(人教b版)数学必修三练习：3.4概率的应用(含答案)

阶段质量检测（三） 概 率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中随机事件的个数为( )①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点； ②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉； ③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，第二次生男孩； ⑤在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾，是不可能事件．故选C.2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个黑球与都是红球 B ．至少有一个黑球与都是黑球 C ．至少有一个黑球与至少有一个红球 D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选D A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件．故选D.3．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A.15B.25C.310 D.710解析：选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A ，B )，(B ，C )，(C ，D )，(D ，E )4种，故P ＝410＝25.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中随机取一点，则点落在四棱锥O -ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( )A.13B.16解析：选B 设正方体的体积为V ，则四棱锥O -ABCD 的体积为V6，所求概率为V6V ＝16.5．在两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝13.6．从{}a ，b ，c ，d ，e 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a ，b ，c 的子集的概率是( ) A.35 B.25 C.14D.18解析：选C 符合要求的是∅，{}a ，{}b ，{}c ，{}a ，b ，{}a ，c ，{}b ，c ，{}a ，b ，c 共8个，而集合{}a ，b ，c ，d ，e 共有子集25＝32个，∴P ＝14.7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝17内部的概率是( )A.19B.29C.13D.49解析：选B 点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆x 2＋y 2＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为29.8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为315＝15.故选D.9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P (A )＝39＝13.11．在2,0,1,6这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14解析：选C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,6)，(1,2,6)，(0,1,6)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.12．设一元二次方程x 2＋Bx ＋C ＝0，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )A.112 B.736 C.1336 D.1936 解析：选D 因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B 2－4C ≥0，显然B ≠1.当B ＝2时，C ＝1(1种)；当B ＝3时，C ＝1,2(2种)；当B ＝4时，C ＝1,2,3,4(4种)；当B ＝5时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B ＝6时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是1936.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知S 内切圆S 正方形≈7761 000，即π×1222≈7761 000，解得π≈3.104.答案：3.10414．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷410＝300(人)．采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P ＝30300＝110. 答案：11015．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．解析：连接AC 交弧DE 于点F ，∠BAC ＝30°，P ＝弧EF 的长弧DE 的长＝13.答案：1316．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧长为2，点B 落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为23.答案：23三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：(1)(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A ，求P (A )；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？ 解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)当n 充分大时，出现次品的频率mn在0.05附近摆动，故P (A )≈0.05.(3)设进货衬衣x 件，为保证1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x ≥1 000，得x ≥1 053. ∴至少需进货1 053件衬衣．18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．(1)用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝8 15.19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．故所求的概率P(A)＝410＝0.4.20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为4 9 .(2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为25π.21．(本小题满分12分)从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A ＝ 错误!.因为事件A 由4个基本事件组成， 所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝错误!.事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.22.(本小题满分12此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个数数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D ，则事件D 包含的基本事件有 {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P(D)＝4 15，即这2件商品来自相同地区的概率为415.。

