2004年全国高考试题分类汇编

2004年全国高考试题分类汇编
三角函数部分
昆明市教研室 马绍文
【说明】以下提及的全国卷Ⅰ指2004年全国高考试题山东、山西、河南、河北、安徽、江西六省考卷；全国卷Ⅱ指2004年全国高考试题吉林、黑龙江、四川、云南、贵州五省考卷；全国卷Ⅲ指2004年全国高考试题广西、内蒙、海南、西藏、陕西五省老课程卷；全国卷Ⅳ指2004年全国高考试题新疆、甘肃、宁夏、青海四省考卷。

一、选择题
1. （全国卷Ⅰ文科第6题）设∈（0，2
π），若sin α=35)4πα+=
（A ） 75 （B ）15 （C ）75- （D ）1
5
-
2. （全国卷Ⅰ文理科第9题）为了得到函数y=sin （2x －6
π
）的图象，可以将函数y=cos2x
的图象
（A ） 向右平移
6π个单位长度 （B ） 向右平移3π
个单位长度 （C ） 向左平移6π个单位长度 （D ） 向左平移3
π
个单位长度
3. （全国卷Ⅱ文、理科第5题）已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(
0,12
π
)，则φ的值
可以是( )
（A ） －6
π （B ）
6
π （C ）
12
π-
（D ）
12
π
4.（全国卷Ⅱ理科第10题）函数y=xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ）
（A ） (2
3,2
ππ) （B ） (π,2π) （C ） (2
5,2
3ππ) （D ） (2π,3π)
5.（全国卷Ⅱ文科第11题）函数y=sin 4x+cos 2x 的最小正周期为（ ）
（A ）
4
π （B ）
2
π （C ） π （D ） 2π
6.（全国卷Ⅲ文科、理科第2题）函数y ＝|sin
2
x |的最小正周期是 （A ）
2
π （B ）π （C ）2π （D ）4π 7. （全国卷Ⅲ理科第10题）在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）
（A ）
223 （B ）2
3
3 （C ）23 （D ）33
8. （全国卷Ⅳ文科第10题）函数2sin(
)cos()()36
y x x x R π
π
=--+∈的最小值等于
（A ） －3 （B ）－2 （C ） －1 （D ）9. （全国卷Ⅳ理科第11题、文科第12题）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=300，△ABC 的面积为
3
2
，那么b =
（A ）
12+ （B ） 1 （C ） 22
+ （D ） 2 10. （天津卷理科第9题、文科第10题）函数],0[)(26
sin(
2ππ
∈-=x x y )为增函数的区
间是
(A) ]3,
0[π
(B) ]127,`12[ππ (C) ]65,3[ππ (D) ],6
5[ππ 11. （天津卷文、理科第12题）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数。

若)(x f 的最小正周期是π，且当]2
,
0[π
∈x 时，x x f sin )(=，则)3
5(
π
f 的值为
(A)21-
(B)21 (C)23- (D)2
3
12. （上海卷文科第14题）三角方程2sin(
2
π
－x )=1的解集为( ) (A) {x │x ＝2k π＋3
π,k ∈Z} (B) {x │x ＝2k π＋35π
,k ∈Z}
(C) {x │x ＝2k π±3
π
,k ∈Z} (D) {x │x ＝k π＋(－1)K ,k ∈Z}
13. （上海卷理科第14题）已知函数)(x f 是周期为2π的函数，当x ∈[0，2π）时，
()sin 2x f x =，则1
()2
f x =的解集为
(A) {x │x ＝2k π＋
3
π,k ∈Z} (B) {x │x ＝2k π＋35π
,k ∈Z}
(C) {x │x ＝2k π±3
π
,k ∈Z} (D) {x │x ＝k π＋(－1)K ,k ∈Z}
14. （重庆卷理科第5题）sin163sin 223sin 253sin313+= ( )
（A ） 12- （B ） 12 （C ） （D ）
15.（福建卷文、理科第2题）tan15º+cot15º的值是
（A ）2 （B ）2+3 （C ）4 （D ）
334
16. （福建卷理科第11题）定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ）＝f （x +2），当x ∈[3，5]时，f （x ）=2－|x －4|，则
（A ）f （sin
6π）＜f （cos 6π
） （B ）f （sin 1）＞f （cos 1） （C ）f （cos 23π）＜f （sin 23
π
） （D ）f （cos2）＞f （sin 2）
17. （福建卷文科第11题）定义在R 上的偶函数f(x)满足f （x ）=f （x+2)，当x ∈[3，4]，
f （x ）＝x －2，则
（A ）f （sin
12）＜f （cos 12） （B ）f （sin 3π）＞f （cos 3
π） （C ）f （sin 1)＜f （cos 1) （D ）f （sin 3
2
)＞f （cos 32)
18. （湖北卷文、理科第12题）设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：
经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象。

