函数的图像及性质

1 函数图像

【基础知识梳理】

1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、三次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．

2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象．

3、图象变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。

（1）平移变换（左加右减，上加下减）

把函数()fx的图像向左平移(0)aa个a单位，得到函数()fxa的图像，

把函数()fx的图像向右平移(0)aa个a单位，得到函数()fxa的图像，

把函数()fx的图像向上平移(0)aa个a单位，得到函数()fxa的图像，

把函数()fx的图像向下平移(0)aa个a单位，得到函数()fxa的图像。

（2）伸缩变换

①把函数()yfx图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的w1倍得()yfx (0<<1)

②把函数()yfx图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的w1倍得()yfx (>1)

③把函数()yfx图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w倍得()yfx (>1)

④把函数()yfx图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w倍得()yfx (0<<1)

（3）对称变换：

①函数()yfx和函数()yfx的图像关于x轴对称

函数()yfx和函数()yfx的图像关于y轴对称

函数()yfx和函数()yfx的图像关于原点对称

函数()yfx和函数1()yfx的图像关于直线xy对称

简单地记为：x轴对称y要变，y轴对称x要变，原点对称都要变。

2 ②对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是2bax

（4）翻折变换：

①把函数y=f(x)图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到x轴上方，得到函数()yfx的图像；

②保留y轴右边的图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函数()yfx的图像。

【方法总结】

1、特殊值法

如函数图像的顶点，顶点与两轴的交点等。

2、排除法

根据函数单调性、奇偶性、对称性、变化趋势、特殊值、符号变化等排除。

两者结合，简单易行

【走进高考】

【2013四川理】函数331xxy的图象大致是（ ）

（A） （B） （C） （D）

【2013北京理】.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=

A.1ex B. 1ex C. 1ex D. 1ex

【2013大纲卷】已知函数=cossin2fxxx，下列结论中错误的是

（A）yfx的图像关于,0中心对称 （B）yfx的图像关于直线2x对称

3 （C）fx的最大值为32 （D）fx既奇函数，又是周期函数

【2013江西理】如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线，12,ll之间l//1l,l与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧FG的长为(0)xx，yEBBCCD，若l从1l平行移动到2l，则函数()yfx的图像大致是

【2013山东理】函数cossinyxxx的图象大致为

【2013课标Ⅰ】已知函数()fx22,0ln(1),0xxxxx，若|()fx|≥ax，则a的取值范围是

A．(,0] B．(,1] C．[2,1] D．[2,0]

【2013上海】函数12()fxx的大致图像是（ ）

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【突破训练】

1．图1是函数sin(0)yxx的图像，A(x,y)是图像上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图像于另一点B（A,B可重合）。设线段AB的长为f(x),则函数f(x)的图像是 ( )

2．若函数为增函数，那么的图像是 （ ）

3．函数的图像大致为(

).

4．若，则函数的图像大致是

0 x y

0 x y

B A 0 x y

C 0 x y

D

()log(1)afxx)1,0(aa且02logaxxxxeeyee11log1agxx0,1xfxaaaA B C D

5

5．若函数)1,0()1()(aaaakxfxx在R上既是奇函数，又是减函数，则)(log)(kxxga的图像是（ ）

6．已知函数①；②；③；④。则下列函数图像（在第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是（ ）

（A）②①③④ （B）②③①④ （C）④①③② （D）④③①②

7．若函数f(x)的反函数为f)(1x,则函数f(x-1)与f)1(1x的图象可能是

8．函数y=x+cosx的大致图象是

A B C D

9．将函数的图象向左平移个单位,所得图象关于轴对称,则的最小值为（ ） y034cosxy12yx1yxlnyx3xyx y

O 2x y

O 2x y

O 2x y

O

2

6 （A） （B） （C） （D）

10．若直角坐标平面内的两点P、Q满足①P、Q都在函数y＝f(x)的图像上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”(注：点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”)．

已知函数f(x)＝22log04xxxxx则此函数的“友好点对”有( )

A．0对 B．1对

C．2对 D．3对

11．定义在R上的函数)(xfy 是增函数，且函数)3(xfy的图像关于（3，0）成中心对称，若ts,满足不等式ststtfssf3,41),2()2(22时则当的取值范围（ ）

A．]10,2[ B．[4，16] C．]10,4[ D．]16,2[

12．已知椭圆216x＋29y＝1及以下3个函数：①f(x)＝x；②f(x)＝sin x；③f(x)＝cos x．其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．0个

13． 函数)1(),1|(|logaxya的大致图像是

A B C Ｄ

14．当a≠0时，函数y=ax+b和y=bax的图像只可能是 （ ）

15．函数tan()(04)42xyx的图像如图所示，A为图像与x轴的交点,过点A的直线l与函数的图像交于C、B两点.则()OBOCOA（ ） 343236

7 CAoxyB

A.-8 B.-4 C.4 D.8

16．已知：xfy是最小正周期为2的函数，当1,1x时，2xxf，则函数xfy

Rx图像与xy5log图像的交点的个数是（ ）

（A）8 （B）9

（C）10 （D）12

17．已知A，B，C，D是函数sin()(0,0)2yx一个周期内的图象上的四个点，如图所示，(,0),6AB为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，CD在x轴上的投影为12，则,的值为（ ）

Ａ．2,3 B．2,6

Ｃ．1,23 D．1,26

18、已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有 ．

19．已知函数sin()yAx(0,0,,)A图像的一部分如图所示，则该函数的解析式为 .

8

20.函数xxfsin2)(与函数31)(xxg的图像所有交点的橫坐标之和为 ．

21．设函数()yfx存在反函数1()yfx,且函数()yxfx的图像过点(1,3)，则函数1()3yfx的图像一定过点 .

22、直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是____________．

23、 若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是____________．