3.1.4概率的加法公式自主学习学习目标1．通过实例理解互斥事件和对立事件的定义及其关系．2．会用概率加法公式求互斥事件及对立事件的概率．自学导引1．互斥事件(互不相容事件)在同一试验中，________________的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件)．2．事件A与事件B的并(或和)由事件A和B______________________________所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)，记作________．3．互斥事件的概率加法公式(1)设事件A和事件B是两个互斥事件，则P(A∪B)＝________________.(2)如果事件A1，A2，…，A n两两互斥(彼此互斥)，那么P(A1∪A2∪…∪A n)＝________________________.4．对立事件________________且________________的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作____．5．事件A的对立事件A的概率求法：P(A)＝____________.对点讲练知识点一事件关系的判断例1判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．点评判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的，二是考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析．对于较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．变式迁移1某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列各对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.知识点二互斥事件的概率例2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率和小明及格的概率．点评 对于一个较复杂的事件，一般要将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些事件的概率的和，关键是确定事件是否互斥．变式迁移2 抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数1、2、3、4、5、6)，事件A 表示“朝上一面的数是偶数”，事件B 表示“朝上一面的数不小于4”，求P (A ∪B )．知识点三 对立事件的概率例3 甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．点评 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)水位不低于12 m.1．互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件．2．互斥事件概率的加法公式必须在各个事件彼此互斥的前提条件下使用．当直接求其一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率.课时作业一、选择题1．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上答案都不对2．现有2008年奥运会志愿者7名，其中4名为男性，3名为女性，从中任选2名志愿者为游客做向导，其中下列事件：①恰有1名女性与恰有2名女性；②至少有1名女性与全是女性；③至少有1名男性与至少有1名女性；④至少有1名女性与全是男性．是互斥事件的组数有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组3．某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.20，不够8环的概率是0.30，则这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率是( )A ．0.50B ．0.22C ．0.70D ．无法确定4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件抽得正品的概率为( )A ．0.09B ．0.98C ．0.97D ．0.965．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．两次都不中靶D ．只有一次中靶二、填空题6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45，那么所选3人中都是男生的概率为________． 7．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率为__________．8．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是________．三、解答题9．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．问(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？10．某射手射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16，计算这名射手射击一次．(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．3．1.4概率的加法公式自学导引1．不可能同时发生2．至少有一个发生(即A发生，或B发生或A、B都发生)C＝A∪B3．(1)P(A)＋P(B)(2)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)4．不能同时发生必有一个发生A5．1－P(A)对点讲练例1解(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能“抽出方块”或者“抽出梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．变式迁移1解(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C 有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E是互斥事件，由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B 一定不发生，故B与E是对立事件．(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B 发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有这些可能：“一种报纸也不订”，“只订甲报”，“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C 的一种可能，事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．例2 解 根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事件是互斥的，记B ＝“考试成绩在90分以上”，C ＝“考试成绩在80～89分”，D ＝“考试成绩在70～79分”，E ＝“考试成绩在60～69分”，记事件A ＝“考试成绩在80分以上”，则A ＝B ∪C ，且B 、C 为互斥事件，由互斥事件的概率加法公式可知P(A)＝P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.记事件F ＝“小明考试及格”，有F ＝B ∪C ∪D ∪E ，且B 、C 、D 、E 两两互斥，由互斥事件的概率加法公式应有P(F)＝P(B ∪C ∪D ∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.