排列、组合与二项式定理-复习与小结

排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。

排列、组合和二项式定理要点梳理北京市第八十中学 孙世林此文发表于《中学生数理化》排列、组合和二项式定理是高中数学的重要内容之一，也是高考必考的内容之一，排列、组合和二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，该部分内容不论其思想方法和解题都有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖。

本文在研究近几年高考试题的基础上，将排列、组合和二项式定理知识要点梳理如下.一、复习建议1、立足课本，紧扣考纲，夯实基础，突出重点由于排列、组合和二项式定理的考题多为基础题、常见题，多属中档题范围，因此复习时应控制题目的难度，立足课本，依据考纲掌握常见题型，不要过多地加宽加深，学习的重点是基本原理和有附加条件的排列及组合的实际应用问题，同时重视本部分知识与立体几何、平面解析几何等知识的交汇点处的题目；二项式定理应重视二项式系数与项的系数的区别和联系、通项1r n r r r n T C a b -+=的正确使用。

由于排列组合应用题极易犯“重复”或“遗漏”的错误，并且结果数目较大，无法一一检验的特点，这就要求考生加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，科学周全的思考、分析问题。

2、重视数学思想方法的复习和应用本章主要的数学思想有：化归思想，比较分类思想，极限思想和模型化思维方法。

学习时应注意发散思维和逆向思维，通过分类、分步把复杂问题分解，恰当地应用集合观点、整体思想，从全集、补集等入手，使问题简化；同时运用变式题目，进行多种解法训练，从不同角度，不同侧面对题目进行全面的分析，结合典型题的错解分析，查找思维的缺陷，提高分析解决问题的能力。

3、常见排列组合应用题的解题策略有以下几种：（1） 特殊元素优先安排的策略（2） 合理分类与准确分布的策略（3） 排列、组合混合问题先选后排的策略（4） 正难则反，等价转化的策略（5） 相邻问题捆绑处理的策略（6） 不相邻问题插空处理的策略（7） 定序问题除法处理的策略（8） 分排问题直接处理的策略（9） “小集团”排列问题中先整体后局部的策略（10） 构造模型的策略二、典例分析例1：（2006年，湖北）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数是 .（用数字作答）思路分析：解决这种由限制条件的排列问题，可用直接法，这时往往是对符合要求的情况进行合理的分类，分步，也可以利用间接法求解，即把问题中不符要求的情况求出来，从总数中减去即可。

n n +1n nn排列组合、二项式定理总结复习1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的 方法n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m nm=n ! nm !(n - m )!性质 C m = Cn -mCm = C m + C m -1排列组合题型总结 一． 直接法1 .特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个CC（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。

分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理：5 4A2 A2 =2405 42．特殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下5 4 4的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=2524 4 4 4二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =2526 5 4Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ⨯ 23 ⨯A3 个，其中 0 在5 3百位的有C 2 ⨯ 22 ⨯A2 个，这是不合题意的。

故共可组成不同的三位数4 2C 3 ⨯ 23 ⨯A3 - C 2 ⨯ 22 ⨯A2 =4325 3 4 2Eg 三个女生和五个男生排成一排（1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法）（2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻）（3）两端不能排女生（4）两端不能全排女生（5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法292928 113 二． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将对这两个知识点进行总结和说明。

1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。

组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。

排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。

1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。

1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。

2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。

二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。

二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。

其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。

二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。

它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。

3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。

例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。

高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理在高中数学中，排列组合是一种重要的概念与工具，它涉及到对对象的选取和排列的方式。

而在排列组合的基础上，我们还能引出二项式定理，进一步探讨多项式的展开与计算。

本文将对这些数学知识点进行归纳总结和讨论。

一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。

假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行排列，可以得到的排列数记为P(n,r)。

P(n,r) = n!/(n-r)!1.2 组合组合是指从给定的一组对象中，无视其顺序，选择若干个对象。

同样假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行组合，可以得到的组合数记为C(n,r)。

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)1.3 重复排列与重复组合当给定的一组对象中存在重复的元素时，我们可以计算可能的重复排列与重复组合。

计算公式如下：重复排列：P(n1,n2,...,nk) = n!/(n1!n2!...nk!)重复组合：C(n+r-1,r) = (n+r-1)!/(r!(n-1)!)二、排列组合的应用2.1 生日问题生日问题是指在一个房间里，至少有两个人生日相同的概率有多大。

利用排列组合的思想可以很方便地解决这个问题。

在一个房间里，有n 个人，假设有365天可以选作生日。

我们可以计算至少有两个人生日相同的概率，即为1减去没有人生日相同的概率。

P(at least two people have the same birthday) = 1 - P(no two people have the same birthday)= 1 - C(365,n)/365^n2.2 二项式定理与展开二项式定理是代数中的重要定理之一，它描述了两个数之和的幂展开后的表达式。

假设有实数a和b以及正整数n，根据二项式定理可以将(a+b)^n展开为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n2.3 二项式系数与组合恒等式二项式系数指的是二项式展开中各项的系数。

