当0＜x＜2时，甲车的速度为：120÷2＝60（km/h）；故答案为：60；④当83＜＜173时，甲车的速度为：360−120173−83=80（km/h）；故答案为：80；⑤第一次相遇：120÷60+12=52；第二次相遇|：360−1203+2803=60（x−12），解得x=196．即若乙车比甲车晚出发12ℎ，以60km/h的速度匀速行驶，则两车相遇时，甲车离开A城的时间为52或196h；故答案为：52或196；（II）当0≤x≤2时，y1＝60x；当2＜x≤83时，y1＝120；当83＜x≤173时，设y1关于x的函数解析式为y1＝kx+b，代入（83，120），（173，360），得：+=120+=360，解得=80=−2803所以y1＝80x−2803．【总结提升】本题考查了一次函数图形解决实际问题相关知识，理解数据的实际意义，并能灵活运用是解决问题的关键．7．（2023•宁津县一模）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是甲．【思路引领】当时间一样的时候，分别比较甲、乙和丙、丁的平均速度；当路程都是3千米的时候，比较甲、丁的平均速度即可得出答案．【解答】解：∵10分钟甲比乙步行的路程多，25分钟丁比丙步行的路程多，∴甲的平均速度＞乙的平均速度，丁的平均速度＞丙的平均速度，∵步行3千米时，乙比丙用的时间少，∴乙的平均速度＞丙的平均速度，∴走得最快的是甲，故答案为：甲．【总结提升】本题考查了函数的图象，通过控制变量法比较平均速度的大小是解题的关键．8．甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（）A．8：28B．8：30C．8：32D．8：35【思路引领】设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，因为小亮、小莹乘车行驶的速度分别是67a 千米/时，2a千米/时，即可得到方程：67ax+2a（x−16）＝a，求出x的值，即可解决问题．【解答】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，∵小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是76小时，12小时，∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是67a千米/时，2a千米/时，由题意得：67ax+2a（x−16）＝a，∴x=715，715小时＝28分钟，∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28．故选：A．【总结提升】本题考查一元一次方程的应用，关键是由题意列出方程：67ax+2a（x−16）＝a．9．（2023秋•道里区校级月考）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为17．【思路引领】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，∴AB＝15，∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）；∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），∴BC＝2×4＝8；在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；故答案为：17．【总结提升】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB，BC的长是解题的关键．10．（2021•宿迁）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：（1）快车的速度为100km/h，C点的坐标为（8，480）．（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．【思路引领】（1）由图象信息先求出慢车速度，再根据相遇时慢车走的路程，从而求出快车走的路程，再根据速度＝路程÷时间，求出快车速度，然后根据快车修好比慢车先到达终点可知C点是慢车到达终点时所用时间即可；（2）分两车相遇前和相遇后两种情况讨论即可．【解答】解：（1）由图象可知：慢车的速度为：60÷（4﹣3）＝60（km/h），∵两车3小时相遇，此时慢车走的路程为：60×3＝180（km），∴快车的速度为：（480﹣180）÷3＝300÷3＝100（km/h），通过图象和快车、慢车两车速度可知快车比慢车先到达终点，∴慢车到达终点时所用时间为：480÷60＝8（h），∴C点坐标为：（8，480），故答案为：100，（8，480）；（2）设慢车出发t小时后两车相距200km，①相遇前两车相距200km，则：60t+100t+200＝480，解得：t=74，②相遇后两车相距200km，则：60t+100（t﹣1）﹣480＝200，解得：t=398，∴慢车出发74h或398h时两车相距200km，答：慢车出发74h或398h时两车相距200km．