坐标几何的复习课

高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考数学立体几何三部曲—空间之直角坐标系专项一、积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算3、应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：OP＝x OM＋y OAOP＝x OA＋(1－x)OB－一、空间向量的简单应用1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是() A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对2．(2012·济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是() A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}3．(教材习题改编)下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0； ②若MB ＝x MA ＋y MB ，则M 、P 、A 、B 共面； ③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．34．在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．5．013·大同月考)若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)6已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607D.657二、利用空间向量证明平行或垂直[例] 已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，边长为2a ，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．方法利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.1.2012·长春模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面P AB，求λ的值．2.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°.(1)求证：C1C⊥BD；(2)当CDCC1的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD请给出证明．3.如图所示，平面P AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△P AD是直角三角形，且P A＝AD＝2，E、F、G分别是线段P A、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成的角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e·n| |e||n|.3．求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．(2)如图2、3，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．1．(教材习题改编)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°2．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°3.在如图所示的正方体A 1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC 夹角的余弦值为( )A ．－1010B ．－120C.120D.10104．已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．5．(教材习题改编)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值________．（一）异面直线所成的角[例1] (2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35本例条件下，在线段OB 上，是否存在一点M ，使C 1M 与AB 1所成角的余弦为13若存在，求出M 点；不存在，说明理由．1．(2012·安徽模拟)如图所示，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1. .（二）直线与平面所成角[例2] (2012·大纲全国卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．2.(2012·宝鸡模拟)如图，已知P A⊥平面ABC，且P A＝2，等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E.(1)求证：PC⊥平面ADE；(2)求直线AB与平面ADE所成角的大小．（三）二面角[例3]在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝5，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；3．如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．11A1如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.【课后练习题】1.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角为________．2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为________．3.如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角为________．4．(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6. (1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P －BD －A 的大小．5．(2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．6．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直说明理由．7．(2013·湖北模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：P A⊥EF；(2)求二面角D－FG－E的余弦值．8．(2012·北京西城模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1； (2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．9．(2012·北京东城模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．10．(2012·天津高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．11.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2. (1)证明：当点E 在棱AB 上移动时，D 1E ⊥A 1D ；(2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1－EC －D 的平面角为π6若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．12．(2012·湖北模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°.(1)若异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，求棱柱的高；(2)设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sin θ的最大值．11。

目标二：深刻理解并掌握直角坐标系中相关重要性质并灵活应用任务一：结合由特殊到一般和数形结合的思想推导相关性质任务二：结合学历案练习巩固会推导过程能对性质灵活应用7、己知等边的两个顶点坐标为A(-4, 0)，B(2, 0).试求：⑴C点坐标；(2) △ABC的面积，3、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征1.点（3,-5）、（-5.-5）所在的直线与坐标轴的位置关系是2.如果同一直角坐标系下两个点的横坐标相同，那么过这两点的直线（（A）平行于x轴（B）平行于y轴（C）经过原点（D）以上都不对3.过点（2,-1）且平行于x轴的直线上的点（）4. A.横坐标是2 B.纵坐标是2C横坐标-1 D.纵坐标是」5、己知点A （m, -2）,点B （3, m-1）,且直线AB//x轴，则m的值为_____4、各象限角平分线上点的坐标特征一、三象限角平分上的点两坐标，二、四象限角平分上的点两坐标 ,1.若点P的坐标（x,y）满足x+y=O，点P在坐标系的位置是_______.3、若一个点的横坐标和纵坐标相等，则此点一定在4、点A到两坐标轴的距离相等，则点A的位置？5、在第一、三象限的角平分线上有一点P，它到x轴的距离为2,则点P坐标___________5、点到坐标轴的距离1、P（一5, 4）到X轴的距离是_______，到y轴的距离是_________2求P （-2, -3）到x轴,y轴，原点的距离-3、把点（-3 6）向右平移4个单位就得到点（-7,6）,对吗？6、轴对称与坐标变化1.点（一1, 4）关于原点对称的点的坐标是（）A. （-1, 一4）B. （1, -4）C. （1, 4）D. （4, -1）2.点（-2, 1）关于x轴的对称点的坐标为（）3.与点P（a, b）与点Q（l, 2）关于x轴对称，则a+b= ____4.点P （3, 2）关于y轴对称的点的坐标为 .5.己知点P （-3, 2）,点A与点P关于y轴对称，则A点的坐标为6.已知点A （2, 一3）它关于x轴的对称点为A”它关于y轴的对称点为A”，则这两点的位置有什么关系？图形变换目标三：在几何图形中建立适当的直角坐标系任务：结合课本128页例2、例3思考建立直角坐标系的原则总结坐能说出让尽量多的点落在坐标轴上。

