上海中学2021届高三上学期数学周测卷01(答案简答)

1上海中学2024学年第一学期高三年级数学周测一2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知集合{}|02A x x =≤≤，{}|10B x x =−<，则AB =________．2．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为45，则a 的值为________．3．已知函数()221f x x =+，则()()22Δx f Δx f limΔx→−−=________．4．已知()()3993log log log log x x =，则x 的值为________． 5．已知()35P A =，()15P A B =，()1|2P A B =，则()P B =________．6．已知1tan 3x =，则sin sin cos 3cos 2cos 2cos x x x x x x +=________．7．已知等差数列{}n a 的公差为3π，且集合{}|,*n M x x sina n N ==∈中有且只有4个元素，则M 中的所有元素之积为________． 8．已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=−，向量c 与3a b +平行，则b c +的最小值 为________．9．已知实数x ，y 满足491x y +=，则1123x y +++的取值范围是________．10．向量集合(){}|,,,S a a x y x y R ⊂=∈，对于任意a ，b S ∈以及任意[]0,1t ∈，都有()1ta t b S +−∈，则称集合S 是“凸集”．现有4个命题：①集合(){}2|,,M a a x y y x ==≥是“凸集”；②若S 是“凸集”，则集合{}2|T a a S =∈也是“凸集”； ③若1A ，2A 都是“凸集”，则12A A 也是“凸集”；④若1A ，2A 都是“凸集”，且交集非空，则12A A 也是“凸集”其中所有正确命题的序号是________．211．已知双曲线22:145x y C −=的左右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与C 的左、右支分别交于P Q 、（P ,Q 均在x 轴上方）．若直线1PF ，2QF 的斜率均为k ，且四边形21PQF F的面积为k 的值为________．12．设函数()11xf x e =+图像上任意—点处的切线为1l ，总存在函数()sin g x a x =+(0)x a >图像上一点处的切线2l ，使得12∥l l ，则实数a 的最小值是________． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13．一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件M 为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与M 相互独立的事件是（ ）．A ．第一次朝上的数字是偶数B ．第一次朝上的数字是1C ．两次朝上的数字之和是8D ．两次朝上的数字之和是714．如图所示，曲线C 是由半椭圆221:1(0)43x y C y +=<，半圆()222:(1)10C x y y −+=≥和半圆()223:(1)10C x y y ++=≥组成，过1C 的左焦点1F 作直线1l 与曲线C 仅交于A ，B 两点，过1C 的右焦点2F 作直线2l 与曲线C 仅交于M ，N 两点，且12∥l l ，则AB MN +的最小值为（ ）． A ．3B ．4C ．5D ．615．数列{}n a 中，12a =，211n n n a a a +=−+，记12111n nA a a a =+++，12111n nB a a a =⋅⋅⋅，则（ ）． A ．202420241A B +> B ．202420241A B +< C ．2024202412A B −>D．2024202412A B −<316．在直角坐标平面xOy 中，已知两定点()12,0F −与()22,0F ，1F ，2F 到直线l 的距离之差的绝对值等于l 上的点组成的图形面积是（ ）． A ．4π B ．8 C ．2π D ．4π+ 三、解答题(共5道大题,共76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且)cos a bC C =+．（1）求角B 的大小；（2）已知BC =，D 为边AB 上一点，若1BD =，2πACD ∠=，求AC 的长．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =． （1）求证：11BC A C ⊥；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值．19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)五月初某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文篮选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过则征文通过筛选；若均审核不通过则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为34，45，37，且各老师的审核互不影响．（1）已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率；（2）从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布和期望．4520.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分)设直线()0y kx b k =+≠与抛物线2:4C y x =交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12(0)y y a a −=>．M 是弦AB 的中点，过M 作平行于x 轴的直线交抛物线C 于点D ，导到ABD ；再分别过弦AD 、BD 的中点作平行于x 轴的直线依次交抛物线C 于点E 、F ，得到ADE 和BDF ；按此方法继续下去． （1）用k ，b 表示a ；（2）用a 表示三角形ABD 的面积ABDS；（3）根据以上结果，求抛物线C 与线段AB 所围成封闭图形的面积S ．621.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第(3)小题满分8分)已知函数()3(1)2xf x lnax b x x=++−−． （1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值； （2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >−当且仅当12x <<，求b 的取值范围．参考答案一、填空题1.(],2−∞;2.;3.-8;4.81;5.45; 6.109; 7.14;8.;9.(; 10.①②④；11.12.5411．已知双曲线22:145x yC−=的左右焦点分别是1F，2F，直线l与C的左、右支分别交于P Q、（P,Q均在x轴上方）．若直线1PF，2QF的斜率均为k，且四边形21PQF F的面积为k的值为________．【答案】【解析】由题意绘制示意图如图所示：由双曲线方程可得:2,3a c==,因为直线1PF、2QF的斜率均为k,所以直线12//PF QF, 在三角形12QF F中, 设2QF x=，则124QF a x x=+=+，设2QF的倾斜角为θ, 则由余弦定理得2236426x xcosx+−+π−θ=⨯解得2523QF xcos==−θ,同理可得：1523PFcos=+θ所以四边形21PQF F的面积:12121152223S PF QF F F sincos=+⨯⨯θ=⨯++θ5623sincos⨯⨯θ=−θ解得sinθ=sinθ=(舍去),故k tan=θ=故答案为:.12．设函数()11xf xe=+图像上任意—点处的切线为1l，总存在函数()sing x a x=+ (0)x a>图像上一点处的切线2l，使得12∥l l，则实数a的最小值是________．【答案】54【解析】()1,1xf xe=+()()21',112xx xxef xe ee∴=−=−+++78[)()112,'0.4x x e ,f x ,e ⎡⎫+∈+∞∴∈−⎪⎢⎣⎭而()(),'1[1g x asinx x g x acosx a =+=+∈−,1]a +,要使题意成立，则有114a −≤−且10…a +,解得54a ≥,∴实数 a 的最小值为54 故答案为:54二、选择题13.D 14.C 15.C 16.D15．数列{}n a 中，12a =，211n n n a a a +=−+，记12111n nA a a a =+++，12111n nB a a a =⋅⋅⋅，则（ ）． A ．202420241A B +> B ．202420241A B +< C ．2024202412A B −>D ．2024202412A B −<【答案】C【解析】由2112,1n n n a a a a +==−+, 可得24213,a =−+=由()111n n n a a a +−=−, 可得111111n n na a a +=−−−即有111111n n n a a a +=−−−,则122311111111n A a a a a =−+−+⋯+−−−−111111111111n n n a a a a ++−=−=−−−−−111n a +− 由1111n n n a a a +−=−, 可得121231111111111111n n n n n a a a a B a a a a a +++−−−−=⋅⋅⋯⋅==−−−−−可得1n n A B +=, 故AB 错误;121,1n n n A B a +−=−−由()2110n n n a a a +−=−>, 即1n n a a +>, 可得数列{}n a 为递增数列,又320259317,,5,a a =−+=⋯>由202521111122a −>−=−, 可得2024202412A B −>，故选：C .16．在直角坐标平面xOy 中，已知两定点()12,0F −与()22,0F ，1F ，2F 到直线l 的距离之差的绝对值等于l 上的点组成的图形面积是（ ）． A ．4π B ．8 C ．2π D ．4π+ 【答案】D【解析】设直线l的方程为0Ax By C++=,=所以22A C A C−+−+=当()()220…A C A C−++,即224…C A时,4A=化简可得22A B=,所以|,2CA B≥=如图,则正方形12AF BF上及外部的点均在直线l上;当()()220A C A C−++<,即224C A<时,2C=22222C A B=+设直线l的方程为0Ax By C++=上任意一点(0x,0y), 则000Ax By C++=,由()()()2222220000A B x y Ax By C++≥+=可知22002x y+≥,又2222224C A B A=+<,则221AB>,所以，与圆222x y+=相切的直线所扫过的点均在直线l上;综上, 平面上不在任何一条直线I上的点组成的图形面积是21244⎤⨯π=+π⎥⎦,故选：D.三．解答题17.（1）6π（218.（1）证明略（219.（1）15P=（2）PQ=20．（1）2216(1)kba=k−（2）332ABDSa=（3）324Sa=91021.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第(3)小题满分8分)已知函数()3(1)2xf x lnax b x x=++−−． （1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值； （2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >−当且仅当12x <<，求b 的取值范围． 【答案】（1）-2（2）见解析（3）23,⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由0220xx x ⎧⎪⎨⎪>−≠⎩−, 解得02x <<，所以函数()f x 的定义域为()02,,当0b =时,()2xf x lnax x=+−,所以()11'02f x a x x =++≥−, 对02x ∀<<恒成立， 又()112222a a a x x x x ++=+≥+−−, 当且仅当1x =时取"'"=, 所以只需20…a +, 即2…a −,所以a 的最小值为-2 . (2)证明:()02x ,∈， ()()()222(1x f x f x lna xb x x−−+=+−+−()33)122x lnax b x a x +++−=− 所以()f x 关于点()1,a 中心对称.(3) 因为()2f x >−当且仅当12x <<,所以1x =为()2f x =−的一个解， 所以()12f =−, 即2a =−,先分析12x <<时,()2f x >−恒成立,此时()2f x >−, 即为()321(1)02xlnx b x x+−+−>−在()12,上恒成立, 设()1,01t x t ,=−∈, 则31201t lnt bt t+−+>−在()01,上恒成立, 设()()312,011t g t ln t bt t ,t +=−+∈−,则()()222223232'2311t bt b g t bt t t −++=−+=−− 当0…b 时,232332220bt b b b −++>−++=>,所以()'0g t >恒成立,11 所以()g t 在()01,上为增函数,所以()()00g t g >=, 即()2f x >−在()12,上恒成立, 当203…b −<时,2323230…bt b b −++>+所以()'0g t >恒成立,故()g t 在()01,上为增函数, 故()()00g t g >=,即()2f x >−在()12,上恒成立, 当23b <−,即当01t <<时,()'0g t <,所以在0⎛ ⎝上()g t 为减函数, 所以()()00g t g <=, 不合题意, 舍去,综上所述,()2f x >−在()12,上恒成立时,23…b −, 而23…b −时, 由上述过程可得()g t 在()01,单调递增,所以()0g t >的解为()01,,即()2f x >−的解为()12,,综上所述,23…b −,所以b 的取值范围为23,⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭.。

