下载文档原格式
2018版高考数学理科一轮设计：第1~3章教师用书（人教A版）第1讲集合最新考纲1了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算知识梳理1元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法2集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则或(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为ͦUA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4集合关系与运算的常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆ͤA⊆(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B(4)ͦU(A∩B)＝(ͦUA)∪(ͦUB)，ͦU(A∪B)＝(ͦUA)∩(ͦUB)诊断自测1判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)任何集合都有两个子集()(2)已知集合A＝{x|＝x2}，B＝{|＝x2}，＝{(x，)|＝x2}，则A＝B＝()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1()(4)若A∩B＝A∩，则B＝()解析(1)错误空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的(2)错误集合A是函数＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合是抛物线＝x2上的点集因此A，B，不相等(3)错误当x＝1，不满足互异性(4)错误当A＝∅时，B，可为任意集合答案(1)×(2)×(3)×(4)×2(必修1P7练习2改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()A{a}⊆A Ba⊆A {a}∈A Da∉A解析由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝22，知a∉ A答案 D3(2016•全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________A－3，－32 B－3，321，32 D32，3解析易知A＝(1，3)，B＝32，＋∞，所以A∩B＝32，3答案 D4(2017•石家庄模拟)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，}，则ͦU(A∪B)等于()A{1，4} B{1，}{2，} D{2，4}解析由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，}＝{1，3，}又U＝{1，2，3，4，}，∴ͦU(A∪B)＝{2，4}答案 D已知集合A＝{(x，)|x，∈R，且x2＋2＝1}，B＝{(x，)|x，∈R，且＝x}，则A∩B的元素个数为________解析集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线＝x，易知直线＝x和圆x2＋2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素答案2考点一集合的基本概念【例1】(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－|x∈A，∈A}中元素的个数是()A1 B3 D9(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝() A92 B98 0 D0或98解析(1)当x＝0，＝0，1，2时，x－＝0，－1，－2；当x＝1，＝0，1，2时，x－＝1，0，－1；当x＝2，＝0，1，2时，x－＝2，1，0根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共个(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根当a＝0时，x＝23，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝98，所以a的取值为0或98答案(1)(2)D规律方法(1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D第(2)题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合【训练1】(1)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a ＝________(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a 的取值范围为________解析(1)因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0，所以a＋b＝0，且b＝1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2(2)由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，当a＝0时，x＝23不合题意，舍去；当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，∴a<－98答案(1)2(2)－∞，－98考点二集合间的基本关系【例2】(1)已知集合A＝{x|＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝2，∈A}，则()＝A(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|＋1<x<2－1}，若B⊆A，则实数的取值范围是________解析(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝2，∈A}＝{x|0≤x≤1}因此(2)当B＝∅时，有＋1≥2－1，则≤2当B≠∅时，若B⊆A，如图则＋1≥－2，2－1≤7，＋1<2－1，解得2<≤4综上，的取值范围为(－∞，4]答案(1)B(2)(－∞，4]规律方法(1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解【训练2】(1)(2017•长郡中学质检)若集合A＝{x|x>0}，且B⊆A，则集合B可能是()A{1，2} B{x|x≤1}{－1，0，1} DR(2)(2016•郑州调研)已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，}，若A⊆B，则的值为()A2 B－1－1或2 D2或2解析(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，，D 可知选项A正确(2)由x＝x2－2，得x＝2，则A＝{2}因为B＝{1，}且A⊆B，所以＝2答案(1)A(2)A考点三集合的基本运算【例3】(1)(201•全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A B43 D2(2)(2016•浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(ͦRQ)＝()A[2，3] B(－2，3][1，2) D(－∞，－2)∪[1，＋∞)解析(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14共2个元素(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}∴ͦRQ＝{x|－2<x<2}，又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(ͦRQ)＝{x|－2<x≤3}答案(1)D(2)B规律方法(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍【训练3】(1)(2017•石家庄模拟)设集合＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是()AN⊆ BN∩＝∅⊆N D∩N＝R(2)(2016•东卷)设集合U＝{1，2，3，4，，6}，A＝{1，3，}，B＝{3，4，}，则ͦU(A∪B)＝()A{2，6} B{3，6}{1，3，4，} D{1，2，4，6}解析(1)易知N＝(－2，3)，且＝{－1，1}，∴⊆N(2)∵A＝{1，3，}，B＝{3，4，}，∴A∪B＝{1，3，4，}，又全集U＝{1，2，3，4，，6}，因此ͦU(A∪B)＝{2，6}答案(1)(2)A[思想方法]1集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到解题后要进行检验，要重视符号语言与字语言之间的相互转化2对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到3对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图这是数形结合思想的又一体现[易错防范]1集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简2空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解3解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系4Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心基础巩固题组(建议用时：2分钟)一、选择题1(201•全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则() AA＝B