人教版高中数学必修三 课时提升作业(十七) 3.1.32

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课时提升作业(十七)

概率的基本性质

(25分钟 60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.下列各组事件中，不是互斥事件的是 ( )

A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6

B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分

C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒

D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%

【解析】选B.对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件.

2.(2015·宝鸡高一检测)口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 ( )

A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7

【解析】选C.摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.

3.(2015·大同高一检测)给出以下结论：①互斥事件一定对立.②对立事件一定互斥.③互斥事件不一定对立.④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率.⑤事件A与B互斥，则有P(A)=1-P(B).其中正确命题的个数为 ( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

【解析】选C.对立必互斥，互斥不一定对立，所以②③正确，①错；

又当A∪B=A时，P(A∪B)=P(A)，所以④错；只有事件A与B为对立事件时，

才有P(A)=1-P(B)，所以⑤错.

4.(2015·台州高一检测)抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则 ( )

A.A⊆B

B.A=B

C.A+B表示向上的点数是1或2或3

D.AB表示向上的点数是1或2或3

【解析】选C.设A={1，2}，B={2，3}，A∩B={2}，A∪B={1，2，3}，所以A+B表示向上的点数为1或2或3.

【补偿训练】同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为 ( )

A.一个是5点，另一个是6点

B.一个是5点，另一个是4点

C.至少有一个是5点或6点

D.至多有一个是5点或6点

【解题指南】考虑事件“都不是5点且不是6点”所包含的各种情况，然后再考虑其对立事件.

【解析】选C.设两枚骰子分别为甲、乙，则其点数共有以下四种可能：甲是5点且乙是6点，甲是5点且乙不是6点，甲不是5点且乙是6点，甲不是5点且乙不是6点，事件“都不是5点且不是6点”为第四种情况，故其对立事件是前三种情况，故选C.

【误区警示】解答本题容易忽视根据两个骰子是否为5点或6点对所有可能出现的结果进行分析，导致错误.

5.(2015·青岛高一检测)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中飞机}，B={两次都没击中飞机}，C={恰有一次击中飞机}，D={至少有一次击中飞机}，下列关系不正确的是 ( )

A.A⊆D B.B∩D=

C.A∪C=D D.A∪B=B∪D

【解析】选D.“恰有一次击中飞机”指第一次击中第二次没中或第一次没中第二次击中，“至少有一次击中”包含两种情况：一种是恰有一次击中，一种是两次都击中，所以A∪B≠B∪D.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为 .

【解析】“从中任取5个球，至少有1个红球”是必然事件，必然事件发生的概率为1.

答案：1

7.若A，B为互斥事件，P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7，则P(B)= .

【解析】因为A，B为互斥事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)，

所以P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.7-0.4=0.3.

答案：0.3

8.(2015·开封高一检测)甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，则乙获胜的概率为

，甲不输的概率为

.

【解题指南】“乙获胜”的对立事件是“甲不输”，不是“甲胜”.

【解析】设事件“甲胜”，“乙胜”，“甲乙和棋”分别为A，B，C，则P(A)=30%，P(C)=50%，所以甲不输的概率为P(A∪C)=P(A)+P(C)=80%，

P(B)=1-P(A∪C)=1-80%=20%.

答案：20% 80%

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A={出现1点}，B={出现3点或4点}，C={出现的点数是奇数}，D={出现的点数是偶数}.

(1)说明以上4个事件的关系.

(2)求两两运算的结果.

【解析】在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，

记作Ai={出现的点数为i}(其中i=1，2，…，6).则A=A1，B=A3∪A4，

C=A1∪A3∪A5，D=A2∪A4∪A6.

(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件.

(2)A∩B=，A∩C=A，A∩D=.

A∪B=A1∪A3∪A4={出现的点数为1或3或4}，

A∪C=C={出现的点数为1或3或5}，

A∪D=A1∪A2∪A4∪A6={出现的点数为1或2或4或6}.

B∩C=A3={出现的点数为3}，

B∩D=A4={出现的点数为4}. B∪C= A1∪A3∪A4∪A5={出现的点数为1或3或4或5}.

B∪D=A2∪A3∪A4∪A6={出现的点数为2或3或4或6}.

C∩D=，C∪D=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6={出现的点数为1，2，3，4，5，6}.

【拓展延伸】判断两个事件是互斥还是对立的方法

要判断两个事件是互斥事件还是对立事件，需找出两个事件包含的所有结果，分析它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下，看两事件是否非此即彼，一个不发生必有另一个发生，进而可判断是否为对立事件.注意：对立事件是互斥事件的特例.

10.(2015·岳阳高一检测)在大小相同的5个球中，只有红色和白色两种球，若从中任取2个，全是白球的概率为0.3，求所取出的2个球中至少有1个红球的概率.

【解题指南】判断事件间的关系→利用对立事件的概率公式求解.

【解析】记事件A表示“取出的2个球中至少有1个红球”，事件B表示“取出的2个球全是白球”，则事件A与事件B互为对立事件，而事件B发生的概率为P(B)=0.3，所以事件A发生的概率为P(A)=1-P(B)=1-0.3=0.7.

(20分钟 40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.(2015·枣庄高一检测)把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( )

A.对立事件

B.互斥但不对立事件

C.不可能事件

D.必然事件 【解析】选B.因为只有1张红牌，所以“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，所以是互斥事件，但是这两个事件不是必有一个发生，故不是对立事件.

【拓展延伸】利用集合的观点判断事件的互斥与对立

设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.

(1)事件A与B互斥，即集合A∩B=.

(2)事件A与B对立，即集合A∩B=，且A∪B=I(I为全集)，也即A=B或B=A.

2.对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20，25)上的为一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上的为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为 (

)

A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45

【解析】选D.组距为5，二等品的概率为1-(0.02+0.06+0.03)×5=0.45.所以，从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率为0.45.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.一盒子中有10个相同的球，分别标有号码1，2，3，…，10，从中任取一球，则此球的号码为偶数的概率是 .

【解析】取2号、4号、6号、8号、10号球是互斥事件，且概率均为，故有++++=.

答案：

【补偿训练】(2015·宁波模拟)已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 .

【解析】从中取出2粒棋子，“都是黑棋子”记为事件A，“都是白棋子”记为事件B，则A，B为互斥事件.所求概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.

答案：

4.(2015·厦门高一检测)中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为

.

【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球冠军的概率为+=.

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

5.学校射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如表：

命中环数 10环 9环 8环 7环

概率 0.32 0.28 0.18 0.12

求该选手射击一次，

(1)命中9环或10环的概率. (2)至少命中8环的概率.

(3)命中不足8环的概率.

【解题指南】准确理解所求概率的事件是哪些互斥事件的并事件，或其对立事件是什么，结合概率加法公式进行求解.

【解析】记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k=7，8，9，10).

(1)因为A9与A10互斥，

所以P(A9+A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.

(2)记“至少命中8环”为事件B.

B=A8+A9+A10，又A8，A9，A10两两互斥，

所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.

(3)记“命中不足8环”为事件C.则事件C与事件B是对立事件.

所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.

6.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

(1)P(A)，P(B)，P(C).

(2)1张奖券的中奖概率.

(3)1张奖券不中特等奖，且不中一等奖的概率.

【解析】(1)P(A)=，P(B)==，P(C)==.

故事件A，B，C的概率分别为，，.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M=A∪B∪C.

因为A，B，C两两互斥，