第二章常用统计参数
第二章常用统计参数
用参数来描述一组变量的分布特征，便于我们对数据分布状况进行更好的代表性的描述，也有利于我们更好地了解数据的特
点。常见的统计参数包括三类：集中量数、差异量数、地位量数（相对量数X相关量数。
描述统计的指标通常有五类。
第一类集中量数：用于表示数据的集中趋势，是评定一组数据是否有代表性的综合指标，比如平均数、中数、众数等。
第二类差异量数：用于表示数据的离散趋势，是说明一组数据分散程度的指标，比如方差、标准差、差异系数等。
第三类地位量数：是反映个体观测数据在团体中所处位置的量数，比如百分位数、百分等级和标准分数等。
第四类相关量数：用于表示数据间的相互关系，是说明数据间关联程度的指标，比如积差相关、肯德尔和谐系数、①相关等。
第五类：是反映数据的分布形状，比如偏态量和峰度等（不作介绍I
第一节集中量数
（一）集中量数的定义（种类、作用）［湖南12名］
描述数据集中趋势的统计量数称为集中量数。集中量数能反映大量数据向某一点集中的情况。常用的集中量数包括算术平均数、加权平均
数、几何平均数、中数、众数等等，它们的作用都是用于度量次数分布的集中趋势。
（二）算术平均数（平均数、均数）（一级）简述算术平均数的定义和优缺点。
（1）平均数的含义
算术平均数可简称为平均数或均数，符号可记为M。算术平均数即数据总和除以数据个数，即所有观察值的总和与总频数之比。只有在为
了与其他几种集中.数洞区别时,如几何平均数、调和平均数、加权平均数，才全称为算术平均数。如果平均数是由变量计算的,就用相
应的变量表示，如又匕算术平均数是用以度量连续变量次数分布集中趋势及位置的最常用的集中量数，在一组数据中如果没有极端值,
平均数就是集中趋势中最有代表性的数字指标，是真值的最佳估计值。
（2）平均数的优缺点简述算术平均数的使用特点［含优缺点］
算术平均数优点
①反应灵敏。观测数据中任1可一个数值或大或小的变化，甚至细微的变化，在计算平均数时，都能反映出来。
集中量数
统计资料经过分组归类的初步整理和列表绘图之后，已经能够简化繁冗的数量而窥其分布的大概面貌。但如果要对数据资料进行深入的了解和研究，仅有图表是不够的，还必须计算出描述数据分布状况的特征量，包括集中量数、差异量数和相关量数等。本节的主要内容是介绍有关集中量数的计算。
在将数据资料进行初步整理所编制的次数分布表或图上，我们可以看出各组数据分布的次数虽然各有不同，但大部分数据都趋向于某点，这种向某点集中的现象，称为集中趋势。而代表数据的集中趋势的统计量被称为集中量数。例如，如果要分析两个班某个学科的考试分数，我们很难做到将两个班学生的分数加以一一对应的比较，因为学生的考试分数大多是不相同的，而且两个班的学生人数也不一定相等。在这种情况下，可以利用两班的平均分数进行比较，因为大多数的学生分数都分布在平均分数的附近，这里的平均分数就代表了某班某科的学生成绩的集中趋势。
常用的集中量数有算术平均数、中数、众数和几何平均数。
一． 算术平均数
（一）算术平均数的概念与性质
1．概念
算术平均数通常称为平均数、均值或均数。它是各变量值的总和除以变量总次数所得之商。因为“平均数”一词的英文是Mean，所以一般用字母M来表示。如果想表明平均数M是由哪个变量计算得来的（或称某个变量的平均值），可以在该变量字母上面加一杠“—”来表示。如： 表示变量X的平均数，表示变量Y的平均数。
算术平均数是统计学中最常用的一种集中量数。算术平均数的基本运算公式为
简写为NXX （公式10—1）
式中：∑为希腊字母（读做Sigma，西格玛），X为算术平均数，N为总次数，nXXXX321为各变量值。 NXXXXXn321例1，某小组11个学生的英语测验成绩分别为76，81，69，90，94，83，89，65，77，83，91。其算术平均数为：
M = 119183776589839490698176≈81.63
11第四章集中量数•定义：表示一组数据集中趋势的指标，或表示一组数据的典型情况。•分类：•1.算术平均数•2.中数•3.众数•4.加权平均数•5.几何平均数•6.调和平均数2一、算术平均数（样本用X，M；总体用U）•（一）计算方法•（二）平均数的优缺点优点：（1）反应灵敏。（2）确定严密。•（3）简明易解。（4）计算简单。•缺点：（1）易受极端数据的影响。•（2）数据模糊不清时，无法计算。•
