2021年湖南省涟源市中考数学总复习：二次函数(附答案解析)

中考数学总复习《二次函数压轴题（面积问题）》专题训练-附含答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x c =-+与y 轴交于点()0,4A -，与x 轴交于点()4,0B ，连接AB .(1)求抛物线的解析式．(2)P 是AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．①求PC PD +的最大值．①连接PA ，PB ，是否存在点P ，使得线段PC 把PAB 的面积分成3:5两部分？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．综合与探究如图1，抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和(0,2)C ，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC ，BC ．(1)求该抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)如图1，点D 是线段AC 的中点，连接BD ．点E 是抛物线上一点，若ABE BCD S S =△△，设点E 的横坐标为x ，请求出x 的值；(3)试探究在抛物线上是否存在一点P ，使得45PBO OBC ∠+∠=︒？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D 、E 是直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．(3)点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．4．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 和DB ，判断BCD △的形状并说明理由；(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ，使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积．5．如图，抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点,A B 两点（点A 在点B 的右侧），点()()8,02,0A B -、，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式； (2)点D 为抛物线的顶点，过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ，点P 为抛物线上点,D E 之间的一动点，连接,,,,AC AE AP CE CP ，线段,AP CE 交于点G ，记CPG △的面积为1,S AEG △的面积为2S ，且12S S S =-，求S 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将拋物线沿射线AC 方向平移5个单位长度后得到新抛物线，点Q 是新拋物线对称轴上一动点，在平面内确定一点R ，使得以点P Q B R 、、、为顶点的四边形是矩形．直接写出所有符合条件的点R 的坐标．6．如图，有一个长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度18a =米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB 为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(2)如何设计才能使长方形花圃面积最大；并求其最大面积．7．如图，过原点的抛物线212y x bx c =-++与x 轴的另一个交点为A ，且抛物线的对称轴为直线2x =，点B 为顶点(1)求抛物线的解析式(2)如图（1），点C 为直线OB 上方抛物线上一动点，连接AB，BC 和AC ，线段AC 交直线OB 于点E ，若CBE △的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，求12S S 的最大值 (3)如图（2），设直线()20y kx k k =-≠与抛物线交于D ，F 两点，点D 关于直线2x =的对称点为D ，直线D F '与直线2x =交于点P ，求证：BP 的长是定值．8．抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ，C ，已知()1,0A -和()0,3C ．(1)求抛物线的解析式及顶点E 的坐标；(2)点D 在BC 上方的抛物线上．①如图1，若CAB ABD ∠=∠，求点D 的坐标；①如图2，直线BD 交y 轴于点N ，过点B 作AD 的平行线交y 轴于点M ，当点D 运动时，求CBD AMNS S △△的最大值及此时点D 的坐标． 9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线244y ax ax =-+交x 轴于点A 、B （A 左B右），交y 轴于点C ，直线123y x =-+，经过B 点，交y 轴于点D ．(1)如图1，求a 的值；(2)如图2，点P 在第一象限内的抛物线上，过点A 、B 作x 轴的垂线，分别交直线PD 于点E 和F ，若PF DE =，求点P 的坐标；(3)如图3，在（2）的条件下，点Q 在第一象限内的抛物线上，过点Q 作QH DP ⊥于点H ，交直线BD 于点R ，连接EQ 和ER ，当QE ER =时，求ERQ △的面积．10．已知抛物线213222y x x =-++与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ．(1)判断ABC 的形状，并说明理由．(2)设点(,)P m n 是抛物线在第一象限部分上的点，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交AC 于点Q ，设四边形OAPC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求使S 最大时点P 的坐标和QHC △的面积；(3)在（2）的条件下，点N 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以P 、C 和M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点M 的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．11．已知，如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线6y x =+与x 轴相交于点B ，与y 轴交于点C ，点A 是x 轴正半轴上一点，且满足2tan 3ACO ∠=．(1)若抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 和C 三点，求抛物线的解析式；(2)若点M 是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M 作MP y ∥轴，交BC 于点P ，连接OP ，在第一象限内找一点Q ，过点Q 作⊥OQ OP 且OQ OP =，连接PQ ，MQ ，设MPQ 的面积为S ，点P 的横坐标为t ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；(3)在（2）的条件下，设PQ 与y 轴相交于点R ，若53=PR PC 时，求点P 的坐标． 12．已知抛物线22y ax ax c =-+过点()10A -，和()03C ，，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上方抛物线上有一点P （与D 不重合），BCP 面积与BCD △面积相等，求点P 的坐标；(3)若点E 为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点F ，使得以E 、F 和B 、C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线过点()08D ，，与x 轴交于()20A -，，()40B ，两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 为二次函数的顶点，求BCD S △．14．如图，O 为平面直角坐标系坐标原点，抛物线22y ax ax c =-+经过点()6,0B ，点()0,6C 与x 轴交于另一点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)D 点为第一象限抛物线上一点，连接AD 和BD ，设点D 的横坐标为t ，ABD △的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，P 为第四象限抛物线上一点，连接PA 交y 轴于点E ，点F 在线段BC 上，点G 在直线AD 上，若1tan 2DAO ∠=，四边形BEFG 为菱形，求点P 的坐标． 15．已知抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与直线3y x =-+交于点B 和点C ，M 为抛物线的顶点，直线ME 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式及点M 的坐标；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上一点，连接PB ，PC ，当PBC 的面积取最大值时，求点P 的坐标．参考答案：1．(1)2142y x x =-- (2)① PC PD +取得最大值254 ① 53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或 316,2⎛⎫+- ⎪⎝⎭2．(1)213222y x x =-++ (1,0)-； (2)3172+或3172-或3332+或3332- (3)存在，517(,)39--或113(,)39-3．(1)故抛物线的表达式为：223y x x =-++，函数的对称轴为：1x =；(2)10113++(3)()4,5-或()8,45-4．(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3，四边形PBCD 的面积为45．(1)213442y x x =-++ (2)S 的最大值为1，()4,6P(3)()7,3或()5,3-6．(1)2330S x x =-+ 410x ≤＜；(2)当宽AB 为5米，长15BC =米时，长方形花圃的最大面积为75平方米.7．(1)2122y x x =-+ (2)188．(1)()1,4(2)①()2,3D ；①CBD AMN S S △△的最大值为916，此时315,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．(1)13a =- (2)()4,4P(3)1010．(1)直角三角形(2)244S m m =-++ (2,3)P 1QHC S =(3)存在，点M 坐标为3651(,)22+或3651(,)22-或333(,)22或333(,)22-或31(,)22，理由见解析11．(1)211642=--+y x x (2)()2396042S t t t =---<< (3)()()124,2,2,4P P --12．(1)223y x x =-++(2)()23P ，(3)存在，点F 的坐标为()417，或()417-，或()2314-+，或()2314--，13．(1)228y x x =-++(2)614．(1)211642y x x =-++ (2)2553042S t t =-++ (3)()8,6P -15．(1)抛物线的解析式为223y x x =-++，点M 的坐标为(1,4)(2)315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

2021中考数学二次函数的图象及其性质一轮复习一、选择题1. 若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b，k的值分别为()A. 0，5B. 0，1C. －4，5D. －4，12. 对于函数y＝－2(x－m)2，下列说法不正确的是()A．其图象开口向下B．其图象的对称轴是直线x＝mC．最大值为0D．其图象与y轴不相交3. 若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系．．．．．．．．xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为() A. y＝(x－2)2＋3 B. y＝(x－2)2＋5C. y＝x2－1D. y＝x2＋44. （2020·深圳）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，n)，其部分图象如图所示，以下结论错误．．的是（）A．abc＞0 B．4ac－b2＜0C．3a＋c＞0 D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根5. 已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是()A. 当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B. 当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C. 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D. 若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大6. 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y3＞y2＞y1B. y3＞y1＝y2C. y1＞y2＞y3D. y1＝y2＞y37. （2020·福建）10.已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22=-y ax ax 上的点，下列命题正确的是（ ）A.若12|1||1|->-x x ，则12>y yB.若12|1||1|->-x x ，则12<y yC.若12|1||1|-=-x x ，则12=y yD.若12=y y ，则12=x x二、填空题8. 将抛物线y ＝－(x ＋2)2向________平移________个单位长度，得到抛物线y ＝－(x －1)2.9. 如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，则方程ax 2=bx+c 的解是 .10. (2019•荆州)二次函数2245y x x =--+的最大值是__________．11. 已知二次函数y=-(x -1)2+2，当t<x<5时，y 随x 的增大而减小，则实数t 的取值范围是 .12. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．13. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m ，0)，C(－2，n)(1＜m ＜3，n ＜0)，有下列结论： ①abc ＞0； ②3a ＋c ＜0； ③a(m －1)＋2b ＞0；④a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形． 其中正确结论的序号为________．14. 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，点D (0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为________．三、解答题15. 已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点．(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m 与n 的大小，并说明理由．16. 如图，已知抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y＝x ＋3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点． (1)求m 的值；(2)求A 、B 两点的坐标； (3)点P (a ，b )(－3<a <1)是抛物线上一点，当△P AB 的面积是△ABC 面积的2倍时，求a 、b 的值．17. (2019·山东滨州)如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点,B C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． (1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为524时，求sin PAD的值．2021中考数学二次函数的图象及其性质一轮复习-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由y＝(x－2)2＋k知此二次函数的顶点坐标为(2，k)，对称轴为x＝2，由y＝x2＋bx＋5知其对称轴为x＝－b2，得－b2＝2，所以b＝－4；于是可以得到函数的解析式是y＝x2－4x＋5，把(2，k)代入其中即得k＝1.2. 【答案】D3. 【答案】C【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.4. 【答案】C【解析】根据抛物线开口向下，得到a＜0，对称轴为直线x＝－b2a＝－1，知b＝2a＜0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，∴abc＞0，故选项A正确；根据抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即4ac－b2＜0，故选项B正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，又∵b＝2a，∴3a＋c＜0，∴选项C错误；∵抛物线开口向下，顶点为（－1，n），∴函数有最大值n，即抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y ＝n＋1无交点，一元二次方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根，选项D正确；而要选择结论错误．．的，因此本题选C．5. 【答案】D【解析】当a＝1时，函数为y＝x2－2x－1，当x＝－1时，y＝1＋2－1＝2，其图象经过点(－1，2)，不过点(－1，1)，所以A选项错误；当a＝－2时，函数为y＝－2x2＋4x－1，b2－4ac＝16－4×(－2)×(－1)＝8>0，抛物线与x 轴有两个交点，故选项B 错误；当a >0时，抛物线的开口向上，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a ＝1，当x ≥1，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，所以C 选项错误；当a <0时，抛物线的开口向下，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a ＝1，当x ≤1，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，所以D 选项正确．6. 【答案】D 【解析】此类题利用图象法比较大小更直观简单．容易求出二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 图象的对称轴为直线x ＝1，可画草图如解图：由解图知，P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)关于直线x ＝1对称，P 3(5，y 3)在图象的右下方部分上，因此，y 1＝y 2>y 3.7. 【答案】C【解析】本题考查了二次函数的图象和性质，∵22=-y ax ax =a （x -1）2-a ，∴抛物线的对称轴为x =1，根据二次函数的对称性知若12|1||1|-=-x x ，则12=y y ，因此本题选C ． 二、填空题8. 【答案】右 39. 【答案】x 1=-2，x 2=1[解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，∴的解为即方程ax 2=bx +c的解是x 1=-2，x 2=1.10. 【答案】7【解析】222452(1)7y x x x =--+=-++， 即二次函数245y x x =--+的最大值是7， 故答案为：7．11. 【答案】1≤t<5[解析]抛物线的对称轴为直线x=1，因为a=-1<0，所以抛物线开口向下，所以当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小，因为t<x<5时，y 随x 的增大而减小，所以1≤t<5.12. 【答案】21(4)2yx =- 【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠， 把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-， 把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =，所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案为：21(4)2y x =-．13. 【答案】②③ [解析] 由抛物线经过A(－1，0)，B(m ，0)，可知对称轴为x ＝m －12＝－b 2a， ∴－ba ＝m －1.∵1＜m ＜3，∴ab ＜0.画出二次函数y ＝ax 2＋bc ＋c 的大致图象可知a ＜0， ∴b ＞0.把(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得a －b ＋c ＝0， ∴c ＝b －a ＞0.∴abc ＜0，故①错误． 当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b ＋c ＝9a ＋3(a ＋c)＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c)＜0，∴3a ＋c<0，故②正确． ∴－ba ＝m －1，∴a(m －1)＋2b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，故③正确．当a ＝－1时，y ＝－x 2＋bx ＋c ，∴P(b 2，b ＋1＋b 24)．若△PAB 为直角三角形，则△PAB 为等腰直角三角形， ∴b ＋1＋b 24＝b2＋1，∴b ＝－2或b ＝0.∵b ＞0，∴不存在点P 使△PAB 为直角三角形， 故④错误． 故答案为②③.14. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．三、解答题15. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b 2－4ac ＝16－8c ＞0，∴c ＜2.(2)m<n.理由：∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 的对称轴为直线x ＝1， ∴点A(2，m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧． 又∵当x≥1时，y 随x 的增大而增大， ∴m ＜n.16. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点在x 轴的正半轴上， ∴方程x 2－(m ＋3)x ＋9＝0有两个相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝[－(m ＋3)]2－4×9＝0，解得m ＝3或m ＝－9， 又∵抛物线对称轴大于0，即m ＋3>0， ∴m ＝3.(3分)(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝x 2－6x ＋9，联立一次函数y ＝x ＋3，可得⎩⎨⎧y ＝x 2－6x ＋9y ＝x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6y ＝9，∴A(1，4)，B(6，9)．(6分)(3)如解图，分别过A 、B 、P 三点作x 轴的垂线，垂足分别为R 、S 、T ，解图∵A(1，4)，B(6，9)，C(3，0)，P(a ，b)，∴AR ＝4，BS ＝9，RC ＝3－1＝2，CS ＝6－3＝3，RS ＝6－1＝5，PT ＝b ，RT ＝1－a ，ST ＝6－a ，∴S △ABC ＝S 梯形ABSR －S △ARC －S △BCS ＝12×(4＋9)×5－12×2×4－12×3×9＝15，S △PAB ＝S 梯形PBST －S 梯形ARTP －S 梯形ARSB ＝12(9＋b)(6－a)－12(b ＋4)(1－a)－12×(4＋9)×5＝12(5b －5a －15)．(8分) 又∵S △PAB ＝2S △ABC ， ∴12(5b －5a －15)＝30，即b －a ＝15， ∴b ＝15＋a ，∵P 点在抛物线上， ∴b ＝a 2－6a ＋9，∴15＋a ＝a 2－6a ＋9，解得a ＝7±732， ∵－3<a<1， ∴a ＝7－732，∴b ＝15＋7－732＝37－732.(10分)17. 【答案】(1)当0x =时,4y =，则点A 的坐标为()0,4，当0y =时，2110482x x =-++，解得，124,8x x =-=，则点B 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()8,0，∴4OA OB ==，∴45OBA OAB ∠=∠=︒， ∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到直线AD ， ∴90BAD ∠=︒，∴45OAD =︒，∴45ODA ∠=︒，∴OA OD =，∴点D 的坐标为()4,0， 设直线AD 的函数解析式为,y kx b =+440b k b =⎧⎨+=⎩，得14k b =-⎧⎨=⎩， 即直线AD 的函数解析式为4y x =-+；(2)作PN x ⊥轴交直线AD 于点N ，如图①所示，设点P 的坐标为211,482t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为(),4t t -+，∴2211134(4)8282PN t t t t t ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，∴PN x ⊥轴， ∴PN y ∥轴，∴45OAD PNH ∠=∠=︒，作PH AD ⊥于点H ，则90PHN ∠=︒， ∴22222132322926)2282164164PH PN t t t ⎫==-+=-+=--+⎪⎝⎭， ∴当6t =时，PH 92P 的坐标为(56,2)，即当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标是(56,2)，最大距离是924；②当点P 到直线AD的距离为524时，如图②所示，则2232521644t t -+=，解得：122,10t t ==， 则1P 的坐标为(92,2)，2P 的坐标为(10,)72-，当1P 的坐标为(92,2)，则221917(20)42P A ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∴125344sin 172P AD ∠==； 当2P 的坐标为(10,)72-，则222725(100)422P A ⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭，∴25224sin 252P AD ∠==；由上可得，sin PAD ∠的值是53434或210． 【名师点睛】本题是一道二次函数的综合性题目，关键在于设P 点的横坐标，最后将其转化成二次函数的最值问题，通过求解二次函数的最值问题来求解最短距离，难度系数较大，是一道特别好的题目，应当熟练的掌握.。