2021年高三上学期第一次周练数学试卷 Word 版含答案考试时间：100分钟 班级 姓名 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 请注意答题的准确度. 1．已知复数( i 是虚数单位，R )，则 ． 【解析】因为i 215)i 21(5)i 21)(i 21()i 21(5i 215+=+=+-+=-，所以3． 2．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收入家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 ． 【解析】因为抽取的比例为，所以中等收入家庭应抽取的户数为．3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ︱x 2－x －6≥0，x ∈R }，则N ∩(∁U A )＝ ． 【解析】因为A ＝{x ︱x 2－x －6≥0，x ∈R }＝{x ︱x ≤－2，或x ≥3}， 所以∁U A ＝{x ︱－2＜x ＜3}，所以N ∩(∁U A )＝{0，1，2}．4．从中随机选取一个数a ，从中随机选取一个数b ，则的概率为 ． 【解析】因为所有的基本事件个数为5×3=15，满足a ＞2b 的有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)共4个基本事件， 所以a ＞2b 的概率为．5．如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值 ．【解析】当x ＜0时，y ＝log 2(x +5)＝3，得x +5＝8，所以x ＝3(舍去)； 当x ≥0时，y ＝x 2－3x －1＝3，解得x ＝4或x ＝－1(舍去)．所以输入值x ＝4．6．函数的定义域是 .【解析】因为，所以，即(x －1)(x －2)＞0，解得x ＜1，或x ＞2． 所以定义域为(－∞，1)∪(2，+∞)． 7．函数的值域为 ． 【解析】因为，所以，所以，又． 所以值域为(0，2]．8．函数，的单调减区间为 . 【解析】因为)4sin(2)cos 22sin 22(2cos sin π-=-=-=x x x x x y ， 当时，．又函数的单调减区间为，令，得．所以单调减区间为．9．已知函数R的值域为，则满足条件的实数a组成的集合是．【解析】因为值域为，所以二次函数的开口向下，且与x轴只有一个交点.所以，解得a＝－2．所以实数a组成的集合是{－2}．10．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈(0,2)时，f(x)＝x2＋1，则f(123) 的值为．【解析】因为f(x＋4)＝f(x)，所以f(123)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)．因为x∈(0,2)时，f(x)＝x2＋1，所以f(1)＝12＋1＝2，所以f(123)＝－f(1)＝－2．11．已知函数有两个零点，那么实数a的值为．【解析】因为．令，得.又因为有两个零点，所以或，即或，所以实数a的值为6或－6．12．已知下列四个命题，其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上)．(1) 命题“R，使得”的否定是“R，都有”；(2) 命题“在中，若，则”的逆命题为真命题；(3) “”是“函数在处取得极值”的充分不必要条件；(4) 直线不能作为函数图象的切线.【解析】(1)应为“R，都有”．所以(1)错误；(2) 逆命题为“在中，若，则”，由正弦定理，得，从而有，所以(2)正确；(3)因为时，在处不一定取得极值(例如在处)；但在处取得极值，则，所以应是必要不充分条件，故(3)错误；(4)因为恒成立，所以切线的斜率不能为，故(4)正确.因此填(2)(4).13. 已知函数当时，f(x)的取值范围为，则实数m的取值范围是．【解析】当时，，由，得.因为当时，f(x)的取值范围为，实数m的取值范围是[－8，2]．14. 已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，若m，n∈ [-1，1]< f (1-x)的解集为．【解析】因为f(x)是奇函数，所以，所以>0可变形为：，即，根据单调性的定义，可知：f (x )是定义在[-1，1]上的增函数，所以由不等式< f (1-x )，得： ，解得．故不等式< f (1-x )的解集为．二、解答题：本大题共4小题，共计58分. 请注意：答题要规范，步骤要完整. 15. (本小题满分14分)已知命题p ：；命题q ：关于m 的方程 有实数解．(1) 当时，若p 为真命题，求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)当时，若p 为真，则，因为p 为真命题，所以实数x 的取值范围是． (2)因为p ：11111+<<-⇒<-<-⇒<-a x a a x a x ， q ：关于m 的方程有实数解， 所以．因为p 是q 的充分不必要条件，所以是的真子集． 所以或，即或，故实数a 的取值范围为．16. (本小题满分14分)已知向量．(1) 若且，求x 的值；(2) 设，求在区间上的最小值． 【解析】(1)由，得，即， 所以或，即或．因为，所以x 的值为或．(2)因为x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2cos 2)(2++=+=⋅= )42sin(21)2cos 222sin 22(21π++=++=x x x ， 当时，，所以当，即时，0)22(2145sin 21)(min =-⨯+=+=πx f ． 即在区间上的最小值为0．17. (本小题满分14分)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝12时，因为，x ∈[1，＋∞)．所以恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)为增函数． 所以当时，f (x )的最小值为．(2)因为对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＝x2＋2x＋ax＞0恒成立，所以在x∈[1，＋∞)上恒成立，所以，x∈[1，＋∞)．因为在x∈[1，＋∞)上单调递减，所以当时，．所以，即实数a的取值范围为．18. (本小题满分16分)设函数，R．(1) 若，求的极值；(2) 讨论的单调性；(3) 若函数在定义域内为单调函数，求a的取值范围．【解析】(1)当时，，x∈(0，＋∞)．由，得．所以当时，，递减；当时，，递增．所以当时，取得极小值2－2ln2．(2)因为，①当a≤0时，因为x＞0，所以恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.②当a＞0时，令，解得；令，解得．所以f(x)在(0，)上单调递减，在上单调递增.(3)因为在定义域(0，＋∞)内为单调函数，且.①当a≤0时，因为x＞0，所以恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减.(符合题意)②当a＞0时，由已知，得在(0，＋∞)上恒成立，则在(0，＋∞)上恒成立，即在(0，＋∞)上恒成立，所以，x∈(0，＋∞)．因为(当且仅当，即时取＝).即，所以．综上，实数a的取值范围为．426063 65CF 族339989 9C35 鰵22937 5999 妙>36332 8DEC 跬E!22491 57DB 埛dg27040 69A0 榠d40435 9DF3 鷳。

2021年高三上学期周日（1.17）考试数学试题含答案本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足( i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.2. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A． B． C．2 D．1则此数列前30项和等于（）3.在等差数列中，,A．810 B．840 C．870 D．900 Array 4. 设，则p是q成立的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5. 设函数,( )（A）3 （B）6 （C）9 （D）126.将函数的图像左移个单位，得到函数的图像，则下列说法正确的是（）A．是奇函数 B．的周期是C．的图像关于直线对称 D．的图像关于对称A ．2或B ．C ．-2或D ．7.. 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．cm 3B ．cm 3C ．cm 3D ． cm 38. 下列命题中正确的个数是（ ）①过异面直线a,b 外一点P 有且只有一个平面与a,b 都平行； ②异面直线a,b 在平面α内的射影相互垂直则a ⊥b ；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④直线a,b 分别在平面α，β内，且a ⊥b 则α⊥β； A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．等比数列的各项均为正数，且，则＝( ) A ． 12B ．10C ．8D ．2＋10．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4 C．a ≤2 D ．0<a ≤3第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把将答案填在答题卡的相应的横线上．11.已知数列的前n 项和，则的通项公式________． 12.已知，则的值为________．13. 菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则 的最大值为____________.14. 若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只 有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_______.15．已知函数，().若对一切恒成立，则的取值集合 为 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知f(x)＝3sinωx－2sin2ωx2(ω>0)的最小正周期为3π.(1)当x ∈[π2，3π4]时，求函数f(x)的最小值；(2)在△ABC 中，若f (C)＝1，且2sin2B ＝cosB ＋cos(A －C)，求sinA 的值．ODBAD 1C 1B 1A 117.（本小题满分12分）已知函数2()sin(2)4sin 2(0)6f x x x πωωω=--+>，其图象与轴相邻 两个交点的距离为．（1）求函数的解析式；（2）若将的图象向左平移个长度单位得函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调增区间．18. 已知函数()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值.19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中，，为中点. （1）求证：平面 ； （2）求锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知数列满足：*121113,,2(2,)44n n n a a a a a n n N +-===+≥∈，数列满足：，，数列的前项和为. （1）求证：数列为等比数列； （2）求证：数列为递增数列；（3）若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数 （1）求的单调区间；（2）设，是曲线的一条切线，证明上的任意一点都不能在直线的上方； （3）当时，方程有唯一实数解，求正数m 的值．河北武邑中学xx 学年高三周日考试（1.17）数学试题答案1. D2. A3. B4. A5. C6. D7. B 8. A9. B10. A11.12.3 13. 13. 9 14. 6 15.16..解∵f(x)＝3sin(ωx)－2·1－cos ωx 2＝3sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin(ωx＋π6)－1， 由2πω＝3π得ω＝23，∴f(x)＝2sin(23x ＋π6)－1. (1)由π2≤x≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3，∴当sin(23x ＋π6)＝32时，f(x)min ＝2×32－1＝3－1. …………6分(2)由f(C)＝2sin(23C ＋π6)－1及f(C)＝1，得sin(23C ＋π6)＝1，而π6≤23C ＋π6≤5π6， 所以23C ＋π6＝π2，解得C ＝π2. 在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2，2sin2B ＝cosB ＋cos(A －C)，∴2cos2A －sinA －sinA ＝0，∴sin2A ＋sinA －1＝0，解得sinA ＝－1±52.z yO DAD 1C 1B 1A 1A 1B 1C 1D 1ABCDO∵0<sinA<1，∴sinA ＝5－12. …………12分17. 17.解：（1）函数231()sin(2)4sin 2(0)sin 2cos 26221cos 23342sin 2cos 23sin(2)223f x x x x xx x x x πωωωωωωπωωω=-+>=--+=+=+ ，．．．．．．．．．．4分根据图象与 轴相邻两个交点的距离为，可得函数的最小周期为，求得，故函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）将的图象向左平移个长度单位得到函数()3sin 2()3sin(22)33g x x m x m ππ⎡⎤=++=++⎢⎥⎣⎦的图象，．．．．．．．．．．．．．．．7分再根据的图象恰好经过点，可得，故，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分再结合，可得增区间为、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18. 18. （1） （2）19.(1)证明：如图，连接，则四边形为正方形，所以，且，………2分 故四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面. ……………5分(2)因为为的中点，所以，又侧面⊥底面，交线为，故⊥底面。

2020-2021学年上海中学高三上数学周测卷01 2020.09 一. 填空题 1. 函数24log y x =-的定义域为2. 复数i(1+i)的实部为3. 计算：|520|lim 2n n n→∞-= 4. 已知等比数列{}n a 各项均为正数，满足22a =，835a a a =⋅，则公比q =5. 已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值为6. 已知向量，，则在上的投影为7. 函数sin cos y x x =-（x ∈R ）的单调递增区间为8. 已知Q 为有理数集，设集合{|2,,,0}X x x a b a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中：① {2|}x x X ∈；② 2{|}x X x ∈；③ 1212{|,}x x x x X +∈；④ 1212{|,}x x x x X ∈；与X 相等的集合的序号是9. 设函数()sin()6f x x πω=+（0ω>），若关于x 的方程()1f x =在区间[0,]π上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为10. 已知正数x 、y 满足2x y +=，若2212x y a x y ≤+++恒成立，则实数a 的取值范围是 11. 已知,a b ∈R ，函数22||()2x ax b x ax b f x +++--=的最小值为2b ，则b 的取值范围是 12. 已知集合22{(,)|(cos )(sin )4,0}P x y x y θθθπ=-+-=≤≤，由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”，给出下列结论：①“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为(0,3)；② 在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为4；③ 阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C 、D ，则||33CD =+；其中正确的序号是二. 选择题13. 设、是非零向量，则“、共线”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件14. 设函数2()cos sin f x x b x =+，则“0b =”是“()f x 的最小正周期为π”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象，在新冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约25%，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院，已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗， 该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者，若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源 挤兑”现象只需要约（ ）A. 7天 B. 10天 C. 13天 D. 16天16. 