变式迁移2 解 A ∪B 这一事件包括4种结果，即出现2、4、5和6，所以P(A ∪B)＝36＋16＝23. 例3 解 (1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以甲获胜的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫12＋13＝16. (2)方法一 记事件A ＝“甲不输”，则A 是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的并，所以P(A)＝16＋12＝23； 方法二 实际上，事件A “甲不输”是“乙胜”事件的对立事件，所以P(A)＝1－13＝23. 变式迁移3 解 设水位在[a ，b)范围的概率为P([a ，b))．由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：(1)P([10,16))＝P([10,12))＋P([12,14))＋P([14,16))＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P([8,12))＝P([8,10))＋P([10,12))＝0.1＋0.28＝0.38.(3)记“水位不低于12 m ”为事件A ，P(A)＝1－P([8,12))＝1－0.38＝0.62.课时作业1．C2．B3．A [P ＝1－0.30－0.20＝0.50.]4．D [P ＝1－0.03－0.01＝0.96.]5．C [至少有一次中靶和两次都不中靶不可能同时发生．]6.15解析 设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A 、B 为对立事件；∴P(B)＝1－P(A)＝15. 7．0.98．0.30解析 P ＝1－0.42－0.28＝0.30.9．解 (1)对于事件D ，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D ＝A ∪B.(2)对于事件C ，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，三个均为红球，故C ∩A ＝A.10．解 设“射中10环”，“射中9环”，“射中8环”，“射中7环”的事件分别为A、B、C、D，则A、B、C、D是互斥事件，(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52；(2)P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.答射中10环或9环的概率是0.52，至少射中7环的概率为0.87.。

人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。

几 何 概 型 的 常 见 题 型几何概型是高中新课改后增加的一种概率类型，也是高考的一个新增热点，但由于试题设计的背景不同，试题所呈现的方式也不同，本文想通过对几何概型试题的归纳整理，以便同学们更好地理解和掌握此类问题.一．几何概型的定义1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；②两种概型的概率计算公式的含义不同.二．常见题型1．与长度有关的几何概型例1．(2009山东卷·文理)在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos xπ的值介于0到21之间的概率为( ).A.31 B.π2C.21D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos2x π的值介于0到21之间, 需使223xπππ-≤≤-或322xπππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32， 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A.2．与面积有关的几何概型例2．（2009辽宁卷·文）ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）A ．4πB.14π-C.8π D.18π- 分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型.解：长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2π因此取到的点到O 的距离大于1的面积为22π-，则取到的点到O 的距离大于1的概率为412221)(ππ-=-==的面积长方形的面积的距离大于取到的点到ABCD O A P .故选B.3．与角度有关的几何概型例3．在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线OC ，求使得AOC ∠和BOC ∠都不小于30°的概率？分析：此题关键是搞清过O 作射线OC 可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的发生是等可能的.解：记事件A 是“做射线OC ，使得AOC ∠和BOC ∠都不小于30°”，030=∠=∠=∠MON BOM AON ，则符合条件的射线OC 应落在扇形MON 中， 所以.319030)(00==∠∠=的度数的度数AOB MON A P ACB OMN2图AO D CB1图4．与体积有关的几何概型例4．在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？ 分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域，5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域，因此可以用体积比公式计算其概率. 解：“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A ， 则.2.051.)(===所有水的体积取出的水的体积A P从而所求的概率为0.2.5．与线性规划有关的几何概型例5．小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？分析：该题题意明确，但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出存在的两个变量.由于晚报送到和晚饭开始都是随机的，设晚报送到和晚饭开始的时间分别为y x 、，然后把这两个变量所满足的条件写成集合的形式，把问题转化为线性规划问题进行求解.解：设晚报送到和晚饭开始的时间分别为y x 、.用），（y x 表示每次试验的结果，则所有可能结果为：{}76,30:630:5),(≤≤≤≤=Ωy x y x ，即为图3中正方形ABCD 的面积；记晚报在晚餐开始之前被送到为事件A ，则事件A 的结果为：{}y x y x y x A ≤≤≤≤≤=,76,30:630:5),(，即为图2中阴影部分区域. 111=⨯=ABCD S ，872121211=⨯⨯-=阴影S .所以所求概率为：87187===ABCDS S P 阴影.2故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是87. 反思：此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系，其求解的步骤为： （1）找设变量.从问题中找出两个随机变量，设为y x ,；（2）集合表示.用),(y x 表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出全部结果Ω和事件A 所包含的试验结果.一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集. （3）作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出，并求出集合A ,Ω对应的区域的面积. （4）计算求解.由几何概型公式求出概率.6．与定积分有关的几何概型例6．