【总结提升】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是弄清图象拐点处的意义，根据题意进行运算．第二部分专题提优训练1．（2023•无为市四模）“百日长跑”是一项非常有益身心的体育活动，体育老师一声令下，小雅立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后150米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小雅跑步时的速度y（单位：米/分）与时间x（单位：分）之间的大致图象的是（）A．B．C．D．【思路引领】根据小雅的速度的变化判断即可．【解答】解：由小雅立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加；途中一直保持匀速，此时速度不变，图象与x轴平行；最后150米时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一段更陡．故选项B符合题意．故选：B．【总结提升】本题考查了函数图象，发现速度的变化关系是解题关键．2．（2023春•井冈山市期末）小明观看了《中国诗词大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（）A．B．C．D．【思路引领】开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同．【解答】解：开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，故A，B，C不符合题意；两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同，则选项D符合题意．故选：D．【总结提升】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．3．如图，因水桶中的水由图①的位置下降到图②的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【思路引领】根据水减少的体积是y，水位下降的高度是x，而且y与x之间函数关系成正比例得出图象即可．【解答】解：∵水减少的体积是y，水位下降的高度是x，∴y越大，x越大，而且它们成正比例关系，∴图象中只有C是正比例关系，故选：C．【总结提升】此题主要考查了函数图象与实际问题，利用实际问题得出函数关系是解决问题的关键．4．（中考真题•漳州）均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（）A．B．C．D．【思路引领】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．故选：A．【总结提升】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．5．（2021春•七星关区期末）某列高铁从起点站出发，加速一段时间后开始匀速行驶，在快到下一站时减速并停下，等乘客上下车后开始加速，一段时间后开始匀速行驶．下面的图中哪一个能近似地刻画这一段时间内高铁的速度随时间变化情况（）A．B．C．D．【思路引领】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．【解答】解：高铁经历：加速﹣匀速﹣减速到站﹣加速﹣匀速，加速：速度增加，匀速：速度保持不变，减速：速度下降，到站：速度为0．观察四个选项的图象，只有A选项符合．故选：A．【总结提升】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．6．（2021春•织金县期末）妈妈从家里出发去平远古镇锻炼，她连续匀速走了60分钟后回到家，如图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离S（km）与行走时间t（min）之间的关系，则下列图形中可以大致描述妈妈行走的路线的是（）A．B．C．D．【思路引领】根据给定s关于t的函数图象，分析AB段可得出该段时间妈妈绕以家为圆心的圆弧进行运动，由此即可得出结论．【解答】解：观察s关于t的函数图象，发现：在图象AB段，该时间段妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，∴可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B．故选：B．【总结提升】本题考查了函数的图象，解题的关键是分析函数图象的AB段．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象分析出大致的运动路径是关键．7．（2022春•惠州期末）如图，点P从正方形ABCD的顶点C出发，沿着正方形的边运动，依次经过点D 和点A到达点B后停止运动．当运动路程为x时，△PBC的面积为y，则y随x变化的图象可能是（）A．B．C．D．【思路引领】根据运动可以发现△PBC的面积，从增大到不变，再到不断减小，结合图象可选出答案．