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立体几何专题第一讲线面平行的判定教学设计一、教材分析直线与平面平行的判定是高考的一大重难点，常在解答题19题（1）小题中出现，分值6分。
考纲要求：以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理。
二、学情分析授课班级为高三理科，学生在必修二中已经对直线与平面平行的判定定理做了初步的学习，掌握了基本的证明方法，并且在一轮复习中也对知识做了系统的复习，本节课立足于高三二轮复习展开，以方法的归纳和解题思路的梳理为主。
三、目标分析1、进一步理解线面平行的判定定理以及定理的本质2、掌握常用的辅助线作法和证明方法3、能够利用所学方法进行线面平行的证明四、重难点分析1、重点：常用证明方法的归纳2、难点：对判定定理本质的理解和常用辅助线的作法五、教学过程设计（一）学习目标分析1、介绍考纲要求：（1）以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理。
2、回顾近6年高考全国卷对本节内容的考察情况：2017年新课标卷Ⅱ 19（1）2016年新课标卷Ⅲ 19（1）2014年新课标卷Ⅱ 18（1）2013年新课标卷Ⅱ 18（1）3、学习目标：（1）理解线面平行的判定定理以及定理的本质（2）掌握常用的辅助线作法和证明方法（3）能够利用所学方法进行线面平行的证明（师生活动：本环节由教师利用多媒体向学生进行介绍，学生听讲。
）【设计意图：借助多媒体对考纲要求、高考轨迹、学习目标的展示，使学生了解高考的方向，明确学习目标。
】（二）知识梳理问题1：线面平面的判定定理是什么？问题2：你认为证明线面平行的本质是什么？问题3：线面平行的常用证明方法有哪些？（师生活动：本环节为预习作业的检查，教师提出问题，随机抽取学生回答。
）【设计意图：学生通过课前对以上3个问题的思考，培养学生的自学能力和归纳总结能力。
1.2.2空间中的平行关系（线线平行）一、课标导航：1.认识和理解空间平行线的传递性；2.会证明和应用空间等角定理3.初步了解空间四边形及其画法二、重点、难点：重点：理解空间平行线的传递性、等角定理难点：等角定理的证明三、教学过程：1、情境导入：请同学们观察我手中的三棱柱或教室的墙角线，思考一下空间中两条直线的位置关系有哪些？能否举例说明？2、初中知识回顾：（1）平行线的定义：能否说空间中无公共点的两条直线是平行直线？（2）平行公理：3、形成新知：【问题1】在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线的位置关系如何？这一性质能推广到空间中吗？试举例说明（1）基本性质4：小试牛刀：①在长方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F 分别为B1D1和D1B 的中点，长方体的各棱中与EF 平行的直线的条数有_ _条。
②判断正误：空间四条直线，如果a∥b，c∥d，且 a∥d，那么b∥c．【问题2】在同一个平面内,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角的大小关系如何？你还记得如何证明吗？这一结论能推广到空间中吗？已知：求证：证明：【问题1、证明两角相等的常用方法有哪些？问题2、证明三角形全等的方法有哪些？通过这两个问题分解难度，突破难点。
】（2）等角定理：思考与讨论：（借助同学们手中的笔或纸棒，小组讨论）如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的关系又如何呢？结论：D1C1B1A1D CB AacbFEDB【问题3】空间中，如果∠ABC=∠A 1B 1C 1，且AB ∥A 1B 1，则BC ∥B 1C 1对吗？小试牛刀：已知：AA 1, BB 1, CC 1 不共面且, 求证：△ABC ≌ △A 1B 1C 1.【问题4】依次首尾相接的四条线段必共面，对吗？ （3）空间四边形的有关概念：①空间四边形： ②空间四边形的顶点： ③空间四边形的边： ④空间四边形的对角线：【问题5】空间四边形的四个顶点可以共面吗？空间四边形的对角线所在直线是什么位置关系? 你能画出一个空间四边形吗? 4、典型例题：例1：已知：如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形。
