(完整word版)重庆中考专题训练二含参的方程和不等式的计算-

不等式组及函数应用题专项训练1.（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？2.（2009，清远）某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，3.（2009，牡丹江）某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本（1（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．4.（2009，铁岭）为迎接国庆六十周年，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖．学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍．各种奖品的单价如下表所示．如果计划一等奖买x件，买50件奖品的总钱数是w元．（1）求w与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少？最少是多少元？5.（2009，齐齐哈尔）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？(2009，朝阳)某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．（1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？6.（2009，抚顺）某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块．加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可2元．设这次研制加工的原味核桃巧克力x 块．（1）求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？（2）设加工两种巧克力的总成本为y 元，求y 与x 的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？参考答案：1．解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，依题意，得：8050(50)34904090(50)2950x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤解得：3331x x ⎧⎨⎩≤≥，∴3133x ≤≤∵x 是整数，x 可取31、32、33，∴可设计三种搭配方案：①A 种园艺造型31个，B 种园艺造型19个；②A 种园艺造型32个，B 种园艺造型18个；③A 种园艺造型33个，B 种园艺造型17个．（2）方法一：由于B 种造型的造价成本高于A 种造型成本．所以B 种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：33×800+17×960=42720（元）方法二：方案①需成本：31×800+19×960=43040（元）；方案②需成本：32×800+18×960=42880（元）； 方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）；∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元． 2. 解：（1）依题意得：43(50)150y x x x =+-=+（2）依题意得：0.50.2(50)19(1)0.30.4(50)17.2(2)x x x x +-⎧⎨+-⎩≤…………≤………解不等式（1）得：30x ≤ 解不等式（2）得：28x ≥∴不等式组的解集为2830x ≤≤150y x =+，y 是随x 的增大而增大，且2830x ≤≤∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，28150178y =+=最小（元） 8分3. 解：（1）设生产A 型冰箱x 台，则B 型冰箱为()100x -台，由题意得：47500(28002200)(30002600)(100x x -+-⨯-≤≤解得：37.540x ≤≤x 是正整数x ∴取38，39或40．（2）设投入成本为y 元，由题意有：22002600(100)400260000y x x x =+-=-+4000-<y ∴随x 的增大而减小∴当40x =时，y 有最小值．即生产A 型冰箱40台，B 型冰箱50台，该厂投入成本最少此时，政府需补贴给农民(280040300060)13%37960()⨯+⨯⨯=元 （3）实验设备的买法共有10种．4. 解：（1）1210(210)5[50(210)]x x x x ω=+-+---17200x =+．由02100[50(210)]05[50(210)] 1.510(210)x x x x x x x >⎧⎪->⎪⎨--->⎪⎪---⨯-⎩≤得1020x <≤∴自变量的取值范围是1020x <≤，且x 为整数．（2）∵170k =>，∴ω随x 的增大而增大，当10x =时，有ω最小值． 最小值为1710200370ω=⨯+=．答：一等奖买10件，二等奖买10件，三等奖买30件时，所花的钱数最少，最少钱数是370元． 5. （1）解：设今年三月份甲种电脑每台售价x 元100000800001000x x=+解得：4000x = 经检验：4000x =是原方程的根，所以甲种电脑今年每台售价4000元． （2）设购进甲种电脑x 台，4800035003000(15)50000x x +-≤≤,解得610x ≤≤因为x 的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案 （3）设总获利为W 元，(40003500)(38003000)(15)(300)1200015W x a x a x a=-+---=-+-当300a =时，（2）中所有方案获利相同．此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利． 6. 解：（1）根据题意，得135(50)410414(50)520x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤ 解得1820x ≤≤ x 为整数 181920x ∴=，，当18x =时，50501832x -=-= 当19x =时，50501931x -=-= 当20x =时，50502030x -=-=∴一共有三种方案：加工原味核桃巧克力18块，加工益智巧克力32块；加工原味核桃巧克力19块，加工益智巧克力31块，加工原味核桃巧克力20块，加工益智巧克力30块．6分 （2） 1.22(50)y x x =+- =0.8100x -+ 0.80-<y ∴随x 的增大而减小∴当20x =时，y 有最小值，y 的最小值为84．∴当加工原味核桃巧克力20块、加工益智巧克力30块时，总成本最低．总成本最低是84元．。

第4节 不等式(组)的解法及不等式的应用(必考，1～2道，近3年每年考查1道，4～14分)玩转某某10年中考真题(2008～2017年)命题点1 一元一次不等式的解法及解集表示(10年4考，与分式化简求值结合考查1次) 1. (2008某某3题4分)不等式2x －4≥0的解集在数轴上表示正确的是( )2. (2013某某A 卷14题4分)不等式2x －3≥x 的解集是________．3. (2011某某18题6分)解不等式2x －3＜x ＋13，并把解集在数轴上表示出来．第3题图命题点2 一元一次不等式组的解法(10年11考，与概率结合考查4次)4. (2010某某3题4分)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤32x ＞6的解集为( )A . x ＞3B . x ≤4C . 3＜x ＜4D . 3＜x ≤45. (2009某某18题6分)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0 ①3（x －1）≤2x－1 ②.命题点3 一元一次不等式组的解的应用(10年8考，与解分式方程结合和与概率结合考查各4次)6. (2017某某A 卷12题4分)若数a 使关于x 的分式方程2x －1＋a1－x ＝4的解为正数，且使关于y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋23－y 2>12（y －a ）≤0的解集为y <－2，则符合条件的所有整数a 的和为( )A . 10B . 12C . 14D . 167. (2017某某B 卷12题4分)若数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －22≤－12x ＋2，7x ＋4>－a 有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程a y －2＋22－y ＝2有非负数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是( )A . 3B . 1C . 0D . －38. (2016某某A 卷12题4分)从－3，－1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a .若数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧13（2x ＋7）≥3x －a ＜0无解，且使关于x 的分式方程 x x －3－a －23－x＝－1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是( )A . －3B . －2C . －23D . 129. (2016某某B 卷12题4分)如果关于x 的分式方程a x ＋1－3＝1－xx ＋1有负分数解，且关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2（a －x ）≥－x －43x ＋42<x ＋1的解集为x <－2，那么符合条件的所有整数a 的积是( )A . －3B . 0C . 3D . 9拓展训练1. 从－2，－1，0，2，5这五个数中，随机抽取一个数，记为m ，若数m 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>m ＋2－2x －1≥4m＋1无解，且使关于x 的分式方程x x －2＋m －22－x＝－1有非负整数解，那么这五个数中所有满足条件的m 的个数是( )A . 1B . 2C . 3D . 4命题点4 一次不等式的实际应用(10年7考，近2年均与一元二次方程应用结合) 类型一 不含百分率的实际应用10. (2017某某A卷23题节选4分)某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模．今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？11. (2016某某A卷23题节选5分)近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？12. (2014某某A卷23题节选5分)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．筹委会计划购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？13. (2013某某A卷23题节选4分)随着铁路客运量的不断增长，某某火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程．若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？(甲、乙两队的施工时间按月取整数)类型二含百分率的实际应用14. (2014某某B卷23题10分)某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元．(1)今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？(2)6月份是青椒产出旺季，为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%.预计这种青椒在市区、园区的销售量将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%.要使得6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？拓展训练2. 某文具店今年1月份购进一批笔记本，共2290本，每本进价为10元，该文具店决定从2月份开始进行销售，若每本售价为11元，，销量就减少15本．(1)若该种笔记本在2月份的销售量不低于2200本，则2月份售价应不高于多少元？ (2)由于生产商提高造纸工艺，该笔记本的进价提高了10%，文具店为了增加笔记本的销量，进行了销售调价整理，售价比2月份在(1)的条件下的最高售价减少了17m %，结果3月份的销量比2月份在(1)的条件下的最低销量增加了m %，3月份的销售利润达到6600元，求m 的值．答案1. C2. x ≥33. 解：去分母得，3(2x －3)<x ＋1，(1分) 去括号得，6x －9<x ＋1，(2分) 移项，合并同类项得：5x <10，(3分) 系数化为1得：x <2.∴原不等式的解集是x <2.(4分) 在数轴上表示如解图：第3题解图(6分)4. D5. 解：将①移项得：x ＞－3，(1分)将②去括号得：3x －3≤2x －1，(2分) 移项、合并同类项得：x ≤2，(4分) ∴不等式组的解集为－3＜x ≤2.(6分)6.A 【解析】解方程2x －1＋a 1－x ＝4得，x ＝6－a 4且x ≠1，又∵分式方程的解为正数，∴6－a4＞0，解得a ＜6，∵x ≠1，即a ≠2，∴a ＜6且a ≠2；解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋23－y 2＞1①2（y －a ）≤0 ② ，解不等式①得，y ＜－2，解不等式②得，y ≤a ，∵不等式组的解集为y ＜－2，∴a ≥－2，∴－2≤a ＜6，且a ≠2，∴整数a 有－2，－1，0，1，3，4，5，∴－2－1＋0＋1＋3＋4＋5＝10.7.B 【解析】解不等式组得，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3x>－a ＋47，∵原不等式组有且仅有四个整数解，∴－1≤－a ＋47<0，∴－4＜a ≤3；解分式方程得y ＝a ＋22，∵原分式方程有非负数解，∴y ＝a ＋22≥0，且y ＝a ＋22≠2，解得a ≥－2且a ≠2；综上所述，－2≤a ≤3，且a ≠2，∴所有的整数a 为：－2，－1，0，1，3，其和为：－2－1＋0＋1＋3＝1.8. B 【解析】解不等式组得，⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x<a，∵原不等式组无解，∴a ≤1，则a 不能取这五个数中的3；解分式方程得x ＝5－a 2，又∵分式方程有整数解，则5－a 2为整数，且5－a2≠3，∴a只能从－3，－1，12，1中取－3，1，∴满足条件的a 的值的和为－3＋1＝－2.9. D 【解析】解分式方程得，x ＝12a －2，∵方程有负分数解，a 为整数，∴12a －2<0，且12a －2为分数，a 为整数，∴a <4，且a 为奇数；解不等式组得，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2a ＋4x<－2，∵原不等式组的解集为x <－2，∴2a ＋4≥－2，∴a ≥－3，综上可知a ＝－3或－1或1或3，则其积为(－3)×(－1)×1×3＝9.拓展训练1 B 【解析】不等式组整理得：⎩⎪⎨⎪⎧x>m ＋2x≤－2m －1，由不等式组无解，得到m ＋2≥－2m －1，解得m ≥－1，即m ＝－1，0，2，5，分式方程去分母得：x －m ＋2＝－x ＋2，即x ＝12m ，∵x 有非负整数解，∴12m ≥0且m 为偶数，∴m ＝0，2，则所有满足条件的m 的个数是2.10. 解：设该果农今年收获樱桃x 千克，根据题意得 400－x ≤7x ，(3分) 解不等式得x ≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50 kg .(4分)11. 解：设今年年初猪肉的价格为每千克x 元，由题意得， (1＋60%)x ·2.5≥100，(2分) 解得x ≥25，(4分)答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元．(5分)12. 解：设用于购买书桌、书架等设施的资金为x 元，则用于购买书刊的资金为(30000－x )元，由题意得：30000－x ≥3x ，(3分) 解得x ≤7500.答：最多花7500元购买书桌、书架等设施．(5分)13. 解：设在完成这项工程中，甲队施工m 个月，则乙队施工m2个月，根据题意得：100m ＋(100＋50)·m2≤1500，(2分)解得m ≤847，∵m 为整数，∴m 的最大整数值为8.(3分)答：在完成这项工程中，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．(4分) 14. 解：(1)设今年5月份该青椒在市区销售了x 千克，在园区销售了y 千克．根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30006x ＋4y ＝16000，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2000y ＝1000.答：今年5月份该青椒在市区销售了2000千克，在园区销售了1000千克．(5分) (2)根据题意，列不等式得：6(1－a %)×2000×(1＋30%)＋4(1－a %)×1000×(1＋20%)≥18360， 15600(1－ a %)＋4800(1－ a %)≥18360， 20400(1－ a %)≥18360， 解得a ≤10，∴a 的最大值是10.(10分)拓展训练2 解：(1)设2月份售价应为x 元，依题意得： 2290－15（x －11）0.5≥2200，解得x ≤14.答：2月份售价应不高于14元；(2)[14(1－17m %)－10(1＋10%)]×2200(1＋m %)＝6600，令m %＝t ，化简得2t 2－t ＝0， 解得t 1＝0(舍去)，t 2， ∴m ＝50. 答：m 的值是50.。

第2课时函数型问题我们目前所学的函数主要有一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数，在解决函数问题的时候要注意每种函数的时候要注意各自的特点形式：“靠近课本，贴近生活，联系实际”是近年中考函数应用题编题原则，因此在广泛的社会生活、经济生活中，抽取靠近课本的数学模型是近年来中考的热点问题，解决次类问题经常使用待定系法求解析问题，但这类问题蕴含有代入消元法等重要的数学思想方法，又极易与方程、不等式、几何等初中数学中的重要知识相融合.类型之一分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。

在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

1.（•赣州市）年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农．下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图．请结合图象回答以下问题：（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，求果园共销售了多少吨脐橙？（3）①求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30吨，总收入为10.25万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平．类型之二与二次函数有关的最优化问题二次函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型．二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用，求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用．2.（•莆田市）枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树。

每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？注：抛物线2y ax bx c=++的顶点坐标是24 (,) 24b ac ba a--3.（·贵阳市）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？类型之四 存在探索性函数问题存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注．4.（•杭州市）在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。