2021年中考数学第三轮压轴题：二次函数的综合专题复习1、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．2、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．3、如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．5、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B 的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P 运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y 轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P 运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．9、如图，已知二次函数y=ax2−5√3x+c(a>0)的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1<x2，(1)若抛物线的对称轴为x=√3求的a值；(2)若a=15，求c的取值范围；(3)若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60∘，抛物线的对称轴l，连接AF，满与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．10、如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．11、如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12、如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x 轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．13、如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q 的坐标．14、已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO =S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．【解答】解：（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，解得：b=4，c=2，则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，把x=1代入抛物线解析式得：y=7，∴B（﹣5，7），C（1，7），设直线AB解析式为y=kx+2，把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，可得△AQH∽△ABM，∴=，∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，∵BM=5，∴QH=2或QH=3，当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P （﹣13，0），综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．2、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=﹣，∴直线BC的解析式为y=﹣x+1．设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1）∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，=OB•DP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x．∴S△PBC又∵S=1，△PBC∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC=OA=1∴∠BAC=45°．∵∠BQC=∠BAC=45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解得：x=（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．3、如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，∴OC2=OA•OB=3，则OC=；（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，∴OC=BC，∴点C的横坐标为，又OC=，点C在x轴下方，∴C（，﹣），设直线BM的解析式为y=kx+b，把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，解得：b=﹣，k=，∴y=x﹣，又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，解得：a=，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（3）点P存在，设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，则Q（x，x﹣），∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为当x=﹣=时，S△BCP（，﹣）．4、如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得，解这个方程组，得直线BC的解析是为y=﹣x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，﹣t+3），PE=﹣t+3﹣（t﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴S△BCP =S△BPE+SCPE=（﹣t2+3t）×3=﹣（t﹣）2+．∵﹣＜0，∴当t=时，S△BCP最大=（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3）MN=m2﹣3m，BM=|m﹣3|，当MN=BM时，①m2﹣3m=（m﹣3），解得m=，②m2﹣3m=﹣（m﹣3），解得m=﹣当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2﹣4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，﹣（m2﹣4m+3）=﹣m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．5、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设y=a（x﹣1）2+4（a≠0），把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，∵S△OBC =S△QBC，∴PQ∥BC，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，联立得：，解得：或，即Q（2，3）；②设G（1，2），∴PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，联立得：，解得：或，∴Q2（，），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF 与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b，联立得：，消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b，∵△MNF为等腰直角三角形，∴MN2=2NF2=42﹣8b，∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），整理得：b2+10b﹣75=0，解得：b=﹣15或b=5，∵正方形边长为MN=，∴MN=9或．6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B 的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P 运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，得A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），把C点坐标代入函数解析式，得a（0+3）（0﹣1）=3，解得a=﹣1，抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图．设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，∵PQ∥EF，∴△AEF∽△AQP，∴=，∴EF===×（﹣t2﹣2t+3）=2（1﹣t）；又∵PQ∥EG，∴△BEG∽△BQP，∴=，∴EG===2（t+3），∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x=0时，y=x2﹣x﹣4=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）；当y=0时，有x2﹣x﹣4=0，解得：x1=﹣2，x2=3，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣4．过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，如图1所示，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3﹣t，﹣t），∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，∴S△PBQ=PB•QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+．∵﹣＜0，∴当t=时，△PBQ的面积取最大值，最大值为．（3）当△PBQ面积最大时，t=，此时点P的坐标为（，0），点Q的坐标为（，﹣1）．假设存在，设点M的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，∴S△BMC=MF•OB=﹣m2+3m．∵△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2．∵0＜m＜3，∴在BC下方的抛物线上存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，点M 的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣）．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y 轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P 运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA=1，OB=4∴A（1，0），B（﹣4，0）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1）∵点C（0，﹣）在抛物线上∴﹣解得a=∴抛物线的解析式为y=（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似．理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=则tan∠ACO=∵tan∠OAD=∴∠OAD=∠ACO∵直线l的解析式为y=∴D（0，﹣）∵点C（0，﹣）∴CD=由AC2=OC2+OA2，得AC=在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似只需或则有或解得t1=，t2=∵t1＜2.5，t2＜2.5∴存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N在△APF中，PF=AP•sin∠PAF=在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=在△ADC中，由S△ADC=∴CN=∴S△AQP +S△AQC==﹣∴当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大9、如图，已知二次函数y=ax2−5√3x+c(a>0)的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1<x2，(1)若抛物线的对称轴为x=√3求的a值；(2)若a=15，求c的取值范围；(3)若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60∘，抛物线的对称轴l 与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．【答案】解：(1)抛物线的对称轴是：x=−b2a =−−5√32a=√3，解得：a=52；(2)由题意得二次函数解析式为：y=15x2−5√3x+c，∵二次函数与x轴有两个交点，∴△>0，∴△=b2−4ac=(−5√3)2−4×15c，∴c<54；(3)∵∠BOD=90∘，∠DBO=60∘，∴tan60∘=ODOB =cOB=√3，∴OB=√33c，∴B(√33c,0)，把B(√33c,0)代入y =ax 2−5√3x +c 中得：ac 23−5√3⋅√3c 3+c =0，ac 23−5c +c =0，∵c ≠0， ∴ac =12， ∴c =12a，把c =12a代入y =ax 2−5√3x +c 中得： y =a(x 2−5√3x a+12a 2)=a(x −4√3a)(x −√3a)， ∴x 1=4√3a，x 2=√3a， ∴A(√3a ,0)，B(4√3a ,0)，D(0,12a)， ∴AB =4√3a−√3a=3√3a ，AE =3√32a， ∵F 的纵坐标为3+12a ， ∴F(5√32a ,6a+12a)， 过点A 作AG ⊥DB 于G ， ∴BG =12AB =AE =3√32a，AG =92a ，DG =DB −BG =8√3a−3√32a=13√32a， ∵∠ADB =∠AFE ，∠AGD =∠FEA =90∘， ∴△ADG ∽△AFE ， ∴AE AG =FEDG ， ∴3√32a 92a=6a+12a 13√32a，∴a =2，c =6， ∴y =2x 2−5√3x +6．10、如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==3，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．11、如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，∴C（0，3）．把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，∴B（3，0），A（﹣1，0）将C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得b=2，c=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．∵O′与O关于BC对称，∴PO=PO′．∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．∴OP+AP的最小值=O′A==5．（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．又∵C（0，3，B（3，0），∴CD=，BC=3，DB=2．∴CD2+CB2=BD2，∴∠DCB=90°．∵A（﹣1，0），C（0，3），∴OA=1，CO=3．∴==．又∵∠AOC=DCB=90°，∴△AOC∽△DCB．∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽△DCB．∴=，即=，解得：AQ=10．∴Q（9，0）．综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．12、如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x 轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．【解答】解：（1）由已知点B坐标为（5，5）把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得解得∴抛物线的解析式为：y=（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=，则点C坐标为（，）∴OC=，OB=5当△OBA∽△OCP时，∴∴OP=当△OBA∽△OPC时，∴∴OP=5∴点P坐标为（5，0）或（，0）（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c ∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°∴△MEN为等腰直角三角形．当把△MEN沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形∴点′E坐标为（a﹣b，b）∵EE′平行于x轴∴E、E′关于抛物线对称轴对称∵∴b=2a﹣3则点N坐标可化为（a，2a﹣3）把点N坐标带入y=得：2a﹣3=解得a1=1，a2=6∵a=6时，b=2a﹣3=﹣9＜0∴a=6舍去则点N坐标为（1，﹣1）把N坐标带入y=x+c则c=﹣2∴直线l′的解析式为：y=x﹣2（4）由（3）K点坐标为（0，﹣2）则△MOK为等腰直角三角形∴△M′OK′为等腰直角三角形，M′K′⊥直线l′∴当M′K′=M′F时，△M'FK′为等腰直角三角形∴F坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）13、如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q 的坐标．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴F（1，4），∵C（0，3），D（2，3），∴CD=2，且CD∥x轴，∵A（﹣1，0），∴S四边形ACFD =S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；②∵点P在线段AB上，∴∠DAQ不可能为直角，∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，∵A（﹣1，0），D（2，3），∴直线AD解析式为y=x+1，∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，把D（2，3）代入可求得b′=5，∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，∴Q（1，4）；ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，把A、Q坐标代入可得，解得k1=﹣（t﹣3），设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，∵AQ⊥DQ，∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t=，当t=时，﹣t2+2t+3=，当t=时，﹣t2+2t+3=，∴Q点坐标为（，）或（，）；综上可知Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．14、已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO =S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO =S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x 1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x 1=0（舍），x2=，∴D（，）；②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m 1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，∵OE=＜2，∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为（，）或（，﹣）．。

中考数学总复习《二次函数的三种形式》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与c的部分对应值如下表则下列判断中正确的是().A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根2．若b<0，则二次函数y=x2-bx-1的图象的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．将二次函数y=2x2﹣4x+1化成顶点式是（）A．y=2（x+1）2﹣1B．y=2（x﹣1）2﹣1C．y=2（x+1）2+1 D．y=2（x﹣1）2+14．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=（x+1）2+4B．y=（x﹣1）2+4C．y=（x+1）2+2D．y=（x﹣1）2+25．二次函数y＝x2－6x＋5的图像的顶点坐标是（）A．(－3，4)B．(3，－4)C．(－1，2)D．(1，－4)6．把二次函数y=x2-4x+3化成y=a（x-h）2+k的形式是（）A．y=（x-2）2-1B．y=（x+2）2-1C．y=（x-2）2+7D．y=（x+2）2+77．抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为（）A．直线x=1B．直线x=-1C．直线x=2D．直线x=-28．已知二次函数的解析式为：y=-3（x+5）2﹣7，那么下列说法正确的是（）A．顶点的坐标是（5，-7）B．顶点的坐标是（-7，-5）C．当x=-5时，函数有最大值y=-7D．当x=-5时，函数有最小值y=-79．在平面直角坐标系中，抛物线y=-（x-2）2+1的顶点是点P，对称轴与x轴相交于点Q，以点P为圆心，PQ长为半径画⊙P，那么下列判断正确的是（）A．x轴与⊙P相离；B．x轴与⊙P相切；C．y轴与⊙P与相切；D．y轴与⊙P相交．10．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x-2）2+k，则b、k的值分别为（）A．0，5B．0，1C．-4，5D．-4，111．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE⊙x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓DFE 所在抛物线的解析式为（）A．y= 14（x+3）2B．y= 14（x﹣3）2C．y=﹣14（x+3）2D．y=﹣14（x﹣3）212．抛物线y=−(x−1)2−2的顶点坐标是（）A．（－1，－2）B．（－1，2）C．（1，－2）D．（1，2）二、填空题(共6题；共6分)13．将二次函数y=﹣2x2+6x﹣5化为y=a（x﹣h）2+k的形式，则y=．14．一抛物线和另一抛物线y=﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为15．已知某抛物线的顶点是(2,−1)，与y轴的交点到原点的距离为3，则该抛物线的解析式为．16．关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为.17．将二次函数y=x2﹣2x+4化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=．18．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为．三、综合题(共6题；共74分)19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，二次函数y=x2图象从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短，并求出二次函数的表达式；（3）当线段PB最短时，二次函数的图象是否过点Q（a，a﹣1），并说理由．20．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，⊙AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．21．用配方法将二次函数化成y=a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴（1）y=2x2+6x﹣12（2）y=﹣0.5x2﹣3x+3．22．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图像；（3）利用图象求当x为何值时，函数值y＜0（4）当x为何值时，y随x的增大而减小？（5）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．23．已知二次函数y=x2−4x+3.（1）将y=x2−4x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式：；（2）这个二次函数图象与x轴交点坐标为；（3）这个二次函数图象的最低点的坐标为；（4）当y<0时，x的取值范围是.24．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）用配方法将解析式化为y=（x﹣h）2+k的形式；（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．参考答案1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】C13．【答案】﹣2（x﹣32）2﹣1214．【答案】y=﹣2（x+2）2+115．【答案】y=(x−2)2−1或y=−12(x−2)2−116．【答案】( 32,- 14)17．【答案】（x﹣1）2+318．【答案】y=x2-8x+20．19．【答案】（1）解：设直线OA的解析式为y=kx∵A（2，4）∴2k=4，解得k=2∴线段OA所在直线的函数解析式为y=2x；（2）解：∵顶点M的横坐标为m，且在OA上移动，∴y=2m（0≤m≤2），∴M（m，2m），∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m∴当x=2时，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4（0≤m≤2）∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3（0≤m≤2）∴当m=1时，PB最短当PB最短时，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+2；（3）解：若二次函数的图象是过点Q（a，a﹣1）则方程a﹣1=（a﹣1）2+2有解．即方程a2﹣3a+4=0有解∵⊙=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0．∴二次函数的图象不过点Q．20．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2）将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a= 1 2则抛物线解析式为y= 12（x+4）（x﹣2）=12x2+x﹣4；（2）解：过M作MN⊙x轴将x=m代入抛物线得：y= 12m2+m﹣4，即M（m，12m2+m﹣4）∴MN=| 12m2+m﹣4|=﹣12m2﹣m+4，ON=﹣m∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4∴⊙AMB的面积为S=S⊙AMN+S梯形MNOB﹣S⊙AOB= 12×（4+m）×（﹣12m2﹣m+4）+ 12×（﹣m）×（﹣12m2﹣m+4+4）﹣12×4×4=2（﹣12m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．21．【答案】（1）解：y=2x2+6x﹣12=2（x+ 32）2﹣32，则该抛物线的顶点坐标是（﹣32，﹣32）对称轴是x=﹣3 2（2）解：y=﹣0.5x2﹣3x+3=﹣12（x+3）2+ 152，则该抛物线的顶点坐标是（﹣3，152），对称轴是x=﹣322．【答案】（1）解：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4（2）解：由（1）可知，y=（x﹣1）2﹣4，则顶点坐标为（1，﹣4）令x=0，则y=﹣3∴与y轴交点为（0，﹣3）令y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得x1=﹣1，x2=3∴与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）．列表：x…﹣10 123…y=x2﹣2x﹣3…0﹣3﹣4﹣30…（3）解：由图象知，当﹣1＜x＜3时，函数值y＜0（4）解：由图象知，当x＜1时，y随x的增大而减小（5）解：当x=﹣3时，y=9+6﹣3=12，则﹣3＜x＜3时，0＜y＜1223．【答案】（1）y＝（x－2）2－1（2）（1，0）或（3，0）（3）（2，－1）（4）1＜x＜324．【答案】（1）解：y=（x2﹣2x+1）﹣4=（x﹣1）2﹣4（2）解：令y=0，得x2﹣2x﹣3=0解得x1=3，x2=﹣1∴这条抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）。

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中考复习专题——二次函数知识点总结二次函数知识点：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2。

二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数,a 是二次项系数，b 是一次项系数,c 是常数项．二次函数的基本形式1。