BA∩B＝∅解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A 但1∉B，∴答案 D2(2016•全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)•(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝()A{1} B{1，2}{0，1，2，3} D{－1，0，1，2，3}解析由(x＋1)(x－2)<0，得－1<x<2，又x∈Z，所以B＝{0，1}，因此A∪B＝{0，1，2，3}答案3(2017•肇庆模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则()AA∩B≠∅ BA∪B＝R B⊆A DA⊆B解析由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R 答案 B4已知集合P＝{x|x2≤1}，＝{a}若P∪＝P，则a的取值范围是() A(－∞，－1] B[1，＋∞)[－1，1] D(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析因为P∪＝P，所以⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1]答案(2016•东卷)设集合A＝{|＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A(－1，1) B(0，1)(－1，＋∞) D(0，＋∞)解析由＝2x，x∈R，知>0，则A＝(0，＋∞)又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1)因此A∪B＝(－1，＋∞)答案6(2016•浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，，6}，集合P＝{1，3，}，Q＝{1，2，4}，则(ͦUP)∪Q＝()A{1} B{3，}{1，2，4，6} D{1，2，3，4，}解析∵U＝{1，2，3，4，，6}，P＝{1，3，}，∴ͦUP＝{2，4，6}，∵Q＝{1，2，4}，∴(ͦUP)∪Q＝{1，2，4，6}答案7若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合＝－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A1 B37 D31解析具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，12，2，－1，12，2答案 B8已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合ͦU(A∪B)＝()A{x|x≥0} B{x|x≤1}{x|0≤x≤1} D{x|0<x<1}解析∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图∴ͦU(A∪B)＝{x|0<x<1}答案 D二、填空题9已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________解析∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1答案(－∞，1]10(2016•天津卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{|＝2x－1，x ∈A}，则A∩B＝________解析由A＝{1，2，3}，B＝{|＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，}，因此A∩B＝{1，3}答案{1，3}11集合A＝{x|x<0}，B＝{x|＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________解析由x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A－B＝[－1，0)答案[－1，0)12(2017•石家庄质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x<＋1}，若A⊆B，则实数的取值范围是________解析由x2－2 016x－2 017≤0，得A＝[－1，2 017]，又B＝{x|x<＋1}，且A⊆B，所以＋1>2 017，则>2 016答案(2 016，＋∞)能力提升题组(建议用时：10分钟)13(2016•全国Ⅲ卷改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则(ͦRS)∩T＝()A[2，3] B(－∞，－2)∪[3，＋∞)(2，3) D(0，＋∞)解析易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴ͦRS＝(2，3)，因此(ͦRS)∩T＝(2，3)答案14(2016•黄模拟)集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是()A{x|x≥1} B{x|1≤x<2}{x|0<x≤1} D{x|x≤1}解析易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴ͦUB＝[1，＋∞)，A∩(ͦUB)＝[1，2)因此阴影部分表示的集合为A∩(ͦUB)＝{x|1≤x<2}答案 B1(2017•南昌十所省重点中学模拟)设集合A＝x∈N|14≤2x≤16，B＝{x|＝ln(x2－3x)}，则A∩B中元素的个数是________解析由14≤2x≤16，x∈N，∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}又x2－3x>0，知B＝{x|x>3或x<0}，∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素答案 116已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则＋n＝________解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－<x<1}，由A∩B＝(－1，n)可知<1，则B＝{x|<x<2}，画出数轴，可得＝－1，n＝1所以＋n＝0答案0第2讲命题及其关系、充分条与必要条最新考纲1理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2理解必要条、充分条与充要条的含义知识梳理1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系3充分条、必要条与充要条的概念若pͤq，则p是q的充分条，q是p的必要条p是q的充分不必要条pͤq且q pp是q的必要不充分条p 且qͤpp是q的充要条p⇔qp是q的既不充分也不必要条p q且q p诊断自测1判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)“x2＋2x－3<0”是命题()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”()(3)当q是p的必要条时，p是q的充分条()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”() 解析(1)错误该语句不能判断真假，故该说法是错误的(2)错误否命题既否定条，又否定结论答案(1)×(2)×(3)√(4)√2(教材练习改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A若α≠π4，则tan α≠1 B若α＝π4，则tan α≠1若tan α≠1，则α≠π4 D若tan α≠1，则α＝π4解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan α≠1，綈p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”答案3(2016•天津卷)设x>0，∈R，则“x>”是“x>||”的() A充要条B充分不必要条必要不充分条D既不充分也不必要条解析x> x>||(如x＝1，＝－2)但x>||时，能有x>∴“x>”是“x>||”的必要不充分条答案4命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A1 B23 D4解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题因此四个命题中有2个假命题答案 B(2017•大连双基检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的()A充分不必要条B必要不充分条充要条D既不充分也不必要条解析若f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)，所以pͤq；若f(x)＝x，当x＝0时，f(0)＝f(－0)，而f(x)＝x为奇函数，所以q p∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条答案A考点一四种命题的关系及其真假判断【例1】(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真、假、真B假、假、真真、真、假D假、假、假解析(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假答案(1)(2)B规律方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假【训练1】已知：命题“若函数f(x)＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数，则≤1”，则下列结论正确的是()A否命题是“若函数f(x)＝ex－x在(0，＋∞)上是减函数，则＞1”，是真命题B逆命题是“若≤1，则函数f(x)＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题逆否命题是“若＞1，则函数f(x)＝ex－x在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D逆否命题是“若＞1，则函数f(x)＝ex－x在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题解析由f(x)＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－≥0恒成立，∴≤1因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若＞1，则函数f(x)＝ex－x 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题答案 D。