如图，α、β、γ是由直线l 引出的三个不重合的半平面，其中二面角l αβ--大小为60°，γ在二面角l αβ--内绕直线l 旋转，圆C 在γ内，且圆C 在α、β内的射影分别为椭圆1C 、2C ，记椭圆1C 、2C 的离心率分别为1e 、2e ，则2212e e +的取值范围是（ ）A. 13[,)34B. 15[,)34C. 13[,)24D. 15[,)24三. 解答题17. 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E 、M 、N 分别 是BC 、1BB 、1A D 的中点.（1）证明：MN ∥平面1C DE ；（2）求直线AM 与平面1C DE 所成角的大小.18. 已知函数()2sin()cos 3f x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.19. 有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系， 设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数1()f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离.（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过1()f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利，问：垃圾投放点2ω建 在何处才能比建在中点时更加便利？20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，其中△2ABF 的周长为16，且当AB 与x 轴垂直时，AB 的长为2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当290F AB ∠=︒时，点A 在x 轴上方，求点A 的坐标；（3）若直线2AF 交y 轴于M ，直线2BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得△2ABF 的面积与△2MNF 的面积 相等？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21. 设m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 定义如下：11a =，12n n n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数. （1）若5m =，写出8a 、9a 、10a ；（2）求证：数列{}n a 单调递增的充要条件是m 为偶数；（3）若m 为奇数，是否存在1n >满足1n a =？请说明理由.2020上海中学高三上数学周测卷01参考答案一. 填空题1. (0,16]2. 1-3.52 4. 2 5. 13 6. 5- 7. 3[2,2]()44k k k ππππ-+∈Z 8. ①②④ 9. 4 10. 4(,]5-∞ 11. [0,1] 12. ①③二. 选择题13. B 14. C 15. C 16. C三. 解答题17.（1）证明略；（2）34arcsin . 18.（1）T π=；（2）max 3()1f x =+，min 31()f x -=. 19.（1）投放点1(120,0)ω，2(60,0)ω，60(10)f 表示与(10,0)B 距离最近的投放点（即2ω）的距离，∴60(10)|6010|50f =-=，同理分析，60(80)|6080|20f =-=，60(95)|12095|25f =-=. 由题意，60min (){|60|,|120|}f x x x =--，∴分类讨论， 当|60||120|x x -≤-，即90x ≤时，60()|60|f x x =-；当|60||120|x x ->-， 即90x >时，60()|120|f x x =-；综上，60|60|90()|120|90x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩ （2）由题意，min (){||,|120|}t f x t x x =--，∴||0.5(120)()|120|0.5(120)t t x x t f x x x t -≤+⎧=⎨->+⎩， ()t f x 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，∴222113(120)603600244S t t t t =+-=-+， 由题意，(60)S S <，即2360360027004t t -+<， 解得2060t <<，即垃圾投放点2ω建在(20,0)与(60,0)之间时，比建在中点时更加便利21.（1）6、3、8；（2）证明略；（3）存在.。

2021年高三上学期周练12.29数学试题含答案第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.已知集合则= .2.已知复数，其中i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于第象限.3.是的条件.（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”“既不充分也不4.依据如图给出的算法的伪代码，运行后输出的结果为 .5.袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中3个为白球，2个为红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 .6.在直角坐标系中，过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，分别交该双曲线的两条渐近线于两点，则线段的长为 .7.若向量满足，则的值为 . （第四题）8.在中，角所对应的边长分别为,若的值为 .9.若函数的值域为，则实数的取值范围为 .10.若函数在区间上单调递增，则的最大值为 .11.设数列的前n项和为若且则的通项公式为 .12.设函数.若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围为 .13.在直角坐标系中，已知点是圆上的动点，且满足.若点的坐标为（0，3），则的最大值为 .14.设函数若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为 .E二、解答题：本大题共6小题，其中第15，16，17题各14分，第18，19，20题各16分，共计90分，请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.如图，四边形为平行四边形，四边形是正方形，且的交点与是的中点，是平面DF AE G BE H CDE BD , . （1）求证：; （2）求证：平面.17.经观察，人们发现蛙鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为，其中是蛙鱼在静水中的速度（单位：km/h ），t 为行进的时间（单位：h ），k 为大于零的常数，如果水流的速度为3km/h ，蛙鱼在河中逆流行进100km.（1）将蛙鱼消耗的能量E 表示为v 的函数； （2）v 为何值时，蛙鱼消耗的能量最少？18.平面直角坐标系中已知过点的椭圆的右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，点关于坐标原点的对称点为，直线分别交椭圆的右准线于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点的坐标为，试求直线的方程；（3）记两点的纵坐标分别为，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19.设是一个公差大于0的等差数列，且满足，. （1）求数列的通项公式；（2）若数列和数列满足：，求数列的通项公式及其前项和的表达式；（3）是否存在正整数，使得是中的项？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20.已知函数和. （1）当时，求方程的实根；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：2015ln 1-10074100741-34341-24241-14142222>⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯.高三数学Ⅱ（附加题）注意事项：1.附加题供选修物理的考生使用.2.本试卷共40分，考试时间30分.3.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内，考试结束后，交回答题纸.4.请在答卷纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.B.（本小题满分10分）已知二阶矩阵的属于特征值-1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为 ，求矩阵.21.C.（本小题满分10分）已知在直角坐标系内直线的参数方程是，若以射线为极轴建立极坐标系，则圆的极坐标方程为判断直线⊙的位置关系.22.(本小题满分10分)有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为. 小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币.（1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率； （2）若用表示小华抛得正面的个数，求的分布列和数学期望； （3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率. 23.（本小题满分10分） 已知.(1)若求中含项的系数；（2）若是展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：)1()1)(1()1(2121n n n a a a a a a p +⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅.高三数学答案一、填空题：1. 2. 一 3. 充分不必要 4. 30 5. 6. 4 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 11 14.函数单调递增区间为 ………… …………8分 （2），∴的最小值1， ………………… ………………12分 由恒成立，得恒成立.所以的取值范围为 ………………… ………………………………14分15. 证明：（1）的中点是中点，又是的交点，是BE H AE G DF AE G ,， …………………2分 为平行四边形 , …………………4分………………… …7分 （2）因为所以 ………………… ………9分 又因为四边形为正方形，, ………………… …………………10分， ……………… ………………12分 因为,面. ………………… …………14分16. 解：（1）蛙鱼逆流匀速行进100km 所用的时间 …………………2分所以)),3((31003100333+∞∈-=-==v v kv v kvt kv E . ………………… … …………6分 （2）22232)3()5.4(2100)3()3(3100--=---=v v v k v v v v k E ………………… …………10分令.因为),5.4(,0)5.4,3(,3,0+∞∈<∈>>v E v v k 当时，所以当时，, 故在（3，4.5）上单调递减，在上单调递增. …………13分 所以，当时，取得最小值.即km/h 时，蛙鱼消耗的能量最小. …………… ……………… …14分 17. 解：（1）由题意，得4)023()11()023()11(22222=-+++-+-=a ，即 (2)分 因为.所以椭圆的标准方程为.………………………………………5分（2）因为），（），所以，（），，（533-58-5335801P B F .所以直线的斜率为.所以直线的方程为.………………………………………7分 解方程组得点的坐标为，…………………………9分 所以直线的方程为.………………………………………10分 （3）当直线的斜率不存在时，易得. 当直线的斜率存在时，设，则. 所以. 两式相减，得03))((4)(12121212=-++-+y y y y x x x x ）（.所以………………………………………………………………12分 所以直线的方程为. 所以2222224)1)(4(3)4(43y y x x y x k y M --+-=-+-=. 直线的方程为……………………………………14分 所以. 因为，所以，所以9312-)1)(4(3-22222-=+-+=⋅x x x x y y N M所以为定值-9.…………………………………………………………16分 19.解：（1）法一：设等差数列的公差为， 由得,① 由，②由①、②及，解得，故………………………………………………………5分 法二：设等差数列的公差为，因，故， 因是等差数列，故由，可得， 又可解得， 故 所以 （2）由① 故)2(222211-332211-≥∈+⋅⋅⋅+++=*-n N n b b b b a n n n ，② ①-②得，即……………………………8分 又，不符合上式，所以………………………………………………………………9分于是1433212222++⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++=n n n b b b b S624212-124-22222211432-=--=+⋅⋅⋅++++=+++n n n ）（，即………………………………………………………………11分 （3）易得，………………………………………………………12分 假设存在正整数，使得，即， 所以 又为偶数，因此，不存在正整数，使得.综上，仅当时，中的项.…………………………………………16分 20.（1） 而所以方程即为令222'1111)(,1ln )(x x x x x x h x x x x h -+-=--=+-=则=，故方程有唯一的实根…………………………………4分 （2）即，设[)0)(,,1),1(ln ≤+∞∈∀--=x F x xx m x x F 即）（ .①若这与题设矛盾 ②若方程的判别式， 当，即时，， ∴在上单调递减， ∴，即不等式成立当时，方程有两正实根，设两根为，),1(2411),1,0(2411222121+∞∈-+=∈--=<mm x m m x x x ）（当单调递增，与题设矛盾，综上所述，，所以，实数m 的取值范围是………………10分 （3）由（2）知，当时，时，成立. 不妨令， 所以，)(,144)12ln()12ln(2*∈-<--+N k k k k k⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-⨯⨯<--+-⨯⨯<--⨯<-144)12ln()12ln(124243ln 5ln 11441ln 3ln 222n n n n 累加可得取n=100,即得 ...........16分 21.B 解：设，由题知， ...（2分）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=--=-333313d c b a d c b a ， ....（6分）解之得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====0312d c b a ，∴ .....(10分)21.C 解：（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程为2x-y-3=0.圆C 的极坐标方程即，化为直角坐标系方程为，即表示以A （1，1）为圆心，以为半径的圆. （2）圆心到直线的距离等于小于半径，故直线和圆相交. 22.解：（1）设A 表示事件“小华抛得一个正面两个反面”， B 表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，则,………………………………………………（2分） ，…………………………………………（4分）则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为 .………………………………………………………（6分） （2）由题意的取值为0，1，2，3，且； ；；.所求随机变量的分布列为………………………………………………………………………………………………10（分）数学期望…………………………………………12（分） （3）设C 表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”，则所求概率为2222)3()2()1()0(=+=+=+==ξξξξP P P P C P ）（=所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为.…………………………………（16分） 23.（1）解：654654)1(3)1(2)1()(3)(2)()(x x x x f x f x f x g ++++=++=， ∴中含项的系数为……………………………（3分）（2）证明：由题意，…………………………………………………………（5分） ①当n=1时，，成立；②假设当n=k 时，)1()1(1)1(2121k k k a a a a a a P +⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅）（成立， 当n=k+1时，)1(21)1()1(1211121+⋅⋅⋅≤++⋅⋅⋅++-+k k k k a a a a a a a ）（）（（）= （） ∵即，代入（*）式得)1(21)1()1(1121121+⋅⋅⋅≤++⋅⋅⋅++++k k k k k a a a a a a a a ）（）（成立. 综合①②可知，)1()1(1)1(2121n n n a a a a a a P +⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅）（对任意成立.……………（10分）31497 7B09 笉31050 794A 祊$27116 69EC 槬y29795 7463 瑣 A21312 5340 區28540 6F7C 潼37748 9374 鍴g34345 8629 蘩 22205 56BD 嚽。