12题参数方程和不等式一．选择题（共40小题）1．关于x的分式方程=2的解为非负数，且使关于x的不等式组有解的所有整数k的和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．若数a使关于分式方程2﹣的解为正数，且使关于y的不等式组至少有三个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．5 B．17 C．18 D．203．若数k使关于x的不等式组只有4个整数解，且使关于y的分式方程+1=的解为正数，则符合条件的所有整数k的积为（）A．2 B．0 C．﹣3 D．﹣64．关于x的方程的解为正数，且关于y的不等式组有解，则符合题意的整数m有（）个．A．4 B．5 C．6 D．75．关于x的方程的解为非正数，且关于x的不等式组无解，那么满足条件的所有整数a的和是（）A．﹣19 B．﹣15 C．﹣13 D．﹣96．若关于x的分式方程﹣1=1﹣的解为正数，且关于y的不等式组无解，那么符合条件的所有整数m的和为（）A．5 B．3 C．1 D．07．要使关于x的不等式组至少有3个整数解，且使关于y的分式方程﹣=2的解为非正数的所有整数a的和是（）A．10 B．9 C．8 D．58．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程﹣1=的解为整数，则满足条件的整数a的值的和是（）A．﹣6 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣49．从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（）A．﹣2 B．﹣3 C．D．10．如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．5 B．6 C．8 D．911．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣812．使得关于x的不等式组有解，且使分式方程﹣=2有非负整数解的所有的m的和是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣7 D．013．若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣3有正整数解，则满足条件的a的值之积为（）A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣214．若关于x的方程=﹣的解为整数，且不等式组无解，则这样的非负整数a有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个15．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．416．从﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3这六个数中，随机选取一个数，记为a．若数a 使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=3有整数解，那么这六个数中所有满足条件的a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．017．若数a使关于x的不等式组的解为x＜2，且使关于x的分式方程+=﹣4有正整数解，则满足条件的a的值之和为（）A．12 B．11 C．10 D．918．如果关于x的不等式组的解集为x＞﹣2，且关于x的分式方程+=3有正整数解，则所有符合条件的整数a的和是（）A．﹣9 B．﹣8 C．﹣7 D．019．若关于y的不等式组有解，且关于x的分式方程=2+有非负整数解，则符合条件的所有整数k的和为（）A．﹣5 B．﹣9 C．﹣12 D．﹣1620．从3，﹣1，，1，﹣3这5个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之积是（）A．B．3 C．﹣3 D．﹣21．从﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，3，4，6这七个数中，随机抽取一个数，记为k ，若数k 使关于x 的不等式组无解，且使关于x 的分式方程+2=有非负实数解，那么这7个数中所有满足条件的k 的值之和是（ ） A ．﹣12 B ．﹣9 C ．﹣6 D ．﹣322．从﹣6，﹣4，﹣3，﹣2，0，4这六个数中，随机抽取一个数记作m ，使得关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组无解，则符合条件的所有m 之积为（ ）A ．﹣12B ．4C ．24D ．﹣823．如果关于x 的分式方程﹣3=有负分数解，且关于x 的不等式组的解集为x ＜﹣2，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ）A ．9B ．﹣3C ．0D ．324．从﹣3、﹣1、1、3这四个数中，随机抽取一个数记为a ，若数a 使关于x 的不等式组 无解，且使关于x 的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这4个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣D ．25．从﹣4，﹣3，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组的解集是x ＜a ，且使关于x 的分式方程﹣=1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．126．若关于x 的分式方程+=﹣2有正整数解，关于x 的不等式组有解，则a 的值可以是（ ）A．﹣2 B．0 C．1 D．227．已知a使得关于x的方程﹣=a的解为正数，且满足关于x的不等式组有解，这样的a的取值范围是（）A．1＜a≤2 B．a＜且a≠﹣1C．1＜a≤2或a＜且a≠﹣1 D．a＜2且a≠﹣128．从﹣2，﹣1，0，1，2，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣1=有整数解，那么这6个数中所有满足条件的a的值之和是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．229．如果关于x的不等式组的解集为x＜m，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则所有符合条件的m的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个30．从﹣2，﹣1，﹣，1，2这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使分式方程+=﹣1的解为正分数，那么这五个数中所有满足条件的a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣ C．﹣2 D．﹣31．如果关于x的分式方程﹣5=有正数解，且关于x的不等式组的解集为x＞，那么符合条件的所有整数a的和为（）A．2 B．3 C．4 D．532．若关于x的不等式组至少有一个整数解，且关于x的方程=的解为整数，则符合条件的整数a的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个33．从﹣4、﹣l、﹣、0、、2、3这七个数中，随机抽取一个数a，若数a使关于x的分式方程的解为整数，且使不等式组有且仅有四个整数解，那么这七个数中满足所有条件的a的值之和为（）A．B．﹣2 C．D．234．如果数m使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x的分式方程﹣=3有整数解，那么符合条件的所有整数m的和是（）A．8 B．9 C．﹣8 D．﹣935．若关于x的不等式组，有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程=3有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．036．若关于x的不等式组有且只有三个整数解，且关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，则满足条件的整数a的值为（）A．15 B．3 C．﹣1 D．﹣1537．如果关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．338．若关于x的不等式组有三个整数解，且关于x的分式方程有正数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．239．如果关于x的分式方程﹣=2有正数解，关于x的不等式组有整数解，则符合条件的整数a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．340．若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x 的分式方程=2有整数解，那么所有满足条件的a的和是（）A．﹣20 B．﹣17 C．﹣14 D．﹣23一．选择题（共40小题）1．C；2．B；3．A；4．C；5．C；6．C；7．B；8．B；9．A；10．B；11．C；12．B；13．B；14．B；15．B；16．B；17．A；18．C；19．A；20．C；21．D；22．C；23．C；24．B；25．C；26．B；27．C；28．D；29．C；30．A；31．B；32．B；33．A；34．C；35．A；36．C；37．A；38．B；39．A；40．C；。

二轮复习【中考冲刺】2022-2023年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题02——不等式与分式含参运算（选择题）（重庆专用）1．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）若整数a使关于x的分式方程xx2+1=ax22x有整数解，使关于y的不等式组a―(8y+13)<0y―3≤―1有且仅有四个整数解，则符合条件的所有整数a之和为（）A．―2B．1C．―6D．―122．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）若关于x的不等式组3x―a>2(1―x) x12≥x23―1的解集为x≥1，关于y的分式方程yy1+ay1=1有整数解，则满足条件的整数a的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）若关于x0 <―4的解集为x>4，关于y的分式方程my14y +3y4=―2有整数解，则符合条件的所有整数m的和为（）A．5B．6C．11D．124．（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）若关于x的一元一次不等式组2(2x+3)―1>3x+63x+4≥―a的解集为x>1，且关于y的分式方程yy2+1=a12y的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．－15B．－14C．－8D．－75．（2022秋·重庆九龙坡·九年级重庆市杨家坪中学校考期末）若实数a使关于x的不等式组x1 2<1x37x―2≥x+a ，有且只有四个整数解；关于x的二次函数y＝x2﹣3ax+1，当―32≤x≤32时，y随着x的增大而减小，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）A．2B．3C．4D．56．（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期末）若关于x的一元一次不等式组x―2>3x22 3x―a≤2的解集为x<―2，且关于y的分式方程2yy1=ay1―1的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．―15B．―13C．―7D．―57．（2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）若关于x的不等式组3x76≤x43x+1>a x2无解，且关于y的分式方程3ay3y ―1=6y3有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A．11B．14C．16D．98．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）若关于y的不等式组y―2≤y234y+1―m≥0有且只有2个奇数解，且关于x的分式方程3―11x =mx1的解为非负数，则符合条件的所有整数m的和为（）A．3B．4C．11D．129．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）若实数a使关于x的分式方程x ax3+2a3x=―1有正整数解，且使关于y的不等式组y+a>172y3≥5无解，则满足条件的所有整数a的和是（）A．0B．3C．5D．810．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如果关于x的不等式组x m2≥0x+3<3(x―1)的解集为x>3，且关于y的分式方程3y2y +my2=3有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（）A．―4B．―3C．―1D．011．（2022秋·重庆·九年级重庆一中校考阶段练习）若关于x>x+1的解集为x<―7，且关于y的分式方程3y3y2―ay2=―2有非正整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．―12B．―15C．1D．―2 12．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知数m使关于x的不等式组―5⩽6>x―m至少有一个非负整数解，且使关于x的分式方程1x2―3=m x2x有不大于5的整数解，则所有满足条件的整数m的个数是（ ）A．1B．2C．3D．413．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）从―7，―5，―1，0，1，3这六个数中，随机抽一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组x m2>0x―4<3(x―2)的解集为x>1，且关于x的分式方程1x2x+mx2 =3有非负整数解，则符合条件的m的值的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）若数a 使关于x 的分式方程1x 3+x a3x =1有非负整数解，且使关于y 的不等式组2y ≥3y ―a 至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）A ．﹣5B ．﹣3C ．0D ．215．（2022秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）若数a 使关于xx +a1x=3的解为非负数，且使关于y―1≥3y ―2―53a ≤32y ―a的解集为y ≤1，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．15B ．12C ．11D ．1016．（2023秋·重庆大渡口·九年级重庆市第九十五初级中学校校考阶段练习）若关于x 的一元一次不等式组3x ―2>2(x +2)a ―2x ≤―5的解集为x >6，且关于y 的分式方程y 2a y 1+3y 81y =2的解是非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．15B ．10C ．8D ．317．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）若整数a 使得关于x 的分式方程16x (x 4)+2x =ax 4有正整数解，且使得关于yy 13>13―a有解，那么符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．23B ．20C ．16D ．1018．（2022春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）若关于x 的方程3―x 1x 1的解为负数，且关于x 的不等式组x a3≥12x ―3≤1 有解但最多有4个整数解，则所有满足条件的整数a 的和是（）A ．―10B ．―9C ．―8D．―719．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）若关于x 的不等式组x ―2x ―3>a ―2有解且所有的解都是正数，且关于y 的分式方程2yy 1+a 21y=0的解为整数，则符合条件的所有整数a 的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考开学考试）如果关于x 的分式方程ax x 1=1―31x 的解为整数，且关于y 的不等式组{3y 22≥y +2y +4>2(y +a)有解，则符合条件的所有整数a 的和为（）A．－1B．0C．1D．4。

重庆中考数学含参数专题复习【热身运动】1.若a 为整数，关于x 的不等式组2(1)43x40x x a +≤+⎧⎨-<⎩有且只有3个非正整数解，且关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有负整数解，则整数a 的个数为（ ）个。

A ．4 B ．3 C ．2 D 12. 已知关于x 的分式方程2332=-++-x ax x 有增根，且关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤>b x a x 只有4个整数解，那么b 的取值范围是（ ）A. 31≤<-bB. 32≤<bC. 98<≤bD. 43<≤b【关键词解读】 非正整数： 非负整数： 增根：两个实数解： 不过第二象限： 【例题精讲】类型一、求满足条件的数字个数例1、如果关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->-<-)1(2303x x mx 的解集为m x <，且关于x 的分式方程3323=--+-xxx m 有非负整数解，所有符合条件的m 的个数是（ ）。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个类型二、求满足条件的全部数字例2、已知a 为实数，关于x 、y 的方程组组235212x y ax y a-=⎧⎨+=-⎩的解的积小于零，且关于x的分式方程32122x ax x =---有非负解，则下列a 的值全都符合条件的是（ ）A ．-2、-1、1B ．-1、1、2C ．-1、23、1 D ．-1、0、2类型三、求满足条件的全部数字的和/积1.从﹣3，﹣1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的一元二次方程2(12)210a x x ---=有实数解，且使关于x 的分式方程2133x a x x--=---有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．32-D ．12 2.如果关于x 的分式方程1131+-=-+x x x a 有负分数解，且关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<+--≥-1243,4)(2x x x x a 的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ） A.-3 B.0 C.3 D.93.如果关于x 的2210mx x -+=有实数解，且关于x 的分式方程3221=-+--x mx x 有非负整数解，则符合条件的m 的值是（ ）A ．5-，3-B ．3-，1C ．5-，3-，1D ．5-，3-，1-，1 4.如果关于x 的分式方程1131+-=-+x x x a 有负分数解，且关于x 的方程2(2)210a x x ++-=有实数解，那么符合条件的所有整数a 的积是 （ ）A.-3B.0C.3D.95.能使分式方程1321-=+-x x k 有非负实数解且使二次函数122--+=k x x y 的图像与x 轴无交点的所有整数k 的积为（ ）A ．-20B ．20C ．-60D ．606. 如果关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<->-)2(34,02x x mx 的解集为1>x ，且关于x 的分式方程3221=-+--x mx x 有非负整数解，则符合条件的m 的值是（ ） A ．5-，3- B ．3-，1 C ．5-，3-，1 D ．5-，3-，1-，17. 关于x 的方程2222x mx x ++=--的解为正数，且关于y 的不等式组22(2)y m y m m -≥⎧⎨-≤+⎩有解，则符合题意的整数m 有（ ）个 A ．4 B ．5 C ．6 D ．78. 若关于x 的分式方程13444ax x x -+=---有正整数解，关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+<--x xa x x 22)2(3有解，则a 的值可以是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、39. 如果关于x 的方程2420ax x +-=有两个不相等的实数根，且关于x 的分式方程11222ax x x --=--有正数解，则符合条件的整数a 的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 10.使得关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≥+-->14122m x m x 有解，且使分式方程2221=----x xm x 有非负整数解的所有的m 的和是（ ）A.-1B. 2C. -7D. 0课后练习1.从-4、﹣3、1、3、4这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组1(9)230x x a ⎧-≤-⎪⎨⎪-<⎩的解集是x a <，且使关于x 的分式方程3122x a x x --=--有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和为（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．12.要使关于x 的方程2210ax x --=有两个实数解，且关于x 的分式方程2233x a x x++=--的解为非负数的所有整数a 的个数为（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3.如果关于x 的分式方程222x mx x=---的解为正数，且关于x 的不等式组1(21)130x x m ⎧+≤-⎪⎨⎪-≥⎩无解，那么符合条件的所有整数m 的和为（ ） A.5 B.3 C. 1 D.0 4.使得关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≥+-->14122m x m x 有解，且使分式方程2221=----x xm x 有非负整数解的所有m 的和是（ ）A.-7B.-2C.-1D.05.若关于x 的分式方程24341-=-+--x x ax 有正整数解，关于x 的不等式组3(2)2322x x a x x --<⎧⎪⎨+>-⎪⎩有解，则a 的值可以是（ ）A 、-4B 、0C 、1D 、26.若关于x 的分式方程24341-=-+--x x ax 有正整数解，关于x 的不等式组3(2)22x x a x x -+<⎧⎪⎨+>⎪⎩有解，则a 的值可以是（ ）A 、-4B 、0C 、1D 、27.从-6，﹣3，﹣1，0， 1，3，6这七个数中，随机抽取一个数，记为m ，若数m 使关于x 的分式方程1244x mx x++=--有整数解，且使得一次函数y x m =--的图像不过第一象限，那么这六个数中所有满足条件的m 值的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58.已知二次函数2(2)3y x a x =-+-+，当2x >时，y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程2133a x x x-=---的解是自然数，则符合条件的整数a 的和是（ ） A ．3 B ．8 C ．15 D ．169.已知有9张卡片，分别写有1到9这就个数字，将它们的背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a ，若数a 使关于x 不等式组有解，且使函数在的范围内y 随着x 的增大而增大，则这9个数中满足条件的a 的值之和为（ ） A ．10 B ．13 C ．17 D ．1810.如果关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<->-)2(34,02x x mx 的解集为1>x ，且关于x 的分式方程3221=-+--x mx x 有非负整数解，则符合条件的m 的所有值的和是（ ） A ．-2 B ．-4 C ．-7 D ．-8 11.已知关于x 的方程1545-=+++x x a 的解为负数，且一次函数y=(a+5)x+（2-2a)的图象不经过第四象限，则下列各数都满足上述条件a 的值的是（ ）A 、－9，－4，1B 、－8，－4，1C 、32-，0，31 D 、0，1，2.12.在– 3、– 2、– 1、0、1、2这六个数中，随机取出一个数记为a ，那么使得关于x 的一元二次方程2250x ax -+=无解，且使得关于x 的方程1311x a x x+-=--有整数解的所有a 的值之和为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 13.已知关于x 的方程1333=+-+x x a 的解为负数，且关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=-85372a y x y x 的解之和为正数，则下列各数都满足上述条件a 的值的是（ ） A 、32，2，5 B 、0，3，5 C 、3，4，5 D 、4，5，6.14.已知关于x 的方程24442=+-+x x a 的解为负数，且关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≥≤+a x x 3352有解，则满足上述条件的a 的所有整数之和是（ ）A 、－10B 、－8C 、－6D 、0. 15.已知关于x 的方程1334=---x a x 的解为正数，且二次函数y=x 2-(2a+6)x+12a 与x 轴两个交点的横坐标之和为正数，则满足上述条件的a 的所有整数之和是（ ） A 、9 B 、10 C 、11 D 、14.16.使关于的分式方程的解为非负数，且使反比例函数图象过第一、三象限时满足条件的所有整数的和为（ ）A ．B ．C ．D ．17.如果关于x 的分式方程1131+-=-+x xx a 有负分数解，且关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<+--≥-1243,4)(2x x x x a 的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ） A.-3 B.0 C.3 D.918.关于x 的分式方程121a a x -=-+有实数解，且使关于x 的不等式组62123x a x x a x a -⎧->⎪⎪⎨-+⎪+≤⎪⎩无解的自然数a 的和是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6x 121k x -=-3ky x-=k 0123。

