等和线

平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等（文本版）感谢您选择使用我们的服务。

以下是关于平面向量的等和线、等差线、等积线和等商线的文本版文档：平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等等和线等和线是指平面上满足两个向量之和为定向向量的一组点。

设向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是平面上的两个向量，其和为定向向量$\vec{c}$。

那么$\vec{r}$满足$\vec{r}=\vec{a}+\vec{b}$就是等和线上的一点。

等和线上的所有点组成了一个线性子空间，可以表示为$\vec{r}=\vec{a}+\vec{b}$的形式。

等差线等差线是指平面上满足两个向量之差为定向向量的一组点。

设向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是平面上的两个向量，其差为定向向量$\vec{c}$。

那么$\vec{r}$满足$\vec{r}=\vec{a}-\vec{b}$就是等差线上的一点。

等差线上的所有点组成了一个线性子空间，可以表示为$\vec{r}=\vec{a}-\vec{b}$的形式。

等积线等积线是指平面上满足两个向量之积为定向向量的一组点。

设向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是平面上的两个向量，其积为定向向量$\vec{c}$。

那么$\vec{r}$满足$\vec{r}=\vec{a}\cdot\vec{b}$就是等积线上的一点。

等积线上的所有点组成了一个线性子空间，可以表示为$\vec{r}=\vec{a}\cdot\vec{b}$的形式。

等商线等商线是指平面上满足两个向量之商为定向向量的一组点。

设向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是平面上的两个向量，其商为定向向量$\vec{c}$。

那么$\vec{r}$满足$\vec{r}=\frac{{\vec{a}}}{{\vec{b}}}$就是等商线上的一点。

等商线上的所有点组成了一个非线性子空间。

希望这份文档能够帮助您理解平面向量的等和线、等差线、等积线和等商线。

等和线向量
等和线是指在平面直角坐标系中满足某一条件的点的集合，例如两点间距离相等的点构成的集合就是一个等和线。

在向量中，等和线也有着重要的应用。

对于一个平面向量 $vec{a}=(a_x,a_y)$，其等和线可以表示为${ vec{r}=(x,y) mid x+y=k }$，其中 $k$ 为常数。

也就是说，等和线上的所有点到原点的向量 $vec{r}$ 都满足
$vec{r}cdotvec{a}=kcdot|vec{a}|^2$，其中 $cdot$ 表示点积，$|vec{a}|$ 表示向量 $vec{a}$ 的模长。

换言之，等和线上的任意一点 $vec{r}$，其到原点的向量$vec{r}$ 与向量 $vec{a}$ 的夹角 $theta$ 满足
$costheta=dfrac{k}{|vec{r}|cdot|vec{a}|}$，其中
$|vec{r}|$ 表示向量 $vec{r}$ 的模长。

因此，等和线可以用来表示平面上与向量 $vec{a}$ 的夹角相等的所有点的集合。

等和线的概念在物理、工程、计算机图形学等领域都有着重要的应用。

例如在物理学中，等和线可以描述电场强度、磁场强度等物理量的分布。

在计算机图形学中，等和线可以用来绘制二次曲线和三次曲线，从而实现平滑的曲线和图形。

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等和线定理一、等和线定理 （1）平面向量共线定理已知，若，则三点共线；反之亦。

OC OB μλ+=OA 1=+μλC B A 、、（2）等和线平面内一组基底及任一向量，，若点p 在直线AB 上或在平OB OA ,OP OB OA OP μλ+=行于AB 的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平k =+μλ行的直线称为等和线。

1.当等和线恰为直线AB 时，k 等于12.当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1,0(∈k 3.当直线AB 在O 点和等和线之间时， ),1(+∞∈k 4.当等和线经过O 点时k 等于0，5.若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数6. 定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比二、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达 式及平方和时，可以用等值线法。