3二、加权平均数•计算公式：iiiwWXWM•W是权数，X是原始分数计算加权平均数省区代码 人数 平均分数 1 627 98 2 268 60 3 400 82 4 670 96 5 411 80 6 314 65 7 610 96 8 500 88 3800 665 某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样人数和平均数见下表，求该项调查的总平均数•解：A：若果不加权，仅用八个省份的平均分数之和除以8，便可得到97.8638003304963800885006026898627WM13.838665WMB：A，B两种方法计算得到的平均值差异较大。哪个正确？为什么？答：用A方法计算的平均数不正确，实质上是假定每个省区的取样人数相等，这不符合实际情况6加权平均数的应用•选拔考试时，不同科目的考试分数最终合成总分时，可根据每个科目的重要性，赋予不同的权重。•一题多解时，可赋予不同权重。•难易度不同的几次考试，计算总成绩时可赋予不同权重。•同一个题目让不同年龄的学生做时，应考虑权重。•由各小组平均分计算总平均数是应用加权平均数的特例。
2三、中数与众数中数（Md）是按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数。该数可能是数据中的某一个，也可能根本不是原有的数。求中数的方法1.数据中无重复数值的情况（1）数据个数为奇数（2）数据个数为偶数2.数据中有重复数据的情况（1）重复值没有位于中间（2）重复数目位于中间，数据的个数为奇数（3）重复数目位于中间，数据的个数为偶数dN12M=X•求中数的方法•首先将数据按其取值大小排序，找出位于中间的那个数就是中数。1、一组数据中无重复数值（1）数据个数为奇数，则中数为位置的那个数。即例二：求数列4，6，7，8，12的中数.解：=3，数列中排在第3的数据为7，故Md=7N12N12（2）数据个数为偶数，则中数为居于中间位置两个数的平均数，即第与第位置的两个数据相加除以2。即•例3：有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，求中数。•解：数列中第位置的数是7，处于第位置的数是8，故Md=NN122dXXM=2N2N(+1)2N2N(+1)25.72872、中数附近有重复数时①当重复数目位于数据中间，数据的个数为奇数时例：求数列11，11，11，11，13，13，13，17，17的中数。③当重复数目位于数列中间，数据的个数为偶数时，计算方法与数据的个数为奇数时基本相同例：求数列11，11，11，11，13，13，13，17，17，18的中数。•解：141212.513.512.8313.1612.6613
研究：集中量数、差异量数、地位量数
集中量数、差异量数、地位量数三种数据特征值的含义及包括的主要内容
⼀、集中量数
从次数分布表上可以看出，分布在各组的次数有多有少，但⼤部分数据趋向于中间的某⼀点。这种向某点集中的趋向叫做集中
趋势。代表集中趋势的量数叫做集中量数。集中量数⼜称代表值，它有两种功⽤。
（1）第⼀，可以⽤来描述和代表研究对象的⼀般⽔平，并为进⼀步统计分析打下基础。
（2）第⼆，⽤它与同质的另⼀研究对象作⽐较。例如，就⼀个班来说，它是全班分数的代表，可以⽤它来代表这⼀班学⽣的
程度和⽔平，并能⽤它与别的同类班作⽐较。集中量数主要有：算术平均数、中数、众数、加数平均数和⼏何平均数等。其中
教育科学研究结果的处理中应⽤最多的是算术平均数。
⼆、差异量数
差异量数是表⽰⼀组数据的差异情况或离散程度的量数，它反映数据分布的离中趋势。集中量数的代表性如何，是要由差异量
数来表明的。
（1）差异量数愈⼤，集中量数的代表性愈⼩；差异量数愈⼩，则集中量数的代表性愈⼤。
（2）差异量数⼀般包括：全距、平均差、四分差、标准差和⽅差。其申以标准差和⽅差最为常⽤。
三、地位量数
前⾯介绍的集中量数和差异量数都是描述样本或总体的整体特征的量数；⽽地位量数则是描述单个数据在样本或总体中的位置
的，也称相对位置量数。常⽤的地位量数主要有百分等级和标准分数。
（1）百分等级
百分等级是指某观测值以下的个数与观测值总个数之⽐的百分数。⽤符号P表⽰。百分等级具有意义明确，容易理解，计算简
便等优点，但是它只是⼀个顺序变量，不能进⾏代数运算，这给进⼀步分析⼯作带来困难。
（2）标准分数
为解决百分等级不能进⾏代数运算的困难，有⼀种更为常⽤的地位量数，就是标准分数，⼜叫“基分数”或“Z分数”。
原⽂链接为https:///tiku/10609489.html
补充：标准分数的计算⽅法：Z=（样本值-平均值）/标准差
区别：分⼦为1的分数称为单位分数。
