方程与不等式之无理方程经典测试题及答案解析

（专题精选）初中数学方程与不等式之无理方程难题汇编及答案一、选择题1．请将方程的解写在后面的横线上：______【答案】x=7【解析】【分析】先根据已知方程得出x-3=0或x-7=0，求出x 的值，再进行检验即可．【详解】解：，x-3=0或x-7=0，x=3或x=7，检验：当x=3x=3不是原方程的解；x=7是原方程的解，故答案为：x=7．【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程变成有理方程是解此题的关键，注意解无理方程一定要进行检验．2．x =的解为_____．【答案】x=1【解析】分析：方程两边平方，将无理方程转化为整式方程，求出x 的值，经检验即可得到无理方程的解．详解：两边平方得：-x+2=x 2，即（x-1）（x+2）=0，解得：x=1或x=-2，经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=1，故答案为x=1点睛：此题考查了无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要验根．3．方程(x 30-=的解是______．【答案】x=2【解析】【分析】求出x 0=，求出即可．【详解】解：(x 30-=Q ，2x 0∴-≥，x 2∴≤，x 30∴-≠，0=Q ，x 2=，故答案为：x 2=．【点睛】0=是解此题的关键．4．若关于x 的方程103=恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．【答案】0a =或316a ≥-【解析】【分析】，∴y ≥0，则原方程可化为：211023ay y +-=， 根据方程只有一个正根，即可解决问题．【详解】y ,∴y ≥0,则原方程可化为：211023ay y +-=， ∵方程恰有两个不同的实数解，∴△=0或a =0或a >0(此时方程两根异号,y 只有一个正根,x 有两个不同的实数解) 当△=0时,14043a +=， 解得：316a =-， 故实数a 的取值范围是：0a =或316a ≥-， 故答案为：0a =或316a ≥-【点睛】 考查无理方程，难度一般，关键是掌握用换元法求解无理方程.5．方程_____．【答案】x=2【解析】【分析】无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．【详解】两边平方得：（x+1）2=2x+5，即x2=4，开方得：x=2或x=-2，经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=2．故答案为x=26．2=的解是__________．【答案】x=7【解析】【分析】将方程两边平方后求解，注意检验．【详解】将方程两边平方得x-3=4，移项得：x=7，=2，原方程成立，＝2的解是x=7．故本题答案为：x=7．【点睛】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程检验．7．0的根是____．【答案】x=1【解析】【分析】将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．【详解】原方程变形为x（x-1）=0，∴x=0或x-1=0，∴x=0或x=1，∴x=0时，被开方数x-1=-1＜0，∴x=0不符合题意，舍去，∴方程的根为x=1，故答案为x=1．【点睛】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．8．方程211x-=的解是．【答案】x =1【解析】【分析】根据算术平方根的意义，方程两边分别平方，化为整式方程，然后求解即可.【详解】两边平方得2x﹣1=1，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．故本题答案为：x=1．9．方程的解为．【答案】3．【解析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．解：两边平方得：2x+3=x2∴x2﹣2x﹣3=0，解方程得：x1=3，x2=﹣1，检验：当x1=3时，方程的左边=右边，所以x1=3为原方程的解，当x2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2=﹣1不是原方程的解．故答案为3．10．21=1x-的根是____．【答案】x＝2．【解析】【分析】二次根式的值为非负数，被开方数也为非负数．【详解】211Qx-=211∴-=x22∴=x∴=±经检验x＝2是原方程的根，x2∴x＝2．故答案为x＝2．【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，要明确，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11．3x m =+有一个根是x=3，那么m=__________________． 【答案】2【解析】【分析】3x m =+有一个根是x=3,代入后即可求解关于m 的无理方程. 【详解】3x m =+有一个根是x=3，1m =+，两边平方得：15-3m=1+2m+m²,解得：m=-7或2，当m=-7时，1+m=-6<0,不合题意，舍去，故答案为：2.【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是熟练掌握用平方法解无理方程.12．1=的解为_____．【答案】x=2【解析】【分析】1=两边同时乘方，即可解答.【详解】方程两边平方得：x ﹣1＝1，解得：x ＝2，经检验x ＝2是原方程的解，故答案为：x ＝2【点睛】本题考点为无理方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.13．4的解是_____．【答案】15x =【解析】【分析】两边同时平方，即可求出方程的解.【详解】4=,两边同时平方可得：116,x +=解得：15.x =经检验，15x =符合题意.故答案为15x =【点睛】考查无理方程的解法，两边同时平方是解题的关键.14．2x =+的增根是_________________．【答案】4x =-【解析】【分析】两边平方，把无理方程化为2227(2)x x x +=+，解得14x =-，21x =，然后进行检验确定原方程的解，从而得到原方程的增根．【详解】解：Q 2x =+，2227(2)x x x ∴+=+，整理得2340x x +-=，解得14x =-，21x =，检验：当4x =-时，左边2==，右边422=-+=-，左边≠右边，则4x =-为原方程的增根；当1x =时，左边3，右边123=+=，左边=右边，则1x =为原方程的根，所以原方程的解为1x =．故答案为：4x =-．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．15．x =-的根是 ．【答案】1x =-【解析】【分析】将方程左右两边平方，将方程化为关于x 的一元二次方程，求出方程的解得到x 的值，将x 的值代入原方程检验，即可得到原方程的解．【详解】左右两边平方得：2x+3=x 2，即x 2-2x-3=0，因式分解得：（x-3）（x+1）=0，解得：x=3或x=-1，将x=3代入方程检验，不合题意，则原方程的解为x=-1．故答案为x=-116．3=的根是_______________．【答案】x=7【解析】【分析】根据无理方程的解法求解即可.【详解】=，3两边平方可得：x+2=9，移项合并得：x=7.故答案为：x=7.【点睛】本题考查了无理方程的解法，解题的关键是根据等式的性质将方程两边平方，从而化成整式方程.17．根号内含有______________的方程叫做无理方程；_______________和_______________统称为有理方程．【答案】未知数的代数式整式方程分式方程【解析】【分析】根据有理方程和无理方程的概念解答.【详解】解：根号内含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，整式方程和分式方程统称为有理方程.故答案为：未知数的代数式；整式方程；分式方程.【点睛】本题考查了方程的分类，掌握有理方程和无理方程的概念是解题的关键.18．若方程4m+=无实数根，则m的取值范围是_________．【答案】m>4【解析】【分析】=-，由非负数的算术平方根不是负数求得答案．4m【详解】 解：因为：24m x +-= 所以：24x m -=-，因为原方程无实根，所以：4m -＜0解得：m ＞4．故答案为：m ＞4．【点睛】本题考查无理方程的实数根的情况，掌握算数平方根不是非负数的性质是解题的关键．19．关于x 的方程11x k +=+无实数根，则k 的取值范围是___________．【答案】k ＜-1【解析】【分析】根据二次根式的非负性即可知，当10+<k 时，方程无实数根．【详解】解：若关于x 的方程11x k +=+无实数根，则10+<k ，∴k ＜-1,故答案为：k ＜-1【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是熟知二次根式的非负性得到当10+<k 时，方程无实数根．20．方程=0的解为__________． 【答案】【解析】【分析】将原方程两边平方得出关于x 的整式方程，解之求得x 的值，再由二次根式有意义的条件可确定x 的最终结果．【详解】解：将原方程两边平方得（x−5）（x−4）＝0，则x−5＝0或x−4＝0，解得：x ＝5或x ＝4，∵x −5≥0，x−4≥0，解得：x≥5，∴x ＝5，故答案为：x ＝5．【点睛】本题主要考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．。

（易错题精选）初中数学方程与不等式之无理方程专项训练及答案一、选择题1．的根是____．【答案】x＝．【解析】【分析】二次根式的值为非负数，被开方数也为非负数．【详解】Q=1211∴-=x22∴=x∴=经检验x＝是原方程的根，x∴x＝．故答案为x＝．【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，要明确，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2．的根是．【答案】x=3【解析】【分析】方程两边同时平方，即可转化成一元一次方程，解得x的值，然后代入原方程进行检验即可．【详解】方程两边同时平方得：x+1=4，解得：x=3．检验：x=3时，左边，则左边=右边．故x=3是方程的解．故答案是：x=3．3．1=的解为 .【答案】x=1【解析】【分析】方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x的值，然后把x的值代入进行检验即可．【详解】方程两边平方，得：2-x=1，解得：x=1．经检验：x=1是方程的解．故答案是：x=1．4．方程21x -=的解为【答案】x=1【解析】试题分析：方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x 的值，然后把x 的值代入进行检验即可．试题解析：方程两边平方，得：2-x=1，解得：x=1．经检验：x=1是方程的解．考点：无理方程．5．方程322x -=的解是_______________．【答案】2x =【解析】试题分析：方程两边平方，得324x -=，解得2x =．代入验根可得方程的根为2x =． 考点：解无理方程．6．方程的解为 ．【答案】3．【解析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x 的值．解：两边平方得：2x+3=x 2∴x 2﹣2x ﹣3=0，解方程得：x 1=3，x 2=﹣1，检验：当x 1=3时，方程的左边=右边，所以x 1=3为原方程的解，当x 2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2=﹣1不是原方程的解．故答案为3．7．6x x +=-的根是______．【答案】x=﹣2【解析】先把方程两边平方去根号后求解，再根据x ＜0，即可得出答案．解：由题意得：x ＜0，两边平方得：x+6=x 2，解得x=3（不合题意舍去）或x=﹣2；故答案为：x=﹣2．8．方程x+1=25x +的解是_____．【答案】x=2【解析】【分析】无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到无理方程的解．【详解】两边平方得：（x+1）2=2x+5，即x 2=4，开方得：x=2或x=-2，经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=2．故答案为x=29．方程6x x +=的根为 ．【答案】x=3【解析】两边平方得x+6=x 2,解一元二次方程得x 1=3,x 2=-2(舍去)，所以方程的根为10．220x x +-=的根是________________.【答案】x=2【解析】【分析】220x x +-=的左边进行计算,然后两边同时平方可得x 2-4=0;接下来,移项后利用直接开方法解这个一元二次方程得到方程的根,然后代入原方程中检验即可确定方程的根【详解】220x x +-=，2)(2)0x x +-=（,240x -,240x-=x2=4,x=±2当x=-2时=的根是x=2【点睛】此题考查无理方程,掌握无理方程的求解方法是关键;11．0=的解是_____________.【答案】x=2【解析】【分析】根据题意可得x=2或x=1，然后根据二次根式的性质舍去x=1.【详解】=，∴x﹣2=0或x﹣1=0，解得x=2或x=1，当x=1时，x﹣2=1﹣2=﹣1＜0，舍去，则原方程的解为x=2.故答案为：x=2.【点睛】本题主要考查解方程，二次根式的性质，解此题的关键在于求出的方程的解要使二次根式有意义.12．x=的根是__________.【答案】2【解析】【分析】本题可先对方程两边平方，得到x+2=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【详解】原方程变形为：x+2=x2即x2−x−2=0∴(x−2)(x+1)=0∴x=2或x=−1∵x=−1时不满足题意.∴x=2.故答案为：2.【点睛】此题考查解无理方程，解题关键在于掌握方程解法.13．2=的根是__________．【答案】4．【解析】【分析】把无理方程转化为整式方程即可解决问题．【详解】两边平方得到：2x﹣4=4，解得：x=4，经检验：x=4是原方程的解．故答案为：4．【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须检验．14．方程x=_____．【答案】x＝1【解析】【分析】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解决．【详解】x=x2＝4﹣3x，解得，x＝1或x＝﹣4，检验：当x＝﹣4不是原方程的根，故原无理方程的解是x＝1，故答案为：x＝1【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解法，注意解方程最后要检验．15．4的解是_____．x=【答案】15【解析】【分析】两边同时平方，即可求出方程的解.【详解】4=,x+=两边同时平方可得：116,x=解得：15.x=符合题意.经检验，15故答案为15x =【点睛】考查无理方程的解法，两边同时平方是解题的关键.16．关于x 25x =-是无理方程，则m 的取值范围是_______．【答案】0m ≠【解析】【分析】根据无理方程的概念可得结果.【详解】解：由题意可得：∵无理方程的根号下含有未知数，∴m ≠0.故答案为：m≠0.【点睛】本题考查了无理方程，掌握无理方程的概念是解题的关键.17．3=的根是_______________．【答案】x=7【解析】【分析】根据无理方程的解法求解即可.【详解】3=，两边平方可得：x+2=9，移项合并得：x=7.故答案为：x=7.【点睛】本题考查了无理方程的解法，解题的关键是根据等式的性质将方程两边平方，从而化成整式方程.18．=_____． 【答案】x 1=2，x 2=﹣1【解析】解：方程两边平方得，x 2﹣x =2，整理得：x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1．经检验，x 1=2，x 2=﹣1都是原方程的解，所以方程的解是x 1=2，x 2=﹣1．故答案为：x 1=2，x 2=﹣1．19．2x =的解是__________．【答案】1x =【解析】【分析】先左右两边同时平方，然后解整式方程即可，注意检验求出的整式方程的根是否为原方程的增根．【详解】2x =，∴22(2)x =，即2234x x += ，解得1x =或1x =-．当1x =-2,22,22x ==-≠- ，∴1x =-是原方程的增根，∴原方程的解为1x =．故答案为：1x =．【点睛】本题主要考查无理方程的解法，掌握无理方程的解法是解题的关键．20．0=的解是_______________【答案】x=2【解析】【分析】由题意可知3-x=0或2-x=0，再结合二次根式有意义的条件即可求得答案.【详解】0=，0=，∴x=3或x=2，检验：当x=3时，2-x<0x=3舍去，∴x=2，故答案为x=2.【点睛】本题考查了解无理方程，熟练掌握解方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.。