在区间]1,1[-上任取两数b a 、，求二次方程02=++b ax x 的两根都是实根的概率. 分析：可用),(b a 表示试验结果.求出所有可能结果的面积和方程有实根的结果的面积，再利用几何概型来解答.解：用),(b a 表示每次试验结果，则所有可能结果为：{}11,11),(≤≤-≤≤-=Ωb a b a ，即为图3中正方形ABCD 的面积；由方程有实根得：042≥-=∆b a ，则方程有实根的可能结果为{}11,11,04),(2≤≤-≤≤-≥-=b a b a b a A ，即为图4中阴影部分区域.阴影部分面积可用定积分来计算.所以422=⨯=ABCD S ，61326121212141113211=+=+=⨯+=--⎰a da a S 阴影，所以所求概率为：5417.024134613≈===ABCDS S P 阴影. 7．与随机模拟有关的几何概型例7．（2007年海南宁夏·理）如图5，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点， 若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mS n，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目． （I ）求X 的均值EX ；D C BA 5图（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值 之差在区间(0.03)-0.03，内的概率．附表：1000010000()0.250.75ktt t t P k C-==⨯⨯∑分析：本题从表面来看似乎与几何概型无关，其实它是一个几何概型的逆向问题与n 次独立重复实验的综合题，而且本题有别于常规的面积型概率计算，设计新颖，通过随机模拟来求不规则图形的面积。

第三章 章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( ) A ．必然事件 B ．随机事件 C ．不可能事件 D ．无法确定2．若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立 D ．不对立且不互斥3．某医院治疗一种疾病的治愈率为15，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人治愈的概率是( )A ．1 B.15 C.45D ．04．从含有20个次品的1 000个显像管中任取一个，则它是正品的概率为( ) A.15 B.149 C.4950 D.11 0005．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x ，y )表示结果，记A 为“所得点数之和小于5”，则事件A 包含的基本事件数是( )A ．3B ．4C ．5D ．66．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.1107．先后抛掷两枚骰子，若出现点数之和为2,3,4的概率分别为P 1，P 2，P 3，则有( ) A ．P 1<P 2<P 3 B ．P 1＝P 2<P 3 C ．P 1>P 2>P 3 D ．P 2<P 1<P 38．如图如果你向靶子上射200支镖，大约有多少支镖落在黑色区域(颜色较深的区域)( )A ．50B ．100C ．150D ．2009.如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( )A.12B.23C.32D.1410．一个盒子里装有标号为1,2，…，10的标签，随机地选取两张标签，若标签的选取是无放回的，则两张标签上数字为相邻整数的概率为( )A.15B.25C.35D.1411．假设在500 m 2的一块平地上有一只野兔，但不知道它的方位．在一个漆黑的晚上，5位猎人同时向这块地探照围捕这只野兔．若每位猎人探照范围为10 m 2，并且所探照光线不重叠．为了不惊动野兔，需一次探照成功才能捕到野兔，则成功的概率为( )A.150B.110C.15D.1212．现有五个球分别记为A ，C ，J ，K ，S ，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则K 或S 在盒中的概率是( )A.110B.35C.310D.910二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少1件次品；④至少有1件次品和全是正品．其中互斥事件为________．(填序号)14．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球40个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为________．15．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．16．向边长为a 的正三角形内任投一点，点落在三角形内切圆内的概率是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分).(2)该油菜子发芽的概率约是多少？18．(12分)从分别写有数字1,2,3，…，9的9张卡片中，任取2张，观察上面数字，试求下列事件的概率：(1)两数和为偶数；(2)两数积为完全平方数．19．(12分)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A连结，求弦长超过半径的2倍的概率．20．(12分)一个盒子装有标号是1,2,3,4,5的标签共5张，今依次随机选取2张标签，如果(1)标签的选取是无放回的；(2)标签的选取是有放回的．求2张标签上的数字为相邻整数的概率．21．(12分)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．22．(12分)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．第三章 章末检测1．B [正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，该事件为随机事件．] 2．C3．B [每一个病人治愈与否都是随机事件，故第五个人被治愈的概率仍为15.]4．C [1 000个显像管中含有980个正品，任取一个得到正品的概率为9801 000＝4950.]5．D [事件A 包含(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)、(3,1)共6个．]6．C [从盒中任取一个铁钉包含的基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记为事件A )包含8个基本事件，所以，所求概率为P (A )＝810＝45.]7．A [先后投掷两枚骰子，共有36个不同结果，点数之和为2的有1种情况，故P 1＝136，点数之和为3的有2种情况，故P 2＝236，点数之和为4的有3种情况，故P 3＝336，所以，P 1<P 2<P 3.]8．B [这是几何概型问题．这200支镖落在每一点的可能性都是一样的，对每一支镖来说，落在黑色区域的概率P ＝黑色区域面积圆的面积＝12，每一支镖落在黑色区域的概率都是12，则200支镖落在黑色区域的概率还是12，则落在黑色区域的支数＝200支×12＝100支．]9．B[如图，当AA ′长度等于半径时，A ′位于B 或C 点，此时∠BOC ＝120°，则优弧BC ＝43πR ，∴满足条件的概率为P ＝43πR 2πR ＝23.]10．A [若选取无放回，共有10×9÷2＝45种可能，而两张标签上的数字相邻可能结果有9种(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)、(7,8)、(8,9)、(9,10)，所以P ＝945＝15.]11．B12．D [K 或S 在盒中的对立事件是K ，S 都不在盒中，即A ，C ，J 在三个盒子中，记为A ，则P (A )＝110.∴1－P (A )＝910.]13．①④ 14．0.37解析 摸出黑球可以看作是摸出红、白球的对立事件；摸出白球概率P 1＝0.23；摸出红球概率P 2＝40100＝0.40；所以摸出黑球概率P ＝1－0.23－0.40＝0.37.15.1735 16.39π17．