2017年数学真题及解析_2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. （5 分）巳知集合

A= （x∣

x

3×

A. A∩B={x∣

x<0} B. AUB=R C. AUB={x∣

x>l} D. AEB=0

2. （5分）如图，正方形

ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆

中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一

点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

B

C

A. ɪ B. ɪ C. ɪ D.—

4 8 2 4

3.（

5分）设有下面四个命题

Pi:若复数

Z满足

1∈

R,则

z∈

R;

Z

P2：若复数

Z满足

z2∈

R,则

z∈

R;

P3：若复数

Zl, Z2满足

Z1Z2任

R,则

ZI=&

P4：若复数

z∈

R,则三

WR.

其中的真命题为（ ）

A. Pl, p3 B. Pl, p4 C. P2, P3 D. P2, P4

4. （5分）记

Sn为等差数列

｛atl｝的前

n项和.若

a4+a5=24, S6=48,则

｛a∏｝的公差

为（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

5. （

5分）函数

f （x）在（

-8, +8）单调递减，且为奇函数.若

f （I） = - 1,

则满足-

l≤f （X - 2） ≤1的

X的取值范围是（ ）

A. [ - 2, 2] B. [ - 1, 1] C. [0, 4] D. [1,

3]6. （5分）（

1+工）

（l+x） 6展开式中

χ2的系数为（ ）

2

X

A. 15 B. 20 C. 30 D. 35

7. （

5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰

直角三角形组成，正方形的边长为

2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各

个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）

A. 10 B. 12 C. 14 D. 16

8. （5分）如图程序框图是为了求出满足

3n-2n>1000的最小偶数

n,那么在

A. A>1000 和

n=n+l B. A>1000 和 n=n+2

C. A≤ 1000 和 n=n+l D. A≤1000 和

n=n+2

9. （5分）已知曲线

Ci：

y=cosx, C2: y=sin （2x+22L）,则下面结论正确的是（ ）

3

A.把

Cl上各点的横坐标伸长到原来的

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右

平移

2L个单位长度，得到曲线

C2

6B. 把

Cl上各点的横坐标伸长到原来的

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左

平移

2L个单位长度，得到曲线

C2

12

C. 把

Cl上各点的横坐标缩短到原来的【倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右

2

平移

2L个单位长度，得到曲线

C2

6

D. 把

Cl上各点的横坐标缩短到原来的【倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左

2

平移

2L个单位长度，得到曲线

C2

12

10. （

5分）已知

F为抛物线

C: y2=4x的焦点，过

F作两条互相垂直的直线∣

ι, I2,

直线

Ii与

C交于

A、

B两点，直线∣

2与

C交于

D、

E两点，则

AB∣

+ ∣

DE∣的最小值

为（ ）

A. 16 B. 14 C. 12 D. 10

11. （5 分）设

x、

y、

Z 为正数，且

2x=3y=5z,贝

U （ ）

A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z

12. （5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大

家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的

激活码为下面数学问题的答案：已知数列

1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1,

2, 4, 8, 16,其中第一项是

2。，接下来的两项是

2。，

21,再接下来的三项

是

2。，

2】，

22,依此类推.求满足如下条件的最小整数

N：

N>100且该数列的前

N项和为

2的整数幕.那么该款软件的激活码是（ ）

A, 440 B. 330 C. 220 D. 110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. （5分）已知向量言，

E的夹角为

60。，|总

=2, I曲

=1,则

I a+2bl=•

x+2y≤l

14. （5分）设

X, y满足约束条件<

2x+y≥-l，则

z=3x - 2y的最小值为.

χ~y≤0

2 2

15. （

5分）己知双曲线

C：

L-Ll （a>0, b>0）的右顶点为

A,以

A为圆

2 ,2

a b

心,

b为半径作圆

A,圆

A与双曲线

C的一条渐近线交于

M、

N两点.若

ZMAN=60°,

则

C的离心率为.

16. （5分）如图，圆形纸片的圆心为

0,半径为

5cm,该纸片上的等边三角形

ABC的中心为

0.

d、e、F为圆。上的点，A

dbc, Δ

eca, A

fab分别是以

bc,

CA, AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以

BC, CA, AB为折痕折起

∆DBC, ∆ECA, ∆FAB,使得

D、

E、

F重合，得到三棱锥.当

Z∖

ABC的边长变化

时，所得三棱锥体积（单位：

cm3）的最大值为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答.

17. （12分）

A

abc的内角

a,

b, C的对边分别为

a, b, c,已知

A

abc的面积

(1) 求

SinBsinC;

(2) 若

G

cosB

cosC=I, a=3,求

ZiABC 的周长.

18. (12 分)如图，在四棱锥

P - ABCD 中，

AB∕/CD,且

ZBAP=ZCDP=90°.

(1) 证明：平面

PABj_平面

PAD；

(2) 若

PA=PD=AB=DC, ZAPD=90°,求二面角

A-PB-C 的余弦值.

19. （12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产

线上随机抽取

16个零件，并测量其尺寸（单位：

cm）.根据长期生产经验，可

以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

N （μ,。

2）

.(1)

假设生产状态正常，记

X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在

(μ-3σ,

μ+3σ)之外的零件数，求

P (X≥l)及X的数学期望；

(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在

(μ-3σ, μ+3σ)之外的零件，就

认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程

进行检查.

(i )试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.9810.04

10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.059.95

经计算得三

WWL=9.97, [/(Xe'⅛(∑ χ12-i6τ2)≈o∙212^

其中Xi为抽取的第

i个零件的尺寸,

i=l, 2, 16.

用样本平均数三作为

μ的估计值μ ,用样本标准差S作为。的估计值σ,利用估

计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(.-

3 cr , μ+3σ)之外

的数据，用剩下的数据估计口和。(精确到

0.01).

附：若随机变量

Z服从正态分布

N (μ, σ2),则

P (μ - 3σ

0.997416≈0.9592, √Q. Q08≈0∙09.

2 2

20. (12 分)已知椭圆 C：

(a>b>O),四点

PI (1, 1), P2 (0, 1),

2 ,2

a b

P3 (- 1，

P4 a, ʧɪ)中恰有三点在椭圆

C上.

2 2

(

1)

求

C的方程；

(2)

设直线

I不经过

P2点且与

C相交于

A, B两点.若直线

P2A与直线P2B的斜

率的和为

-1,证明：

I过定点.

21. (12 分)已知函数

f (x) =ae2x+ (a - 2) ex - x.

(1) 讨论

f (x)的单调性；

(

2) 若

f (x)有两个零点，求

a的取值范围.

［选修4-4,坐标系与参数方程

］