二次函数基本形式：2y ax =的性质：结论:a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：2。

2y ax c=+的性质：结论：上加下减。

总结：3。

()2y a x h =-的性质:结论：左加右减。

总结：()2y a x h k =-+的性质：总结：二次函数图象的平移1。

平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。

2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（一）1．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．（1）求这个抛物线的表达式．（2）当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标．（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．7．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．8．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ＝，求点K的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求点D的坐标；（3）点P是线段OB上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ＝OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．10．如图1，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB ＝2CO．（1）求二次函数解析式；（2）在二次函数图象（如图2）位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3），∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝时，线段PD的长度有最大值；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，此时，点P（2，﹣1），综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．2．解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵点B（3，0），点C（0，3），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，∵S△PBC有最大值，∴当m＝时，S△PBC∴点P（，）；（3）存在N满足条件，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，∴点A（﹣1，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M为（1，4），∵点M为（1，4），点C（0，3），∴直线MC的解析式为：y＝x+3，如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，∴DE＝4＝MD，∴∠NMQ＝45°，∵NQ⊥MC，∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，∴MQ＝NQ，∴MQ＝NQ＝MN，设点N（1，n），∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，∴NQ＝AN，∴NQ2＝AN2，∴（MN）2＝AN2，∴（|4﹣n|）2＝4+n2，∴n2+8n﹣8＝0，∴n＝﹣4±2，∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），∴抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C，∵S ＝S 四边形ADCP ＝S △APO +S △CPO ﹣S △ODC ＝×AO ×y P +×OC ×|x P |﹣×CO ×OD ＝4，∴×3×（﹣x 2﹣x +2）+×2×（﹣x ）﹣×1×2＝4，∴x 1＝﹣1，x 2＝﹣2， ∴点P （﹣1，）或（﹣2，2）；（3）①如图2，若点M 在CD 左侧，连接AM ，∵∠MDC ＝90°，∴∠MDA +∠CDO ＝90°，且∠CDO +∠DCO ＝90°， ∴∠MDA ＝∠DCO ，且AD ＝CO ＝2，MD ＝CD ， ∴△MAD ≌△DOC （SAS ）∴AM ＝DO ，∠MAD ＝∠DOC ＝90°， ∴点M 坐标（﹣3，1），若点M 在CD 右侧，同理可求点M '（1，﹣1）； ②如图3，∵抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣x +2＝﹣（x +1）2+；∴对称轴为：直线x ＝﹣1，∴点D在对称轴上，∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，∴点D是MM'的中点，∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，∴∠MCM'＝90°，∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，∵点C（0，2），点D（﹣1，0）∴DC＝，∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，∴点N（﹣1，），点N'（﹣1，﹣）延长M'C交对称轴与N''，∵点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2，∴当x＝﹣1时，y＝5，∴点N''的坐标（﹣1，5），∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，∴MM'＝MN''，∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°∴点N''（﹣1，5）符合题意，综上所述：点N的坐标为：（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）．4．解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴，∵BC＝CD，BO＝3，∴＝，∴OE＝，∴点D横坐标为﹣，∴点D坐标为（﹣，+1），设直线BD的函数解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（﹣，+1），∴AB＝4，AD＝2，BD＝2+2，对称轴为直线x＝1，∵直线BD：y＝﹣x+与y轴交于点C，∴点C（0，），∴OC＝，∵tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，如图2，过点A作AK⊥BD于K，∴AK＝AB＝2，∴DK＝＝＝2，∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若∠CBO＝∠PBO＝30°，∴BN＝PN＝2，BP＝2PN，∴PN＝，BP＝，当△BAD∽△BPQ，∴，∴BQ＝＝2+，∴点Q（1﹣，0）；当△BAD∽△BQP，∴，∴BQ＝＝4﹣，∴点Q（﹣1+，0）；若∠PBO＝∠ADB＝45°，∴BN＝PN＝2，BP＝BN＝2，当△DAB∽△BPQ，∴，∴，∴BQ＝2+2∴点Q（1﹣2，0）；当△BAD∽△PQB，∴，∴BQ＝＝2﹣2，∴点Q（5﹣2，0）；综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1﹣，0）或（﹣1+，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．5．解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0）∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），∴S△PCD＝×PD×OD＝m×（3﹣）＝﹣m2+m，∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB＝OC＝3，OB⊥OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∵EF∥y轴，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似，∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±， 当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+， 当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，易求直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1，联立，解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．7．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于点A （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，∴点B（﹣3，0），∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如图1，当点D在点C上方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝×3＝，∴CD＝3﹣；若点D在点C下方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝3，∴DC＝3﹣3，综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，＝AE×OC＝AC×EF，∵S△AEC∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴点N（0，﹣），又∵点A（1，0），∴直线AP解析式为：y＝x﹣，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，﹣），当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，），综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）．8．解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函数图象过点C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC＝＝4，设直线BP解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：∴直线BP的解析式为：y＝﹣x+，∵∠BMC＝90°∴点M在以BC为直径的圆上，∴设点M（c，﹣c+），∵点Q是Rt△BCM的中点，∴MQ＝BC＝2，∴MQ2＝8，∴（c﹣2）2+（﹣c+﹣2）2＝8，∴c＝4或﹣，当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，∴c＝﹣，则点M坐标（﹣，），故线段PB上存在点M（﹣，），使得∠BMC＝90°；（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE＝＝，∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4＝，∴n＝，∴点E（，），在Rt△DNE中，NE＝＝＝，①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴＝（4﹣m）﹣，∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），∵NE＝BE﹣BN，∴＝﹣（4﹣m），∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝x﹣，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（，）或（，），综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（，）或（，）．9．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，∴顶点D坐标（﹣1，）；（3）①∵抛物线y＝x2﹣x+2与x轴交于B（﹣3，0）、C两点，∴点C（1，0）设点E（m，m2﹣m+2），则点P（m，0），∵PE＝PC，∴m2﹣m+2＝1﹣m，∴m＝1（舍去），m＝﹣，∴点E（﹣，）②如图，连接AE交对称轴于点N，连接DE，作EH⊥DN于H，交y轴于点F，∵点A（0，2），点E（﹣，），∴直线AE解析式为y＝﹣x+2，∴点N坐标（﹣1，）∴DH＝＝，HN＝＝，∴DH＝NH，且EH⊥DN，∴∠DEH＝∠NEH，∴点F到AE，DE的距离相等，∴DN∥y轴，EH⊥DN，∴EH⊥y轴，∴EF＝；③在x轴正半轴取点H，使OH＝OA＝2，∵OH＝OA，∠AOP＝∠QOH＝90°，OP＝OQ，∴△AOP≌△HOQ（SAS）∴AP＝QH，∴AP+DQ＝DQ+QH≥DH，∴点Q在DH上时，DQ+AP有最小值，最小值为DH的长，∴AP+DQ的最小值＝＝．10．解：（1）对于抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝0，得到a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣1或3，∴C（﹣1，0），A（3，0），∴OC＝1，∵OB＝2OC＝2，∴B（0，2），把B（0，2）代入y＝a（x+1）（x﹣3）中得：2＝﹣3a，a＝﹣∴二次函数解析式为＝；（2）设点M的坐标为（m，），则点N的坐标为（2﹣m，），MN＝m﹣2+m＝2m﹣2，GM＝矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2m﹣2）+2（）＝＝∴当时，C有最大值，最大值为；（3）∵A（3，0），B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，由对称得：抛物线的对称轴是：x＝1，∴AE＝3﹣1＝2，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：①如图1，当∠BAP＝90°时，点P在AB的下方，∵∠PAE+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠PAE＝∠ABO，∵∠AOB＝∠AEP，∴△ABO∽△PAE，∴，即，∴PE＝3，∴P（1，﹣3）；②如图2，当∠PBA＝90°时，点P在AB的上方，过P作PF⊥y轴于F，同理得：△PFB∽△BOA，∴，即，∴BF＝，∴OF＝2+＝，∴P（1，）；③如图3，以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2，则∠AP1B＝∠AP2B＝90°，设P1（1，y），∵AB2＝22+32＝13，由勾股定理得：AB2＝P1B2+P1A2，∴12+（y﹣2）2+（3﹣1）2+y2＝13，解得：y＝1±，∴P（1，1+）或（1，1﹣），综上所述，点P的坐标为（1，﹣3）或（1，）或（1，1+）或（1，1﹣）。

2021年中考试题专题之13.2-二次函数试题及答案二、填空题1、〔2021年市〕假设把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.2、〔2021年〕二次函数的图象经过原点及点〔12-，14-〕，且图象与*轴的另一交点到原 点的距离为1，则该二次函数的解析式为3、二次函数的图象经过原点及点〔12-，14-〕，且图象与*轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．4、〔2021年市〕抛物线23(1)5y x 的顶点坐标为__________． 5、(2021年市)12．将抛物线22y x =-向上平移一个单位后，得以新的抛物线，则新的抛物线的表达式是．6、〔2021年〕二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．以下结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是个．7、〔2021襄樊市〕抛物线2y x bx c =-++的图象如图6所示，则此抛物线的解析式为．8、〔2021省市〕函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______．9、〔2021年市〕 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．①过点(31)，；②当0x >时，y 随*的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2．10、〔2021年省黔东南州〕二次函数322--=x x y 的图象关于原点O 〔0,0〕对称的图象的解析式是_________________。

y*O 3 *=1 图611、〔2021年市〕当x =_____________时，二次函数222y x x =+-有最小值． 12、〔2021年〕如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12*2的图象，C 2是函数y =-12*2的图象，则阴影局部的面积是. 13、〔2021年庆阳〕图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出以下说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随*值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有．〔请写出所有正确说法的序号〕14、(2021年)把抛物线y ＝a*2+b*+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝*2－3*+5，则a+b+c=__________15、〔2021市〕抛物线2y x bx c =-++的局部图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：，．〔对称轴方程，图象与*正半轴、y 轴交点坐标例外〕16、(2021年)抛物线2y x bx c =-++的局部图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：，．〔对称轴方程，图象与*正半轴、y 轴交点坐标例外〕17、〔2021年〕将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm 2． 18、〔2021年〕二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．以下结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是个．19、〔2021年〕出售*种文具盒，假设每个获利x 元，一天可售出()6x -个，则当x =元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．20、(2021年)如以下图，抛物线2y ax bx c =++〔0a ≠〕与x 轴的两个交点分别为(10)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值围是． 【21．(2021年)抛物线2y ax bx c =++〔a ＞0〕的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，试比拟1y 和2y 的大小：1y _2y 〔填">〞，"<〞或"=〞〕22、〔2021年〕二次函数223y x =的图象如图12所示，点0A 位于坐标原点， 点1A ，2A ，3A ，…， 2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…， 2008B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上， 假设△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200720082008A B A 都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边长＝.23、〔2021年市〕假设把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.24．(2021年市)A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．〔写出一对即可〕25、〔2021年〕二次函数的图象经过原点及点〔12-，14-〕，且图象与*轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．26、〔2021年市〕假设抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为．27、〔2021 大兴安岭〕当=x 时，二次函数222-+=x x y 有最小值． 三、解答题1、〔2021年株洲市〕如图1，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，y 是x 的函数，其图象是过点〔12，36〕的抛物线的一局部〔如图2所示〕．〔1〕求AB 的长；〔2〕当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：明：图2中的抛物线过点〔12，36〕在图1中表示什么呢.明：因为抛物线上的点(,)x y 是表示图1中AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系，则，〔12，36〕表示当12AP =时，AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系.明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出AB ，这个问题就可以解决了.请根据上述对话，帮他们解答这个问题.图1图2 2、〔2021年株洲市〕ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B坐标为〔3，m 〕〔0m >〕，线段AB 与y 轴相交于点D ，以P〔1，0〕为顶点的抛物线过点B 、D ． 〔1〕求点A 的坐标〔用m 表示〕；〔2〕求抛物线的解析式；〔3〕设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：(FC AC 3、〔2021年市江津区〕*这种童装开场时的售价为每件20件30元的稳定价格销售，直到11 〔1〕请建立销售价格y 〔元〕与周次* 〔2为12)8(812+--=x z ， 1≤ * ≤11，且*获得利润最大.并求最大利润为多少.4、〔2021年市江津区〕如图，抛物线x y -=2 〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕设〔1〕中的抛物线交y 轴与C 点，的周长最小.假设存在，求出Q 点的坐标；假设不存在，请说明理由.〔3〕在〔1〕中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大.，假设存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.假设没有，请说明理由.5、〔2021年滨州〕*商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答以下问题：〔1〕假设设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值围；〔2〕当降价多少元时，每星期的利润最大.最大利润是多少.〔3〕请画出上述函数的大致图象．6、〔2021年滨州〕 如图①，*产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛R Q P C B A 第26题图物线的一局部组成，在等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，20cm 30cm 45AB DC ADC ==∠=，，°．对于抛物线局部，其顶点为CD 的中点O ，且过A B 、两点，开口终端的连线MN 平行且等于DC ．〔1〕如图①所示，在以点O 为原点，直线OC 为x 轴的坐标系，点C 的坐标为(150)，， 试求A B 、两点的坐标；〔2〕求标志的高度〔即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离〕；〔3〕现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形局部的外围均匀镀上一层厚度为3cm 的保护膜，如图②，请在图中补充完整镀膜局部的示意图，并求出镀膜的外围周长． 7、 (2021年省江市)如以下图，点A 〔－1，0〕，B 〔3，0〕，C 〔0，t 〕，且t ＞0，tan ∠BAC=3，抛物线经过A 、B 、C 三点，点P 〔2，m 〕是抛物线与直线)1(:+=x k y l 的一个交点。

2023年中考数学解答题专项复习：二次函数1．（2021•牡丹江）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q 的坐标为．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣）
2．（2021•嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x ≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n ＝3，求t的值．3．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
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2021年数学二次函数中考真题(附解析)一、选择题（共5小题；共25分）1. 抛物线的顶点坐标是A. B.2. 下列函数中，属于二次函数的是A. B.C. D.3. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线顶点坐标是A. C. D.4. 二次函数的图象如图所示，那么点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 下列对二次函数的图象的描述中，不正确的是A. 抛物线开口向下B. 抛物线的对称轴是直线C. 抛物线与轴的交点坐标是D. 抛物线的顶点坐标是二、填空题（共15小题；共75分）6. 如果抛物线开口向下，那么的取值范围是．7. 已知点，为函数的图象上的两点，若，则（填“”、“”或“”）．8. 如果抛物线过点，且与轴的交点是，那么抛物线的对称轴是直线．9. 已知二次函数的图象经过原点，则的值是．10. 如果抛物线的对称轴是轴，那么顶点坐标为．11. 已知一条抛物线经过点，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物战的表达式可以是（写出一个即可）．12. 如果抛物线的顶点在轴上，那么常数的值是．13. 如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最点（填“高”或“低”）14. 如图，已知点是抛物线图象上一点，将点向下平移个单位到点，再把绕点顺时针旋转得到点，如果点也在该抛物线上，那么点的坐标是．15. 如果点，在二次函数图象上，那么（填，，）．16. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是．17. 已知二次函数（为常数），若该函数图象与轴只有一个公共点，则．18. 抛物线的对称轴是直线．19. 若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，且满足顶点在抛物线上，顶点在抛物线上，则称抛物线与抛物线互为“关联抛物线”，已知顶点为的抛物线与顶点为的抛物线互为“关联抛物线”，直线与轴正半轴交于点，如果，那么顶点为的抛物线的表达式为．20. 定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是．三、解答题（共10小题；共130分）21. 我们将平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义：如果将图形绕点顺时针旋转得到图形，那么图形称为图形关于点的“垂直图形”．已知点的坐标为，点的坐标为，关于原点的“垂直图形”记为，点，的对应点分别为点，．（1）请写出：点的坐标为；点的坐标为；（2）请求出经过点，，的二次函数解析式；（3）请直接写出经过点，，的抛物线的表达式为．22. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线沿轴向右平移个单位，使得新抛物线经过原点，求的值以及新抛物线的表达式．23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和点（点在点的左侧），与轴交于点，且．（1）求这个函数的解析式，并直接写出顶点的坐标；（2）点是二次函数图象上一个动点，作直线轴交抛物线于点（点在点的左侧），点关于直线的对称点为，如果四边形是正方形，求点的坐标；（3）若射线与射线相交于点，求的大小．24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为点．（1）求直线的表达式；（2）求的值；（3）设线段与轴交于点，如果点在轴上，且与相似，求点的坐标．25. 如图，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交该抛物线于点．（1）求直线的表达式，直接写出顶点的坐标；（2）当以，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标；（3）当时，求与的面积之比．26. 二次函数的自变量的取值与函数的值列表如下：（1）根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；（2）请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图象的顶点落在直线上，并写出平移后二次函数的解析式．27. 已知，二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交点．（1）求二次函数解析式；（2）设点为轴上一点，且，求的值；（3）若点是直线上方抛物线上一动点，连接，过点作，交于点，求线段的最大值及此时点的坐标．28. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在轴的正半轴上），与轴交于点，已知．（1）求顶点和点的坐标；（2）将抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线与轴交于点，求点的坐标和的面积；（3）如果点在原抛物线的对称轴上，当与相似时，求点的坐标．29. 已知开口向上的抛物线与轴的交点为，顶点为，点与点关于对称轴对称，直线与交于点．（1）求点的坐标，并用含的代数式表示点的坐标；（2）当时，求抛物线的表达式；（3）当时，求的长．30. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点．（1）求抛物线的对称轴及点的坐标；（2）如果，求抛物线的表达式；（3）在（）的条件下，已知点是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标．答案第一部分1. A【解析】由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．2. C【解析】A、是二次根式的的形式，不是二次函数，故本选项不符合题意；B、，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、是二次函数，故本选项符合题意；D、，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：C．3. D【解析】抛物线化成顶点式为，顶点坐标为，将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的顶点坐标是．4. C【解析】由函数图象可得：抛物线开口向上，，又对称轴在轴右侧，，，又图象与轴交于负半轴，，，在第三象限．故选：C．5. C【解析】，抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；对称轴为直线，故选项B正确，不符合题意；当时，，即抛物线与轴的交点坐标是，故选项C错误，符合题意；顶点坐标为，故选项D正确，不符合题意．第二部分6.【解析】抛物线开口向下，，即．7.【解析】根据题意得：抛物线的对称轴为直线，且开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大，，．8.【解析】当和时，的值都是，该抛物线的对称轴是直线．【解析】二次函数的图象经过原点，．．10.【解析】中，，故，解得，故抛物线为，将代入有，故顶点坐标为．故答案为：．11.【解析】在对称轴右侧部分是下降，设抛物线的解析式可以为，经过点，解析式可以是．12.【解析】，二次函数顶点坐标为，顶点在轴上，，13. 低【解析】抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，抛物线中，开口方向向上，该抛物线有最低点．【解析】点是抛物线图象上一点，故设，将点向下平移个单位到点，故把绕点顺时针旋转得到点，如图，过点作于，过点作于，，，，故，，故，把代入，，解得，．15.【解析】二次函数的图象的对称轴是直线，且，在对称轴的右边随的增大而增大，点，是二次函数的图象上两点，，16.【解析】抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是：，即，故答案为：．17.【解析】二次函数图象与轴有且只有一个公共点，，解得：．18.【解析】抛物线的对称轴方程，抛物线的对称轴是．即对称轴是．19.【解析】设顶点为的抛物线顶点坐标为，已知抛物线的顶点坐标为，，，即，解得，直线与轴正半轴交于点，点坐标为，则直线解析式为，点在直线上，点也在抛物线，故有化简得联立得，化简得，解得或（舍），将代入有，解得故点坐标为，则顶点为的抛物线的表达式为，将代入有，化简得，解得，故顶点为的抛物线的表达式为．20.【解析】直线与轴的交点，点坐标为，是抛物线的顶点，抛物线解析式为，解得或直线与抛物线的两个交点坐标为，，抛物线关于直线的割距是．第三部分21. （1）；【解析】根据题意作下图：根据旋转的性质得：，，，．（2）设过点，，的二次函数解析式为：，将点，，分别代入中得：解得：，，，．（3）【解析】设过点，的二次函数解析式为：，将点，，分别代入中得：解得：，，，．22. （1），；，，抛物线的对称轴为直线，则抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入得，解得，抛物线解析式为．（2）将抛物线沿轴向右平移个单位，得到，经过原点，，解得，（舍去），，新抛物线的表达式为．23. （1）因为抛物线为的对称轴为直线，，所以，，把代入得，所以，所以抛物线的解析式为，；【解析】因为，所以；（2）因为四边形是正方形，所以是等腰直角三角形，连接交于点，所以，设，，则，即，，解得（舍），，所以；（3）因为，，，，所以直线：，直线：，所以点，，所以，作，所以，，所以，所以是等腰直角三角形，所以．24. （1）抛物线经过点，，解得：，抛物线解析式为，当时，，点的坐标为，设直线的解析式为，把，，代入得：解得：直线的解析式为；（2）如图，连接，，，点的坐标为，，，，，，，为直角三角形，；（3）设直线的解析式为，把点，代入得：解得：直线的解析式为，当时，，点的坐标为，当时，，如图，过点作轴于点，则，，，，由（）知，，，，，点的坐标为；当时，，此时点与点重合，点的坐标为，综上所述，点的坐标为．25. （1）令，则，或，，令，则，，设直线的解析式为；；【解析】，．（2），，是直角三角形，设，①如图，当时，，，，（舍）或，；②如图，当时，过点作交于点，，，，，，即，，，，（舍）或，；综上所述：点的坐标为或．（3）如图，作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点，，，，，在中，，，，，，，设，则，，，，，，，，，，，．26. （1）因为二次函数过，，设，把代入抛物线的解析式可得：，解得：，所以抛物线为：．而，所以顶点坐标为：．（2）因为平移后二次函数图象的顶点落在直线上，所以顶点的横坐标与纵坐标相等，而顶点坐标为：，当顶点坐标变为：时，把抛物线向下平移个单位长度即可；此时抛物线为：，当顶点坐标变为：时，把抛物线向右平移个单位长度即可．此时抛物线为：．27. （1）把，代入中，得解得：，，．（2）在二次函数解析式为，令，则，则点坐标，而，，，，，，．（3）设直线为：，把和代入得：解得：，，，过点作轴，交于点，，，是等腰直角三角形，，设点，则，，当且仅当时，的最大值是，当点时，的最大值是．28. （1），．（2），．（3）．29. （1）令，可得，点的坐标为，抛物线的对称轴为：，点的坐标为，令，可得，顶点的坐标为．（2）如图：当时，即是直角三角形，，，解得，抛物线的表达式为：或．（3）如图：在抛物线的对称轴上，，，，，点，点，直线的解析式为，点坐标为，，或，解得或，点的坐标为或，设直线的解析式为，则或解得：或直线的解析式为或．或解得：或点的坐标为或，，的长为或．30. （1）二次函数，对称轴是，，，，．（2）二次函数，在轴上，的横坐标是，纵坐标是，轴平行于对称轴，，，，，的纵坐标是的横坐标是对称轴，，，解这个方程组得：，．（3）假设点在如图所示的位置上，连接，，，与相交于点，由（）可知：，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，解这个方程组得：，，点在线段的下方，（舍去），．。