【解答】解：y与x的函数关系的图象大致可分三段来分析：当点P从C运动到D时，因为底BC不变，高PC逐渐增大，所以△PBC的面积随着CP的增大而增大；当点P从D运动到A时时，△PBC的底和高都不变，所以面积也不变；当点P从A运动到B的时候，因为底BC不变，高PB逐渐减小，所以△PBC的面积随着PB的减小而减小．所以选项B符合题意．故选：B．【总结提升】本题考查了动点问题的函数图象，弄清点P分别在三条边上运动时，面积的变化情况是解题关键．8．（2023春•平原县期中）一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发匀速行驶至乙港，行驶路程随时间变化的图象如图，则快艇比轮船每小时多行20千米．【思路引领】观察图象，根据图象中的路程和时间的关系，求出各自的速度，从而计算速度差．【解答】解：由函数图象，得：轮船的速度为：160÷8＝20（km/h），快艇的速度为：160÷（6﹣2）＝40（km/h），∴快艇比轮船每小时多行40﹣20＝20（千米），故答案为：20．【总结提升】本题考查了函图象的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时分析清楚函数图象提供的信息是关键．9．（2023春•青海月考）已知小明家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示小明离家的距离．依据图中的信息，下列说法中：①体育场离家2.5km；②小明在体育场锻炼了20分钟；③小明从体育场出发到文具店的平均速度为4km/h，其中正确的有①③（填序号）．【思路引领】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，体育场离小明家2.5km，故①正确；小明在体育场锻炼了：30﹣15＝15（分钟），故②错误；③小明从体育场出发到文具店的平均速度为：（2.5﹣1.5）÷45−3060=4（km/h），故③正确．故答案为：①③．【总结提升】本题考查了函数图象，解题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．10．（2021春•思明区校级期中）如图，某个函数的图象由线段AB和线段BC组成，其中A（0，2），B（32，1），C（4，3），则此函数的最大值是3．【思路引领】直接利用函数图象上点的坐标，进而得出函数最值即可．【解答】解：∵函数的图象由线段AB和BC组成，其中点A（0，2），B（32，1），C（4，3），∴当x＝4时，函数值最大为3．故答案为：3．【总结提升】此题主要考查了函数的图象以及函数值，正确利用点的坐标是解题关键．11．汽车的速度随时间变化的情况如图所示：（1）这辆汽车的最高时速是多少？（2）汽车在行驶了多长时间后停了下来，停了多长时间？（3）汽车在第一次匀速行驶（速度不变）时共用了几分钟？速度是多少？在这段时间内，它走了多远？【思路引领】（1）结合图形速度轴可以找出最高时速；（2）当速度为0时，汽车停止下来；（3）结合图形，可得出第一次匀速行驶（速度不变）时共用了几分钟，速度是多少，再利用路程＝速度×时间，即可得出结论．【解答】解：（1）由汽车的速度随时间变化的情况图可看出：汽车的最高时速是120千米/时．（2）结合图形，可得知，汽车在行驶了10分钟后停了下来，停了12﹣10＝2分钟．（3）由图形可知，第一次匀速行驶的速度为90千米/时，行驶的时间为6﹣2＝4分钟，∵4分钟=115小时，∴行驶的路程＝90×115=6（千米）．答：汽车在第一次匀速行驶（速度不变）时共用了4分钟，速度是90千米/时，在这段时间内，它走了6千米．【总结提升】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：能熟练的运用图形解决问题．12．（2023春•尤溪县期中）周末，小明骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若追上小明后，再过5分钟妈妈到达乙地，求从家到乙地的路程．【思路引领】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）根据函数图象中的数据，可以写出小明从家出发多少小时后被妈妈追上，并计算出此时离家多远；（3）根据小明的速度，求出妈妈的速度，然后即可计算出从家到乙地的路程．【解答】解：（1）由图象可得，小明骑车的速度是：10÷0.5＝20（km/h），在甲地游玩的时间为：1﹣0.5＝0.5（h），即小明骑车的速度是20km/h，在甲地游玩的时间是0.5h；（2）由图象可得，小明从家出发74小时后被妈妈追上，此时离家：20×（74−0.5）＝25（km），即小明从家出发74小时后被妈妈追上，此时离家25km；（3）∵妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍，小明骑车的速度是20km/h，∴妈妈驾车速度为20×3﹣60（km/h），∴从家到乙地的路程是：60×（74−43+560）＝60×74−60×43+60×560＝105﹣80+5＝30（km），即从家到乙地的路程是30km．【总结提升】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．。