《直线与平面平行的判定》教案【学习目标】1.通过研究分析直线与平面平行的生活实例，直观感知直线与平面平行的条件，再通过图形演示等实际操作，进一步确认直线与平面平行的条件，从而归纳出直线与平面平行的判定定理。
2.通过动手操作，会用图形语言、符号语言表达定理，会用自己的语言表达定理内容要点。
3.能运用线面平行的判定定理证明简单的线面平行问题。
从中体会空间问题转化为平面问题来解决的化归与转化的思想方法，进一步提高空间想象、抽象概括和推理论证能力。
【评价任务】1．达成目标1：完成思考1、思考2、活动1、活动2、活动3；2．达成目标2：完成思考3、练习；3．达成目标3：完成例1、变式1、变式2、思考题；【学习过程】资源与建议1．直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础。
2．本主题的学习按以下流程进行：线面平行判断定理的归纳→线面平行判断定理的理解→线面平行判断定理的应用。
3．本主题的重点是对直线与平面平行的判定定理的本质的理解（线线平行判定线面平行）；难点是直线与平面平行的判定定理的归纳，寻找平行线，用数学符号表达推理论证过程。
你可以通过完成思考3、例1和变式来突破本节课的难点。
需要准备的知识：复习直线与平面的位置关系。
一、复习回顾，引出课题思考1：在空间中，直线与平面有哪几种位置关系？思考2：是否有更方便、更易于操作的判定线面平行的方法？二、直观感知，归纳定理ba活动1：“直观感知”直线与平面平行的条件（1）观察开门与关门： ①门扇竖直的两边是什么位置关系？②当门扇绕着一边转动时，此时门扇转动的一边与门框所在的平面是什么位置关系？（2）请同学们将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察： ①封面边缘所在直线a 与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？ ②桌面内有与a 平行的直线吗？评价任务：通过对开关门扇、翻书活动的直观感知，能比较准确地回答有关问题。
活动2：“操作确认”直线与平面平行的条件探究：如果平面α外的直线a 与平面α内的直线b 平行.（1）两直线是否共面？ α（2）直线a 与平面α是否有公共点？活动3：归纳、理解定理请同学们根据以上感知，归纳总结出直线与平面平行的判定定理：_____________________________________________________________________思考3：判定定理中包含了几个条件？定理中的关键是什么？蕴含了什么数学思想？ 包含条件： 定理关键： 数学思想： 评价任务： 默写定理： 图形表示定理： 符号表示定理：三、运用定理，尝试练习练习.如图，长方体ABCD A B C D ''''-中，找出满足下面条件的平面。
直线与平面平行的性质一、教学目标 1知识与技能通过教师的适当引导和学生的自主学习，使学生由直观感知获得猜想，经过逻辑论证，推导出直线与平面平行的性质定理，并掌握这一定理． 2过程与方法1通过直观感知和操作确认的方法，发展几何直觉、运用图形语言进行交流的能力； 2体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程； 3通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性． 3情感、态度与价值观通过主动参与、积极探究的学习过程，提高学生学习数学的自信心和积极性，培养合作意识和交流能力，领悟化归与转化的数学思想，提高学生分析、解决问题的能力． 二、教学重点与难点教学重点：直线与平面平行的性质定理．教学难点：综合应用线面平行的判定定理和性质定理． 三、授课类型：新授课 四、教学方法：师生合作探究 五、教具准备：三角板、PPT 六、课时安排：1课时 七、教学过程αα////a b a b ⇒⎪⎭⎬⊂平行的相互转化做铺垫．【新课引入】 思考：1如果一条直线a 与平面α平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？2在平面α内，哪些直线与直线a 平行？3在什么条件下，平面α内的直线与直线a 平行呢？通过演示实验，让学生观察、发现规律，并对发现的结论进行归纳引导学生结合直观感知，层层递进，逐步探索，体会数学结论的发现过程．学生根据问题进行直观感知，进而提出合理猜想．并逐步探索，认真思考，画出相应图形，进行观察、感知、猜想．