一元二次方程实践与探索

22.3实践与探索第1课时列一元二次方程解应用题一、基本目标1．掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤．2．能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程求解,并检验方程的解是否合理．二、重难点目标【教学重点】掌握用一元二次方程解应用题的一般步骤．【教学难点】找出具体问题中的数量关系．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P38～P39的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为75 cm2的矩形？设矩形的一边为x cm,根据题意,可列方程为__x(20－x)＝75__.2．某药品经过两次降价,每瓶零售价由168元降为108元,已知两次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x.根据题意,列方程得__168(1－x)2＝108__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】东台市为打造“绿色城市”,积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程,已知2015年投资1000万元,预计2017年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同,求平均每年投资增长的百分率．【互动探索】(引发学生思考)根据题意可知,题中的等量关系是什么？怎样求出平均每年投资增长的百分率？【解答】设平均每年投资增长的百分率是x.由题意,得1000(1＋x)2＝1210,解得x1＝0.1,x2＝－2.1(舍去)．故平均每年投资增长的百分率为10%.【互动总结】(学生总结,老师点评)在应用一元二次方程解决实际问题时,要注意分析题意,抓住等量关系,列出方程,把实际问题转化为数学问题来解决．求得方程的解之后,要注意检验是否符合题意,最后得到实际问题的解答．活动2巩固练习(学生独学)1．某药品经过两次降价,每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率,若设每次降价的百分率为x,则得到的方程为(A)A．112(1－x)2＝63 B．112(1＋x)2＝63C．112(1－x)＝63 D．112(1＋x)＝632．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停；当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停．若一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是__(1－10%)(1＋x)2＝1__.3．如图所示,在长32 m、宽20 m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向、一条横向,横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小不等的六块作试验田,要使试验田面积为570 m2,问道路应多宽？解：设道路为x m宽．由题意,得(32－2x)(20－x)＝570.整理,得x2－36x＋35＝0,解得x1＝1,x2＝35.经检验,x＝35＞20,不合题意,故舍去．即道路为1 m宽．4．某服装店销售一种服装,每件进货价为40元,当以每件80元销售的时候,每天可以售出50件,为了增加利润,减少库存,服装店准备适当降价．据测算,该服装每降价1元,每天可多售出2件．如果要使每天销售该服装获利2052元,每件应降价多少元？解：设每件服装应降价x元．依题意,得(80－40－x)(50＋2x)＝2052,解得x1＝2,x2＝13.为了减少库存,取x＝13.故每件应降价13元．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】为进一步促进义务教育均衡发展,某市加大了基础教育经费的投入,已知2015年该市投入基础教育经费5000万元,2017年投入基础教育经费7200万元．(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算,该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台,调配给农村学校,若购买一台电脑需3500元,购买一台实物投影仪需2000元,则最多可购买电脑多少台？【互动探索】确定题中等量关系→建立方程模型→解方程解决问题．【解答】(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x.根据题意,得5000(1＋x)2＝7200,解得x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2(舍去)．故该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.(2)2018年投入基础教育经费为7200×(1＋20%)＝8640(万元)．设购买电脑m台,则购买实物投影仪(1500－m)台．根据题意,得3500m＋2000(1500－m)≤86 400 000×5%,解得m≤880.故2018年最多可购买电脑880台．【互动总结】(学生总结,老师点评)求(2)问时,先根据题意求出2018年投入的基础教育经费,在此基础上根据题中的数量关系,列出不等式求解．环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)列一元二次方程解应用题的一般步骤：1．审：审题,明确已知量、未知量及题中的等量关系；2．设：设未知数,有直接设和间接设两种设法,因题而异；3．列：用含所设未知数的代数式表示等量关系中其他未知量,列出方程；4．解：求出所列方程的解；5．验：检验方程的解是否正确,是否符合题意；6．答：写出答案．请完成本课时对应练习！第2课时一元二次方程与生活实践及探索性问题一、基本目标1．