排列与组合【知识要点】 一、计数原理：1、乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =L 种不同的方法；2、加法原理：如果完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法。

二、排列和排列数：1、排列：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列；2、排列数：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号P mn 表示； 3、排列数公式：!P (1)(2)(1)()!mn n n n n n m n m =---+=-L （m n ≤，m 、n ∈N *）。

【注】1°记!P (1)(2)321nn n n n n ==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L ； 2°规定0!1=。

三、组合和组合数：1、组合：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；2、组合数：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示； 3、组合数公式：P (1)(2)(1)!C P !!()!m n mnm mn n n n m n m m n m ---+===-L （m n ≤，m 、n ∈N *）【注】规定0C 1n =。

4、组合数的两个性质：（1）C C m n m n n -=； （2）11C C C m m m n n n -++=。

高中数学排列组合及二项式定理知识点高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：完成某事有多种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理：完成某事必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而每个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。

二、排列与组合：1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n个元素的问题；区别：前者有顺序，后者无顺序。

2）排列数、组合数：排列数的公式：Ann(n-1)(n-2)。

(n-m+1)=n。

注意：①全排列：Ann。

②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：①AnnAn-1将从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，分两步完成：第一步从n个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下n-1个元素中选出m-1个排在余下的m-1个位置上）②AnmAn-1An-1将从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，分两类完成：第一类：m个元素中含有a，分两步完成：第一步将a排在某一位置上，有m不同的方法。

第二步从余下n-1个元素中选出m-1个排在余下的m-1个位置上）即有mAn-1种不同的方法。

第二类：m个元素中不含有a，从n-1个元素中取出m个元素排在m个位置上，有An-1种方法。

组合数的公式：Cmnmm!(n-m)!/m!组合数的性质：CnCn从n个不同的元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，也就是说。

专题八： 排列、组合、二项式定理、概率与统计梁书果 徐伟一、考点审视1． 突出运算能力的考查。

高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。

2． 有关排列、组合的综合应用问题。

这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。

3． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。

这种问题重点考查运算能力，特别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。

4． 有关概率的实际应用问题。

这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。

5． 有关统计的实际应用问题。

这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。

二、考试要求：排列、组合与二项式定理部分：1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.概率部分：5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.概率统计部分：⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。

二项式定理与排列组合的应用知识点总结在数学中，二项式定理与排列组合是两个重要的概念。

二项式定理是代数中的一项基本定理，而排列组合是组合数学中的重要概念。

本文将对二项式定理和排列组合的应用进行知识点总结。

一、二项式定理二项式定理是数学中的一个重要定理，它是关于二项式与幂的展开公式。

二项式定理的公式表达如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。

组合数的计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二项式定理给出了二项式的展开公式，使我们可以快速求解幂指数较大的二项式。

其应用广泛，包括代数、概率统计等领域。

二、排列组合排列组合是组合数学中的一个分支，研究的是从给定的元素集合中选取出若干元素，按照一定规则进行排列或组合的方法。

排列和组合的计算公式如下：排列：P(n, k) = n! / (n-k)!组合：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n表示元素的总个数，k表示选取的元素个数。

排列组合在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在概率统计中，排列组合可用于计算事件发生的可能数；在密码学中，排列组合可用于计算密码的破解难度；在传统的魔方游戏中，排列组合可用于计算还原魔方的步骤等。

三、应用举例1. 掷硬币问题：将一枚硬币连续投掷3次，求出正反面出现的不同可能性。

解：根据排列组合的知识，将硬币的正反面看作两个元素，共有2个元素，从中选择3个元素排列，即为排列问题。

根据排列问题的计算公式，可得 P(2, 3) = 2! / (2-3)! = 2。

故，正反面出现的不同可能性为2种。

2. 发牌问题：从一副扑克牌中，随机抽出5张牌，在这5张牌中有几种同花色的可能性？解：根据排列组合的知识，将扑克牌的花色看作4个元素，从4个元素中选取1个元素，即为组合问题。