2023年中考数学二轮《方程与不等式》专题练习-人教版（含答案）一、选择题（共16题）1.在数轴上表示不等式﹣2≤x ＜4，正确的是（ ） A.B.C. D.2.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A. B.C.D.3.用配方法解方程2237x x +=时，方程可变形为（ ）A.273724x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.274324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.271416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D.2725416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4.若2211m m m m m --=--，则m 等于（ ） A.1- B.0 C.1-或1 D.1-或25.对于任意的实数x ，代数式259x x -+的值是一个（ ） A.整数B.非负数C.正数D.不能确定6.关于x 的一元一次方程3xy -2=4的解为2，则y 的值是（ ） A.y = 1B.y =-2C.y =-6D.y =-57.已知下列方程：①2x ＋3y ＝0；①x ＋3＝7；①y 2－y ＋1＝0；①3x ＝7x ＋2；①2x －3＝4x ；①73y ＝3.其中属于一元一次方程的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个8.不等式组的解集在数轴上表示为（ ）.A. B. C. D.9.在平面直角坐标系中，若点(),1P a a -在第一象限内，则a 的取值范围在数轴上表示为（ ）A. B.C. D.10.下列方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩的是① ①A.224x y x y -=⎧⎨+=⎩ B.253x y x y -=⎧⎨+=⎩ C.32x y x y +=⎧⎨-=⎩ D.2536x y x y -=⎧⎨+=⎩ 11.已知a 、b 、c 都是实数，则关于三个不等式：a >b 、a >b +c 、c <0的逻辑关系的表述，下列正确的是( ) .A.因为a >b 、c <0所以a >b +cB.因为a >b +c ，c <0，所以a >bC.因为a >b +c ，所以a >b ，c <0D.因为a >b 、a >b +c ，所以c <012.下列方程中，有实数根的方程是( ) A.4y 10+=B.2x x 10++=C.x 1x 1x 1=-++x -13.下列方程变形中，正确的是（ ） A.方程3x ﹣2＝2x +1，移项，得3x ﹣2x ＝﹣1+2B.方程3﹣x ＝2﹣5（x ﹣1），去括号，得3﹣x ＝2﹣5x ﹣1C.方程23t ＝32，未知数系数化为1，得t ＝1D.方程2x+3＝x ，去分母得x +6＝2x14.下列一元二次方程中，两根分别为5和－7的是( ) A.7)50()(x x ++= B.7)50()(x x =－－ C.7)50()(x x +-=D.7)50()(x x +=－15.方程组3455792x y x y +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩的解是（ ）A.20.25x y =⎧⎨=-⎩B. 5.54x y =-⎧⎨=⎩C.10.5x y =⎧⎨=⎩D.10.5x y =-⎧⎨=-⎩16.如果二次函数22y x x t =++与一次函数y x =的图像两个交点的横坐标分别为m 、n ，且1m n <<，则t 的取值范围是（ ）A.2t >-B.2t <-C.14t >D.14t <二、综合题（共10题）17.用不等式表示：x 的4倍大于x 的3倍与7的差：__________.18.把分式方程311xx x -=+化成整式方程，去分母后的方程为______________________ 19.关于x 的方程（2m ﹣1）x 2+mx+2=0是一元二次方程，则m 的取值范围是_____. 20.一项工程，甲单独完成要10天，乙单独完成要15天，则由甲先做5天，然后甲、乙合做余下的部分还要_____天完成.21.买一些4分、8分、1角的邮票共15张，用币100分最多可买1角的______张。

中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题含答案 （有理数、实数、代数、因式分解、二次根式）一、单选题1．关于x ，y 的方程组24x my x y +=⎧⎨+=⎩的解是1x y =⎧⎨=⎩■，其中y 的值被■盖住了，但不影响求出m 的值，则m 的值是（ ） A ．12B ．12-C ．13D ．13-2．已知关于x 的方程290x a +-=的解是x ＝－2，则a 的值是（ ） A ．5 B ．－5C ．12D ．13【答案】D【分析】把方程的解2x =-代入方程290x a +-=可得到关于a 的方程，解关于a 的方程即可．【详解】解：∵2x =-是方程290x a +-=的解， ∵2(2)90a ⨯-+-=． 解得：13a =． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，正确得到新的方程是解题关键． 3．已知关于x 的方程(2x -m )(mx ＋1)＝(3x ＋1)(mx -1)有一个根是0，则它的另一个根和m 的值分别是( ) A ．3和1 B ．2和3C ．3和4D ．4和1【答案】A【分析】先根据方程有一根为0，代入方程求出m 的值，然后把m 的值代入方程解一元二次方程即可．【详解】解：关于x 的方程(2x -m )(mx ＋1)＝(3x ＋1)(mx -1)有一个根是0， ∵-m =-1， ∵m =1，把m =1代入方程得()()()()211311x x x x -+=+-， 整理得：230x x -=， 因式分解得()30x x -=， 解得x x 1203，，∵另一个为3x =，m =1， 故选A ．【点睛】本题考查方程的解，与解一元二次方程，掌握解方程的解概念，与一元二次方程的解法是关键．4．已知关于x 的一元二次方程：220x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1m > B ．1m < C ．m>2 D ．2m <【答案】B【分析】由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：∵方程220x x m -+=有两个不相等的实数根， ∵()2240m ∆=-->， 解得：1m <， 故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当方程有两个不相等的实数根时，0∆>”是解题的关键．5．甲乙两工程队共同参与一项筑路工程，规定x 天内完成任务.甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务，依题意列方程为（ ） A ．111104014x x x +=--+B ．111104014x x x +=++- C ．111104014x x x -=++- D ．111104014x x x +=-+-6．若（a ﹣b ）•（a ﹣b ）3•（a ﹣b ）m ＝（a ﹣b ）11，则m 的值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】先根据同底数幂的乘法法则把左侧化简，然后列出关于m 的方程求解即可． 【详解】∵(a ﹣b )•(a ﹣b )3•(a ﹣b )m ＝(a ﹣b )11， ∵(a ﹣b )m +4＝(a ﹣b )11， ∵ m +4＝11， 解得：m ＝7， 故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，以及一元一次方程的解法，根据题意列出一元一次方程是解答本题的关键．7．若m 是关于x 的方程2420x nx m ++=的根()0m ≠，则4m n +的值为（ ） A ．-1 B ．1C ．-2D ．2【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义代入即可求解，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．【详解】m 是关于x 的方程2420x nx m ++=的根()0m ≠， ∴2420m mn m ++=，0m ≠，420m n ∴++=，即42m n +=-， 故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，将方程的解代入求解是解题的关键． 8．方程3214x y +=在自然数范围内的解共有_____个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据二元一次方程3x+2y=14，可知在自然数范围内的解有哪几组，从而可以解答本题．【详解】解：二元一次方程3x+2y=14在自然数范围内的解是：24x y =⎧⎨=⎩，41x y =⎧⎨=⎩，7x y =⎧⎨=⎩， 即二元一次方程3x+2y=14在自然数范围内的解的个数是3个． 故选C ．【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是明确什么是自然数，可以根据题意找到二元一次方程3x+2y=14在自然数范围内的解有哪几组．9．从正方形的铁片上，截去2cm 宽的一个长方形，余下的面积是248cm ，则原来的正方形铁片的面积是（ ） A ．281cm B ．264cmC ．254cmD ．252cm【答案】B【分析】可设正方形的边长是x cm ，根据余下的面积是248cm ，余下的图形是一个矩形,矩形的长是正方形的边长，宽是x -2，根据矩形的面积公式即可列出方程求解. 【详解】解：设正方形的边长是x cm ， 根据题意得()248x x -=， 解得16x =-（舍去），28x =， ∵原正方形铁片的面积是8×8=64cm². 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键，解题过程中要注意根据实际意义进行值的取舍．10．已知x ＝3t ＋1，y ＝2t －1，用含x 的式子表示y ，其结果是( ) A ．13x y -= B ．12y x += C ．253x y -=D ．213x y --=11．方程247236x x ---=-去分母得（ ） A ．22(24)(7)x x --=-- B ．122(24)7x x --=-- C ．12(24)(7)x x --=-- D ．122(24)(7)x x --=--122247,x x 从而可得答案．122247,x x【点睛】本题考查的是解一元一次方程的步骤，去分母，掌握12．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．3x 2+2x﹣1=0B ．5x 2﹣6y ﹣3=0C ．ax 2﹣x +2=0D ．3x 2﹣2x ﹣1=0【答案】D【详解】解：A 、是分式方程，故A 错误； B 、是二元二次方程，故B 错误； C 、a =0时，是一元一次方程，故C 错误； D 、是一元二次方程，故D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的识别，熟知一元二次方程的定义是解题的关键. 13．一元二次方程()371x x x +=-化为一般形式为（ ） A ．2470x x --= B ．2270x x --=C ．2470x x -+=D ．2270x x -+=【答案】A【分析】根据一元二次方程的一般形式判断即可． 【详解】解：∵()371x x x +=-， ∵237x x x +-=， ∵2370x x x ---=， ∵2470x x --=，一元二次方程()371x x x +=-化为一般形式为：2470x x --=，故A 正确． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．14．不等式364x x -+≤-的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先移项、合并同类项、未知数系数化1解不等式，再在数轴上表示解集即可．【详解】解：364x x -+≤-346x x -+≤-22-≤-x1x ≥，在数轴上表示为：，故选：A ．【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤：∵去分母；∵去括号；∵移项；∵合并同类项；∵化系数为1．15．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x ，下面所列方程正确的是（ ） A ．()2500014050x += B ．()2405015000x += C ．()2500014050x -= D ．()2405015000x -=【答案】C【分析】根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可.【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为x ，根据题意得：()25000-x =40501 故选：C.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系.16．将二次三项式267x x ++进行配方，正确的结果应为（ ） A ．2(3)2x ++ B ．2(3)2x -+ C ．2(3)2x +- D ．2(3)2x --【答案】C【分析】x 2+6x+7中x 2+6x+9即是（x+3）2，因而x 2+6x+7=（x+3）2-2 【详解】解：∵x 2+6x+7=x 2+6x+9-9+7， x 2+6x+7=（x+3）2-2． 故选C ．【点睛】此题考查了配方法，解题时要注意常数项的确定方法，若二次项系数为1，则二次项与一次项再加上一次项系数的一半的平方即构成完全平方式，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1． 17．已知2x =是关于x 的方程()112a x a x +=+的解，则a 的值是（ ）A．15B．25C．35D．4518．若一元二次方程式241211470x x+-=的两根为a、b，且a b>，则3a b+之值为何？（）A．22B．28C．34D．4019．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≠0B．k≥﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0【答案】C【分析】根据二元一次方程的根的判别式列出不等式进行求解即可.【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，∵0k 0∆⎧⎨≠⎩，即4400k k +⎧⎨≠⎩，解得：k ≥﹣1且k ≠0． 故答案为C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于：∵当∵=0时，方程有两个相等的实数根；∵当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；∵当∵＜0时，方程没有实数根. 20．若关于x 的方程244x ax x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2 C ．0 D ．4二、填空题21．不等式﹣3x ＞6的解是_______． 【答案】x ＜﹣2【分析】系数化为1并根据不等式的性质：∵不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；∵不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；∵不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行解答即可．【详解】解：系数化为1得：x ＜﹣2， 故答案是：x ＜﹣2．【点睛】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质转换不等式的符号是解题的关键．22．方程2150b ax x -+=是关于x 的一元一次方程，则2a b +=____________． 【答案】2【详解】根据一元一次方程的定义可知x 的次数为1， 则ax 2=0且b-1=1，即a=0且b=2, 则2a+b=2×0+2=2. 故答案为2.23．某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是______． 【答案】10%【分析】设降价百分率为x ，根据售价从原来每件40元经两次降价后降至每件32.4元，可列方程求解．【详解】解：设降价百分率为x ， 列方程：40（1﹣x ）2＝32.4．解得x 1＝0.1，x 2＝1.9（不合题意舍去）． 故答案为：10%．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，根据题意列出方程是解题的关键．24．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为2600m 的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m ，另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m 宽的门（不包括篱笆）．则这个茶园的AB 的长为_________．【答案】20m【分析】设茶园垂直于墙的一边长AB 为m x 时，则另一边BC 的长度为691)m (2x +-，根据茶园的面积为2600m ，列出方程并解答即可．【详解】解：设茶园垂直于墙的一边长AB 为m x 时，则另一边BC 的长度为691)m (2x +-，根据题意，得：()6912600x x +-=，整理，得：2353000x x -+=，解得115x =，220x =，当15x =时，70240>35x -=，不符合题意舍去；当=20x 时，70230x -=，符合题意，故这个茶园的AB 为20m ．故答案为：20m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键． 25．甲、乙二人分别从相距20km 的A ，B 两地出发，相向而行．下图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是x km/h ，乙的速度是y km/h ，根据题意所列的方程组是______，1.5x y +=______．【答案】 ()20.52201120x y x y ⎧++=⎨++=⎩11 【分析】设甲的速度是x km/h ，乙的速度是y km/h ，根据路程=速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，两式相加即可得解．【详解】解：设甲的速度是x km/h ，乙的速度是y km/h ，依题意，得：()20.52201120x y x y ⎧++=⎨++=⎩， 两式相加得：1.511x y +=，故答案为：()20.52201120x y x y ⎧++=⎨++=⎩，11． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．26．关于x 的方程（m +5）x 2﹣2mx ﹣4＝0是一个一元二次方程，那么m 的取值范围是___． 【答案】m ≠﹣5【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，其中二次项系数不为0，可得m 的取值范围．【详解】解：因为（m +5）x 2﹣2mx ﹣4＝0是关于x 的一元二次方程，所以m +5≠0，解得：m ≠﹣5，故答案为：m ≠﹣5．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 是常数且a ≠0），特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．27．对于x ，y 定义一种新运算“* ”，xy ax by =+，其中a ，b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3515*=，4728*=，则11*的值为______． 【答案】11- 【分析】根据3515*=，4728*=列出二元一次方程组35154728a b a b +=⎧⎨+=⎩①②，求得a 、b ，再根据新运算的定义求解即可．【详解】解：根据题中的新定义化简得：35154728a b a b +=⎧⎨+=⎩①②， ∵4⨯-∵3⨯得：24b -=-，解得：24b =，把24b =代入∵得：35a =-，则1111a b *=+=-．故答案为：11-．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的求解，理解题意列出二元一次方程组和加减法解二元一次方程组是解决此题的关键．28．若213111x M N x x x -=+-+-则M =_______ ，N =_______ ．∵31M N N M +=-⎧⎨-=⎩， 解得：21M N =-⎧⎨=-⎩． 故答案为：-2，-1．【点睛】本题考查分式的混合运算，解二元一次方程组．掌握分式的混合运算法则是解题关键．29．若2m ＋1 的值同时大于 3m －2和 m+2的值，且m 为整数，则 3m －5 =____． 【答案】1【分析】先根据题意列出不等式组求出m ，再求出代数式的值．【详解】依题意得2132212m m m m +-⎧⎨++⎩＞＞ 解得31m m ⎧⎨⎩＜＞ ∵m 为整数，∵m=2∵3m -5=6-5=1故答案为：1．【点睛】此题主要考查不等式组的应用，解题的关键是根据题意求出m 的值．30．不等式组11327x x x -≥+⎧⎨-<⎩的解集是______． 【答案】20x -<≤【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可．【详解】解：11327x x x -≥+⎧⎨-<⎩①② 解不等式∵得，0x ≤，解不等式∵得，2x >-，则原不等式组的解集为：20x -<≤．故答案为：20x -<≤．【点睛】本题考查了解不等式组，要掌握解不等式组的步骤和方法是解题的关键． 31．如图，一块长为m a 宽为m b 的长方形土地的周长为16m ，面积为215m ．现将该长方形土地的长、宽都增加2m ，则扩建后的长方形土地的面积是____________．【答案】35m 2【分析】根据题意列出关于a ，b 的方程，用含有a 的式子表示b ，可得关于a 的一元二次方程，求出a ，b 的值，即可得出答案．【详解】根据题意，得2()1615a b ab +=⎧⎨=⎩①②， 由∵得8b a =-∵，将∵代入∵，得(8)15a a -=，即28150a a -+=， 解得5a =或3a =（舍），将5a =代入∵，得3b =.长和宽都增加2m ，得7m ，5m ，所以扩建后的长方形土地的面积是7×5=35（cm 2）．故答案为：35 cm 2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是解题的关键． 32．熊大、熊二发现光头强在距离它们300米处伐木，熊二便匀速跑过去阻止，2分钟后熊大以熊二1.2倍速度跑过去，结果它们同时到达，如果设熊二的速度为x 米/分钟，那么可列方程为_________________．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．33．已知A ∠是ABC 的一个内角，并且方程24sin 102A x x -+=1，则A ∠=______．【答案】90︒##90度 sin 12A x +=)1sin 102A +=， 34．已知355x y a b +-和7332y x a b -是同类项，则x +y 的值是______． 【详解】-35．已知2x =是不等式ax-3a+2≥0的解，且1x =不是这个不等式的解，那么a 的取值范围是__________．【答案】12a <≤【分析】根据x=2是不等式ax-3a+2≥0的解，且x=1不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．【详解】解：∵x=2是不等式ax-3a+2≥0的解，∵2-a≥0，解得：a≤2，∵x=1不是这个不等式的解，∵1-a＜0，解得：a>1，∵1＜a≤2，故答案为：1≤a≤2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．36．规定11a ba b⊕=+，若232(1)(1)1xx xx++⊕-=-，则x的值是_____．37．阅读下面计算113⨯+135⨯+157⨯+…+1911⨯的过程，然后填空．解：∵113⨯=12（11-13），135⨯=12（13-15），…，1911⨯=12（19-111），∴113⨯+135⨯+157⨯+…+1911⨯=12（11-13）+12（13-15）+12（15-17）+…+12（19-111）=12（11-13+13-15+15-17+…+19-111）=12（11-111）=5 11．以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：（1）124⨯+146⨯=______；（2）当113⨯+135⨯+157⨯+ (x)613时，最后一项x=______．38．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程方程为________．39．已知点C、D是线段AB上两点（不与端点A、B重合），点A、B、C、D四点组成的所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度为__________________ .【答案】8或9【分析】根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别为AC、CD、DB，AD、BC、AB，然后根据所有线段的和为29可得关于AB、CD的等式，继而根据所有线段的长都是正整数以及AB>CD利用二元一次方程的解的概念进行求解即可.【详解】如图，图中共有线段6条，分别为AC、CD、DB，AD、BC、AB，由题意得：AC+CD+DB+AD+BC+AB=29，∵AC+CD+DB=AB，AD=AC+CD，BC=CD+DB，∵3AB+CD=29，又∵所有线段的长度都是正整数，AB>CD ，∵AB=8，CD=5或AB=9，CD=2，即AB的长度为8或9，故答案为：8或9.【点睛】本题考查了线段的和差，二元一次方程的正整数解等知识，正确画出图形，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.三、解答题40．解不等式组()101432x x ->⎧⎪⎨+<⎪⎩．41．某商场某型号的计算机2018年销售量为2880台，2020年受疫情影响，年销售量下降为2000台，求销售量的年平均下降率．（结果保留整数）42．解不等式组：102132x x x -≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②，并把解集在数轴上表示出来．【答案】21x -<≤，见解析【分析】先分别解两个不等式 ，在数轴上标出解集，然后写出解集即可．【详解】解：解不等式∵得，1x ≤，解不等式∵得，2x >-，在数轴上分别表示这两个不等式的解集如图∵不等式组的解集为：21x -<≤．【点睛】本题考查不等式组的解集，准确掌握解集的求法是解题的关键． 43．已知：23231A x xy y =++-，2B x xy =-．(1)计算：3A B -；(2)若()()25A B A B +-+的值与y 的取值无关，求x 的值．44．x 的一元二次方程()2420x m x m +++=．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若1x 、2x 是方程的两个实根，且212124x x x x m m ++=-，求m 的值．）证明：(m ∆=+方程总有两个不相等的实数根；）解：根据题意得12x x +=12x x ++(4m ∴-+解得=1m 即m 的值为【点睛】本题考查了根与系数的关系：若45．（1）解方程：11322x x x-+=-- （2）解不等式组：1,2263 2.x x x x ⎧+≥⎪⎨⎪++⎩＞ 【答案】（1）无解；（2）24x -<【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】解：（1）去分母得：13(2)1x x +-=-，解得：2x =，检验：把2x =代入得：20x -=，2x ∴=是增根，分式方程无解；12632x x +>+①2x -，4x <，不等式组的解集为24x <．【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握各自的解法．46．用配方法解方程：212302x x --= 2210=-【分析】根据配方法解一元二次方程即可47．解方程：35136x x -=-． 48．新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金840元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金1380元．(1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？(2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于5520元且不少于5280元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案；(3)若甲型口罩的售价为每箱450元，乙型口罩的售价为每箱420元．为了促销，无论采取哪种进货方案，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金a 元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，直接写出a 的值． 【答案】(1)甲、乙型号口罩每箱的进价分别为300元，240元(2)有五种进货方案，分别是：方案一：购进甲型口罩8箱，则购进乙型口罩12箱；方案二：购进甲型口罩9箱，则购进乙型口罩11箱；方案三：购进甲型口罩10箱，则购进乙型口罩10箱；方案四：购进甲型口罩11箱，则购进乙型口罩9箱方案五：购进甲型口罩12箱，则购进乙型口罩8箱(3)a =30【分析】（1）设甲型号口罩每箱进价为m 元，乙型号口罩每箱进价为n 元，根据题意建立方程组求解就可以求出答案；（2）设购进甲型口罩x 箱，则购进乙型口罩（20-x )箱，由题意建立不等式组，求出其解就可以得出结论；（3）由题意得出w =(a -30)x + 3600- 20a ，根据“（2）中所有方案获利相同”知w 与a 的取值无关，据此解答可得．(1)设甲、乙型号口罩每箱的进价分别为m 元，n 元，由题意得：2840321380m n m n +=⎧⎨+=⎩解得：300240m n =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙型号口罩每箱的进价分别为300元，240元(2)设购进甲型口罩x 箱，则购进乙型口罩（20-x )箱，由题意得：300240(20)5520300240(20)5280x x x x +-≤⎧⎨+-≥⎩解得：812x ≤≤x 非负整数∴x =8或9或10或11或12∵有五种进货方案，分别是：方案一：购进甲型口罩8箱，则购进乙型口罩12箱方案二：购进甲型口罩9箱，则购进乙型口罩11箱方案三：购进甲型口罩10箱，则购进乙型口罩10箱方案四：购进甲型口罩11箱，则购进乙型口罩9箱方案五：购进甲型口罩12箱，则购进乙型口罩8箱(3)设获得的总利润为ww =(450- 300)x +(420-240-a )(20-x )=150x +(180-a )(20-x )= 150x + 20(180-a ) -(180-a )x=(150-180+a )x + 3600-20a=(a -30)x + 3600- 20a要使（2）中所有方案获利相同∵a -30=0即a =30∵当a =30时，（2）中所有方案获利相同即w =3600-20×30=3600-600= 3000(元)【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，整式的加减无关类型，根据题意列出方程组，不等式组，代数式是解题的关键．49．解二元一次方程(1)3728x y x y -=⎧⎨+=⎩； (2)()()3212158y x x y ⎧-=+⎪⎨-=-⎪⎩．。