课时训练(十三)二次函数的图象与性质(一)[限时:分钟]夯实基础1.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是()A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-33.[2018·河西区结课考]已知函数y=(x-1)2,下列结论正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而减小B.当x<0时,y随x的增大而增大C.当x<1时,y随x的增大而减小D.当x<-1时,y随x的增大而增大4.[2021·绍兴]关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是()A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值65.[2021·上海]将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位,以下说法错误的是()A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变6.[2021·泰安]将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点()A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)7.[2021·陕西]下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:x…-2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中,正确的是()A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点C.这个函数的最小值小于-6D.当x>1时,y的值随x值的增大而增大8.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为.9.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是.10.[2018·河西区一模]请写出一个二次函数的解析式,满足其图象过点(1,0),且与x轴有两个不同的交点:.11.[2021·广东]把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为.12.(1)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点(1,3)和(3,-5),求a,b的值.(2)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为1和2.求这个二次函数的表达式.13.[2021·宁波]如图K13-1,二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)的图象的对称轴为直线x=2. (1)求a 的值;(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.图K13-1能力提升14.[2019·河西区二模]已知抛物线y=x 2+2mx-3m (m 是常数),且无论m 取何值,该抛物线都经过某定点H ,则点H 的坐标为 ( ) A .-32,1B .-32,-1C .32,94D .-32,9415.[2021·福建]二次函数y=ax 2-2ax+c (a>0)的图象过A (-3,y 1),B (-1,y 2),C (2,y 3),D (4,y 4)四个点,下列说法一定正确的是( ) A .若y 1y 2>0,则y 3y 4>0 B .若y 1y 4>0,则y 2y 3>0 C .若y 2y 4<0,则y 1y 3<0D .若y 3y 4<0,则y 1y 2<016.如图K13-2,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点A ,B (m+2,0),与y 轴相交于点C ,点D 在该抛物线上,坐标为(m ,c ),则点A 的坐标是 .图K13-217.[2021·北京]在平面直角坐标系xOy 中,点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=ax 2+bx (a>0)上. (1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.(2)已知点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上.若mn<0,比较y 1,y 2,y 3的大小,并说明理由.【参考答案】1.C2.C3.C4.D5.D [解析] 将二次函数图象向下平移,不改变开口方向,故A 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变对称轴,故B 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变函数的增减性,故C 正确;抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与y 轴的交点坐标为(0,c ),将二次函数的图象向下平移两个单位,与y 轴的交点坐标为(0,c-2),改变,故D 错误.6.B [解析] y=-x 2-2x+3=-(x 2+2x )+3=-[(x+1)2-1]+3=-(x+1)2+4, ∵将抛物线y=-x 2-2x+3向右平移1个单位,再向下平移2个单位, ∴得到的抛物线的解析式为y=-x 2+2.将选项中的四个坐标代入可知,只有B 选项中的坐标符合题意.7.C [解析] 设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ,由题知{6=a ×(-2)2+b ×(-2)+c ,-4=c ,-6=a +b +c ,解得{a =1,b =-3,c =-4,∴二次函数的解析式为y=x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=x-322-254,∴函数图象开口向上,∴A 错误;∵图象与x 轴的交点为(4,0)和(-1,0),∴B 错误;∵当x=32时,函数有最小值为-254,∴C 正确;∵函数图象的对称轴为直线x=32,根据图象可知当x>32时,y 的值随x 值的增大而增大,∴D 错误. 8.直线x=2 9.(1,4)10.y=x 2-3x+2(答案不唯一) [解析] ∵抛物线过点(1,0),∴设抛物线的解析式为y=a (x-1)(x-m ). ∵抛物线与x 轴有两个不同的交点,∴m ≠1,取a=1,m=2,则抛物线的解析式为y=(x-1)(x-2)=x 2-3x+2. 11.y=2x 2+4x12.解:(1)将(1,3)和(3,-5)分别代入y=ax 2+bx+1, 得:{a +b +1=3,9a +3b +1=-5,解得:{a =-2,b =4.∴a 的值为-2,b 的值为4.(2)由题意得,二次函数的图象经过点(1,0)和(2,0), 将(1,0)和(2,0)分别代入y=-x 2+bx+c , 得{-1+b +c =0,-4+2b +c =0,解得{b =3,c =-2, ∴这个二次函数的表达式为y=-x 2+3x-2.13.解:(1)由二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)知,该抛物线与x 轴的交点坐标是(1,0)和(a ,0). ∵对称轴为直线x=2,∴1+a 2=2.解得a=3.(2)由(1)知a=3,则该抛物线解析式是:y=x 2-4x+3,由抛物线向下平移3个单位后经过原点,得平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x 2-4x. 14.C [解析] 由y=x 2+2mx-3m=x 2+m (2x-3)可知当x=32时,无论m 取何值y 都等于94,∴点H 的坐标为32,94.15.C [解析] ∵y=ax 2-2ax+c=a (x-1)2-a+c ,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴四点中距离对称轴远近关系从远到近排列为:A ,D ,B ,C ,当y 2y 4<0时,一定是y 2<0,y 4>0,根据对称性判断y 3<0,y 1>0,∴y 1y 3<0,因此本题选C .16.(-2,0) [解析] 由C (0,c ),D (m ,c ),得函数图象的对称轴是直线x=m2,设A 点坐标为(x ,0),由A ,B 关于对称轴x=m2对称可得x+m+22=m 2,解得x=-2,即A 点坐标为(-2,0).17.解:(1)∵m=3,n=15, ∴点(1,3),(3,15)在抛物线上,将(1,3),(3,15)的坐标代入y=ax 2+bx 得: {3=a +b ,15=9a +3b ,解得{a =1,b =2,∴y=x 2+2x=(x+1)2-1, ∴抛物线对称轴为直线x=-1.(2)由题意得:抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0),则由mn<0可得:①当m>0,n<0时,由抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0)可得此时的抛物线开口向下,即a<0,与a>0矛盾; ②当m<0,n>0时,∵抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0), ∴此时抛物线的对称轴的范围为12<-b2a <32, ∵点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上,∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32<-b2a-(-1)<52,12<2--b2a<32,52<4--b2a<72,∵a>0,开口向上,∴由抛物线的性质可知离对称轴越近y 越小, ∴y 2<y 1<y 3.。

2021中考数学专题训练：二次函数的图象及性质一、选择题1. 在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到2. 抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是()A. (3，1)B. (3，－1)C. (－3，1)D. (－3，－1)3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：有下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上的两点，则x1<x2.其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．54. 某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)：根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的() A．3.2<x1<3.3 B．3.3<x1<3.4 C．3.4<x1<3.5 D．3.1<x1<3.25. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2>4ac；②abc<0；③2a ＋b－c>0；④a＋b＋c<0.其中正确的是()A．①④B．②④C．②③D．①②③④6. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x–m)2–m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；④当–1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是A．①B．②C．③D．④7. （2020·常德）二次函数的图象如图所示，下列结论：240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18. （2020·湖北孝感）将抛物线：y =-2x +3向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x 轴对称，则抛物线的解析式为( ) A.y =--2 B.y =-+2 C.y =-2 D.y =+2二、填空题9. 经过A (4，0)，B (-2，0)，C (0，3)三点的抛物线解析式是_____________.10. 如图所示，抛物线y ＝ax 2－3x ＋a 2－1经过原点，那么a 的值是________．11. 已知函数y ＝ax 2＋c 的图象与函数y ＝－3x 2－2的图象关于x 轴对称，则a ＝________，c ＝________．12. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，=-．则M、N的大小关系为M__________N．(填“>”、“=”或“<”)N a b13. 如图，抛物线y=-x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x 轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为.14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题15. 已知抛物线经过点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求该抛物线的解析式．16. 把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图5－ZT －4所示的二次函数的图象．(1)求此二次函数的解析式；(2)在平移后的抛物线上存在一点M，使△ABM的面积为20，请直接写出点M的坐标．17. 如图，二次函数的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.(1)请直接写出点D的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.18. 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2021中考数学专题训练：二次函数的图象及性质-答案一、选择题1. 【答案】C[解析]根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2)2+1，得它的顶点坐标是(2，1)，对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图象开口向上，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以选项C是错误的，故选C.2. 【答案】A【解析】∵抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，∴y＝2(x －3)2＋1的顶点坐标是(3，1)．3. 【答案】B[解析] 先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确．由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0，0)，(4，0)，所以抛物线的对称轴为直线x＝2且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确．由图象可以看出当0<x<4时，y<0，所以结论③错误．由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对应的点均有两个，若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，既有可能x1<x2，也有可能x1>x2，所以结论⑤错误．4. 【答案】B[解析] 从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y随x的增大而增大，且x＝3.3时，y＝－0.17<0，x＝3.4时，y＝0.08>0，故y＝0一定在3.3<x<3.4这个范围内取得，∴方程的根也在此范围内．故选B.5. 【答案】A[解析] ①因为图象与x轴有两个不同的交点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故①正确．②图象开口向下，故a<0.图象与y轴交于正半轴，故c>0.因为对称轴为直线x＝－1，所以－b2a＝－1，所以2a＝b，故b<0，所以abc>0，故②错误．③因为a<0，b<0，c>0，所以2a ＋b －c<0，故③错误．④当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ，由图可得，当x ＝－3时，y<0.因为抛物线的对称轴为直线x ＝－1，所以由对称性可知，当x ＝1时，y<0，即a ＋b ＋c<0，故④正确．综上所述，①④正确，故选A.6. 【答案】C【解析】把(m ，–m+1)代入y=–x+1，–m+1=–m+1，左=右，故①正确； 当–(x –m)2–m+1=0时，x1=1m m -x2=1m m - 若顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形， 则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m)，即m2–m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确； 当x1<x2，且x1、x2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，即y1>y2，故③错误； ∵–1<0，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴m≥2，故④正确， 故选C ．7. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =，22ba∴-=，40a b ∴+=，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>.0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.综上所述，正确的结论有3个，因此本题选B ．8. 【答案】A【解析】利用平移得性质“上加下减，左加右减”得抛物线得解析式：y =-2(x +1)+3，整理得y =+2，再利用关于x 轴对称的性质“横坐标不变，纵坐标互为相反数”得：y =--2.故选A. 二、填空题9. 【答案】y=-(x -4)(x +2)[解析]设抛物线解析式为y=a (x -4)(x +2)，把C (0，3)代入上式得3=a (0-4)(0+2)，解得a=-，故y=-(x -4)(x +2).10. 【答案】－1 [解析] 因为抛物线经过原点(0，0)，所以a 2－1＝0，即a ＝±1.因为抛物线的开口向下，所以舍去a ＝1.故a ＝－1.11. 【答案】3212. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>， 当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<， 即M N <， 故答案为：<．13. 【答案】2[解析]当y=0时，-x 2+x +2=0，解得x 1=-2，x 2=4，∴点A 的坐标为(-2，0).当x=0时，y=-x 2+x +2=2，∴点C 的坐标为(0，2). 当y=2时，-x 2+x +2=2，解得x 1=0，x 2=2， ∴点D 的坐标为(2，2).设直线AD 的解析式为y=kx +b (k ≠0)，将A (-2，0)，D (2，2)代入y=kx +b ，得解得∴直线AD 的解析式为y=x +1.当x=0时，y=x +1=1，∴点E 的坐标为(0，1). 当y=1时，-x 2+x +2=1，解得x 1=1-，x 2=1+， ∴点P 的坐标为(1-，1)，点Q 的坐标为(1+，1)，∴PQ=1+-(1-)=2.14. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题15. 【答案】解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2且经过点A(1，0)，∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)．设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)(x －3)．把(0，3)代入解析式，得3＝3a ，∴a ＝1，∴y ＝(x －1)(x －3)，即该抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3.16. 【答案】解：(1)此二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)2－4，即y ＝x2＋2x －3.(2)∵当y ＝0时，x2＋2x －3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(1，0)，B(－3，0)，∴AB ＝4. 设点M 的坐标为(m ，n)．∵△ABM 的面积为20，∴12AB·|n|＝20，解得n ＝±10. 当n ＝10时，m2＋2m －3＝10，解得m ＝－1＋14或m ＝－1－14，∴点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)；当n ＝－10时，m2＋2m －3＝－10，此方程无解．故点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)．17. 【答案】解:(1)D(-2，3).(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)，根据题意，得解得∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(3)x<-2或x>1.18. 【答案】（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得2,0,42 1.a b cca b c++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得32a=-，72b=，0c=．所以23722y x x=-+．（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－y M′＝yP′－yB．直线OC的解析式为12y x=，设点P的坐标为1(,)2x x，那么237(,)22M x x x-+．解方程23712()222x x x--+=，得123x=，22x=．x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以21(,)33P．图2 图3（3）如图3，△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，作EK ⊥OD 于K ．设点A ′移动的水平距离为m ，那么OG ＝1＋m ，GB ′＝m ．在Rt △OFG 中，11(1)22FG OG m ==+．所以21(1)4OFG S m ∆=+． 在Rt △A ′HG 中，A ′G ＝2－m ，所以111'(2)1222HG A G m m ==-=-． 所以13(1)(1)22OH OG HG m m m =-=+--=． 在Rt △OEK 中，OK ＝2 EK ；在Rt △EHK 中，EK ＝2HK ；所以OK ＝4HK ． 因此4432332OK OH m m ==⨯=．所以12EK OK m ==． 所以211332224OEH S OH EK m m m ∆=⋅=⨯⋅=． 于是22213111(1)44224OFG OEH S S S m m m m ∆∆=-=+-=-++2113()228m =--+． 因为0＜m ＜1，所以当12m =时，S 取得最大值，最大值为38．。

1 2 中考数学 专题 15 二次函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、二次函数的概念：1.二次函数的概念：（1）一般地，如果 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数； （2）抛物线 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式。

2.二次函数的解析式（ 二次函数的解析式有三种形式）： （1）一般式：y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0) （2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 是常数，a≠0) （3）两根式(交点式)：y=a(x-x 1)(x-x 2)；①已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、x 2，通常选用交点式； 即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 和 x 存在； ②如果没有交点，则不能这样表示。

3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ； （2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k ，其中对称轴为 x ＝h ，顶点坐标为(h ，k)；（3）若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式(交点式)：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中与 x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)。

【例题 1】已知二次函数的图象经过(2，10)、(0，12)和(1，9)三点，求二次函数的解析式.【答案】y=2x 2-5x+12【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ，把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入求出 a ，b ，c 即可．解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ；⎨ ⎩ ⎧4a + 2b + c = 10 把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入得⎪c = 12⎪a + b + c = 9 所以，二次函数的解析式为：y=2x 2-5x+12。