三、解题步骤1、确定等值线为1 的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；利用等和线求向量积例题精讲例1设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于()A.OM→B ．2OM→C ．3OM→D ．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB = ,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a = ,AD b = ,则AG =_______例4在△ABC 中，D 是△ABC 所在平面内一点,且AD →＝13AB →＋12AC →,延长AD 交BC 于点E ,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是BE 边的中点,若AB →＝a ,AC →＝b ,则AO →＝()A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 2．(2019·济南调研)在△ABC 中,AN →＝14NC →,若P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为()A ．-4B ．-1C ．1D ．43．在△ABC 中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为()A ．911B ．511C ．311D ．2114．如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A ．12AC →＋13AB→B ．12AC →＋16AB→C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A ．－12B ．1C.32D ．－37．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则APPM＝________．10．点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值；11．在三角形ABC 中,AM ﹕AB =1﹕3,AN ﹕AC =1﹕4,BN 与CM 相交于点P ,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP .12．已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,求yx 41+的最小值.PABCMN微信公众号：高中数学学习资料第5页答案例1答案：D 解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →例2解：因为E 为线段AO 的中点，所以BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋1221(⨯BD →)=12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG xAE x AC∴=+- , 1133AE AB a == ,AC a b=+ 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AFλλ∴=+-1144AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-……………………………②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 例4解：设AE →＝xAD →，因为AD →＝13AB →＋12AC →，所以AE →＝x 3AB →＋x2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，所以x 3＋x 2＝1，解得x ＝65.又AE →＝λAB →＋μAC →.所以λ＝x 3＝25，μ＝x 2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D 解析：因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .2、答案：B解析：根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.3、答案：C 解析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP m AB AC m AB AN m AB AN=+=+⨯=+8111m ∴+=311m ∴=4、答案：B 解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.5、答案：C 解析：如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6、答案：A 解析：AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因此E ，M ，F 三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＋→＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝23，＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＋→＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝23，＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，因为A 、P 、M 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP →＝λAM →.又知M 为BC 的中点，所以AP →＝12λ(a ＋b )．因为B 、P 、N 三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP →＝μBN →，又AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋μBN →＝AB →＋μ(AN →－AB →)＝AB →＋－(1－μ)a ＋23μb ，所以12λ(a ＋b )＝(1－μ)a ＋23μb ，μ＝12λ，＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，PM →＝15AM →.所以|AP →|∶|PM →|＝4∶1，即AP PM＝4.10、证明： 因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+ 1OP xOA OA OP x =∴= 1OQ yOB OB y=∴= 111111()()3333OG OA OB OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y∴+=113x y ∴+=11x y ∴+为定值311、解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++= ,AN ﹕AC=1﹕4,b AC AN 4141==1444y y x AP xAB AC xa xa b -∴=+=+=+ ……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++= ∵AM ﹕AB=1﹕3∴a AB AM 3131==，，133AP a b a b μλλλ-∴=+=+ ……………………………②由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩81,11x y y +=∴= 321111AP a b ∴=+ 12. 点P 落在ABC 的边BC 上∴B，P,C 三点共线AP xAB y AC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=++=++ x>0,y>040,0y x x y ∴>>由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y x x y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y += 12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9。

等和线的原理和应用1. 什么是等和线？等和线是指平面上满足一定条件的点的集合，连接这些点形成的曲线具有特殊的性质。

这条曲线上的任意一点到两个固定点的距离之和等于一个常数，这个常数称为等和线的和。

等和线在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

2. 等和线的原理等和线的原理可以从几何和数学的角度解释。

假设有两个固定点A和B，并且它们之间的距离为d。

当平面上的一点P到点A的距离为x，到点B的距离为y 时，等和线上的任意一点P满足以下条件：x + y = d这个等式可以表示平面上满足等和线条件的所有点P的集合。

3. 等和线的应用3.1 数学中的应用在数学中，等和线经常用于解决几何问题和最优化问题。

例如，在三角学中，等和线可以用于解决已知三角形两边和夹角，求第三边的问题。

在最优化问题中，等和线可以用于确定一条曲线或曲面上具有相同值的点，从而找到函数的最大值或最小值。

3.2 物理中的应用等和线在物理学中也有广泛的应用。

在电力传输中，等和线可以用于描述电场的强度和方向分布情况。

在热传导中，等和线可以用于表示温度分布情况。

在流体力学中，等和线可以用于描述流体的速度和压力分布情况。

3.3 工程中的应用等和线在工程中也有重要的应用。

在电路设计中，等和线可以用于优化电路的布局，减少电磁干扰。

在管道设计中，等和线可以用于确定最佳的管道走向，减少能量损耗。

在无线通信中，等和线可以用于确定信号的覆盖范围和强度分布情况，优化网络的布置。

4. 总结等和线是一种具有特殊性质的曲线，满足任意一点到两个固定点的距离之和为常数。

等和线在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

在数学中，等和线用于解决几何问题和最优化问题。

在物理中，等和线用于描述电场、温度和流体的分布情况。

在工程中，等和线用于优化电路布局、管道设计和无线通信网络的布置。

对等和线的研究和应用有助于解决实际问题，提高效率和性能。