重庆市初中数学方程与不等式之不等式与不等式组专项训练答案一、选择题1．若m －n ＞0，则下列各式中一定正确的是（ ）A ．m ＞nB ．mn ＞0C ．0m n <D ．－m ＞－n【答案】A【解析】 ∵m －n ＞0，∴m ＞n （不等式的基本性质1）.故选A.2．已知关于x 的不等式组的解集在数轴上表示如图，则b a 的值为（ ）A ．﹣16B ．C ．﹣8D ． 【答案】B 【解析】【分析】求出x 的取值范围，再求出a 、b 的值，即可求出答案.【详解】由不等式组， 解得.故原不等式组的解集为1-bx -a ， 由图形可知-3x 2，故， 解得，则b a =． 故答案选B ．【点睛】本题考查的知识点是在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练的掌握在数轴上表示不等式的解集.3．下列不等式的变形正确的是（ ）A ．若,am bm >则a b >B ．若22am bm >，则a b >C ．若,a b >则22am bm >D ．若a b >且0,ab >则11a b> 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：当0m <时，若am bm >，则a b <，故A 错误；若22am bm >，则a b >，故B 正确；当=0m 时，22=am bm ，故C 错误；若0a b >>，则11a b<，故D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质进行判断．4．不等式组2201x x +>⎧⎨-≥-⎩的解在数轴上表示为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】解不等式组求得不等式组的解集，再把其表示在数轴上即可解答.【详解】 2201x x ①②+>⎧⎨-≥-⎩， 解不等式①得，x ＞-1；解不等式②得，x ≤1；∴不等式组的解集是﹣1＜x ≤1.不等式组的解集在数轴上表示为：故选D.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解决问题的关键．5．已知关于x 的不等式组3211230x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <≤B ．12a <<C ．12a ≤<D ．12a ≤≤【答案】A【解析】【分析】先根据一元一次不等式组解出x 的取值范围，再根据不等式组只有三个整数解，求出实数a 的取值范围即可.【详解】 3211230x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩①②， 解不等式①得：x≥-1，解不等式②得：x<a ， ∵不等式组3211230x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩有解， ∴-1≤x<a ，∵不等式组只有三个整数解，∴不等式的整数解为：-1、0、1，∴1<a≤2，故选：A【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．6．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是 （ ）A ．0x y +>B ．0x y ->C ．0x y +<D ．0x y -<【答案】A【解析】两边都除以3，得x ＞﹣y ，两边都加y ，得：x +y ＞0，故选A ．7．关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则不等式组的解集是（ ）A ．1x >-B ．3x ≤C ．13x -≤≤D ．13x -<≤【答案】D【解析】【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【详解】由数轴知，此不等式组的解集为-1＜x≤3，故选D ．【点睛】考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．8．关于x 的不等式组x 15x 322x 2x a 3＞＜+⎧-⎪⎪⎨+⎪+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．145a 3-≤≤-B ．145a 3-≤<-C ．145a 3-<≤-D ．145a 3-<<- 【答案】C【解析】【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．【详解】解：不等式组的解集是2-3a ＜x ＜21，因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是20，19，18，17．所以可以得到16≤2-3a ＜17，解得-5＜a≤-143． 故选：C ．【点睛】此题考查解不等式组，正确解出不等式组的解集，正确确定2-3a 的范围，是解决本题的关键．9．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x 分钟，则列出的不等式为（ ）A ．210x +90（15﹣x ）≥1.8B ．90x +210（15﹣x ）≤1800C ．210x +90（15﹣x ）≥1800D ．90x +210（15﹣x ）≤1.8【答案】C【解析】【分析】根据题意,利用要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地建立不等式即可解题.【详解】解：由题可知只需要小明在15分钟之内走过的路程大于1800即可,即210x+90（15﹣x ）≥1800故选C.【点睛】本题考查了一次不等式的实际应用,属于简单题,建立不等关系是解题关键.10．a 的一半与b 的差是负数，用不等式表示为( )A ．102a b -< B ．102a b -≤ C ．()102a b -< D ．102a b -< 【答案】D【解析】【分析】列代数式表示a 的一半与b 的差，是负数即小于0． 【详解】 解：根据题意得102a b -< 故选D ．【点睛】 本题考查了列不等式，首先要列出表示题中数量关系的代数式，再由不等关系列不等式．11．已知点P （1﹣a ，2a+6）在第四象限，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜﹣3B ．﹣3＜a ＜1C ．a ＞﹣3D ．a ＞1【答案】A【解析】【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．【详解】解：∵点P （1﹣a ，2a+6）在第四象限，∴10260a a ->⎧⎨+<⎩解得a ＜﹣3．故选A ．【点睛】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．12．不等式组26020x x +>⎧⎨-≥⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】 解：26020x x +>⎧⎨-≥⎩①②， 由①得：3x >-；由②得：2x ≤，∴不等式组的解集为32x -<≤，表示在数轴上，如图所示：故选：C ．【点睛】考核知识点：解不等式组.解不等式是关键.13．如果关于x 的分式方程有负数解，且关于y 的不等式组无解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．﹣2B ．0C ．1D ．3【答案】B【解析】【分析】解关于y 的不等式组，结合解集无解，确定a 的范围，再由分式方程有负数解，且a 为整数，即可确定符合条件的所有整数a 的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y 的不等式组，可整理得 ∵该不等式组解集无解，∴2a +4≥﹣2即a ≥﹣3 又∵得x ＝ 而关于x 的分式方程有负数解∴a ﹣4＜0∴a ＜4于是﹣3≤a ＜4，且a 为整数∴a ＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3则符合条件的所有整数a 的和为0．故选B ．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．14．若整数a 使关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．10【答案】C【解析】【分析】 解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加．【详解】解：解关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1，∴a ≠0，a≠1，∵关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴12a >， 解不等式1()02x a -->，得：x ＜a ， 解不等式2113x x +-≥，得：x≥4， ∵关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解， ∴a ≤4，∴则所有满足条件的整数a 的值是：2、3、4，和为9，故选：C ．【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a 的范围是解题的关键．15．已知关于x 的不等式4x a 3+＞1的解都是不等式2x 13+＞0的解，则a 的范围是( ) A ．a 5=B ．a 5≥C ．a 5≤D ．a 5< 【答案】C【解析】【分析】先把a 看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．【详解】由413x a +>得,34a x ->， 由210,3x +> 得,1,2x >- ∵关于x 的不等式413x a +>的解都是不等式2103x +>的解， ∴3142a -≥-， 解得 5.a ≤即a 的取值范围是： 5.a ≤故选:C.【点睛】考查不等式的解析，掌握一元一次不等式的求法是解题的关键.16．下列不等式变形正确的是（ ）A ．由a b >，得22a b -<-B ．由a b >，得22a b -<-C ．由a b >，得a b >D ．由a b >，得22a b > 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可．【详解】解：A 、由a ＞b ，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误；B 、由a ＞b ，不等式两边同时乘以-2可得-2a ＜-2b ，故此选项正确；C 、当a ＞b ＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a ＞b 时，有|a|＜|b|，故此选项错误；D 、由a ＞b ，得a 2＞b 2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误． 故选：B ．【点睛】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．17．不等式x ﹣2＞的解集是（ ） A ．x ＜﹣5B ．x ＞﹣5C ．x ＞5D ．x ＜5【答案】A【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】去分母得：4x﹣8＞6x+2，移项、合并同类项，得：﹣2x＞10，系数化为1，得：x＜﹣5．故选A．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．18．如图，不等式组315215xx--⎧⎨-<⎩„的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上表示出两个解集找公共部分即可.【详解】由题意可知：不等式组315215xx①②--⎧⎨-<⎩„，不等式①的解集为2x≥-，不等式②的解集为3x<，不等式组的解集为23x-≤<，在数轴上表示应为.故选C.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键.19．若关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则a的取值范围为（）A．2＜a≤3B．2≤a＜3 C．0＜a＜3 D．0＜a≤2【答案】A【解析】【分析】结合题意，可确定这两个正整数解应为1和2，至此即可求出a的取值范围【详解】由于x<a 恰有2个正整数解，即为1和2，故2<a ≤3故正确答案为A【点睛】此题考查了不等式的整数解，列出关于a 的不等式是解题的关键20．不等式组32110x x -<⎧⎨+≥⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】 32110 x x -<⎧⎨+≥⎩①② 解不等式①得，1x <，解不等式②得，1x ≥-所以，不等式组的解集为：-11x ≤<，在数轴上表示为：故选D.【点睛】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．。