初二函数题型及解题方法初二数学中，函数是一个重要的概念，掌握函数的概念以及解决函数题是必不可少的。

本文将介绍初二函数题型及解题方法。

1. 函数定义题型函数定义题是最基本的函数题型，要求学生根据给定的函数定义，求出函数在某一点的函数值。

例如，已知函数f(x) = 2x + 1，求f(3)的值。

解题方法：将x=3代入函数f(x)中，即f(3) = 2 × 3 + 1 = 7，所以f(3) = 7。

2. 函数图象题型函数图象题是常见的函数题型，要求学生根据函数图象求出函数在某一点的函数值，或者根据函数的某些特点画出函数的图象。

例如，已知函数f(x)的图象如下，求f(2)的值。

解题方法：从图中可以看出，当x=2时，f(x)的函数值为4，所以f(2) = 4。

3. 函数性质题型函数性质题是要求学生根据函数的定义和性质解决问题，例如，已知函数g(x) = |x + 2|，求g(x)的单调性。

解题方法：当x1 < x2时，有g(x1) < g(x2)或者g(x1) >g(x2)，需要分析|x + 2|的取值情况。

当x < -2时，有g(x) = -(x + 2)，当-2 ≤ x时，有g(x) = x + 2。

所以，当x1 < x2且x1, x2 < -2时，有g(x1) < g(x2)，当-2 ≤ x1 < x2时，有g(x1) < g(x2)，当x1 < x2且x1, x2 ≥ -2时，有g(x1) >g(x2)。

因此，g(x)在区间(-∞, -2)上单调递减，在区间[-2, +∞)上单调递增。

4. 复合函数题型复合函数题要求学生构造复合函数，也就是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，例如，已知f(x) = 2x，g(x) = x + 1，求f(g(2))的值。

