2021年江苏省扬州市第三中学高三数学理月考试卷含解析
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2021年江苏省扬州市第三中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
2. 已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
参考答案：
A
试题分析：由于是等比数列，，，
又.故选A.
考点：等比中项.
3. 已知椭圆C:，点为其长轴的6等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆C于，则直线这10条直线的斜率乘积为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B 4. 设满足 则 （ ）
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
参考答案：
B
略
5. 若函数为奇函数，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
6. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx
参考答案：
D
【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断．
【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．
【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；
对于B，是偶函数，但是不存在零点；
对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；
对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；
故选：D
7. 设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（ ）
A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y
参考答案：
A
【考点】对数值大小的比较． 【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解．
【解答】解：∵x=30.5=＞1，
0=log31＜y=log32＜log33=1，
z=cos2＜0，
∴z＜y＜x．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意指数函数、对数函数、三角函数的性质的合理运用．
8. 已知函数，则的值为（ ）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
略
9. 若角θ终边上的点在抛物线的准线上，则cos2θ=（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】求出抛物线的准线方程，可得a=1，再由任意角的三角函数的定义，即可求得结论．
【解答】解：抛物线即x2=﹣4y的准线为y=1，
即有a=1，点A（﹣，1），
由任意角的三角函数的定义，可得sinθ=，cosθ=﹣，
∴cos2θ==．
故选A． 10. 设二项式展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn，则
A． B． C． D．1
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知则等于___________
参考答案：
12. 设函数（为常数，且）的部分图象如图所示，
则的值是________.
参考答案：
【分析】
先由周期求出ω，再由五点法作图求出φ的值．
【详解】根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，
可得?=+，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2×（﹣）+φ=0，∴φ=，
故答案为：． 【点睛】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法求出φ的值，属于基础题．
13. 已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则的值为
．
参考答案：
考点：1.函数的图象；2.等比中项的性质. 【思路点晴】本题主要考查余弦函数图象像和性质，等比数列的通项公式与求和公式，是一个小综合题。首先在同一坐标系中作出和的图象，得两个图象在上有三个交点，满足关于对称且关于对称,结合三个根从小到大依次成等比数列,列出横坐标的方程组,解出可得的值,从而得出实数的值. 14. 已知函数f(x)＝，且函数g(x)＝f(x)＋x一a只有一个零点，则实数a的取值范围是＿＿＿
参考答案：
15.
已知是函数的导函数，且，，则下列说法正确的是___________.
①；
②曲线在处的切线斜率最小；
③函数在存在极大值和极小值；
④在区间(0,2)上至少有一个零点.
参考答案：
②③④
【分析】
根据的导数的正负性来判断的单调性，逐个选项进行判断.
【详解】因为，所以，那么，即，又因为，所以，.①中不能从条件判断出来，比如和均符合题中函数，但是可正可负.，所以①错误。②曲线的曲线切线斜率最小即的函数值最小，又由 知道二次函数的开口朝上，所以在对称轴即的值最小，所以②正确.
③函数在是否存在极大值和极小值取决于的正负性，而是开口朝上的二次函数，又因为，所以存在两个零点，并且在上，在上，在上.可知在取得极大值,在取得极小值,所以③正确。④，而，
，所以，那么之间至少有一个数为正，而因为的图像是一条连续的曲线，所以若，可得在在至少有一个零点，若，可得在在至少有一个零点，所以在区间上至少有一个零点. ④正确。所以此题①错误，②③④正确。
【点睛】此题是函数，导数，不等式的综合题，难度较高，属于拔高题。
16. 关于的方程有一实根为，则
。
参考答案：
17.
函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则的最小值为 参考答案： 2 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）、是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，当A、B运动时，满足，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
参考答案：
（2）∵，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为，则PB的斜率为，
PA的直线方程为，设A（x1、y1），B（x2、y2）
由．将（1）代入（2）整理得，
有．同理PB的直线方程为，
可得，∴，．
从而====，
所以的斜率为定值．………………………………………………13分
19. 已知函数，
（Ⅰ）若函数，当时，求在的最小值；
（Ⅱ)若函数在定义域内不单调，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：
参考答案：
解：（Ⅰ）
……2分
∴在区间上递增，∴……4分 （Ⅱ）在定义域内不单调，则在有根，即 在有根……6分
令则∴，在递减，在递增，∴，
当时，由（Ⅰ）知在递增，…8分
∴的取值范围为……10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当时在区间上递增且∴，
∴…12分
∴……14分
略
20. 已知在极坐标系中，点，，是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）.
（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；
（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.
参考答案：
（Ⅰ）将点，的极坐标化为直角坐标，得和.
所以点的直角坐标为. ………………3分 将消去参数，得，即为曲线的普通方程. ………5分
（Ⅱ）解法一：直线的参数方程为 （为参数，为直线的倾斜角）
代入，整理得：.
设点、对应的参数值分别为、.则，
. ……………… 10分
解法二：过点作圆：的切线，切点为，
连接，因为点由平面几何知识得：
，
所以 . ———— 10分
21. 设函数（其中ω＞0，α∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f（x）在区间上的最小值为，求α的值．
参考答案：
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的最值． 【专题】三角函数的求值．
【分析】（I）先用三角恒等式将函数f（x）表达式化简，再将最高点的坐标代入即可求出ω的值．
（II）利用三角函数的性质求出f（x）在区间上的最小值表达式，令其值为，即可解出参数的值．
【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx+sin2ωx++α
=
依题意得2ω×+=
解之得ω=
（II）由（I）知f（x）=sin（x+）++α
又当x∈[﹣，]时，x+∈[0，]
故﹣≤sin（x+）≤1，
从而，f（x）在[﹣，]上取得最小值﹣++α
因此，由题设知﹣++α=
解得α=
答：（I）ω=；（II）α=
【点评】考查三角函数的图象与性质，先用性质求参数的值，再由函数的单调性判断出函数的最小值的参数表达式，建立关于参数的方程，求出相应的参数．本题可以培养答题者运用知识灵活转化的能力．
22. 已知抛物线的通径长为4，椭圆的离心率为，且过抛物线的焦点.
(1)求抛物线和椭圆的方程； (2) 过定点引直线交抛物线于两点(点在点的左侧),分别过作抛物线的切线,且与椭圆相交于两点.记此时两切线的交点为点.
①求点的轨迹方程；
②设点,求的面积的最大值,并求出此时点的坐标.
参考答案：
(1)根据抛物线的通径长2p=4,得抛物线的方程为
由题意焦点坐标为，所以，
所以椭圆的方程为.
(2) ①设直线的斜率为,则直线,即.
.设则
抛物线则即,同理
所以.
因为与椭圆相交于两点,