重难点突破02 含参类方程与不等式问题目录题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题题型03 同解方程组题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数题型05 二元一次方程组整数解问题题型06 利用相反数求二元一次方程组参数题型07 已知方程的解求参数题型08 根据一元二次方程根的情况求参数题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围题型11 整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围1．（2023·山东淄博·中考真题）已知x=1是方程m2−x −1x−2=3的解，那么实数m的值为（）A．−2B．2C．−4D．4【答案】B【分析】将x=1代入方程，即可求解．【详解】解：将x=1代入方程，得m2−1−11−2=3解得：m=2故选：B．【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x=1代入原方程中得到关于m的方程．2．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程ax+2=1−3x+2的解为负数，则a的取值范围是（）A．a<−1且a≠−2B．a<0且a≠−2 C．a<−2且a≠−3D．a<−1且a≠−3【答案】D【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零．【详解】解：去分母得：a=x+2−3，解得：x=a+1，∵分式方程ax+2=1−3x+2的解是负数，∵a+1<0，x+2≠0，即a+1+2≠0，解得：a<−1且a≠−3，故选：D．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．3．（2023·山东日照·中考真题）若关于x的方程xx−1−2=3m2x−2解为正数，则m的取值范围是（）A．m>−23B．m<43C．m>−23且m≠0D．m<43且m≠234．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程x+mx−2+12−x=3有增根，则m=．【答案】−1【分析】等式两边同时乘以公因式(x−2)，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出x的值，即可求出m．【详解】x+mx−2+12−x=3，解：方程两边同时乘以(x−2)，得x+m+(−1)=3(x−2)，∴m=2x−5，∵原方程有增根，∴x−2=0，∴x=2，∴m=2x−5=−1，故答案为：−1．【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．5．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数m的值是（）A．3B．5C．3或5D．3或4【答案】D【分析】解带参数m的分式方程，得到x=mm−2=1+2m−2，即可求得整数m的值．【详解】解：2x−1=mx，两边同时乘以x(x−1)得：2x=m(x−1)，去括号得：2x=mx−m，移项得：2x−mx=−m，合并同类项得：(2−m)x=−m，系数化为1得：x=mm−2=1+2m−2，若m为整数，且分式方程有正整数解，则m=3或m=4，当m=3时，x=3是原分式方程的解；当m=4时，x=2是原分式方程的解；故选：D．【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题6．（2020·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式结{3x−12≤x+3x≤a的解集为x≤a；且关于y的分式方程y−ay−2+3y−4y−2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．7B．－14C．28D．－56【答案】A【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．【详解】解：解不等式3x−12≤x+3，解得x≤7，∵不等式组整理的{x≤7x≤a，由解集为x≤a，得到a≤7，分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，解得：y＝a+23，由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，1×7＝7，故选：A．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（2023·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组{x+32≤42x−a≥2，至少有2个整数解，且关于y的分式方程a−1y−2+42−y=2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．即a−12≥0且a−12≠2，解得：a ≥1且a ≠5∵a 的取值范围是1≤a ≤6，且a ≠5 ∵a 可以取：1，3， ∵1+3=4， 故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键． 8．（2024·重庆·模拟预测）已知关于x 的一元一次不等式组{2(3−x )+1<−x x +a −2<0有解且最多5个整数解，且关于y 的分式方程y+a y−3−3=43−y的解为正整数，则满足条件的所有整数a 的和为 ．【答案】−20【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组以及解分式方程是解本题的关键．首先求出不等式组的解集为7<x <2−a ，然后根据有解且最多5个整数解得到−11≤a <−5，然后解分式方程为y =a+132，结合解为正整数且解有意义，得出a 的另一个范围，从而得出所有整数a 的和．【详解】{2(3−x )+1<−x①x +a −2<0②解∵得，x >7 解∵得，x <2−a∵关于x 的一元一次不等式组{2(3−x )+1<−x x +a −2<0有解且最多5个整数解，∵7<2−a ≤13 解得−11≤a <−5y +a y −3−3=43−y去分母得，y +a −3y +9=−4 解得y =a+132∵关于y 的分式方程y+ay−3−3=43−y 的解为正整数， ∵y =a+132是正整数，且y =a+132≠3，即a ≠−7∵a =−11或−9，∵−11+(−9)=−20．∵满足条件的所有整数a的和为−20．故答案为：−20．9．（2024·重庆开州·二模）若关于x的方程x+22−x +axx−2=−2有正整数解，且关于y的不等式组{2y−43<22a−y−1≤0至少有两个整数解，则符合条件的所有整数a的和为．【答案】1【分析】本题考查了解分式方程和分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．由分式方程有正整数解，确定出满足条件a的值，将不等式组整理后，由不等式组至少有两个整数解确定出a的范围，综合求解即可．【详解】解：x+22−x +axx−2=−2去分母得：−x−2+ax=−2(x−2)，去括号得：−x−2+ax=−2x+4，移项，合并同类项得：(a+1)x=6，∵x=6a+1．∵分式方程有可能产生增根2，∵6a+1≠2，∵a≠2．∵关于x的分式方程x+22−x +axx−2=−2有正整数解，∵a=0，1，5，{2y−43<2①2a−y−1≤0②，解∵得：y<5，解∵得：y≥2a−1，∵不等式组的解集为：2a−1≤y<5，∵关于y的不等式组{2y−43<22a−y−1≤0至少有两个整数解，∵2a−1≤3，∵a ≤2．综上，整数a =1，0．∵满足条件的整数a 的和为1+0=1． 故答案为：1．10．（2024·四川成都·模拟预测）若整数a 使得关于x 的分式方程ax−122−x+3=xx−2有整数解，且使得二次函数y =(a −2)x 2+2(a −1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，解不等式组及分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数的性质是解题关键．根据二次函数的性质，得到一元一次不等式组，求得a ≥3，再解分式方程，得到x =6a−2，再根据a 、x 均为整数，找出满足条件的a 的值，求和即可．【详解】解：∵二次函数y =(a −2)x 2+2(a −1)x +a +1的值恒为非负数， ∴{a −2>0Δ=4(a −1)2−4(a −2)(a +1)≤0， 解得：a ≥3， 解分式方程ax−122−x+3=xx−2得：x =6a−2,∵x ≠2, ∴a ≠5,∵a 、x 均为整数，∴a =3时，x =6；a =4时，x =3；a =8时，a =1； ∴所有满足条件的整数a 的值之和是3+4+8=15， 故答案为：15．题型03 同解方程组11．（2020·广东·中考真题）已知关于x ，y 的方程组{ax +2√3y =−10√3x +y =4与{x −y =2x +by =15 的解相同．（1）求a ，b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x 的方程x 2+ax +b =0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．12．（2021·广东·二模）解关于x 、y 的方程组时，小明发现方程组{ax +by =2x −y =8的解和方程组{5x +2y =b 2x +3y =−9 的解相同． (1)求方程组的解；(2)求关于t 的方程（at ﹣b ）2+2（at ﹣b ）﹣3＝0的解． 【答案】(1){x =3y =−5(2)t ＝23或29【分析】（1 ）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得x 、y 的值；（2 ）根据方程组的解满足方程，把方程组的解代入，可得关于a 、b 的二元一次方程组，根据解方程组，可得a 、b 的值；然后利用换元法解该方程．【详解】（1）由方程组{ax +by =2x −y =8 的解和方程组{5x +2y =b 2x +3y =−9的解相同知，{x −y =8①2x +3y =−9②．由∵×3+∵，得5x ＝15．则x ＝3． 将x ＝3代入∵，得3﹣y ＝8，则y ＝﹣5． ∵方程组的解为：{x =3y =−5；（2）把{x =3y =−5 分别代入ax +by ＝2和5x +2y ＝b 可得方程组{3a −5b =2b =5，解得：{a =9b =5，设at ﹣b ＝n ，则方程（at ﹣b ）2+2（at ﹣b ）﹣3＝0可变为n 2+2n ﹣3＝0， ∵（n +3）（n ﹣1）＝0， ∵n ＝﹣3或1， ∵at ﹣b ＝﹣3或1，把{a =9b =5 代入得：9t ﹣5＝﹣3或1， 解得：t ＝23或29；【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的解法，理解方程组解相同的含义是解决问题的关键．题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数13．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y 的二元一次方程组{3x −y =4m +1x +y =2m −5的解满足x −y =4，则m 的值为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x −y =m +3，代入x −y =4，即可解答． 【详解】解：{3x −y =4m +1①x +y =2m −5②，①−②得2x −2y =2m +6， ∴x −y =m +3，代入x −y =4，可得m +3=4， 解得m =1，故选：B ．【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．14．（2022·山东聊城·中考真题）关于x ，y 的方程组{2x −y =2k −3x −2y =k的解中x 与y 的和不小于5，则k 的取值范围为（ ）A ．k ≥8B ．k >8C ．k ≤8D ．k <8 【答案】A【分析】由两式相减，得到x +y =k −3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．【详解】解：把两个方程相减，可得x +y =k −3，根据题意得：k −3≥5，解得：k ≥8．所以k 的取值范围是k ≥8．故选：A ．【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x 与y 的和是解题的关键．15．（2023·四川泸州·中考真题）关于x ，y 的二元一次方程组{2x +3y =3+a x +2y =6的解满足x +y >2√2，写出a 的一个整数值 ． 【答案】7（答案不唯一）【分析】先解关于x 、y 的二元一次方程组的解集，再将x +y >2√2代入，然后解关于a 的不等式的解集即可得出答案．【详解】将两个方程相减得x +y =a −3，∵x +y >2√2，∵a −3>2√2，∵a >3+2√2，∵4<8<9，∵2<2√2<3，∵5<2√2+3<6，∵a 的一个整数值可以是7．故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点．16．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组{2x−y=5kx+y=4k+3的解满足x−y≤5，则k的取值范围是．【答案】k≤3【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法，把方程组的解求出，即用k表示出x、y，代入不等式x−y≤5，转化为关于k的一元一次不等式，可求得k的取值范围．【详解】解：{2x−y=5k①x+y=4k+3②由①+②可得：3x=9k+3，所以：x=3k+1③把③代入②得：3k+1+y=4k+3，解得：y=k+2，代入x−y≤5可得：3k+1−(k+2)≤5，解得：k≤3，故答案为：k≤3．题型05 二元一次方程组整数解问题17．（2022·广东揭阳·模拟预测）如果关于x，y的方程组{4x−3y=66x+my=26的解是整数，那么整数m的值为（）A．4，−4，−5，13B．4，−4，−5，−13C．4，−4，5，13D．−4，5，−5，13【答案】B【分析】先将m看作已知量，解二元一次方程组，用m表示出y，再结合x，y为整数，得出y的整数解，然后把y的整数解代入①，得出x的解，再把方程组的整数解代入②，即可得出m的值．【详解】解：{4x−3y=6①6x+my=26②，由②×2−①×3，可得：y=342m+9，∵x，y为整数，∵当(2m+9)为−34，−17，−2，−1，34，17，2，1时，y为整数，18．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x ，y 的二元一次方程组{kx +y =43x +y =0的解为整数，关于z 的不等式组{3z ＞z −44z −2k−13≤1有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k 的和为（ ） A ．6B ．7C ．11D ．12 【答案】A【分析】本题考查了解含参数的二元一次方程组整数解，含参数的不等式组整数解问题；解出方程组，根据整数解确定k 的取值，解出不等式组，由整数解的个数确定k 的取值范围，即可求解；能正确解出含参数的方程组和不等式组，并确定k 的取值范围是解题的关键．【详解】解：解方程组{kx +y =43x +y =0得： {x =4k−3y =123−k， ∵关于x ，y 的二元一次方程组的解为整数，∵k 可取−1，1，2，4，5，7，解关于z 的不等式组得{z >−2z ≤1+k 6 ，∵关于z 的不等式组有且仅有2个整数解，∴0≤1+k6<1，解得：−1≤k <5，∵整数k 为−1，1，2，4，其和为−1+1+2+4=6，故选：A．19．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于x,y的二元一次方程组{ax+2y=612x−y=1的解为整数，且关于z的方程z−a2−z3=1的解为非负数，求满足条件的所有整数a的和为（）A．2B．4C．9D．11题型06 利用相反数求二元一次方程组参数20．（2022·四川南充·二模）已知x 、y 满足方程组{x +2y =2m −12x +y =5，且x 与y 互为相反数，则m 的值为（ ）A ．m =−2B ．m =2C ．m =−3D ．m =3 【答案】A【分析】根据题意可得x +y =0，由方程组的解法可得3x +3y =2m +4，代入计算即可．【详解】解：{x +2y =2m −1①2x +y =5② ， ∵+∵得，3x +3y =2m +4，即3（x +y ）=2m +4，又∵x 与y 互为相反数，∵x +y =0，即2m +4=0，解得m =-2，故选：A ．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法以及相反数的定义是正确解答的前提．21．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知关于x ，y 的方程组{3x −5y =2a x −2y =a −5则下列结论中正确的是（ ） ∵当a =5时，方程组的解是{x =10y =20；∵当x ，y 的值互为相反数时，a =20； ∵当2x ⋅2y =212时，a =14；∵不存在一个实数a ，使得x =y ．A ．∵∵∵B ．∵∵∵C ．∵∵∵D ．∵∵【答案】C【分析】∵把a=5代入方程组求出解，即可做出判断；∵根据题意得到x+y=0，代入方程组求出a 的值，即可做出判断；∵根据题中方程组得到{x =25−a y =15−a，再得到x+y=12，代入求出a 的值，即可做出判断； ∵假如x=y ，得到a 无解，本选项正确．【详解】解：∵把a=5代入方程组得：{3x −5y =10x −2y =0， 解得：{x =20y =10，本选项错误；∵由x 与y 互为相反数，得到x+y=0，即y=-x ，代入方程组得：{3x +5x =2a x +2x =a −5， 解得：a=20，本选项正确；∵方程组解得：{x =25−a y =15−a， 由题意得：x+y=12，把{x =25−a y =15−a代入得：25-a+15-a =12， 解得：a=14，本选项正确；∵若x=y ，则有{−2x =2a −x =a −5，可得a=a -5，矛盾， 故不存在一个实数a 使得x=y ，本选项正确．则正确的选项有∵∵∵，故选：C ． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．22．（2021·内蒙古包头·二模）若满足方程组{4x +y =3m +32x −y =m −1的x 与y 互为相反数，则m 的值为（ ） A ．2B ．−2C ．11D ．−11 【答案】B【分析】由x 与y 互为相反数，得到y =-x ，代入方程组计算即可求出m 的值．【详解】解：由题意得：y =-x ，代入方程组得：{4x −x ＝3m +3①2x +x ＝m −1②， 消去x 得：3m +3=m −1，解得：m =-2，故选：B ．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 题型07 已知方程的解求参数23．（2023·湖南永州·中考真题）关于x 的一元一次方程2x +m =5的解为x =1，则m 的值为（ ）A ．3B ．−3C ．7D ．−7【答案】A【分析】把x=1代入2x+m=5再进行求解即可．【详解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，解得：m=3．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．24．（2021·浙江金华·中考真题）已知{x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，则m的值是．【答案】2【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．【详解】∵{x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，∵6+2m=10，解得m=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．25．（2023·江苏镇江·中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为．【答案】5【分析】：把x=1代入方程x2+mx−6=0，求出关于m的方程的解即可．【详解】把x=1代入方程x2+mx−6=0，得1+m−6=0，解得m=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．26．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3=．【答案】−2【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得a+b=−3,a2+3a−4=0，从而得到a2+3a=4，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a，b是方程x2+3x−4=0的两根，∵a+b=−3,a2+3a−4=0，∵a2+3a=4，∵a2+4a+b−3=a2+3a+a+b−3=4+(−3)−3=−2．故答案为：−2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．题型08 根据一元二次方程根的情况求参数27．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，则√(k−1)2−(√2−k)2的化简结果是（）A．−1B．1C．−1−2k D．2k−3【答案】A【分析】首先根据关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，得判别式△=[−(2k−2)]2−4×1×(k2−1)≥0，由此可得k≤1，据此可对√(k−1)2−(√2−k)2进行化简．【详解】解：∵关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，∵判别式△=[−(2k−2)]2−4×1×(k2−1)≥0，整理得：−8k+8≥0，∵k≤1，∵k−1≤0，2−k>0，∵√(k−1)2−(√2−k)2=−(k−1)−(2−k)=−1．故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．28．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．【答案】m<1【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，∵Δ=4−4m>0，解得：m<1．故答案为：m<1．29．（2021·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+4x−2=0有实数根，则a的取值范围为．【答案】a≥−2且a≠0【分析】利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ=42−4a×(−2)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得a≠0且Δ=42−4a×(−2)≥0，解得a≥−2且a≠0．故答案为∶a≥−2且a≠0．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．30．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且k2=αβ+3k，求k的值．【答案】(1)k >2(2)k =3【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b 2−4ac >0，把字母和数代入求出k 的取值范围；（2）根据两根之积为：ca ，把字母和数代入求出k 的值． 【详解】（1）解：b 2−4ac =22−4×1×(3−k )=−8+4k ，∵有两个不相等的实数，∵−8+4k >0，解得：k >2；（2）∵方程的两个根为α，β，∵αβ=ca =3−k ，∵k 2=3−k +3k ，解得：k 1=3，k 2=−1（舍去）．即：k =3．【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=ca ． 题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围31．（2023·广东潮州·二模）如果关于x 的不等式组{6x −m ≥05x −n <0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m,n )共有（ ）A ．42对B ．36对C ．30对D ．11对 【答案】C【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，先求出不等式组的解集，根据已知得出关于m 、n 的不等式组，求出整数解即可，解此题的关键是求出m 、n 的值．【详解】解：{6x −m ≥0①5x −n <0②， 解不等式∵得：x ≥m 6，解不等式∵得：x <n5，∵不等式组的解集是m 6≤x <n 5， ∵关关于x 的不等式组{6x −m ≥05x −n <0的整数解仅为1，2，3， ∵0<m6≤1，3<n5≤4，∵m 、n 为整数，∵m =1、2、3、4、5、6，n =16、17、18、19、20， 6×5=30，所以适合这个不等式组的整数对(m,n )共有30对，故选：C ．32．（2024·河南安阳·一模）已知不等式组{2(x −1)>3x+12x <a，有四个整数解，则a 的取值范围为 ． 【答案】9<a ≤10【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求出参数的范围，先求出不等式组的解集，根据解集得到关于a 的不等式组，求解即可．【详解】解：解{2(x −1)>3x+12x <a，得：{x >5x <a， ∵不等式组有四个整数解，∵5<x <a ，∵不等式组的整数解为6,7,8,9，∵9<a ≤10；故答案为：9<a ≤10．33．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x 的不等式组{2x +1>x +a①x 2+1≥52x −9② 所有整数解的和为14，则整数a 的值为 ．【答案】2或−1【分析】根据题意可求不等式组的解集为a −1<x ≤5，再分情况判断出a 的取值范围，即可求解．【详解】解：由∵得：x >a −1，由∵得：x ≤5，∴不等式组的解集为：a −1<x ≤5，∵所有整数解的和为14，∵整数解为：2、3、4、5，∴1≤a −1<2，解得：2≤a <3，∵ a 为整数，∴a =2．∵整数解为：−1，0，1，2、3、4、5，∴−2≤a −1<−1，解得：−1≤a <0，∵ a 为整数，∴a =−1．综上，整数a 的值为2或−1故答案为：2或−1．【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围34．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组{x −a >2x +1<b的解集是−1<x <1，则(a +b )2023=（ ） A ．0B ．−1C ．1D ．2023【答案】B【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得2+a <x <b −1，再结合已知可得2+a =−1，b −1=1，然后进行计算可求出a ，b 的值，最后代入式子中进行计算即可解答．【详解】解：{x −a >2①x +1<b② ， 解不等式∵得：x >2+a ，解不等式∵得：x <b −1，∵原不等式组的解集为：2+a <x <b −1，∵不等式组的解集是−1<x <1，∵2+a =−1，b −1=1，∵a =−3，b =2，∵(a +b )2023=(−3+2)2023=(−1)2023=−1，故选：B ．【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．35．（2023·湖北黄石·中考真题）若实数a 使关于x 的不等式组{−2<x −1<3x −a >0的解集为−1<x <4，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】a ≤−1/−1≥a【分析】根据不等式的性质解一元一次不等组，再根据不等式组的取值方法即可且求解． 【详解】解：{−2<x −1<3①x −a >0②， 由∵得，−1<x <4；由∵得，x >a ；∵解集为−1<x <4，∵a ≤−1，故答案为：a ≤−1．【点睛】本题主要考查解不等式组，求不等式组解集，掌握解不等式组的方法，不等组的取值方法等知识是解题的关键．36．（2023·山东聊城·中考真题）若不等式组{x−12≥x−232x −m ≥x 的解集为x ≥m ，则m 的取值范围是 ． 【答案】m ≥−1/−1≤m 【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解．【详解】解：{x−12≥x−23①2x −m ≥x② ， 解不等式∵得：x ≥−1，解不等式∵得：x ≥m ，∵不等式组的解集为：x ≥m ，∵m ≥−1．故答案为：m ≥−1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．题型11 整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题37．（2022·四川泸州·中考真题）若方程x−3x−2+1=32−x的解使关于x的不等式(2−a)x−3>0成立，则实数a的取值范围是．【答案】a<−1【分析】先解分式方程得x=1，再把x=1代入不等式计算即可．【详解】x−3x−2+1=32−x去分母得：x−3+x−2=−3解得：x=1经检验，x=1是分式方程的解把x=1代入不等式(2−a)x−3>0得：2−a−3>0解得a<−1故答案为：a<−1【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．38．（2023·四川泸州·一模）已知方程3−aa−4−a=14−a，且关于x的不等式a≤x<b只有3个整数解，则b的取值范围是．【答案】1<b≤2【分析】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式的整数解．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式只有3个整数解，即可确定出b 的范围．【详解】解：分式方程去分母得：3−a−a(a−4)=−1，整理，得：a2−3a−4=0，即(a−4)(a+1)=0，解得：a=4或a=−1，经检验a=4是增根，故分式方程的解为a=−1，∵不等式a≤x<b只有3个整数解，∵1<b≤2，故答案为：1<b≤2．39．（2021·湖北荆州·中考真题）已知：a是不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1=0．【答案】x1=2+√5，x2=2-√5【分析】先解不等式，结合已知得出a的值，然后利用配方法解方程即可【详解】解：∵5(a−2)+8<6(a−1)+7；∵5a−10+8<6a−6+7；∵−a<3；∵a＞-3；∵a是不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7的最小整数解，∵a=-2；∵关于x的方程x2-4x-1=0；∵x2-4x+4=5；∵(x-2)2=5；∵x-2=±√5；∵x1=2+√5，x2=2-√5．【点睛】本题考查了解不等式以及解一元二次方程，熟练掌握相关的运算方法是解题的关键．40．（2022·江苏苏州·一模）若不等式3x+2≤4x−1的最小整数解是方程23x−13mx=1的解，求m的值．【答案】m=1【分析】解出一元一次不等式的解，求出x的最小整数值，然后将x的最小整数值代入方程求解即可．【详解】解：由3x+2≤4x−1，解得x≥3，∵x的最小整数值为x=3，∵x=3是方程23x−13mx=1的解，∵2 3×3−13m×3=1，解得m=1，∵m的值为1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解．解题的关键在于找出x的最小整数值．。

