二项分布教学设计公开课优质课教学设计比赛获奖版

《二项分布》教学设计【教学内容】本节内容是人教A版选择性必修三第七章《随机变量及其分布》的第四节《二项分布与超几何分布》的第一节课。

在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。

本节课是从生活实际入手，了解伯努利试验和n重伯努利试验的特点，通过由特殊到一般的方法推导出二项分布的概率模型及其数字特征。

发展学生数学抽象、逻辑推理及数学运算的素养。

本节内容是对前边所学知识的综合应用，是对已有知识的“再创造”与“整合”的过程；是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。

要鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，从而体会数学的科学价值和应用价值。

【教学目标】1.学生通过具体实例，理解n次伯努利试验的特点，并会判断一个具体问题是否服从二项分布;2.学生通过独立思考、相互交流，并借助由特殊到一般的方法，能归纳出二项分布的概率模型，从中体会数学的理性与严谨，提升数学抽象、逻辑推理与数学运算的素养。

3.学生经历实际问题的对比分析，归纳提炼，树立普遍联系的概念；在问题的解决过程中感悟数学与生活的和谐之美，体会数学的文化价值和应用价值。

【重点难点】教学重点：n重伯努利试验，二项分布的概率模型及简单应用。

教学难点：在实际问题中抽象出模型的特征，并应用二项分布的概率模型解决实际问题。

【学情分析】通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的知识：等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法及分布列有关内容。

但是对于从实际问题中抽象出数学模型还是有些困难的，需要老师启发引导，在老师的启发引导下，学生能从抛硬币的试验中抽象出n重伯努利试验的概念，从掷图钉的试验中归纳出二项分布的概率模型。

【教学策略】本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示。

为了让学生归纳探究出二项分布的概率模型，课堂应为学生创造积极探究的平台。

二项分布（一）
【教学目标】
知识目标：
理解独立重复试验的概念． 能力目标：
学生的数学计算技能和数学思维能力得到提高．
【教学重点】
独立重复试验的概念．
【教学难点】
伯努利公式．
【教学设计】
直接利用“有放回”的抽取球的实验，引入独立重复试验的概念．采用“有放回”的方法，从袋中连续抽取球的实验，是典型的“独立重复试验”．判定一个随机试验是否为独立重复试验有以下两个条件：（1）实验是重复进行的；（2）重复进行的试验是相互独立的．独立重复试验的结果有可能是多个，如果在n 次独立试验中，如果每次试验的可能结果只有两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件A 和A ，并且在每次实验中，事件A 发生的概率都不变．这样的n 次独立试验叫做n 次伯努利实验．直接给出伯努利公式：如果在每次实验中事件A 发生的概率为()P A p =，事件A 不发生的概率()1P A p =-，那么，在n 次伯努利
实验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)k
k n k n n
P k C p p -=⋅⋅- ．例1是应用伯努利公式的计算题．要注意，首先要判断是否为伯努利实验，然后找出公式中的p ，即事件发生的概
率，再确定n 和k 的值，最后按照公式进行计算．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
,n．
次的概率公式可以看
,n．本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
【教师教学后记】。

高中数学北师大版选修2-3第二章《二项分布》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1、知识与技能:
(1)理解n次独立重复试验的模型;理解二项分布的概念。

(2)能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题。

2、过程与方法:在具体问题的解决过程中,领会二项分布需要满足的条件,培养运用概率模型解决实际问题的能力。

3、情感态度与价值观:在利用二项分布解决简单的实际问题过程中深化对某些随机现象的认识,进一步体会数学在日常生活中的广泛应用。

2学情分析
本节课是在学生学习了离散型随机变量的分布列、,互斥事件、相互独立事件、超几何分布的基础上学习的,学生对本节课内容的理解没有多大困难。

3重点难点
教学重点:理解n次独立重复试验的模型;理解二项分布的概念。

教学难点:理解二项分布,利用二项分布解决简单的实际问题。

4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】二项分布（一）
1、若A、B是互斥事件,则 P(A+B)=?
2、若A、B是相互独立事件,则 P(AB)=?
3、求离散型随机变量的分布列的方法步骤?
4、超几何分布。

