数学解题思维培养方法

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在平时的教学中,为了提高学生的解题能力,除了做好审题、解题方法、解题步骤等工作之外，解题后的反思也是一个不可缺少的环节。由于学生认识结构水平的限制，表现出对知识不求甚解，不善于解题后对题目进行反思，也不善于纠正和找出自己的错误，缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括，掌握知识的系统性较弱，结构性较差。解完一道题后，必须认真地进行探索：命题的意图是什么？考核的概念、知识点是什么？验证结论是否正确合理？求解论证过程是否严密有据？本题有无其他解法？解本类问题的通法是什么？通过解题后的一系列反思，让学生的思维继续飞翔，提高学生的解题能力。一、积极反思，查漏补缺确保解题的合理性和正确性解数学题，有时由于审题不清，概念不清，忽视条件或计算出错，难免出现这样或那样的错误。所以解题后，必须对解题的过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证。例1.（2006北京）已知f（x）=（3a-1）x+4a（x约1）logax（x逸1）嗓是（-肄，+肄）上的减函数，那么a的取值范围是。A.（0，1）B.（0，13）C.［17，13）D.［17，1）错解：由题意，3a-1约00约a约1嗓，解得：0约a约13，选B。反思：本题考查的是分段函数的单调性，学生大多只考虑两段都减，而未考虑到f（x）是（-肄，+肄）上的减函数，忽视当x=1时，（3a-1）x+4a跃logax，即7a-1逸0圯a逸17，故17臆a约13，正确答案应为C。二、积极反思，系统小结，重视知识的迁移和应用解题后，要不断地探究问题的知识结构和系统性，能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探索？能否加强知识的横向联系？通过不断地拓展，加强对知识结构的理解。例2.（2014新课标II）已知偶函数f（x）在［0，+肄）单调递减，f（2）=0，若f（x-1）跃0，则x的取值范围是。Oxy-22解：由题意画出f（x）的简图，由图知f（x-1）跃0的解为-2约x-1约2，即：x沂（-1，3）。反思：本题考查的是抽象函数的问题，解题时可以由所给条件画出函数图像，结合函数图像解决问题。可以改变某些条件，深化对这一类型题的理解。如，（1）若将题中“f（x-1）跃0”改为“f（x-1）x跃0”，其余条件不变，则答案为：。（2）若将题中“f（x）在［0，+肄）单调递减”改为“当x跃0时，xf忆（x）-f（x）跃0”；“f（x-1）跃0”改为“f（x-1）x跃0”，其余条件不变，则答案为：。三、积极反思，探求一题多解和多题一解，提高综合解题能力数学知识有机联系、纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径很多，但最终能殊途同归。解题后进一步反思，探求一题多解，多题一解，开拓思路，掌握规律，有创造性地学习、总结，使自己的解题能力更胜一筹。例3.（2014陕西）设a，b，m，n沂R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则m2+n2姨的最小值为。解：ma+nb臆m2+a22+n2+b22=（a2+b2）+（m2+n2）2，则m2+n2姨逸5姨，即m2+n2姨的最小值为5姨。反思：本题考查的是不等式问题，除可用均值不等式求解外，还可应用柯西不等式或引入参数求解。具体解法如下：（1）（柯西不等式）（a2+b2）（m2+n2）逸（ma+nb）2，则m2+n2姨逸5姨，即m2+n2姨的最小值为5姨。（2）（参数法）设a=5姨cos兹b=5姨sin兹嗓，代入ma+nb=5，并利用辅助角公式化简得：m2+n2姨sin（兹+渍），故m2+n2姨逸5姨，即m2+n2姨的最小值为5姨。四、积极反思，整合知识，探究规律，培养思维的创造性解题不能就题论题，要寻找问题间的本质联系，能否受这个问题的启发，将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合，对每一个问题都要寻根问底，能否得到一般性的结果，激发学生进一步探索问题的兴趣。例4.（2013浙江）已知琢沂R，sin琢+2cos琢=10姨2，则tan2琢。A.43B.34C.-34D.-43解：因为：sin琢+2cos琢=10姨2解题后反思，培养数学思维王辉（陕西省兴平市南郊高级中学）摘要：解题后反思，命题的意图是什么？考核的概念、知识和能力是什么？验证结论是否正确，求解论证过程是否严密有据？不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学。关键词：解题；反思；数学思维

第八卷第四期

年22月西藏大学学报

JRJ

FTTVRTVl8冲

L陀

数学思维结构与解题能力培养

叶培钧

摘要:

本文指出中小学生解题能力的实质就是数学思维结构认识功能的强弱,

并就此理解提出若干条提

高中小学生解题能力的建议凡在数学教学第一线工作的中小学数学教师,

一定可以通过阅读本

文而获得某些启发。

关键词:

数学

畏维结构;

数学解题能力

分类号:N42

关于数学解题能力

+3

一412

一31

一广义地说,

数学解题能力是指以数学为工具解

决各类问题的能力。

比如解决生产生活中的各种实

际问题;