数学文化讲堂(二)一《九章算术》—方程《九章算术》大约于东汉初年(公元一世纪)成书，共九章，汇总了战国和西汉时期的数学成果，是几代人共同劳动的结晶．书中收集了246个与生产、生活实践有联系的应用问题，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中记载了下列有代表性的应用问题：1. “今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”(凫：野鸭)设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x 天相遇，可列方程为( ) A . (9－7)x ＝1 B . (9＋7)x ＝1 C . (17－19)x ＝1 D . (17＋19)x ＝12．“今有客马日行三百里，客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及与之而还，至家，视日四分之三．问主人马不休，日行几何？”(注：在我国古代白天的开始是卯初(即现今5时整)，白天的终了是酉初(即现今17时整)，因此从卯初至酉初12小时为1日)题中讲到的主人马速日行多少里( ) A . 540里 B . 720里 C . 780里 D . 960里3. “今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为________________．二《孙子算经》《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前．传本的《孙子算经》共三卷，上卷叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，中卷举例说明筹算分数算法和筹算开平方法．下卷第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”．4．该书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，那么可列方程组为( )A . ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1003x ＋3y ＝100B . ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100x ＋3y ＝100C . ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1003x ＋13y ＝100 D . ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1003x ＋y ＝100 5．该书有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文．甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x 文钱，乙原有y 文钱，可列方程组是________________．6．书中记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94条腿，问笼中各有几只鸡和兔？三《算法统宗》《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，程大位著，是一部应用数学书，是以珠算为主要的计算工具，列有595个应用题的数字计算，用珠算演算．该书确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变．《算法统宗》中记载了下列应用问题：7. “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏8. “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x、y人，则可列方程组____________________．9．“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住，如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．(1)求该店有客房多少间？房客多少人？(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？四一元二次方程的图解法古希腊数学家丢番图在公元250年前在《算术》中就提出一元二次方程的问题，不过当时人们还没有找到一元二次方程的求根公式，只能用图解法求解，在欧几里得的《几何原本》中，就给出了形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：如图，以a 2和b 为两直角边作Rt △ABC ，再在斜边上截取BD ＝a 2，则AD 的长就是所求方程的解，显然，用这个方法只能求出其中的一个正根．10. 请利用你所学的知识，说明该图解法的正确性．11. 结合上述材料，方程x 2－5x ＋6＝0可以用图解法求解吗？若能，写出求解过程，若不能，请说明理由．答案1. D2. C 【解析】设主人的马日行x 里，由题意得12×(34－13)x ＝300×[12×(34－13)＋13]，解得x ＝780，故选C .3. ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝102x ＋5y ＝8 4. 解：设共有x 人，依题意得：8x －3＝7x ＋4，解得x ＝7，8x －3＝8×7－3＝53，答：共有7个人，物品价格为53元．5. C6. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝4823x ＋y ＝487. 解：设鸡有x 只，兔有y 只，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝352x ＋4y ＝94， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝12， 答：笼中鸡有23只，兔有12只．8. B 【解析】设这个塔顶层有a 盏灯，则a ＋2a ＋4a ＋8a ＋16a ＋32a ＋64a ＝381，解得a ＝3.9. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1003x ＋13y ＝100 【解析】根据等量关系为“大和尚的人数＋小和尚的人数＝100，大和尚分得的馒头数＋小和尚分得的馒头数＝100”，列出方程组，设大和尚x 人，小和尚y 人，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1003x ＋13y ＝100. 10. 解：(1)设该店有客房x 间，房客y 人；根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7＝y 9（x －1）＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝8y ＝63. 答：该店有客房8间，房客63人；(2)若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16＝320钱； 若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8＝288钱＜320钱；答：若诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．11. 解：∵∠ACB＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，∴AB ＝b 2＋a24，∴AD ＝b 2＋a 24－a2＝－a ＋a 2＋4b 22.解方程x 2＋ax －b 2＝0得，x 1＝－a ＋a 2＋4b22，x 2＝－a －a 2＋4b22，则AD 的长是方程的正根．12. 解：不能，BD ＝－52，作图不能表示出BD 的长。

二、含参不等式与方程知识点拨含参不等式题型一、给出不等式解的情况，求参数取值范围：总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。

记住：“大小小大有解；大大小小无解。

”注：端点值格外考虑。

二、给出不等式解集，求参数的值总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。

方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用已知解集与所求解集之间的对应关系，建立方程。

三、给出方程（组）解的情况，转化成不等式（组）总结：先解含参数的方程组，解用含参数的式子表示出来。

列出题中解满足的不等关系，将含参数的式子代入，转化成关于参数的不等式（组）。

四、给出方程组解的个数，确定参数的范围总结：先解出不含参数的不等式的解集，按题意在解集范围内找出连续的几个整数解，参数的范围就在与最后一个整数解差一个单位长度的范围内（借助数轴解决问题），端点值特殊考虑。