发现：过直线a 的某一平面，若与平面α相交，则直线a 就平行于这条交线已知：//a α，a β⊂，b αβ=．求证：//a b ． 证明： 因为 b αβ=，所以 b α⊂．又因为 //a α， 所以 a 与b 无公共点． 又因为ββ⊂⊂b a ,， 所以 b a //． 引导学生得出猜想，形成经验性结论，体会与感受数学结论的发现与形成过程：直观感知→操作确认→逻辑证明→形成经验．要求学生用语言描述发现的结论，并给出证明．【直线与平面平行的性质定理】一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα要求学生总结归纳，并能用文字语言、符号语言图形语言描述直线与平面平行的性质定理，为学生正确使用定理打下基础．思想方法：【定理探微】1定理可以作为直线与直线平行的判定方法； 2定理中三个条件缺一不可．．．．； 3提供了过已知平面内一点作与该平面的平行线相平行的直线的方法，即：辅助平面法．明确定理的条件和结论及定理的用途．【例题讲解】例1（教材P59例3） 如图所示的一块木料中，棱BC 平行于面''A C ．（1）要经过面''A C 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？ ★思路点拔1．怎样确定截面？过点P 所画的线应怎样画？ 2．“线面平行” 与“线线平行”之间有怎样的联系？ ★解答过程解：（1）在平面''A C 内，过点P 作直线EF ，使//''EF B C ，并分别交棱''A B ，''C D 于点E ，F ．连接BE ，CF ，则EF ，BE ，CF 就是应画的线．（2）因为棱BC 平行于平面''A C ，平面'BC 与平面''A C 交于''B C ，所以//''BC B C ，由（1）知，//''EF B C ，所以，//EF BC ，因此引导学生分析画截面的关键是确定截面与上底面的交线，怎样过P 点作BC 的平行线是作图的难点．学生经过认真思考，运用所学知识找到作图方法，体会到解决问题后成功的喜悦，认识到数学强用数学的意识．思想方法：////EF BCEF AC EF AC BC AC ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面BE ，CF 显然都与平面AC 相交．例2（教材P59例4）已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面． ★思路点拔1．文字性命题的解题步骤是什么2．“线面平行”与“线线平行”之间有怎样的联系？ ★解答过程已知：如图所示,已知直线a 、b ，平面α， 且//a b ，//a α，a α⊄，b α⊄． 求证：//b α． 证明：过a 作平面β，使c αβ=．因为//a α，a β⊂，c αβ=，所以//a c ．又因为//a b ，所以//b c ． 因为c α⊂，b α⊄，所以//b α．引导学生分析问题的条件与结论，并结合图形写出己知和求证．通过分析寻找解题途径．本题的解题关键是实现线线平行与线面平行的转化．通过教师的板书，规范解题步骤与格式．【课堂练习】1如图，α∩β=CD ，α∩γ=EF ，β∩γ=AB ，AB ∥α 求证：CD ∥EF ．学生独立完成练习，检查学习效果，使学生掌握证明线面平行问题的方法、步骤与格式，提高综合运用所学知识的能力．2如图，ABCD 是平行四边形，点PPC是平面ABCD 外一点，M 是中点，在DM 上取一点G ，过G和GH ， AP 的平面交平面BDM 于求证：//PA GH练习2是证明线线平行问题，本题需作辅助线，比练习1要难，因此组织同学之间进行讨论，通过合作学习、寻找解题途径，最后选择学生上黑板板演证明过程，教师最后进行点评．【小结】（1）直线与平面平行的性质定理的内容及应用（2）直线与平面平行的性质定理与判定定理的区别和联系小结回顾：注意线面平行的性质定理与判定定理联系和区别，“线面平行”与“线线平行”问题是互相联系的，在解题时要善于将问题进行转化．【板书设计】直线与平面平行的性质定理一、线面平行的性质定理二、例题讲解三、课堂练习1.文字语言例1 练习12.图形语言例2 练习23.符号语言【布置作业】教材P62 习题A组5、6【教学反思】。
教学设计表
点理及性质定理回答问题生注意
力，强化
要点内
容。
典例分析00:14:27-00:26:43
理论知识
再具体题
目中如何
应用
例1正方形
ABCD与正方形
ABEF所在平面相
交于AB，在AE，
BD上各有一点
P，Q，且AP＝DQ.