2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题的关系与真假的判断1、相关链接<1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。
b5E2RGbCAP<2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。
p1EanqFDPw 注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。
2、例题解读〖例1〗】(1>(2018·苏州模拟>命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是______.DXDiTa9E3d(2>(2018·岳阳模拟>命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题是______(3>给出命题：若函数y=f(x>是幂函数，则函数y=f(x>的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______.RTCrpUDGiT【解题指导】(1>、(2>先分清原命题的条件和结论，再根据四种命题的概念，写出逆命题、否命题.(3>在判断四种命题的真假时，可根据原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.【解读】(1>逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.5PCzVD7HxA(2>同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若a≤b，则a-1≤b-1”.jLBHrnAILg(3>原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x>的图象不过第四象限，则函数y=f(x>是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是1.xHAQX74J0X答案：(1>若一个数的平方是正数，则它是负数(2>若a≤b，则a-1≤b-1(3>1〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解读：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b ＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：LDAYtRyKfE逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可>；Zzz6ZB2Ltk逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”dvzfvkwMI1说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．rqyn14ZNXI二、充分条件与必要条件的判定1、相关链接<1）利用定义判断①若，则p是q的充分条件；注：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要>条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要>条件．EmxvxOtOco②若，则p是q的必要条件；注：ⅰ “q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p．如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶数，p：能被6整除>．SixE2yXPq5ⅱ，即无必然无，可见对于来说必不可少。
第1讲集合最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)任何集合都有两个子集.()(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()解析(1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.(2)错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C不相等.(3)错误.当x＝1，不满足互异性.(4)错误.当A＝∅时，B，C可为任意集合.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P7练习2改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A解析由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝22，知a∉A.答案 D3.(2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝()A.{1，3}B.{3，5}C.{5，7}D.{1，7}解析因为A＝{1，3，5，7}，而3，5∈A且3，5∈B，所以A∩B＝{3，5}.答案 B4.(2017·石家庄模拟)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U(A∪B)等于()A.{1，4}B.{1，5}C.{2，5}D.{2，4}解析由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(A∪B)＝{2，4}.答案 D5.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________.解析 集合A 表示圆心在原点的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素. 答案 2考点一 集合的基本概念【例1】 (1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A.1B.3C.5D.9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92B.98C.0D.0或98解析 (1)当x ＝0，y ＝0，1，2时，x －y ＝0，－1，－2； 当x ＝1，y ＝0，1，2时，x －y ＝1，0，－1； 当x ＝2，y ＝0，1，2时，x －y ＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98， 所以a 的取值为0或98. 答案 (1)C (2)D规律方法 (1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形.(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合. 【训练1】 (1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________. 解析(1)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，且b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. (2)由A ＝∅知方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，舍去； 当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，∴a <－98. 答案 (1)2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－98考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A.A B B.BAC.A ⊆BD.B ＝A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}， 所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}. 因此B A .(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图.则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4. 综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 答案 (1)B (2)(－∞，4]规律方法 (1)若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.【训练2】 (1)(2017·长郡中学质检)若集合A ＝{x |x >0}，且B ⊆A ，则集合B 可能是( ) A.{1，2} B.{x |x ≤1} C.