2021年高三上学期第三次周考（理）数学试题含答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，集合，则等于（）A． B． C． D．2.已知复数（为虚数单位），则等于（）A． B． C． D．3.设是等差数列，若，则等于（）A．6 B．8 C．9 D．164.某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编辑为（）A．2 B．3 C．3 D．55．已知向量，且与共线，那么的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A．3 B．-6 C．10 D．128．已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．9．函数的图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则两球在正方体的面上的正投影是（）A． B．C．D．11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，直线分别与抛物线交于点，设直线的斜率分别为，则等于（）A． B． C．1 D．212．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分）13.设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则________．14.某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据，因书写不清，只记得是内的任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为________．（残差=真实值-预测值）．15.数列的通项为，前项和为，则________．16.设为的导函数，是的导函数，如果同时满足下列条件：①存在，使；②存在，使在区间单调递增，在区间单调递减，则称为的“上趋拐点”；如果同时满足下列条件：①存在，使；②存在，使在区间单调递减，在区间单调递增．则称为的“下趋拐点”．给出以下命题，其中正确的是_______．（只写出正确结论的序号）①0为的“下趋拐点”；②在定义域内存在“上趋拐点”；③在上存在“下趋拐点”，则的取值范围为；④是的“下趋拐点”，则的必要条件是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.分）17.（本小题满分12分）已知向量,若函数，（1）求时，函数的值域；（2）在中，分别是角的对边，若，且，求边上中线长的最大值．18.在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分，现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为，设为坐标原点，点的坐标为，记．（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（2）求随机变量的分布列和数学期望．19.如图，在直角梯形中，平面，．（1）求证：平面；（2）在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．20.已知两点,动点与两点连线的斜率满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）是曲线与轴正半轴的交点，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．21.已知函数，；（取为2.8，取为0.7，取），（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；（3）当时，若与的图象有两个交点，求证：．22.已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为，（1）将曲线的参数方程化为普通方程；（2）曲线与曲线有无公共点？试说明理由．23.（本小题满分10分）已知，（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）设，且，求证：．参考答案1～12． BAAB DCCA ABBA13． 14． 15．200 16．①③④17．试题解析：（1），值域； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．试题分析：（1）∵可能的取值为1、2、3，∴，（2）的所有取值为0，1，2，5．∵时，只有这一种情况，时，有1,12,12,33,3x y x y x y x y ========或或或四种情况，时，有两种情况．∴142(0),(1),(2),999P P P ξξξ====== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分则随机变量的分布列为：1 12 5因此，数学期望，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、古典概型；2、随机变量的分布列及期望．19．解：（1）如图，作，连接交于，连接，∵且，∴，即点在平面内．由平面，知．∴四边形为正方形，四边形为平行四边形，∴为的中点，为的中点．∴，∵平面，平面，∴平面．（2）法一：如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系． 则，设，∴，设平面的一个法向量为，则，令，得，∴．又∵平面，∴为平面的一个法向量， ∴2023cos ,cos 621(2)14n AE y π===⨯-++，解得， ∴在直线上存在点，且，即二面角的余弦值是．考点：线面垂直、二面角20.试题解析：（1）设点的坐标为，则，依题意，所以，化简得，所以动点的轨迹的方程为．注：如果未说明（或注），扣1分．（2）设能构成等腰直角，其中为，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设所在直线的方程为，（不妨设），则所在直线的方程为联立方程，消去整理得，解得，将代入可得，故点的坐标为．所以2814HM k==+， 同理可得，由，得，所以，整理得，解得或，当斜率时，斜率-1；当斜率时，斜率；当斜率时，斜率，综上所述，符合条件的三角形有3个．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：圆锥曲线的综合应用．21．解析：（1）由，得；∵在上递增，∴对，都有，（求出导数给1分）即对，都有，∵，∴；故实数的取值范围是．（2）设切点，则切线方程为：， 即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即， 令，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---； 令，则．当时，在上递减；当时在上递增，∴，故的最小值为-1．（3）由题意知：，，两式相加得：，两式相减得：，即， ∴21211212122112ln1ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-，即， 不妨令，记，令，则．∴在上递增，则，∴，则，∴，又1212121212122()ln ln lnx xx x x x x xx x+-<-==∴，即，令，则时，，∴在上单调递增，又1ln210.8512e=+-=<，∴1lnG=>>∴，即．22．试题解析：解：（1），，（2）消得，，所以无公共点考点：参数方程化为普通方程，直线与抛物线位置关系23．（1），（2）∵，∴只需证明：，成立即可；，333422m n m n≤---=--=，∴，故要证明的不等式成立．32676 7FA4 群K32845 804D 聍G24277 5ED5 廕33291 820B 舋 39542 9A76 驶31505 7B11 笑930081 7581 疁._H。

1崇明区2021学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷2021.12考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.已知集合{1,2},{,3}A B a ==,若{1}A B ⋂=,则A B ⋃=_______;2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+(i 是虚数单位),则复数z 的模等于_______;3.若线性方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭,解为02x y =⎧⎨=⎩,则12c c +=_______;4.计算:2213lim 124n n n n →∞⎡⎤-⎛⎫+=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦_______;5.已知(12)nx +的展开式的各项系数之和为81,则n =_______;6.直线20y -=与直线21y x =-的夹角大小等于_______;(结果用反三角函数值表示).7.在ABC中,已知8,5,a b c ===,则ABC 的面积S =_______;8.若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥的母线与底面所成角的大小等于_______;9.第24届冬季奥林匹克运动会计划于2022年2月4日在北京开幕,北京冬奥会的顺利举办将成为人类摆脱和超越疫情的标志性事件,展现人类向更美好的末来进发的期望和理想.组织方拟将4名志愿者全部分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作（每个场馆至少分配一名志愿者),不同的分配方案有_______种.10.设函数5()sin 0,2f x x m x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭的零点为123,,x x x ,若123,,x x x 成等比数列,则m =_______;211.已知双曲线2212:1y x bΓ-=的左、右焦点分别为12F F 、,以O 为顶点2F 为焦点作抛物线2Γ.若双曲线1Γ与抛物线2Γ交于点P ,且1245PF F ︒∠=,则抛物线2Γ的准线方程是_____;12.已知无穷数列{}n a 各项均为整数,且满足24141(1,2,3,)n n a a a n -=-<=⋯，,{}1,2(,1,2,)m n m n m n a a a a a m n +∈++++=⋯,则该数列的前8项和8S =_______;二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是()A.13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.3log y x= C.1y x= D.2(1)y x =-14.不等式2301xx ->-的解集为()A.3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.2,(1,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D.2,13⎛⎫⎪⎝⎭15.设O 为ABC 所在平面上一点.若实数x、y、z 满足()22200xOA yOB zOC x y z ++=++≠ ,则“0xyz =”是“点O 在ABC 的边所在直线上”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件.16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一(如图),给出下列两个命题:命题1q :曲线C 上任意一点到原点;命题2q :曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3;则下列说法正确的是()A.命题1q 是真命题,命题2q 是假命题B.命题1q 是假命题,命题2q是真命题3C.命题12,q q 都是真命题D.命题12,q q 都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1,高为2,M 为线段AB 的中点.(1)求三棱锥1C MBC -的体积;(2)求异面直线CD 与1MC 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2()6cos 23(0)f x x x ωωω=+->的最小正周期为8.(1)求ω的值及函数()f x 的单调减区间;(2)若()05f x =,且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求()01f x +的值.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）保障性租赁住房,是政府为缓解新市民、青年人住房困难,作出的重要决策部署.2021年7月,国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后,国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿.为了响应国家号召,某地区计划2021年新建住房40万平方米,其中有25万平方米是保障性租侦住房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外,每年新建住房中,保障性租货住房的面积均比上一年增加5万平方米.(1)到那一年底,该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米?(2)到那一年底,当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?4520．