利用一元二次方程的知识解决实际问题,将实际问题转化为数学模型,并探究相关问题．2．在解决实际问题的过程中增强学数学、用数学的意识,获得更多运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验,提高探究学习的能力．二、重难点目标【教学重点】根据实际问题建立数学模型．【教学难点】探究并解决实际问题．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P40～P41的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．裕丰商店一月份的利润为50万元,二、三月份的利润平均增长率为m,则这个商店第一季度的总利润是__50＋50(1＋m)＋50(1＋m)2___万元．2．如果用长20米的铁丝围成一个面积为24平方米的长方形,那么长方形的长是__6__米,宽是__4__米．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】某市曾爆发登革热疫情,登革热是一种传染性病毒,在病毒传播中,若1人患病,则经过两轮传染就共有144人患病．(1)每轮传染中平均一人传染了几人？(2)若病毒得不到有效控制,按照这样的传染速度,三轮传染后,患病的人数共有多少人？【互动探索】(引发学生思考)若1人患病,经过一轮传染后患病的有几人？经过两轮传染后,题中的等量关系如何？三轮传染后,患病的人数共有多少人？【解答】(1)设每轮传染中平均一人传染了x人．由题意,得1＋x＋x(x＋1)＝144,解得x＝11或x＝－13(舍去)．故每轮传染中平均一人传染了11人．(2)由(1)可得,144＋144×11＝1728(人)．即三轮传染后,患病的人数共有1728人．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题的关键是求出每轮传染中平均每人传染了多少人．活动2巩固练习(学生独学)1．三个连续偶数,其中两个数的平方和等于第三个数的平方,则这三个数是(D) A．－2,0,2或6,8,10B．－2,0,2或－10,－8,－6C．6,8,10或－10,－8,－6D．－2,0,2或－10,－8,－6或6,8,102．如图,在长和宽分别为6,4的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,正方形的边长为__3__.【教师点拨】设正方形的边长为x,根据剪去部分的面积等于剩余部分的面积建立方程,求解即可．3．甲型H1N1流感传染能力很强．若有一人患这种流感,经过两轮传染后共有64人患流感,则每轮传染中平均一人传染了__7__人,若不加以控制,以这样的速度传播下去,经过三轮传播,将共有__512__人患流感．4．据大数据统计显示,某省2015年公民出境旅游人数约100万人次,2016年与2017年两年公民出境旅游总人数约264万人次．若这两年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答下列问题：(1)求这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率；(2)如果2018年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2018年该省公民出境旅游人数约多少万人次？解：(1)设这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率为x.根据题意,得100(1＋x)＋100(1＋x)2＝264,解得x1＝0.2,x2＝－3.2 (舍去)．故这两年公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%.(2)如果2018年仍保持相同的年平均增长率,则2018该省公民出境旅游人数为100×(1＋20%)3＝172.8(万人次)．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图所示,在Rt△ABC中,∠B＝90°,AB＝5 cm,BC＝7 cm,点P从点A开始沿AB 边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积为4 cm2?(2)如果P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于5 cm?(3)在(1)中△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．【互动探索】P、Q分别从A、B同时出发,经过一段时间后,AP、PB、BQ的长分别是多少？△PBQ的面积计算公式是什么？怎样求PQ的长？△PBQ的面积能否等于7 cm2?【解答】(1)设x s后,△BPQ的面积为4 cm2,此时AP＝x cm,BP＝(5－x) cm,BQ＝2x cm.由12BP ×BQ ＝4,得12(5－x )×2x ＝4. 整理,得x 2－5x ＋4＝0,解得x ＝1或x ＝4.当x ＝4时,2x ＝8＞7,说明此时点Q 越过点C ,不合要求,舍去．故1 s 后,△BPQ 的面积为4 cm 2.(2)在Rt △ABC 中,∠B ＝90°,则BP 2＋BQ 2＝52,即(5－x )2＋(2x )2＝52,解得x ＝0(舍去)或x ＝2.故2 s 后,PQ 的长度等于5 cm.(3)不能．理由如下：假设△PBQ 的面积能等于7 cm 2,则12(5－x )×2x ＝7. 整理,得x 2－5x ＋7＝0,此时b 2－4ac ＝－3＜0,即该方程没有实数根,所以△BPQ 的面积不能等于7 cm 2.【互动总结】(学生总结,老师点评)此题主要考查了一元二次方程的应用,找到关键描述语“△PBQ 的面积等于4 cm 2”“PQ 的长度等于5 cm ”,得出等量关系是解决问题的关键．环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)在日常生活和社会实践中,许多问题都可以通过建立一元二次方程模型进行求解,然后回到实际问题中进行解释和检验,从而体会数学建模的思想方法．生活中的常见问题⎩⎪⎨⎪⎧ 面(体)积问题变化率问题利息问题利润问题请完成本课时对应练习！。