下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （A ）]24,0[,6sin
312∈+=t t y π
（B ）]24,0[,6sin 312∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++=t t y ππ （C ）]24,0[,12sin
312∈+=t t y π
（D ）]24,0[,212
sin 312∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++=t t y ππ
19. （湖南卷文科第2题）设直线ax ＋by ＋c =0的倾斜角为a ，且sina ＋cosa =0，则a 、b 满
足
（A ）a ＋b=1 （B ）a －b=1 （C ）a ＋b=0 （D ）a －b=0
20. （湖南卷文科第8题）已知向量＝（cosθ，sinθ），向量＝（3，-1），则-2的最大值、最小值分别是
（A ）42，0 （B ）4，22 （C ）16，0 （D ）4，0 21.（江苏卷文、理科第2题）函数y =2cos 2x ＋1(x ∈R )的最小正周期为（ ）
(A)
2
π
(B) π (C) π2 (D) π4 22. （辽宁卷文、理科第1题）若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是
（A ）第一象限
（B ）第二象限
（C ）第三象限
（D ）第四象限
23. （辽宁卷文、理科第7题）已知函数1)2
sin()(--=π
πx x f ，则下列命题正确的是
（A ）)(x f 是周期为1的奇函数
（B ）)(x f 是周期为2的偶函数
（C ）)(x f 是周期为1的非奇非偶函数 （D ）)(x f 是周期为2的非奇非偶函数
24. （辽宁卷文、理科第11题）若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是
（A ）3
,1π
ϕω== （B ）3
,1π
ϕω-
==
（C ）6,21πϕω==
（D ）6
,21π
ϕω-== 25. （浙江卷理科第2题，文科第5题）点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2+y 2=1按逆时针方向
运动
23
π
弧长到达Q 点，则Q 的坐标为 (A) (-21
(B) (
-21) (C) (-2
1
,
) (D) (
,21)
26. （浙江卷理科第8题）在△ABC 中，“A ＞30
”是“sin A ＞
2
1
”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 27.（浙江卷文科第8题）“2
1
sin =
A ”是“A=30º”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件
28.（浙江卷文科第4题）已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==且∥，则αtan = （A ）
43 （B ）43- （C ）34 （D ）3
4- 29.（广东卷文、理科第5题）函数2
2()sin ()sin ()44
f x x x π
π
=+
--是 (A) 周期为π的偶函数 (B) 周期为π的奇函数
(C) 周期为2π的偶函数
(D) 周期为2π的奇函数
30.（广东卷文、理科第9题）当04x π
<<时，函数22cos ()cos sin sin x
f x x x x
=-的最小值是
(A)4
(B)
12
(C)2
(D)
14
31. （广东卷文、理科第11题）若()tan()4
f x x π
=+
，则
(A) (1)(0)(1)f f f ->>
(B) (0)(1)(1)f f f >>-
(C)(1)(0)(1)f f f >>- (D) (0)(1)(1)f f f >->
二、填空题
1. （全国卷Ⅲ理科第14题）函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 。