排列组合二项式定理-小结与复习一、知识点：（一）排列与组合 1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中 有 1 m 种不同的方法，在第二类办法中有 2 m 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 n m 种不同的方法 那么完成这件事共有 12 n N m m m =+++ L 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 1 m 种不同的方法，做第二步有 2 m 种不同的方法，……，做第 n 步有 n m 种不 同的方法，那么完成这件事有 12 n N m m m =´´´ L 种不同的方法 3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n £ ）个元素（这里的 被取元素各不相同）按照一定的顺序 ．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取 出m 个元素的一个排列 ．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n £ ）个元素的所有 排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号 mn A 表示 5．排列数公式： (1)(2)(1) m n A n n n n m =---+ L （ ,, m n N m n *Σ ） 6 阶乘： ! n 表示正整数 1 到n 的连乘积，叫做n 的阶乘 规定0!1 = ． 7．排列数的另一个计算公式： m n A = !()! n n m - 8 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ( ) m n £ 个元素并成一 组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ( ) m n £ 个元素的所有组合的个数， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数 ．．．． 用符号 mn C 表示． 10．组合数公式： (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+ == L 或 )! ( ! ! m n m n C m n - = ) , , ( n m N m n £ Î * 且 11 组合数的性质 1： m n n m n C C - = ．规定： 10 = n C ； 12．组合数的性质 2： m n C 1 + ＝ mn C + 1 - m nC （二）二项式定理 1． 01 ()() n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -* +=+++++Î L L ， 2． 1 (1)1 n r r nn n x C x C x x +=+++++ L L .3．二项展开式的通项公式： 1 r n r r r n T C a b - + = 注意:求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限 制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4. 二项式系数表（杨辉三角）5．二项式系数的性质： () n a b + 展开式的二项式系数是 0 n C ， 1 n C ， 2 n C ，…，n n C ． r n C 可以看成以r 为自变量的函数 () f r，定义域是 {0,1,2,,} n L ，（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵ m n m n nC C - = ）． 直线 2 n r = 是图象的对称轴．（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项 2 n n C取得最大值；当n 是 奇数时，中间两项 12 n n C - ， 12 n n C + 取得最大值．（3）各二项式系数和：∵ 1 (1)1 n r r n n n x C x C x x +=+++++ L L ，令 1 x = ，则 012 2 n r n n n n n nC C C C C =++++++ L L 请对照知识点总结典型题型二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成， 对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的” ，也就是会 正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对 一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法： 特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题， 我们可 以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元 素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用 0、1、2、3、4 这 5 个数 字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：30 个）科学分类法 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各 种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏 现象发生 例如：从 6 台原装计算机和 5台组装计算机中任取 5 台，其中至 少有原装与组装计算机各两台， 则不同的选取法有_______种. （答案： 350）插空法 解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元 素，使问题得以解决 例如：7 人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同 排法种数是______.(答案:3600)捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻 的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列 例如：6 名同学坐成 一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.（答案：240）P 种“捆绑”方法注意:⑴ｍ个不同的元素必须相邻，有 mm⑵ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位P 种不同的“插入”方法置有 mn⑶ｍ个相同的元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个C 种不同的“插入”方法位置，有 mn⑷若干个不同的元素“等分”为 ｍ个组,要将选取出每一个组的组合P数的乘积除以 mm排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方 法.b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些 知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相 关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C，所得的经过坐标原点 的直线有_________条.