解决其它学科中的间题,

解决数学中的各类

间题。

问题的难易程度决定着对数学能力的要求,

间

题越复杂,

要求解题者的数学能力越强。

牛顿为解决

运动间题而创立微积分,

付立叶研究热传导问题而

提出偏徽分方程;

维纳研究机器的自动控制从而创

立了控制论;

笛卡尔为使代数与LJ何结合起来创立

了解析LJ何。

柯西为解决徽积分的理论问题创立了

极限论。

随着数学的进一步发展,

数学更加广泛而深入

地渗透到生产、

生活及其它科学领域。

正是“

宇宙之

大,

粒子之微,

火箭之速,

化工之巧,

地球之变,

生动

之速,

日用之繁,

无处不用数学”

因此,

提高解题能

力的重要性是不言而喻的,

这实在是社会实践向人

们提出的客观要求。

狭义地说,

数学解题能力是指学生在学习期间

完成各种数学间题的能力。

本文所论数学解题能力就是上述这种狭义的理

解无论是课本上的习题,

还是考试中的试题,

都是由教师编排的其目的在于使学生牢固掌握所学知

识并对它们的智力进行训练因此,

中小学生的解

题就是破译教师们的密码。

如教师由(3x十Zy)(x+

3y)=3x公

+zlxy+6y2

就可以让学生对式子3x2

+

11xy+6y,

进行因式分解;

由(x+了z)(X一3

了飞一

)二扩一2

7甲

乏一

x一6,

就可以让学生们解一元

二次方程扩一2

了厄ex一6~o。

解题能力是一种重要的综合性能力,

这种能力

的强弱对于学生学习数学的兴趣,

对于学生对所学

数学知识的理解,

具有至关重要的影响。

我们从美国

- 1 - 数学解题中逆向思维的培养途径

在数学解题中，逆向思维是一种非常重要的技能，它能够帮助学生快速地找到解决问题的方法。那么，如何培养逆向思维呢？以下是一些培养逆向思维的途径：

1. 改变思路：在解题过程中，要时刻保持开放的心态，不断尝试不同的方法和思路，特别是一些与惯有思维不同的方法。

2. 拓展知识面：在进行数学解题时，可以通过扩展知识面，了解更多的数学知识和技巧，从而更加灵活地应对各种问题。

3. 理解题意：在解题前，要先仔细阅读题目，理解题意并进行分析。有时候，题目中的一些关键词汇或者条件可能会提示我们采用逆向思维。

4. 创造性思维：要培养创造性思维，尝试不同的思维方式，以及突破自己的思维局限。

5. 经验积累：在数学解题中，经验是非常重要的。通过反复练习和总结，可以不断积累经验，从而更加熟练地运用逆向思维。

总之，逆向思维是一种非常重要的数学解题技能，只有不断培养和实践，才能够取得更好的成果。

高中数学解题思维方法刍议

时间的步伐已进入二十一世纪，新时代的中心任务是大力发展社会经济.数学教育在社会发展中有着举足轻重的地位，他是经济建设的重要一环和主要途径，作为一名高中数学教师，在教学中应该深挖教材，努力探寻教学规律，然后与社会实践相联系，使学生真正做到学以致用，在注重传授知识的同时，也应该把数学思想方法融入到学生的学习中去，只有这样，才有利于培养学生的解题能力，才能使教学效率进一步的提高.同时注重学生思维能力和解题能力的培养，也为减轻学生的课业负担，为培养社会高素质的优秀人才奠定了基础.下面是我在教学中的一点浅显的看法，仅供大家参考.

一、通过观察法，培养学生的解题能力

数学观察能力是一种有目的、有选择的加工能力，它具体体现为：掌握教学概念的能力，抓住本质特征的能力，发现知识内在联系的能力，形成知识结构的能力，掌握数学法则或规律的能力；这些能力的取得，是数学教学工作中的重要载体，也是思想方法教学中的重要途径.我们大家都知道数学中的式子、图形等都是形式多样、交错复杂的，因此要求观察者要有目的、有选择地去认识解题的整个过程，对数学对象要进行全面的思考，在复杂的式子或者是图形中分析其主要特征，并根据其特点来达到我们解决问题的思路.例如，我在讲解高中数学人教版必修2a《直线与平面平行的性质》的内容时，我提出了这样的问题：如果有一条直线与某一个平面平行，这个平面内的所有直线是不是也与这条直线平行呢？这时同学们议论纷纷，我不失时机拿出一支笔，把这支笔放到和讲桌所在平面平行的位置上，把另外的一支笔放在桌面，这时问题的答案就很明了，可以说观察在问题的解决中起到了重要的作用，比用复杂的证明过程要简单得多、省事得多.当然，数学问题是抽象的也是复杂的，我们不能只看表面的现象，而应该透过事物的本质加以观察.作为教师，在教学过程中，要指导学生观察整个解题的过程，不仅审题、解题过程要观察，而且解题后还要观察，这样学生才能具有多层次观察的能力.事实证明我在教学中的这种做法，不仅激发了学生的学习兴趣和求知欲望，而且对调动学生的学习积极性也起到了一定的作用，更从很大程度上提高了学生的解题能力.