2.（全国卷Ⅲ文科第15题）函数y ＝sinx －21cosx(x ∈R)的最大值为＿＿＿＿。

3. （全国卷Ⅳ文科第14题）已知函数1sin 2x y A
π
+=（A ＞0）的最小正周期为3π，则
A= 。

4. （全国卷Ⅳ理科第15题）函数y ＝cosx －
2
1cos2x （x ∈R ）的最大值等于 。

5.（北京卷理科第9题）函数f(x)=cos2x －23sinxcosx 的最小正周期是 。

6. （北京卷文科第9题）函数xcox x f sin )(=的最小正周期是 。

7. （上海卷文、理科第1题）若tgα＝
21, 则tg(α＋4
π
)= 。

8.（湖南卷理科第13题）已知向量(cos ,sin ),a θθ=向量(3,1)b =-,则2a b -的最大值是 。

9.（辽宁卷文、理科第14题）π
ππ
--→x x x x cos )(lim
= 。

三、解答题
1. （全国卷Ⅰ理科第17题、文科第18题）求函数f （x ）=4422sin cos sin cos 2sin 2x x x x
x
++-的
最小正周期、最大值和最小值。

2. （全国卷Ⅱ理科第17题、文科第18题，满分12分）已知锐角三角形ABC 中， sin(A ＋B)＝
53，sin(A －B)＝5
1。

(Ⅰ) 求证：tanA ＝2tanB ；
(Ⅱ) 设AB ＝3，求AB 边上的高。

3.（全国卷Ⅲ理科第17题、文科第18题，满分12分）已知α为锐角，且tan α＝
2
1，求α
αα-αα2cos 2sin sin cos 2sin 的值。

4.（全国卷Ⅳ文、理科第17题，满分12分）已知α
为第二象限角，且sin 4
α=
，求sin()
4sin 2cos 21
π
ααα+++的值。

5. （北京卷文、理科第15题，满分14分）在△ABC 中，sinA+cosA=2
2
，AC=2，AB=3，求tanA 的值和△ABC 的面积。

6. （天津卷文、理科第17题，满分12分）已知2
1)4
tan(=
+απ
(I) 求αtan 的值；
(II) 求α
αα2cos 1cos 2sin 2+-的值。

7. （重庆卷理科第17题，满分12
分）求函数44sin cos cos y x x x x =+-的取小
正周期和取小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。

8.（福建卷文、理科第17题，满分12分）设函数f (x)= a b ⋅，其中向量a =(2cosx ，1)，
b =(cosx ， 3sin2x)，x ∈R.
（Ⅰ）若f (x)=1-3且x ∈[-
3π，3
π
]，求x ； （Ⅱ）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c =(m ，n)(|m|＜2
π
)平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值。

9. （湖北卷文、理科第17题，满分12分）已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，⎪⎭
⎫⎢
⎣⎡∈ππ,2a ，求⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
32sin πa 的值。

10. （湖南卷文科第17题，满分12分）已知tan(
4π+a)=2，求a a a 2cos cos sin 21+的值。

11. （湖南卷理科第17题，满分12分）已知),2
,4(,41)24sin()24sin(π
πππ∈=-⋅+a a a 求
1cot tan sin 22--+a a a 的值.。

12. （江苏卷文、理科第17题，满分12分）已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3
π
α-)的值。

13. （辽宁卷文、理科第18题，满分12分）设全集U=R （Ⅰ）解关于x 的不等式);(01|1|R a a x ∈>-+- （Ⅱ）记A 为（1）中不等式的解集，集合}0)3
cos(3)3
sin(|{=-
+-=π
ππ
πx x x B ，
若（
U
A ）∩
B 恰有3个元素，求a 的取值范围。

14. （浙江文、理科卷第17题，满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ，且cos A =31
(Ⅰ) 求sin 2
2
B C
++cos2A 的值； (Ⅱ) 若a =3,求bc 的最大值。

15.（广东卷文、理科第17题，满分12分）已知角,,αβγ成公比为2的等比数列（ ∈ [0，2]），sin ,sin ,sin αβγ也成等比数列，求,,αβγ的值。