求证：PQ∥平面
BCE. 学生思考
回答，一
题多解
超链接几
何画板使
图形更加
清晰准
确，幕布
设置逐步
揭晓答
案，批注
指出解答
要点。
随堂演练00:26:44-00:44:52
学生内化
知识，形
成能力
练习1：(2016·福
建四地六校联考)
一个多面体的直
观图和三视图如
图所示(其中M，
N分别是AF，BC
中点)
求证：MN∥平面
CDEF.
练习2；如图所
示，三棱柱ABC
－A1B1C1，底面
学生自主
探究，展
台展示学
生答案，
学生自主
讲解，实
现一题多
解。
使用计时
器功能加
快解题节
奏，展台
展示学生
答案，自
主讲解，
明确书写
要点，指
出学生解
答中出现
的问题。
为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?
课堂小结00:43:53-00:45:45 帮助生整
理本课要
点
总结本节课知识
展示整理
知识框架。
1.2.2直线与平面平行（一）教学目标1.知识与技能目标：掌握空间直线与平面的位置关系；掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理(本节只讲判定定理)2.过程与方法目标：通过本节学习，进一步培养学生空间想象能力，动手能力。
概括总结能力，逻辑推理能力，进而形成科学的思维方法和良好的思维品质3.情感态度与价值观目标：通过教学活动，使学生不断由感性认识上升到理性认识，体会获得知识的愉悦，提高学习兴趣，树立学好数学的信心（二）教学重点与难点教学重点是线面平行的判定定理与线面平行的性质定理，教学难点是如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线面平行的判定定理和性质定理。
并掌握这些定理的应用。
（三）教学方法与教学手段教学方法：结合教材的特点，并充分调动学生学习的积极性，使课堂教学生动、高效，教学中采用“师生互动，探究式”的教学方法。
本节课内容是在学生学习了空间直线平行的基础上展开的，同时又为学习平面与平面平行做准备，有着承上启下的重要作用。
教学中，引导学生有平面内，直线与直线的位置关系，总结出空间中直线与平面的位置关系，教师加以补充讲解。
在证明直线与平面平行的判定定理时，使用了反正法。
这是立体几何中的重要证明方法。
，教学中注意渗透其数学思想，使学生进一步熟悉这些方法。
对于例题与练习题，引导学生结合利用所学知识解决。
在教学过程中，突出以学生为主体，注重学生的思维发展，使学生积极投入进各个教学环节，学有所得。
教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。
（四）教学过程复习导入问题：1上节课我们学习了空间中的第一种平行关系––线线平行，下面找同学叙述一下平行线的定义（强调：同一平面内，没有公共点）设计意图：通过复习平行线定义，为学习线面平行做准备，也起到温故知新的目的。
2同一平面内的两条直线还有什么位置关系，你是怎么判断的呢？设计意图：引导学生通过公共点个数判断直线位置关系，逐步引导学生用同样的方法判断直线与平面的位置关系。
《高一》年级《数学》学科《必修2》部分课案课题空间中的平行关系；课型（新课）；第一课时；主备者（李再军）审核者（李再军）【学习目标】知识与技能：掌握平面的基本性质4及等角定理的内容。
能力与方法：能认识和理解空间平行线的传递性，会证明空间等角定理。
情感态度与价值观：用联系的观点分析、解决问题，培养空间想象能力和抽象概括你能力，积极思考，激情参与，享用学习成功的快乐。
【重点难点】重点：线、线平行及平行线的传递性。
难点：如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线线，线面和面面平行的判定和性质定理并掌握这些定理应用。
（一）预习案《使用说明＆学法指导》1、用20分钟左右的时间阅读探究课本的基础知识、自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2、完成教材助读的有关问题，迅速完成预习自测题；3、将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处。
知识梳理,1，过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行2，基本性质4：__________________________________________.,3，等角定理: _____________________________________________(二)探究案例1：已知：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.例2：如图所示.已知E 、E 1分别为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AD 、A 1D 1的中点，求证：∠C 1E 1B 1=∠CEB.（三）测试案：1.有两个不在同一平面内的三角形，如果它们的边两两对应平行，那么这两个三角形 （ ）A. 相似B. 全等C. 只有一个角对应相等D. 面积相等2.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个空间四边形的各边中点，所得的四边形是 （ ）A. 梯形B. 矩形C. 正方形D. 平行四边形3. M 、N 是空间四边形ABCD 的边AB 、CD 的中点，连结MN ，则下列结论成立的是 （ ）A. 2AC BD MN +=B.2AC BD MN +>C . 2AC BD MN +< D. 以上都不对4. 已知直线a ∥c,b ∥c ，则下列结论正确的是 （ ）A. a,b,c 三条直线共面B. a ∥bC. a,b 可以相交D. a,b 是异面直线5.在四面体ABCD 中，若E 、F 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则（ ）A. EF ∥BDB. EF ∥ACC. EF 和BD 是异面直线D. EF 和CD 相交6. 如图，在长方体木块ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为B 1O 和C 1O 的中点，长方体的各棱中与EF 平行的有________条.7. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中△AB 1D 1与△C 1BD 的关系是________.B CC 1 A A （6题图） A C A 1 （7题。