{－1，0，1}D.R(2)(2016·郑州调研)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为( ) A.2B.－1C.－1或2D.2或2解析(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确.(2)由x＝x2－2，得x＝2，则A＝{2}.因为B＝{1，m}且A⊆B，所以m＝2.答案(1)A(2)A考点三集合的基本运算【例3】(1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A.[2，3]B.(－2，3]C.[1，2)D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)解析(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.∴∁R Q＝{x|－2<x<2}，又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}.答案(1)D(2)B规律方法(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.【训练3】(1)(2017·石家庄模拟)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是()A.N⊆MB.N∩M＝∅C.M⊆ND.M∩N＝R(2)(2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝()A.{2，6}B.{3，6}C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6}解析(1)易知N＝(－2，3)，且M＝{－1，1}，∴M⊆N.(2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U(A∪B)＝{2，6}.答案(1)C(2)A[思想方法]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则()A.A＝BB.A∩B＝∅C.A BD.B A解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴B A.答案 D2.(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝()A.{－2，－1，0，1，2，3}B.{－2，－1，0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}解析由于B＝{x|x2<9}＝{x|－3<x<3}，又A＝{1，2，3}，因此A∩B＝{1，2}.答案 D3.(2017·肇庆模拟)已知集合A ＝{x |lg x >0}，B ＝{x |x ≤1}，则( ) A.A ∩B ≠∅ B.A ∪B ＝R C.B ⊆AD.A ⊆B解析 由B ＝{x |x ≤1}，且A ＝{x |lg x >0}＝(1，＋∞)，∴A ∪B ＝R . 答案 B4.已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }.若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.[1，＋∞)C.[－1，1]D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1，1]. 答案 C5.(2016·山东卷)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( ) A.(－1，1) B.(0，1) C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)解析 由y ＝2x ，x ∈R ，知y >0，则A ＝(0，＋∞). 又B ＝{x |x 2－1<0}＝(－1，1). 因此A ∪B ＝(－1，＋∞). 答案 C6.(2016·浙江卷)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，3，5}，Q ＝{1，2，4}，则(∁U P )∪Q ＝( ) A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}解析 ∵U ＝{1，2，3，4，5，6}，P ＝{1，3，5}，∴∁U P ＝{2，4，6}，∵Q ＝{1，2，4}，∴(∁U P )∪Q ＝{1，2，4，6}. 答案 C7.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1B.3C.7D.31解析 具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.答案 B8.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}解析∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图.∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}.答案 D二、填空题9.已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.解析∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.答案(－∞，1]10.(2016·天津卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.解析由A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此A∩B＝{1，3}.答案{1，3}11.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________. 解析由x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A－B＝[－1，0).答案[－1，0)12.(2017·石家庄质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x<m＋1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________.解析由x2－2 016x－2 017≤0，得A＝[－1，2 017]，又B＝{x|x<m＋1}，且A⊆B，所以m＋1>2 017，则m>2 016.答案(2 016，＋∞)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则(∁R S)∩T＝()A.[2，3]B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)C.(2，3)D.(0，＋∞)解析 易知S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S ＝(2，3)，因此(∁R S )∩T ＝(2，3). 答案 C14.(2016·黄山模拟)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A.{x |x ≥1} B.{x |1≤x <2} C.{x |0<x ≤1}D.{x |x ≤1}解析 易知A ＝(－1，2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}. 答案 B15.(2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |14≤2x ≤16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________. 解析 由14≤2x ≤16，x ∈N ，∴x ＝0，1，2，3，4，即A ＝{0，1，2，3，4}. 又x 2－3x >0，知B ＝{x |x >3或x <0}， ∴A ∩B ＝{4}，即A ∩B 中只有一个元素. 答案 116.已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝________.解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.所以m ＋n ＝0. 答案 0第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.知 识 梳 理1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)“x2＋2x－3<0”是命题.()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(选修1－1P6练习改编)命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A.若α≠π4，则tanα≠1 B.若α＝π4，则tanα≠1C.若tan α≠1，则α≠π4 D.若tanα≠1，则α＝π4解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan α≠1，綈p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4”.答案 C3.(2016·天津卷)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析x>y x>|y|(如x＝1，y＝－2).但x>|y|时，能有x>y.∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.答案 C4.命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.答案 B5.