参考答案
一、 选择题
2. B 提示：将函数y=sin （2x －6）化为y=cos[2—（2x －6
）]=cos （2x —3）.
4. B 提示：.
5. B 提示：x x y 24sin 1sin -+= = 1)1(sin sin 22+-x x = x x 2
2
cos sin 1-= x 2sin 4
112
- =
8
74cos 81+x 6. C 提示：由图象易知.
7. B 提示：由余弦定理知A=600，故AC 边上的高=3sin600=2
3
3. 9. B 提示：正‘余弦定理综合使用.
10.
C 提示：用五点作图法作出图象观察可得.
11. D 提示：]2
5,23[
),2sin()]2(sin[)(ππππ∈-=--=x x x x f . 16. D 提示：由f （x ）＝f （x +2）知周期为2，又因为函数f （x ）是偶函数，故f （—x ）＝f （x +2），所以函数f （x ）的图象关于直线x=1对称。

由以上条件可作出函数f （x ）在R 上的图象为
由图象易知函数f （x ）在[0，1]上为减函数.
30. A 提示：分子分母同除以cos 2x 得f （x ）=
x
x 2
tan tan 1
-. 二、 填空题
正确．，从而知选项只需，
均为正值，所以要使由于各选项中的B x x x x f x x x x x x x x x x x f 0sin 0sin )(sin cos )sin (cos )(sin )cos ()(/
///<>-=-=--=-=
8. 提示：2a b -≤+=4 9. 分母有理化.
三、 解答题
1. （全国卷Ⅰ）解：∵x
x x
x x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=
= )
cos sin 1(2cos sin 122x x x
x -- )cos sin 1(21x x += 212sin 41+=x
∴函数f (x )的最小正周期是π，最大值是
43，最小值是4
1
. 2. （全国卷Ⅱ）（Ⅰ）证明：,5
1
)sin(,53)sin(=-=+B A B A
∴.2tan tan 5
1sin cos ,
52
cos sin .51sin cos cos sin ,5
3sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=+B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =
（Ⅱ）解：ππ
<+<B A 2
，,4
3
)tan(,53)sin(-=+∴=+B A B A 即
4
3
tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22
=--B B 解得262tan ±=
B ，舍去负值得2
6
2tan +=B ， .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD.
则AB=AD+DB=
.6
23tan tan +=+CD
B CD A CD 由AB=3，得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+6.
3. （全国卷Ⅲ）解：原式.2cos cos sin 22cos sin α
ααα
α=
∵,02cos ,0sin ,21tan ≠≠=
ααα时∴原式α
cos 21=. ∵α为锐角，由52cos ,21tan ==
αα得，∴原式.45
=
∵α为锐角，由5
2cos 21tan ==
αα得，∴原式.45
=
5. （北京卷）解法一:∵2
2
)45cos(2cos sin =
︒-=
+A A A , ∴2
1
)45cos(=
︒-A . 又︒0<A<18︒0，∴.105,6045︒=︒=︒-A A ∴)6045(︒+︒=tg tgA =
323
131--=-+
)6045sin(105sin sin ︒+︒=︒=A =4
6
260sin 45cos 60cos 45sin +=
︒︒+︒︒ ∴S △ABC =
A AC A
B sin 21⋅⋅=).62(4
3
+ 解法二：,2
2
cos sin =+A A ① ∴,21)cos (sin 2
=
+A A ∴.2
1cos sin 2-=A A 又∵︒0<A<18︒0, ∴sinA>0, cosA<0. ∵,23cos sin 21)cos (sin 2
=
-=-A A A A ∴2
6
cos sin =-A A ，② ①+②得 46
2sin +=
A ，①—②得.4
6
2cos -=A ∴.326
24
462cos sin tan --=-⋅+==
A A A 以下同解法一.
6. （天津卷） （Ⅰ）解：α
α
α
π
α
π
απ
tan 1tan 1tan 4
tan 1tan 4
tan
)4
tan(-+=
-+=
+
由21)4tan(=
+απ，有21tan 1tan 1=-+αα 解得31tan -
=α （Ⅱ）解法一：1
cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα 6
5213121tan cos 2cos sin 2-=--=-=-=
αααα 解法二：由（1），31t a n -=α，得ααcos 3
1sin -= ∴αα22cos 91sin = αα22c o s 9
1c o s 1=- ∴10
9cos 2=α 于是5
41cos 22cos 2=-=αα， 5
3cos 32cos sin 22sin 2-=-==αααα 代入得 65541109532cos 1cos 2sin 2-=+--=+-ααα. 7. （重庆卷）
8. （福建卷）解：（Ⅰ）依题设，f (x)=2cos 2x+3sin2x=1+2sin(2x+6
π). 由1+2sin(2x+6π)=1-3，得sin(2x+6π)=-2
3. ∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x+6π≤6
5π，∴2x+6π=-3π，即x=-4π. （Ⅱ）函数y=2sin2x 的图象按向量=(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n 的图象，即函数y=f (x)的图象
.
由（Ⅰ）得 f (x)=2sin2(x+
12π)+1. ∵|m|<2π，∴m=-12
π，n=1. 9. （湖北卷）解法一：由已知得（3sin+2cos α）(2sin α－cos α)=0 ⇔3sin α+2cos α=0
或2sin α－cos α=0.
此已知条件可知,0cos ≠α所以2πα≠，即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2. 于是3
2tan ,0tan -=∴<αα. 3sin 2cos 3cos 2sin 32sin παπαπ+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+a =)sin (cos 2
3cos sin 22αααα-+ =ααα
ααα2222tan 1tan 123sin cos cos sin +-⋅++。