《一元二次方程》数学教案（优秀5篇）元二次方程教案篇一教学设计思想解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。

直接开平方法很简单，在这里不做过多的介绍。

为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。

我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。

在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。

如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。

在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。

教学目标知识与技能：1.会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。

2.能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。

过程与方法：1.参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。

2.在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。

情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。

教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。

难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。

教学方法探索发现，讲练结合元二次方程教案篇二一、教学目标1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。

2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。

3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。

二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。

实践与探索（2）教学目标：知识技能目标通过探索，学会解决有关增长率的问题.过程性目标经历探索过程，培养合作学习的意识，体会数学与实际生活的联系.情感态度目标通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.重点和难点：重点：列一元二次方程解决实际问题.难点：寻找实际问题中的相等关系.教学过程：一、创设情境我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如今年我市人均收入Q 元，比去年同期增长x %；环境污染比去年降低y %；某厂预计两年后使生产总值翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题．二、探究归纳例1某某市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析 翻一番，即为原净收入的2倍.若设原值为1，那么两年后的值就是2．解设原值为1，平均年增长率为x ,则根据题意得2)1(12=+⨯x 解这个方程得12,1221--=-=x x ． 因为122--=x 不合题意舍去，所以%4.4112≈-=x ．答 这两年的平均增长率约为41.4%．探索 若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的倍、倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？例2 为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵.已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级每年植树数的平均增长率.（精确到0.1%）分析至今已成活2000棵，指的是连续三年春季上山植树的总和.解设这个年级每年植树数的平均增长率为x，则第二年种了400(1+x)棵；第三年种了400(1+x)2棵；三年一共种了400＋400(1+x)＋400(1+x)2棵；三年一共成活了[400＋400(1+x)＋400(1+x)2]×95％棵.根据题意列方程得[400＋400(1+x)＋400(1+x)2]×95％＝2000解这个方程得x1≈0.624=62.4%x2≈-3.624=-362.4%但x2=-362.4%不合题意，舍去，所以x=62.4%．答这个年级每年植树数的平均增长率为62.4% .课堂练习1.某工厂准备在两年内使产值翻一番，求平均每年增长的百分率．（精确到0.1%）2.某服装店花1200元进了一批服装，按40％的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经结算这批服装共盈利280元，若两次打折相同，问每次打了多少折？三、交流反思这节棵学习了两个有关增长率的问题，通过探索，掌握了增长率问题的解题方法，学会了解相同增长率合不同增长率的问题.四、检测反馈1.水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买.决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元.若两次打折相同，每次打了几折？（精确到折）2.某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．有24名家庭贫困学生免费供应.经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？3.一件上衣原价每件500元，第一次降价后，销售甚慢，第二次大幅度降价的百分率是第一次的2倍，结果以每件240元的价格迅速出售，求每次降价的百分率是多少？五、布置作业习题23.3的3.4.。

一元二次方程--实践与探究4m，现可用的围栏长度为探究一：计划背面靠山修建矩形果园，共种植30000棵柑橘树，每棵树占地面积为21000m（靠山面不需要围栏），则果园的长和宽分别为多少？探究二：果园修建完成后，投入了30万元进行种植果树以及果园的管理，预计两年后果园的资金投入将达到43.2万元，则该果园投入资金的平均增长率为多少？探究三：柑橘批发出售，预计成本每千克4元，经过市场调查发现，若按每千克14元销售，每天能销售500千克，销售单价每涨1元，日销售量就减少20千克.（1）预计月销售利润达到6000元，但售价不能超过20元，销售单价应上涨多少？（2）当销售价格上涨多少时，获得利润最大，最大为多少？练习1：学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为12m 2的矩形自行车棚,一边利用图书馆的后墙,后墙长为5m ，并利用已有总长为10m 的铁围栏,请你来设计,如何搭建较合适(即自棚的长、宽各是多少)？练习2：1、国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2023年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2023年底贫困人口减少至1万人．设2023年底至2023年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得( )A ．9(1－2x)＝1B ．9(1－x)2＝1C ．9(1＋2x)＝1D ．9(1＋x)2＝12、某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x ，那么可列出的方程是( )A ．1000(1＋x)2＝3990B ．1000＋1000(1＋x)＋1000(1＋x)2＝3990C ．1000(1＋2x)＝3990D ．1000＋1000(1＋x)＋1000(1＋2x)＝3990练习3：一商店销售某种商品，每件盈利40元，平均每天可售出20件．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？(2)当商品降价多少时获得最大利润，最大利润为多少？拓展提升：例如y=ax2+bx+c（a≠0），当x为何值时，y有最大值（最小值）为多少？（用a,b,c表示）。