（易错题精选）初中数学方程与不等式之无理方程专项训练解析附答案一、选择题1．2k=无实数根，那么k的取值范围是______________．【答案】k＜2【解析】【分析】=b，b≥0，得关于k的不等式，解得即可．【详解】2k=,k=,-2∴k-2＜0，解得：k＜2．故答案是：k＜2．【点睛】本题考查了无理方程根的情况，解题的关键是了解二次根式成立的条件．2．1=的解为 .【答案】x=1【解析】【分析】方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x的值，然后把x的值代入进行检验即可．【详解】方程两边平方，得：2-x=1，解得：x=1．经检验：x=1是方程的解．故答案是：x=1．3．x=的解为_____．【答案】x=1【解析】分析：方程两边平方，将无理方程转化为整式方程，求出x的值，经检验即可得到无理方程的解．详解：两边平方得：-x+2=x2，即（x-1）（x+2）=0，解得：x=1或x=-2，经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=1，故答案为x=1点睛：此题考查了无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要验根．4．5=的根为_____．【答案】﹣2或﹣7【解析】【分析】把无理方程转化为整式方程即可解决问题．【详解】两边平方得到：，，∴（x+11）（2-x）=36，解得x=-2或-7，经检验x=-2或-7都是原方程的解．故答案为-2或-7【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是学会把无理方程转化为整式方程．5．方程_____．【答案】x=2【解析】【分析】无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．【详解】两边平方得：（x+1）2=2x+5，即x2=4，开方得：x=2或x=-2，经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=2．故答案为x=26．1=的解是．【答案】x =1【解析】【分析】根据算术平方根的意义，方程两边分别平方，化为整式方程，然后求解即可.【详解】两边平方得2x﹣1=1，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．故本题答案为：x=1．7．3的解是_____．【答案】1【解析】【分析】移项到右边，再两边同时平方＝1，再两边进行平方，得x＝1，从而得解.【详解】3，两边平方得，x+3＝9+x﹣，移项合并得，＝6，1，两边平方得，x＝1，经检验：x＝1是原方程的解，故答案为1．【点睛】本题考查了学生对开方与平方互为逆运算的理解，利用转化的思想把二次根式方程化为一元一次方程是解题的关键.8．＝0的解是___．【答案】x＝5.【解析】【分析】把两边都平方，化为整式方程求解，注意结果要检验.【详解】方程两边平方得：（x﹣3）（x﹣5）＝0，解得：x1＝3，x2＝5，经检验，x2＝5是方程的解，所以方程的解为：x＝5.【点睛】本题考查了无理方程的解法，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．9．的根是．【答案】x=3【解析】【分析】方程两边同时平方，即可转化成一元一次方程，解得x 的值，然后代入原方程进行检验即可．【详解】方程两边同时平方得：x+1=4，解得：x=3．检验：x=3时，左边，则左边=右边．故x=3是方程的解．故答案是：x=3．10．方程0x =的解是___________。

初中数学方程与不等式之无理方程难题汇编附解析一、选择题1．x=-的根是．x=-【答案】1【解析】【分析】将方程左右两边平方，将方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，将x的值代入原方程检验，即可得到原方程的解．【详解】左右两边平方得：2x+3=x2，即x2-2x-3=0，因式分解得：（x-3）（x+1）=0，解得：x=3或x=-1，将x=3代入方程检验，不合题意，则原方程的解为x=-1．故答案为x=-12．3的解是_____．x=【答案】5【解析】分析：把方程两边平方，去根号后求解.x-=详解：两边同时平方，得：219,x=解得：5,x=是原方程的解.经检验，5x=故答案为 5.点睛：考查无理方程的解法，解无理方程通常用的方法是两边平方法或者换元法.3．＝0的解是___．【答案】x＝5.【解析】【分析】把两边都平方，化为整式方程求解，注意结果要检验.【详解】方程两边平方得：（x﹣3）（x﹣5）＝0，解得：x1＝3，x2＝5，经检验，x2＝5是方程的解，所以方程的解为：x＝5.【点睛】本题考查了无理方程的解法，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．4．3x =的解是___________。

【答案】－3或－2【解析】【分析】将原式移项后，两边平方再进行合并同类项运用因式分解求解即可。

【详解】+3x∴3x +=（3x +）2∴x 2+5x+6=0∴(x+3)(x+2)=0∴x 1=-3,x 2=-2检验知x=-3或x=-2是方程的解.【点睛】本题考查了无理方程，利用平方将方程转化一元二次方程，选择合适、简便的方法求解二元一次方程是正确解题的关键.5．20x =化为有理方程_______【答案】3x²+1=0【解析】【分析】先移项，然后方程两边平方即可去根号，转化为有理方程．【详解】2x =两边平方得：x²-1=4x²,即3x²+1=0．故答案是：3x²+1=0．【点睛】本题考查了无理方程的解法，利用平方法是转化为整式方程的基本方法．6．若关于x 的方程存在整数解，则正整数m 的所有取值的和为___________.【答案】18【解析】【分析】将原方程变形为，由m 为正整数、被开方数非负，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m 的值，再将是正整数的m 的值相加即可得出结论．原题可得：，∵m为正整数，∴，∴2x-4020≥0，∴x≥2010．∵2018-x≥0，∴x≤2018，∴2010≤x≤2018．当x=2010时，m=0，m=0，不符合题意；，不符合题意；当x=2011，m=7，不符合题意；当x=2012m=4，m=3，不符合题意；当x=2013，m=5当x=2014时，2m=8，m=4；当x=2015，，不符合题意；当x=2016m=12，，不符合题意；当x=2017时，m=14；当x=2018时，0=16，不成立．∴正整数m的所有取值的和为4+14=18．故答案为18．【点睛】本题考查了无理方程，由被开方数非负及m为正整数，找出x的取值范围是解题的关键．7．x=的根是__________.【答案】2【解析】【分析】本题可先对方程两边平方，得到x+2=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【详解】原方程变形为：x+2=x2即x2−x−2=0∴(x−2)(x+1)=0∴x=2或x=−1∵x=−1时不满足题意.故答案为：2.【点睛】此题考查解无理方程，解题关键在于掌握方程解法.8．无理方程(5)20x x --=的根是____.【答案】x=2.【解析】【分析】根据0乘任何数都得零，可得方程的解，根据被开方数是非负数，可得答案．【详解】解：由(5)20x x --=，∴x-5=0或2-x=0，解得：x=5，x=2， ∵20x -≥，∴2x ≤， 当x=5时，被开方数无意义；故方程的解为：x=2，故答案为：x=2．【点睛】本题考查了无理方程，利用0乘任何数都得零是解题关键，注意被开方数是非负数．9．如果关于x 的方程的一个根为3，那么a= ．【答案】3【解析】【分析】根据方程的解的意义，把x=3代入原方程，然后解关于a 的方程，解答后，一定要验根.【详解】∵关于x 2x a x +=的一个根为3，∴x=3一定满足关于x 2x a x +=，63a +=，方程的两边同时平方，得6+a=9，解得a=3；检验：将a=3代入原方程得，左边2333?=，右边=3，∴左边=右边，∴a=3符合题意，故填：3.10．x =的解为_____．【答案】3【解析】【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x 的值，然后验根，解答即可．【详解】解：两边平方得：2x +3＝x 2∴x 2﹣2x ﹣3＝0，解方程得：x 1＝3，x 2＝﹣1，检验：当x 1＝3时，方程的左边＝右边，所以x 1＝3为原方程的解，当x 2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2＝﹣1不是原方程的解．故答案为3．【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则11．3x m =+有一个根是x=3，那么m=__________________． 【答案】2【解析】【分析】3x m =+有一个根是x=3,代入后即可求解关于m 的无理方程. 【详解】3x m =+有一个根是x=3，1m =+，两边平方得：15-3m=1+2m+m²,解得：m=-7或2，当m=-7时，1+m=-6<0,不合题意，舍去，故答案为：2.【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是熟练掌握用平方法解无理方程.12．关于x 25x =-是无理方程，则m 的取值范围是_______．【答案】0m ≠【解析】【分析】根据无理方程的概念可得结果.【详解】解：由题意可得：∵无理方程的根号下含有未知数，∴m ≠0.故答案为：m≠0.【点睛】本题考查了无理方程，掌握无理方程的概念是解题的关键.13．根号内含有______________的方程叫做无理方程；_______________和_______________统称为有理方程．【答案】未知数的代数式 整式方程 分式方程【解析】【分析】根据有理方程和无理方程的概念解答.【详解】解：根号内含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，整式方程和分式方程统称为有理方程.故答案为：未知数的代数式；整式方程；分式方程.【点睛】本题考查了方程的分类，掌握有理方程和无理方程的概念是解题的关键.14．如果点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，那么a=_____________．【答案】4±【解析】【分析】根据两点之间的距离公式，列出无理方程，求解即可．【详解】解：因为点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，4=，即24(4)16a +-=， 2(4)12a -=，4a -=±，4a =±故答案为：423±．【点睛】本题考查两点之间的距离公式，解无理方程，解一元二次方程．能利用两点之间的距离公式列出无理方程是解决此题的关键．15．如图，ABC ∆中，AB AC =, 点D 在线段BC 的延长线上， 连接AD ，CD=1，BC=12，∠DAB=30°， 则 AC =__________．【答案】439【解析】【分析】过点B 作BE ⊥AD 于点E ，AH ⊥BC 于H ．设AB=AC=x ．根据AE+DE=AD ，分别利用勾股定理求出AE ，DE ，AD ，构建方程即可解决问题．【详解】解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，AH ⊥BC 于H ．设AB=AC=x ．在Rt △ABE 中，∵∠BAE=30°，AB=x ，∴BE=12AB=12x ，33， ∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴CH=BH=6，在Rt △AHB 中，AH 2=x 2-62，在Rt△DBE中，=，在Rt△ADH中，∵AE+DE=AD，x+=整理得：x4-13×51x-(12×13)2=0，解得x2=13×48或13×3（舍去），∵x＞0，∴，经检验：是无理方程的解，∴故答案为．【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，无理方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．若方程4m+=无实数根，则m的取值范围是_________．【答案】m>4【解析】【分析】=-，由非负数的算术平方根不是负数求得答案．4m【详解】m=解：因为：44m=-，-＜0因为原方程无实根，所以：4m解得：m＞4．故答案为：m＞4．【点睛】本题考查无理方程的实数根的情况，掌握算数平方根不是非负数的性质是解题的关键．17．能使（x－50成立的x是____________．【答案】7【解析】【分析】由无理方程中两个因式的积为0，则至少一个为0，并检验求得的未知数的值，从而得到答案，【详解】解：因为：(0x -=所以：50x -==解得；5,7x x ==经检验：5x =不合题意舍去，所以方程的解是：7x =．故答案为：7．【点睛】本题考查无理方程的解法，熟知解法是解题关键，注意检验．18．关于x 1k =+无实数根，则k 的取值范围是___________．【答案】k ＜-1【解析】【分析】根据二次根式的非负性即可知，当10+<k 时，方程无实数根．【详解】解：若关于x 1k =+无实数根，则10+<k ，∴k ＜-1,故答案为：k ＜-1【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是熟知二次根式的非负性得到当10+<k 时，方程无实数根．19．下列方程中：a 、421x x +=；b 、32x x -+=；c 、31x =；d 、412x =属于高次方程的是_____．【答案】a ，d【解析】【分析】根据高次方程的定义判断即可．【详解】解：421x x +=是高次方程；32x x -+=是分式方程；31x =是无理方程；412x =是高次方程，故答案为：a ，d ．【点睛】本题考查了高次方程的定义：整式方程未知数次数高于2次的方程叫高次方程．20．3的解是：x＝_____．【答案】±2【解析】【分析】对方程左右两边同时平方，可得x2+5＝9，进而可解x的值，答案注意根式有意义的条件【详解】=，左右两边同时平方可得x2+5＝9；解之，可得：x＝±2．3故答案为：±2．【点睛】本题的关键是将方程化为二次方程，答案注意根式有意义的条件。