二项式定理（第1课时）一、内容和内容解析内容：二项式定理的发现与证明．内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。

由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．二、学情分析这一堂课是面对高二学生。

学生已经初步具备了多项式乘法，同类项合并，排列计数原理，组合数计数原理以及归纳推理等知识储备。

能够在教师的引导下理解并掌握本节课中的推理演绎过程。

但是，学生的自我探究，归纳，分析的能力还有待提高。

三、课程学习目标（1）知识目标：使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式展开式、通项公式的特点，并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。

（2）能力目标：在学生对二项式定理形成的参与讨论过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识及知识迁移能力。

（3）情感目标：通过二项式定理的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美。

四、设计思想：本课采用合作探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

目标解析：（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理．五、教学重点与难点：重点： (1) 使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式定理；（2）能正确应用二项式定理解决一些简单的问题。

2.2.3 独立重复试验与二项分布教材分析本节内容是新教材选修2-3第二章《随机变量及其分布》的第二节《二项分布及其应用》的第三小节。

通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的基础知识：等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法以及分布列有关内容。

二项分布是继超几何分布后的又一应用广泛的概率模型，而超几何分布在产品数量n 相当大时可以近似的看成二项分布。

在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。

可以说本节内容是对前面所学知识的综合应用，是一种模型的构建。

是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。

会对今后数学及相关学科的学习产生深远的影响。

课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要用独立重复试验分析，归纳的得出二项分布，并能二项分布解决实际问题。

教学目标重点: 独立重复试验中事件的概率及二项分布的求法,试验的概念及二项分布的概念. 难点: 应用二项分布解决实际问题.知识点：理解试验的概念；独立重复试验中事件的概率及二项分布的求法。

能力点：如何探寻二项分布，归纳思想的运用.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：运用二项分布解决实际问题.考试点：独立重复试验的理解，用二项分布解决实际问题. 拓展点：独立重复试验的深入理解.教具准备 多媒体课件 课堂模式 学案导学 一、引入新课1、相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立. 2、相互独立事件同时发生的概率：()()()P AB P A P B =一般地，如果事件12,,,n A A A …相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A =…….二、探究新知思考：掷一枚图钉，针尖向上的概率为p ，则针尖向下的概率为1p - 问题（1）:第1次、第2次、第3次…第n 次针尖向上的概率是多少?问题（2）：用(1,2,3,,)i A i n =… 表示第i 次掷得针尖朝上的事件，这n 次试验相互独立么？问题（3）：若连续抛掷3次，3次中恰有1次针尖向上，有几种情况？问题（4）：每种情况的概率分别是多少？问题（5）：这3次中恰有1次针尖向上的概率是多少？问题（6）：连续掷n 次，恰有k 次针尖向上的概率是多少？根据上述问题，你能得出那些结论？一般地, 在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，那么事件A 发生k 次的概率为概率P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n -k,k ＝0,1,2,…,n事件A 发生的次数是一个随机变量X ,服从二项分布,记为X ～B (n ,p )，称p 为成功概率。