2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（四）1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其中A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣4）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，PD⊥AC，当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；（3）将△BOC沿直线BC平移，平移后的三角形为△B'O'C'（其中点O'与点O不重合），点S是坐标平面内一点，若以A，C，O'，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点O'的坐标．2．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，且OC ＝OB ．（1）求点C 的坐标和此抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，BC ，求△BCE 面积的最大值； （3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A ′恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．3．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 坐标为（﹣1，0），一次函数y ＝x +k 的图象经过点B 、C ． （1）试求二次函数及一次函数的解析式；（2）如图1，点D （2，0）为x 轴上一点，P 为抛物线上的动点，过点P 、D 作直线PD 交线段CB 于点Q ，连接PC 、DC ，若S △CPD ＝3S △CQD ，求点P 的坐标；（3）如图2，点E 为抛物线位于直线BC 下方图象上的一个动点，过点E 作直线EG ⊥x 轴于点G ，交直线BC 于点F ，当EF +CF 的值最大时，求点E 的坐标．4．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点是A （1，3），将OA 绕点O 顺时针旋转90°后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与△OAB 的边分别交于M ，N 两点，将△AMN 以直线MN 为对称轴翻折，得到△A ′MN ，设点P 的纵坐标为m ．①当△A ′MN 在△OAB 内部时，求m 的取值范围； ②是否存在点P ，使S △A ′MN ＝S △OA ′B ，若存在，求出满足条件m 的值；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+4图象的顶点为A ，与y轴交于点B ，异于顶点A 的点C （1，n ）在该函数图象上． （1）当m ＝5时，求n 的值．（2）当n ＝2时，若点A 在第一象限内，结合图象，求当y ≥2时，自变量x 的取值范围． （3）作直线AC 与y 轴相交于点D ．当点B 在x 轴上方，且在线段OD 上时，求m 的取值范围．8．已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．9．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线l：线y＝﹣x+m与该抛物线交于D、E两点，如图．①连接CD、CE、BE，当S△BCE ＝3S△CDE时，求m的值；②是否存在m的值，使得原点O关于直线l的对称点P刚好落在该抛物线上？如果存在，请直接写出m的值；如果不存在，请说明理由．10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），∵抛物线过C（0，﹣4），∴﹣8a＝﹣4，∴，∴此抛物线解析式为；（2）过点P作PE∥y轴交AC于点E，如下图所示，∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），∴AC解析式为y＝﹣x﹣4，设P（），E（m，﹣m﹣4），则PE＝，∵，∴当时，PE最大，此时PD最大，∴P（﹣2，﹣4）；（3）∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），O′（a，2a），∴AC2＝32，CO'2＝5a2+16a+16，AO'2＝5a2+8a+16，①CA2＝CO′2即5a2+16a+16＝32，∴，∴O′（﹣4，﹣8），，1②AC2＝AO′2即5a2+8a+16＝32，∴，∴，，③CO'2＝AO'2即5a2+8a+16＝5a2+16a+16，∴a＝0，∴O5′（0，0）（舍），综上所述，满足条件的点O'坐标有O1′（﹣4，﹣8），，，．答：（1）此抛物线解析式为；（2）P（﹣2，﹣4）；（3）点O'坐标有O1′（﹣4，﹣8），，，．2．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴OB＝3，∵OC＝OB，∴OC＝3，∴c＝3，∴，解得：，∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，C（0，3）．（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，∴S△BEC ＝S四边形BOCE﹣S△BOC＝BF•EF+（OC+EF）•OF﹣•OB•OC＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）﹣＝﹣a2﹣a＝﹣（a +）2+，∴当a ＝﹣时，S △BEC 最大，且最大值为．（3）∵抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3的对称轴为x ＝﹣1，点P 在抛物线的对称轴上， ∴设P （﹣1，m ），∵线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A 1恰好也落在此抛物线上， ①当m ≥0时，∴PA ＝PA 1，∠APA 1＝90°，如图3，过A 1作A 1N ⊥对称轴于N ，设对称轴于x 轴交于点M ， ∴∠NPA 1+∠MPA ＝∠NA 1P +∠NPA 1＝90°， ∴∠NA 1P ＝∠NPA ， 在△A 1NP 与△PMA 中，，∴△A 1NP ≌△PMA （AAS ）， ∴A 1N ＝PM ＝m ，PN ＝AM ＝2， ∴A 1（m ﹣1，m +2），代入y ＝﹣x 2﹣2x +3得：m +2＝﹣（m ﹣1）2﹣2（m ﹣1）+3， 解得：m ＝1，m ＝﹣2（舍去），②当m ＜0时，要使P 2A ＝P 2A 2，由图可知A 2点与B 点重合， ∵∠AP 2A 2＝90°， ∴MP 2＝MA ＝2， ∴P 2（﹣1，﹣2），∴满足条件的点P 的坐标为P （﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∵一次函数y＝x+k的图象经过点B、C，∴k＝﹣5，∴B（5，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，∴﹣5a＝﹣5，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，一次函数的解析式为y＝x﹣5．（2）①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．∵S△CPD ＝3S△CQD，∴PD＝3DQ，∵PT∥DH∥BC，∴＝＝＝3，∵D（2，0），B（5，0），C（﹣5，0），∴OA＝OB＝5，OD＝OH＝2，∴HC＝3，∴TH＝9，OT＝7，∴直线PT的解析式为y＝x+7，由，解得或，∴P（，）或（，），②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，当点P与抛物线的顶点（2，﹣9）重合时，PD＝9．DQ＝3，∴PQ＝3DQ，∴S△CPD ＝3S△CQD，过点P作PP′∥BC，此时点P′也满足条件，∵直线PP′的解析式为y＝x﹣11，由，解得或，∴P′（3，﹣8），综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（2，﹣9）或（3，﹣8）．（3）设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5），∴EF＝（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）＝5m﹣m2，CF＝m，∴EF+CF＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3时，EF+CF的值最大，此时E（3，﹣8）．4．解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b．得，解得，∴y＝﹣x﹣3，∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，∴当m＝﹣时，MN有最大值．②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝﹣3+或0（舍弃）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有，m 2+3m ＝﹣m ， 解得m ＝﹣3﹣或0（舍弃）， ∴MN ＝CQ ＝3+2，∴OQ ＝CQ ﹣OC ＝3﹣1， ∴Q （0，3﹣1）．综上所述，满足条件的点Q 的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）． 5．解：（1）把点A （﹣3，）代入y ＝ax 2，得到＝9a ， ∴a ＝， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2．（2）设直线l 的解析式为y ＝kx +b ，则有，解得，∴直线l 的解析式为y ＝﹣x +，令x ＝0，得到y ＝， ∴C （0，）， 由，解得或，∴B （1，），如图1中，过点A 作AA 1⊥x 轴于A 1，过B 作BB 1⊥x 轴于B 1，则BB 1∥OC ∥AA 1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1+或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，∵OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，∴B（3，﹣1），把B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3，即y＝﹣x2+2x+2，（2）①如图1中，连接OA′，A′B．∵B（3，﹣1），∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵A（1，3），∴C（1，﹣），∵P（1，m），AP＝PA′，∴A′（1，2m﹣3），由题意3＞2m﹣3＞﹣，∴3＞m＞．②当点P在x轴上方时，∵直线OA的解析式为y＝3x，直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，∵P（1，m），∴M（，m），N（，m），∴MN＝﹣＝，∵S△A′MN ＝S△OA′B，∴•（m﹣2m+3）•＝××|2m﹣3+|×3，整理得m2﹣6m+9＝|6m﹣8|解得m＝6+（舍去）或6﹣，当点P在x轴下方时，同法可得•（3﹣m）•（+3m）＝××[﹣﹣（2m﹣3）]×3，整理得：3m2﹣12m﹣1＝0，解得m＝或（舍去），∴满足条件的m的值为6﹣或．7．解：（1）当m＝5时，y＝﹣（x﹣5）2+4，当x＝1时，n＝﹣×42+4＝﹣4．（2）当n＝2时，将C（1，2）代入函数表达式y＝﹣（x﹣m）2+4，得2＝﹣（1﹣m）2+4，解得m＝3或﹣1（舍去），∴此时抛物线的对称轴x＝3，根据抛物线的对称性可知，当y＝2时，x＝1或5，∴x的取值范围为1≤x≤5．（3）∵点A与点C不重合，∴m≠1，∵抛物线的顶点A的坐标是（m，4），∴抛物线的顶点在直线y＝4上，当x＝0时，y＝﹣m2+4，∴点B的坐标为（0，﹣m2+4），抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置前，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，当点B与O重合时，﹣m2+4＝0，解得m＝2或﹣2（不合题意舍去），当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，∴点B（0，4），∴﹣m2+4＝4，解得m＝0，当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，∴B点在线段OD上时，m的取值范围是：0≤m＜1或1＜m＜2．8．解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c 则有，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0）．（2）如图1中连接AD，CD．∵点D到直线AC的距离取得最大，∴此时△DAC的面积最大，设直线AC解析式为：y＝kx+b，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，解得，，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3），∵点D在第三象限，∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，∴S＝•DG•OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，△ACD＝，点D（﹣，﹣），∴当x＝﹣时，S最大∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．（3如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，∴N″（2，5）．综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．9．解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c可得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+．（2）①如图1中，对于y═﹣x2+x+，令x＝0，可得y＝，∴C（0，），∵B（3，0），∴OC＝，OB＝3，∴tan∠CBO＝，∴∠CBO＝30°，∵直线l：y＝﹣x+m与x轴交于N（m，0）与y轴交于M（0，m），∴tan∠MNO＝＝，∴∠MNO＝30°＝∠CBO，∴l∥BC，∵S△BCE ＝3S△CDE，∴BC＝3DE，∴直线l应该在BC的上方，在BC上取一点F，使得BC＝3BF，∴BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵C（0，），B（3，0），BC＝3BF，∴F（2，），设D（n，﹣n+m），则E（n+1，﹣（n+1）+m），将它们代入抛物线的解析式得到：，解得，∴m的值为．②如图2中，过点O作OM⊥BC交抛物线于M或M′．则直线OM的解析式为y＝x，由，解得或，∴M（，），M′（，），由题意直线l经过OM或OM′的中点，∴＝﹣×+m或＝﹣×+m，解得m＝．10．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）．（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），＝•PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），则S△PBC∵﹣＜0，故S有最大值，此时x＝，△PBC故点P（，﹣）．（3）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，作QH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①，则直线AH所在表达式中的k值为﹣，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入y＝﹣x+s并解得：s＝，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为．。

2021中考数学专题训练：二次函数的图象及其性质一、选择题1. 若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b，k的值分别为()A. 0，5B. 0，1C. －4，5D. －4，12. 已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2，n)和(4，n)两点，则n的值为()A.-2B.-4C.2D.43. 如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是()A. y＝(x－1)2＋2B. y＝(x＋1)2＋2C. y＝x2＋1D. y＝x2＋34. 2019·雅安在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中错误的是()A．y的最小值为1B．图象的顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，顶点为D(－1，2)，与x轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，有以下结论：①b2－4ac＜0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝0；④一元二次方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个6. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(b＞a＞0)与x轴最多有一个交点．现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0无实数根；③a －b ＋c ≥0；④a ＋b ＋cb －a的最小值为3.其中，正确结论的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7. （2020·株洲）二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则（ ）A. 12y y =-B. 12y y >C. 12y y <D. 1y 、2y 的大小无法确定8. 如图，边长为2的等边△ABC 和边长为1的等边△A ′B ′C ′，它们的边B ′C ′，BC位于同一条直线l 上，开始时，点C ′与B 重合，△ABC 固定不动，然后把△A ′B ′C ′自左向右沿直线l 平移，移出△ABC 外(点B ′与C 重合)停止，设△A ′B ′C ′平移的距离为x ，两个三角形重合部分的面积为y ，则y 关于x 的函数图象是( )二、填空题9. 已知二次函数y=x 2-4x+k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是 .10.抛物线y ＝－8x 2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ＞0时，y 随x 的增大而________，当x ＜0时，y 随x 的增大而________．11. 若方程(x －m )(x －n )＝3(m ，n为常数，且m ＜n )的两实数根分别为a 、b (a ＜b )，则m 、n 、a 、b 的大小关系为______________．12. 二次函数y ＝－2x 2－4x ＋5的最大值是________．13. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42Ma b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．(填“>”、“=”或“<”)14. 已知函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x >0），－x （x ≤0）的图象如图所示，若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．三、解答题15. 如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．16. 已知抛物线l ：y ＝(x －h )2－4(h 为常数)．(1)如图22－B －2(a)，当抛物线l 恰好经过点P (1，－4)时，l 与x 轴从左到右的交点为A ，B ，与y 轴交于点C .①求l 的解析式，并写出l 的对称轴及顶点坐标．②在l 上是否存在点D (与点C 不重合)，使S △ABD ＝S △ABC ？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．③M 是l 上任意一点，过点M 作ME ⊥y 轴于点E ，交直线BC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点M 的坐标．(2)设l 与直线y ＝35x －245有个交点的横坐标为x 0，且满足3≤x 0≤5，通过l 位置随h 变化的过程，直接写出h 的取值范围．17. 如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (0, 1)、B (4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式； （2）求tan ∠ABO 的值；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ，交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝2114x ，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上． (1) 写出点M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时．①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；②当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．2021中考数学专题训练：二次函数的图象及其性质-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由y＝(x－2)2＋k知此二次函数的顶点坐标为(2，k)，对称轴为x＝2，由y＝x2＋bx＋5知其对称轴为x＝－b2，得－b2＝2，所以b＝－4；于是可以得到函数的解析式是y＝x2－4x＋5，把(2，k)代入其中即得k＝1.2. 【答案】B[解析]由抛物线过(-2，n)和(4，n)，说明这两个点关于对称轴对称，即对称轴为直线x=1，所以-=1，又因为a=-1，所以可得b=2，即抛物线的解析式为y=-x2+2x+4，把x=-2代入解得n=-4.3. 【答案】C【解析】根据图象平移变换口诀“左加右减，上加下减”进行解答．把抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位得y＝x2＋2－1＝x2＋1.4. 【答案】C5. 【答案】B序号逐项分析正误①∵b>a>0，∴对称轴－b2a<0，即对称轴在y轴左侧√②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，∴y＝ax2＋bx＋c≥0，∴方程ax2＋bx＋c＋2＝0即ax2＋bx＋c＝－2无实数根√③由②得y＝ax2＋bx＋c≥0，∴当x＝－1时，a－b＋c≥0√④∵当x＝－2时，y＝4a－2b＋c≥0，∴a＋b＋c≥3b－3a，a＋b＋c≥3(b－a)，∵b＞a，∴a＋b＋cb－a≥3√7. 【答案】B【解析】首先分析出a,b,x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1,y2，再作差法比较y1,y2的大小.∵20a b->，b2≥0,∴a>0.又∵0ab <， ∴b <0.∵12x x <，120x x +=， ∴21x x =-,x 1<0.∵点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数2y ax bx c =++的图象上∴2111y ax bx c =++，2222211y ax bx c ax bx c =++=-+.∴y 1-y 2=2bx 1>0. ∴y 1>y 2.故选：B.8. 【答案】B【解析】由题意知：在△A ′B ′C ′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x ≤1时，边长为x ，此时y ＝12x ×32x ＝34x 2；当1＜x ≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y ＝12×1×32＝34；当2＜x ≤3时，边长为3－x ，此时y ＝12(3－x )×32(3－x )．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为34.故选B.二、填空题9. 【答案】k<4 [解析]∵二次函数y=x 2-4x +k 的图象的顶点在x 轴下方， ∴二次函数y=x 2-4x +k 的图象与x 轴有两个公共点. ∴b 2-4ac>0，即(-4)2-4×1×k>0.解得 k<4.10. 【答案】下y 轴 (0，0) 减小 增大11. 【答案】a ＜m ＜n ＜b【解析】如解图，解方程(x －m)(x －n)＝3可以看作是求y ＝(x －m)(x －n)与y ＝3这两个函数图象的交点，由解图易得a ＜m ＜n ＜b.12. 【答案】713. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>， 当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<， 即M N <， 故答案为：<．14. 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫23，00<m<14 [解析] 联立y ＝x ＋m 与y ＝－x 2＋2x ，得x ＋m ＝－x2＋2x ，整理得x 2－x ＋m ＝0，当有两个交点时，b 2－4ac ＝(－1)2－4m>0，解得m<14.当直线y ＝x ＋m 经过原点时，与函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x>0）x （x≤0）的图象有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0， ∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<14.三、解答题15. 【答案】解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3. (2)因为y ＝x2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2. (3)阴影部分的面积为2.16. 【答案】解：(1)①将P (1，－4)代入y ＝(x －h )2－4，得(1－h )2－4＝－4，解得h ＝1， ∴抛物线l 的解析式为y ＝(x －1)2－4，∴抛物线l 的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－4)． ②存在．将x＝0代入y＝(x－1)2－4，得y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)，∴OC＝3.∵S△ABD＝S△ABC，∴点D的纵坐标为3或－3.当y＝－3时，(x－1)2－4＝－3，解得x1＝2，x2＝0(舍去)，∴点D的坐标为(2，－3)．当y＝3时，(x－1)2－4＝3，解得x1＝1＋7，x2＝1－7，∴点D的坐标为(1＋7，3)或(1－7，3)．综上所述，在抛物线l上存在点D(与点C不重合)，使S△ABD＝S△ABC，点D的坐标为(2，－3)或(1＋7，3)或(1－7，3)．③如图(a)所示：∵∠EOF＝∠OED＝∠OFD＝90°，∴四边形OEDF为矩形，∴OD＝EF.依据垂线段的性质可知：当OD⊥BC时，OD有最小值，即EF有最小值．把y＝0代入抛物线的解析式，得(x－1)2－4＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)，∴OB＝OC.又∵OD⊥BC，∴CD＝BD.∴点D的坐标为(32，－32)．将y＝－32代入y＝(x－1)2－4，得(x－1)2－4＝－32，解得x 1＝－102＋1，x 2＝102＋1，∴点M 的坐标为(－102＋1，－32)或(102＋1，－32)． (2)∵y ＝(x －h )2－4，∴抛物线的顶点在直线y ＝－4上． 对于直线y ＝35x －245， 当3≤x 0≤5时，－3≤y 0≤－95，即抛物线l 与直线y ＝35x －245在G (3，－3)，H (5，－95)之间的一段有一个交点． 当抛物线经过点G 时，(3－h )2－4＝－3，解得h ＝2或h ＝4.当抛物线经过点H 时，(5－h )2－4＝－95，解得h ＝5＋555或h ＝5－555. 随h 的逐渐增加，l 的位置随之向右平移，如图(b)所示．由函数图象可知：当2≤h ≤5－555或4≤h ≤5＋555时，抛物线l 与直线在3≤x 0≤5段有一个交点．17. 【答案】（1）将A (0, 1)、B (4, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,164 3.c b c =⎧⎨-++=⎩ 解得92b =，c ＝1． 所以抛物线的解析式是2912y x x =-++．（2）在Rt △BOC 中，OC ＝4，BC ＝3，所以OB ＝5． 如图2，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为H ．在Rt △AOH 中，OA ＝1，4sin sin 5AOH OBC ∠=∠=， 所以4sin 5AH OA AOH =⋅∠=． 图2所以35OH =，225BH OB OH =-=． 在Rt △ABH 中，4222tan 5511AH ABO BH ∠==÷=． （3）直线AB 的解析式为112y x =+． 设点M 的坐标为29(,1)2x x x -++，点N 的坐标为1(,1)2x x +， 那么2291(1)(1)422MN x x x x x =-++-+=-+． 当四边形MNCB 是平行四边形时，MN ＝BC ＝3．解方程－x 2＋4x ＝3，得x ＝1或x ＝3．因为x ＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M 的坐标为9(1,)2（如图3）．图3 图4 考点伸展第（3）题如果改为：点M 是抛物线上的一个点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标． 那么求点M 的坐标要考虑两种情况：MN ＝y M －y N 或MN ＝y N －y M ．由y N －y M ＝4x －x 2，解方程x 2－4x ＝3，得27x =±（如图5）．所以符合题意的点M 有4个：9(1,)2，11(3,)2，57(27,)--，57(27,)++．图518. 【答案】 (1)因为AB ＝OC ＝ 4，A 、B 关于y 轴对称，所以点A 的横坐标为2．将x ＝2代入y ＝2114x +，得y ＝2．所以点M 的坐标为（0，2）．(2) ① 如图2，过点Q 作QH ⊥ x 轴，设垂足为H ，则HQ ＝y 2114x =+，HP ＝x – t ． 因为CM //PQ ，所以∠QPH ＝∠MCO ．因此tan ∠QPH ＝tan ∠MCO ，即12HQ OM HP OC ==．所以2111()42x x t +=-．整理，得2122t x x =-+-． 如图3，当P 与C 重合时，4t =-，解方程21422x x -=-+-，得15x =±． 如图4，当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝± 2． 因此自变量x 的取值范围是15x ≠±，且x ≠± 2的所有实数．图2 图3 图4②因为sin ∠QPH ＝sin ∠MCO ，所以HQ OM PQ CM =，即PQ HQ CM OM=． 当12PQ HQ CM OM ==时，112HQ OM ==．解方程21114x +=，得0x =（如图5）．此时2t =-．当2PQ HQ CM OM ==时，24HQ OM ==．解方程21144x +=，得23x =±． 如图6，当23x =时，823t =-+；如图6，当23x =-时，823t =--．图5 图6 图7考点伸展本题情境下，以Q 为圆心、QM 为半径的动圆与x 轴有怎样的位置关系呢？设点Q 的坐标为21,14x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，那么222222111144QM x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 而点Q 到x 轴的距离为2114x +． 因此圆Q 的半径QM 等于圆心Q 到x 轴的距离，圆Q 与x 轴相切．。