（答案：30）三、例题选讲：例 1 由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数解 (1)：因为三个偶数２、４、６必须相邻，所以要得到一个符合条 件的七位数可以分为如下三步：A 种不同的排法；第一步将１、３、５、７四个数字排好有 44A 种不同的“捆第二步将２、４、６三个数字“捆绑”在一起有 33绑”方法;第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四 个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置 上,有 15 A 种不同的“插入”方法 根据乘法原理共有 431 435 A A A ×× ＝720 种不同的排法 所以共有 720 个符合条件的七位数解（2）：因为三个偶数２、４、６ 互不相邻，所以要得到符合条 件的七位数可以分为如下两步：第一步将１、３、５、７四个数字排好，有 44 A 种不同的排法； 第二步将２、４、６分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙” （包括两端的两个位置）中的三个位置上，有 3 5 A 种“插入” 方法 根据乘法原理共有 1440 3 5 4 4 = × A A 种不同的排法 所以共有 1440 个符合条件的七位数例２ 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？ 解：要将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，可以分为三类办法：（１－１－４）分法、（１－２－３）分法、（２－２－２）分法 下面分别计算每一类的方法数：第一类（１－１－４）分法，这是一类整体不等分局部等分的问 题，可以采用两种解法解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的 两个元素各作为一个组，有 46 C 种不同的分法 解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有 1 6 C 种选法， 再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有 15 C 种选法，最后余 下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元 素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以 2 2 A所以共有 11 65 2 2C C × Ａ ＝15 种不同的分组方法 第二类（１－２－３）分法，这是一类整体和局部均不等分的问 题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有 1 6 C 种不 同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一 个组有 2 5 C 种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根 据乘法原理共有 12 65 C C × ＝60 种不同的分组方法 第三类（２－２－２）分法，这是一类整体“等分”的问题，首 先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有 2 6 C 种不同的 取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有 24 C 种 不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组 由于三组等分存在 先后选取的不同的顺序，所以应除以 3 3 P ，因此共有 2264 33A C C × ＝15 种不 同的分组方法 根据加法原理，将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个元素分成三组共 有：15＋60＋15＝90 种不同的方法例３ 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少 种不同的坐法？解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有 6 6 A 种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙” （不包括两端）之中的三个不同的位置上有 3 5 C 种不同的“插入”方法根据乘法原理共有 6365 A C × ＝7200 种不同的坐法 ①计算: )1 ( 5 ) 1 ( 10 ) 1 ( 10 ) 1 ( 5 ) 1 (2345 - + - + - + - + - x x x x x ②计算: n n n n n C C C 2 42 1 2 1 + + + + L 分析：本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理,亦可求解,但过程较繁.解： ①) 1 ( 5 ) 1 ( 10 ) 1 ( 10 ) 1 ( 5 ) 1 ( 2 3 4 5 - + - + - + - + - x x x x x =1 1 ] 1 ) 1 [( 5 = - + - x ② n n n n n C C C2 42 1 2 1 + + + + L ＝(12) n + ＝ n3 例 4． 证明恒等式: 10 10 10 1 10 0 10 2= + + + C C C L 分析:本题的证明方法值得注意,它是对二项式定理中的a 、b 取某些特殊 值.证明：左边＝ 01101010101010 (11)2 C C C +++=+= L ＝右边引伸:化简 n nn n n n n n n C x C x C x C ) 1 ( 2 2 1 1 0 - + + + - - - L 解: n n n n n n n n n C x C x C x C ) 1 ( 2 2 1 1 0 - + + + - - - L ＝ nx ) 1 ( - 例 5． 求证 ) ( 9 8 3 * 2 2 N n n n Î - - + 能被 64 整除. 分析:考虑到用二项式定理证明,就需要多项式展开后的各项尽量多的含有 2 8 的式子.因此,可将 2 2 3 + n 化成 1 1 2 ) 1 8 ( ) 3 ( + + + = n n 再进行展开,化简即可证得.证明：∵ 221 389(81)89n n n n ++ --=+-- ＝ 1221 111 (18888)89n n n n n n C C C n + +++ +++++-- L ＝ 221 11 888 n n n n n C C + ++ +++ L ＝ 2221 11 8(88) n n n n n C C -- ++ +++ L ∴多项式展开后的各项含有 28 ∴ ) ( 9 8 3 * 2 2 N n n n Î - - + 能被 64 整除.引伸:①求证 1 9 23 + 能被 10 整除;②求 13 8 除以 9 的余数.例 6. 求 5 2 ) 1 ( ) 1 ( x x - + 的展开式中 3 x 的系数.解:利用通项公式 r r n r n r b aC T - + = 1 ,则 2 ) 1 ( x + 的通项公式 r r r x C T × = + 2 1 , } 2 , 1 , 0 { Îr 5 ) 1 ( x - 的通项公式 k k k k k k x C x C T 5 5 1 ) 1 ( ) (- = - × = + , } 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 { Î k 令 3 = +r k ,则 î í ì = = 2 1 r k 或 î í ì = = 1 2 r k 或 îí ì = = 0 3 r k 从而 3 x 的系数为 53 5 2 5 1 2 1 5 = - + - C C C C 引伸:求 10 3 ) 1 )( 1 ( x x + - 的展开式中 5 x 的系数. ( 答案:207 )例 7． 求 15 3 ) 1 ( xx - 的展开式中的常数项和有理项. 解:设展开式中的常数项为第 1 + r 项,则6 5 30 15 15 3 15 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( r r r r r r r r x C x x C T - - + × × - = × × - = (*) 由题意得 0 65 30 = - r ,解得6 = r , 所以展开式中的常数项为第7 项 5005 ) 1 ( 6 15 6 1 6 7 = × - = = + C T T . 由题意可得 Z r Î - 65 30 ,即r 是6 的倍数,又因为 15 0 £ £r ,所以 r =0,6,12 故展开式中的有理项为5 5 0 15 0 1 ) 1 ( x x C T = × × - = , 5005 7 = T , 5 13 420- = x T . 