4《二项分布与超几何分布课时2》一等奖创新教学设计《二项分布与超几何分布》教学设计课时2超几何分布必备知识学科能力学科素养高考考向二项分布学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决创造迁移能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象数据分析数学运算数学建模逻辑推理【考查内容】1.通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题. 2.超几何分布模型的识别,超几何分布的分布列的计算. 【考查题型】选择题、填空题、解答题超几何分布数学抽象数据分析数学运算数学建模逻辑推理一、本节内容分析本节内容第1课时是对二项分布的研究与学习,主要介绍重伯努利试验、二项分布及二项分布的均值和方差.本节课具有着承前启后的作用,既是前面的条件概率、全概率的求法以及随机变量的分布列和数字特征等有关内容的延续和扩展,又为后续内容提供理论基础.在自然现象和现实生活中,大量的随机变量都服从或近似服从二项分布,而且重伯努利试验与二项分布是高考中的重要考点.本节内容第2课时通过比较放回和不放回随机抽样中次品数的分布,从特殊到一般,从具体到抽象通过归纳得到超几何分布的特征,推导出超几何分布的均值,讨论二项分布与超几何分布的联系与区别,并且通过构建超几何分布概率模型,提高用概率的方法解决问题的能力.本节内容包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.二项分布2.超几何分布数学抽象数学运算数据分析数学建模逻辑推理核心素养二、学情整体分析从学生的思维特点看,很容易把二项分布与超几何分布混淆.对于超几何分布和二项分布,可借助于不放回抽样和放回抽样的对比,判断各次试验结果是否独立,这点是学生的弱点.求二项分布与超几何分布,多以解答题出现,所以概率模型的建立对学生来讲也是一个需要克服的难关.学情补充:______ _________________ _________三、教学活动准备【任务专题设计】1.二项分布2.超几何分布【教学目标设计】1.通过具体实例了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征;能用二项分布解决简单的实际问题.2.通过具体实例,了解超几何分布及其均值;能用超几何分布解决简单的实际问题.【教学策略设计】在短短的一节课要让学生经历对重伯努利试验和二项分布概念的学习、深入理解、运用知识解答相关基础题目等过程,学生不可能独立完成,这需要教师采用恰当的教学方法、创设合理的教学情境加以引导.针对本节课的内容特点,可以以“实例观察和启发为主,讨论和练习为辅”的教学方法.“多媒体辅助”的教学手段来进行教学,引导学生通过自主探究学习、讨论合作学习等方式来进行本节课的学习,使学生能够运用本节课知识解决相关问题,并对后续的学习有所启发,从而实现预设的教学目标.在超几何分布的教学中,可精心设计教学活动,比如可以让学生思考:建立超几何分布模型的过程与建立二项分布和建立古典概率模型的过程有什么不同之处.让学生经历归纳概括随机试验的特征和推导分布列的过程,这对正确选择概率模型解决实际问题非常重要,也是落实数学抽象、数据分析等核心素养的需要.【教学方法建议】启发教学法、问题教学法,还有_________【教学重点难点】重点1.重伯努试验.2.二项分布及其数字特征.3.二项分布的简单应用.4.超几何分布模型的特征.5.超几何分布及其推导过程,并能进行简单的运用.难点1.在实际问题中抽象出模型的特征.2.识别二项分布.3.在具体的问题情境中,抽象出超几何分布的概率模型,并用相关知识解决相应问题.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件、______2.其他材料:______ _四、教学活动设计教学导入师:同学们,上节课我们学习了二项分布,本节课我们学习超几何分布.下面我们看这样一个问题.【以学论教】以学生为中心,用学生已经学习过的二项分布引出超几何分布,由学生自主验证,加深学生的印象,情境教学、以学论教.教学精讲【情境设置】探究超几何分布的概念在产品质量管理中,常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布,进而分析产品质量.假定一批产品共100件,其中有8件不合格品,分别采用有放回和不放回的方式随机取出4件产品,求抽取的6件产品中不合格品数的分布列.师:采用有放回抽样时,服从什么分布生:二项分布.师:二项分布模型的特征是什么生:有放回,各次抽样的结果相互独立.师:如果采用不放回抽样,那么抽取的4件产品中次品数是否也服从二项分布生:不服从二项分布,因为每次抽取的结果不独立,不符合重伯努利试验的特征.师:很好!不服从二项分布,那分布列如何求呢这个试验符不符合我们之前学习过的某个概率模型呢生:古典概型.师:回答正确!可以根据古典概型求的分布列.从100件产品中随机抽取4件有种等可能基本事件.可能的取值为,4.表示的随机事件是“取到件不合格品和件合格品”,有个样本点.根据古典概型,.所以,由古典概型的知识,可得的分布列为.计算的具体结果(精确到)如表所示.0 1 2 3 4这就是超几何分布.【情境学习】教师先提出问题,在具体的问题情境中,在学生计算出具体问题的分布列,自主发现规律之后,教师再引导学生由特殊到一般抽象出超几何分布模型的特征.【要点知识】超几何分布的概念一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为,其中.