（易错题精选）初中数学方程与不等式之无理方程难题汇编含解析(1) 一、选择题 1．方程2272x x x +=+的增根是_________________．【答案】4x =-【解析】【分析】两边平方，把无理方程化为2227(2)x x x +=+，解得14x =-，21x =，然后进行检验确定原方程的解，从而得到原方程的增根．【详解】解：Q 2272x x x +=+，2227(2)x x x ∴+=+，整理得2340x x +-=，解得14x =-，21x =，检验：当4x =-时，左边216742=⨯-⨯=，右边422=-+=-，左边≠右边，则4x =-为原方程的增根；当1x =时，左边21713=⨯+⨯=，右边123=+=，左边=右边，则1x =为原方程的根，所以原方程的解为1x =．故答案为：4x =-．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．2．方程的解为 ．【答案】3．【解析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x 的值．解：两边平方得：2x+3=x 2∴x 2﹣2x ﹣3=0，解方程得：x 1=3，x 2=﹣1，检验：当x 1=3时，方程的左边=右边，所以x 1=3为原方程的解，当x 2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2=﹣1不是原方程的解．故答案为3．3．2x x -+=的解为_____．【答案】x=1分析：方程两边平方，将无理方程转化为整式方程，求出x的值，经检验即可得到无理方程的解．详解：两边平方得：-x+2=x2，即（x-1）（x+2）=0，解得：x=1或x=-2，经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=1，故答案为x=1点睛：此题考查了无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要验根．4．的解是_________x=-或【答案】14【解析】【分析】方程两边平方可得到整式方程，再解之可得.【详解】方程两边平方可得x2-3x=4,即x2-3x-4=0,解得x1=-1,x2=4x=-或故答案为：14【点睛】本题考核知识点：二次根式，无理方程. 解题关键点：化无理方程为整式方程.5．0的根是____．【答案】x=1【解析】【分析】将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．【详解】原方程变形为x（x-1）=0，∴x=0或x-1=0，∴x=0或x=1，∴x=0时，被开方数x-1=-1＜0，∴x=0不符合题意，舍去，∴方程的根为x=1，故答案为x=1．【点睛】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．6．=x的解是______．【答案】x=1【解析】将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．【详解】原方程变形为 4-3x=x2，整理得 x2+3x-4=0，∴（x+4）（x-1）=0，∴x+4=0或x-1=0，∴x1=-4（舍去），x2=1．故答案为x=1．【点睛】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．7．3的解是_____．【答案】1【解析】【分析】移项到右边，再两边同时平方＝1，再两边进行平方，得x＝1，从而得解.【详解】3，两边平方得，x+3＝9+x﹣，移项合并得，＝6，1，两边平方得，x＝1，经检验：x＝1是原方程的解，故答案为1．【点睛】本题考查了学生对开方与平方互为逆运算的理解，利用转化的思想把二次根式方程化为一元一次方程是解题的关键.8．＝0的解是___．【答案】x＝5.【解析】【分析】把两边都平方，化为整式方程求解，注意结果要检验.【详解】方程两边平方得：（x﹣3）（x﹣5）＝0，解得：x 1＝3，x 2＝5，经检验，x 2＝5是方程的解，所以方程的解为：x ＝5.【点睛】本题考查了无理方程的解法，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．9．2=的解是_______________．【答案】2x =【解析】试题分析：方程两边平方，得324x -=，解得2x =．代入验根可得方程的根为2x =． 考点：解无理方程．10．2k =无实数根，那么k 的取值范围是______________．【答案】k ＜2【解析】【分析】=b ，b≥0，得关于k 的不等式，解得即可．【详解】2k =,-2k =,∴k-2＜0，解得：k ＜2．故答案是：k ＜2．【点睛】本题考查了无理方程根的情况，解题的关键是了解二次根式成立的条件．11．2=的解是__________．【答案】5x =．【解析】试题分析：原方程两边平方，得：x －1＝4，所以，5x =．故答案为5x =． 考点：根式方程．12．x =-的根是 ．【答案】1x =-【解析】将方程左右两边平方，将方程化为关于x 的一元二次方程，求出方程的解得到x 的值，将x 的值代入原方程检验，即可得到原方程的解．【详解】左右两边平方得：2x+3=x 2，即x 2-2x-3=0，因式分解得：（x-3）（x+1）=0，解得：x=3或x=-1，将x=3代入方程检验，不合题意，则原方程的解为x=-1．故答案为x=-113．根号内含有______________的方程叫做无理方程；_______________和_______________统称为有理方程．【答案】未知数的代数式 整式方程 分式方程【解析】【分析】根据有理方程和无理方程的概念解答.【详解】解：根号内含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，整式方程和分式方程统称为有理方程.故答案为：未知数的代数式；整式方程；分式方程.【点睛】本题考查了方程的分类，掌握有理方程和无理方程的概念是解题的关键.14．=_____． 【答案】x 1=2，x 2=﹣1【解析】解：方程两边平方得，x 2﹣x =2，整理得：x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1．经检验，x 1=2，x 2=﹣1都是原方程的解，所以方程的解是x 1=2，x 2=﹣1．故答案为：x 1=2，x 2=﹣1．15．若关于x 0k =在实数范围内有解，则k 的取值范围是__________．【答案】k ≥【解析】【分析】先将方程变形为22460x x k ++-=，再根据一元二次方程根的判别式列出不等式即可解答．0k =可变形为：22460x x k ++-=则2164(6)0k ∆=--≥，解得：k ≥k ≤0k =≥∴k ≤∴k ≥故答案为：k ≥【点睛】本题考查了无理方程的解，解题的关键是对原方程进行变形，转化为一元二次方程．16．x =-的解是__________.【答案】3x =-【解析】【分析】根据解无理方程的方法可以解答此方程，注意无理方程要检验．【详解】x =-,∴3-2x=x 2，∴x 2+2x-3=0，∴（x+3）（x-1）=0，解得，x 1=-3，x 2=1，经检验，当x=1时，原方程无意义，当x=-3时，原方程有意义，故原方程的根是x=-3，故答案为：x=-3．【点睛】本题考查无理方程，解答本题的关键是明确解无理方程的方法．17．若方程4m =无实数根，则m 的取值范围是_________． 【答案】m>4【解析】【分析】4m =-，由非负数的算术平方根不是负数求得答案．【详解】解：因为：4m =4m =-，因为原方程无实根，所以：4m -＜0解得：m ＞4．故答案为：m ＞4．【点睛】本题考查无理方程的实数根的情况，掌握算数平方根不是非负数的性质是解题的关键．18．方程(x 0-=的解是_____________________【答案】4x =【解析】【分析】因为(x 0-=可以得出x−2＝0，x−4＝0且x−4≥0，由此求得原方程的解即可．【详解】解：(x 0-=Q20,40x x ∴-=-=，且40x -≥解得2,4x x ==且4x ≥4x ∴=故答案为4x =【点睛】此题考查解无理方程，注意被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件．19．下列方程中：a 、421x x +=；b 、32x x -+=；c 、31x =；d 、412x =属于高次方程的是_____．【答案】a ，d【解析】【分析】根据高次方程的定义判断即可．【详解】解：421x x +=是高次方程；32x x -+=是分式方程；31x =是无理方程；412x =是高次方程，故答案为：a ，d ．【点睛】本题考查了高次方程的定义：整式方程未知数次数高于2次的方程叫高次方程．20．3x =的解是___________。