解题方法：首先，g(2) = 2 + 1 = 3，然后将3代入f(x)中，即f(g(2)) = f(3) = 2 × 3 = 6。

专题19.4 函数的图象（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】函数的图象1. 函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象，就是这个函数的图象.2. 画函数图象的一般步骤：（1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.（2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.（3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来.特别提醒：函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线，甚至可以是不连续的点.【知识点二】函数的识别方法对于函数的定义，两个变量是前提，它们的对应关系是基础.必须明确：两个变量之间的对应关系，即一个自变量值对应一个函数值，也可以是两个或多个不同的自变量值对应一个函数值，但绝不能是一个自变量值对应两个不相同的函数值.【知识点三】利用函数的图象获取信息根据图像读取信息时，要把握以下三个方面：1. 横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；2.关于图象上的某个点，可以过该点分别向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标；3.在实际问题中，要注意图象与横、纵轴的交点代表的具体含义.【知识点四】利用函数的图象解决实际问题对于已知的函数图象，要弄清楚函数图象上点的意义，对于实际问题，要正确理解图象的横、纵坐标表示的意义，以及横、纵坐标的单位图象的变化趋势等，从而表达所反映的实际意义.【知识点四】分段函数的应用方法自变量在不同的范围内取值时，函数y和自变量x有不同的对应关系，这种函数称为分段函数.解决分段函数的有关问题的关键是要弄清自变量的取值范围，选择合适的解析式解决问题.【考点目录】【考点1】函数图象的识别；【考点2】从函数图象获取信息；【考点3】画函数的图象；【考点4】函数图象中的动点问题；【考点5】函数图象中的分段函数；【考点1】函数图象的识别；【例1】下列各情景分别可以用哪幅图来近似地刻画？（1）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）；（2）一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）；（3）足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；（4）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）．【答案】（1）C ；（2）D ；（3）A ；（4）B【分析】确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解．解：（1）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系），温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C 刻画；（2）一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系），旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D 刻画；（3）足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系），球的高度逐步增加然后落地，故可以用A 来刻画；（4）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系），汽车的速度不变，故可以用B 来刻画．【点拨】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．【变式1】有一块长方形菜园ABCD ，一边利用足够长的墙，另三边用长度为20m 的笍色目成，设长方形的长BC 为m x ，宽AB 为m y ，则下列函数四象能反映y 与x 关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题考查了函数图象，根据菜园三边的和为20m ，进而可得1102y x =-+（020x <<），进而可求解，理解题目中的数量关系，得出y 与x 关系式是解题的关键．解：根据题意得：220y x +=，即：1102y x =-+（020x <<），\函数图象能反映y 与x 关系的是A ，故选A ．【变式2】小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第 幅描述了小明的行为（填序号）．【答案】②【分析】根据题意可得小明先跑后走，速度先快后慢，结合图象逐个进行分析即可．解：①随着时间推移，路程没有变化，则速度为0，不符合题意；②由图可知，速度先快后慢，符合题意；③随着时间推移，路程均匀变大，则速度没有发生变化，不符合题意；④由图可知，速度先慢后快，不符合题意；故答案为：②．【点拨】本题主要考查了从函数图像获取信息的能力，熟练运用数形结合思想是解本题的关键．【考点2】从函数图象获取信息；【例2】如图1，某校机器人兴趣小组在长方形水池ABCD 边上进行机器人测试．机器人从点B 处出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：线段BC ，线段CD ，线段DA ，到点A 处停止．如果机器人所在的位置用点P 表示，那么PAB V 的面积()2m S 与机器人出发后的时间t （分钟）之间的关系图像如图2所示．（1）请求出长方形ABCD 的长和宽；（2）当3t ≤时，求S 与t 之间的关系式；（3）若沿途在某处让机器人原地做了52分钟的其他性能测试，然后重新出发，前后速度保持不变，请你求出机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程．