四、基础练习 1：1.从{1、2、3、4、…、20}中任选 3 个不同的数，使这三个数成等差数列， 这样的等差数列最多有（ ）90 个 （B）180 个 （C）200 个 （D）120 个2.男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，且从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有（ ）(A)2 人或 3 人 （B）3 人或 4 人 （C）3 人 （D）4 人3.从编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 的 11 个球中，取 出 5 个小球，使这 5 个小球的编号之和为奇数，其方法总数为（ ）（A）200 （B）230 （C）236 （D）2064.兰州某车队有装有 A，B，C，D，E，F 六种货物的卡车各一辆，把这些 货物运到西安，要求装 A 种货物，B 种货物与 E 种货物的车，到达西安的 顺序必须是 A，B，E（可以不相邻，且先发的车先到），则这六辆车发车的 顺序有几种不同的方案（ ）（A）80 （B）120 （C）240 （D） 3605.用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个 偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（ ）（A）48 （B）36 （C）28 （D）126.某药品研究所研制了 5 种消炎药 , , , , , 5 4 3 2 1 a a a a a 4 种退烧药 , , , , 4 3 2 1 b b b b 现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实 验，但又知 , , 2 1 a a 两种药必须同时使用，且 4 3 ,b a 两种药不能同时使用， 则不同的实验方案有（ ）（A）27 种 （B）26 种 （C）16 种 （D）14 种7.某池塘有 A，B，C 三只小船，A 船可乘 3 人，B 船可乘 2 人，C 船可乘 1 人，今天 3 个成人和 2 个儿童分乘这些船只，为安全起见，儿童必须由成 人陪同方能乘船，他们分乘这些船只的方法共有（ ）120 种 （B）81 种 （C）72 种 （D）27 种8.梯形的两条对角线把梯形分成四部分，有五种不同的颜色给这四部分涂 色，每一部分涂一种颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）180 种 （B）240 种 （C）260 种 （D）320 种9.将 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数排成三横三纵的方阵，要求每D 1 C DAA 1 C 1B 1 B 一竖列的三个数从前到后都是由从小到大排列，则不同的排法种数是 __168010.10 个相同的小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子内，要求每个盒子的 球数不小于它的编号数，则不同的放法共有______ 种，1511.过正方体的每三个顶点都可确定一个平面，其中能与这个正方 体的 12 条棱所成的角都相等的不同平面的个数为_______ 个 12.从单词 “equation” 中选取 5 个不同的字母排成一排， 含有 “qu” （其中“qu”相连且顺序不变）的不同的排列共有（ ）120 个 （B）480 个 （C）720 个 （D）840 个13.将 5 枚相同的纪念邮票和 8 张相同的明信片作为礼品送给甲、乙两名 学生，全部分完且每人至少有一件礼品，不同的分法是（ ）（A）52 （B）40 （C）38 （D）11基础练习 21.从正方体的6个面中选取3个面， 其中有2个面不相邻的选法共有 （ ）A.8 种B.12 种C.16 种D.20 种分析：两个面不相邻，只能对面，中间再夹一个面.第一步，正方体两平 面相对有 3 种不同情况，中间可以夹剩下的 4 个中的任意一个，又有 4 种 不同的情况，这两步都完成，事情完成，用分步计数原理 答案选 B.2.一名数学教师和四名获奖学生排成一行留影，若老师不排在两端，则共 有_____种不同的排法.分析：（法一）、从特殊元素出发，由于数学教师是特殊元素，所以他除了 两端外，还有 3 个位置可排共有 1 3 A 种排法，然后排学生共有 44 A 种排法， 由分步计数原理可得答案是 72.（法二）从特殊位置出发，由于两端是特殊位置，除数学教师外先从四名学生中选 2 人排在两端共有 2 4 A 种排法，然后剩余的学生及老师排剩余的 位置共有 A 3 3 种排法.由分步计数原理可得答案是 72.3. 由数字 1、2、3、4、5、6、7 组成无重复数字的七位数.（1）求有 3 个偶数相邻的 7 位数的个数；（2）求 3 个偶数互不相邻的 7 位数的个数.答案：用捆绑法可得（1）为 720 个；用插空法可得（2）为 1440 个.4. 从 5 男 4 女中选 4 位代表，其中至少有 2 位男同志，且至少有 1 位女 同志，分别到 4 个不同的工厂调查，不同的分派方法有（ ） A.100 种 B.400 种 C.480 种 D.2400 种解：分两种情况，采取先取后排的思想可得符合要求的选法共有2400 4 4 1 4 3 5 4 4 2 4 2 5 = + A C C A C C （种）5. 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4个不共面的点，不同的取法有________种. 解： 取出的 4 点不共面比取出的 4 点共面的情形要复杂， 因此宜用间接法： 用任意取出四点的组合总数减去这四点共面的取法数.取出四点共面时有 三种可能 第一类：四点共面于四面体的某一个面时，有 4 46 C 种取法；第二类： 由四面体的一条棱上三点及对棱中点所确定的平面有 6 个； 第三类： 过四面体中的四条棱的中点，而与另外两条棱平行的平面有 3 个.故取 4个点不共面时的不同取法有 ) ( 141 ) 3 6 4 (46 4 10 种 = + + - C C 6.已知碳元素有 3 种同位素 12 C、 13 C、 14 C，氧元素也有 3 种同位素 16 O、 17O、 18O，则不同的原子构成的 CO 2 分子有（ ） A.81 种 B.54 种 C.27 种 D.9 种解：分步计数原理，先选碳原子，再选第一个氧原子，第二个氧原子.所 以27 13 1 3 1 3 = = C C C N （种）7.用 1、2、3、4、5、6 六个数字组成没有重复数字的四位数中，是 9 的 倍数的共有（ ） A.360 个 B.180 个 C.120 个 D.24 个解：因为 3+4+5+6=18 能被 9 整除，所以共有 4 4 A =24个. 8 .在代数式 52 2 ) 1 1 )( 5 2 4 ( xx x + - - 的展开式中，常数项为_____.(答 案:15)9.若 44 33 22 1 0 4) 3 2 ( x a x a x a x a a x + + + + = + ,则 ( ) ( )23 1 24 2 0 a a a a a + - + + 的值为A.1B.-1C.0D.2解：题中的 0 a ， 1 a ，…， 4 a 是二项展开式的各项系数而不是各项的二项式系数，它们不等于 0 4 C ，1 4 C ，…， 44 C 令 x＝1 或－1 可得它们的不同形 式的代数和，于是可得结论 答案选 A.10．求 6 102 ) 1 ( ) 1 ( x x x - + + 展开式中各项系数的和. （令 1 = x ,得 0 ）11．若 7 7 2 2 1 0 7 ) 2 1 ( x a x a x a a x + + + + = - L ,则= + + + 7 1 0 a a a L ,-1=+ + + 6 4 2 0 a a a a , =+ + + 7 5 3 1 a a a a , =+ + + 7 1 0 a a a L .12． n x x x ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 + + + + + + L 的展开式中的各项系数之和为 .( 2 2 1 - + n )13．