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）如图,已知椭圆22:143x y C +=的左焦点为1F ,点P 是椭圆C 上位于第一象限的点,M,N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方),满足PM PN⊥且11F M F N ⊥,线段PN 交x 轴于点Q .(1)若152F P =,求点P 的坐标;(2)若四边形1F MPN 为矩形,求点M 的坐标;(3)求证:||||PQ QN 为定值.621．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为D 的函数()y f x =,区间.I D ⊆若{(),}y y f x x I I =∈=∣,则称()y f x =为I 上的闭函数：若存在常数(0,1]α∈,对于任意的12,x x I ∈,都有()()1212f x f x x x α-- ,则称()y f x =为I 上的压缩函数.（1）判断命题“函数()[0,1])f x x =∈既是闭函数,又是压缩函数”的真假,并说明理由;（2）已知函数()y f x =是区间[0,1]上的闭函数,且是区间[0,1]上的压缩函数,求函数()y f x =在区间[0,1]上的解析式,并说明理由;(3)给定常数0k >,以及关于x 的函数()1kf x x=-,是否存在实数()a b a b <、,使得()y f x =是区间[a,b]上的闭函数,若存在,求出a、b 的值,若不存在,说明理由.7崇明区2022届第一次高考模拟考试参考答案及评分标准一、填空题1.{1,2,3}；2. 3.12； 4.12-； 5.4； 6.arctan 2（arccos5）；7.12；8.3π；9.36；10.2；11.1x =-；12.2-.二、选择题13.B ；14.D;15.C;16.A.三、解答题17.解：（1）由题意，得：2BC =，1BM =，BC BM ⊥，1C C ⊥平面ABCD ...........3分所以三棱锥1C MBC -的体积1111111233226BMC V S C C =⋅=⨯⨯⨯⨯= ..................................7分（2）因为//AB CD ，所以1C MB ∠就是异面直线CD 与1MC 所成的角（或其补角）..............................2分因为AB ⊥平面11BCC B 所以1AB BC ⊥1Rt MC B ∆中，1BC =，12MB =所以11tan BC C MB BM∠==所以1arctan C MB ∠=..............................6分所以异面直线CD 与1MC所成的角大小为arctan ...........................7分18.解：（1）()3cos 223f x x x x πωωω==+.........................................2分由题意，得：282T πω==，所以8πω=.........................................4分所以()sin(43f x x ππ=+由322,2432k x k k Z ππππππ+≤+≤+∈，得：21488,33k x k k Z +≤≤+∈所以函数()y f x =的单调减区间是214[8,833k k k Z ++∈...............................................7分8（3）由0()5f x =，得：05)43x ππ+=，所以045sin()43x ππ+=，因为0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0(,)4322x ππππ+∈-，所以03cos()435x ππ+=........................................4分所以0000(1)sin(3[sin()cos cos(434434434f x x x x πππππππππ+=++=+++=分19.解：（1）设从2021年起，每年建造的保障性租赁住房的面积形成数列{}n a .由题意，可知{}n a 是等差数列，其中125a =，5d =，故历年所建保障性租赁住房的累计面积2(1)545255222n n n S n n n -=+⨯=+...............3分令254547522n n +≥，因为*n N ∈，所以解得10n ≥...................5分因此，到2030年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积（以2021年为累计的第一年）将首次不少于475万平方米...................................................6分（2）设从2021年起，每年建造的住房面积形成数列{}n b .由题意，可知{}n b 是等比数列，其中140b =， 1.08q =故140(1.08)n n b -=⨯又由（1）知，255(1)520n a n n =+-=+.........................................................4分令0.85n n a b >，即152040(1.08)0.85n n -+>⨯⨯，于是1520(1.08)34n n -+<.........................................................6分使用计算器计算出相应的数据，列表如下：n1234561(1.08)n -11.081.16641.259711.360491.46933952034n +0.735290.88235 1.02941 1.17647 1.32353 1.47059解得满足上述不等式的最小整数6n =因此，到2026年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.........................................................8分20.解：（1）设1111(,)(0,0)P x y x y >>，由题意，1(1,0)F -所以15||2F P =，又2211143x y +=所以11132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点P 坐标为3(1,)2........................4分（2）连结1F P ，交MN 于点R ，则R 为1F P 中点，且R 为MN 中点所以3(1,)2P ，3(0,)4R 设(0,)(0)M m m >，(0,)N n ，则32m n +=........................2分又11(1,)(1,)10F M F N m n mn ⋅=⋅=+=........................4分所以2m =，故点M 的坐标是(0,2)........................5分（3）由（2）知，11(1,)(1,)10F M F N m n mn ⋅=⋅=+= ，所以1n m=-，由题意，221111111(,)(,)()0MP NP x y m x y n x y m n y mn ⋅=-⋅-=+-++=又2211143x y +=所以21113(90y m y m+--=........................4分所以13y m=或13y m =-（舍去）所以13||31||N PQ y m QN y m ===，为定值........................7分21.解：（1）命题为假命题，........................1分取10x =，214x =，121211()(),24f x f x x x --==10所以不存在常数(]0,1α∈，对于任意的1x ，2x I ∈，都有1212()()f x f x x x α--≤即函数()f x =([0,1])x ∈不是压缩函数.........................4分（2）因为函数()y f x =是[0,1]上的闭函数，所以{|(),[0,1]}[0,1]y y f x x =∈=设,[0,1],()0,()1a b f a f b ∈==，则1|()()|||1f a f b a b αα=-≤-≤≤所以1α=，||1a b -=所以01a b =⎧⎨=⎩或10a b =⎧⎨=⎩........................2分当01a b =⎧⎨=⎩时，任取0(0,1)x ∈，若00()f x x >，则00|()(0)||0|f x f x ->-，与函数()y f x =是[0,1]上的闭函数矛盾若00()f x x <，则0000|()(1)|1()1|1|f x f f x x x -=->-=-，与函数()y f x =是[0,1]上的闭函数矛盾所以()f x x =........................4分同理，当10a b =⎧⎨=⎩时，()1f x x =-综上所述，函数()f x x =或()1f x x =-.........................6分（3）因为()|1|0kf x x=-≥，所以0a b ≤<当0a =时，函数值(0)f 不存在，所以0a >，故k a b <<或a b k <<................2分①当k a b <<时，()1kf x x=-，函数在区间[,]a b 上单调递增，所以()()f a a f b b=⎧⎨=⎩，所以a ，b 是1kx x -=，即20x x k -+=的两个根所以214012(0)k a b k ab k k k ⎧∆=->⎪=+>⎨⎪=>>⎩，即104k <<，此时a b ==....................5分②当a b k <<时，()1kf x x=-，函数区间[,]a b 上单调递减所以()1()1k f a b ak f b ab ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，所以a b =，与a b <矛盾.............................................................7分综上所述，当14k<<，此时11411422a b==，当14k≥时，a，b不存在........................8分11。

2021年高三上学期数学周练试卷（文科）（12.8）含答案一、选择题1、若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间（）A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内2、已知函数,.若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是A. B. C. D.3、下列各小题中，p是q的充分必要条件的是( )①有两个不同的零点②是偶函数③④A．①②B．①④C．③④ D．②③4、已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（）A． B． C．4D．35．已知a＝，b＝，，则a，b，c三者的大小关系是( )A．b>c>a B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a6、若，则的值为（）A． B． C．D．7、△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，且B＝30°，△ABC的面积为，那么b为( )A．1＋B．3＋C. D．2＋8、已知数列的前项和为，且，则 ( )A．－16 B．16 C．31 D．32 9、等差数列,的前项和分别为,,若,则=（）A． B． C． D．10、下列说法中正确的是（）A．三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线一定在同一平面内D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内11、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x>0时,g(1)=0且＞0,则不等式g (x)f(x) >0的解集是（）A. (-1, 0)∪(0,1)B. (-1, 0)∪(1,+ ∞)C.(-∞, -1)∪(1,+ ∞)D.(-∞, -1)∪（0,1)12、在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,得四边形BFD1E,给出下列结论:①四边形BFD1E有可能为梯形; ②四边形BFD1E有可能为菱形; ③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形; ④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D;⑤四边形BFD1E面积的最小值为. 其中正确的是( )(A)①②③④ (B)②③④⑤ (C)①③④⑤ (D)①②④⑤二。

2021届延安中学高三年级周测一、填空题〔1-6题每题4分，7-12题每题5分〕1. 假设集合{1,3,4},{2,4}A B ==，那么A B =____________.2. 不等式1||0x -<的解集是____________.3.假设Z i =〔i 为虚数单位〕，那么2Z 的共轭复数是____________.4. 假设角α的终边经过点(3,4)P -，那么cos tan αα+=____________.5. 关于,x y 的方程组421mx y x y +=⎧⎨+=⎩无解，那么m =____________.6. 在等比数列{}n a 中，假设35727a a a =，那么5a =____________. 7. ,A B 为曲线222210x y x y +--+=上的动点，那么||AB 的最大值是____________.8. 在等差数列{}n a 中，假设13a =，公差0d ≠，那么1321242lim n n n a a a a a a -→∞+++=+++____________. 9. 假设9a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数是-84，那么a =____________. 10. 过点(1,3)-且与双曲线224xy -=有且只有一个公共点的直线有____________条 11. 设函数sin sin cos ()cos sin cos x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩，那么函数的最小值是____________. 12. 假设关于x 的方程1936(5)0x x k k k +⋅-⋅+-=在[0,2]x ∈内总有两个不同的实数解，那么k 的取值范围是____________.二、选择题〔每题5分〕 13. “4x =〞是“3x ≥〞成立的〔 〕A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 假设甲、乙两人从4门中各选修2门，那么甲、乙所选课程中恰有一门一样的选法有〔 〕A. 6种B. 12种C. 24种D. 30种15.正方体1111ABCD ABC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，假设2EF =，那么以下结论中错误的选项是〔 〕A. AC BE ⊥B. EF //平面ABCDC. 三棱锥A BEF -的体积为定值D. 异面直线AE 、BF 所成的角为定值16. 我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。