【答案】（1）长是8m ，宽是4m ；（2）()16033S t t =££；（3）14m 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式：（1）根据函数图象可得到2CD BC =，再根据在CD 上运动时，PAB V 的面积为216m ，结合三角形面积公式得到12162BC BC ´×=，据此即可求出答案；（2）根据（1）所求可得机器人的速度为每分钟走4m 3，则4m 3BP t =，再根据三角形面积公式求解即可；（3）根据题意可求出a 的值，进而根据路程等于速度乘以时间求出答案．（1）解：观察图像可知，机器人从B 点走到C 点用了3分钟，从C 点走到走到D 点用了6分钟∵机器人是匀速运动∴2CD BC =，又从图像可知，111216222ABC S AB BC CD BC BC BC =×=×=´×=△∴48BC CD ==，，∴长方形ABCD 的长是8m ，宽是4m ．（2）解：由（1）可知，机器人3分钟走了4m 的路程，∴机器人的速度为每分钟走4m 3，∴4m 3BP t =，∴当3t ≤时，S 与t 之间的关系式为：()1416803233S t t t =´´=££（3）解：由题意可得5211322a =-=∴机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程为：42114m 32´=．【变式1】如图，将一个圆柱形无盖小烧杯放置在一个圆柱形无盖大烧杯底部，杯底厚度忽略不计．已知大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，现向小烧杯内匀速加水，当大烧杯内的水面高度与小烧杯顶部齐平时，就停止加水．在加水的过程中，小烧杯、大烧杯内水面的高度差y 随加水时间x 变化的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．根据题意判断出小烧杯、大烧杯的液面高度(cm)y 随时间(s)x 的变化情况即可．解：Q 大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，\小烧杯的容积是大烧杯与小烧杯顶部齐平时下部容积的14，\注满小烧杯的所需时间是大烧杯下部注水时间的13，\小烧杯、大烧杯内水面的高度差y 随加水时间x 变化的图象可能是选项C ．故选：C【变式2】甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和()m y 与甲组挖掘时间x （天）之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多m ．【答案】60【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据甲组单独工作时30天的时间一共挖掘90米，求出甲每天挖掘的长度，进而求出甲组挖掘的总长度，再求出乙组挖掘的总长度即可得到答案．解：由题意得，甲组单独每天可挖掘3002103m 6030-=-，∴甲组一共挖掘了603180m ´=，∴乙组一共挖掘了300180120m -=，∴甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多18012060m -=，故答案为：60．【考点3】画函数的图象；【例3】在同一直角坐标系中画下列函数的图象：（1）37y x =-．（2）84y x =-．（3）36y x =-+．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析．【分析】（1）先列表，再描点，再进行连线即可；（2）先列表，再描点，再进行连线即可；（3）先列表，再描点，再进行连线即可．（1）解：37y x =-，列表得：x 2-1-012y673737-67-函数图象如图所示；（2）解：84y x =-，列表得：x 12-012132y8-4-048函数图象如图所示；（3）解：36y x =-+，列表得：x 0121322y692332函数图象如图所示；【点拨】本题考查了绘制函数图象，根据列表、描点和连线的步骤进行绘制即可．【变式1】函数1y x =-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据画图像的基本步骤，画图判断即可．解：∵函数1y x =-的图像大致是，故选C ．【点拨】本题考查了图像的画法，熟练掌握画图像的基本步骤是解题的关键．【变式2】李玲用“描点法”画二次函数2y a bx c =++的图象时，列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数2y a bx c =++当3x =时，y =．【答案】1【分析】观察表格中的x ，y 值，找到对称点确定对称轴，在找x=3的对称点的y 值，即可求出解：由上表可知函数图象经过点（0，-2）和点（2，-2），∴对称轴为x=022+=1，∴当x=-1时的函数值等于当x=3时的函数值，∵当x=-1时，y=1，∴当x=3时，y=1．故答案为1．【点拨】本题考查了二次函数的图像性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决本题的关键，另外本题也可以求出二次函数解析式，然后求值【考点4】函数图象中的动点问题；【例4】如图①，在矩形ABCD 中，点P 从AB 边的中点E 出发，沿着E B C --匀速运动，速度为每秒1个单位长度，到达点C 后停止运动，点Q 是AD 上的点，5AQ =，设PAQ V 的面积为y ，点P 运动的时间为t 秒，y 与t 的函数关系如图②所示．（1）图①中AB =，BC =，图②中m =．（2）点P 在运动过程中，将矩形沿PQ 所在直线折叠，则t 为何值时，折叠后顶点A 的对应点A ¢落在矩形的BC 边上？【答案】（1）4，9，5；（2）5或12【分析】（1）根据函数图象由2t =时，212BE =´=，得出24AB BE ==，2AE BE ==，则11t =时，1129BC =-=，当0t =时，点P 在E 处，m AEQ =V 的面积；（2）分点在BC 边上，A ¢落在BC 边上时，点P 在AB 边上时，根据折叠的性质以及勾股定理进行计算即可求解．