解 (1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.913,0.893,0.903,0.905. (2)该油菜子发芽的概率约为0.9.18．解 从9张卡片中任取2张，共有9×8÷2＝36(种)可能结果．(1)两数和为偶数，则取得的两数同为奇数或同为偶数，共有5×42＋4×32＝16(种)可能结果，故所求事件的概率为P ＝1636＝49.(2)两数积为完全平方数，若为4有一种可能，若为9有一种可能，若为16有一种可能，若为36有一种可能，故共有4种可能结果(1,4)、(1,9)、(2,8)、(4,9)，所求事件的概率为436＝19. 19．解如图所示，在⊙O 上有一定点A ，任取一点B 与A 连结，则弦长超过半径的2倍，即为∠AOB 的度数大于90°，而小于270°.记“弦长超过半径的2倍”为事件C ， 则C 表示的范围是∠AOB ∈(90°，270°)． 则由几何概型求概率的公式，得P (C )＝270－90360＝12.∴弦长超过半径的2倍的概率为12.20．解 基本事件较少，可以分类列举，注意有放回与无放回的区别．(1)无放回选取2张标签，分两次完成，考虑顺序，共有20种取法，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)及把两数顺序交换的情况，其中抽到相邻整数仅有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)及其交换数字顺序的情况共计8种，所以标签选取无放回时，2张标签上的数字为相邻整数的概率为P ＝820＝25.(2)标签选取有放回时，共有25种取法，即无放回的20种，再加上(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)这5种取法，其中2张标签上为相邻整数的取法仍然只有8种，因此标签选取有放回时，2张标签上的数字为相邻整数的概率为P ＝825.21．解 (1)一共有8种不同的结果，列举如下，(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)，(黑，红，红)、(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)．(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A .事件A 包含的基本事件为：(红，红，黑)、(红，黑，红)、 (黑，红，红)，事件A 包含的基本事件数为3.由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A 的概率为P (A )＝38.22．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000.则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a5，即a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7个．故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.。

章末复习课知识概览对点讲练知识点一互斥事件与对立事件互斥事件和对立事件，都是研究怎样从一些较简单的事件的概率的计算来推算较复杂事件的概率．应用互斥事件的概率加法公式解题，备受高考命题者的青睐，应用公式时一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．例1某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率．点评“互斥”和“对立”事件容易搞混．互斥事件是指两事件不可能同时发生．对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生．变式迁移1互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？知识点二 古典概型古典概型是一种基本的概型，也是学习其它概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝mn时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，求出n 、m .例2 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求(1)两次向上的点数之和为7或是4的倍数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝20的内部(不包括边界)的概率．变式迁移2 任取两个一位数，观察结果，问： (1)共有多少种不同的结果？(2)取出的两数之和等于3的结果有多少种？ (3)两数的和是3的概率是多少？知识点三 几何概型几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，并能求简单的几何概型试验的概率．例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．(保留小数点后三位)变式迁移3 在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．课时作业一、选择题1．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个黑球与都是黑球B ．至少有1个黑球与至少有1个红球C ．恰有1个黑球与都是黑球D ．至少有1个黑球与都是红球2．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率是( )A ．0.59B ．0.85C ．0.96D ．0.743．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样的大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为( )A.19B.827C.427D.494．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，然后将它们混和，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.85．已知实数x 、y ，可以在0<x <2,0<y <2的条件下随机取数，那么取出的数对(x ，y )满足(x －1)2＋(y －1)2<1的概率是( )A.π4B.4πC.π2D.π3 二、填空题6．某射击选手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别为0.3、0.4、0.1，则射手射击一次，击中环数小于8的概率是________．7．某市公交车每隔10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客等车时间不超过7分钟的概率为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是________．三、解答题9．袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求： (1)3只全是红球的概率； (2)3只颜色全相同的概率； (3)3只颜色不全相同的概率； (4)3只颜色全不相同的概率．10．在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0内随机投点，求点与圆心距离小于13的概率．章末复习课对点讲练例1 解 (1)记“他乘火车去”为事件A 1，“他乘轮船去”为事件A 2，“他乘汽车去”为事件A 3，“他乘飞机去”为事件A 4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．故P (A 1∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 4)＝0.3＋0.4＝0.7. 所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P ，则P ＝1－P (A 2) ＝1－0.2＝0.8.