中考数学复习讲义14次

中考复习讲义

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板块一：一次函数与几何综合

【例1】】(2010门头沟二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与334yx

交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点。

⑴求点A的坐标。

⑵当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标。

⑶在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出有几种情况。

板块二：反比例函数与几何综合

【例2】(2010顺义二模)在平面直角坐标系xOy中，A、B为反比例函数4(0)yxx的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将4(0)yxx的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A′ ，B点的对应点为B′ 。

⑴求旋转后的图象解析式；

⑵求A′、B′点的坐标；

⑶连结AB′ 。动点M从A点出发沿线段AB′以每秒1个单位长度的速度向终点B′运动；动点N同时B′点出发沿线段B′ A′以每秒1个单位长度的速度向终点A′运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动。设运动的时间为t秒，试探究：是否存在使△MN B′为等腰直角三角形的t值，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。

代数几何综合初步（上） 中考复习讲义

2

板块三：二次函数与几何综合

【例3】如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H。在抛物线y＝x2(x＞0)上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是______。

【例4】(江苏中考)已知二次函数的图象如图所示。

⑴求二次函数的解析式及抛物线顶点的坐标；

⑵若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q。当点N在线段BM上运动时(点N不 与点B，点M重合)，设OQ的长为t，四边形

NQAC面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

⑶在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

⑷将△OAC补成矩形，使得△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程)。 代数几何综合初步（下） 中考复习讲义

3

【例5】(2009四川成都)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝a(x＋1)2＋c(a＞0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y＝kx－3，与x轴的交点为N，且310cos10BCO。

⑴求此抛物线的函数表达式；

⑵在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

⑶过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q。若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

测试题

演练1 在平面直角坐标系xOy中，已知直线32333yx交x轴于点C，交y轴于点A。等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，如图1所示。把三角板绕着点O中考复习讲义

4 顺时针旋转，旋转角度为0180°°，使B点恰好落在AC上的B处，如图2所示。

图1yxABC(D)O11 图211ODCB'BAxy

⑴求图1中的点B的坐标；

⑵求的值；

⑶若二次函数23ymxx的图象经过⑴中的点B，判断点B是否在这条抛物线上，并说明理由。

演练2 (2009平谷一模)如图，点1Amm，，31Bmm，都在反比例函数kyx的图象上。

⑴求mk，的值；

⑵如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点ABMN，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式。

OyxAB

答 案

【解析1】⑴∵直线AC的解析式为32333yx，交x轴于点C，交y轴于点A，

∴点A的坐标为2303，，点C的坐标为20，。

∵等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，

∴2OD，45BOD。

过点B作BMOC于M，

∴112OMOD，

∴点B的坐标为11，。

⑵∵233OA，2OC，90AOC，∴30ACO。

过点O作OEAC于E，∴1OE。 M11OC(D)BAxyEyABB'CDO11中考复习讲义

5 ∵在RtBEO△′中，2OB′，1OE，

∴45BOE′。∴90EOD。

又∵60EOC，∴30COD，

∴30。

⑶判断：点B′在直线AC上。

理由：∵点B′在直线AC上，

∴设点B′的坐标为32333aa，。

∵2222323233aaOB′

解方程，得1132a，2132a（不合题意，舍去）

∴点B′的坐标为133122，。

又∵二次函数23ymxx过点11B，，

∴2m。

∴二次函数的解析式为223yxx。

把132x代入223yxx，得312y，

∴点B′在这条抛物线上。

【解析2】⑴由题意可知：131mmmm，解得3m。

∴34A，，62B，， ∴12k。

⑵存在两种情况：如图

①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，

设1M点坐标为10x，，1N点坐标为10y，。

∵四边形11ANMB为平行四边形，

∴线段11NM可看作由线段AB向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）。

由⑴知A点坐标为34，，B点坐标为62，，

∴1N点坐标为02，， 1M点坐标为30，，

设直线11MN的函数表达式为12ykx，

把30xy，代入，解得123k。

∴直线11MN的函数表达式为223yx。

②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，

设2M点坐标为20x，，2N点坐标为20y，。

∵11221122ABNMABNMABNMABNM∥，∥，，，

∴11221122NMMNNMMN∥，，∴四边形1221NMNM为平行四边形。

∴点1M、2M与线段1N、2N关于原点O成中心对称。

∴2M点坐标为30，，2N点坐标为02，。 xyOM2N2N1M1BA中考复习讲义

6 设直线22MN的函数表达式为22ykx，

把30xy，代入，解得223k，∴直线22MN的函数表达式为223yx。

所以，直线MN的函数表达式为223yx或223yx。

新课标剖析

考试内容 考试要求层次

A B C

二次函数 能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象 能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其它知识结合的有关问题

板块一 知识点梳理

知识点睛

★1．定义：形如2(0)yaxbxca的函数称为二次函数。

2．二次函数的图象：二次函数的图象是一条曲线，称为抛物线。

★3．二次函数的对称轴为2bxa；顶点坐标为 2424bacbaa，。

开口方向：当a＞0时，开口方向向上；当a＜0时，开口方向向下；开口大小由|a|决定， |a|越小开口越大； |a|越大开口越小；开口大小相同，则|a|相等；

对称轴位置：当a、b同号时，对称轴在y轴左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴右侧；当b＝0时，对称轴与y轴重合；用四个字总结对称轴与y轴的位置关系为“左同右异”；

二次函数的最值：当a＞0时，二次函数在2bxa处取得最小值2min44acbya；当a＜0时，二次函数在2bxa处取得最大值2min44acbya。

★4．二次函数解析式的三种表示形式： 二次函数（上） 中考复习讲义

7 ①一般式：2(0)yaxbxca

②顶点式：2224()(0)24bacbyaxhkyaxaaa或

③交点式：12()()(0)yaxxxxa其中12xx，是方程20axbxc的两个实根。

★5．⑴当02baxa，时，y随x的增大而减小；2bxa时，y随x的增大而增大。

⑵当02baxa，时， y随x的增大而增大；2bxa时，y随x的增大而减小。

★6．当240bac时，抛物线与x轴有2个交点，关于2bxa对称，交点之间的距离为24baca。

当240bac时，抛物线与x轴有1个交点，即为抛物线的顶点。

当240bac时，抛物线与x轴有0个交点。

★7．抛物线平移的规律可总结为八个字是“左加右减，上加下减”。

8．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)关于x轴对称的抛物线解析式为y＝-ax2－bx－c；关于y轴对称的抛物线解析式为y＝ax2－bx＋c；关于原点对称的抛物线解析式为y＝-ax2＋bx－c

板块二 中考真题

二次函数的图象与性质

【例1】⑴(2009年陕西省)根据下表中的二次函数2yaxbxc的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴(

)

A．只有一个交点

B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧

C．有两个交点，且它们均在y轴同侧

D．无交点

⑵(2010年杭州市)定义[a，b，c]为函数2yaxbxc的特征数，下面给出特征数为[21]mmm，1-，的函数的一些结论：

①当m＝－3时，函数图象的顶点坐标是18()33，；