(2017·大连双基检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)，所以p⇒q；若f(x)＝x，当x＝0时，f(0)＝f(－0)，而f(x)＝x为奇函数，所以q p.∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条件.答案 A考点一四种命题的关系及其真假判断【例1】(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A.真、假、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假解析(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.答案(1)C(2)B规律方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.【训练1】已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A.否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题解析由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题.答案 D考点二充分条件与必要条件的判定【例2】(1)函数f(x)在x＝x0处导数存在.若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件(2)(2017·衡阳一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析(1)由极值的定义，q⇒p，但p q.例如f(x)＝x3，在x＝0处f′(0)＝0，f(x)＝x3是增函数，x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点.因此p是q的必要不充分条件.(2)直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件.答案(1)C(2)B规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.【训练2】(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.答案 A考点三充分条件、必要条件的应用(典例迁移)【例3】(经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得 －2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}. ∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 则S ⊆P .∴⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？ 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， ∴⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在.【迁移探究2】 本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件， ∴P ⇒S 且SP .∴[－2，10][1－m ，1＋m ]. ∴⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞).规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； (2)要注意区间端点值的检验.【训练3】 ax 2＋2x ＋1＝0只有负实根的充要条件是________.解析 当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根x ＝－12. 当a ≠0时，原方程为一元二次方程， 又ax 2＋2x ＋1＝0只有负实根，所以有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a≥0，－2a＜0，1a＞0，即0＜a≤1.综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1.答案0≤a≤1[思想方法]1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}；若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.[易错防范]1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.答案 D2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件.答案 A3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.答案 B4.(2017·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－1x＋a为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析显然a＝0时，f(x)＝sin x－1x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0.又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－1－x＋a＋sin x－1x＋a＝0.因此2a＝0，故a＝0.所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.答案 C5.下列结论错误的是()A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题. 答案 C6.设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由|x －2|<1，得1<x <3，所以1<x <2⇒1<x <3；但1<x <31<x <2.所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件. 答案 A7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析 由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件.故a ≥1. 答案 A8.(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立.当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立. 答案 B 二、填空题9.“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题. 答案 210.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件. 解析 cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件. 答案 充分不必要11.已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________.解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}. ∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，∴⎩⎨⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 答案 (0，3) 12.有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________.解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误.②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确.③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确. 答案 ②③能力提升题组 (建议用时：10分钟)13.(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若x >1且y >1，则x ＋y >2.所以p ⇒q ；反之x ＋y >2x >1且y ＝1，例如x ＝3，y ＝0，所以qp .因此p 是q 的充分不必要条件. 答案 A14.(2017·南昌十所省重点中学联考)已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由y ＝2x ＋m －1＝0，得m ＝1－2x ，则m <1. 由于函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<m <1.因此“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件. 答案 B15.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________. 解析A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴AB ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.答案 (2，＋∞)16.(2016·临沂模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号).①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0>1”；③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.