例题演练一．选择题（共20小题）1．如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程﹣＝1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A．8B．16C．18D．20【解答】解：不等式组整理得：，解得：＜x≤6，由不等式组有且只有两个奇数解，得到1≤＜3，解得：2≤a＜10，即整数a＝2，3，4，5，6，7，8，9，分式方程去分母得：3y+a﹣10＝y﹣2，解得：y＝，由分式方程解为非负整数，得到a＝2，6，8，之和为16，故选：B．2．如果关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x的分式方程＝﹣8的解为非负数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：，不等式组化简为，由不等式组有且只有四个整数解，得到2≤＜3，解得：6≤a＜10，即整数a＝6，7，8，9，，分式方程去分母得：ax﹣28＝﹣32+8，解得：x＝，由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，x﹣4≠0，x≠4，a≠7，a﹣8＜0，解得：a＜8，因为a＝7是增根，故a＝6．故选：A．3．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，且关于y的分式方程＝1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A．10B．12C．14D．18【解答】解：由①得x≤6，由②得x＞．∵方程组有且只有五个整数解，∴＜x≤6，即x可取6、5、4、3、2．∵x要取到2，且取不到，∴1≤＜2，∴4≤a＜10．∵分式方程﹣＝1的解为y＝4﹣，4﹣是非负整数，∴a≤8，且a是2的整数倍．又∵y≠2，∴a≠4．∴a的取值为6、8．故选：C．4．如果关于x的分式方程+＝2有非负整数解，关于y的不等式组有且只有4个整数解，则所有符合条件的a的和是（ ）A．﹣3B．﹣2C．1D．2【解答】解：解不等式组，得，∵不等式组有且只有4个整数解，∴1＜≤2，∴﹣3＜a≤1．解式方程+＝2，得x＝3﹣a，∵x＝3﹣a为非负整数，﹣3＜a≤1，∴a＝﹣2或﹣1或0或1，∵a＝1时，x＝2，原分式方程无解，故将a＝1舍去，∴所有满足条件的a的值之和是﹣2﹣1+0＝﹣3，故选：A．5．若m使关于x的分式方程1﹣＝的解为非负数，且使关于y的不等式组有且只有三个整数解，则所有满足条件的整数m的和为（ ）A．3B．2C．1D．﹣3【解答】解：去分母得：1﹣x+m＝x+1，解得：x＝，由解为非负整数解，得到≥0，且≠1，即m≥0且m≠2，，由①得，y＜4，由②得，y4，∴，由不等式组只有3个整数解，∴解得：﹣2≤m＜2，∴0≤m＜2，则符合题意m有1，0，1+0＝1故选：C．6．若数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有正整数解，则满足条件的a的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：解不等式组，得，∵不等式组有且仅有4个整数解，∴﹣1＜≤0，∴﹣8＜a≤﹣3．解分式方程+＝1，得y＝，∵y＝≠2为整数，∴a≠﹣6，∴所有满足条件的只有﹣4，故选：B．7．若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣＝﹣3有正整数解，则满足条件的a的值之积为（ ）A．28B．﹣4C．4D．﹣2【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到3a﹣2≤a+2，解得：a≤2，分式方程去分母得：ax+5＝﹣3x+15，即（a+3）x＝10，由分式方程有正整数解，得到x＝，即a+3＝1，2，5，10，解得：a＝﹣2，﹣1，2，7，∵x≠5，即≠5∴a≠﹣1综上，满足条件a的为﹣2，2，之积为，﹣4，故选：B．8．如果关于x的方程＝1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（ ）个．A．0B．1C．2D．3【解答】解：解方程＝1得，x＝，∵方程有正整数解，∴整数a＝1，3，6，解不等式组得，∵关于y的不等式组至少有两个偶数解，∴a﹣1≤2，∴a≤3，∴满足条件的整数a有两个．故选：C．9．如果关于x的分式方程+＝3的解为整数，且关于x的不等式组有且仅有1个正整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）A．15B．12C．7D．6【解答】解：分式方程+＝3，去分母得：ax﹣5﹣10＝3x﹣9，整理得：x＝，由分式方程的解为整数，得到a﹣3＝±1或a﹣3＝﹣2或a﹣3＝±3或a﹣3＝±6，解得：a＝4或2或1或6或0或9或﹣3，不等式组整理得：，解得：﹣2＜x≤，由不等式组有且仅有1个正整数解，得到正整数解为1，则有1≤＜2，解得：1≤a＜6，综上，整数a＝1，2，4，这几个整数的和为7．故选：C．10．若实数a使关于x的不等式组至少有3个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有正整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A．﹣7B．﹣12C．﹣21D．﹣23【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣7，解不等式②得：x＜a+6，∴﹣7≤x＜a+6，∵至少有3个整数解，∴a+6＞﹣5，∴a＞﹣11；分式方程两边都乘以y﹣3得：4y﹣（y﹣a）＝y﹣3，解得：y＝﹣，∵y﹣3≠0，∴﹣≠3，∴a≠﹣9，∵分式方程有正整数解，∴﹣＞0，∴a＜﹣3，∴﹣11＜a＜﹣3且a≠﹣9，∵a是整数，﹣是正整数，∴a＝﹣7，﹣5，∴所有a的和为﹣12．故选：B．11．如果关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组的解集为x＞4，那么符合条件的所有整数a的值之和是（ ）A．7B．8C．4D．5【解答】解：由分式方程可得1﹣ax+2（x﹣2）＝﹣1解得x＝∵关于x的分式方程有整数解，且a为整数∴，即a≠1于是a＝0、3、4又∵关于x的不等式组整理得而不等式组的解集为x＞4∴a≤4于是符合条件的所有整数a的值之和为：0+3+4＝7故选：A．12．若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程＝1的解是非负数，则符合条件的所有整数a的个数是（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：解不等式组，得，∵不等式组至少有3个整数解，∴a≥2，解分式方程＝1，得y＝6﹣a，∵y＝6﹣a为非负数，a≥2，∴a＝2、3、4、5、6，∵a＝4时，y＝2，原分式方程无解，故将a＝4舍去，∴符合条件的所有整数a的个数为4，故选：B．13．若关于x的分式方程＝1有正整数解，且关于y的一元一次不等式组的解集为y≤a，则所有满足条件的整数a的和为（ ）A．8B．7C．3D．2【解答】解：分式方程去分母，得：x﹣a＝x﹣2+5﹣2x，解得：x＝，由不等式组，解不等式①，得：y＜5，解不等式②，得：y≤a，∵不等式组的解集为y≤a，∴a＜5，又∵分式方程有正整数解，且x≠2，∴符合题意的整数a的值可以取3；﹣1，它们的和为3+（﹣1）＝2，故选：D．14．若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程3﹣＝有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A．4B．9C．11D．12【解答】解：不等式组整理得：，解得：﹣2≤x＜a﹣1，由不等式组至少有4个整数解，得到a﹣1＞1，即a＞2，分式方程去分母得：3（y﹣1）﹣ay＝﹣5，去括号得：3y﹣3﹣ay＝﹣5，即（3﹣a）y＝﹣2，解得：y＝，由分式方程有整数解，得到a﹣3＝±1，a﹣3＝﹣2，解得：a＝2（不符合题意，舍去），a＝4，a＝1（不符合题意，舍去），故符合条件的所有整数a的和为4．故选：A．15．若实数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于x的方程＝﹣2的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A．7B．10C．12D．1【解答】解：解不等式组得，，∵不等式组只有4个整数解，∴0，∴0＜a≤6，解分式方程得：，∵分式方程的解为正数，∴，且≠1，解得：a＜5且a≠3，综上可得，a的取值范围为0＜a＜5，且a≠3，则符合条件的所有整数a的和为：1+2+4＝7．故选：A．16．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使得关于y的方式方程有整数解，则满足条件整数a的和为（ ）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．9【解答】解：，解不等式①，得：x≤3，解不等式②，得：x＞﹣，∵该不等式组有且仅有4个整数解，∴﹣1≤﹣＜0，解得：﹣4＜a≤1，分式方程去分母，得：y﹣（1﹣y）＝﹣a，解得：y＝，∵分式方程有整数解，且y≠1，∴满足条件的整数a可以取﹣3，1，其和为﹣3+1＝﹣2，故选：C．17．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程＝1﹣的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A．6B．16C．18D．20【解答】解：，解①得，x≥3，解②得，x＜a﹣7，∵不等式组无解，∴a﹣7≤3，∴a≤10，＝1﹣，去分母，得﹣3y＝y﹣2﹣a﹣y，∴y＝，∵分式方程＝1﹣的解为非负整数，∴y≥0且y﹣2≠0，∴且a≠4，∵a为整数，为非负整数，∴a＝﹣2，1，7，10，∴整数a的和为﹣2+1+7+10＝16．故选：B．18．如果关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组的解集为x，那么符合条件的所有整数a的和为（ ）A．4B．6C．2D．1【解答】解：分式方程去分母得：ax﹣2x+4＝﹣x，整理得：x＝，由分式方程有整数解，得到1﹣a＝1或﹣1或﹣2或4或﹣4，解得：a＝0，2，3，﹣3，5，不等式组整理得：，由不等式组的解集为x＞，得到a﹣1≤，即a≤，则a的值为0，2，3，﹣3，之和为2，故选：C．19．若整数a使得关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程＝+3的解为负数，则所有符合条件的整数a的和为（ ）A．0B．﹣3C．﹣5D．﹣8【解答】解：，解不等式①得x＜﹣2，解不等式②得，∵不等式组的解集为x＜﹣2，∴，解得a≥﹣5，解关于y的分式方程＝+3得y＝，∵关于y的分式方程＝+3的解为负数，∴＜0，∴a＜5，∵y+1≠0，∴y≠﹣1，即≠﹣1，解得a≠3，∴﹣5≤a＜5且a≠3，∵a为整数，∴a＝﹣5或±4或﹣3或±2或±1或0，∴﹣5+4﹣4﹣3+2﹣2+1﹣1+0＝﹣8，故所有符合条件的整数a的和为﹣8．故选：D．20．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）A．28B．﹣14C．7D．﹣56【解答】解：，解不等式①，得：x≤a，解不等式②，得：x≤7，∵该不等式组的解集为x≤a，∴a≤7，分式方程去分母，得：y﹣a+3y﹣4＝y﹣2，，解得：y＝，∵分式方程有正整数解，且y≠2，∴满足条件的整数a可以取7，1，其积为7×1＝7，，故选：C．。

重庆中考专题训练二含参的方程和不等式的计算-中考专题训练二一、含参数方程组和不等式的结合1.若整式a 使得关于x 的不等式组20113x a x ì->?í-至少有一个整数解，且使得关于x 的方程415ax x =-有整数解，那么所有满足条件的整数a 的值之和是（） A.12 B.1 C.52D.3 2.从22,1,,0,13---这五个数字中，随机抽取一个记为a ，则使得关于x 的方程213ax x +=-的解为非负数，且满足关于y 的不等式组0321x a x ì->?í-+恰有三个整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值有（） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、含参数的函数和方程、不等式的结合3. 一直一个口袋中装有5个完全相同的小球，小球上分别标有2,6,9,12,15五个数字，搅匀后从中摸出一个小球，将小球上的数字记为a ，若使得一次函数6y ax a =+-不经过第四象限且关于x 的分式方程6466ax x x x =+--的解为整数，则这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（）A.21B.27C.29D.44 4. 从2,1,0,1,2,4--这六个数中，任取一个数作为a 的值，恰好使得关于x,y 的二元一次方程组2x y a x y ì-=?í+=??有整数解，且函数242y ax x =++的图象与x 轴有公共点，那么这6个数所有满足条件的a 的值之积是（）A. 16-B.4-C.0D.8练习：1. 有五张正面分别标有数组12,0,,1,32-的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗均匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，若使得关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有整数解，则这5个数中满足条件的a 的值之和是（） B.0 B.3 C.4 D.322. 使关于x 的分式方程122k x -=-的解为非负数，且使反比例函数3k y x -=的图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k 的和为（）C. 1 B.2 C.3D.53. 在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴交于B,C 两点，（点B 在点的左侧），点A 在抛物线上，且横坐标为-2，连接AB ，AC ，现将背面完全相同，正面分别标有2,1,0,1,2--的五张卡片洗均匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为P 的横坐标，将该数加1作为点P 的纵坐标，点P 落在△ABC 内（不含边界），则满足条件的点P 的个数为（）D. 1 B.2 C.3 D.44.已知一个口袋装有七个完全相同的小球，小球上分别标有3,2,1,0,1,2,3---七个数，搅匀后一次从中摸出一个小球，将小球上的数用a 表示，将a 的值分别带入函数(3)y a x =-和方程311x a x x --=-，恰好使得函数的图像经过第二、四象限，切方程有整数解，那么这七个数中所有满足条件的a 的值之和是（）A. 1B.2-C.3-D.4-5.在5张正面分别写有数字31,1,,0,124---的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将他们背面朝上，洗均匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，若使以x 为自变量的反比例函数1a y x -=经过第二、四象限，且关于x 的不等式组122x a a x ì+??í-有解，则这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（）A. 114- B.52- C.54- D.1- 6.若整数a 使关于x 的不等式组31220x a x x a ì++-??í?-A. 28B.30C.32D.347.如果关于x 的方程2322ax x x x ++=--有整数解，且使关于y 的不等式组2()64915y a y y y ì+??í->-??的解集为4y <-，则符合条件的所有整数a 的和为（）A. 10B.8C.5D.38.若关于x 的方程3333ax a x x x x +=----的解为整数，且关于y 的不等式组2370y y a ì->?í-无解，则所有满足条件的非负整数a 的和为（）A. 2B.3C.7D.109.若关于x 的不等式组212213147x a x ì+A. 2B.3C.4D.510.有6张正面分别标有数字2,1,0,1,2,3--的卡片，他们除了数字不同其余都相同，现将背面朝上，洗匀后随即抽一张，记卡片上数字为a ，若使关于x 的方程22(1)(3)0x a x a a --+-=有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的函数22(1)21y x a x a =-+-+的图像经过点（-1,6），则6个数中所有满足条件的a 的值之和是（）A. 2B.3C.5D.6。

2022年中考数学改革重点题型专练（重庆专用）专练三、方程与不等式含参问题1．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程﹣1的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣15B．﹣13C．﹣7D．﹣5【解答】解：，由①得，x＜﹣2，由②得x≤，∵不等式组的解集为x＜﹣2，∴≥﹣2，∴a≥﹣8，﹣1，2y＝a﹣（y+1），2y＝a﹣y﹣1，3y＝a﹣1，y＝，∵方程的解为负整数，∴a＝﹣8，﹣5，﹣2，∵y≠﹣1，∴≠﹣1，∴a≠﹣2，∴a的取值为﹣8，﹣5，∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣13，故选：B．2．若数a既使得关于x的不等式组无解，又使得关于y的分式方程的解不大于4，则满足条件的所有整数a的个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：，由①得，x≤5a﹣6，由②得，x＞2a+6，∵不等式组无解，∴5a﹣6≤2a+6，∴a≤4，，（y+a）（y﹣2）﹣a（y+2）＝（y+2）（y﹣2），y2﹣2y+ay﹣2a﹣ay﹣2a＝y2﹣4，y＝2﹣2a，∵方程的解不大于4，∴2﹣2a≤4，∴a≥﹣1，∵y≠2，y≠﹣2，∴2﹣2a≠2，2﹣2a≠﹣2，∴a≠0，a≠2，∴a≥﹣1且a≠0，a≠2，∴满足条件的整数a有﹣1，1，3，4，∴满足条件的所有整数a的个数为4，故选：B．3．如果关于x的不等式组所有整数解中非负整数解有且仅有三个，且关于y 的分式方程＝13有正整数解，则符合条件的整数m有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：解不等式m﹣4x＞5，得x＜，解不等式2x+5≥x+3，得x≥﹣2，∴不等式组的解为﹣2≤x＜，∵不等式组有且仅有三个非负整数解，∴2＜≤3，解得13＜m≤17，解关于x的分式方程，得y＝，∵分式方程有正整数解，∴＞0且≠2，m﹣13＝1或2或6，解得m＝14或15，所以所有满足条件的整数m的值一共2个．故选：B．4．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜1；关于x的分式方程的解为非负整数．则满足条件的整数m的值之和是（）A．13B．12C．14D．15【解答】解：，由①得：2x+1＜x+2，∴x＜1．由②得：x≤m+2．∵不等式组的解集是x＜1，∴m+2≥1，∴m≥﹣1．∵﹣＝4，∴x+m﹣2m＝4x﹣8．∴3x＝8﹣m，∴x＝，∵方程的解为非负整数，∴8﹣m≥0，∴m≤8．∴﹣1≤m≤8，∵8﹣m是3的倍数，∴m＝﹣1，2，5，8．﹣1+2+5+8＝14．故选：C．5．已知关于x的分式方程﹣＝2的解为整数，且关于y的不等式组有且只有四个整数解，则符合条件的整数m的和为（）A．﹣15B．﹣12C．﹣10D．﹣7【解答】解：﹣＝2，5+m＝2（x﹣3），解得：x＝，∵分式方程的解为整数，∴为整数且≠3，∴为整数且m≠﹣5，，解不等式①得：y＜，解不等式②得：y≥﹣5，∵不等式组有且只有四个整数解，∴﹣2＜≤﹣1，解得：﹣8＜m≤﹣3，综上所述：符合条件的整数m的值为：﹣7，﹣3，符合条件的整数m的和为：﹣10，故选：C．6．若关于x的分式方程有非负数解，且使得关于y的不等式组有解，则满足条件的所有整数m的和是（）A．﹣10B．﹣9C．﹣6D．﹣5【解答】解：，2﹣2（x﹣1）＝x﹣m，解得：x＝，∵分式方程有非负数解，∴x≥0且x≠1，∴≥0且≠1，∴m≥﹣4且m≠﹣1，，解不等式①得：y≥m﹣2，解不等式②得：y≤﹣2m，∵不等式组有解，∴m﹣2≤﹣2m，∴m≤，综上所述：﹣4≤m≤且m≠﹣1，∴满足条件的所有整数m的值为：﹣4，﹣3，﹣2，0，∴满足条件的所有整数m的和为：﹣9，故选：B．7．若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（）A．13B．9C．3【解答】解：分式方程去分母得：16+2（x﹣4）＝ax，即（2﹣a）x＝﹣8，由分式方程有正整数解，得到2﹣a≠0，解得：x＝﹣＞0，得a＞2，不等式组整理得：即2a﹣5≤x＜11，由不等式组至少有4个整数解，得到2a﹣5≤7，解得：a≤6，由x为正整数，且﹣≠0且≠4，得到2﹣a＝﹣1，﹣2，﹣4，解得：a＝3或4或6，a＝4，分式方程：x＝4增根，∴a＝3或6，∵a≤6，∴a＝3或6，3+6＝9，则符合条件的所有整数a的和为9，故选：B．8．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥2，且关于y的分式方程＝1的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．4B．5C．11D．12【解答】解：∵关于x的一元一次不等式组的解集为x≥2，∴a﹣5＜2．∴a＜7．∵关于y的分式方程＝1的解为y＝，又关于y的分式方程＝1的解为非负数，∴．∴a≥﹣3．∵由于分式方程＝1有可能产生增根，∴，∴a≠1．综上，a的取值范围为：﹣3≤a＜7且a≠1．∵为整数，∴a＝﹣3或﹣1或3或5．∴所有满足条件的整数a的值之和为：﹣3﹣1+3+5＝4．故选：A．9．若关于x的分式方程＝3﹣有非负整数解，且关于y的不等式组的解集为y≤3，则所有符合条件的整数a的和为（）A．22B．24C．28D．30【解答】解：＝3﹣，x＝3（x﹣2）+a﹣4，x＝3x﹣6+a﹣4，x﹣3x＝﹣6+a﹣4，﹣2x＝﹣10+a，x＝5﹣，∵方程有非负整数解，∴5﹣≥0，5﹣是整数，∴a≤10，且a是偶数，∵x≠2，∴5﹣≠2，∴a≠6，，由①得，y≤3，由②得，y＜，∵解集为y≤3，∴＞3，∴a＞2，∴a＝4，8，10，∴所有符合条件的整数a的和为22，故选：A．10．若实数a使关于x的一元一次不等式组有解，且使关于y 的分式方程1﹣＝的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的值之和为（）A．﹣3B．0C．2D．4【解答】解：解不等式组，得，∵关于x的一元一次不等式组有解，∴a＜5，解方程1﹣＝，得y＝，且y≠3，即≠3，解得a≠3，∵关于y的分式方程1﹣＝的解为非负整数，∴a＝﹣3，﹣1，1，∴符合条件的a的和为﹣3+（﹣1）+1＝﹣3．故选：A．11．已知关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程+a＝2有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（）A．17B．9C．﹣1D．﹣4【解答】解：解不等式①得：x≥3解不等式②得：x＜a∵关于x的不等式组有解∴a＞3解关于x的分式方程+a＝2，得x＝∵有整数解∴a＝4或5或8但a＝8时，分式方程+a＝2无解，故舍去∴4+5＝9故选：B．12．若整数a使得关于x的不等式组的解集为x＞2，且关于x的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：不等式组整理得：，∵不等式组的解集为x＞2，∴a≤2，分式方程去分母得：ax+2＝x﹣1+1，整理得：（a﹣1）x＝﹣2，解得：x＝，∵分式方程的解为整数，∴1﹣a＝﹣2或1﹣a＝1或1﹣a＝﹣1，解得：a＝3或0或2，综上，满足题意a的值为0或2，之和为0+2＝2．故选：D．13．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数a的值之和为（）A．6B．10C．11D．15【解答】解：由一元一次不等式组得，∵关于x的不等式组有解，∴a﹣1＜4，∴a＜5，解分式方程得y＝，∵y﹣2≠0，∴≠2，∴a≠4，∵关于y的分式方程的解为非负数，∴a的值为1，2，3，∴符合条件的所有整数a的和为1+2+3＝6．故选：A．14．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程＝的解为非负数，那么满足条件的所有整数a的值之和为（）A．6B．10C．11D．15【解答】解：不等式组整理得：，∵关于x的不等式组有解，∴a﹣1＜3，即a＜4，解分式方程＝得y＝，∵关于y的分式方程＝的解为非负数，∴，且≠2，解得，a≥1，且a≠4∴1≤a＜4，∵a为整数，∴a＝1或2或3，∴满足条件的所有整数a的值之和：1+2+3＝6．故选：A．15．关于x的分式方程+1＝的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣2【解答】解：关于x的分式方程+1＝的解为x＝，∵关于x的分式方程+1＝的解为正数，∴a+4＞0，∴a＞﹣4，∵关于x的分式方程+1＝有可能产生增根2，∴，∴a≠﹣1，解关于y的一元一次不等式组得，∵关于y的一元一次不等式组有解，∴a﹣2＜0，∴a＜2，综上，﹣4＜a＜2且a≠﹣1，∵a为整数，∴a＝﹣3或﹣2或0或1，∴满足条件的整数a的值之和是：﹣3﹣2+0+1＝﹣4，故选：B．。