变式迁移1 解 (1)对任一人，其血型为A 、B 、AB 、O 型血的事件分别记为A ′、B ′、C ′、D ′，它们是互斥的．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.因为B 、O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件B ′∪D ′.根据互斥事件的加法公式，有P (B ′∪D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64. (2)由于A 、AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件A ′∪C ′，且P (A ′∪C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36.答 任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36. 例2 解 (1)第一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能的基本事件．记“两数之和为7”为事件A ，则事件A 中含有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，6个基本事件．∴P (A )＝636＝16.记“两数之和是4的倍数”为事件B ，则事件B 中含有(1,3)，(2,2)，(3,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，9个基本事件，∴P (B )＝936＝14.∵事件A 与事件B 是互斥事件，∴所求概率为P (A )＋P (B )＝512.(2)记“点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝20的内部”为事件C ，则事件C 中共含有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，11个基本事件，∴P (C )＝1136.变式迁移2 解 (1)因为每次取出的数是0,1,2，…，9这十个数字中的一个，从而每次取数都有10种可能，所以两次取数共有等可能的结果总数为n ＝10×10＝100(种)．(2)记“两个数的和等于3”为事件A ，则事件A 的可能取法有第一次取的数分别为0,1,2,3，相应的第二次取的数分别为3,2,1,0，即事件A 包含4种结果．(3)事件A 的概率是P (A )＝4100＝0.04.例3 解 要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2，设A 为“两船都不需要等待码头空出”，则A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为右图中阴影部分，Ω为边长是24的正方形，由几何概型定义知， 所求概率为P (A ) ＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576≈0.879. 变式迁移3 解 如图所示，设事件A 是“作射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，μA ＝90°－30°－30°＝30°，μΩ＝90°，由几何概型的计算公式，得P (A )＝μA μΩ＝30°90°＝13.故所求“使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”的概率是13.课时作业1．C [结合互斥事件和对立事件的定义知，对于C 中恰有1个黑球，即1黑1红，与都是黑球是互斥事件．但不是对立事件，因为还有2个都是红球的情况，故应选C.]2．C 3．B4．C [最后一位数有5种结果，而能被2或5整除的有3种．] 5．A 6．0.2解析 P ＝1－0.3－0.4－0.1＝0.2. 7.45 8.π169．解 (1)记“3只全是红球”为事件A .从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现3×3×3＝27种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A 的概率为P (A )＝127.(2)“3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(设为事件A )，“3只全是黄球”(设为事件B )，“3只全是白球”(设为事件C )，且它们之间是互斥关系，故“3只颜色全相同”这个事件可记为A ∪B ∪C .由于事件A 、B 、C 不可能同时发生，因此它们是互斥事件；再由于红、黄、白球个数一样，故不难得到P (B )＝P (C )＝P (A )＝127，故P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝19.(3)3只颜色不全相同的情况较多，如有两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色；或三只球颜色全不相同，这些情况一一考虑起来比较麻烦．现在记“3只颜色不全相同”为事件D ，则事件D 为“3只颜色全相同”，显然事件D 与D 是对立事件．∴P (D )＝1－P (D )＝1－19＝89.(4)要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有3×2×1＝6种，故3只颜色全不相同的概率为627＝29.10．解 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则圆的圆心C (1,1)，半径r ＝1，点与圆心距离小于13的区域是以C (1,1)为圆心，以13为半径的圆内部分．故点与圆心距离小于13的概率为P ＝π⎝⎛⎭⎫132π·12＝19.。

高二数学 第三章 第3-4节 随机数的含义与应用；概率的应用人教实验B 版（理）必修3【本讲教育信息】一、教学内容：几何概型；随机数的含义二、教学目标：1. 了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；2. 通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

三、知识要点分析： 1. 随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。

2. 随机数的产生方法（1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；（2）在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。

3. 几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； 4. 几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。

5. 几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域G 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上的概率为：P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域V 的体积成正比，而与区域v 在区域V 上的相对位置无关，则点落在区域v 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积【典型例题】例1. 一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T 发生的概率。

分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，即找到其中每一个基本事件。

