2014直线的方程与位置关系专题练习

专题27 直线的方程及两条直线的位置关系 答案题型一、直线方程与斜率 例1、解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4).即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 变式1、【答案】[)0,π 0，2，3【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3． 变式2、【答案】⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π 【解析】由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－33cos α. ∪－1≤cos α≤1，∪－33≤k ≤33. 设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33. 结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象可知， 0≤θ≤π6或5π6≤θ<π.变式3、【答案】 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)【解析】 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则 k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时， α＝0，k >0时，α为锐角. 又k P A ＝－2－－11－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∪－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∪[0，π4]∪[3π4，π).题型二、直线的位置关系 例2、【答案】8【解析】由题意直线1l 的斜率存在.1214,,82a al l ∴=∴=.直线2l 的方程为4880x y -+=，即220x y ，∴直线12,l l的距离为5d==. 故答案为：8. 变式1、【答案】：12【解析】∪x ，y∪R ，直线（a ﹣1）x+y ﹣1=0与直线x+ay+2=0垂直，∪（a ﹣1）×1+1×a=0，解得a=12. ∪实数a 的值为12． 变式2、【答案】 充分必要【解析】直线 ax ＋y －1＝0 与直线 x ＋ay ＋1＝0的斜率都存在且相等时，a ＝±1，当 a ＝1时，两直线平行，当a ＝－1时，两直线重合，所以“a ＝1”是“直线 ax ＋y －1＝0 与直线 x ＋ ay ＋1＝0平行”的充分必要条件． 变式3【答案】-1 ..【解析】直线12110l mx y l x my ---：＝，：＝， 若12l l //，则21010m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得1m -＝；直线11l mx y -：＝过定点1(0)G ，， 化圆222240x x y ++-＝为()22125x y ++＝，可知圆心坐标为()10C -，，半径为5.如图，CG则min AB =＝.故答案为：-1；. 变式4、【答案】 垂直【解析】 由a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0.∪两直线垂直. 题型三、直线的对称性 例3【答案】 y ＝6x －6【解析】由题意得反射光线经过点M (－3,4)关于直线l 的对称点Q (x ，y )与点N (2,6)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4x ＋3＝－1，x －32－y ＋42＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以Q (1,0)，所以反射光线所在直线的方程为y －0x －1＝6－02－1，即y ＝6x －6.变式1、【答案】x －2y ＋3＝0.【解析】设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)…由00002022()x x y y x x y y ++⎧-+=⎪⎨⎪-=--⎩得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2， 由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上. ∪2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.变式2、解 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∪反射点M 的坐标为(－1,2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′∪l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，∪3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎨⎧y 0x 0＋5＝－23，32x 0－5－y 0＋7＝0.得⎩⎨⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.方法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∪3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x2－y ＋y＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∪所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.1、【答案】：x ＋y ＋1＝0.