2021年高三上学期周考试题数学理word版含答案注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟.2.请用0.5mm黑色签字笔将答案直接写在答题纸上.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜logx＜2}，则A∩B等于（）2A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜4} 2．设，向量且，则（）（A）（B）（C）（D）3．在中，设命题，命题是等边三角形，那么命题是命题的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．已知函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．36．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．27．函数y=sin（x﹣）的一条对称轴可以是直线（）．．C．D．8．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A．2B．C．D．19．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．10．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为（）A．13 B．8C．9D．10第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．在数列{a n}中，a1＝15,3a n＋1＝3a n－2(n∈N＋)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的为．12．设向量，，若，则______.13．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是_________．14．设f1（x）=cosx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x）n∈N*，若△ABC 的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f xx（A）=，则sin2A的值是_________．15．给出下列命题：①函数y=cos（2x﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为_________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 16．（本小题满分12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k ﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．17．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点在角α的终边上，点在角β的终边上，且(1)求(2)求P，Q的坐标并求的值18.（本小题满分12分）已知公比为q的等比数列{a n}是递减数列，且满足（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和T n．19．在中，分别是角的对边，已知．（Ⅰ）若，求的大小；（Ⅱ）若，的面积，且，求．20．（本小题满分13分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．21．（本小题满分14分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f （x ）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf （x ）+2m ≥f （x ）恒成立，求实数m 的取值范围．高三周考数学试卷（理科）数学答案一、 选择题 1-5：BBCAD 6-10：BBAAC二、填空题11. a23·a 24 12. 13. （﹣，0） 14.15．①② 三、解答题三、解答题（第16-19题，每题12分，第20题13分，第21题14分）16．析：易得p ：k ＞0，q ：或，由p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，可得p ，q 一真一假，分别可得k 的不等式组，解之可得．解答： 解：∵函数y=kx+1在R 上是增函数，∴k ＞0，又∵曲线y=x 2+（2k ﹣3）x+1与x 轴交于不同的两点， ∴△=（2k ﹣3）2﹣4＞0，解得或，∵p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，∴命题p ，q 一真一假，①若p 真q 假，则，∴；②若p 假q 真，则，解得k ≤0，综上可得k 的取值范围为：（﹣∞，0]∪[，]17．解：（1）∵ ， ∴ ……………2分∴ ，∴ . ……………5分（2）由（1）得：， ∴， ∴ ……………7分∴ ，， ……………9分∴ ，，，， ……………11分sin()sin cos cos sin 10αβαβαβ∴+=+=- ……………12分 18．解：由a1a2a3=，及等比数列性质得=，解得a2=， 由a1+a2+a3=得a1+a3=由以上得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3，或q=．∵{an}是递减数列，故q=3舍去，∴q=，由a2=，得a1=1．故数列{an}的通项公式为an=（n ∈N*）．（II ）由（I ）知（2n ﹣1）•an=，∴Tn=1+++…+①，Tn=+++…++②．①﹣②得：Tn=1++++…+﹣=1+2（+++…+）﹣=1+2•﹣=2﹣﹣， ∴Tn=3﹣．19.即化简得：……② …………………………………………………10分又因为并联立①②解得:, …………………………………………………12分20．分析： （1）求切线方程，就是求k=f ′（1），f （1），然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决；（2）令h （x ）=g （x ）﹣f （x ），要使f （x ）≥g （x ）恒成立，即h （x ）max ≤0，转化为求最值问题．解答： 解：（1）∵f （x ）=x 2+x∴f ′（x ）=2x+1，f （1）=2，∴f ′（1）=3，∴所求切线方程为y ﹣2=3（x ﹣1），即3x ﹣y ﹣1=0；（2）令h （x ）=g （x ）﹣f （x ）=x 3﹣2x+m ﹣x 2﹣x=x 3﹣3x+m ﹣x 2∴h ′（x ）=x 2﹣2x ﹣3，当﹣4＜x ＜﹣1时，h ′（x ）＞0，当﹣1＜x ＜3时，h ′（x ）＜0，当3＜x ＜4时，h ′（x ）＞0，要使f （x ）≥g （x ）恒成立，即h （x ）max ≤0，由上知h （x ）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h （﹣1）=，h （4）=m ﹣，∵m+，∴，即m．21．解：（1）角φ的终边经过点，∴，…（2分）∵，∴．…（3分）由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，即，∴ω=3…..（5分）∴…（6分）（2）由，可得，…（8分）∴函数f（x）的单调递增区间为k∈z…（9分）（3 ）当时，，…（11分）于是，2+f（x）＞0，∴mf（x）+2m≥f（x）等价于…（12分）由，得的最大值为…（13分）∴实数m的取值范围是．…（14分）25051 61DB 懛) \37554 92B2 銲24605 601D 思22372 5764 坤23181 5A8D 媍29155 71E3 燣PQ3 21033 5229 利26476 676C 杬。

2021年高三上学期周练数学试题（B系列周练） Word版含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）1.已知集合，则________．2.设（为虚数单位，），则________．3.若函数的图象关于原点对称，则实数等于________．4.已知角的终边经过，且，则m的值为________．5.某人抛掷质地均匀的骰子，其抛掷两次的数字之和为7的概率是________．6.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是________．7.已知函数则满足的实数的取值范围是________．8.如图，在中，，若，则_________．9.设满足约束条件，则目标函数的最大值为________．10.已知数列是公差为2的等差数列，若是和的等比中项，则=_________．11.若函数满足，且在单调递减，则实数m的最大值等于________ ．12.若，且，则的值为________．13.若定义在R上的函数满足则________．14.已知函数与的图象有且只有两个公共点，则实数的取值范围是________．二、解答题：（本大题共6题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为16.（本小题满分14分）如图，在五面体中，四边形为平行四边形中，平面．（1）若，求证：；（2）若点E是SB的中点，求证：SD//平面ACE．17.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知向量．设向量，其中．（1）若，且，求实数k的值；（2）若，求实数k的最大值，并求取最大值时的值．18.（本小题满分16分）如图，某自行车手从点出发，没折线匀速骑行，其中点位于点南偏东45°且与点相距千米．该车手于上午8点整到达点A，8点20分骑至点C，点C位于点O南偏东（其中）且与点相距千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）．（1）求该自行车手的骑行速度；（2）若点正西方向27．5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3．5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．19.（本小题满分16分）已知正项数列为等比数列，数列为等差数列，数列的前n项和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前n项和；（3）设，若恒成立，求实数m 的取值范围．20.（本小题满分16分）设函数，其中，且．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，令，若函数有两个极值点，且，求的取值范围；（3）当时，试求函数的零点个数，并证明你的结论．B 系列周练（答案）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1． 2．1 3．-1 4．-8 5． 6．32 7． 8． 9．3 10．-38 11．3 12． 13．2 14.二、解答题：（本大题共6道题，计90分）15．解：（1）∵ 的图象过点，∴，又，∴， …………………………3分又∵相邻两条对称轴间的距离为，∴周期为，即∴ …………………………5分令，其中，则，其中，∴函数的单调增区间间 ……………………………7分（2）由已知，得， 即()2sin 22cos(2)233g x x x πππ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦， ……………………………9分∴， ……………………………11分故当，即时，；当，即时，． ……………………………13分16．证明：（1）因为 平面，平面，所以， ………2分又，所以，即，……………………………4分又、平面，，所以平面，又平面，所以． ……………………………7分（2）连结BD ，设，连接OE ，因为四边形为平行四边形，所以, ……………………………9分又，所以， ……………………………11分又平面,平面,所以平面． ……………………………14分17.解：（1）当时，， ………………………2分因为，所以，所以 ………………………6分 （2）依题意，，因为，所以，即．令，即，其中．令，则.则令，则． ………………………10分∴当时，，即在上单调递增；18.解：（1）由题意，知：202,513,,sin 26OA OC AOC αα==∠==由于，所以．………………3分 由余弦定理，得222cos 55AC OA OC OA OC α=+-=，………………5分 所以该自行车手的行驶速度为（千米/小时）．………………6分（2）如图，设直线与相交于点，在中，由余弦定理，得： 222232310cos 2220255OA AC OC OAC OC AC +-∠===⨯⨯ 从而2910sin 1cos 11010OAC OAC ∠=-∠=-=． ………………9分在中，由正弦定理，得：0102sin 1020sin(45)231010()OA OAM OM OAM ∠===-∠- ………………12分 由于，所以点位于点和点之间，且，过点作于点，则为点到直线的距离．在中，0535sin sin(45)7.5 3.5EH EM EMH EM OAC =∠=-∠==<， 所以该自行车手会进入降雨区． ………………16分19.解：（1）设数列的公差为，数列的公比为，由已知得：，解得或， ………………2分因为数列为正项数列，所以．所以 ………………4分（2） ………………6分所以1143112()(31)(31)3131n n n n n n c ++==----- ………………8分 n 1111111111122(-+-++)2()128826313123131n n n n T +++=-=-=----- ………………10分（3）， 222111(31)(32)184211333n n n n n n n n n d d ++++--+--=-=， ………………………………12分当时，，当时，，………………………………14分又因为，所以m 的取值范围为，…………………16分20.解：（1）依题意得，，∴．令，得；令，得，………………………………………………2分则函数在上单调递减，在上单调递增，…………………………………4分（2）由题意知：，则，……………………………5分令，得，故方程有两个不相等的正数根，则，解得，……………………………………6分由方程得，且，………………………………………………7分由，得，2222222221()21(22)ln ,12g x x x x x x x =-++-+<<，…………………………………8分 ，即函数是上的增函数，所以，故的取值范围是．……………10分（3）依题意得，，∴.令，得，∴，∵，∴函数在上单调递减，在上单调递增， …………………………11分∴01111()ln 1ln 1(1ln )f x n n n n n n n =-=+-=+-，…………………………12分 令，则，∴，∴，即．…………………………13分∵，∴，………………………………………14分又∵， ∴1111()()ln 1()ln 0n n f n ne ne ne ne=--=+>，………………………………………15分 根据零点存在性定理知，函数在和各有一个零点．……………16分27847 6CC7 泇FK|19979 4E0B 下q28740 7044 灄22211 56C3 囃38563 96A3 隣38116 94E4 铤X34182 8586 薆.。