2021届新中考数学必考精点考点专题专题37 二次函数问题1.二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

抛物线叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像与性质（1）对称轴：（2）顶点坐标：（3）与y轴交点坐标（0，c）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式（1）一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0).已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

.已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点（3）交点式.式。

4．根据图像判断a,b,c的符号（1）a 确定开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）b ——对称轴与a 左同右异。

（3）抛物线与y轴交点坐标（0，c）5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。

抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。

6．函数平移规律：左加右减、上加下减.【例题1】（2020贵州黔西南）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A. 点B坐标为(5，4)B. AB＝ADC. a＝D. OC•OD＝16【对点练习】（2020湖北天门模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【例题2】（2020•无锡）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为．【对点练习】已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=．【例题3】（2020•河南）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q 的纵坐标y Q的取值范围．【对点练习】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一、选择题1．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y 轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2020•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定3．（2020•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣35．（2020•菏泽）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2020•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8.（2019哈尔滨）将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）A．B．C．D．9.（2019年陕西省）已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（）．A．B．C．D．10.（2019广西梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是A．B．C．D．二、填空题11．（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是．12．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．13．（2020•泰安）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）14．（2020•哈尔滨）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为．15．（2020•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：．16．（2020•上海）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．17．（2020•黔东南州）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是．18．（2020•灌南县一模）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为．19.（2019黑龙江哈尔滨）二次函数的最大值是．20.（2019江苏镇江）已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是．21.（2019内蒙古赤峰）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x ＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）三、解答题22．（2020•陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．23．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．24．（2020•黑龙江）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．25．（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．（2020•甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．27．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y ＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．28．（2020•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y x+5与x轴、y轴分别交于点A、B （如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．29．（2020•苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．30．（2020•台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．31．（2020•滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？32．（2019贵州贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．。

中考数学复习----《二次函数之实际应用》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题。

解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围。

2.几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论。

3.构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题。

练习题1、（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：解法一：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，∵S△ABC＝•AC•BH，∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为×4×4＝8；解法二：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，AD＝y，则x2+y2＝16，∴S＝•BC•AD＝•2x•y＝xy，∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy≥0，∴16﹣2xy≥0，∴xy≤8，∴当且仅当x＝y＝2时，菜园最大面积＝8米2；方案3：半圆的半径＝米，∴此时菜园最大面积＝＝米2＞8米2；故选：C ． 2、（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m 高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm ，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym ，y 与x 的函数关系式为y ＝2213212++−x x （0≤x ≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m 时，竖直高度达到最大值．【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．【解答】解：y ＝x 2+x +2＝﹣（x ﹣8）2+4，∵﹣＜0， ∴当x ＝8时，y 有最大值，最大值为4，∴当她与跳台边缘的水平距离为8m 时，竖直高度达到最大值．故答案为：8．3、（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是y ＝﹣121x 2+32x +35，则铅球推出的水平距离OA 的长是 m ．【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知，OA 的长就是抛物线与x 轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y ＝0求出相应的x 的值，即可得到OA 的长．【解答】解：∵y ＝﹣x 2+x +，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案为：10．4、（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：2．5、（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．6、（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．7、（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．8、（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝s．【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．9、（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是m．【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．10、（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O 点3m．那么喷头高m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．。