（易错题精选）初中数学方程与不等式之无理方程解析含答案一、选择题1．k =有实数根，则k 的取值范围为___________【答案】【解析】【分析】方程两边同时平方，再移项，根据x 2≥0求解即可.【详解】k =，∴222x k +=，即222x k =-，∵x 2≥0，∴220k -≥，∴k 或k≤k =有实数根，∴k ＞0，∴k .故答案为：.【点睛】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．2．的根是 ．【答案】x=3【解析】【分析】方程两边同时平方，即可转化成一元一次方程，解得x 的值，然后代入原方程进行检验即可．【详解】方程两边同时平方得：x+1=4，解得：x=3．检验：x=3时，左边，则左边=右边．故x=3是方程的解．故答案是：x=3．3．1=的解为 .【答案】x=1【解析】【分析】方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x的值，然后把x的值代入进行检验即可．【详解】方程两边平方，得：2-x=1，解得：x=1．经检验：x=1是方程的解．故答案是：x=1．4．方程31x-=的解是x=_____．【答案】4【解析】分析：这是一道无理方程，解此方程量先将无理方程两边平方，转化为一元一次方程来解.详解：两边平方得：x-3=1，移项得：x=4．经检验x=4是原方程的根．故本题答案为：x=4．点睛：本题由于两边平方，可能产生增根，所以解答以后要验根．5．方程x+1=25x+的解是_____．【答案】x=2【解析】【分析】无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．【详解】两边平方得：（x+1）2=2x+5，即x2=4，开方得：x=2或x=-2，经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=2．故答案为x=26．方程=0的解为__________．【答案】【解析】【分析】将原方程两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再由二次根式有意义的条件可确定x的最终结果．解：将原方程两边平方得（x−5）（x−4）＝0，则x−5＝0或x−4＝0，解得：x＝5或x＝4，∵x−5≥0，x−4≥0，解得：x≥5，∴x＝5，故答案为：x＝5．【点睛】本题主要考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．7．3的解是_____．【答案】1【解析】【分析】移项到右边，再两边同时平方＝1，再两边进行平方，得x＝1，从而得解.【详解】3，两边平方得，x+3＝9+x﹣，移项合并得，＝6，1，两边平方得，x＝1，经检验：x＝1是原方程的解，故答案为1．【点睛】本题考查了学生对开方与平方互为逆运算的理解，利用转化的思想把二次根式方程化为一元一次方程是解题的关键.8．1=的根是x=______.【答案】2．【解析】【分析】方程两边乘方，得整式方程，求解，检验即可.∵11x -=∴x-1=1∴x=2，经检验，x=2是原方程的根，所以，原方程的根是x=2.故答案为：2.【点睛】本题考查了解无理方程，注意别忘记检验哟!9．如果关于x 的方程的一个根为3，那么a= ．【答案】3【解析】【分析】根据方程的解的意义，把x=3代入原方程，然后解关于a 的方程，解答后，一定要验根.【详解】∵关于x 2x a x +=的一个根为3，∴x=3一定满足关于x 2x a x +=，63a +=，方程的两边同时平方，得6+a=9，解得a=3；检验：将a=3代入原方程得，左边2333?=，右边=3，∴左边=右边，∴a=3符合题意，故填：3.10．解方程22886x x x x --=时，设28y x x =- 换元后，整理得关于y 的整式方程是___________________．【答案】y²+y-6=0【解析】【分析】设28y x x =-则原方程可化为关于y 的一元二次方程即可.【详解】解:设y =则原方程可化为y²+y-6=0,故答案为：y²+y-6=0.【点睛】 本题考查了无理方程，解无理方程最常用的方法是换元法,一般是通过观察确定用来换元的式子是解题的关键.11．2x =的解是__________．【答案】1x =【解析】【分析】先左右两边同时平方，然后解整式方程即可，注意检验求出的整式方程的根是否为原方程的增根．【详解】2x =，∴22(2)x =，即2234x x += ，解得1x =或1x =-．当1x =-2,22,22x ==-≠- ，∴1x =-是原方程的增根，∴原方程的解为1x =．故答案为：1x =．【点睛】本题主要考查无理方程的解法，掌握无理方程的解法是解题的关键．12．方程x =_____．【答案】x ＝1【解析】【分析】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解决．【详解】x =x 2＝4﹣3x ，解得，x ＝1或x ＝﹣4，检验：当x ＝﹣4不是原方程的根，故原无理方程的解是x ＝1，故答案为：x＝1【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解法，注意解方程最后要检验．13．1=的解为_____．【答案】x=2【解析】【分析】1=两边同时乘方，即可解答.【详解】方程两边平方得：x﹣1＝1，解得：x＝2，经检验x＝2是原方程的解，故答案为：x＝2【点睛】本题考点为无理方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.14．x=-的解是_____．【答案】x＝﹣1．【解析】【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【详解】把方程两边平方得x+2＝x2，整理得（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x＝2或﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．15．根号内含有______________的方程叫做无理方程；_______________和_______________统称为有理方程．【答案】未知数的代数式整式方程分式方程【解析】【分析】根据有理方程和无理方程的概念解答.【详解】解：根号内含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，整式方程和分式方程统称为有理方程.故答案为：未知数的代数式；整式方程；分式方程.【点睛】本题考查了方程的分类，掌握有理方程和无理方程的概念是解题的关键.16．能使（x －50成立的x 是____________．【答案】7【解析】【分析】由无理方程中两个因式的积为0，则至少一个为0，并检验求得的未知数的值，从而得到答案，【详解】解：因为：(0x -=所以：50x -==解得；5,7x x ==经检验：5x =不合题意舍去，所以方程的解是：7x =．故答案为：7．【点睛】本题考查无理方程的解法，熟知解法是解题关键，注意检验．17．0=的根是__________________． 【答案】x=2 【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x 的取值范围，再根据乘法法则转化为一元一次方程求解即可．【详解】∵x+1≥0，x-2≥0，∴x ≥2．0=，∴x+1=0或x-2=0，∴x 1=-1（舍去），x 2=2．故答案为：x=2．【点睛】本题考查了无理方程的解法，根据代数式有意义的条件求出未知数的取值范围是本题的易错点．18．如果方程1k -=有实数解，那么k 的取值范围是________________________．【答案】：k≤1【解析】【分析】 根据二次根式有意义的条件列出关于k 的不等式求解即可．【详解】∵1k -=，1k =-，0≥，∴10k -≥，∴k ≤1．故答案为：k≤1．【点睛】本题考查了无理方程，根据二次根式有意义的条件列出关于k 的不等式是解答本题的关键．19．2=的解是__________．【答案】5x =．【解析】试题分析：原方程两边平方，得：x －1＝4，所以，5x =．故答案为5x =． 考点：根式方程．20．4+=y = 换元后，整理得关于y 的整式方程是____________________．【答案】y²-4y+4=0【解析】【分析】y =,则原方程可化为关于y 的一元二次方程即可. 【详解】解:y =, 则原方程可化为，44y y +=即y²-4y+4=0,故答案为：y²-4y+4=0. 【点睛】本题考查了无理方程，解无理方程最常用的方法是换元法,.。

包头市初中数学方程与不等式之无理方程基础测试题及答案解析一、选择题1．方程x =________．【答案】x=3【解析】分析：解此方程首先要把它化为我们熟悉的方程（一元二次方程），解新方程，检验是否符合题意，即可求得原方程的解．详解：据题意得：3+2x =x 2，∴x 2﹣2x ﹣3=0，∴（x ﹣3）（x +1）=0，∴x 1=3，x 2=﹣1．≥0，∴x =3．故答案为：3．点睛：本题考查了学生综合应用能力，解方程时要注意解题方法的选择，在求值时要注意解的检验．2．的解是__________ ；【答案】x=0【解析】两边平方，得2x x =，分解因式，得()10x x -=，解得120,1x x ==，经检验，21x =不符合题意，舍去，所以原方程的解为x =0.故答案为x =0.3．如果关于x x =有实数根2，那么k =________．【答案】1-【解析】【分析】把x=2代入方程中进行求解即可得.【详解】，2-2k=4，解得：k=-1，经检验k=-1符合题意，所以k=-1，故答案为-1.【点睛】本题考查了方程的解，熟练掌握方程解的定义是解题的关键.4．x =-的解________【答案】2x =-【解析】【分析】两边平方后解此无理方程可得.【详解】解：两边同时平方可得：2-x=x 2,解得：x 1=-2，x 2=1，检验得x 2=1不是方程的根，故1a =-，故答案为1a =-【点睛】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理方程化成有理方程是解题的关键，注意无理方程需验根．需要同学们仔细掌握．5．若等式=成立，则x 的值为__________．【答案】16【解析】【分析】将方程变形后两边同时平方即可求出x 的值.【详解】∵=∴=∴==两边同时平方得，2x-5=27，解得，x=16.经检验，x=16是原方程的根.故答案为：16.【点睛】此题主要考查了解无理方程，注意：解无理方程一定要验根.6．4=y = 换元后，整理得关于y 的整式方程是____________________．【答案】y²-4y+4=0【解析】【分析】y=,则原方程可化为关于y的一元二次方程即可.【详解】解:y=,则原方程可化为，44yy+=即y²-4y+4=0,故答案为：y²-4y+4=0.【点睛】本题考查了无理方程，解无理方程最常用的方法是换元法,.7．解方程286x x-=时，设y=换元后，整理得关于y的整式方程是___________________．【答案】y²+y-6=0【解析】【分析】设y=则原方程可化为关于y的一元二次方程即可.【详解】解:设y=则原方程可化为y²+y-6=0,故答案为：y²+y-6=0.【点睛】本题考查了无理方程，解无理方程最常用的方法是换元法,一般是通过观察确定用来换元的式子是解题的关键.8．若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为___________.【答案】18【解析】【分析】将原方程变形为，由m为正整数、被开方数非负，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再将是正整数的m的值相加即可得出结论．【详解】原题可得：m2018x-=2x-4020，∵m为正整数，∴m2018x-≥0，∴2x-4020≥0，∴x≥2010．∵2018-x≥0，∴x≤2018，∴2010≤x≤2018．当x=2010时，22m=0，m=0，不符合题意；当x=2011时，7m=2，m=27，不符合题意；当x=2012时，6m=4，m=26，不符合题意；当x=2013时，5m=6，m=65，不符合题意；当x=2014时，2m=8，m=4；当x=2015时，3m=10，m=1033，不符合题意；当x=2016时，2m=12，m=62，不符合题意；当x=2017时，m=14；当x=2018时，0=16，不成立．∴正整数m的所有取值的和为4+14=18．故答案为18．【点睛】本题考查了无理方程，由被开方数非负及m为正整数，找出x的取值范围是解题的关键．9．如果关于x的方程的一个根为3，那么a= ．【答案】3【解析】【分析】根据方程的解的意义，把x=3代入原方程，然后解关于a的方程，解答后，一定要验根.【详解】∵关于x2x a x+=的一个根为3，∴x=3一定满足关于x2x a x+=，63a+=，方程的两边同时平方，得6+a=9，解得a=3；检验：将a=3代入原方程得，左边3=，右边=3，∴左边=右边，∴a=3符合题意，故填：3.10．无理方程(0x -=的根是____.【答案】x=2.【解析】【分析】根据0乘任何数都得零，可得方程的解，根据被开方数是非负数，可得答案．【详解】解：由(0x -=，∴x-5=0或2-x=0，解得：x=5，x=2，∵20x -≥，∴2x ≤，当x=5时，被开方数无意义；故方程的解为：x=2，故答案为：x=2．【点睛】本题考查了无理方程，利用0乘任何数都得零是解题关键，注意被开方数是非负数．11．3x m =+有一个根是x=3，那么m=__________________． 【答案】2【解析】【分析】3x m =+有一个根是x=3,代入后即可求解关于m 的无理方程. 【详解】3x m =+有一个根是x=3，1m =+，两边平方得：15-3m=1+2m+m²,解得：m=-7或2，当m=-7时，1+m=-6<0,不合题意，舍去，故答案为：2.【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是熟练掌握用平方法解无理方程.12．2x =+的增根是_________________．【答案】4x =-【解析】【分析】两边平方，把无理方程化为2227(2)x x x +=+，解得14x =-，21x =，然后进行检验确定原方程的解，从而得到原方程的增根．【详解】解：Q 2x =+，2227(2)x x x ∴+=+，整理得2340x x +-=，解得14x =-，21x =，检验：当4x =-时，左边2==，右边422=-+=-，左边≠右边，则4x =-为原方程的增根；当1x =时，左边3，右边123=+=，左边=右边，则1x =为原方程的根，所以原方程的解为1x =．故答案为：4x =-．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．13．3=的根是_______________．【答案】x=7【解析】【分析】根据无理方程的解法求解即可.【详解】3=，两边平方可得：x+2=9，移项合并得：x=7.故答案为：x=7.【点睛】本题考查了无理方程的解法，解题的关键是根据等式的性质将方程两边平方，从而化成整式方程.14．-x 的值相等，那么x=__________．【答案】-5【解析】【分析】两边平方得到230()x x +=-，求出方程的解，把此方程的解代入原方程检验即可得出答案．【详解】x =-，两边平方得：230()x x +=-，即2300x x --=， (6)(5)0x x -+=，(6)0x -=或(5)0x +=，解得125,6x x =-= ，检验：当5x =-5x ==-，当6x =6x =≠-，所以x =-5，故答案为：-5．【点睛】本题考查无理方程，解一元二次方程．能将无理方程转化成一元二次方程是解决此题的关键．需注意：因为一个数的算术平方根是非负的，所以一元二次方程的解中可能有不符合无理方程的解，结果一定要检验．15．如图，ABC ∆中，AB AC =, 点D 在线段BC 的延长线上， 连接AD ，CD=1，BC=12，∠DAB=30°， 则 AC =__________．【答案】439【解析】【分析】过点B 作BE ⊥AD 于点E ，AH ⊥BC 于H ．设AB=AC=x ．根据AE+DE=AD ，分别利用勾股定理求出AE ，DE ，AD ，构建方程即可解决问题．【详解】解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，AH ⊥BC 于H ．设AB=AC=x ．在Rt △ABE 中，∵∠BAE=30°，AB=x ，∴BE=12AB=12x ，33， ∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴CH=BH=6，在Rt △AHB 中，AH 2=x 2-62，在Rt △DBE 中，22221134BD BE x -=-， 在Rt △ADH 中，2222267AH DH x +-+ ∵AE+DE=AD ，222223113674x x x +-=-+ 整理得：x 4-13×51x-(12×13)2=0，解得x 2=13×48或13×3（舍去），∵x ＞0，∴，经检验：是无理方程的解，∴故答案为．【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，无理方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．能使（x －50成立的x 是____________．【答案】7【解析】【分析】由无理方程中两个因式的积为0，则至少一个为0，并检验求得的未知数的值，从而得到答案，【详解】解：因为：(0x -=所以：50x -==解得；5,7x x ==经检验：5x =不合题意舍去，所以方程的解是：7x =．故答案为：7．【点睛】本题考查无理方程的解法，熟知解法是解题关键，注意检验．17．如果关于x x =的一个根为3，那么a =_______【答案】3【解析】【分析】把3x =代入原方程即可得到答案．【详解】解：把3x =3=，两边平方得：69a +=，所以：3a =，经检验：3a =符合题意，故答案为：3．【点睛】本题考查方程的解的含义以及解无理方程，掌握方程的解及解无理方程的方法是关键．18．下列方程中：a 、421x x +=；b 、32x x -+=；c 、31x =；d 、412x =属于高次方程的是_____．【答案】a ，d【解析】【分析】根据高次方程的定义判断即可．【详解】解：421x x +=是高次方程；32x x -+=是分式方程；31x =是无理方程；412x =是高次方程，故答案为：a ，d ．【点睛】本题考查了高次方程的定义：整式方程未知数次数高于2次的方程叫高次方程．19．方程（的实数根是______．【答案】4【解析】【分析】由方程得20x +=或40x -=，结合40x -≥，求出符合题意的x 即可．【详解】解：∵(20x +=，∴20x +=或40x -=，解得：2x =-或4x =，又∵40x -≥即4x ≥，∴4x =，故答案为：4．【点睛】此题考查了解无理方程，注意二次根式的被开方数必须大于等于0．20．请将方程的解写在后面的横线上：______【答案】x=7【解析】【分析】先根据已知方程得出x-3=0或x-7=0，求出x 的值，再进行检验即可．【详解】解：，x-3=0或x-7=0，x=3或x=7，检验：当x=3x=3不是原方程的解；x=7是原方程的解，故答案为：x=7．【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程变成有理方程是解此题的关键，注意解无理方程一定要进行检验．。

