高二期末复习知识点

基 础 篇

一、几何证明判定及性质：

★ 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

★ 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。

★ 线与面平行的判定：平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么不在这个平面内的这条直线就和这个平面平行。（三推一）

★ 线与面垂直的判定：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（三推一）

★ 面与面平行的判定：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。（五推一）

★ 面与面垂直的判定：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直。（三推一）

★ 线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（三推一）

★ 面面平行的性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（三推一）

★ 线面垂直的性质：若一条直线垂直于一个平面，这条直线垂直于平面内所有的直线。（二推一）

★ 面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。（三推一）

二、空间向量公式：

★ 两条直线所成的角：

若直线1l和2l的方向向量分别为1v和2v，1l与2l所成的角为，则212121,coscosvvvvvv••。

★ 两个平面所成的角：

设21,nn是二面角l的两个面、的法向量，则

21,cosnn2121nnnn••，就是二面角的平面角（或其补角）的大小，即锐二面角取正，钝二面角取负。

★ 直线与平面所成的角：

已知直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，l与的夹角为，则uv,cossin。

★ 点到平面的距离：

若平面的一个法向量为n，P是外的一点，M是内的一点，则

P到平面的距离nMPnd。

三、直线系方程：

★ 共点直线系方程：

经过两直线1l：0111CyBxA，2l：0222CyBxA的交点的直线系方程为111CyBxA222CyBxA=0（为参变量），其中2l不在直线系内。

★ 平行直线系方程：

直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程。与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy（0），是参变量。

★ 垂直直线系方程：与直线0AxByC（0,0BA）垂直的直线系方程是0BxAy,是参变量。

四、圆系方程：

过两圆1C：011122FyExDyx和2C：022222FyExDyx的交点的圆系方程：

11122FyExDyx022222FyExDyx1

（其中不含有2C，注意检验2C是否满足题意）

①当1时，l：0212121FFyEExDD为两圆公切弦所在直线方程。

②当两圆相切（内切或外切）时，l为过两圆公共切点所在直线方程。

五、两条直线的平行和垂直：

①若1l：11bxky，2l：22bxky 则212121,//bbkkll；12121llkk。

②若1l：0111CyBxA，2l：0222CyBxA，且2121,,,BBAA都不为零，

则21212121//CCBBAAll； 1212120llAABB。

六、常用结论：

★ 球与正四面体的组合体： 棱长为a的正四面体的内切球的半径为a126，外接球的半径为a46；正四面体的高为a36。

★ 特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心。

②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心。

③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心。

④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心。

⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心。

⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心。

★ 球的表面积和体积公式：24RS球；334RV球

★ 点到直线的距离公式：

设点00,yxP，直线l：0CByAx，点P到l的距离为d，则2200BACByAxd。

★ 两条平行直线之间的距离公式：

设两条平行直线：1l：0111CyBxA，2l：0222CyBxA21CC，则它们之间的距离2221BACCd。

★ 求点关于直线对称点的问题：

①所求点与已知点的中点在对称直线上，即中点满足直线方程；

②由已知点与所求点所在直线方程与对称直线垂直，即两直线斜率乘积等于1。

★ 二元二次方程：FEyDxyBxyx220表示圆①0B；②0422FED。

★ 直线与圆的位置关系：

直线0CByAx与圆222rbyax的位置关系有三种：

0相离rd；0相切rd；0相交rd。其中22BACBbAad

★ 两圆位置关系的判定方法：

设两圆圆心分别为1O，2O，半径分别为1r，2r，dOO21则

条公切线外离421rrd；条公切线外切321rrd；条公切线相交22121rrdrr；

条公切线内切121rrd；无公切线内含210rrd。

方 法 篇

1.直线的截距相等：要讨论是否经过原点，一般设：kxy或1ayax。

2.含有参数的直线：考虑过定点问题。可让参数的系数和为零；令参数两个特殊值，一般为0和1。

3.直线斜率不确定时：要讨论是否存在。 4.求过定点的圆的切线方程：先判断定点与圆的位置关系，确定切线条数，再点线距离法。

5.求轨迹方程：建设限代化（查漏除杂）：遇到三角形问题去掉三点共线情况。

6.两条直线垂直：利用数量积为零不需讨论斜率。 7.已知圆的直径两端点求圆方程：数量积为零。

8.三视图：先看俯视图。9.斜二侧画法：还原时与y轴重合或平行的线段要变为2倍。

10.空间向量求模：平行六面体体对角线等于三相邻向量之和；空间封闭图形向量和为零。

11.判断两直线平行：要验证是否重合。判断两直线垂直：无需验证。

12.三点共线问题：转化任意两向量共线；点在线上；斜率相等。

13.直线与坐标轴围成三角形面积问题：要求出直线与两坐标的截距（令x=0，y=0），用截距的绝对值表示面积。

14.弦中点问题：圆心与弦中点连线垂直弦，构造直角三角形。 15.两圆公共弦方程：两圆方程相减。

16.三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球问题：构造长方体与球的组合体，长方体体对角线是外接球的直径。

17.面面垂直：具有建系环境，在其中一个面内作交线的垂线，必垂直于另一个面，再转化为线线垂直。

18.线性规划问题：求最值可直接求两两直线交点坐标，再代入目标函数。

19.代入法：未知点在已知直线上，可利用减元思想(一个参数)设点的坐标，再根据已知条件，把另一个点用该参数表示，再把后表示的点代入已知直线上，求出参数。 20.线性回归方程：经过样本中心点),(yx。

21.三垂线法找二面角：在一个面中易找到一点作另一个面的垂线，过垂足再作二面角棱的垂线。

22.翻折问题：变与不变。 23.等腰三角形常规辅助线：作中线或高线。

24.正方体常规辅助线：连接面对角线。 25.三个向量共面问题：四个向量中有三个向量系数和为1。

26.线面角的正弦值：就是法向量和方向向量夹角余弦值的绝对值，如果求线面角的余弦值，就再用开方关系求。

27.线线角的余弦值（三角函数值）：不能为负。 28.有关两线交点或两圆交点问题：设交点直线（圆）系方程。

29.建系坐标难写：空间问题平面化。 30.证明垂直：有时考虑勾股定理的逆定理，即运算证明。

31.底面是梯形的椎体（几何体）：在梯形中找到相似。 32.三维坐标都不确定：可根据点在线上运动设。

33.点到面距离问题：转化为棱锥的高，等积原理。 34.求空间线段和最短问题：把侧面展开成平面图形，利用两点之间线段最短。

35.证明数量积为定值：可利用已知条件将向量拆分。 36.直到型循环（untle）：直到满足条件就结束程序。

37.直线与圆相交问题压轴题：设两交点坐标，直线代圆方程，一般消y，0及韦达定理。 38.反射问题：作点关于线的对称点。