第三章位置与坐标复习课学案复习目标：1．在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置，能由点的位置写出它的坐标并会在直角坐标系中作出简单图形；2．在同一坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化；3．综合运用图形与坐标的知识解决简单的实际问题，初步建立数形结合的数学思想。

重难点： 1.对称点的坐标特征。

2.建立平面直角坐标系确定点的坐标知识点回顾与应用（1）各象限内点的坐标的符号特征。

点P(x，y)在第一象限内，则x 0 , y 0 ; 1.点Ｐ的坐标是（２，－３），则点Ｐ在第象限．点P((x，y)在第二象限内，则x 0 , y 0 ; ２．若点Ｐ（x，y）的坐标满足xy﹥０，则点Ｐ在第象限；点P((x，y)在第三象限内，则x 0 , y 0 ; 3.若点Ｐ（x，y）的坐标满足xy﹤０，且在x轴上方，则点Ｐ在点P((x，y)在第四象限内，则x 0 , y 0 ; 第象限（2）点P(x，y)坐标的几何意义 4.若点Ａ的坐标是（－３，５），则它到x轴的距离是到y轴点P(x，y)到y轴的距离是；的距离是．点P(x，y)到x轴的距离是； 5.点Ｐ到x轴、y轴的距离分别是２、１，则点Ｐ的坐标可能点P(x，y)到原点的距离是；为（3）各象限角平分线上的点的坐标特征。

点P(x，y)在第一、三象限的角平分线上，则点P(x，y)在第二、四象限的角平分线上，则（4）平行于坐标轴的直线上点的坐标特征平行于x轴的直线上，所有点的相等6已知:A(1,2),B(x，y),AB∥x轴,且B 到y轴距离为2,则点B的坐标平行于y轴的直线上，所有点的相等；是7.已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且直线AB∥x轴，则m 坐标轴上点的坐标特征的值为点P(x，y)在x轴上，则点P的坐标可以表示为；8.点A(-1,-3)关于x轴对称点的坐标是________ .点P(x，y)在y轴上，则点P的坐标可以表示为；关于y轴对称的点坐标是________点P(x，y)在原点，则点P的坐标可以表示为；（6）各对称点的坐标特征点P(x，y)关于x轴对称点的坐标是点P(x，y)关于y轴对称点的坐标是点P(x，y)关于原点对称点的坐标是注意：谁对称谁不变，另一个变号，原点对称都变号。

转化思想方法、割补思想方法，加强学
方面，学生缺乏足够的认知.
生几何直观，感悟数学模型.
4 数学思想 2 本章知识
必要 知识
解决实际问题 3
储备
七年级数轴 1
四
教学策略分析
四、 教学策略分析:
为了增强学生学习的兴趣，在
整个教学过程中，我以小明和外
地朋友小亮来沈阳游玩的故事情
节贯穿课堂，并将教材中的习题
和建模思想.
02
03
五
教学过程分析
五 、 教学过程分析:
1
巧设情境，引入课题
教学
2 设问质疑，尝试探究
过程
3 总结串联，形成体系
添加 标题
4
布置作业，分层训练
1. 创设情境，引入课题
设计意图
以大气磅礴的家乡视频引 课，让学生结合视频寻找沈阳 名胜景点，一方面可以使学生 很自然的联想到“第三章 位 置与坐标”的内容，另一方面 可以激发学生的学习兴趣，顺 利引入课题，符合学生的认知 规律和心理特点.通过师生互 动，快速增强学生热爱家乡的 情感，使学生在愉悦的氛围中 开始今天的学习.
达成（2）的目标是，学生经历从实际问题抽象出数学问题，利用平 面直角坐标系的知识思考解决问题的过程，从中体会数学思想方法 的现实意义，深刻体会图形与坐标之间的联系.
三
学生学情分析
三、 学生学情分析：
在七年级阶段，学生学习了数轴相关知识，本阶段所学习
的平面直角坐标系是数轴知识的扩展，学生思维将从一维计算
4. 布置作业，分层训练
B、在作业本上编 写与位置与坐标 有关的问题.
03
STE P
02
STE P
01
STE P