设 12 11 11 1 12 0 8 4 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 1 ( a x a x a x a x x + + + + + + + = + + L ,求:(1) 12 2 1 0 a a a a + + + + L 的值;(2) 12 4 2 0 a a a a + + + + L 的值.解:令 31 x += ,即 2 x =- ,得 12 2 1 0 8 4 2 ) 1 ( a a a a + + + + = × - L , 即 256 2 8 12 2 1 0 = = + + + + a a a a L .令 31 x +=- ,即 4 x =- 得 12 2 1 0 8 4 0 ) 3 ( a a a a + - + - = × - L ,即 0 12 2 1 0 = + - + - a a a a L ,故128 ) 0 256(21 )] ( ) [(2 1 12 2 1 0 12 2 1 0 12 4 2 0 = + = + - + - + + + + + = + + + + a a a a a a a a a a a a L L L 五、课后作业 1：1. ①有 1 元、2 元、5 元、50 元、100 元的人民币各一张,取其中的一张 或几张,能组成多少种不同的币值?②7 个电阻串联在一起连成一串,中间只要有一个坏了,这串电阻就 失效,因电阻损坏而失效的可能性种数是多少?解： ① 63 1 2 6 66 2 6 1 6 = - = + + + C C C L种 ② 仿照①,共有 127 种.2 在 10 )3 2 ( y x - 的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与 偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数 rn C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式 y x 3 2 - 中的系数无关.解：设 1010 2 8 2 9 1 10 0 10 ) 3 2 ( y a y x a y x a x a y x + + + + = - L (*),各项系数和即为 10 1 0 a a a + + + L ,奇数项系数和为 0210 a a a +++ L ,偶 数项系数和为 9 5 3 1 a a a a + + + + L , x 的奇次项系数和为9 5 3 1 a a a a + + + + L ,x 的偶次项系数和 10 4 2 0 a a a a + + + + L .由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为 10 10 10 1 10 0 10 2 = + + + C C C L . ②令 1 = = y x ,各项系数和为 1 ) 1 ( ) 3 2 ( 10 10 = - = - .③奇数项的二项式系数和为 9 10 10 2 10 0 10 2 = + + + C C C L , 偶数项的二项式系数和为 99 10 3 10 1 10 2 = + + + C C C L . ④设 10 10 2 8 2 9 1 10 0 10 ) 3 2 ( y a y x a y x a x a y x + + + + = - L ,令 1 = = y x ,得到 1 10 2 1 0 = + + + + a a a a L …(1),令 1 = x , 1 - = y (或 1 - = x , 1 = y )得 10 10 3 2 1 0 5 = + + - + - a a a a a L …(2)(1)+(2)得 1010 2 0 5 1 ) ( 2 + = + + + a a a L ,∴奇数项的系数和为 25 1 10+ ;(1)-(2)得 10 9 3 1 5 1 ) ( 2 - =+ + + a a a L , ∴偶数项的系数和为 25 1 10- .⑤x 的奇次项系数和为 25 1 109 5 3 1 - =+ + + + a a a a L ; x 的偶次项系数和为 25 1 1010 4 2 0 + = + + + + a a a a L . 注意:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数 和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规 方法之一.3 已知 n x x 2 2 3) ( + 的展开式的系数和比 n x ) 1 3 ( - 的展开式的系数和大992,求 n xx 2 ) 1 2 ( - 的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：由题意 992 2 2 2 = - n n ,解得 5 = n .① 10 1(2) x x- 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,即 8064 ) 1 ( ) 2 ( 5 55 101 5 6 - = - × × = = + xx C T T . ②设第 1 + r 项的系数的绝对值最大,则 rr r r r r r r x C xx C T 2 10 10 10 10 10 1 2) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( - - - + × × × - = - × × = ∴ ï î ï í ì × ³ × × ³ × - - + - + - - - 1 10 1 10 10 10 1 10 1 10 10 10 2 2 2 2 r r r r r r r r C C C C ,得 ï îï í ì ³ ³ + - 1 10 10 1 10 10 2 2 r r r r C C C C ,即 î í ì - ³ + ³ - r r r r 10 ) 1 ( 2 2 11 ∴ 311 38 £ £r ,∴ 3 = r ,故系数的绝对值最大的是第 4 项4.已知 n xx ) 2 ( 2+的展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为 14:3,求展开式中的常数项.解:由题意 3 : 14 : 2 4 = n n C C ,即 0 50 5 2 = - - n n ,∴ 10 = n 或 5 - = n (舍去)∵ 2 5 10 10 2 10 10 1 2 ) 2 ( ) ( rrr r r r r xC xx C T - - + × × = × = ,由题意得 0 25 10 = - r ,得 2 = r ,∴常数项为第 3 项 180 2 22 10 1 23 =× = = + C T T . 引伸:条件变为第5项的系数与的3项的系数之比为56:3,求展开式的中间 项.解:由题意 3 : 56 ) 4 ( : ) 16 ( 2 4 = n n C C ,可得 10 = n ,展开式共11项,故展开式的中间项为第 6 项,即 2 1568064 -= x T .4.求 10 3 2 )1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( x x x x + + + + + + + + L 的展开式中含2 x 项的系数. 解:二项式 2 ) 1 ( x + ,3 ) 1 ( x + ,… 10 )1 ( x + 展开式中2 x 项的系数分别为： 222 2310 ,,,.C C C L 其和为： 222 2310 C C C +++ L ＝ 3 11C ∴ 10 3 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( x x x x + + + + + + + + L 的展开式中含 2 x 项的系数为 311C 5. 若 n 是 3 的倍数，求证： 1 3 - n是 13 的倍数解：令 n ＝3k ，k 是整数，则( ) 126 26 26 1 1 26 1 27 1 3 1 1 1 - + × + + × + = - + = - = - - - kk k k k k k kk n C C C L ( )11 1 1 26 26 26 - - - + + × + = k k k k k C C L . ( )1 2 1 1 26 26 - - - + + × + k k k k k C C L Q 是整数，\ n 是13的倍数. 3-1。