3.4 函数的应用（一）必备知识基础练知识点一用一次函数模型解决实际问题1.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x 的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元 B．300元C．390元 D．280元知识点二用二次函数模型解决实际问题3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x 和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A．90万元 B．60万元C．120万元 D．120.25万元4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m.知识点三用幂函数、分段函数模型解决实际问题5.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )A ．100 kmB ．125 kmC ．150 kmD ．225 km6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x (万元)与药品利润y (万元)存在的关系为y ＝x α(α为常数)，其中x 不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．关键能力综合练 一、选择题1．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为( )A ．4 050元B ．4 000元C ．4 100元D ．4 150元2．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个配件的价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A ．1 000件B ．1 200件C ．1 400件D ．1 600件3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10<x <100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．1306．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水． 则一定正确的是( ) A ．① B．①② C ．①③ D．①②③ 二、填空题7．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4 000元，定额减除费用800元；每次收入在4 000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：(1)每次收入不超过4 000元的：应纳税额＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)； (2)每次收入在4 000元以上的：应纳税额＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)． 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为________元． 8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．9．(探究题)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______(单位：元)．三、解答题10．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30.(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？学科素养升级练1．(多选题)生活经验告诉我们，当把水注进容器(设单位时间内进水量相同)，水的高度会随着时间的变化而变化，则下列选项中容器与图象匹配正确的是( )A ．(A)—(3)B ．(B)—(1)C ．(C)—(4)D ．(D)—(2)2．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－303．(学科素养—数据分析)医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x 表示时间(单位：小时)，f (x )表示药物的浓度：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ＋400<x ≤1，431<x ≤2，－3x ＋482<x ≤3.(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．3．4 函数的应用(一)必备知识基础练1．解析：由题意得y ＝0.3(4 000－x )＋0.2x ＝－0.1x ＋1 200.(0≤x ≤4 000) 答案：C2．解析：由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.答案：B3．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：C4．解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，0<x <6，所以当x ＝3时，S 有最大值为18. 答案：35．解析：t ＝2时，汽车行驶的路为s ＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km)．答案：C6．解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y ＝x α中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y ＝x 3，所以当x ＝5时，y ＝125.答案：125关键能力综合练1．解析：设每辆车的月租金为x (x ＞3 000)元， 则租赁公司月收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50， 整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 答案：A2．解析：设生产x 件时自产合算，由题意得1.1x ≥800＋0.6x ，解得x ≥1600，故选D. 答案：D3．解析：设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20.B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15.t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.∴A 正确． 答案：A4．解析：设当每件商品的售价为x 元时，每天获得的销售利润为y 元． 由题意得，y ＝m (x －30)＝(x －30)(162－3x )(30≤x ≤54)． 上式配方得y ＝－3(x －42)2＋432. 所以当x ＝42时，利润最大． 答案：B5．解析：若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用25人．答案：C6．解析：由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.答案：A7．解析：当此人收入为4 000元时(扣税前)，应纳税(4 000－800)×20%×(1－30%)＝448＞280，可知此人收入不超过4000元(扣税前)，则设此人应得稿费为x 元(扣税前)，则(x －800)×20%×(1－30%)＝280，解得x ＝2 800.故正确答案为2 800. 答案：2 8008．解析：设出租车行驶x 千米时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8，当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y ＝22.6，知x >8，由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6，解得x ＝9. 答案：14.59 99．解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号.所以该容器的最低总造价为160元． 答案：16010．