其中.如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布.【概括理解能力】通过古典概型知识的引入,学生由具体例题概括超几何分布的概念,理解其分布列表达式,提升概括理解能力.师:那么,超几何分布的分布列是什么样的【学生思考回答问题,教师补充展示】【要点知识】分布列的计算对一般情形,一批产品共件,其中有件不合格品,随机取出的件产品中,不合格品数的分布列如下表所示.0 1 2 ……其中.【分析计算能力】通过分析具体问题的分布列的计算的共同属性抽象得到一般问题的分布列的计算,并用数学符号数学字母表示出来.提升分析计算能力.师:根据上面的随机抽样问题,我们可以抽象出超几何分布模型的特征如下.【情景设置】超几何分布模型的特征一批产品共件,其中有件不合格品,件合格品,不放回地随机抽取件产品.设表示抽取的件产品中的不合格品数,求的分布列.师:这就是超几何分布模型的特征,请同学们用摸球这个随机抽样问题,尝试用超几何分布模型描述一下.生:袋子中有大小相同的个球,其中有个红球,个白球,不放回地随机摸出个球.设表示摸出的个球中的红球数,求的分布列.师:很好,我们把符合这种特征的概率模型称为超几何分布模型.【以学定教】从学生的角度出发,以直观的教学手段来解释超几何分布,将同学们熟悉的一个简单概率问题抽象成超几何分布模型,并引导学生自己总结特点.师:下面利用超几何分布模型解决简单的实际问题.【典型例题】求超几何分布的概率例1 从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.师:设表示选出的5名学生中含甲的人数,则服从什么分布生:超几何分布.师:求甲被选中的概率,请同学们算一下.【同学们积极思考,独立完成,教师指定学生回答】生:.【简单问题解决能力】学生根据超几何分布模型的特征,将实际问题抽象成超几何分布概率模型,计算得到超几何分布的概率.提升简单问题解决能力.师:容易发现,每个人被抽到的概率都是,非常地直观.下面看例2题.【典型例题】求超几何分布的概率例2 一批零件共有30个,其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测,求至少有1件不合格的概率.生解:设抽取的10个零件中不合格品数为,则服从超几何分布,且的分布列为.师解:也可以按如下方法求解:师:服从超几何分布的随机变量的均值是什么同学们可以先直观猜想一下.生:.师:设表示件产品的次品率,则,而是抽取的件产品的次品率,猜想,即.下面我们计算验证一下.【分析计算能力】通过习题增强学生对超几何分布模型的理解,培养学生的分析计算能力.【要点知识】超几何分布的均值实际上,由随机变量均值的定义,令,有因为,所以.【说明论证能力】教师先提问超几何分布的期望计算公式,再引导学生推导验证,师生共同合作,最终得到超几何分布的均值表达式,提升说明论证能力.师:下面看一道例题.【典型例题】超几何分布的综合应用例3 一个袋子中有100个大小相同的球,其中有40个黄球、60个白球,从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数.(1)分别就有放回摸球和不放回摸球,求的分布列;(2)分别就有放回摸球和不放回摸球,用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,求误差不超过的概率.师:因为只有两种颜色的球,每次摸球都是一个伯努利试验.摸出20个球,采用有放回摸球,各次试验的结果相互独立,;而采用不放回摸球,各次试验的结果不独立,服从超几何分布.【学生积极思考,小组内交流讨论,学生分组学习,教师指定学生代表解题】生解:(1)对于有放回摸球,每次摸到黄球的概率为,且各次试验之间的结果是独立的.因此的分布列为.对于不放回摸球,各次试验的结果不独立,服从超几何分布,的分布列为【活动学习】教师组织学生分组发言讨论,互相查漏补缺,有效的检查了学习内容的完整性,同时也培养了自主学习的兴趣.师:利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值(精确到),如表所示.0 0.00004 0.00001 11 0.07099 0.063761 0.00049 0.00015 12 0.03550 0.026672 0.00309 0.00135 13 0.01456 0.008673 0.01235 0.00714 14 0.00485 0.002174 0.03499 0.02551 15 0.00129 0.000415 0.07465 0.06530 16 0.00027 0.000066 0.12441 0.12422 17 0.00004 0.000017 0.16588 0.17972 18 0.00000 0.000008 0.17971 0.20078 19 0.00000 0.000009 0.15974 0.17483 20 0.00000 0.0000010 0.11714 0.11924【发现创新能力】借助信息技术,计算模型数据,通过得到的数据,学生分析数据规律,找出其临界值和范围,提升发现创新能力.样本中黄球的比例是一个随机变量,根据上表,计算得有放回摸球:.不放回摸球:.因此,在相同的误差限制下,采用不放回摸球估计的结果更可靠些.两种摸球方式下,随机变量分别服从二项分布和超几何分布,虽然这两种分布有相等的均值(都是8),但从两种分布的概率分布图看,超几何分布更集中在均值附近.如图所示.