【解析】直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 2、【答案】 35【解析】 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0， 解得a ＝35.3、【答案】：.52【解析】因为两直线平行，所以m 1＝－4－2≠34，解得m ＝2.解法1(转化为点到直线的距离) 在直线l 1：x －2y ＋4＝0上取一点P(0，2)，P 到直线l 2：2x －4y ＋3＝0的距离为d ＝|0－8＋3|22＋42＝52. 解法2(平行线距离公式) 由l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x －2y ＋32＝0，根据平行线间的距离公式得d ＝|4－32|12＋22＝52.4、【答案】：（－6，－8）【解析】：设点关于直线的对称点为，由轴对称概念的中点在对称轴上，且与对称轴垂直，则有解得， 5、【答案】：()1,1-(4,0)P 54210x y ++=111(,)P x y 1PP 1140(,)22x y M ++54210x y ++=1PP 111145421022445x y y x +⋅+⋅+==-⎧⎪⎨⎪⎩116,8,x y =-=-∴1(6,8)P --【解析】已知直线进行变形，()()2120m x y n x y +-+-+=，若要让,m n “失去作用”，则21020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，即定点为()1,1- 6、4π【解析】依题意，原点O 到直线l 的距离为d ，2|1|1m d m +==+要距离最大值，则0m >，2112(1)2(1)2(1)21m d m m m m +==+-++++-+12≤=，当且仅当1m =，等号成立， 所以原点O 到直线l； ()22110mx m y m +---=，平面内所有点(),x y 恒不在l 上，∴关于m 的方程2(12)10ym m x y +--+=无解，显然1(0,)2不是直线l 的点20,(12)4(1)0y x y y ∴≠∆=---+<，即22111()(),0224x y y -+-<≠和点1(0,)2， 为(,)x y 所围成的图形，面积为4π.故答案为:12；4π.。

同步训练——直线方程与两条直线的位置关系一、基础知识 （一）、两条直线的位置关系1、当直线方程为111:b x k y l +=、222:b x k y l +=时， 若1l ∥2l ，则2121b b k k ≠=且；若1l 、2l 重合，则2121b b k k ==且； 若1l ⊥2l ，则121-=⋅k k .2、当两直线方程为0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 、时， 若1l ∥2l ，则12211221≠=C A C A B A B A 且；1221≠C B C B 或, 若1l 、2l 重合，则122112211221C B C B C A C A B A B A ===且且； 若1l ⊥2l ，则02121=+B B A A . （二）、点到直线的距离、直线到直线的距离 1、点P ()00,y x 到直线0=++C By Ax 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=.2、当1l ∥2l ，且直线方程分别为0:0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l 、时，两直线间的距离为：2221BA C C d +-=.（三）、两直线的交点两直线的交点的个数取决于由两直线组成的方程组的解的个数. （四）、对称问题 1、中心对称：设平面上两点()()111,,y x P y x P 和关于点()b a A ,对称，则点的坐标满足：b y y a x x =+=+2,211；若一个图形与另一个图形上任一对对应点满足这种关系，那么这两个图形关于点A 对称. 2、轴对称：（1）设平面上有直线0:=++C By Ax l 和两点()()111,,y x P y x P 、，若满足下列两个条件： ①PP 1⊥直线l ；②PP 1的中点在直线l 上，则点1P P 、关于直线l 对称；若一个图形与另一个图形上任意一对对应点满足这种关系，那么这两个图形关于直线l 对称. （2）对称轴是特殊直线的对称问题：对称轴是特殊直线的对称问题可直接通过代换求解： ①关于x 轴对称，以y -代y ； ②关于y 轴对称，以x -代x ； ③关于直线x y =对称，x 、y 互换；④关于直线0=+y x 对称，以x -代y ，同时以y -代x ； ⑤关于直线a x =对称，以x a -2代x ； ⑥关于直线b y =对称，以y b -2代y ；（3）对称轴是一般直线的对称问题，可根据对称的意义，由垂直平分列方程找到坐标之间的关系：设点()()2211,,y x Q y x P 、关于直线()00:≠=++AB C By Ax l 对称则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋅++⋅=--022********C y y B x x A ABx x y y二、基本题型 （一）平行与垂直【例1—1】直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是 （ ）A. 3x ＋2y －1＝0B. 3x ＋2y ＋7＝0C. 2x －3y ＋5＝0D. 2x －3y ＋8＝0【解析】由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0。