新初中数学方程与不等式之无理方程解析含答案(1)一、选择题 1．解方程91449x x x ++=+时，设91y x += 换元后，整理得关于y 的整式方程是____________________．【答案】y²-4y+4=0【解析】【分析】设91y x+=,则原方程可化为关于y 的一元二次方程即可. 【详解】解:设91y x+=, 则原方程可化为，44y y+=即y²-4y+4=0,故答案为：y²-4y+4=0. 【点睛】 本题考查了无理方程，解无理方程最常用的方法是换元法,解题的关键是理解9x x +是91x+的倒数. 2．方程的解为 ． 【答案】3．【解析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x 的值．解：两边平方得：2x+3=x 2∴x 2﹣2x ﹣3=0，解方程得：x 1=3，x 2=﹣1，检验：当x 1=3时，方程的左边=右边，所以x 1=3为原方程的解，当x 2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2=﹣1不是原方程的解．故答案为3．3．方程(x 32x 0--=的解是______．【答案】x=2【解析】【分析】求出x 2x 0-=，求出即可．【详解】解：(x 30-=Q ，2x 0∴-≥，x 2∴≤，x 30∴-≠，0=Q ，x 2=，故答案为：x 2=．【点睛】0=是解此题的关键．4．若关于x 的方程103=恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．【答案】0a =或316a ≥-【解析】【分析】，∴y ≥0，则原方程可化为：211023ay y +-=， 根据方程只有一个正根，即可解决问题．【详解】y ,∴y ≥0,则原方程可化为：211023ay y +-=， ∵方程恰有两个不同的实数解，∴△=0或a =0或a >0(此时方程两根异号,y 只有一个正根,x 有两个不同的实数解) 当△=0时,14043a +=， 解得：316a =-， 故实数a 的取值范围是：0a =或316a ≥-， 故答案为：0a =或316a ≥-【点睛】 考查无理方程，难度一般，关键是掌握用换元法求解无理方程.5．方程32x-=的解是__________．【答案】x=7【解析】【分析】将方程两边平方后求解，注意检验．【详解】将方程两边平方得x-3=4，移项得：x=7，代入原方程得73-=2，原方程成立，故方程3x-＝2的解是x=7．故本题答案为：x=7．【点睛】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程检验．6．方程-x=1的根是______【答案】x=3【解析】【分析】先将-x移到方程右边，再把方程两边平方，使原方程化为整式方程x2=9，求出x的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解.【详解】解：整理得：=x+1，方程两边平方，得：2x+10=x2+2x+1，移项合并同类项，得：x2=9，解得：x1=3，x2=-3，经检验，x2=-3不是原方程的解，则原方程的根为：x=3.故答案为：x=3.【点睛】本题考查了解无理方程，无理方程在有些地方初中教材中不再出现，比如湘教版.7．14(1)(1)(2)(8)(9)x x x x x x+⋅⋅⋅=+++++的解是______．【答案】9【解析】【分析】设()11111y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】设()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++L ， ∴1111111112894y y y y y y -+-++-=+++++L ， 即11194y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，即y 2+9y-36=0，∴y=-12或y=3，，，∴x=9，故答案为：9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111y y y y =-++的应用.8．3的解是_____．【答案】1【解析】【分析】移项到右边，再两边同时平方＝1，再两边进行平方，得x ＝1，从而得解.【详解】3，两边平方得，x +3＝9+x ﹣，移项合并得，＝6，1，两边平方得，x ＝1，经检验：x ＝1是原方程的解，故答案为1．【点睛】本题考查了学生对开方与平方互为逆运算的理解，利用转化的思想把二次根式方程化为一元一次方程是解题的关键.9．方程6x x +=的根为 ．【答案】x=3【解析】 两边平方得x+6=x 2,解一元二次方程得x 1=3,x 2=-2(舍去)，所以方程的根为10．33x x +=的解是___________。

新初中数学方程与不等式之无理方程真题汇编含答案解析一、选择题1．k =有实数根，则k 的取值范围为___________【答案】【解析】【分析】方程两边同时平方，再移项，根据x 2≥0求解即可.【详解】k =，∴222x k +=，即222x k =-，∵x 2≥0，∴220k -≥，∴k 或k≤k =有实数根，∴k ＞0，∴k .故答案为：.【点睛】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．2．x =-的根是______．【答案】x=﹣2【解析】先把方程两边平方去根号后求解，再根据x ＜0，即可得出答案．解：由题意得：x ＜0，两边平方得：x+6=x 2，解得x=3（不合题意舍去）或x=﹣2；故答案为：x=﹣2．3．方程(x 30-=的解是______．【答案】x=2【解析】【分析】求出x 0=，求出即可．【详解】解：()x 32x 0--=Q ，2x 0∴-≥，x 2∴≤，x 30∴-≠，2x 0-=Q ，x 2=，故答案为：x 2=．【点睛】本题考查了解无理方程和二次根式有意义的条件，能得出方程2x 0-=是解此题的关键．4．方程-x =1的根是______ 【答案】x=3【解析】【分析】先将-x 移到方程右边，再把方程两边平方，使原方程化为整式方程x 2=9，求出x 的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解.【详解】解：整理得：=x+1，方程两边平方，得：2x+10=x 2+2x+1，移项合并同类项，得：x 2=9，解得：x 1=3，x 2=-3，经检验，x 2=-3不是原方程的解，则原方程的根为：x=3.故答案为：x=3.【点睛】本题考查了解无理方程，无理方程在有些地方初中教材中不再出现，比如湘教版.5．211x -=的解是 ．【答案】x =1【解析】【分析】根据算术平方根的意义，方程两边分别平方，化为整式方程，然后求解即可.【详解】两边平方得2x ﹣1=1，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．故本题答案为：x=1．6．0=的根是________________.【答案】x=2【解析】【分析】=的左边进行计算,然后两边同时平方可得x2-4=0;接下来,移项后利用直接开方法解这个一元二次方程得到方程的根,然后代入原方程中检验即可确定方程的根【详解】=，=,0,240x-=x2=4,x=±2当x=-2时=的根是x=2【点睛】此题考查无理方程,掌握无理方程的求解方法是关键;7．0x=的解是____.x=-【答案】3【解析】【分析】根据解无理方程的方法可以解答此方程，注意无理方程要检验．【详解】x=，x-，∴3-2x=x2，∴x2+2x-3=0，∴（x+3）（x-1）=0，解得，x1=-3，x2=1，经检验，当x=1时，原方程无意义，当x=3时，原方程有意义，故原方程的根是x=-3，故答案为：x=-3．【点睛】本题考查无理方程，解答本题的关键是明确解无理方程的方法．8．方程11x -=的根是x =______.【答案】2．【解析】【分析】方程两边乘方，得整式方程，求解，检验即可.【详解】∵11x -=∴x-1=1∴x=2，经检验，x=2是原方程的根，所以，原方程的根是x=2.故答案为：2.【点睛】本题考查了解无理方程，注意别忘记检验哟!9．方程6x x +=的根为 ．【答案】x=3【解析】两边平方得x+6=x 2,解一元二次方程得x 1=3,x 2=-2(舍去)，所以方程的根为10．方程20x x =的解是___________。