【以学论教】以学生的理解为中心,启发学生思考,培养分析数据的意识和习惯,制作概率分布图,养成良好的数据分析习惯,使课堂教学得到了强化.师:二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当远远小于时,每抽取一次后,对的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似.师:同学们思考一下超几何分布和二项分布的联系和区别有哪些【同学们积极思考,小组讨论,小组展示,教师做补充】师:(1)对应同一个摸球模型,二项分布是有放回抽样,每次试验结果相互独立,超几何分布是不放回抽样,每次试验结果不独立.(2)对应于同一个摸球模型,两个分布的均值相同.(3)对于不放回抽样,当充分大,且远远小于时,各次抽样结果彼此影响很小,可近似认为是独立的.因此,超几何分布可以用二项分布近似.【深度学习】教师带领学生对比二项分布和超几何分布,使课堂教学得到了延续和强化,有助于学生将知识整合深化.师:好了,我们接下来练习一些题目巩固一下.【巩固练习】超几何分布1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券,毎张奖券奖励饮料一罐,从中任意抽取2罐,求这2罐中有奖券的概率.2.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班,假设每名候选人都有相同的机会被选到,求甲班恰有2名同学被选到的概率.3.举出两个服从超几何分布的随机变量的例子.【学生积极思考,独立完成练习,教师指导学生回答】【分析计算能力】布置几道与超几何分布密切相关的练习,使课堂教学得到了延续和强化,落实了所学的相关的计算方法,提升了学生的分析计算能力.生1:设抽出的2罐中有奖券的罐数为,则服从超几何分布,且,..生2:设选到的4人中甲班同学的人数为,则服从超几何分布,且..生3:(1)10个球中有4个红球,从中不放回地随机取出3个,其中红球个数服从超几何分布,且.(2)某班级有20名男生、25名女生,随机选出5个人参加某项活动,其中包含男生的人数服从超几何分布,且.师:同学们来总结一下本节课所学的主要内容、思想方法.【同学们积极思考回答,教师做补充】师:很好,“超几何分布”我们主要学习的知识点:①超几何分布定义；②分布列；③均值.【课堂小结】超几何分布【设计意图】教师引导学生通过课堂练习自主总结当堂课重点内容,利用练习巩固所学的求概率、求分布列、求均值的方法,整体学习,加强学生对本节学习内容的整体认识和把握.教学评价学完本节课,我们应该了解重伯努利试验的概念,理解二项分布及其数字特征,并能在实际问题中抽象出模型特征,识别二项分布,理解超几何分布概率模型的特征,会由特殊到一般地推导超几何分布的分布列,会求超几何分布的分布列及其均值,能说出二项分布与超几何分布的区别和联系,并能综合应用所学的概率知识,建立概率模型,解决简单的实际问题.【设计意图】教师引导学生整理知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提升解决问题的能力,从而达到数学运算、数学抽象、数据分析等核心素养目标要求.应用所学知识,完成下面各题:1.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量的分布列、均值及方差.解析:(1)设表示事件“日销售量不低于100个”,表示事件“日销售量低于50个”,表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”.因此,.(2)由题意知,故,则的分布列为0 1 2 3因为,所以均值,方差.【综合问题解决能力】通过两道综合题目的练习,学生可以充分体会二项分布和超几何分布的综合应用,主要是判断属于何种分布模型.根据题意,选定概率分布模型后,根据公式计算概率、分布列、均值等问题,提升学生的综合问题解决能力.2.甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选.(1)求甲恰有2个题目答对的概率;(2)求乙答对的题目数的分布列.解析:(1)由于甲在备选的10道题中,答对其中每道题的概率都是, 所以选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率.(2)由题意知乙答对的题目数的可能取值为,则.则的分布列为2 3 4教学反思本节课重点学习的内容是:重伯努利试验、二项分布的概率及其数字特征、二项分布的简单应用,超几何分布的概率、均值、简单应用.在本节课的总体教学设计中,突出了教师的身份不仅是讲授知识,而是更侧重于引导启发学生,调用多种方式、运用多媒体课件,利用试验等直观的教学方式帮助学生理解重伯努利试验和二项分布的含义;利用生活中的实例,突出数学概念、数学方法的实际作用.通过比较放回和不放回抽样,让学生由特殊到一般总结超几何分布的特征及分布列,利用生活中的实例,突出数学概念、数学方法的实际作用.落实了数学抽象、数学运算、数据分析、逻辑推理等核心素养,通过例题和习题的思考和练习,着重培养学生的概括理解能力、分析计算能力、推测解释能力以及综合问题解决等学科能力.【以学论教】根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,以及不足之处,要注意结合实例,让学生体会选择应用合适概率模型解决问题的过程,可通过信息技术、课堂活动等让学生具备完整的求分布列、计算概率、计算方差、均值以解决问题的实际经验.1 / 13。