将3
2tan -=α代入上式得 2223213212332132)32sin(⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+πa =3265136+-. 解法二：由已知条件可知0cos ≠α，则2π
α≠，所以原式可化为
02tan tan 62=-+αα.
即.0)1tan 2)(2tan 3(=-+αα 又∵.0tan ,,2<∴⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈αππα ∴32tan -
=α. 下同解法一.
10. （湖南文科）解：由tan(4π+a)=a a tan 1tan 1-+=2，得tana=3
1. 故 a a a 2cos cos sin 21+=a a a a a 222cos cos sin 2cos sin ++=1tan 21tan 2++a a =3
2.
11. （湖南理科）解: 由)24sin()24sin(
a a -⋅+ππ= )24cos()24sin(a a +⋅+ππ =,4
14cos 21)42sin(21==+a a π 得.214cos =a 又)2,4(ππ∈a ，所以12
5π=a . 于是ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222
-+-=-+-=--+ =)2cot 22(cos αα+-=)65cot 265(cos
ππ+-=32
5 12. （江苏卷）由已知得：25sin 22cot 2tan ==+ααα得54sin =α，20πα<< ，53sin 1cos 2=-=∴αα，从而10
3343sin cos 3cos sin )3sin(-=-=-παπαπα. 13. （辽宁卷）解：（1）由.1|1|01|1|a x a x ->->-+-得
当1>a 时，解集是R ；
当1≤a 时，解集是}.2|{a x a x x -><或
（2）当1>a 时，（
U A ）=φ； 当1≤a 时，（
U A ）=}.2|{a x a x -≤≤ 因)3cos(3)3sin(π
ππ
π-+-x x .sin 2]3sin )3cos(3cos )3[sin(2x x x ππ
πππ
π
π=-+-= 由.,),(,0sin Z B Z k x Z k k x x =∈=∈==所以即得πππ
当（（U A ）∩B 怡有3个元素时，a 就满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<-<-≤<.01,322,1a a a 解得.01≤<-a
14. （浙江） 解: (Ⅰ)A C B 2cos 2
sin 2++ =)1cos 2()]cos(1[2
12
-++-A C B =)1cos 2()cos 1(2
12-++A A = 91- (Ⅱ) ∵3
1cos 2222==-+A bc a c b
∴222223
2a bc a c b bc -≥-+=, 又∵3=
a ∴.4
9≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是4
9. 15. （广东卷）
解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α
∵sin α,sin β,sin γ成等比数列
2
1
cos ,1cos 0
1cos cos 21cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 22-===---=⇒=⇔=∴ααααααα
αααβγαβ或解得即 当cos α=1时，sin α=0,与等比数列的首项不为零，故cos α=1应舍去，
.3
16,38,3438,34,32,3432,]2,0[,21cos πγπβπαπγπβπαπαπαπαα========∈-=或所以或时当。