二项式定理与排列组合的知识点总结二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它与排列组合有着密切的联系。

本文将对二项式定理和排列组合的知识点进行总结，希望能够为读者提供清晰明了的概念和理解。

一、排列组合的基本概念排列组合是数学中研究对象的一种组织方式。

排列是指将一组元素按照一定顺序进行布置，而组合是指从一组元素中取出若干元素组成一个集合。

1. 排列排列是指从一组元素中有序地选取若干个元素进行布置。

主要分为两种类型：有放回排列和无放回排列。

有放回排列是指在选择完元素后将其放回原处，元素可以被多次选取。

而无放回排列是指在选择完元素后不放回，下次选择时不能再选取。

2. 组合组合是指从一组元素中无序地选择若干个元素进行组合。

同样地，组合也可以分为有放回组合和无放回组合两种类型。

二、二项式定理的概念和公式二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。

它表述了如下公式：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中，a，b是实数或者变量，n为非负整数。

C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数，也称为二项系数。

具体计算公式如下：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)三、二项式定理与排列组合的关系二项式定理中的二项系数C(n, k)正是组合数的计算公式，说明了二项式展开式中各项系数的求解方法。

1. 二项式系数的性质二项系数具有一些重要的性质，包括对称性、加法原理和乘法原理等。

这些性质在解决排列组合问题时具有重要的指导作用。

2. 应用举例利用二项式定理和排列组合的知识，可以解决一些实际问题。

比如，求解一组数的幂展开式中某一项的系数、计算某些特殊排列组合的总数等等。

四、应用示例在实际应用中，二项式定理与排列组合经常被用于解决一些概率、统计和计算问题。

组合数学知识点归纳总结组合数学是数学中的一个分支学科，它涉及离散数学的一部分内容。

组合数学与集合论、图论和逻辑学等相关，它主要研究的是有限集合的组合和排列问题。

在实际应用中，组合数学在密码学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用。

本文将对组合数学中一些重要的知识点进行归纳总结。

一、排列组合排列是指将若干个不同元素按照一定的顺序进行排列，组合是指从若干个元素中取出一部分元素进行组合。

组合数学的基础知识就是排列组合。

其中，排列的计算公式为：$P(n,m) = n!/(n-m)!$组合的计算公式为：$C(n,m) = n!/((n-m)! * m!)$二、二项式系数二项式系数是组合数学中一个重要的概念。

在代数表达式$(a +b)^n$中，展开后的每一项的系数称为二项式系数。

根据二项式定理，二项式系数可以通过组合数的形式进行计算。

具体来说，二项式系数可以表示为：$C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)$三、抽屉原理抽屉原理是组合数学中的一个基本原理。

简单来说，抽屉原理指的是当将若干个物体放入较少的抽屉中时，至少存在一个抽屉中放置了多个物体。

抽屉原理在组合数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决一些排列组合问题。

四、容斥原理容斥原理是组合数学中的另一个重要原理。

容斥原理用于计算两个集合的交集、并集和补集之间的关系。

具体来说，对于两个集合A和B，容斥原理可以表示为：$|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|$五、生成函数生成函数是组合数学中的一种重要工具。

生成函数用于将一个数列转化为一个多项式函数，从而方便求解数列的性质。

通过生成函数，我们可以迅速得到数列的递推关系式和通项公式。

在组合数学中，生成函数的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种组合问题。

六、图论中的组合数学组合数学在图论中也有着广泛的应用。

例如，图的着色问题、图的哈密顿回路问题、图的连通性等都可以通过组合数学的方法得到解决。

高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与二项式定理一. 排列组合排列组合是高中数学中重要的知识点之一，用于解决计数问题。