高三年级第一次质量调研数学试卷（理）考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．=+-+∞→221lim 22n n n n ____________． 2．设集合},02{2R ∈>-=x x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-+=R x x x xB ,011，则=B A __________．3．若函数xa x f =)(（0>a 且1≠a ）的反函数的图像过点)1,3(-，则=a _________．4．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是_________． 5．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱11B A 的中点，则异面直线AM 与C B 1所成的角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．6．若圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2，则该圆锥的体积为______________．7．已知31cos 75sin sin 75cos =︒-︒αα，则=+︒)230cos(α_________．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 值是_____________．9．过点)2,1(P 的直线与圆422=+y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则实数a 的值开始1←k ，0←S2015≤k)1(1++←k k S S1+←k k输出S结束是否为___________．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是__________．11．已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ．2=AD ，1=BC ，P 是腰AB上的动点，则||PD PC +的最小值为__________．12．已知*N ∈n ，若4022221123221=+++++---n n n n n n n C C C C ，则=n ________．13．对一切实数x ，令][x 为不大于x 的最大整数，则函数][)(x x f =称为取整函数．若⎪⎭⎫⎝⎛=10n f a n ，*N ∈n ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则=20102009S __________．14．对于函数)(x f y =，若存在定义域D 内某个区间],[b a ，使得)(x f y =在],[b a 上的值域也是],[b a ，则称函数)(x f y =在定义域D 上封闭．如果函数||1)(x kxx f +=（0≠k ）在R 上封闭，那么实数k 的取值范围是______________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”是“2πϕ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 共面； ④若直线l 上有一点在平面α外，则l 在平面α外．其中错误命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．已知圆M 过定点)0,2(，圆心M 在抛物线x y 42=上运动，若y 轴截圆M 所得的弦为AB ，则||AB 等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．118．已知数列}{n a 的通项公式为113294--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=n n n a ，则数列}{n a （ ）A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，能实现要求吗？请说明理由．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知R ∈x ，设)cos sin ,cos 2(x x x m += ，)cos sin ,sin 3(x x x n -=，记函数n m x f ⋅=)(．（1）求函数)(x f 取最小值时x 的取值范围；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2)(=C f ，3=c ，求△ABC 的面积S 的最大值．α①②21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数x x a a k x f --⋅=)(（0>a 且1≠a ）是奇函数． （1）求常数k 的值；（2）若38)1(=f ，且函数)(2)(22x mf a a xg x x -+=-在区间),1[∞+上的最小值为2-，求实数m 的值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点)0,1(-F 的距离与P 到定直线4-=x 的距离之比为21． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若轨迹C 上的动点N 到定点)0,(m M （20<<m ）的距离的最小值为1，求m 的值．（3）设点A 、B 是轨迹C 上两个动点，直线OA 、OB 与轨迹C 的另一交点分别为1A 、1B ，且直线OA 、OB 的斜率之积等于43-，问四边形11B ABA 的面积S 是否为定值？请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设复数n n n y i x z ⋅+=，其中n x R ∈n y ，*N ∈n ，i 为虚数单位，n n z i z ⋅+=+)1(1，i z 431+=，复数n z 在复平面上对应的点为n Z ．（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列}{n n y x ⋅的前102项之和．2021学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷（理）参考答案及评分标准一．填空题（每题4分，满分56分）1．21 2．},01{R ∈<≤-x x x （或)0,1[-） 3．314．2 5．510arccos6．π337．97 8．201620159．43 10．4111．3 12．4 13．100 14．),1()1,(∞+--∞二．选择题（每题5分，满分20分）15．B 16．C 17．A 18．C三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．α︒60B CDA BCD③ ④E F（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B 时，容器内溶液恰好不会溢出，此时α最大． …………………………………………………………………（2分）解法一：此时，梯形ABED 的面积等于400202=（2cm ）， ………………（3分） 因为α=∠CBE ，所以αtan 2030-=DE ，AD AB DE S ABED ⋅+=)(21， 即40020)tan 2060(21=⋅-⋅α，解得1tan =α，︒=45α． ………………（5分） 所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． ……………（6分）解法二：此时，△BEC 的面积等于图①中没有液体部分的面积，即200=∆BEC S （2cm ）， ……………………………………………………（3分） 因为α=∠CBE ，所以αtan 21212⋅⋅=⋅⋅=∆BC CE BC S BEC ，即200tan 200=α， 解得1tan =α，︒=45α． …………………………………………（5分）所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． …………（6分） （2）如图④，当︒=60α时，设上液面为BF ，因为︒<=∠6023arctanCBD ， 所以点F 在线段AD 上， ………………………………………………………（1分）此时︒=∠30ABF ，31030tan =︒⋅=AB AF ，=∆ABF S 315021=⋅⋅AF AB （2cm ）， ………………………………………（3分）剩余溶液的体积为33000203150=⨯（3cm ）， …………………………（4分） 由题意，原来溶液的体积为80003cm ，因为3000330008000<-，所以倒出的溶液不满30003cm ． …………（5分）所以，要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，不能实现要求．……（6分）20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．（1）x x x x x x n m x f 2cos 2sin 3cos sin cos sin 32)(22-=-+=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx ． ………………………………………………………（3分）当)(x f 取最小值时，162sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，2262πππ-=-k x ，Z ∈k ，……（6分）所以，所求x 的取值集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ． …………………（7分） （2）由2)(=C f ，得162sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πC ， …………………………（1分） 因为π<<C 0，所以611626πππ<-<-C ， 所以262ππ=-C ，3π=C ． ……………………………………（3分）在△ABC 中，由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=， ………………（4分） 得ab ab b a ≥-+=223，即3≤ab ， …………………………（5分）所以△ABC 的面积43323321sin 21=⨯⨯≤=C ab S ， ……………（6分） 因此△ABC 的面积S 的最大值为433． ……………………（7分） 21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分．（1）解法一：函数x x a a k x f --⋅=)(的定义域为R ，因为)(x f 是奇函数，所以01)0(=-=k f ，1=k ． …………………………………………………………（3分）当1=k 时，x x a a x f --=)(，)()(x f a a x f x x -=-=--，)(x f 是奇函数． 所以，所求k 的值为1． ………………………………………………………（6分） 解法二：函数x x a a k x f --⋅=)(的定义域为R ，由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， ……………………………………（2分）即x x x xa k a a ak ⋅-=-⋅--，0))(1(=+--x x a a k ， …………………………（4分）因为0>+-xxaa ，所以，1=k ． ………………………………………………（6分） （2）由38)1(=f ，得381=-a a ，解得3=a 或31-=a （舍）． …………（2分） 所以)33(233)(22x x x xm x g -----=，令x x t --=33，则t 是关于x 的增函数，38313=-≥t ，2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，……………（2分） 当38<m 时，则当38=t 时，2238238)(2min -=+⨯-⎪⎭⎫⎝⎛=m x g ，解得1225=m ； ………………………………………………………………（5分） 当38≥m 时，则当m t =时，22)(2min -=-=m x g ，2±=m （舍去）．……（8分） 综上，1225=m ．（本行不写不扣分，每讨论一种情况正确得3分）22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．（1）设),(y x P ，由题意，21|4|)1(22=+++x y x ， ……………………………（2分）化简得124322=+y x ， ………………（3分）所以，动点P 的轨迹C 的方程为13422=+y x ． ………………………………（4分） （2）设),(y x N ，则3241413)()(||2222222++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=m mx x x m x y m x MN )1(3)4(4122m m x -+-=，22≤≤-x ． ………………………………（2分） ①当240≤<m ，即210≤<m 时，当m x 4=时，2||MN 取最小值1)1(32=-m ， 解得322=m ，36=m ，此时2364>=x ，故舍去． …………………（4分） ②当24>m ，即221<<m 时，当2=x 时，2||MN 取最小值1442=+-m m ， 解得1=m ，或3=m （舍）． …………………………………………………（6分）综上，1=m ．（3）解法一：设),(11y x A ，),(22y x B ，则由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ，（1分） 221221)()(||y y x x AB -+-=，因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）①当21x x =时，则四边形11B ABA 为矩形，12y y -=，则432121=x y ， 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=413432121x x ，解得221=x ，2321=y ， ||||4||||111y x B A AB S =⋅=34=． ……………………………………（3分）②当21x x ≠时，直线AB 的方向向量为),(1212y y x x d --=，直线AB 的方程为0)()(21121212=-+---y x y x y x x x y y ，原点O到直线AB的距离为2122121221)()(||y y x x y x y x d -+--=所以，△AOB 的面积||21||211221y x y x d AB S AOB -=⋅⋅=∆， 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积AOB S S ∆=4||21221y x y x -=，……（4分） 所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ． 所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ……………………………………（6分）解法二：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B --，由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分） 因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）直线OA 的方程为011=-y x x y ，点B 到直线OA 的距离21211221||yx y x y x d +-=，△1ABA 的面积||||21122111y x y x d AA S ABA -=⋅⋅=∆， ……………………（3分） 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ∆=||21221y x y x -=，……（4分） 所以， )2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ．所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ………………………………（6分） 解法三：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B --由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分） 因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）△1ABA 的面积111211112111y x y x y x S ABA --=∆||1221y x y x -=， ……………………（3分） 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ∆=||21221y x y x -=，……（4分） 所以，所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ． 所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ……………………………………（6分）23．本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）i i i z 71)43)(1(2+-=++=，i z 683+-=，i z 2144--=．…………（4分） （算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）（2）若n OZ ∥1OZ ，则存在实数λ，使得1n OZ OZ λ=，故1z z n ⋅=λ， 即),(),(11y x y x n n λ=， ……………………（3分） 又n n z i z )1(1+=+，故11)1(z i z n n -+=，即λ=+-1)1(n i 为实数， ………………（5分）故1-n 为4的倍数，即k n 41=-，14+=k n ，N ∈k ． ……………………（6分）（3）因为n n n z z i z 4)1(44-=+=+，故n n x x 44-=+，n n y y 44-=+， …………（2分） 所以n n n n y x y x 1644=++， ……………………………………………………………（3分）又1211=y x ，722-=y x ，4833-=y x ，2844=y x ，)()(8877665544332211100100332211y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x +++++++=++++ )(100100999998989797y x y x y x y x +++++1002521161161)2848712(-=--⋅+--=， …………………………………………（6分）而100112510110121216⨯==y x y x ，10022251021022716⨯-==y x y x ， ………………（7分） 所以数列}{n n y x 的前102项之和为102100100100212721221+=⨯-⨯+-．………（8分）。