一元二次方程探索与实践一、教学目标:1、学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。

2、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。

3、学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。

二、教学重难点:1、重点：利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。

2、难点：学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。

三、教学过程（一）巩固旧知识1、解方程2708250x x -+=，并叙述解一元二次方程的解法。

2、说说你对实践问题的解决时，有何经验，有何体会？（二）创设问题情境小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。

（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？（三）尝试解决问题1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？（长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？（长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。

解：设剪去的正方形边长为xcm，依题意得：2(10)81x-=109x-=±11x=，29x=因为正方形硬纸板的边长为10cm，所以剪去的正方形边长为1cm。

4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。

（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为381181cm⨯=）5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。

22.3 实践与探究第1课时一元二次方程的应用（图形与数字）典案一：教学设计课题第1课时一元二次方程的应用（图形与数字）授课人教学目标知识技能1.能根据面积问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．问题解决通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．教学重点列一元二次方程解有关面积问题的应用题．教学难点发现面积问题中的等量关系.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾提出问题：1.一元二次方程有哪些解法？2.回忆一元二次方程的根的情况.3.在列方程解应用题时，一般步骤有哪些？4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上的数字与个位上的数字的和是这个两位数的0.2倍．求这个两位数.解：设个位上的数字是x，十位上的数字是y.根据题意列出方程组为学生创设一种回忆、思考的情景，为本课的导入及探究活动做好铺垫.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1，x ＋y ＝（10y ＋x ）×0.2， 解得x ＝________，y ＝________． 检验后知，这个两位数是________.教师板书课题：一元二次方程的应用(图形与数字)．活动 一： 创设 情境 导入 新课【课堂引入】要设计一本书的封面，封面长27 cm 、宽21 cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm )？图22－3－8问题：(1)本题中有哪些数量关系？(2)如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ (4)解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？ 利用生活中常见的问题，激发学生的探究欲望，有利于学生主动参与，感受数学来源于生活，并服务于生活.活动 二： 实践 探究 交流新知解答课题：教师提出问题(1)，学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系；教师提出问题(2)，学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9∶7.教师提出问题(3)，学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法．其中，设左右边衬和上下边衬为7x 和9x 的方法，教师要配合图形的平移加以电脑演示.教师提出问题(4)，学生分组，分别按问题(3)中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意的问题.1.重视培养学生读题和审题的能力；2.把实际问题符号化，为应用数学知识解决问题创造条件.3.培养学生树立方程意识，渗透方程思想.在活动中，教师应注意：(1)学生对几何图形的分析能力；(2)学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；(3)在讨论中能否互相合作；(4)解答一元二次方程的能力；(5)学生回答问题时的语言表达是否准确．活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1有一块矩形的铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的长方体盒子，如果要制作的无盖长方体盒子的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？师生活动：教师引导学生进行审题，确定好问题类型，然后指导学生按照图形面积公式进行解答.学生自主解设并列方程，进行解答，教师做好点评和纠错.例2两个连续奇数的积等于195，求两个奇数.师生讨论作答，设这两个连续奇数为x，x＋2，根据已知，得x(x＋2)＝195，整理，得x2＋2x－195＝0，解得x1＝13，x2＝－15，所以这两个奇数是13，15或－15，－13.应用举例使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识.【拓展提升】例3如图22－3－9，某中学为方便师生活动，准备在长30 m、宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？图22－3－9拓展提升环节，学生通过探究与讨论，感受了对题目中的数量关系进行师生活动：教师提出问题：(1)本题中有哪些数量关系？(2)由这些数量关系还能得出什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？(3)有什么方法使本题易于解决？教师引导学生进行交流、讨论，确定出解决问题的方法，并适时点拨、提示，指导学生进行解答．适当的转变对解题的影响，活跃了解题思路.活动四：课堂总结反思【达标测评】1.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能是()A.20B．40C．100D．1202.如图22－3－10，在宽为20米、长为30米的矩形地面四周修建同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为()A.0.5米B．1米C．1.5米D．2米图22－3－10图22－3－113.