专题11 二次函数（解答题）1．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？ 【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元． 【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ． 【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ， 根据题意可得：()()4430205w z z =--+， 化简得：2550280w z z =-++， 当()505225b z a =-=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元． （3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①② 将①代入②可得：()100002010930mW b m -=-+⨯，化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+， 使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变， 则40b -=，得4b =， 当4b =时，3000W =，∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元． 【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．2．（2021·湖南中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y （单位：万件）与销售单价x （单位：元）之间有如下表所示关系：（1）根据表中的数据，在图中描出实数对(,)x y 所对应的点，并画出y 关于x 的函数图象； （2）根据画出的函数图象，求出y 关于x 的函数表达式； （3）设经营此商品的月销售利润为P （单位：万元）． ①写出P 关于x 的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不．得超过．．．进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见详解；（2）216y x =-+；（3）①222032P x x =-+-；②销售单价应定为3元． 【分析】（1）由题意可直接进行作图；（2）由图象可得y 与x 满足一次函数的关系，所以设其关系式为y kx b =+，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可；（3）①由题意易得()2P x y =-，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得22203210x x -+-=，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解． 【详解】解：（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：216k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+； （3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-； ∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-； ②由题意得：2200x ≤⨯％，即4x ≤， ∴22203210x x -+-=， 解得：123,7x x ==， ∴3x =；答：此时的销售单价应定为3元． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．3．（2021·湖南永州市·中考真题）已知关于x 的二次函数21y x bx c =++（实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x =，求此二次函数的表达式； （2）若20b c -=，当3b x b -≤≤时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数222y x x m =++，若在（1）的条件下，当01x ≤≤时，总有21y y ≥，求实数m 的最小值．【答案】（1）2124y x x -=+；（2）4；（3）4． 【分析】（1）将点(0,4)代入二次函数的解析式可得c 的值，根据二次函数的对称轴可得b 的值，由此即可得； （2）先求出二次函数的对称轴为2bx =-，再分0b ≤，02b <<和2b ≥三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于b 的一元二次方程，解方程即可得；（3）先根据21y y ≥可得2340x x m ++-≥，令2334y x x m =++-，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得． 【详解】解：（1）将点(0,4)代入21y x bx c =++得：4c =， 二次函数的对称轴为1x =，12b∴-=，解得2b =-， 则此二次函数的表达式为2124y x x -=+； （2）20b c -=，即2c b =，222213()24b y x bx b x b =++=++∴，则此二次函数的对称轴为2bx =-，由题意，分以下三种情况： ①当2bb ≤-，即0b ≤时， 在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而减小， 则当x b =时，1y 取得最小值， 因此有22221b b b ++=，解得b =0b =>（不符题设，舍去）； ②当32bb b -<-<，即02b <<时，在32b b x -≤≤-内，1y 随x 的增大而减小；在2bx b -<≤内，1y 随x 的增大而增大， 则当2bx =-时，1y 取得最小值， 因此有23214b =，解得2b =>或0b =-（均不符题设，舍去）； ③当32bb -≥-，即2b ≥时， 在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而增大， 则当3x b =-时，1y 取得最小值，因此有223(3)2124b b b -++=， 解得4b =或12b =-<（不符题设，舍去），综上，b 的值为4；（3）由（1）可知，2124y x x -=+，由21y y ≥得：22224x x m x x ++≥-+，即2340x x m ++-≥， 令2334y x x m =++-，在01x ≤≤内，3y 随x 的增大而增大，要使得当01x ≤≤时，总有23340y x x m =++-≥，则只需当0x =时，30y ≥即可，因此有40m -≥， 解得4m ≥，则实数m 的最小值为4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．4．（2021·湖南长沙市·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()240,0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，当1x ，2x 满足()11211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【答案】（1）4,1,4-；（2）当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”，理由见解析；当0k =时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；（3）直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)． 【分析】（1）先根据关于y 轴对称的点坐标变换规律可得,r s 的值，从而可得点A 的坐标，再将点A 的坐标代入“T 函数”即可得；（2）分0k ≠和0k =两种情况，当0k ≠时，设点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是一对“T 点”，将它们代入函数解析式可求出0k =，与0k ≠矛盾；当0k =时，y p =是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，且有无数对“T 点”；（3）先将点(0,0)O 代入2y ax bx c =++可得0c，再根据“T 函数”的定义可得0b =，从而可得2y ax =，与直线y mx n =+联立可得12,x x 是方程20mx n ax --=的两实数根，然后利用根与系数的关系可得1212,m n x x x x a a+==-，最后根据()11211x x --+=化简可得n m =-，从而可得y mx m =-，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：点()1,A r 与点(),4B s 关于y 轴对称，4,1r s ∴==-，()1,4A ∴， 10>，∴将点()1,4A 代入2y tx =得：4t =，故答案为：4,1,4-；（2）由题意，分以下两种情况： ①当0k ≠时，假设关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”，点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是其图象上的一对“T 点”，则0000kx p y kx p y +=⎧⎨-+=⎩，解得0k =，与0k ≠相矛盾，假设不成立，所以当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”； ②当0k =时，函数y kx p p =+=是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，它有无数对“T 点”；综上，当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”；当0k =时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；（3）由题意，将(0,0)O 代入2y ax bx c =++得：0c，2y ax bx ∴=+，设点333(,)(0)x y x ≠与点33(,)x y -是“T 函数”2y ax bx =+图象上的一对“T 点”，则23332333ax bx y ax bx y ⎧+=⎨-=⎩，解得0b =， 2(0)y ax a ∴=>，联立2y ax y mx n⎧=⎨=+⎩得：20mx n ax --=，“T 函数”2y ax =与直线y mx n =+交于点()11,M x y ，()22,N x y ，12,x x ∴是关于x 的一元二次方程20mx n ax --=的两个不相等的实数根，1212,m n x x x x a a ∴+==-， ()11211x x --+=，2211x x x x +=∴，即m na a=-， 解得n m =-，则直线l 的解析式为y mx m =-， 当1x =时，0y m m =-=，因此，直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)． 【点睛】本题考查了关于y 轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“T 函数”和“T 点”的定义是解题关键．5．（2021·湖南株洲市·中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++>．（1）若12a =，2b c ==-，求方程20ax bx c ++=的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，与y 轴的负半轴交于点C ，点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ACO ABD ∠=∠，1bc x a-+=． ①求证：AOC DOB ≅；②连接BC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，点()120,F x x -在y 轴的负半轴上，连接AF ，且ACO CAF CBD ∠=∠+∠，求1cx 的值． 【答案】（1）=8∆ （2）①证明见解析；②1c x =2【分析】（1）根据判别式公式代入求解即可．（2）①通过条件，得到OC=OB ，再根据ASA 即可得到两个三角形角形全等． ②通过分析条件，证明AOF DEB △△，得到AO OFDE EB=，再根据相关的线段转换长度，代入求解即可. 【详解】解：（1）当12a =，2b c ==-时，方程为：212202x x --=， ()()2214242=82b ac ∆=-=--⨯⨯-，（2）①证明：∵12b x x a +=-，且1bc x a-+=，∴2x c =-， ∴OC OB c ==， 在AOC △与DOB 中，90ACO ABDOC OBAOC DBO ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴()AOC DOB ASA ≅△△．②解：ACO CAF CBD ∠=∠+∠，ACO CFA CAF ∠=∠+∠， ∴CFA CBD ∠=∠， ∵DE BC ⊥， ∴90DEB ∠=， 又∵90AOF ∠=， ∴AOF DEB △△， ∴AO OFDE EB=， ∵OC OB c ==，且90COB ∠=， ∴45OCB ∠=,BC =， 在DEC Rt △中，45OCB ∠=，∴DC ==，又∵AOC DOB ≅△△，∴1OD OA x ==-，又∵OC OD DC =+，∴1DC c x =-+，)122DE CE DC c x ===-+，∴))1122EB BC CE c x c x =-=--+=-+， ∵AO OF DE EB=，1122x x --= ， 即：21120c c x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴1c x =2或1c x =-1（舍）， 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，以及一元二次方程的解法，三角形全等和相似等相关知识点，根据题意能够找见相关等量关系是解题关键 .6．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求b c 、的值；（2）点(,)P m n 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线:l y x =于点Q ．①当03m <<时，求当P 点到直线:l y x =的距离最大时m 的值；②是否存在m ，使得以点O C P Q 、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m 的值．【答案】（1）b =2-，c =3-；（2）①32m =；②不存在，理由见解析 【分析】（1）将A （-1，0），B （3，0）代入y =x 2+bx +c ，可求出答案；（2）①设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），再利用二次函数的性质即可求解；②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0）， ∴10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴b =2-，c =3-；（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y =x 223x --，设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），∵0<m <3，∴PQ =m -( m 2-2m -3)=-m 2+3m +3=-232m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+214， ∵-1<0， ∴当32m =时，PQ 有最大值，最大值为214； ②∵抛物线的函数表达式为：y =x 2-2x -3，∴C （0，-3），∴OB =OC =3，由题意，点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），∵PQ ∥OC ，当OC 为菱形的边，则PQ =OC =3，当点Q 在点P 上方时，∴PQ =2333m m -++=，即230m m -+=，∴()30m m -=，解得0m =或3m =，当0m =时，点P 与点O 重合，菱形不存在，当3m =时，点P 与点B 重合，此时BC OC =≠，菱形也不存在；当点Q 在点P 下方时，若点Q 在第三象限，如图，∵∠COQ=45°，根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，此时OA=1≠OC=3，菱形不存在，若点Q在第一象限，如图，同理，菱形不存在，综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．7．（2021·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁1,1,2021,2021……都是“雁点”．点”．例如()()（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(2,2)和(2,2)--；（2）①04c <<；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或312⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y =x ，再联立4y x=求出 “雁点”坐标即可； （2）根据25y ax x c =++和y =x 可得240ax x c ++=，再利用根的判别式得到4c a =，再求出a 的取值范围；将点c 代入解析式求出点E 的坐标，令y =0，求出M 的坐标，过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，如图所示，根据EH =MH 得出EM H 为等腰直角三角形，∠EMN 的度数即可求解；（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C （m ，m ），P （x ，y ），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P 的坐标．【详解】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩ 即：函数4y x=上的雁点坐标为(2,2)和(2,2)--． （2）① 联立25y x y ax x c =⎧⎨=++⎩得240ax x c ++=∵ 这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴ 2440ac ∆=-=∵ 4c a= ∵ 1a >∴ 04c <<② 将4c a =代入，得2440E E ax x a++= 解得2k x a =-，∴ 22,E a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对于245y x x aα=++，令0y = 有2450ax x a++= 解得41,N M x x a a=-=-∴ 4,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH =2a ，MH =242()a a a---= ∴2EH MH a ==∴ EM H 为等腰直角三角形，45EMN ∠=︒（3）存在，理由如下：如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k ，过C 作CH ⊥PK 于点H设C （m ，m ），P （x ，y ）∵ △CPB 为等腰三角形，∴PC =PB ，∠CPB =90°，∴∠KPB +∠HPC =90°，∵∠HPC +∠HCP =90°，∴∠KPB =∠HCP ，∵∠H =∠PKB =90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x-=⎧⎨-=-⎩ ∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当32x =时，23315()23224y =-+⨯+= ∴ 315()24P ，如图2所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴ KP =JB ，KC =JP设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x -m ，KC =y -m ，JB =y ，JP =3-x ，即3x m y y m x -=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得12222x x ==∴3)2P或3)2P如图3所示，∵△RCP ≌△TPB∴RC =TP ，RP =TB设P （x ，y ），C （m ，m ）即3y m x x m y -=-⎧⎨-=⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122=22x x = ∴ 此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为315()24，或3)2，或3)2，【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．8．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(2,3)C -且与x 轴交于原点及点(8,0)B ．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式；（3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为O 上的动点，且O的半径为E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值．【答案】（1）2124y x x -=；（2）()4,4A -，8y x =-；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A 、B 坐标求出AB 解析式即可；（3）根据二次函数对称性可知ABO 为等腰三角形，再根据O 、A 、B 三点坐标，求出三条线段的长，利用勾股定理验证即可；（4）根据题意可知动点E 的运动时间为12t AP PB =+，在OA 上取点D ，使OD =可证明APO △∽PDO △，根据相似三角形比例关系得12PD AP =，即12t AP PB PD PB =+=+，当B 、P 、D 三点共线时，PD PB +取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可．【详解】解：（1）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过(2,3)C -，且与x 轴交于原点及点()8,0B ∴0c ，二次函数表达式可设为：()20y ax bx a =+≠将(2,3)C -，()8,0B 代入2y ax bx =+得：3420648a b a b -=+⎧⎨=+⎩解这个方程组得142a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∵二次函数的函数表达式为2124y x x -= （2）∵点A 为二次函数图像的顶点， ∴421224b x a =-=-⨯=-，22140(2)4414444ac b y a ⨯⨯---===-⨯ ∴顶点坐标为：()4,4A -，设直线AB 的函数表达式为y kx m =+，则有：4408k m k m -=+⎧⎨=+⎩解之得：18k m =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的函数表达式为8y x =-（3）ABC 是等腰直角三角形，过点A 作AF OB ⊥于点F ，易知其坐标为(4,0)F∵ABC 的三个顶点分别是()0,0O ，()4,4A -，()8,0B，∴808OB =-=，OA ===AB ===且满足222OB OA AB =+∴ABC 是等腰直角三角形（4）如图，以O 为圆心，P 在圆周上，依题意知：动点E 的运动时间为12t AP PB =+在OA 上取点D ，使OD =连接PD ，则在APO △和PDO △中，满足：2PO AO OD OP==，AOP POD ∠=∠， ∴APO △∽PDO △，∴2AP PO AO PD OD OP===，从而得：12PD AP = ∴12t AP PB PD PB =+=+ 显然当B 、P 、D 三点共线时，PD PB +取得最小值，过点D 作DG OB ⊥于点G ，由于OD =且ABO 为等腰直角三角形，则有1DG =，45DOG ∠=︒，∴动点E 的运动时间t 的最小值为：t DB ==== 【点睛】 本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键．9．（2021·湖南常德市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形ABCD 的AB 边与y 轴交于E 点，F 是AD 的中点，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-．（1）求过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）设过F 与AB 平行的直线交y 轴于Q ，M 是线段EQ 之间的动点，射线BM 与抛物线交于另一点P ，当PBQ △的面积最大时，求P 的坐标．【答案】（1）213442y x x =-++；（2）顶点是在直线EF 上，理由见解析；（3）P 点坐标为（9，114-）． 【分析】 （1）先求出A 点坐标，再求出直线AB 的解析式，进而求得E 的坐标，然后用待定系数法解答即可； （2）先求出点F 的坐标，再求出直线EF 的解析式，然后根据抛物线的解析式确定顶点坐标，然后进行判定即可；（3）设P 点坐标为（p ，()()1-p+284p -），求出直线BP 的解析式，进而求得M 的坐标；再求FQ 的解析式，确定Q 的坐标，可得|MQ |=()182p -+6，最后根据S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ 列出关于p 的二次函数并根据二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD ，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-∴A （3，10），设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则10302k b k b =+⎧⎨=-+⎩ ，解得24k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y =2x +4，当x =0时，y =4，则E 的坐标为（0,4），设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx +c ，()()220220884a b c a b c c ⎧=-+-+⎪=⋅++⎨⎪=⎩ ，解得14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为213442y x x =-++； （2）顶点是在直线EF 上，理由如下：∵F 是AD 的中点，∴F （8,10），设直线EF 的解析式为y =mx +n ，则4108n m n =⎧⎨=+⎩，解得344m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线EF 的解析式为y =34x +4， ∵213442y x x =-++， ∴抛物线的顶点坐标为（3，254）， ∵254=34×3+4， ∴抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）∵()()21314=-x+28424y x x x =-++-，则设P 点坐标为（p ，()()1-p+284p -），直线BP 的解析式为y =dx +e ， 则()()021-p+284d e p pd e =-+⎧⎪⎨-=+⎪⎩ ，解得()()184182d p e p ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线EF 的解析式为y =()184p --x +()182p -， 当x =0时，y =()182p -，则M 点坐标为（0，()182p -）， ∵AB //FQ ， ∴设FQ 的解析式为y =2x +f ，则10=2×8+f ，解得f =-6，∴FQ 的解析式为y =2x -6 ，∴Q 的坐标为（0，-6），∴|MQ |=()182p -+6， ∴S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ =1122QM OB QM PN +=()12QM OB PN + =()()1186222p p ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ =219842p p -++ ∴当p =9时，PBQ △的面积最大时，∴P 点坐标为（9，114-）．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数求最值等知识点，灵活求得所需的函数解析式成为解答本题的关键．10．（2021·湖南中考真题）已知函数2(0)(0)x x y x x -≤⎧=⎨>⎩的图象如图所示，点()11,A x y 在第一象限内的函数图象上．（1）若点()22,B x y 也在上述函数图象上，满足21x x <．①当214y y ==时，求12,x x 的值； ②若21x x =，设12=-w y y ，求w 的最小值；（2）过A 点作y 轴的垂线AP ，垂足为P ，点P 关于x 轴的对称点为P '，过A 点作x 轴的线AQ ，垂足为Q ，Q 关于直线'AP 的对称点为Q '，直线AQ '是否与y 轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）①122,4x x ==-；②14-；（2）直线AQ '与y 轴交于定点，定点的坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）①先确定20x ≤，再根据214y y ==代入求解即可得；②先确定2210,x x x <-=，从而可得21122,y x y x ==-，再代入w 可得一个关于1x 的二次函数，利用二次函数的性质即可得；（2）先分别求出点,,P P Q '的坐标，再利用待定系数法求出直线,AP QQ ''的解析式，从而可得点Q '的坐标，然后利用待定系数法求出直线AQ '的解析式，由此即可得出结论．【详解】解：（1）①对于二次函数2y x ，在0x >内，y 随x 的增大而增大，21211,40,x x x y y <>==，20x ∴≤，则当14y =时，214x =，解得12x =或120x =-<（舍去），当24y =时，24x -=，解得24x =-； ②21121,0,x x x x x <>=，2210,x x x ∴<-=，21122,y x y x ∴==-，则22121211()w y y x x x x =-=--=-， 化成顶点式为2111()24w x =--， 由二次函数的性质可知，在1>0x 内，当112x =时，w 取最小值，最小值为14-； （2）由题意，设'AP 与QQ '交于点B ，画图如下，11(x ,)A y 在已知函数的第一象限内的图象上，211y x ∴=，即211(,)A x x ，AP y ⊥轴，AQ x ⊥轴，点P 关于x 轴的对称点为P '，22111(0,),(0,),(,0)P P Q x x x '∴-，设直线'AP 的解析式为11y k x b =+，将点22111(,),(0,)P A x x x '-代入得：21111211k x b x b x ⎧+=⎨=-⎩，解得112112k x b x =⎧⎨=-⎩， 则直线'AP 的解析式为2112y x x x =-， Q 关于直线'AP 的对称点为Q '，QQ AP ''∴⊥，∴设直线QQ '的解析式为2112b x y x +=-， 将点1(,0)Q x 代入得：121201x b x -+=，解得212b =， 则直线QQ '的解析式为11212x y x +=-， 联立211121122y x x x y x x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，解得211212121(12)4141x x x x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即22111221141(12),41x x x B x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭， 设点Q '的坐标为(,)Q m n '， 则2111212121(12)2410241m x x x x x n x ⎧++=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得121212141241x m x x n x ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即21122114142,1x x Q x x ⎛⎫' ⎪++⎝⎭， 设直线AQ '的解析式为33y k x b =+， 将点22111122112(,),1,414x x A x x Q x x ⎛⎫' ⎪++⎝⎭代入得：2313121133221124141k x b x x x k b x x ⎧+=⎪⎨+=⎪++⎩， 解得2131314414x k x b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线AQ '的解析式为21144114x y x x -=-+，当0x =时，14y =， 即直线AQ '与y 轴交于定点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数的综合、轴对称等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．11．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．②设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x =2.5；（2）①()()=-+1-2y x x ；②1或4【分析】 （1）根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴；（2）①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中a 的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函数解析式；②根据条件求出A 、B 、C 、D 四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据相似的性质可求出m 的值．【详解】解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x =（1+4）÷2=2.5,；（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1，根据交点式可求出C 1二次函数表达式为()()=-+1-2y x x ；②根据①中的函数关系式，可得A （2,0），B （-1,0），C （0,2），D （m ，2-++2m m ），且m ＞0 由图像可知∠BOC =∠DEO =90°，则以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似有两种情况，（i ）当△ODE ∽△BCO 时， 则OE DE OB OC =，即2-++2=12m m m ， 解得m =1或-2（舍），（ii ）当△ODE ∽△CBO 时， 则OE DE OC OB =，即2-++2=21m m m ，解得m所以满足条件的m 的值为1 【点睛】本题主要考查了一元二次函数图形的平移、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用数形结合是解决问题的关键．12．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，求直线BC 的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，求点P 的坐标，并求出此时AP PC +的最小值；（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =-++；（2）直线BC 的解析式为4y x =-+；（3）35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时AP PC +的最小值为（4）存在，()3,4N 或4⎫-⎪⎪⎝⎭．【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入求解即可；（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，然后把点B 、C 的坐标代入求解即可；（3）由题意易得点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得AP PC BP PC +=+，要使AP PC +的值为最小，则需满足点B 、P 、C 三点共线时，即为BC 的长，然后问题可求解；（4）由题意可设点()()2,0,,34M m N n n n -++，然后可分①当AC 为对角线时，②当AM 为对角线时，③当AN 为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．【详解】解：（1）∵抛物线24y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，∴4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为234y x x =-++；（2）由（1）可得抛物线的解析式为234y x x =-++，∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴()0,4C ，设直线BC 的解析式为y kx b =+，把点B 、C 的坐标代入得：404k b b +=⎧⎨=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为4y x =-+；（3）由抛物线234y x x =-++可得对称轴为直线322b x a =-=，由题意可得如图所示：连接BP 、BC ，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴AP BP =，∴AP PC BP PC +=+，要使AP PC +的值为最小，则需满足点B 、P 、C 三点共线时，即为BC 的长，此时BC 与对称轴的交点即为所求的P 点，∵4OC OB ==，∴BC =∴AP PC +的最小值为∵点P 在直线BC 上， ∴把32x =代入得：35422y =-+=， ∴35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （4）存在，理由如下：由题意可设点()()2,0,,34M m N n n n -++，()()1,0,0,4A C -，当以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：①当AC 为对角线时，如图所示：连接MN ，交AC 于点D ，∵四边形ANCM 是平行四边形，∴点D 为AC 、MN 的中点，∴根据中点坐标公式可得：A C M N A C M N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21004034m n n n -+=+⎧⎨+=-++⎩， 解得：43m n =-⎧⎨=⎩，∴()3,4N ；②当AM 为对角线时，同理可得：A M C N A M C N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21000434m n n n -+=+⎧⎨+=-++⎩，解得：n =，∴4N ⎫-⎪⎪⎝⎭；③当AN 为对角线时，同理可得：A N M C A N M C x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21003440n m n n -+=+⎧⎨-++=+⎩， 解得：3n =，∴()3,4N ；∴综上所述：当以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为()3,4或4⎫-⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．13．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l ：3y kx =+经过点A ，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上方，点Q 为抛物线上的一个动点，当//PQ y 轴时，作QM PQ ⊥，交抛物线于点M （点M 在点Q 的右侧），以PQ ，QM 为邻边构造矩形PQMN ，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F ，使得CBF =∠DQM ∠？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）314；（3）存在，()1,0F -或52839F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【分析】（1）直接将()1,0A -，()4,0B 两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点P 的坐标，接着表示出Q 点和M 点的坐标后，求出线段PQ 和QM 的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值；（3）先利用锐角三角函数证明出CBA ∠=DQM ∠，进而得到F 点的其中一个位置，在BC 另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF 与y 轴的交点，进而求出BF 的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F 点的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点， ∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴该抛物线的函数表达式为：213222y x x =-++； （2）∵3y kx =+经过点A ，∴30k -+=，∴3k =，。

