第 1 页 共 2 页 偏导数连续的定义公式
（原创版）
目录
1.偏导数连续的定义
2.偏导数连续的公式
3.偏导数连续的证明方法
4.偏导数连续与偏导数存在的关系
5.偏导数连续的意义和应用
正文
一、偏导数连续的定义
偏导数连续是指一个多元函数的偏导数在定义域内没有间断点，即对于定义域内的任意一点，其偏导数都存在且连续。偏导数连续是函数连续的充分条件，但不是必要条件。
二、偏导数连续的公式
偏导数连续的公式可以表示为：设函数 f(x,y) 在点 (a,b) 处连续，对其关于 x 求偏导数，得到偏导数 f_x(a,b)，对其关于 y 求偏导数，得到偏导数 f_y(a,b)，如果当 (x,y) 趋于 (a,b) 时，极限
lim(f_x(x,y)-f_x(a,b)) 和 lim(f_y(x,y)-f_y(a,b)) 都存在或为无穷大，则称函数 f(x,y) 在点 (a,b) 处偏导数连续。
三、偏导数连续的证明方法
证明偏导数连续的方法通常是先求出函数在某点的偏导数值，然后利用求导公式求出在不在该点时的偏导数，最后求出当 (x,y) 趋于该点时的极限，如果极限存在或为无穷大，则说明偏导数连续。
四、偏导数连续与偏导数存在的关系 第 2 页 共 2 页 偏导数连续是偏导数存在的充分条件，但不是必要条件。如果一个函数的偏导数在某点连续，那么它在该点一定存在偏导数，但即使偏导数在某点存在，也不一定能保证它在该点连续。
五、偏导数连续的意义和应用
偏导数连续在数学分析中有着重要的意义，它是函数连续的充分条件，也是函数可微的必要条件。
证明导函数连续的条件
导函数连续的条件是：
1.原函数存在
如果原函数存在，则导函数一定存在。原函数的存在可以用黎曼-斯蒂尔切斯积分定理来证明，也可以使用牛顿-莱布尼茨公式来证明。因此，如果原函数存在，则导函数一定连续。
2.导函数存在且连续
如果导函数存在且连续，则原函数一定存在。这可以用柯西-黎曼条件和拉格朗日中值定理来证明。因此，如果导函数存在且连续，则原函数也一定连续。
3.函数在整个定义域内连续
如果导函数在整个定义域内连续，则原函数一定连续。这可以用导数的定义和柯西中值定理来证明。
综上所述，导函数连续的条件是：原函数存在且导函数连续；或导函数存在且连续且原函数存在；或函数在整个定义域内连续。
1 / 5 首届全国高校数学微课程教学设计竞赛
教学设计方案
作品标题 函数在一点处连续的两个等价定义 所属课程 高等数学（上）
相关知识点 函数在一点处连续的两个等价定义 知识点编码 011102
授课对象 高等院校工科类各专业学生 授课时长 8分2秒
参考文献 同济大学数学系编.高等数学（上册）.第7版[M].北京：高等教育出版社，2014年7月
2 / 5 建议包含教学背景、教学目标、教学内容及重点难点分析、教学方法和过程、教学总结等内容，注意文字简洁，思路清晰，字数不宜过多。
教学目标：
1. 知识目标：理解函数连续性的概念；掌握连续函数图形的直观特性.
2. 能力目标：培养学生由浅入深的逻辑思维能力，由直观到抽象的抽象概括能力.
3. 情感目标：在揭示函数连续性实质的同时渗透辩证唯物主义思想；通过教师与学生，学生与学生的交流，让学生体会交流的重要性，培养团队协作精神，要在学习过程中充分发挥学生的主动性，要能体现出学生的首创精神.
教学重点：
1. 函数在一点连续的定义.
教学难点：
1. 理解函数在一点连续的定义及其等价形式.
教学方法：
讲授引导法，数形结合法
教学手段：
充分发挥多媒体直观、形象的动态功能，加深学生对函数连续性概念的理解，通过数形结合以减轻学习负担，突出重点，突破难点.
教学背景：
自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等等，都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性.因此，研究函数的连续性是高等数学的基本任务之一.
教学内容：
1.复习回顾函数极限的相关知识，导入新课
前面章节学习的两类函数极限：01.lim.2.limxxxfxAfxA
对于第二类函数极限，需要注意的是：当0xx时fx有没有极限与函数
fx在点0x是否有定义并无关系（具体情况有三种）. 但若00limxxfxfx，即是这节课要学习的主要内容：函数的连续性.
期货合约大多是有交割期的（没有期限的，比如LME三月铜等），通常最长的合约期限也不超过一年，为了研究方便，很多行情报价系统都设立了“连续”合约。
比如“沪铜连续”、“沪铜连三”、 “豆一连三”等等，这里连续合约并非指某一个具体合约，而是变动，比如“ XX连续”就是当前交割月后的第一个交易合约，“XX连三”则是当前交割月后的第三个交易合约，依此类推。
这样设置参考行情规律，交易者发现距离当前交割月份最近的一个月和三、四个月后期货合约是价格最接近现货预期价格和最活跃的。因此就把这样的合约价格连续起来加以研究，于是就设置了“XX连续”、“XX连三、连四”等行情数据。
至于LME的三月铜等合约，则是没有交割期限的连续合约，没有具体交割日期，交易商可以选择任一日期办理交割手续。其报价仅用来做为交割时升贴水的基础标准。
连续只是一个指数报价，没有什么任何的实质意义，因为期货是 12个月或者 6个月滚动的，比如0712的合约到期后，要推出 0812的期货合约的，为了让价格在图形上连续，就有了这些价格连续。