方程与不等式之无理方程分类汇编附答案解析一、选择题1．若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为___________.【答案】18【解析】【分析】将原方程变形为，由m为正整数、被开方数非负，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再将是正整数的m的值相加即可得出结论．【详解】原题可得：，∵m为正整数，∴，∴2x-4020≥0，∴x≥2010．∵2018-x≥0，∴x≤2018，∴2010≤x≤2018．当x=2010时，m=0，m=0，不符合题意；当x=2011，m=，不符合题意；7当x=2012m=4，，不符合题意；当x=2013，m=，不符合题意；5当x=2014时，2m=8，m=4；当x=2015，，不符合题意；当x=2016m=12，，不符合题意；当x=2017时，m=14；当x=2018时，0=16，不成立．∴正整数m的所有取值的和为4+14=18．故答案为18．【点睛】本题考查了无理方程，由被开方数非负及m为正整数，找出x的取值范围是解题的关键．2．1=的解为 .【答案】x=1【解析】【分析】方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x 的值，然后把x 的值代入进行检验即可．【详解】方程两边平方，得：2-x=1，解得：x=1．经检验：x=1是方程的解．故答案是：x=1．3．2的根是 ．【答案】x=53． 【解析】2=，∴3x ﹣1=4，∴x=53，经检验x=53是原方程组的解，故答案为x=53． 考点：无理方程．4．x =的解为_____．【答案】x=1【解析】分析：方程两边平方，将无理方程转化为整式方程，求出x 的值，经检验即可得到无理方程的解．详解：两边平方得：-x+2=x 2，即（x-1）（x+2）=0，解得：x=1或x=-2，经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=1，故答案为x=1点睛：此题考查了无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要验根．5．方程(x 30-=的解是______．【答案】x=2【解析】【分析】求出x 0=，求出即可．解：(x 30-=Q ，2x 0∴-≥，x 2∴≤，x 30∴-≠，0=Q ，x 2=，故答案为：x 2=．【点睛】0=是解此题的关键．6．对正实数a ，b 定义运算法则2a b a b *=+，若310x *=，则x 的值是______.【答案】112±. 【解析】【分析】根据新定义，将方程3*x=10转化，再解无理方程．【详解】根据新定义，方程3*x=10+6+x=10，移项，整理得两边平方，得（x-4）2=3x ，即x 2-11x+16=0，解得经检验故答案为112±． 【点睛】本题是一道新定义的题目，考查了无理方程，以及一元二次方程的解法，难度不大．7．方程______．【答案】1x =【解析】【分析】两边平方解答即可．原方程可化为：（x-1）2=1-x ，解得：x 1=0，x 2=1，经检验，x=0不是原方程的解，x=1是原方程的解故答案为 1x =．【点睛】此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答，要注意解答后一定要检验．8．如果关于x 的无理方程x 21k 0+-+=没有实数根，那么k 的取值范围是___________________．【答案】1k >【解析】【分析】根据关于x 的无理方程2x +=1+k 没有实数根，可知1-k ＜0，从而可以求得k 的取值范围．【详解】∵关于x 的无理方程2x +=1-k 没有实数根，∴1-k ＜0， 解得，k >1，故答案为：k >1．【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解答方法，无实数根应满足什么条件．9．如果关于x 的方程的一个根为3，那么a= ．【答案】3【解析】【分析】根据方程的解的意义，把x=3代入原方程，然后解关于a 的方程，解答后，一定要验根.【详解】∵关于x 2x a x +=的一个根为3，∴x=3一定满足关于x 2x a x +=，63a +=，方程的两边同时平方，得6+a=9，解得a=3；检验：将a=3代入原方程得，=，左边3右边=3，∴左边=右边，∴a=3符合题意，故填：3.10．解方程286-=时，设y=换元后，整理得关于y的整式方x x程是___________________．【答案】y²+y-6=0【解析】【分析】设y=则原方程可化为关于y的一元二次方程即可.【详解】解:设y=则原方程可化为y²+y-6=0,故答案为：y²+y-6=0.【点睛】本题考查了无理方程，解无理方程最常用的方法是换元法,一般是通过观察确定用来换元的式子是解题的关键.11．3=的解是______．x=【答案】4【解析】【分析】把两边平方，化为整式方程求解，然后检验即可．【详解】=，3∴2x+1=9，∴2x=8，∴x=4，经检验x=4是原方程的解．故答案为：x=4．【点睛】本题考查了无理方程的解法，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．12．请将方程的解写在后面的横线上：______【答案】x=7【解析】【分析】先根据已知方程得出x-3=0或x-7=0，求出x的值，再进行检验即可．【详解】解：，x-3=0或x-7=0，x=3或x=7，检验：当x=3x=3不是原方程的解；x=7是原方程的解，故答案为：x=7．【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程变成有理方程是解此题的关键，注意解无理方程一定要进行检验．13．1=的解为_____．【答案】x=2【解析】【分析】1=两边同时乘方，即可解答.【详解】方程两边平方得：x﹣1＝1，解得：x＝2，经检验x＝2是原方程的解，故答案为：x＝2【点睛】本题考点为无理方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.14．3的解是：x＝_____．【答案】±2【解析】【分析】对方程左右两边同时平方，可得x2+5＝9，进而可解x的值，答案注意根式有意义的条件【详解】=，左右两边同时平方可得x2+5＝9；解之，可得：x＝±2．3故答案为：±2．【点睛】本题的关键是将方程化为二次方程，答案注意根式有意义的条件15．x =的解为_____．【答案】3【解析】【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x 的值，然后验根，解答即可．【详解】解：两边平方得：2x +3＝x 2∴x 2﹣2x ﹣3＝0，解方程得：x 1＝3，x 2＝﹣1，检验：当x 1＝3时，方程的左边＝右边，所以x 1＝3为原方程的解，当x 2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2＝﹣1不是原方程的解．故答案为3．【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则16．x =-的根是 ．【答案】1x =-【解析】【分析】将方程左右两边平方，将方程化为关于x 的一元二次方程，求出方程的解得到x 的值，将x 的值代入原方程检验，即可得到原方程的解．【详解】左右两边平方得：2x+3=x 2，即x 2-2x-3=0，因式分解得：（x-3）（x+1）=0，解得：x=3或x=-1，将x=3代入方程检验，不合题意，则原方程的解为x=-1．故答案为x=-117．-x 的值相等，那么x=__________．【答案】-5【解析】【分析】两边平方得到230()x x +=-，求出方程的解，把此方程的解代入原方程检验即可得出答案．【详解】x =-，两边平方得：230()x x +=-，即2300x x --=， (6)(5)0x x -+=，(6)0x -=或(5)0x +=，解得125,6x x =-= ，检验：当5x =-5x ==-，当6x =6x =≠-，所以x =-5，故答案为：-5．【点睛】本题考查无理方程，解一元二次方程．能将无理方程转化成一元二次方程是解决此题的关键．需注意：因为一个数的算术平方根是非负的，所以一元二次方程的解中可能有不符合无理方程的解，结果一定要检验．18．如果关于x x =的一个根为3，那么a =_______【答案】3【解析】【分析】把3x =代入原方程即可得到答案．【详解】解：把3x =3=，两边平方得：69a +=，所以：3a =，经检验：3a =符合题意，故答案为：3．【点睛】本题考查方程的解的含义以及解无理方程，掌握方程的解及解无理方程的方法是关键．19．2=的解是__________．【答案】5x =．【解析】试题分析：原方程两边平方，得：x －1＝4，所以，5x =．故答案为5x =． 考点：根式方程．20．方程21x +=___________。

（易错题精选）初中数学方程与不等式之无理方程全集汇编及答案解析 一、选择题 1．方程320x x -+=的解是____.【答案】3x =-【解析】【分析】根据解无理方程的方法可以解答此方程，注意无理方程要检验．【详解】∵320x x -+=，∴32=x x --，∴3-2x=x 2，∴x 2+2x-3=0，∴（x+3）（x-1）=0，解得，x 1=-3，x 2=1，经检验，当x=1时，原方程无意义，当x=3时，原方程有意义，故原方程的根是x=-3，故答案为：x=-3．【点睛】本题考查无理方程，解答本题的关键是明确解无理方程的方法．2．方程6x x +=-的根是______．【答案】x=﹣2【解析】先把方程两边平方去根号后求解，再根据x ＜0，即可得出答案．解：由题意得：x ＜0，两边平方得：x+6=x 2，解得x=3（不合题意舍去）或x=﹣2；故答案为：x=﹣2．3．方程2=x ﹣6的根是______．【答案】x=12．【解析】两边平方，求得一元二次方程的解，进一步利用x ﹣3≥0验证得出答案即可．解：2=x ﹣64（x ﹣3）=x 2﹣12x+36整理得x 2﹣16x+48=0解得：x 1=4，x 2=12代入x ﹣3＞0，当x=4时，等式右边为负数，所以原方程的解为x=12．故答案为：x=12．4．1=的解是x=_____．【答案】4【解析】分析：这是一道无理方程，解此方程量先将无理方程两边平方，转化为一元一次方程来解. 详解：两边平方得：x-3=1，移项得：x=4．经检验x=4是原方程的根．故本题答案为：x=4．点睛：本题由于两边平方，可能产生增根，所以解答以后要验根．5．方程(x 30-=的解是______．【答案】x=2【解析】【分析】求出x 0=，求出即可．【详解】解：(x 30-=Q ，2x 0∴-≥，x 2∴≤，x 30∴-≠，0=Q ，x 2=，故答案为：x 2=．【点睛】0=是解此题的关键．6．方程_____．【答案】x=2【解析】【分析】无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到无理方程的解．【详解】两边平方得：（x+1）2=2x+5，即x2=4，开方得：x=2或x=-2，经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=2．故答案为x=27．如果关于x x=有实数根2，那么k=________．-【答案】1【解析】【分析】把x=2代入方程中进行求解即可得.【详解】，2-2k=4，解得：k=-1，经检验k=-1符合题意，所以k=-1，故答案为-1.【点睛】本题考查了方程的解，熟练掌握方程解的定义是解题的关键.8．0的根是____．【答案】x=1【解析】【分析】将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．【详解】原方程变形为x（x-1）=0，∴x=0或x-1=0，∴x=0或x=1，∴x=0时，被开方数x-1=-1＜0，∴x=0不符合题意，舍去，∴方程的根为x=1，故答案为x=1．【点睛】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．9．2的根是．【答案】x=53．【解析】2=，∴3x﹣1=4，∴x=53，经检验x=53是原方程组的解，故答案为x=53．考点：无理方程．10．0=的解是_______________【答案】x=2【解析】【分析】由题意可知3-x=0或2-x=0，再结合二次根式有意义的条件即可求得答案.【详解】=，=，∴x=3或x=2，检验：当x=3时，2-x<0x=3舍去，∴x=2，故答案为x=2.【点睛】本题考查了解无理方程，熟练掌握解方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.11．若方程4m+=无实数根，则m的取值范围是_________．【答案】m>4【解析】【分析】4m=-，由非负数的算术平方根不是负数求得答案．【详解】解：因为：4m=4m=-，因为原方程无实根，所以：4m-＜0解得：m＞4．故答案为：m＞4．【点睛】本题考查无理方程的实数根的情况，掌握算数平方根不是非负数的性质是解题的关键．12．＝3的解是_____．【答案】1【解析】【分析】移项到右边，再两边同时平方＝1，再两边进行平方，得x ＝1，从而得解.【详解】3，两边平方得，x +3＝9+x ﹣，移项合并得，＝6，1，两边平方得，x ＝1，经检验：x ＝1是原方程的解，故答案为1．【点睛】本题考查了学生对开方与平方互为逆运算的理解，利用转化的思想把二次根式方程化为一元一次方程是解题的关键.13．方程21x +=___________。