二次函数实际应用【命题趋势】在中考中.二次函数的实际应用是中考必考考点.常以解答题形式考查.往往会结合方程（组）与一次函数考查。

【中考考查重点】一、二次函数的实际应用-运动类型二、二次函数的实际应用-经济类型三、二次函数的实际应用-面积类型四、二次函数的实际应用-拱桥类型考点一：运动类型考向1 落地模型1.（2021秋•松江区期末）一位运动员投掷铅球.如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+.那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．【答案】3【解答】解：由题意可得：y＝﹣＝﹣（x2﹣8x）+＝﹣（x﹣4）2+3.故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．考向2 最值模型2.（2021秋•信阳期中）烟花厂为建党成立100周年特别设计制作了一种新型礼炮.这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+8t．若这种礼炮在升空到最高点时引爆.则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s【答案】D【解答】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆.∴t＝﹣＝﹣＝6.∴从点火升空到引爆需要的时间为6s.故选：D．3.（2021秋•越秀区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2.则飞机停下前最后10秒滑行的距离是米．【答案】15【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣（t﹣20）2+600.﹣＜0.抛物线开口向下.∴当t＝20时.s有最大值.此时s＝600.∴飞机从落地到停下来共需20秒.飞机前10秒滑行的距离为：s1＝60×10﹣1.5×102＝585（米）.∴飞机停下前最后10秒滑行的距离为：600﹣585＝15（米）.故答案为：15．考点二：经济类型4．（2021秋•克东县期末）某水果商场经销一种高档水果.原价每千克50元.连续两次降价后每千克32元.若每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率．（2）若每千克盈利10元.每天可售出500千克.经市场调查发现.在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施.若每千克涨价1元.日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元.且要尽快减少库存.那么每千克应涨价多少元？（3）若使商场每天的盈利达到最大值.则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？【答案】（1）20% （2）涨价5元（3）涨价7.5元.6125元【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a.根据题意.得：50（1﹣a）2＝32.解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2.答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x元.由题意.得：（10+x）（500﹣20x）＝6000.整理.得x2﹣15x+50＝0.解得：x1＝5.x2＝10.因为要尽快减少库存.所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元.那么每千克应涨价5元；（3）设商场每天的盈利为y元.由（2）可知：y＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000.∵﹣20＜0.∴当x＝﹣＝7.5时.y取最大值.∴当x＝7.5时.y最大值＝（10+7.5）×（500﹣20×7.5）＝6125（元）.答：应涨价7.5元.每天的盈利达到最大值.为6125元．5．（2021秋•郧西县期末）根据对某市相关的市场物价调研.预计进入夏季后的某一段时间.某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示.乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．（1）分别求出y1.y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨.设乙种蔬菜的进货量为t吨．①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大.最大利润是多少元？②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元.则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？【答案】（1）y1＝0.6x .y2＝﹣0.2x2+2.2x（2）2≤t≤6【解答】解：（1）由题意得：5k＝3.解得k＝0.6.∴y1＝0.6x；由.解得：.∴y2＝﹣0.2x2+2.2x；（2）①W＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2.当t＝4时.W有最大值9.2.答：甲种蔬菜进货量为6吨.乙种蔬菜进货量为4吨时.获得的销售利润之和最大.最大利润是9200元；②当W＝8.4＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2.∴t1＝2.t2＝6.∵a＝﹣2＜0.∴当2≤t≤6时.W≥8.4.答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元.则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适．考点三：面积类型6．（2021秋•西湖区校级期中）在校园嘉年华中.九年级同学将对一块长20m.宽10m的场地进行布置.设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形）.空白区域为活动区.且4个出口宽度相同.其宽度不小于4m.不大于8m．设出口长均为x（m）.活动区面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x取多少时.活动区面积最大？最大面积是多少？（3）若活动区布置成本为10元/m2.绿化区布置成本为8元/m2.布置场地的预算不超过1850元.当x为整数时.请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．【答案】（1）y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）（2）x取8m时.最大面积是176m2（3）x＝5时.活动区面积最大.此时的布置成本为1850元【解答】解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）＝200﹣200+30x﹣x2＝﹣x2+30x.∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225.∵﹣1＜0.∵当x＜15时.y随x的增大而增大.∵4≤x≤8.∴当x＝8时.y有最大值.最大值为176.∴当x取8m时.活动区面积最大.最大面积是176m2；（3）设布置场地所用费用为w元.则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x＝﹣2x2+60x+1600.令w＝1850.﹣2x2+60x+1600＝1850.解得：x＝25或x＝5.∵4≤x≤8.∴4≤x≤5.∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x.﹣1＜0.对称轴为直线x＝15.∴当x＝5时.活动区面积最大.此时的布置成本为1850元．考点三：拱桥类型7．（2021秋•建华区期末）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥.水面在l时.拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3米.水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系.那么抛物线的解析式是．【答案】【解答】解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0）.由图象可知该图象经过（﹣2.﹣3）点.故﹣3＝4a.a＝﹣.故y＝﹣x2.故答案为．8．（2021秋•绿园区期末）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形.建立如图所示的平面直角坐标系.其函数关系为.当水面的宽度AB为16米时.水面离桥拱顶的高度OC为m．【答案】4【解答】解：∵水面的宽度AB为16米∴B的横坐标为8.把x＝8代入y＝﹣x2.得y＝﹣4.∴B（8.﹣4）.∴OC＝4m．水面离桥拱顶的高度OC为4m．故答案为：4．9．（2021秋•营口期末）如图①.桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分.在某一时刻.桥拱内的水面宽OA＝8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系.求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来.当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时.桥下水位刚好在OA处.有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾.他的头顶是否会触碰到桥拱.请说明理由（假设船底与水面齐平）．【答案】（1）y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）（2）不会碰到头【解答】解：（1）如图②.由题意得：水面宽OA是8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m.结合函数图象可知.顶点B（4.4）.点O（0.0）.设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4.将点O（0.0）代入函数表达式.解得：a＝﹣.∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4.即y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）；（2）工人不会碰到头.理由如下：∵小船距O点0.4m.小船宽1.2m.工人直立在小船中间.由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1.∴将＝1代入y＝﹣x2+2x.解得：y＝＝1.75∵1.75m＞1.68m.∴此时工人不会碰到头．1．（2021秋•房山区期末）从地面竖直向上抛出一小球.小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．小球运动的时间是s时.小球最高；小球运动中的最大高度是m．【答案】3.45．【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45.∵﹣5＜0.0≤t≤6.∴当t＝3时.h有最大值.最大值为45．故答案为：3.45．2．（2021秋•龙凤区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣0.5t2.飞机着陆后滑行m才能停下来．【答案】200【解答】解：s＝20t﹣0.5t2＝﹣0.5（t﹣20）2+200当t＝20时.s有最大值为200．即飞机着陆后滑行200m才能停下来．故答案为200．3．（2021秋•黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（F AST）是目前世界上口径最大.精度最高的望远镜．根据有关资料显示.该望远镜的轴截面呈抛物线状.口径AB 为500米.最低点P到口径面AB的距离是100米.若按如图（2）所示建立平面直角坐标系.则抛物线的解析式是．【答案】y＝x2﹣100【解答】解：由题意可得：A（﹣250.0）.P（0.﹣100）.设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100.则0＝62500a﹣100.解得：a＝.故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．故答案为：y＝x2﹣100．4．（2021秋•和平区期末）如图.小明父亲想用长为100m的栅栏.再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m.设矩形ABCD的边AB＝xm.面积为Sm2．（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为.并直接写出x的取值范围是；（2）求当x为多少m时.面积S为1050m2；（3）当AB.BC分别为多少米时.羊圈的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）S＝﹣2x2+100x.30≤x＜50 （2）x为35m时.面积S为1050m2（3）AB＝30m.BC＝40m时.面积S有最大值为1200m2【解答】解：（1）∵AB＝CD＝xm.则BC＝（100﹣2x）m.∴S＝x（100﹣2x）＝﹣2x2+100x.∵0＜100﹣2x≤40.∴30≤x＜50.∴S与x之间的函数表达式为S＝﹣2x2+100x.自变量x的取值范围是30≤x＜50.故答案安为：S＝﹣2x2+100x.30≤x＜50；（2）令S＝1050.则﹣2x2+100x＝1050.解得：x1＝15.x2＝35.∵30≤x＜50.∴x＝35.∴当x为35m时.面积S为1050m2；（3）∵S＝﹣2（x2﹣50x+625﹣625）＝﹣2（x﹣25）2+1250.∵﹣2＜0.∴当x＞25时.S随着x的增大而减小.∵30≤x＜50.∴当x＝30时.S有最大值为1200.∴当AB＝30m.BC＝40m时.面积S有最大值为1200m2．5．（2021秋•龙江县校级期末）某超市销售一种商品.每件成本为50元.销售人员经调查发现.销售单价为100元时.每月的销售量为50件.而销售单价每降低2元.则每月可多售出10件.且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元.并使顾客获得更多的实惠.销售单价应定为多少元？（3）为了每月所获利润最大.该商品销售单价应定为多少元？【答案】(1) y＝﹣5x+550 （2）70元（3）80元【解答】解：（1）依题意得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550.∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；（2）依题意得：y（x﹣50）＝4000.即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000.解得：x1＝70.x2＝90.∵70＜90.∴当该商品每月销售利润为4000.为使顾客获得更多实惠.销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w元.依题意得w＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500.∵﹣5＜0.此图象开口向下.∴当x＝80时.w有最大值为4500元.∴为了每月所获利润最大.该商品销售单价应定为80元．6．（2021秋•宽城区期末）某商场以每件20元的价格购进一种商品.经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系.其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）求w与x之间的函数关系式．（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价.又不高于36元.当每件商品的售价定为多少元时.每天销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣2x+120 （2）w＝﹣2x2+160x﹣2400（3）售价定为36元时.每天销售利润最大.最大利润是768元．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）.由所给函数图象可知：.解得.故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；（2）∵y＝﹣2x+120.∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400.即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400；（3）w＝﹣2x2+160x﹣2400＝﹣2（x﹣40）2+800.∵﹣2＜0.20≤x≤36＜40.∴当x＝36时.w取得最大值.w最大＝﹣2×（36﹣40）2+800＝768．答：当每件商品的售价定为36元时.每天销售利润最大.最大利润是768元．1．（2020•长沙）“闻起来臭.吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃.臭豆腐虽小.但制作流程却比较复杂.其中在进行加工煎炸臭豆腐时.我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下.“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0.a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据.可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟【答案】C【解答】解：将图象中的三个点（3.0.8）、（4.0.9）、（5.0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c 中..解得.所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9.由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t＝﹣＝﹣＝3.75.则当t＝3.75分钟时.可以得到最佳时间．故选：C．2．（2021•黔西南州）小华酷爱足球运动．一次训练时.他将足球从地面向上踢出.足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t.则足球距地面的最大高度是m．【答案】7.2【解答】解：∵h＝﹣5t2+12t.a＝﹣5.b＝12.c＝0.∴足球距地面的最大高度是：＝7.2m.故答案为：7.2．3．（2020•日照）如图.某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD.为美化环境.用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆.篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等.求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下.设BC的长度为xm.矩形区域ABCD的面积为ym2.求y与x之间的函数关系式.并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）AE＝3BE（2）（0＜x＜）【解答】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等.∴ME＝BE.AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等.即S矩形AMND＝2S矩形MEFN.∴AM＝2ME.∴AE＝3BE；（2）∵篱笆总长为100m.∴2AB+GH+3BC＝100.即.∴．设BC的长度为xm.矩形区域ABCD的面积为ym2.则.∵.∴BE＝10﹣x＞0.解得x＜.∴（0＜x＜）．4．（2020•呼伦贝尔）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具.若按每件50元销售.一个月可售出500件.销售价每涨1元.月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x ≥50）.月销量为y件.月销售利润为w元．（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下.使月销售利润达到8000元.销售价应定为每件多少元？（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】（1）y= ﹣10x2+1400x﹣40000 （2）8元（3）70元时会获得最大利润9000【解答】解：（1）由题意得：y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x.w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000.解得：x1＝60.x2＝80.当x＝60时.成本＝40×[500﹣10（60﹣50）]＝16000＞10000不符合要求.舍去.当x＝80时.成本＝40×[500﹣10（80﹣50）]＝8000＜10000符合要求.∴销售价应定为每件80元；（3）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000.又∵﹣10＜0．当x＝70时.w取最大值9000.故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．5．（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①.甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分.在某一时刻.桥拱内的水面宽OA＝8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系.求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来.当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时.桥下水位刚好在OA处.有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾.他的头顶是否会触碰到桥拱.请说明理由（假设船底与水面齐平）．（3）如图③.桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）.该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度.平移后的函数图象在8≤x≤9时.y的值随x值的增大而减小.结合函数图象.求m的取值范围．【答案】（1）y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）（2）工人不会碰到头（3）5≤m≤8【解答】解：（1）如图②.由题意得：水面宽OA是8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m.结合函数图象可知.顶点B（4.4）.点O（0.0）.设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4.将点O（0.0）代入函数表达式.解得：a＝﹣.∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4.即y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）；（2）工人不会碰到头.理由如下：∵打捞船距O点0.4m.打捞船宽1.2m.工人直立在打捞船中间.由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1.∴将x＝1代入y＝﹣x2+2x.解得：y＝＝1.75.∵1.75m＞1.68m.∴此时工人不会碰到头；（3）抛物线y＝﹣x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．如图所示.新函数图象的对称轴也是直线x＝4.此时.当0≤x≤4或x≥8时.y的值随x值的增大而减小.将新函数图象向右平移m个单位长度.可得平移后的函数图象.如图所示.∵平移不改变图形形状和大小.∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m.∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时.y的值随x值的增大而减小.∴当8≤x≤9时.y的值随x值的增大而减小.结合函数图象.得m的取值范围是：①m≤8且4+m≥9.得5≤m≤8.②8+m≤8.得m≤0.由题意知m＞0.∴m≤0不符合题意.舍去.综上所述.m的取值范围是5≤m≤8．1．（2021•晋中模拟）在中考体育训练期间.小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析.发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y＝﹣x2+x+.由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A．米B．8米C．10米D．2米【答案】B【解答】解：当y＝0时.即y＝﹣x2+x+＝0.解得：x1＝﹣2（舍去）.x2＝8.所以小宇此次实心球训练的成绩为8米.故选：B．2．（2021•温州模拟）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮.这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆.则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s【答案】D【解答】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆.∴t＝﹣＝＝6（s）.故选：D．3．（2021秋•岳池县期末）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形.其示意图如图所示.其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时.水面宽度AB为m．【答案】20【解答】解：由题意得.﹣4＝﹣x2.解得x＝±10.即点A的坐标为（﹣10.﹣4）.点B的坐标为（10.﹣4）.这时水面宽度AB为20m.故答案为：20．4．（2021秋•朝阳区期末）一名运动员在平地上推铅球.铅球出手时离地面的高度为米.出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为.当铅球离地面的高度最大时.与出手点水平距离为5米.则该运动员推铅球的成绩为米．【答案】12【解答】解：设铅球出手点为点A.根据题意建立平面直角坐标系.如图：∵当铅球离地面的高度最大时.与出手点水平距离为5米.∴抛物线的对称轴为直线x＝5.∴﹣＝﹣＝＝5.则b＝.又∵抛物线经过（0.）.∴c＝.∴y＝﹣x2+x+.当y＝0时.﹣x2+x+＝0.整理得：x2﹣10x﹣24＝0.解得：x1＝﹣2（舍去）.x2＝12.故答案安为：12．5．（2021•连云港模拟）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t.汽车从刹车到停下来所用时间是秒．【答案】【解答】解：∵s＝﹣3t2+8t.＝﹣3（t﹣）2+.∴当t＝秒时.s取得最大值.即汽车停下来．故答案为：．6．（2021•金堂县模拟）如图.有长为24m的篱笆.一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.并且预留两个各1m的门.设花圃的宽AB为xm.面积为Sm2．（1）请用含x的代数式表示BC并求S与x的函数关系式；（2）若4＜x＜7.则S的最大值是多少？请说明理由．【答案】（1）S＝﹣3x2+26x（5≤x＜）（2）55m2【解答】解：（1）由题可知.花圃的宽AB为x米.则BC为（24﹣3x+2）米＝（26﹣3x）米.则S＝x（26﹣3x）＝﹣3x2+26x.∵BC＝26﹣3x≤11.3x＜24+2.∴5≤x.∴S＝﹣3x2+26x（5≤x＜）；（2））解不等式组.解得：5≤x＜7.∵S＝﹣3x2+26x＝﹣3（x﹣）2+.∵﹣3＜0.∴x＞时.S随x的增大而减小.∴x＝5时.S的最大值＝﹣3×52+26×5＝55m2．7．（2021•盐城二模）疫情期间.某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”.其进价、售价和每日销量如表所示：进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）A型400600200B型8001200400根据市场行情.该销售商对A型手写板降价销售.同时对B型手写板提高售价.此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个.B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变.设其中A型手写板每天多销售x个.每天获得的总利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式.并直接写出x的取值范围；（2）要使每天的利润不低于212000元.求出x的取值范围；（3）该销售商决定每销售一个B型手写板.就捐助a元（0＜a≤100）给受“新冠疫情”影响的困难学生.若当30≤x≤40时.每天的最大利润为203400元.求a的值．【答案】（1）y＝﹣10x2+800x+200000.（0≤x≤40且x为整数）（2）20≤x≤40 （3）a＝35【解答】解：（1）由题意得.y＝（600﹣400﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+800x+200000.（0≤x≤40且x为整数）.即y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x2+800x+200000.（0≤x≤40且x为整数）；（2）∵y＝﹣10x2+800x+200000＝﹣10（x﹣40）2+216000.∴当y＝212000时.﹣10（x﹣40）2+216000＝212000.解得：x1＝20.x2＝60.要使y≥212000.则20≤x≤60.∵0≤x≤40.∴20≤x≤40.即x的取值范围是：20≤x≤40；（3）设捐款后每天的利润为w元.则w＝﹣10x2+800x+200000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（800+a）x+200000﹣400a.对称轴为.∵0＜a≤100.∴.∵抛物线开口向下.当30≤x≤40时.w随x的增大而增大.∴当x＝40时.w最大.∴﹣10×402+40（800+a）+200000﹣400a＝203400.解得.a＝35．8．（2021•即墨区一模）即墨古城某城门横断面分为两部分.上半部分为抛物线形状.下半部分为正方形（OMNE为正方形）.已知城门宽度为4米.最高处离地面6米.如图1所示.现以O点为原点.OM所在的直线为x轴.OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．（1）求出上半部分抛物线的函数表达式.并写出其自变量的取值范围；（2）有一辆宽3米.高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城.请问该消防车能否正常进入？（3）为营造节日气氛.需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD.该“装饰门”关于抛物线对称轴对称.如图2所示.其中AB.AD.CD为三根承重钢支架.A、D在抛物线上.B.C 在地面上.已知钢支架每米50元.问搭建这样一个矩形“装饰门”.仅钢支架一项.最多需要花费多少元？【答案】（1）（0≤x≤4）（2）消防车能正常进入（3）650元【解答】解：（1）由题意知.抛物线的顶点为（2.6）.∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+6.又∵抛物线经过点E（0.4）.∴4＝4a+6.∴a＝.∴抛物线的表达式为.即（0≤x≤4）；（2）由题意知.当消防车走最中间时.进入的可能性最大.即当x＝时.＝4.875＞4.5.∴消防车能正常进入；（3）设B点的横坐标为m.AB+AD+CD的长度为L.由题意知BC＝4﹣2m.即AD＝4﹣2m.CD＝AB＝.∴L＝2×（）+（4﹣2m）＝﹣m2+2m+12.∵0≤x≤4.当m＝＝1时.L最大.L最大＝﹣12+2×1+12＝13.∴费用为13×50＝650（元）.答：仅钢支架一项.最多需要花费650元．9．（2021•路南区一模）某园林专业户计划投资种植树木及花卉.根据市场调查与预测.图1是种植树木的利润y与投资量x成正比例关系.图2是种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系．（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别根据投资种植树木及花卉的图象l1、l2.求利润y关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户共投入10万元资金种树木和花卉.其中投入x（x＞0）万元种植花卉.那么他至少获得多少利润？（3）在（2）的基础上要保证获利在20万元以上.该园林专业户应怎样投资？【答案】（1）y＝x2（x≥0）（2）18万元（3）该园林专业户应投资花卉种植超过4万元【解答】解：（1）设l1：y＝kx.∵函数y＝kx的图象过（1.2）.∴2＝k⋅1.k＝2.故l1中y与x的函数关系式是y＝2x（x≥0）.∵该抛物线的顶点是原点.∴设l2：y＝ax2.由图2.函数y＝ax2的图象过（2.2）.∴2＝a⋅22.解得：a＝.故l2中y与x的函数关系式是：y＝x2（x≥0）；（2）因为投入x万元（0＜x≤10）种植花卉.则投入（10﹣x）万元种植树木..∵a＝＞0.0＜x≤10.∴当x＝2时.w的最小值是18.他至少获得18万元的利润．（3）根据题意.当w＝20时..解得：x＝0（不合题意舍）.x＝4.∴至少获得20万元利润.则x＝4.∵在2≤x≤10的范图内w随x的增大而增大.∴w＞20.只需要x＞4.所以保证获利在20万元以上.该园林专业户应投资花卉种植超过4万元．。