如图22－3－11是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙(墙长18 m)，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35 m，所围的面积为150 m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少？4.一块长28 cm、宽20 cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180 cm2，求截去的小正方形的边长.5.已知一个数和它的一半的平方和等于5，求这个数.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.1.课堂总结：(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)说一说本节课你还有哪些疑惑.教师总结：面积应用题的解答主要是利用面积公式列方程.2.布置作业：课本第40页练习第1题．指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知环节中，由于问题设置较为复杂，所以教师做好必要的引导是关键，帮助学生分析图形之间的比例关系，使学生清晰认识问题．在课堂训练环节中，学生能够顺利地解答，实现了高效课堂.②[讲授效果反思]引导学生注意以下几点：(1)面积问题考虑面积公式；(2)复杂图形的面积要进行分割或填充；(3)考虑结果的正确性.③[师生互动反思]师生交流过程中，学生对于面积问题有较深的理解，基础好，列方程解答较为简便，教师对于过程中的个别问题可交给学生讨论、解答.④[习题反思]好题题号______________________________________错题题号______________________________________反思，更进一步提升.典案二：导学设计学习目标：1.使学生掌握列方程解应用题中写“关系式”及找相等关系列方程方法；2.使学生理解列方程实质在于会用含未知数的代数式表示题目里的关系式；3.采用对面积的割补、移动的方法，培养学生灵活运用的能力．重点和难点：认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，列方程是重点也是难点.学习过程：一、创设情境1.写出本节课的课题：一元二次方程的应用．2.请同学们回忆并回答解一元一次方程应用题的一般步骤：3.解一元二次方程的应用题的步骤与解一元一次方程应用题的步骤一样．我们先来解决§22.1的问题1，然后总结一些规律或应注意事项．二、探究归纳例1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？分析我们已经知道可以运用方程解决实际问题．现设长方形绿地宽为x米，不难列出方程：三、实践应用例2如图1，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540米2，道路的宽应为多少？分析此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2．解法1如图2，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为______．纵向的路面面积为______．所列的方程是不是32×20-(32x＋20x)＝540？启发学生思考，务必把这一点弄明白！解法2 利用“图形平行移动”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些，（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）如图3，设路宽为x米，耕地矩形的长(横向)为______．耕地矩形的宽(纵向)为______．例3 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米．求截去正方形的边长．分析 设截去正方形的边长为x 厘米后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式．结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式．解 设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得练习：1.学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的三分之二时较美观，求镶上彩纸条的宽（精确到0.1厘米）.2.竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式2021gt t v h -=,其中重力加速度g 以10米/秒2计算．爆竹点燃后以初速度v 0＝20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米?四、归纳小结 1.列方程解应用题的步骤是：2.面积问题常要用到割、补、运动等技法．例2中，纵、横两条路有一块重叠的面积最容易忽略，解法2采用了运动的办法，是一种灵活解题的能力．总之：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答．五、作业1.学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽（精确到0.1米）.2.学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚．一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏．请你设计，如何搭建较适合?3.要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分面积为100平方米，求原正方形广场的边长（精确到0.1米）．4.村里要修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0.4米，求灌溉渠横截面的上下底长和灌溉渠的深度．。

九年级数学上册新版华东师大版:用一元二次方程解一般应用说课稿今天我说课的内容是华师版初中数学九年级上册第22.3节《用一元二次方程解一般应用》的第3课时实践与探索。

它是继几何问题、营销问题这几个基本问题的学习后的探索活动课，对于本节课我将从教材分析与学生现实分析、教学目标分析，教法的确定与学法指导，教学过程这四个方面加以阐述。

（一）教材分析与学生现实分析一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。

本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。

一元二次方程解实际问题的应用相当广泛，在几何、物理及其他学科中都有应用，因此它成为了初中数学学习的重点。

这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。

本节课主要侧重于一元二次方程在几何方面的应用大量事实表明,学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题，而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。

对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历，收集信息处理信息的能力较弱，这就构成了本节课的难点。

数学新课程标准要求：人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

我根据新课标对方程的具体要求和初三学生的认知的特点，确定了如下教学目标的:1、知识与技能：能根据问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。