二项分布（二）【教学目标】知识目标：理解二项分布的概念，会计算服从二项分布的随机变量的概率． 能力目标：学生的数学计算技能和数学思维能力得到提高．【教学重点】二项分布的概念．【教学难点】服从二项分布的随机变量的概率的计算．【教学设计】二项分布是以伯努利实验为背景的重要分布．在实际问题中，如果n 次试验相互独立，且各次实验是重复试验，事件A 在每次实验中发生的概率都是(01)p p <<，那么，事件A 发生的次数ξ是一个离散型随机变量，服从参数为n 和p 的二项分布．二项分布中的各个概率值，依次是二项式[(1)]n p p -+的展开式中的各项．第1k +项1k T +为()(1)k kn k n nP k C p p -=-．这是计算服从二项分布的随机变量的概率的重要公式．例2和例3都是应用上述公式的基本训练题．解决这类问题的关键是判断随机变量服从二项分布，并确定事件发生的概率p 与独立重复实验的次数n 这两个参数，然后利用公式进行计算．在产品抽样检验中，如果抽样是有放回的，那么抽n 件检验，就相当于作n 次独立重复试验，因此在有放回的抽样检验中抽出的n 件产品中所含次品件数的概率分布是二项分布．当产品的数量相当大，而且抽取产品数目有很小的条件下，一般地，可以将不放回抽取近似地看作是有放回的抽取，应用二项分布得到结果．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】0,1,2,,n．的概率分布叫做的二项分布，记为435B ⎛⎫⎪⎝⎭，．3次所取到的球恰好有24148()55125⨯⨯=次所取到的球恰好有2个黑球的概率为(3,0.6)B 33(3)0.6C =⋅23(2)0.6C =⋅113(1)0.6C =⋅0,1,2,,n．的概率分布叫做本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？【教师教学后记】。