解析 ①中“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，故①错误.对于②，命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0>1”，故②正确.对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误.对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 23≠－log 32，∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误. 答案 ②第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知 识 梳 理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)全称命题：含有全称量词的命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x).(3)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.(4)特称命题：含有存在量词的命题.特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0).3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()解析(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(选修1－1P18B 组改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题. 答案 B3.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( )A.∀n ∈N ，n 2>2nB.∃n ∈N ，n 2≤2nC.∀n ∈N ，n 2≤2nD.∃n ∈N ，n 2＝2n 解析 命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”，∴綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n . 答案 C4.(2017·贵阳调研)下列命题中的假命题是( )A.∃x 0∈R ，lg x 0＝1B.∃x 0∈R ，sin x 0＝0C.∀x ∈R ，x 3＞0D.∀x ∈R ，2x ＞0解析 当x ＝10时，lg 10＝1，则A 为真命题；当x ＝0时，sin 0＝0，则B 为真命题；当x ＜0时，x 3＜0，则C 为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R ，2x ＞0，则D 为真命题.故选C. 答案 C5.(2015·山东卷)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________. 解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.答案 1考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A.p ∨qB.p ∧qC.(綈p )∧(綈q )D.p ∧(綈q )解析 取a ＝c ＝(1，0)，b ＝(0，1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题. 又a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ，∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，∴q 是真命题.综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题.又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题.∴(綈p )∧(綈q )，p ∧(綈q )都是假命题.答案 A规律方法 (1)“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p ，q 的真假；③确定“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题的真假.(2)p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”.【训练1】 (2017·郑州调研)命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为( ) A.p ∧q B.p ∨q C.p ∧(綈q ) D.綈q解析 由于y ＝log 2(x －2)在(2，＋∞)上是增函数，∴命题p 是假命题.由3x >0，得3x ＋1>1，所以0<13x ＋1<1， 所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1)，故命题q 为真命题. 所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题.答案 B考点二 含有一个量词命题的否定及真假判定【例2】 (1)(2016·东北师大附中质检)已知命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1>0，则綈p 是( )A.∀x ∈R ，e x －x －1<0B.∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0C.∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1<0D.∀x ∈R ，e x －x －1≤0(2)(2014·全国Ⅰ卷)不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集为D ，有下面四个命题： p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≥2，p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≤－1.其中真命题是( )A.p 2，p 3B.p 1，p 2C.p 1，p 4D.p 1，p 3解析 (1)因为全称命题的否定是特称命题，命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1>0的否定为綈p ：∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0.(2)画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y ，经过可行域的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题.答案 (1)B (2)B规律方法 (1)全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立.【训练2】 (2017·安徽皖江名校联考)命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题.则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题.∴四个命题中正确的有2个命题.答案 B考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例3】 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－1，3)C.(－3，＋∞)D.(－3，1)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A.[2，＋∞)B.(－∞，－2]C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.[－2，2]解析 (1)原命题的否定为∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，则－1<a <3.(2)依题意知，p ，q 均为假命题.当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.答案 (1)B (2)A规律方法 (1)根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：①根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；②求出每个命题是真命题时参数的取值范围；③根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.(2)全称命题可转化为恒成立问题.【训练3】 (2017·衡水中学月考)设p ：实数x 满足x 2－5ax ＋4a 2<0(其中a >0)，q ：实数x 满足2<x ≤5.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈q 是綈p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，x 2－5ax ＋4a 2<0即为x 2－5x ＋4<0，解得1<x <4，当p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <4.若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2，4).(2)綈q 是綈p 的必要不充分条件，即p 是q 的必要不充分条件.设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A .由x 2－5ax ＋4a 2<0得(x －4a )(x －a )<0，。