（专题精选）初中数学方程与不等式之无理方程真题汇编及答案一、选择题1．3x =的解是___________。

【答案】－3或－2【解析】【分析】将原式移项后，两边平方再进行合并同类项运用因式分解求解即可。

【详解】+3x∴3x +=（3x +）2∴x 2+5x+6=0∴(x+3)(x+2)=0∴x 1=-3,x 2=-2检验知x=-3或x=-2是方程的解.【点睛】本题考查了无理方程，利用平方将方程转化一元二次方程，选择合适、简便的方法求解二元一次方程是正确解题的关键.2．2=的解是_______________．【答案】2x =【解析】试题分析：方程两边平方，得324x -=，解得2x =．代入验根可得方程的根为2x =． 考点：解无理方程．3．若关于x 的方程103=恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．【答案】0a =或316a ≥-【解析】【分析】，∴y ≥0，则原方程可化为：211023ay y +-=， 根据方程只有一个正根，即可解决问题．【详解】y ,∴y ≥0,则原方程可化为：211023ay y +-=， ∵方程恰有两个不同的实数解，∴△=0或a =0或a >0(此时方程两根异号,y 只有一个正根,x 有两个不同的实数解)当△=0时,14043a +=， 解得：316a =-， 故实数a 的取值范围是：0a =或316a ≥-， 故答案为：0a =或316a ≥-【点睛】 考查无理方程，难度一般，关键是掌握用换元法求解无理方程.4．5=的根为_____．【答案】﹣2或﹣7【解析】【分析】把无理方程转化为整式方程即可解决问题．【详解】两边平方得到：，，∴（x+11）（2-x ）=36，解得x=-2或-7，经检验x=-2或-7都是原方程的解．故答案为-2或-7【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是学会把无理方程转化为整式方程．5．如果关于x x =有实数根2，那么k =________．【答案】1-【解析】【分析】把x=2代入方程中进行求解即可得.【详解】，2-2k=4，解得：k=-1，经检验k=-1符合题意，所以k=-1，故答案为-1.【点睛】本题考查了方程的解，熟练掌握方程解的定义是解题的关键.6．方程-x=1的根是______【答案】x=3【解析】【分析】先将-x移到方程右边，再把方程两边平方，使原方程化为整式方程x2=9，求出x的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解.【详解】解：整理得：=x+1，方程两边平方，得：2x+10=x2+2x+1，移项合并同类项，得：x2=9，解得：x1=3，x2=-3，经检验，x2=-3不是原方程的解，则原方程的根为：x=3.故答案为：x=3.【点睛】本题考查了解无理方程，无理方程在有些地方初中教材中不再出现，比如湘教版.7．10g的根是____．x x-【答案】x=1【解析】【分析】将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．【详解】原方程变形为x（x-1）=0，∴x=0或x-1=0，∴x=0或x=1，∴x=0时，被开方数x-1=-1＜0，∴x=0不符合题意，舍去，∴方程的根为x=1，故答案为x=1．【点睛】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．8．21x-3的解是_____．x=【答案】5【解析】分析：把方程两边平方，去根号后求解.详解：两边同时平方，得：219,x -=解得：5,x =经检验，5x =是原方程的解.故答案为 5.x =点睛：考查无理方程的解法，解无理方程通常用的方法是两边平方法或者换元法.9．方程6x x +=的根为 ．【答案】x=3【解析】 两边平方得x+6=x 2,解一元二次方程得x 1=3,x 2=-2(舍去)，所以方程的根为10．方程20x x =的解是___________。

初中数学方程与不等式之无理方程全集汇编及答案一、选择题 1．方程2693x x x -+=-的解是___________。

【答案】x≤3【解析】【分析】由根式的性质可知方程左边必大于零，再根据无理方程左边等于右边，所以可得30x -≥求解即可.【详解】因为左边=3x -，右边=3-x,所以30x -≥，所以3x ≤.【点睛】本题考查了根式的性质及无理方程的化简求解.2．方程2=x ﹣6的根是______．【答案】x=12．【解析】两边平方，求得一元二次方程的解，进一步利用x ﹣3≥0验证得出答案即可． 解：2=x ﹣64（x ﹣3）=x 2﹣12x+36整理得x 2﹣16x+48=0解得：x 1=4，x 2=12代入x ﹣3＞0，当x=4时，等式右边为负数，所以原方程的解为x=12．故答案为：x=12．3．2x x -+=的解为_____．【答案】x=1【解析】分析：方程两边平方，将无理方程转化为整式方程，求出x 的值，经检验即可得到无理方程的解．详解：两边平方得：-x+2=x 2，即（x-1）（x+2）=0，解得：x=1或x=-2，经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=1，故答案为x=1点睛：此题考查了无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要验根．4．若关于x 的方程103=恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．【答案】0a =或316a ≥-【解析】【分析】，∴y ≥0，则原方程可化为：211023ay y +-=， 根据方程只有一个正根，即可解决问题．【详解】y ,∴y ≥0,则原方程可化为：211023ay y +-=， ∵方程恰有两个不同的实数解， ∴△=0或a =0或a >0(此时方程两根异号,y 只有一个正根,x 有两个不同的实数解) 当△=0时,14043a +=， 解得：316a =-， 故实数a 的取值范围是：0a =或316a ≥-， 故答案为：0a =或316a ≥-【点睛】 考查无理方程，难度一般，关键是掌握用换元法求解无理方程.5．5=的根为_____．【答案】﹣2或﹣7【解析】【分析】把无理方程转化为整式方程即可解决问题．【详解】两边平方得到：，，∴（x+11）（2-x ）=36，解得x=-2或-7，经检验x=-2或-7都是原方程的解．故答案为-2或-7【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是学会把无理方程转化为整式方程．6．方程_____．【答案】x=2【解析】【分析】无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．【详解】两边平方得：（x+1）2=2x+5，即x2=4，开方得：x=2或x=-2，经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=2．故答案为x=27．1=的解是．【答案】x =1【解析】【分析】根据算术平方根的意义，方程两边分别平方，化为整式方程，然后求解即可.【详解】两边平方得2x﹣1=1，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．故本题答案为：x=1．8．0=的根是________________.【答案】x=2【解析】【分析】=的左边进行计算,然后两边同时平方可得x2-4=0;接下来,移项后利用直接开方法解这个一元二次方程得到方程的根,然后代入原方程中检验即可确定方程的根【详解】=，=,0,240x-=x 2=4,x=±2当x=-2时0=的根是x=2【点睛】此题考查无理方程,掌握无理方程的求解方法是关键;9．2=的解是_______________．【答案】2x =【解析】试题分析：方程两边平方，得324x -=，解得2x =．代入验根可得方程的根为2x =． 考点：解无理方程．10．若等式=x 的值为__________．【答案】16【解析】【分析】将方程变形后两边同时平方即可求出x 的值.【详解】∵=∴=∴==两边同时平方得，2x-5=27，解得，x=16.经检验，x=16是原方程的根.故答案为：16.【点睛】此题主要考查了解无理方程，注意：解无理方程一定要验根.11．0=的解是_____________.【答案】x=2【解析】【分析】根据题意可得x=2或x=1，然后根据二次根式的性质舍去x=1.【详解】0=，∴x ﹣2=0或x ﹣1=0，解得x=2或x=1，当x=1时，x ﹣2=1﹣2=﹣1＜0，舍去，则原方程的解为x=2.故答案为：x=2.【点睛】本题主要考查解方程，二次根式的性质，解此题的关键在于求出的方程的解要使二次根式有意义.12．0=实数根的个数有___________个。

初中数学方程与不等式之无理方程经典测试题附答案解析一、选择题1．k =有实数根，则k 的取值范围为___________【答案】【解析】【分析】方程两边同时平方，再移项，根据x 2≥0求解即可.【详解】k =，∴222x k +=，即222x k =-，∵x 2≥0，∴220k -≥，∴k 或k≤k =有实数根，∴k ＞0，∴k .故答案为：.【点睛】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．2．1=的解是x=_____．【答案】4【解析】分析：这是一道无理方程，解此方程量先将无理方程两边平方，转化为一元一次方程来解. 详解：两边平方得：x-3=1，移项得：x=4．经检验x=4是原方程的根．故本题答案为：x=4．点睛：本题由于两边平方，可能产生增根，所以解答以后要验根．3．方程(x 30-=的解是______．【答案】x=2【解析】【分析】求出x 的范围，得出方程2x 0-=，求出即可．【详解】解：()x 32x 0--=Q ，2x 0∴-≥，x 2∴≤，x 30∴-≠，2x 0-=Q ，x 2=，故答案为：x 2=．【点睛】本题考查了解无理方程和二次根式有意义的条件，能得出方程2x 0-=是解此题的关键．4．如果关于x 的方程2x k x -=有实数根2，那么k =________．【答案】1-【解析】【分析】把x=2代入方程中进行求解即可得.【详解】由题意得：22k -=2，2-2k=4，解得：k=-1，经检验k=-1符合题意，所以k=-1，故答案为-1.【点睛】本题考查了方程的解，熟练掌握方程解的定义是解题的关键.5．方程-x =1的根是______【答案】x=3【解析】【分析】先将-x 移到方程右边，再把方程两边平方，使原方程化为整式方程x 2=9，求出x 的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解.【详解】解：整理得：=x+1，方程两边平方，得：2x+10=x 2+2x+1，移项合并同类项，得：x 2=9，解得：x 1=3，x 2=-3，经检验，x2=-3不是原方程的解，则原方程的根为：x=3.故答案为：x=3.【点睛】本题考查了解无理方程，无理方程在有些地方初中教材中不再出现，比如湘教版.6．方程=0的解为__________．【答案】【解析】【分析】将原方程两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再由二次根式有意义的条件可确定x的最终结果．【详解】解：将原方程两边平方得（x−5）（x−4）＝0，则x−5＝0或x−4＝0，解得：x＝5或x＝4，∵x−5≥0，x−4≥0，解得：x≥5，∴x＝5，故答案为：x＝5．【点睛】本题主要考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．7．35x x--＝0的解是___．【答案】x＝5.【解析】【分析】把两边都平方，化为整式方程求解，注意结果要检验.【详解】方程两边平方得：（x﹣3）（x﹣5）＝0，解得：x1＝3，x2＝5，经检验，x2＝5是方程的解，所以方程的解为：x＝5.【点睛】本题考查了无理方程的解法，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．8．0=实数根的个数有___________个。