含参数的分式方程与不等式(组)例(2019·重庆市毕业生学业水平考试)若关于x 的不等式组⎩⎨⎧13(2x ＋1)≤－1，x －m >0无解，且关于x 的分式方程x x －2＝2－m 2－x的解为正数，那么符合条件的所有整数m 的和为( )A ．5B ．4C ．3D ．1 答案 D解析 解分式方程x x －2＝2－m2－x，得x ＝4－m ，且x ≠2，∵解为正数，x －2≠0，∴4－m >0且4－m ≠2，∴m <4且m ≠2，解不等式组⎩⎨⎧ 13(2x ＋1)≤－1，x －m >0，①②解①得x ≤－2，解②得x >m ， ∵不等式组无解，∴m ≥－2.综上m 的取值范围为－2≤m <4且m ≠2. ∵m 为整数，∴m ＝－2，－1,0,1,3， ∴符合条件的所有整数m 的和为1. 故答案选D.此类题考查分式方程的解以及解一元一次不等式组，通过题目中对分式方程的解及一元一次不等式组的解集的限制条件，正确找出m 的取值范围是解题的关键．其中，隐含限制条件“分式的分母不能为0”不可忽视．1．(2019·大渡口区二诊)如果关于x 的不等式组⎩⎨⎧x －m ≤3，4x －76>x －32的解集为x <1，且关于x 的分式方程21－x ＋mxx －1＝3有非负数解，则所有符合条件的整数m 的值之和是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2 答案 A解析解不等式组⎩⎨⎧ x －m ≤3，4x －76>x －32，①②解①得x ≤m ＋3，解②得x <1，∵不等式的解集为x <1，∴m ＋3≥1，∴m ≥－2. 解分式方程21－x ＋mx x －1＝3，得x ＝13－m .∵方程有非负数解，且分母不为0， ∴3－m >0，且13－m≠1，∴m <3且m ≠2， 综上－2≤m <3且m ≠2，∴所有符合条件的整数m 为－2，－1,0,1，其和为－2. 故答案为A.2．(2019·重庆市巴蜀中学九年级二模)使得关于x 的不等式组⎩⎨⎧x >m －2，－2x ＋1≥4m －1有解，且使分式方程1x －2－m －x 2－x＝2有非负整数解的所有m 的和是( )A ．－1B ．2C ．－7D ．0 答案 C解析 解不等式组⎩⎨⎧ x >m －2，－2x ＋1≥4m －1，①②由①得x >m －2，由②得x ≤－2m ＋1， ∵不等式组有解，∴m －2<1－2m ，得m <1. 解分式方程1x －2－m －x 2－x ＝2，得x ＝m ＋53， ∵分式方程有非负整数解且x ≠2， ∴m ＋53≥0且m ＋53≠2，解得m ≥－5且m ≠1，综上－5≤m <1.又m ＋53为非负整数，∴m ＝－5，－2，∴所有m 的和为－7.故答案为C.3．若关于x 的分式方程2a x －1－3＝3－x 1－x的解为整数，且关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋43－1>x －32，2(x －a )>x ＋6的解为正数，则符合条件的整数a 有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 答案 A解析解不等式组⎩⎨⎧ x ＋43－1>x －32，2(x －a )>x ＋6，①②解①得x <11，解②得x >2a ＋6， ∴不等式组的解集为2a ＋6<x <11， 又不等式组的解为正数，∴⎩⎨⎧2a ＋6≥0，2a ＋6<11，解得－3≤a <2.5，解分式方程2a x －1－3＝3－x 1－x ，解得x ＝a ＋32，∵分母不为零，∴a ＋32≠1，∴a ≠－1.又a ＋32为整数且－3≤a <2.5，∴a ＝－3,1，∴符合条件的整数a 有2个． 故答案为A.4．(2019·重庆市东岸区中考一模)使得关于x 的不等式组⎩⎨⎧6x －a ≥－10，－1＋12x <－18x ＋32有且只有4个整数解，且关于x 的分式方程ax －14－x ＋27x －4＝－8的解为正数的所有整数a 的值之和为( )A ．11B ．15C ．18D ．19 答案 A解析由不等式组⎩⎨⎧ 6x －a ≥－10，－1＋12x <－18x ＋32，①②解①得x ≥a －106，解②得x <4.所以不等式组的解集为a －106≤x <4.∵x 有且只有4个整数解， ∴其整数解为0,1,2,3，则－1<a －106≤0，即4<a ≤10，解分式方程ax －14－x ＋27x －4＝－8，得x ＝48－a， ∵解为正数，∴8－a >0，a <8， 又x ≠4即48－a≠4，a ≠7，∴a 取值范围为4<a <8且a ≠7，∴a ＝5,6， ∴所有整数a 的值之和为5＋6＝11. 故答案为A.5．(2019·重庆三校九年级一诊)若整数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x 2≥x －2，x3－(x －2)>23的解为x <2，且使关于x 的分式方程x －14－x ＋a ＋5x －4＝－4的解为正整数，则满足条件a 的值之和为( )A ．12B ．11C ．10D ．9 答案 A解析解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x 2≥x －2，①x 3－(x －2)>23， ②解①得x ≤a ＋4，解②得x <2，∵不等式组的解为x <2，∴2≤a ＋4，∴a ≥－2， 解分式方程x －14－x ＋a ＋5x －4＝－4，得x ＝10－a 3. ∵分母不能为0，∴10－a3≠4，∴a ≠－2，综上a >－2. 又x ＝10－a3为正整数，∴a ＝1,4,7， ∴满足条件a 的值之和为1＋4＋7＝12. 故答案为A.6．(2019·重庆市南岸区九年级中考一诊)若数k 使关于x 的不等式组⎩⎨⎧3x ＋k ≤0，x 3－x －12≤1只有四个整数解，且使关于y 的分式方程k y －1＋1＝y ＋ky ＋1的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为( )A ．2B ．0C ．－3D ．－6 答案 A解析解不等式组⎩⎨⎧3x ＋k ≤0， ①x 3－x －12≤1， ②解①得x ≤－k3，解②得x ≥－3，∴不等式组的解集为－3≤x ≤－k3，∵不等式组有四个整数解， ∴0≤－k3<1，∴－3<k ≤0，解分式方程k y －1＋1＝y ＋ky ＋1得y ＝－2k ＋1， ∵分式方程的解为正数，∴－2k ＋1>0且－2k ＋1≠－1，－2k ＋1≠1， 解得k <12且k ≠0，k ≠1，综上，k 的取值范围为－3<k <0，则符合条件的所有整数k 的积为－2×(－1)＝2. 故答案为A.7．(2019·育才中学九年级下二诊)若整数m 使得关于x 的分式方程xx －2＋m ＋12－x＝2有非负整数解，关于y 的不等式组⎩⎨⎧y 2＋1≥y ＋23，5(y －1)<y －(m ＋3)有且只有3个整数解，则所有符合条件的m 的和是( )A ．－3B ．－2C ．0D ．2 答案 A解析解不等式组⎩⎨⎧y 2＋1≥y ＋23， ①5(y －1)<y －(m ＋3)， ②解①得y ≥－2，解②得y <2－m4， ∴不等式组的解集为－2≤y <2－m4， ∵不等式组只有3个整数解，∴0<2－m4≤1， 解得－2≤m <2， 解分式方程xx －2＋m ＋12－x＝2，得x ＝－m ＋3且x －2≠0， 即－m ＋3－2≠0得m ≠1，要使x ＝－m ＋3为非负整数，则m ＝－2，－1,0， ∴所有符合条件的m 的和是－2＋(－1)＋0＝－3. 故答案为A.8．(2019·重庆一中下学期定时作业)实数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧13x －1≤x －12，12a －3x >0有且只有4个整数解，且使关于x 的分式方程2x －1＋5－a1－x＝－2的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为( )A ．7B ．10C ．12D ．1 答案 A解析解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧13x －1≤x －12，①12a －3x >0， ②解①得x ≥－3，解②得x <16a ，∴不等式组解集为－3≤x <16a ，∵不等式组有四个整数解，∴0<16a ≤1，∴0<a ≤6，解分式方程2x －1＋5－a 1－x ＝－2得x ＝5－a 2， ∵分式方程解为正数且分母不为0，5－a 2>0且5－a2≠1， 解得a <5且a ≠3，综上，0<a <5且a ≠3， 则符合条件的所有整数a 为1,2,4，∴符合条件的所有整数a 的和为1＋2＋4＝7. 故答案为A.9．(2019·重庆八中九年级月考)若数m 关于x 的不等式组⎩⎨⎧3－5x2≤9－x ，x <m至少有3个整数解且所有解都是2x －5≤1的解，且使关于x 的分式方程4x －2x －1＋3m －11－x＝2有整数解，则满足条件的所有整数m 的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析解不等式组⎩⎨⎧3－5x 2≤9－x ，①x <m ， ②解①得x ≥－5，解②得x <m ，∴不等式组的解为－5≤x <m ， ∵方程组至少有3个整数解且所有解都是2x －5≤1的解， 得－3<m ≤3，∴m ＝－2，－1,0,1,2,3， 解4x －2x －1＋3m －11－x ＝2得x ＝3m －12， ∵x 为整数且x ≠1，∴m ＝－1,3，∴答案为D.10．(2019·巴蜀一诊)如果关于x的不等式组⎩⎨⎧m －4x >4，x －112<3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12有且仅有三个奇数解，且关于x 的分式方程2－mx 2－x －30x －2＝13有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是( )A ．15B ．27C ．29D ．45 答案 C解析解不等式组⎩⎨⎧m －4x >4， ①x －112<3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12， ②解①得x <m －44，解②得x >－72， ∴不等式组的解集为－72<x <m －44，∵不等式组有且只有三个奇数解， ∴1<m －44≤3，∴8<m ≤16，解分式方程2－mx 2－x －30x －2＝13，解得x ＝6m －13， ∵分式方程有非负数解，∴m －13>0，∴m >13， 又6m －13≠2，∴m ≠16，综上所述13<m <16，∴所有整数m的和为14＋15＝29. 故答案为C.。

A．-1
B．1
C．2
6．若 3a 2b 1 ，则代数式 4b2 6ab 3a 的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．0 D．3
7．≪九章算术≫是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，
互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为 x 斤，一只燕的重量为
重庆八中初 2020 级（初三下）专项强化训练八
专项训练八 数式 不等式 方程及方程组（二）
（练习时间：50 分钟，满分：100 分）
一、选择题（每小题 4 分，共 48 分） 1．如图，数轴的单位长度为 1，如果点 A 表示的数是﹣1，那么点 B 表示的数是（ ）
A．0
B．1
C．2
2．已知四个实数 a，b，c，d，若 a＞b，c＞d，则（ ）
x 值，但一次没有结果，另一次输出的结果是 42，则这两次输入的 x 值不可能是( )
A． 0，2
B． −1，−2
C． 0，1
D． 6，−3
9．已知二元一次方程组
，则
的值是（ ）
A．﹣5
B．5
C．﹣6
D．6
10． 小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了 a＝1，b＝4，解出
20．（10 分）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A．B 两种型号的一体机．经过市场调 查发现，今年每套 B 型一体机的价格比每套 A 型一体机的价格多 0．6 万元，且用 960 万元恰好能购买 500 套 A 型一体机和 200 套 B 型一体机． （1）求今年每套 A 型、B 型一体机的价格各是多少万元？ （2）该市明年计划采购 A 型、B 型一体机共 1100 套，考虑物价因素，预计明年每套 A 型一体机的价格比 今年上涨 25%，每套 B 型一体机的价格不变，若购买 B 型一体机的总费用不低于购买 A 型一体机的总费 用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？

2021重庆年中考24题不等式一元二次方程应用题专题训练（3） 1（巴蜀2021级初三上定时训练二）温润有度，为爱加温，近年来涉及精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天宝贝的取暖神器，2019年11月下旬某商场计划购进A 、B 两种型号的暖风机共900台，每台A 型号暖风机售价为600元，每台B 型暖风机售价为900元.（1）若使A 、B 两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至少购进多少台A 型号的暖风机？（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A 、B 两种型号的暖风机全部售完，该商场在12月上旬又购进A 、B 两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台A 型号暖风机的售价比其11月下旬的而售价优惠1%2a ，A 型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的 最高购进量增加1%4a ，每台B 型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠1%5a ，B 型号暖风机12月上旬的销量比在（1）问中最低购进量增加%a ，A 、B 两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了19%46a ，求a 的值。

2（重庆一外2021级九上第四次周考）我市广柑品种丰富，有锦橙，先锋橙，冰糖柑，津华橙，春橙，五月红等等，11月份时，某果园柑橘开始售卖，如果由果农采摘后直接销售，售价为4元/斤，如果由顾客自行入园采摘，售价6元/斤，11月份累计售出2100斤.（1）若果园11月份销售额不低于10000元，则入园采摘至少售出多少斤？（2）12月份，柑橘大量成熟，为了增加销量，该果园将直接出售的售价降低3%8a ，入园采摘的售价降低%a ，结果该月直接出售的销量1600斤，入园采摘的销量比（1）中入园采摘的最低销量增加了2%a ，最终12月份的总销售额比（1）中最低销售额多1200元，求a 的值。

3（重庆一中2021级九上第三次周考)某大型文具超市销售的A 型画笔和B 型画笔都很瘦消费者喜欢，其中A 型画笔售价24元/支，B 型画笔售价16元/支，第一周A 型画笔的销量比B 型画笔多200支，且两种画笔的总销售额为12800元.（1）第一周A 型画笔、B 兴华比的销量为多少支？（2）该文具超市第二周继续销售这两种画笔，第二周A 型画笔售价降低1%3a ，销量比第一周增加了4%3a ，B 型画笔售价不变，销量比第一周增加了1%5a ，结果这两种画笔第二周的总销售额比第一周的总销售额增加了3%5a ，求a 的值.4（重庆育才2021级九上第一次月考复习）螺蛳粉是柳州知名小吃，某分店经理发现：当每碗米粉的售价为6元是，每天能卖出450碗；当每碗米粉的售价没增加0.5元是，每天就会少买15碗。