【高考领航】2014高考数学总复习 8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 苏教版【A 组】一、填空题1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是________．解析：由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外．答案：在圆外2．(2011·高考某某卷)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为________．解析：设圆心C (x ，y )，由题意得x －02＋y －32＝y ＋1(y ＞0)，化简得x 2＝8y －8.答案：x 2＝8y －83．(2011·高考某某卷)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.答案：10 24．(2011·高考某某卷)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值X 围是________．解析：整理曲线C 1方程得，(x －1)2＋y 2＝1，知曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，知直线l 与x 轴相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m1＋1－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 答案：(－33，0)∪(0，33) 5．(2012·高考某某卷)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．解析：设过P 点的直线为l ，当OP ⊥l 时，过P 点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分面积之差最大．易求得直线的方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝06．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的方程为________．解析：设所求直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，圆心(a,0)，由题意知：(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，∴a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，而直线x ＋y ＋m ＝0过圆心(3,0)，∴3＋0＋m ＝0， 即m ＝－3，故所求直线的方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝07．(2012·高考某某卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________．解析：如图所示：解Rt △ACO ，|OC |为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离， |OC |＝|0＋3×0－2|12＋32＝1， |OA |＝r ＝2，|AC |＝|OA |2－|OC |2＝22－12＝3， |AB |＝2|AC |＝2 3 答案：2 3 二、解答题8．圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)．(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程． 解：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径， 圆心C (0，－4)，半径r ＝12|AB |＝5，所以所求圆的方程为：x 2＋(y ＋4)2＝5. (2)法一：因为k AB ＝12，AB 中点为(0，－4)，所以AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ， 即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式，得半径r ＝10， 因此，所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋－3－b 2＝r 2－2－a 2＋－5－b 2＝r 2a －2b －3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.9．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过定点A (3,0)，且与圆C 相切．(1)求直线l 1的方程；(2)设圆C 与x 轴交于P 、Q 两点，M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点O ′.求证：以P ′Q ′为直径的圆C ′总过定点，并求出定点坐标．解：(1)∵直线l 1过点A (3,0)，且与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，则圆心O (0,0)到直线l 1的距离为d ＝|3k |k 2＋1＝1，解得k ＝±24，∴直线l 1的方程为y＝±24(x －3)． (2)证明：对于圆C 的方程x 2＋y 2＝1，令y ＝0，则x ＝±1，即P (－1,0)，Q (1,0)．又直线l 2过点A 且与x 轴垂直，∴直线l 2方程为x ＝3.设M (s ，t )，则直线PM 的方程为y＝ts ＋1(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝ts ＋1x ＋1得P ′(3，4ts ＋1)． 同理可得Q ′(3，2ts －1)． ∴以P ′Q ′为直径的圆C ′的方程为(x －3)(x －3)＝(y －4t s ＋1)(y －2t s －1)＝0， 又s 2＋t 2＝1，∴整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2ty ＝0，若圆C ′经过定点，只需令y ＝0，从而有x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±22， ∴圆C ′总经过定点，定点坐标为(3±22，0)．【B 组】一、填空题1．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4. 相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.