空间中的平行关系（二）直线和平面平行教学设计一、教学内容分析:本节教材选自人教B版数学必修②第二章第二节，本节内容在立几学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。
本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认合情推理，不要求证明归纳出直线与平面平行的判定定理。
本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。
二、学生学习情况分析：任教的学生在年级属中等程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。
三、设计思想本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。
四、教学目标通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。
培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
五、教学重点与难点重点:判定定理的引入与理解，难点:判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。
六、教学流程设计:七、教学过程设计（一）知识准备、新课引入提问1：空间两条直线的位置关系，若其中一条直线不动，另一条直线延展成平面，能得到直线和平面有什么样的位置关系呢？我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a⊄α指出直线与平面平行是本节课主要研究的内容[设计意图：通过提问，学生复习空间直线的位置关系并归纳空间直线与平面位置关系引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。
呼和浩特市第一中学“361”教学模式高一年级数学学科新授课导学案
班级高一（）班姓名编号：人教版必修2第1章 1.2.2
课题： 1.2.2空间中的平行关系--面面平行
编制人: 王亚茹审定人：郭新平
【学习目标】
1.通过自主学习知道平面与平面的位置关系。
2.通过微课学习，理解平面与平面平行的判定定理及其符号语言。
3.熟练运用面面平行判定定理及其推论。
【重难点】
平面与平面平行的判定定理及其推论的运用
①同学们自主探究下列问题，然后小组讨论，深化对知识的理解；
②教师巡视，发现亮点，及学生易错点，制定精讲策略
一、基础知识探究（回顾+新知）
1、直线与直线平行
2、直线与平面平行的判定定理？常用的证明方法有哪些？
3、平面与平面平行如何判定？
二、知识综合运用探究
知识点一：两平面平行的判定定理
【例1】已知三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF//平面ABC
1、已知点P 为△ABC 所在平面外一点，321,G G G ，分别为△PAB,△PBC,△PAC 的重心
（1） 求证：平面321G G G //平面ABC
（2） 求△321G G G 与△ABC 的面积比。
1.2.2 空间中的平行关系(4)——平面与平面平行自主学习学习目标1．掌握两平面平行的定义、图形的画法以及符号表示．2．理解两平面平行的判定定理及性质定理，并能应用定理．证明线线、线面、面面的平行关系．自学导引1．两个平面平行的定义：_______________________________________________________ _________________.2．平面与平面平行的判定定理：_______________________________________________________ ___.图形表示：符号表示：_______________________________________________________ _________________.推论：如果一个平面内有两条____________分别平行于另一个平面内的__________，则这两个平面平行．3．平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么____________________________．符号表示：若平面α、β、γ满足________________________，则a∥b.上述定理说明，可以由平面与平面平行，得出直线与直线平行．对点讲练知识点一平面与平面平行的判定例1已知E、F、E1、F1分别是三棱柱A1B1C1—ABC棱AB、AC、A1B1、A1C1的中点．求证：平面A1EF∥平面E1BCF1.点评要证平面平行，依据判定定理只需要找出一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面即可．另外在证明线线、线面以及线面平行的判定线面平行面面平行时，常进行如下转化：线线平行―-------→面面平行的判定面面平行．