《二项分布》教案1.理解n 重伯努利试验的概念．2.掌握二项分布．3.能利用n 重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．重点：n 重伯努利试验，二项分布及其数字特征，简单应用． 难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布．一、新课导入问题1： 观察下面试验有什么共同的特点？（1）投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5；（2）某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个； （3）某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次．答案：①相同条件下的试验：5次、10次、6次；②每次试验相互独立；③每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生；④每次试验发生的概率相同为p ，不发生的概率也相同，为1-p ． 探究新知：1.概念：我们把像上述这些，只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials ）． 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验． 2. (1)同一个伯努利试验重复做n 次． (2)各次试验的结果相互独立．注意：在相同条件下，n 重伯努利试验是有放回地抽样试验． 练习：判断下列试验是否是n 重伯努利试验： (1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次．(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次． (3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件．(4)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．答案：(1)抛掷相同的硬币，每次试验的条件相同，且结果相互独立，是n 重伯努利试验．(2)运动员射击中靶的概率是稳定的，是n 重伯努利试验．◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程(3)有放回地抽取，每次抽取的次品率相同，且结果相互独立，是是n 重伯努利试验． (4)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n 重伯努利试验．总结： n 重伯努利试验的判断依据：(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验相互独立，互不影响．(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生．问题2：下列问题中的伯努利试验是什么？定义“成功”的事件为A ，那么A 的概率是多大？重复试验的次数是多少？各次试验的结果是否独立？关注的随机变量是什么？(1)掷一枚质地均匀的硬币10次，其中恰好有4次正面朝上的概率是多少？ (2)某妇产医院一天共出生了8个婴儿，其中恰有4个男婴的概率是多少？(3)假设每名学生一年内发生意外伤害事故的概率为0.001，那么1000名学生一年内恰好2人发生意外伤害事故的概率是多少？(4)甲、乙两人进行兵兵球比赛，每局比赛甲获胜的概率为0.6，采用5局3胜制，甲最终获胜的概率是多少？(5)袋子中有4个红球、6个白球，从中不放回地抽取4个球，其中有2个红球的概率是多少？问题3：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为34，连续射击4次，且各次命中目标与否是相互独立的，用X 表示中靶次数，表示X 的分布列？答案：连续射击4次，就是做4次伯努利试验，用A i (i =11，2，3，4)表示第i 次中靶的事件，P {X =0}=P(A 1 A 2 A 3 A 4)=(1−34)4，P{X =1}= P (A 1A 2 A 3 A 4⋃A 1A 2A 3 A 4⋃A 1 A 2A 3 A 4⋃A 1 A 2 A 3A 4) = P (A 1A 2 A 3 A 4) +P (A 1A 2A 3 A 4)+P (A 1 A 2A 3 A 4)+P (A 1 A 2 A 3A 4)=4×34×(1−34)3=C 41×(34)1×(1−34)3追问1：当X =k （k =0，1，2，3，4）时，事件{X =k }的含义是什么？ P {X =k }如何表示？答案： 4次射击，有k 次命中目标，4−k 次没有击中目标，总共有C 4k 种情况为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么4次射击恰好中靶3次的所有可能结果可以表示为：0111，1011，1101，1110，因此4次射击恰好3次中靶的概率为C 43(34)3(14)1．同理可求中靶0次、4次的概率，故中靶次数X 的分布列为 P(X =k)=C 4k (34)k (1−34)4−k，(k =0，1，2，3，4)． 追问2：写出中靶次数X 的分布列． 答案：二项分布：一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <l)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P(X =k)=C n k p k (1−p)n−k，k =1，2，⋯，n ． 如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ~B (n ，p ) ． 问题4：(1)二项分布中的各个量的意义是什么？对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？(2)二项分布与两点分布有怎样的关系?