答案：12．(2013·某某十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，若AB ＝3，则该圆的标准方程是________．解析：根据AB ＝3，可得圆心到x 轴的距离为12，故圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值X 围是________．解析：由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝|c |122＋52＝|c |13，∴0≤|c |<13，即c ∈(－13,13)． 答案：(－13,13)4．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点C 为(－2,3)，则直线l 的方程为________．解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a .由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C (－2,3)的连线必垂直于l ，∴k AB ＝－－1＋22－3＝1，∴l 的方程为x －y ＋5＝0. 答案：x －y ＋5＝05．(2013·某某模拟)从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．解析：圆的方程整理为(x －1)2＋(y －1)2＝1，C (1,1)， ∴sin ∠APC ＝15，则cos ∠APB ＝cos2∠APC＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝35. 答案：356．直线2x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OA ⊥OB ，则m 的值为________．解析：当OA ⊥OB 时，圆心(0,0)到直线2x －y ＋m ＝0的距离等于22r ， ∴|m |5＝22· 5. ∴m ＝±5210.答案：±51027．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析：如图所示，设直线上一点P ，切点为Q ， 圆心为M ，则|PQ |即为切线长，MQ 为圆M 的 半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， ∴|PQ |＝|PM |2－1≥222－1＝7.答案：7 二、解答题8．(2013·某某模拟)已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4和圆外一点A (1,23)，(1)若直线m 经过原点O ，且圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1，求直线m 的方程； (2)若经过A 的直线l 与圆C 相切，切点分别为D ，E ，求切线l 的方程及D 、E 两切点所在的直线方程．解：(1)方法一：圆C 的圆心为(－1,0)，半径r ＝2， 圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1， 则圆心到直线m 的距离恰为1，由于直线m 经过原点，圆心到直线m 的距离最大值为1.所以满足条件的直线就是经过原点且垂直于OC 的直线，即y 轴，所以直线方程为x ＝0.方法二：圆C 的圆心为(－1,0)，半径r ＝2，圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1. 则圆心到直线m 的距离恰为1.设直线方程为y ＝kx ，d ＝|－k －0|1＋k 2＝1，k 无解． 直线斜率不存在时，直线方程为x ＝0显然成立． 所以所求直线为x ＝0.(2)设直线方程为y －23＝k (x －1)，d ＝|－2k ＋23|1＋k 2＝2，解得k ＝33， 所求直线为y －23＝33(x －1)， 即3x －3y ＋53＝0，斜率不存在时，直线方程为x ＝1，∴切线l 的方程为x ＝1或3x －3y ＋53＝0，过点C 、D 、E 、A 有一外接圆，x 2＋(y －3)2＝4，即x 2＋y 2－23y －1＝0， 过切点的直线方程为x ＋3y －1＝0.9．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x －y －6＝0，A 为直线l 上一点．(1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠PAQ 的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值X 围． 解：(1)圆M 的圆心M (1,1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ，∴k AM ＝1. ′∴直线AM 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －6＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即A (3,3)． 如图，连结MP ， ∵∠PAM ＝12∠PAQ ，sin ∠PAM ＝PM AM＝23－12＋3－12＝22， ∴∠PAM ＝45°，∴∠PAQ ＝90°.(2)过A (a ，b )作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点，因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，只要做∠DAE ≥60°. ∵AM 平分∠DAE ， ∴只要30°≤DAM <90°.类似于第(1)题，只要12≤sin∠DAM <1，即2a －12＋b －12≥12且a －12＋b －12≥12<1. 又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5， 即a 的取值X 围是[1,5]．。