――------→变式训练1 正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别为棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.知识点二用面面平行的性质定理证线面平行与线线平行例2已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD棱AB、PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.点评该题充分体现了线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化关系．一般来说，证线面平行时，若用线面平行的判定定理较困难，改用面面平行的性质是一个较好的想法．变式训练2如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD上，且B′E＝BF.求证：EF∥平面BB′C′C.知识点三综合应用例3如图所示，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.那么，在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？证明你的结论．点评解答开放性问题，要结合题目本身的特点与相应的定理，大胆地猜想，然后证明．变式训练3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足______时，有MN∥平面B1BDD1.1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：2．注意两个问题(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面.课时作业一、选择题1．设平面α∥平面β，直线α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在惟一一条与a平行的直线2．对于直线m、n和平面α，下列命题中是真命题的是( ) A．如果α，α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果α，α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n3．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( ) A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l24．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面5．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是( )A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内二、填空题6．下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m，n为直线，α，β为平面)，则此条件应为________．⎭⎪⎬⎪⎫ααm∥βn∥β α∥β7．平面α∥平面β，△ABC 和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________．8．下列命题正确的是________．(填序号)①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．三、解答题9．已知两条异面直线BA 、DC 与两平行平面α、β分别交于B 、A 和D 、C ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．求证：MN∥平面α.10.如图所示E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.【答案解析】自学导引1．没有公共点的两个平面2．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行β，β，a∩b＝P，a∥α，b∥αβ∥α相交直线两条直线3．它们的交线平行α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b对点讲练例1证明∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC.平面E1BCF1，平面E1BCF1，∴EF∥平面E1BCF1.∵A 1E1EB，∴四边形EBE1A1是平行四边形，∴A1E∥E1B.∵A1平面E1BCF1，E1平面E1BCF1，∴A1E∥平面E1BCF1.又∵A1E∩EF＝E，∴平面A1EF∥平面E1BCF1.变式训练1 证明如图，连接A 1C 1，AC.设A 1C 1分别交MN 、EF 于P 、Q ， AC 交BD 于O. 连接AP ，OQ ，B 1D 1. 在矩形A 1ACC 1中，PQ∥AO，∵M、N 、E 、F 分别是所在棱的中点， ∴MN 12D 1B 1，EF 12D 1B 1，∴P、Q 分别是四等分点，∴PQ＝12AC ，又∵AO＝12AC ，∴PQ AO.∴四边形PQOA 为平行四边形，∴AP∥OQ. ∴AP∥平面EFDB.又∵MN∥B 1D 1，EF∥B 1D 1， ∴EF∥MN，∴MN∥平面EFDB ， ∴平面AMN∥平面EFDB.例2 证明 (1)取DC 中点Q ，连接MQ 、NQ.∵NQ 是△PDC 的中位线，∴NQ∥PD.