答案：(1) 如果把p 看成b ，1-p 看成a ，则C n k p k (1−p )n−k就是二项式(a +b )n 的展开式的通项，由此才称为二项分布．(2) 两点分布是只有两种试验结果的随机试验的概率分布，也就是伯努利试验的概率分布，与二项分布相比，两点分布是n =1的二项分布，二项分布可以看做两点分布的一般形式． 问题5：假设随机变量X 服从二项分布B (n ，p ),那么X 的均值和方差各是什么？ 追问1：我们知道两点分布是n =1的二项分布，两点分布的期望和方差是什么？ 答案：当n =1时，X 服从两点分布，分布列为P (X =0)=1-p ，P (X =1)=p ．均值和方差分别为E (X )=p ，D (X )=p (1-p )．追问2：当n =2时，二项分布的期望和方差是什么？试着计算并观察，说说你的发现． 答案：当n =2时，X 的分布列为P (X =0)=(1−p )2，P (X =1)=2p (1−p )，P (X =2)=p 2．均值和方差分别为E (X )=0×(1−p )2+1×2p (1−p )+2×p 2=2p ．D (X )=02×(1−p )2+12×2p (1−p )+22×p 2−(2p )2=2p(1−p)．猜想如果X ~B （n ，p ），那么E (X )=np ，D (X )=np(1−p)．下面我们对均值进行证明．令q =1−p ，由kC n k =nC n−1k−1，可得E (X )=∑kC n k p k q n−k n k=0=∑nC n−1k−1p k q n−k n k=1=np ∑C n−1k−1p k−1q n−1−(k−1)n k=1． 令k −1=m ，则E (X )=np ∑C n−1m p m qn−1−m n−1m=0=np (p +q )n−1=np ． 一般地，如果X ~B （n ，p ），那么E (X )=np ，D (X )=np(1−p)．【设计意图】一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的．从特殊的情况进行分析，发现规律，大胆猜想，小心论证，得出结论． 三、典例解析例1. 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上的频率在[0.4，0.6]内的概率．分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验，因此，正面朝上的次数服从二项分布． 解：(1)恰好出现5次正面朝上等价于X =5，于是P(X =5)=C 105×0.510=2521024=63256．(2) 正面朝上的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤Ｘ≤6，于是P(4≤Ｘ≤6)＝C 104×0.510+C 105×0.510+C 106×0.510=6721024=2132．设计意图：根据分布列的性质，通过计算重复试验中事件A 发生的次数落在某个区域内的概率，帮助学生进一步认识频率稳定到概率的意义． 例2：右图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X 表示小球最后落入格子的号码，求X 的分布列．分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果．设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5．在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验．小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X 服从二项分布．解：设A =“向右下落”，则A =“向左下落”，且P （A ）=P （A ）=0.5．因为小球最后落入格子的号码X 等于事件A 发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X ~B （10，0.5）．于是，X 的分布列为P （X =k ）=C 10k ×0.510，k =0，1，2， (10)X 的概率分布图如下图所示．四．课堂练习1. 某知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行．每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为2/3.(1)求选手甲可进入决赛的概率．(2)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列． 解：(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为(23)3＝827；选手甲答4道题进入决赛的概率为C 32×(23)2×13×23＝827；选手甲答5道题进入决赛的概率为C 42×(23)2×(13)2×23＝1681. 所以选手甲可进入决赛的概率为827+827+1681＝6481. (2)依题意，ξ的可能取值为3，4，5，则有 P(ξ＝3)＝(23)3+(13)3＝13，P(ξ＝4)＝C 32× (23)2×13×23+C 32×(13)2×23×13＝1027， P(ξ＝5)＝C 42(23)2(13)2＝827，所以ξ的分布列如下：五、归纳总结1.二项分布的定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<l)，用X表示事件A 发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=C n k p k(1−p)n−k ，k=1，2，⋯，n．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p) ．2.确定一个二项分布模型的步骤:（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B（n，p）.3.一般地，如果X~B（n，p），那么E(X)=np，D(X)=np(1−p)．.六、作业布置教材209页练习第1,2,3题。