两条直线的位置关系综合练习题及答案--------------------------------------------------------------------------作者: _____________--------------------------------------------------------------------------日期: _____________两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系 （1）平行的判断：①当21,l l 有斜截式（或点斜式）方程222111:,:b x k y l b x k y l +=+=， 则⇔21//l l 1212,k k b b =≠ .②当21,l l 有一般式方程：0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ， 则⇔21//l l 122112210,0A B A B C B C B -=-≠ .（2）垂直的判断：①当21,l l 有斜截式（或点斜式）方程222111:,:b x k y l b x k y l +=+=， 则⇔⊥21l l 222111:,:b x k y l b x k y l +=+= .②当21,l l 有一般式方程：0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ， 则⇔⊥21l l 12120A A B B += .2、两条直线的交点：若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l则21,l l 的交点为__方程11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解.3、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0Ax By C ++=的距离为d = _.(2)两平行直线间的距离求法：两平行直线：1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，则距离d d ==（二）例题讲解：考点1：直线的平行与垂直关系例1、（1）已知直线l 的方程为34120x y +-=，求与l 平行且过点()1,3-的直线方程； （2）已知直线12:23100,:3420l x y l x y -+=+-=，求过直线1l 和2l 的交点，且与直线3:3240l x y -+=垂直的直线l 方程.易错笔记：解：（1）设与直线l 平行的直线1l 的方程为340x y C ++=，则点()1,3-在直线340x y C ++=上，将点()1,3-代入直线340x y C ++=的方程即可得：()31430C ⨯-+⨯+=，∴9C =-，∴所求直线方程为：3490x y +-=.（2）设与直线3:3240l x y -+=垂直的直线l 方程为：230x y C ++=，Q 方程231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解为：22x y =-⎧⎨=⎩，∴直线12:23100,:3420l x y l x y -+=+-=的交点是()2,2-， ∴直线l 过直线12:23100,:3420l x y l x y -+=+-=的交点()2,2-， ∴()22320C ⨯-+⨯+=，∴2C =-，∴直线l 方程为：2320x y +-=.考点2：直线的交点问题例2、已知直线方程为()()212430m x m y m ++-+-=，(1)求证：无论m 取何值，此直线必过定点；(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程. 解：(1)设直线方程为()()212430m x m y m ++-+-=过定点(),A B ，∴2423A B A B +=-⎧⎨-=⎩，∴12A B =-⎧⎨=-⎩， ∴直线方程为()()212430m x m y m ++-+-=过定点()1,2--. (2) 由题意知，直线l 在x 轴上的截距0a ≠，在y 轴上的截距0b ≠，∴设直线l 的方程为：1x ya b+=，∴直线l 在x 轴上的交点坐标为(),0M a ，直线l 在y 轴上的交点坐标为()0,N b ，Q 直线l 夹在两坐标轴间的线段被点()1,2--平分，∴点()1,2--是线段MN 的中点，∴012022a b +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，∴2,4a b =-=-， ∴直线l 的方程为：124x y+=--，即240x y ++=. 易错笔记：（三）练习巩固：一、选择题1、直线310x y ++=和直线6210x y ++=的位置关系是 （ B ）A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直 2、点()2,1到直线3420x y -+=的距离是 （ A ）A ．54B ．45C ．254 D ．425 3、如果直线012=-+ay x 与直线01)13(=---ay x a 平行，则a 等于 （ A ）A ．0B ．61 C ．0或1 D ．0或61 解： ()()12310a a a ⋅---=①，且()()210a a ---≠②，由①得：0a =或16a =，由②得：0a ≠，∴ 0a =.4、若三条直线2380,10x y x y ++=--=和0x ky +=相交于一点，则=k （ B ）A ．-2B ．21- C ．2 D ．21解：Q 方程238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩的解为：12x y =-⎧⎨=-⎩，∴直线2380,10x y x y ++=--=的交点是()1,2--，Q 三条直线2380,10x y x y ++=--=和0x ky +=相交于一点()1,2--，∴直线0x ky +=过点()1,2--，∴()120k -+-=，∴12k =-，故选B .5、已知点()4,2M 与()2,4M 关于直线l 对称，则直线l 的方程为 （ D ）A ．06=++y xB ．