平面PAD ，平面PAD ，∴NQ∥平面PAD.∵M 是AB 中点，ABCD 是平行四边形， ∴MQ∥AD，平面PAD ，平面PAD.从而MQ∥平面PAD.∵MQ∩NQ＝Q ，∴平面MNQ∥平面PAD.平面MNQ ，∴MN∥平面PAD. (2)∵平面MNQ∥平面PAD ， 平面PEC∩平面MNQ ＝MN ， 平面PEC∩平面PAD ＝PE.∴MN∥PE.变式训练2 证明 方法一 连接AF 延长交BC 于M ，连接B′M. ∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB，∴AF MF ＝DF BF. 又∵BD＝B′A，B′E＝BF ， ∴DF＝AE.∴AF FM ＝AEEB′.∴EF∥B′M， 又平面BB′C′C，面BB′C′C，∴EF∥平面BB′C′C.方法二 作FH∥AD 交AB 于H ，连接HE. ∵AD∥BC，∴FH∥BC， 又平面BB′C′C ，平面BB′C′C，∴FH∥平面BB′C′C. 由FH∥AD，可得BF BD ＝BHBA，又BF ＝B′E，BD ＝AB′，∴B′E B′A ＝BHBA ，∴EH∥BB′，平面BB′C′C，面BB′C′C，∴EH∥平面BB′C′C，又EH∩FH＝H ， ∴平面FHE∥平面BB′C′C，平面FHE ，∴EF∥平面BB′C′C. 例3 解如图所示，当F 是棱PC 的中点时，BF∥平面AEC ， 证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ， 则FM∥CE.①由EM ＝12PE ＝ED 知，E 是MD 的中点，连接BM 、BD ，设BD∩AC＝O ，则O 为BD 的中点，所以BM∥OE.② 又BM∩FM＝M ，③由①②③可得，平面BFM∥平面AEC. 又平面BFM ，所以BF∥平面AEC.变式训练3 M∈线段FH 解析 ∵HN∥BD，HF∥DD 1， H N∩HF＝H ，BD∩DD 1＝D ， ∴平面NHF∥平面B 1BDD 1， 故线段FH 上任意点M 与N 连接， 有MN∥平面B 1BDD 1. 课时作业1．D [直线a 与B 可确定一个平面γ， ∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b. 由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．因为过点B 有且只有一条直线与已知直线a 平行，所以b 惟一．] 2．C [若α，α，m ，n 是异面直线，如图(1)所示，此时n 与α相交，故A 不正确．B 项若α，α，m ，n 是异面直线，如图(2)所示，此时m 与n 为异面直线，而n 与α平行，故B 不正确．D 项如果m∥α，n∥α，m ，n 共面，如图(3)所示，m 与n 可能相交，故D 不正确．]3．B如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥面A1B1CD，CD∥面A1B1BA，但面A1B1CD与面A1B1BA相交，故A不正确；取AD中点为E，BC中点为F，则EF∥面ABB1A1，C1D1∥面ABB1A1，但面ABB1A1与面EFC1D1不平行，故C不对；虽然EF∥AB且C1D1∥面A1B1BA，但是面EFC1D1与面A1B1BA 不平行，故D不正确．对于选项B，当l1∥m，l2∥n且α，α时，有l1∥α，l2∥α.又l1与l2相交且都在β内，∴α∥β，而α∥β时，无法推出m∥l1且n∥l2.∴l1∥m且l2∥n是α∥β的充分不必要条件．]4．D如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E.则CE∥AA′，∴CE∥α.C′E∥BB′，∴C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．]5．D [A，B，C在平面α的异侧时，A错；而A，B，C在平面α同侧时，B错；A，B，C在平面α的异侧时，平面ABC有可能垂直于平面α，C错．]6．m，n相交7．相似解析由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，由面与面平行的性质知AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，故两个三角形相似．8．③④9.证明过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD，∴AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC ， ∵α∥β，∴AC∥DE.又P 、N 分别为AE 、CD 的中点，α，α，∴PN∥α.又M 、P 分别为AB 、AE 的中点， ∴MP∥BE，且α，α，∴MP∥α，又∵MP∩PN＝P ，∴平面MPN∥α. 又平面MPN ，∴MN∥α.10．证明 (1)取B 1D 1中点O ，连接GO ，OB ，易证OG∥B 1C 1， 且OG ＝12B 1C 1，BE∥B 1C 1，且BE ＝12B 1C 1，∴OG∥BE 且OG ＝BE ，四边形BEGO 为平行四边形．∴OB∥GE.平面BDD 1B 1，平面BDD 1B 1，∴GE∥平面BDD 1B 1.(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD， ∵B 1D 1平面BDF ，平面BDF ， ∴B 1D 1∥平面BDF.连接HB ，D 1F ，易证四边形HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1平面BDF，平面BDF，∴HD1∥平面BDF，∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.。