（1）解：Q 点P 从AB 边的中点E 出发，速度为每秒1个单位长度，2AB BE \=，由图象得：2t =时，212BE =´=，24AB BE \==，2AE BE ==，11t =时，1129BC =-=，当0t =时，点P 在E 处，m AEQ =V 的面积=12AQ AE ´=12525´´=，故答案为：4，9，5；（2）①当点P 在BC 边上，A ¢落在BC 边上时，连接A A ¢，如图所示：由折叠的性质得：A ¢P AP =，APQ ÐÐ\=A ¢PQ ，AD BC ∥Q ，AQP ÐÐ\=A ¢PQ ，APQ AQP ÐÐ\=，AP AQ \==A ¢5P =，在Rt ABP V 中，由勾股定理得：BP =3=，又2BP t =-Q ，23t \-=，解得：5t =；②当点P 在AB 边上时，如图，4QF AB \==，5BF AQ ==，Q 四边形ABCD 是矩形，90A B BCD D ÐÐÐÐ\====°，4CD AB ==，9AD BC ==，由折叠的性质得，P A ¢PA =，A ¢5Q AQ ==，P ÐA ¢90Q A Ð==°，\A ¢F =3=，A B BF \¢=-A ¢2F =，在Rt V A ¢BP 中，2BP t =-，P A ¢()422AP t t ==--=+，由勾股定理得，()()222222t t +-=+，解得t =12．综上，当t 为5或12时，折叠后顶点A 的对应点A ¢落在矩形的一边上．【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理与折叠问题，数形结合是解题的关键．【变式1】如图（1），点P 是ABCD Y 边上一动点，沿A D C B ®®®的路径移动，设点P 经过的路径长为x ，ABP V 的面积是y ，图（2）是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则AB 与CD 间的距离是（ ）A ．5B ．4C ．73D ．152【答案】A 【分析】根据点P 运动，可得6,1064AD BC AB CD ====-=，再根据三角形的面积公式可得出结论．解：根据点P 运动，可得6,1064AD BC AB CD ====-=，设AB 与CD 间的距离是d ，当点P 在CD 上时，14102y d =´´=，解得5d =，故选：A ．【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，根据点P 运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键．【变式2】已知动点P 以每秒2cm 的速度沿图甲的边框按从B C D E F A ®®®®®的路径移动，相应的ABP V 的面积()2cm S 与时间t （秒）之间的关系如图乙中的图象所示．其中6cm AB =．则b = ．【答案】17【分析】根据路程=速度´时间算出BC 、CD 、DE 、EF ，从而得到AF ，即可得到答案；解：动点P 在BC 上运动时，对应的时间为0到4秒，得：248cm BC =´=；动点P 在CD 上运动时，对应的时间为4到6秒，得：2(644cm )CD =´-=；动点P 在DF 上运动时，对应的时间为6到9秒，得：2(966cm )DE =´-=，∵6cm AB =，∴642cm EF =-=，∴EF 上运动时间为：221¸=秒，∵8614cm AF BC DE =+=+=，∴FA 上运动时间为：142=7¸秒，∴917=17b =++，故答案为：17．【点拨】本题考查函数图象的性质，解题的关键是看懂函数图象结合路程=速度´时间进行计算．【考点5】函数图象中的分段函数；【例5】在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从点A 开始按A→B→C→D 的方向运动到点D ．如图，设动点P 所经过的路程为x ，△APD 的面积为y.（当点P 与点A 或D 重合时，y ＝0）（1）写出y 与x 之间的函数表达式；（2）画出此函数的图像．【答案】见分析.【分析】（1）分以下三种情况：点P 在AB 上运动、点P 在BC 上运动、点P 在CD 上运动，分别根据三角形的面积公式可得；（2）根据（1）中函数关系式即可得,点P 在边AB ，BC ，CD 上运动时所对应的y 与x 之间的函数表达式不相同，故应分段求出相应的函数表达式．解：①当点P 在边AB 上运动，即0≤x ＜3时，y ＝12×4x ＝2x ；②当点P 在边BC 上运动，即3≤x ＜7时，y ＝12×4×3＝6；③当点P 在边CD 上运动，即7≤x≤10时，y ＝12×4（10－x ）＝－2x ＋20.所以y 与x 之间的函数表达式为：y ＝()()()203637220710x x x x x ì£ï£íï-+££î＜＜（2）函数图象如图所示．【点拨】本题考查了分段函数在动态几何中的运用，体现了数学中的分类讨论思想和数形结合思想.根据点P 在边AB ，BC ，CD 上运动时所对应的y 与x 之间的函数表达式不相同，分段求出相应的函数表达式，再画出相应的函数图象．【变式1】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D ．设运动的路程为x ，ADP D 的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D．【答案】D【分析】由题意当03x ££时，3y =，当35x <<时，()131535222y x x =´´-=-+，由此即可判断．解：由题意当03x ££时，3y =，当35x <<时，()131535222y x x =´´-=-+，故选D ．【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇形思考问题．【变式2】如图，长方形ABCD 中，5AB =，3AD =，点P 从点A 出发，沿长方形ABCD 的边做逆时针运动，设点P 运动的距离为x ，APC D 的面积为y ，如果58x <<，那么y 关于x 的函数关系式是 .【答案】5202y x =-【分析】找出当5＜x ＜8时，点P 的位置，根据AB 、AD 的长度可找出PC 的长度，再根据三角形的面积公式即可找出y 关于x 的函数关系式．解：当5＜x ＜8时，点P 在线段BC 上，PC=8-x ，∴y=12PC•AB=-52x+20．故答案为：y=-52x+20．【点拨】本题考查了函数关系式，找出当5＜x ＜8时点P 的位置是解题的关键．。