排列组合分为排列和组合两种情况。

1. 排列排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。

高中数学中常用的排列公式为：An= n!/(n-r)!，其中n表示总数，r表示选取的个数。

排列的特点是考虑顺序，即不同的顺序被视为不同的排列。

2. 组合组合是指从一组对象中选择若干个对象进行组合，不考虑顺序。

高中数学中常用的组合公式为：Cn= n!/[(n-r)!*r!]，其中n表示总数，r表示选取的个数。

组合的特点是不考虑顺序，即不同的顺序被视为相同的组合。

二. 二项式定理二项式定理是高中数学中的重要定理之一，用于展开一个任意次数的二项式表达式。

二项式定理的公式为：(a+b)^n = Cn0 * a^n * b^0 + Cn1 * a^(n-1) * b^1 + Cn2 * a^(n-2) * b^2 + ... + Cnr * a^(n-r) * b^r + ... + Cnn * a^0 * b^n 其中Cnr代表组合数，表示从n中选取r个的组合数。

三. 相关数学公式除了排列组合和二项式定理，高中数学还有许多重要的公式需要掌握。

1. 三角函数相关公式：- 三角恒等式：sin^2x + cos^2x = 1；tanx = sinx/cosx- 三角和差公式：sin(x ± y) = sinx*cosy ± cosx*siny；cos(x ± y) = cosx*cosy - sinx*siny- 三角倍角公式：sin2x = 2sinxcosx；cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2. 数列与数列求和公式：- 等差数列通项公式：an = a1 + (n-1)d；等差数列前n项和公式：Sn = n/2(a1 + an) = n/2(2a1 + (n-1)d)- 等比数列通项公式：an = a1 * r^(n-1)；等比数列前n项和公式：Sn = (a1(1-r^n))/(1-r)3. 平面几何相关公式：- 点到直线的距离公式：d = | Ax0 + By0 + C | / √(A^2 + B^2)- 两点间距离公式：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]- 矩形面积公式：S = a * b- 三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * sinγ以上只是数学知识点的一部分，针对不同的题目和问题，可能还需要运用其他公式和方法进行解题。

排列组合与二项式定理知识点１．计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ２．排列（有序）与组合（无序）Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)! Ann =n!Cnm = n!/(n-m)!m!Cnm= Cnn－m Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!－k!３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.４．二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m最大二项式系数在中间。

（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n -1 ③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．的排列.．．重复．．元素从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示.⑷排列数公式：注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m nm mm nmn-=+--==Λ ⑶两个公式：①;m n n mn CC -= ②m n m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C1-m n，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn种，依分类原理有mn m n m n C C C11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式 ②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ（利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅--ΛΛ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？m m n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m π个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m ！；解法二：（比例分配法）mm n n A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C Λ)1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （!2/102022818C C C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mm mm n mn m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用na a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，x 1x 2x 3x 4并且都排在某r 个指定位置则有r k r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。

高二数学排列、组合和二项式定理小结复习人教版一. 本周教学内容：排列、组合和二项式定理小结复习二. 重点、难点：重点：1. 排列、组合和二项式定理知识结构2. 分类计数原理、分步计数原理意义及它们区别和联系；排列和组合意义以及它们区别和联系；3. 二项式定理内容及应用；二项式展开式的通项公式的应用。

4. 解排列和组合问题的基本方法难点：1. 两个原理所体现的解决问题的方法。

2. 分类计数原理、分步计数原理区别和联系及排列和组合区别和联系是贯穿本章内容的难点。

3. 克服在解决排列和组合问题上的重复和遗漏情况是这部分内容的又一难点。

三. 复习与小结1. 知识结构知识体系表解2. 解题常用的几种思考方法(1)直接法：根据加法原理及乘法原理，直接把一个复杂的事件分解成为简单的排列组合问题，这种解题方法为直接法。

(2)间接法：不管限定条件，全部的排列数或组合数，必含两类情况，一类是符合题意限定条件的种数，另一类不符合题意限定条件的种类，用全部种类减去不符合题意限定条件的种类可得符合题意限定条件的种类，此种方法属数学中常用的间接法。

当符合题意限定条件中的种类不易求，或情况多样易出错，而不符合题意条件的种类易求时，常采用此法。

(3)插空法：若题目限制某些元素必“不相邻”，可将无此限制的元素进行排列，然后在它们的空格处，插入不能相邻元素，此方法叫插空法。

(4)捆绑法：关于某些元素必“相邻”的问题，可把这些元素看作一个整体，当成一个元素和其它元素进行排列，然后这些元素自身再进行排列，这种方法叫做捆绑法。

3. 分组问题分组问题显然属于组合问题。

分组问题中情况多种多样，大体上有不均分到人，不均分不到人，均分到人，均分不到人等几种。

4. 二项式定理二项式系数的性质(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。

(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。