06=-+y xC ．0=+y xD ．0=-y x6、已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们间的距离是 （ D ）A ．1710B ． 175C ．8D ．2解：Q 直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，∴()346041430m m -⨯=⎧⎪⎨⨯--≠⎪⎩，∴8m =，∴直线6140x my ++=的方程为68140x y ++=，即3470x y ++=，∴直线3430x y +-=与直线3470x y ++=之间的距离2d ===. Q 直线3430x y +-=与直线68140x y ++=的距离等于直线3430x y +-=与直线3470x y ++=之间的距离，∴直线3430x y +-=与直线6140x my ++=的距离2d ==，故选D.二、填空题7、如果三条直线123:30,:20,:220l mx y l x y l x y ++=--=-+=不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m 的一个．．值是_______. 8、过点()2,3且平行于直线250x y +-=的方程为______270x y +-=__________. 过点()2,3且垂直于直线3430x y +-=的方程为______4310x y -+=__________. 分析：设与直线250x y +-=平行的直线方程为：20x y C ++=，则点()2,3在直线20x y C ++=上，将点()2,3代入直线20x y C ++=的方程即可得：2230C ⨯++=，∴7C =-，∴所求直线方程为：270x y +-=.分析：设垂直于直线3430x y +-=的方程为：430x y C -+=，则点()2,3在直线430x y C -+=上，将点()2,3代入直线430x y C -+=的方程即可得：42330C ⨯-⨯+=，∴1C =，∴所求直线方程为：4310x y -+=.9、已知直线1l 的斜率为3，直线2l 经过点()1,2A ，()2,B a ，若直线21//l l ，=a _3_；若21l l ⊥，则=a __53__.当直线21//l l 时：Q 直线1l 的斜率：13k =，且直线21//l l ，∴直线2l 的斜率213k k ==，Q 直线2l 经过点()1,2A ，()2,B a ，∴直线2l 的斜率2122122321y y a k a x x --===-=--， ∴5a =.当直线21l l ⊥时，设直线1l 的斜率为1k ，直线2l 的斜率为2k ，则直线1l 的斜率：13k =，Q 直线21l l ⊥，∴121k k ⋅=-，∴直线2l 的斜率21113k k -==-， 又Q 直线2l 经过点()1,2A ，()2,B a ，∴直线2l 的斜率21221212213y y a k a x x --===-=---， ∴53a =.10、设直线123:3420,:220,:3420l x y l x y l x y +-=++=-+=，则直线1l 与2l 的交点到3l 的距离为__125__.解：Q 方程3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩的解为：22x y =-⎧⎨=⎩，∴直线2380,10x y x y ++=--=的交点是()2,2-，∴点()2,2-到直线3l 的距离为：125d ==.11、过点()1,2A -，且与原点距离等于22的直线方程为30x y -+=或790x y -+=．解：设所求直线的斜率为k ，则Q 直线过点()1,2A -，∴方程为()()211y k x k x -=--=+⎡⎤⎣⎦，即20kx y k -++=，∴直线到原点的距离为：d ====，()()22222121k k +==+-⎝⎭，∴2870k k ++=，∴1k =或7k =，∴所求直线的方程为：30x y -+=或790x y -+=．三、解答题12、已知直线()12:60,:2320l x my l m x y m ++=-++=，求m 的值，使得 (1) 1l 和2l 相交；（2）21l l ⊥垂直；(3) 21//l l ； (4) 1l 和2l 重合. 解：(1) Q 1l 和2l 相交，∴()2130m m --⨯≠，∴1m ≠-． (2)Q 21l l ⊥垂直，∴()1230m m ⋅-+⨯=，∴12m =.(3) Q 21//l l ，∴()()()2130123602m m m m --⨯=⎧⎪⎨⋅-⨯≠⎪⎩， 由（1）得：3m =或1m =-，由（2）得：3m ≠±，∴1m =-.(4)Q 1l 和2l 重合，∴()()()2130123602m m m m --⨯=⎧⎪⎨⋅-⨯=⎪⎩， 由（1）得：3m =或1m =-，由（2）得：3m =或3m =-，∴当3m =，或3m =-，或1m =-时，1l 和2l 重合.13、已知直线l 过点()1,2，且与x ，y 轴正半轴分别交于点A 、B（1）、求AOB ∆面积为4时直线l 的方程；（2）、在（1）的前提之下，求边AB 上的高所在的直线方程.解：（1）、由题意知，直线l 在x 轴上的截距0a >，在y 轴上的截距b >∴设直线l 的方程为：1x ya b+=，Q 直线l 过点()1,2， ∴121a b +=①，Q AOB ∆面积为4，∴11422a b ab ==②，由①、②得：2a =，4b =， ∴直线l 的方程为：124x y+=，即240x y +-=.（2）、设边AB 上的高所在的直线为1l ，斜率为1k ，直线1l 过原点()0,0O ，Q 直线l 的方程为： 240x y +-=，∴边AB 所在的直线方程为：240x y +-=，斜率为斜率2k =-，Q 1l l ⊥，∴11k k ⋅=-，∴111122k k --===-，Q 直线1l 过原点()0,0O ， ∴直线1l 的方程为：()1002y x -=-，即20x y -=.综上所述：边AB 上的高所在的直线方程为：20x y -=.----------THE END, THERE IS NO TXT FOLLOWING.------------。