第一学期高三年级质量调研考试数 学 试卷（文科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足i 3i z （i 为虚数单位），则||z =.22．若全集U =R ，函数21x y =的值域为集合A ，则UA =.)0,(-∞3．方程4260xx--=的解为.2log 3x =4．函数()cos()sin sin()cos x xf x x xπ-=π+的最小正周期T =.π5．不等式112x >的解集为.)2,0( 6．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于.15π学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ ……………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………7．已知ABC △中，43AB i j =+，34AC i j =-+，其中i j 、是基本单位向量，则ABC △的面积为.2528．在2021年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种.109．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且32532S S =+，则2lim n n S n →∞=.510．若函数1()2x f x -=，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于.111．若点P 、Q 均在椭圆2222:11x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-的最大值为.2a12．已知函数cos 04()25 4x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩，，，若实数a b c 、、互不相等，且满足)()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是.(8 10)，13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （*,,,a b c d ∈N ）,则b d a c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为.22714．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意n ∈*N ，都有1(1)32nn n nS a n =-++-，则数列{}21n a -的前n 项和为.11334n n --⋅二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．若,a b ∈R ，且0ab >，则“a b =”是“2b aa b+≥等号成立”的（ A ）. (A) 充要条件(B)充分不必要条件(C) 必要不充分条件 (D)既非充分又非必要条件16．设2345()2510105f x x x x x x =+++++，则其反函数的解析式为（ C ）.(A)511y x =-(B)511y x =-(C)511y x =--511y x =--17．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，满足a b c cb a b c-+≤+-，则角A 的范围是（ B ）.(A)0,π⎛⎤ ⎥6⎝⎦(B)0,π⎛⎤ ⎥3⎝⎦(C),π⎡⎫π⎪⎢6⎣⎭(D),π⎡⎫π⎪⎢3⎣⎭18．函数()f x 的定义域为[]1,1-，图像如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图像如图2所示.{}(())0A x f g x ==,{}(())0B x g f x ==,则AB 中元素的个数为（C ）.(A) 1(B)2(C)3(D)4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，证12AA AB ==，1BC =,BAC π∠=6，D 为棱1AA 中点，明异面直线11B C 与CD 所成角为π2，并求三棱柱111ABC A B C -的体积．[证明]在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，11//BC B C ，BCD ∴∠或它的补角即CABDA 1B 1C 1xy -1O12 1图2xy -1O1 1-1图1为异面直线11B C 与CD 所成角，……………2分 由2AB =，1BC =,BAC π∠=6以及正弦定理得sin ACB ∠=1，ACB π∴∠=2即BC AC ⊥，…………4分又1BC AA ∴⊥，11BC ACC A ∴⊥面，…………6分BC CD ∴⊥………………8分所以异面直线11B C 与CD 所成角的为2π．…………………… 10分 三棱柱111ABC A B C -的体积为1131232ABC V S AA =⋅=⋅=△12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点，02βαπ<<<<π． （1）若3=4απ，()2cos 3αβ-=，求sin 2β的值；（2）证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+． [解]（1）方法一: ()2cos 3αβ-=， 1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=91-…3分3=4απ，即91)223cos(-=-βπ， …………………………………6分 OxyAB912sin =∴β．…………………………………8分方法二: ()2cos 3αβ-=，3=4απ，即32sin 22cos 22=+-ββ， …………3分 322cos sin =-∴ββ，两边平方得，982sin 1=-β……………………………6分912sin =∴β．…………………………………8分（2）[证明]由题意得，)sin ,(cos αα=，)sin ,(cos ββ=⋅∴=βαβαsin sin cos cos +………………10分又因为与夹角为βα-1==OB OA⋅∴)cos()βαβα-=-OB OA ………………………12分综上cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立．……………………………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路1l 、2l ，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P（即直yAMP大海2l线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数ay x=图像的一段，点M 到1l 、2l 的距离分别为8千米和1千米，点N 到2l 的距离为10千米，点P 到2l 的距离为2千米.以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy .（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB 的方程，并求出公路AB 的长度（结果精确到1米）. [解]（1）由题意得(1,8)M ，则8a =，故曲线段MPN 的函数关系式为8y x=，…4分 又得4(10,)5N ，所以定义域为[]1,10.………………………………6分（2）由（1）知(2,4)P ，设直线AB 方程为4(2)y k x -=-，由4(2)8y k x y x -=-⎧⎪⎨=⎪⎩得 22(2)80k x k x +--=,224(2)324(2)0k k k ∆=-+=+=…8分20k ∴+=，2k ∴=-，所以直线AB 方程为28y x =-+， ……………… 10分得(0,8)A 、(4,0)B ， ………………………………………………12分所以6416458.944AB =+=≈千米． 答: 公路AB 的长度为8.944千米.………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3(1,)2，它的一个焦点与抛物线2:4y x E =的焦点重合，斜率为k 的直线l 交抛物线E 于A B 、两点，交椭圆Γ于C D 、两点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l 经过点()1,0F ，设点(1,)P k -，且PAB △的面积为43k 的值； （3）若直线l 过点()0,1M -，设直线OC ，OD 的斜率分别为12,k k ，且12121,,k k k 成等差数列，求直线l 的方程.[解]（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，由题设得222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，…2分 2243a b ⎧=∴⎨=⎩，∴椭圆Γ的方程是22143x y +=…………………………4分 （2）设直线:(1)l y k x =-，由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++= l 与抛物线E 有两个交点，0k ≠，216(1)0k ∆=+>，则4242224(44)44(1)1k k k k AB k k ++-+=+=…………………………6分 (1,)P k -到l 的距离231k d k =+，又43PABS =△222314(1)4321kk k k +∴⋅=+22433k k =+，故3k =±10分（3）设直线:1l y kx =-，由221,1,43y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2243880k x kx +--=，()0,1M -在椭圆内部，l ∴与椭圆恒有两个交点,设()()1122,,,C x y D x y ，则1221228,438.43k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由12121,,k k k 成等差数列得121221121212411x xx y x y k k k y y y y +=+=+= 122112122211212(1)(1)2()(1)(1)()1x kx x kx kx x x x kx kx k x x k x x -+--+==---++…………………12分 2222168248843123k k kk k k k --==--++-， ………………………14分即22k =±，∴直线l 的方程为212y x =±-．………………………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知数列{}n a 的各项均为整数，其前n 项和为n S ．规定：若数列{}n a 满足前r 项依次成公差为1的等差数列，从第1r -项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{}n a 为“r 关联数列”．（1）若数列{}n a 为“6关联数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出n S ，并证明：对任意n ∈*N ，66n n a S a S ≥；（3）若数列{}n a 为“6关联数列”，当6n ≥时,在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求n d ，并探究在数列{n d }中是否存在三项m d ，k d ，p d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.[解]（1） {}n a 为“6关联数列”，∴{}n a 前6项为等差数列，从第5项起为等比数列,4,51516+=+=∴a a a a 且256=a a ， 即24511=++a a ，解得31-=a …………2分 54,42,5n n n n a n --≤⎧∴=⎨≥⎩（或554,54,62,62,7n n n n n n n a n n --⎧-≤-≤⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩）．……………………4分 （2）由（1）得2417,42227,5n n n n n S n -⎧-≤⎪=⎨⎪-≥⎩（或22441717,5,6222227,627,7nn n n n n n n n S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≥-≥⎩⎩） …………………………………6分{}2345:3,2,1,0,1,2,2,2,2,2,n a ---，{}:3,5,6,6,5,3,1,9,25,n S ------{}:9,10,6,0,5,6,4,72,400,n n a S --，可见数列{}n n a S 的最小项为666a S =-，证明：541(4)(7),522(27),6n n n n n n n n a S n --⎧--≤⎪=⎨⎪-≥⎩，列举法知当5n ≤时，min 55()5n n a S a S ==-； ………………………………………8分精品 Word 可修改 欢迎下载 当6n ≥时，)6(27)2(2525≥⋅-⋅=--n S a n n n n ，设52n t -=，则{}22,2,,2,m t ∈，222749272()2272648n n a S t t t =-=--≥⋅-⋅=-．……………………10分 （3）由（1）可知，当6n ≥时，52n n a -=，因为：1(21)n n n a a n d +=++-，4522(1)n n nn d --=++故：521n n d n -=+．……………………………13分 假设在数列{}n d 中存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列，则：()2k m p d d d =，即：2555222111k m p k m p ---⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭，()()()21010222111k m p m p k -+-=+⋅++（*）15分 因为,,m k p 成等差数列，所以2m p k +=，（*）式可以化简为)1)(1()1(2++=+p m k ， 即：2k mp =，故k m p ==，这与题设矛盾．所以在数列{}n d 中不存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列．…18分（或：因为下标成等差数列的等差数列一定还是成等差数列，而又要求成等比数列，则必为非零常数列，而521n n d n -=+显然不是非零的常数，所以不存在．）。