初中数学方程与不等式之无理方程全集汇编附答案解析(1)一、选择题1．1x =+的根是__________【答案】x ＝2【解析】【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x 2＝4，求出x 的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解．【详解】解：方程两边平方得，2x ＋5＝x 2＋2x ＋1，移项合并同类项得：x 2＝4，解得：x 1＝2，x 2＝−2，经检验x 2＝−2不是原方程的解，则原方程的根为x ＝2；故答案为x ＝2．【点睛】本题考查了解无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．2．2=的解是_______________．【答案】2x =【解析】试题分析：方程两边平方，得324x -=，解得2x =．代入验根可得方程的根为2x =． 考点：解无理方程．3．x =-的根是______．【答案】x=﹣2【解析】先把方程两边平方去根号后求解，再根据x ＜0，即可得出答案．解：由题意得：x ＜0，两边平方得：x+6=x 2，解得x=3（不合题意舍去）或x=﹣2；故答案为：x=﹣2．4．x =的解为_____．【答案】x=1【解析】分析：方程两边平方，将无理方程转化为整式方程，求出x 的值，经检验即可得到无理方程的解．详解：两边平方得：-x+2=x2，即（x-1）（x+2）=0，解得：x=1或x=-2，经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=1，故答案为x=1点睛：此题考查了无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要验根．5．方程______．x=【答案】1【解析】【分析】两边平方解答即可．【详解】原方程可化为：（x-1）2=1-x，解得：x1=0，x2=1，经检验，x=0不是原方程的解，x=1是原方程的解x=．故答案为1【点睛】此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答，要注意解答后一定要检验．6．0x=的解是____.x=-【答案】3【解析】【分析】根据解无理方程的方法可以解答此方程，注意无理方程要检验．【详解】x=，-，x∴3-2x=x2，∴x2+2x-3=0，∴（x+3）（x-1）=0，解得，x1=-3，x2=1，经检验，当x=1时，原方程无意义，当x=3时，原方程有意义，故原方程的根是x=-3，故答案为：x=-3．【点睛】本题考查无理方程，解答本题的关键是明确解无理方程的方法．7．0=实数根的个数有___________个。

初中数学方程与不等式之无理方程分类汇编及答案解析一、选择题 1．若等式3253103x -+=成立，则x 的值为__________．【答案】16【解析】【分析】将方程变形后两边同时平方即可求出x 的值.【详解】∵3253103x -+=∴3251033x -=-∴32593x -=∴2533x -=两边同时平方得，2x-5=27，解得，x=16.经检验，x=16是原方程的根.故答案为：16.【点睛】此题主要考查了解无理方程，注意：解无理方程一定要验根.2．方程322x -=的解是_______________．【答案】2x =【解析】试题分析：方程两边平方，得324x -=，解得2x =．代入验根可得方程的根为2x =． 考点：解无理方程．3．方程的解为 ．【答案】3．【解析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x 的值．解：两边平方得：2x+3=x 2∴x 2﹣2x ﹣3=0，解方程得：x 1=3，x 2=﹣1，检验：当x 1=3时，方程的左边=右边，所以x 1=3为原方程的解，当x 2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2=﹣1不是原方程的解．故答案为3．4．31x -=的解是x=_____．【答案】4【解析】分析：这是一道无理方程，解此方程量先将无理方程两边平方，转化为一元一次方程来解. 详解：两边平方得：x-3=1，移项得：x=4．经检验x=4是原方程的根．故本题答案为：x=4．点睛：本题由于两边平方，可能产生增根，所以解答以后要验根．5．对正实数a ，b 定义运算法则2a b a b *=+，若310x *=，则x 的值是______.. 【解析】【分析】根据新定义，将方程3*x=10转化，再解无理方程．【详解】根据新定义，方程3*x=10+6+x=10，移项，整理得两边平方，得（x-4）2=3x ，即x 2-11x+16=0，解得x=112±，经检验x=112±符合题意．【点睛】本题是一道新定义的题目，考查了无理方程，以及一元二次方程的解法，难度不大．6．如果关于x 1k 0+=没有实数根，那么k 的取值范围是___________________．【答案】1k >【解析】【分析】根据关于x 没有实数根，可知1-k ＜0，从而可以求得k 的取值范围．【详解】∵关于x=1-k没有实数根，∴1-k＜0，解得，k>1，故答案为：k>1．【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解答方法，无实数根应满足什么条件．7．=x的解是______．【答案】x=1【解析】【分析】将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．【详解】原方程变形为 4-3x=x2，整理得 x2+3x-4=0，∴（x+4）（x-1）=0，∴x+4=0或x-1=0，∴x1=-4（舍去），x2=1．故答案为x=1．【点睛】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．8．0=的解是_______________【答案】x=2【解析】【分析】由题意可知3-x=0或2-x=0，再结合二次根式有意义的条件即可求得答案.【详解】=，=，∴x=3或x=2，检验：当x=3时，2-x<0x=3舍去，∴x=2，故答案为x=2.【点睛】本题考查了解无理方程，熟练掌握解方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.9．的解是__________ ；【答案】x=0【解析】两边平方，得2x x =，分解因式，得()10x x -=，解得120,1x x ==，经检验，21x =不符合题意，舍去，所以原方程的解为x =0.故答案为x =0.10．＝3的解是_____．【答案】1【解析】【分析】移项到右边，再两边同时平方＝1，再两边进行平方，得x ＝1，从而得解.【详解】3，两边平方得，x +3＝9+x ﹣，移项合并得，＝6，1，两边平方得，x ＝1，经检验：x ＝1是原方程的解，故答案为1．【点睛】本题考查了学生对开方与平方互为逆运算的理解，利用转化的思想把二次根式方程化为一元一次方程是解题的关键.11．3=的解是______．【答案】4x =【解析】【分析】把两边平方，化为整式方程求解，然后检验即可．【详解】3=，∴2x+1=9，∴2x=8，∴x=4，经检验x=4是原方程的解．故答案为：x=4．【点睛】本题考查了无理方程的解法，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．12．x=的根是__________.【答案】2【解析】【分析】本题可先对方程两边平方，得到x+2=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【详解】原方程变形为：x+2=x2即x2−x−2=0∴(x−2)(x+1)=0∴x=2或x=−1∵x=−1时不满足题意.∴x=2.故答案为：2.【点睛】此题考查解无理方程，解题关键在于掌握方程解法.13．关于x的方程2k+=无实数根，k的取值范围是____________________.【答案】k<2【解析】【分析】原式整理后，根据二次根式的意义即可求解.【详解】=-，k2若方程无实数根，则k-2<0，即k<2，故答案为：k<2【点睛】此题考查无理方程的解，掌握由此根式有意义的条件时解答此题的关键.14．请将方程的解写在后面的横线上：______【答案】x=7【解析】【分析】先根据已知方程得出x-3=0或x-7=0，求出x 的值，再进行检验即可．【详解】解：，x-3=0或x-7=0，x=3或x=7，检验：当x=3x=3不是原方程的解；x=7是原方程的解，故答案为：x=7．【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程变成有理方程是解此题的关键，注意解无理方程一定要进行检验．15．1=的解为_____．【答案】x=2【解析】【分析】1=两边同时乘方，即可解答.【详解】方程两边平方得：x ﹣1＝1，解得：x ＝2，经检验x ＝2是原方程的解，故答案为：x ＝2【点睛】本题考点为无理方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.16．0=的解是________；【答案】4x =【解析】【分析】0=得30x -=或40x -=，解出x 的值并检验即可．【详解】0=∴30x -=或40x -=123,4x x ==经检验，3x =为原方程的增根，应舍去所以，原方程的根是4x =．故答案为：4x =．【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是掌握解法，并注意检验．17．根号内含有______________的方程叫做无理方程；_______________和_______________统称为有理方程．【答案】未知数的代数式 整式方程 分式方程【解析】【分析】根据有理方程和无理方程的概念解答.【详解】解：根号内含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，整式方程和分式方程统称为有理方程.故答案为：未知数的代数式；整式方程；分式方程.【点睛】本题考查了方程的分类，掌握有理方程和无理方程的概念是解题的关键.18．-x 的值相等，那么x=__________．【答案】-5【解析】【分析】两边平方得到230()x x +=-，求出方程的解，把此方程的解代入原方程检验即可得出答案．【详解】x =-，两边平方得：230()x x +=-，即2300x x --=， (6)(5)0x x -+=，(6)0x -=或(5)0x +=，解得125,6x x =-= ，检验：当5x =-5x ==-，当6x =6x =≠-，所以x =-5，故答案为：-5．【点睛】本题考查无理方程，解一元二次方程．能将无理方程转化成一元二次方程是解决此题的关键．需注意：因为一个数的算术平方根是非负的，所以一元二次方程的解中可能有不符合无理方程的解，结果一定要检验．19．下列方程中：a 、421x x +=；b 、32x x -+=；c 、31x =；d 、412x =属于高次方程的是_____．【答案】a ，d【解析】【分析】根据高次方程的定义判断即可．【详解】解：421x x +=是高次方程；32x x -+=是分式方程；31x =是无理方程；412x =是高次方程，故答案为：a ，d ．【点睛】本题考查了高次方程的定义：整式方程未知数次数高于2次的方程叫高次方程．20．0=的根是________________.【答案】x=2【解析】【分析】0=的左边进行计算,然后两边同时平方可得x 2-4=0;接下来,移项后利用直接开方法解这个一元二次方程得到方程的根,然后代入原方程中检验即可确定方程的根【详解】0=，0=,0,240x -=x 2=4,x=±2当x=-2时0=的根是x=2【点睛】此题考查无理方程,掌握无理方程的求解方法是关键;。

方程与不等式之无理方程图文解析一、选择题1．3=的解的是x =__________________．【答案】8x =【解析】【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求出x 的值，然后进行检验.【详解】两边平方得：x+1=9，解得：x=8．检验：x=8是方程的解．故答案为x=8．【点睛】本题考查的知识点是平方根的定义，解题的关键是熟练的掌握平方根.2．方程(x 30-=的解是______．【答案】x=2【解析】【分析】求出x 0=，求出即可．【详解】解：(x 30-=Q ，2x 0∴-≥，x 2∴≤，x 30∴-≠，0=Q ，x 2=，故答案为：x 2=．【点睛】0=是解此题的关键．3．若关于x 的方程103=恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．【答案】0a =或316a ≥-【分析】，∴y ≥0，则原方程可化为：211023ay y +-=， 根据方程只有一个正根，即可解决问题．【详解】y ,∴y ≥0,则原方程可化为：211023ay y +-=， ∵方程恰有两个不同的实数解，∴△=0或a =0或a >0(此时方程两根异号,y 只有一个正根,x 有两个不同的实数解) 当△=0时,14043a +=， 解得：316a =-， 故实数a 的取值范围是：0a =或316a ≥-， 故答案为：0a =或316a ≥-【点睛】 考查无理方程，难度一般，关键是掌握用换元法求解无理方程.4．5=的根为_____．【答案】﹣2或﹣7【解析】【分析】把无理方程转化为整式方程即可解决问题．【详解】两边平方得到：，，∴（x+11）（2-x ）=36，解得x=-2或-7，经检验x=-2或-7都是原方程的解．故答案为-2或-7【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是学会把无理方程转化为整式方程．5．14+⋅⋅⋅=的解是______．【解析】【分析】设()11111y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】设 ()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++L ， ∴1111111112894y y y y y y -+-++-=+++++L ， 即11194y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，即y 2+9y-36=0，∴y=-12或y=3，，，∴x=9，故答案为：9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111y y y y =-++的应用.6．0的根是____．【答案】x=1【解析】【分析】将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．【详解】原方程变形为x （x-1）=0，∴x=0或x-1=0，∴x=0或x=1，∴x=0时，被开方数x-1=-1＜0，∴x=0不符合题意，舍去，∴方程的根为x=1，故答案为x=1．本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．7．若等式3253103x -+=成立，则x 的值为__________．【答案】16【解析】【分析】将方程变形后两边同时平方即可求出x 的值.【详解】∵3253103x -+=∴3251033x -=-∴32593x -=∴2533x -=两边同时平方得，2x-5=27，解得，x=16.经检验，x=16是原方程的根.故答案为：16.【点睛】此题主要考查了解无理方程，注意：解无理方程一定要验根.8．方程2111x x x +-=+-的实数解是___________。