以一元二次方程解决实际问题为载体，加强学生对数学建模的基本方法的掌握。

2、过程与方法：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

第九课；实践和探索（2）教学目的：通过观察、归纳、猜想根与系数的关系； 重点：根与系数关系的推导； 难点：根与系数的运用。

一、探索：解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积你的发现是 ； 二、新课：1、韦达定理的证明：对于关于x 的方程),(040022≥-≠=++ac b a c bx ax我们可以知道方程的根为aacb b x 242-±-=则=+21x x 21x x •=∴=+21x x 21x x = 2、巩固练习：（1）方程0132=+-x x 的两根的和是 ，两根的积是 ； （2）方程2232=-x x 的两根的和是 ，两根的积是 ；（3）方程0322=+x x 的两根的和是 ，两根的积是 ； （4）方程132=x 的两根的和是 ，两根的积是 ； 3、例题：例1：已知方程0652=-+kx x 的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。

分析：可以设方程的另一个根为1x ，则2+1x = ，21x = 解：想一想：你还有其他的方法解这道题吗？试一试： 方法二：例2：已知方程01322=-+x x 的两根为1x 、2x ，求（1）2221x x + （2）2111x x + 分析：2221x x +=（212212x x x x -+) ；2111x x +=2121x x x x + 解：1、 已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，求它的另一个根及m 的值。

2、 设21x x ,是方程03422=-+x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值； （1）))((1121++x x （2）2112x x x x +3、已知关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值。

4、已知关于x 的方程x 2－6x ＋p 2－2p ＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值.1、方程03822=+-x x 的两根之和是 ，两根之积是 ； 2、若方程022=++k x x 的一个根为1，则另一个根为 ； 3、若方程02=++q px x 的两根是－1和3，则=p ，=q ； 4、当=m 时，方程0822=--mx x 的两根之和为4；5、一元二次方程032=--x ax x 的两根之和为12-a ，则两根之积为 ；6、若关于x 的方程0149422=--+x p x )(的两个实数根互为相反数，则p 的值为（ ）， A ）71 B ）71或71 C ）7或－7 D ）71或7 7、设方程0532=+-q x x 的两根为1x 和2x ，且0621=+x x ，那么q 的值等于（ ）；A 32-B ）2-C ）92D ）－92 8、已知关于x 的方程2x 2－mx －m 2＝0有一个根是1，求m 的值；9、已知关于x 的方程（2x －m ）（mx ＋1）＝（3x ＋1）（mx －1）有一个根是0，求另一个根和m 的值.。

专题 一元二次方程的实践与探索知识回顾：一元二次方程的解法 (1)直接开平方法例题 1x2  4  0 2x2  6x  9  5  2x2（2）因式分解法例题 13x2  5x  5  7 23x  52  25  x（3）配方法例题 1x2  6x  5  0 22x2  5x  2  0（4）公式法例题 12x2  4x 1 0 24x2 3x 1 0用适当的方法解下列方程1x2 10x  25  7 2x 12  2xx 1  0一元二次方程解决实际问题：（一）步骤：步骤说明1.审题2.设未知数3.列方程4.解方程 5.检验 6.答认真解题，明确哪些是已知数，那些是未知数，它们之间的关系 是怎样的. 用字母表示未知数，这个未知数可能是一个直接未知数，也可能 是一个间接地未知数. 先要确定一个等量关系，再用含所设未知数的字母代数式表示这 个等量关系，得到一个一元二次方程. 选用合适的方法解这个一元二次方程. 检验所求出的一元二次方程的根是否符合题意. 用总结性的语言写出题目最终答案.1．一个数的平方等于这个数本身，则这个数为（ ）2．三个连续偶数，中间一个是 n，最小的是，最大的是，三个数的平方和是（ ) 3．如果（x+2）：（x-1）=（x+4）：4，则 x=( )4．超市以 21 元/件的价格购进一批商品，若售价为 a，则少售出（350-10a）件， 按物价局规定加价不能超过进价的 20%，超市计划赚 400 元．售价应定为多少， 能卖出多少件？5．利用 12cm 长的铁丝做成一个斜边是 5cm 的直角三角形，求这直角三角形的 直角边．2. 一元二次方程应用问题中的常见题型（1）面．积．问．题．1、如图，一块长和宽分别为 60 厘米和 40 厘米的长方形 铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一 个无盖的长方形水槽，使它的底面积为 800 平方厘米。