解析：设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30.(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．学科素养升级练1．解析：(A)容器下粗上细最上方为柱形，水高变化为逐渐变快再匀速，故(A)应匹配(4)，(B)容器下方为球形上方为柱形，水高变化为先逐渐变慢再逐渐变快再匀速，故(B)应匹配(1)；(C)，(D)容器都是柱形的，水高变化的速度都应是不变的，但(C)容器细，(D)容器粗，故(C)容器水高变化快，(D)容器慢．(C)应匹配(3)，(D)应匹配(2)，故正确匹配的是BD.答案：BD2．解析：设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x >0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.所以⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.答案：A3．解析：(1)当0<x ≤1时，f (x )＝－x 2＋4x ＋40＝－(x －2)2＋44，∴f (x )在(0,1]上是增函数，其最大值为f (1)＝43；f (x )在(2,3]上单调递减，故当2<x ≤3时， f (x )<－3×2＋48＝42.因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43，并维持1小时．(2)当0<x ≤1时，令f (x )＝41.75，即－(x －2)2＋44＝41.75，解得x ＝3.5(舍去)或x ＝0.5；当2<x ≤3时，令f (x )＝41.75，即－3x ＋48＝41.75，解得x ≈2.08. 因此药物浓度在41.75以上的时间为2.08－0.5＝1.58小时>1.5小时， ∴撒放药物后，能够达到消毒要求．。

3.4 概率的应用课后篇巩固探究1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,则剪得两段的长都不小于1 m 的概率是( )A.23B.13C.14D.不能确定解析:记剪得两段绳长都不小于1 m 为事件A ,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的13,则事件A 发生的概率P (A )=13. 答案:B2.四边形ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4B.1-π4C.π8D.1-π8 解析:以O 为圆心,1为半径作圆,则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1,故所求事件的概率为P=S 长方形-S 半圆S 长方形=1-π4. 答案:B3.若3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A .310B .15C .110D .120解析:从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,故3个数构成一组勾股数的取法只有1种,故所求概率为110,故选C .答案:C4.张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是()①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.A.①②B.②C.②③④D.①②③④解析:②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅为(正,正),因此②中游戏不公平.答案:B5.导学号17504065从12件同类产品中(其中10件正品,2件次品),任意抽取6件产品,下列说法中正确的是()A.抽出的6件产品必有5件正品,1件次品B.抽出的6件产品中可能有5件正品,1件次品C.抽取6件产品时,逐个不放回地抽取,前5件是正品,第6件必是次品D.抽取6件产品时,不可能抽得5件正品,1件次品解析:从12件中任抽6件,产品情况是随机的,构成随机事件.对于A,C,D来说,所下结论不符合随机事件的特点.答案:B6.在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取点,则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是.解析:本题为体积型几何概型问题,P=V A1-ABCABCD-A1B1C1D1=1.答案:167.现有一游戏规则如下:盒中有3张分别标有1,2,3的卡片.从盒中随机抽取一张记下号码后放回,再随机抽取一张记下号码,则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数则玩摩天轮,否则去划船,则去玩摩天轮的概率为 .解析:对立事件:两次抽取的卡片号码都为奇数,共有4种抽法.而有放回的两次抽取卡片共有9个基本事件,因此所求事件概率为1-4=5.答案:598.导学号17504066某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正副组长,其中至少有1名女生当选的概率是 .(用分数作答)解析:从7名学生中选出2人,所有基本事件数为21个,从4名男生中选出2人,有6个基本事件,则至少有1名女生包含15个基本事件.所以概率为57. 答案:579.甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.(1)设(i ,j )分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况.(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少?(3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜;若甲抽到的牌的牌面数字比乙小,则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.解(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(红桃2、红桃3、红桃4分别用2,3,4表示,方片4用4'表示)为(2,3),(2,4),(2,4'),(3,2),(3,4),(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4',2),(4',3),(4',4),共12种.(2)甲抽到红桃3,乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4',因此乙抽到的牌面数字大于3的概率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大有5种情况:(3,2),(4,2),(4,3),(4',2),(4',3),数字相等有2种情况:(4,4'),(4',4).故甲胜的概率P 1=512,乙胜的概率P 2=512.所以此游戏公平.10.导学号17504067街道旁边有一游戏:在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1 cm的小圆板,规则如下:每掷一次交5角钱,若小圆板压在正方形的边上,可重掷一次;若掷在正方形内,须再交5角钱可玩一次;若掷在或压在塑料板的顶点上,可获得一元钱,试问:(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少?(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少?解小圆板中心用O表示,考察O落在正方形ABCD的哪个范围时,能使圆板与塑料板ABCD的边相交接,O落在哪个范围时能使圆板与塑料板ABCD的顶点相交接.(1)如图①所示.因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的,圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1 cm时,所以O落在图中阴影部分时,小圆板就能与塑料板ABCD的边相交.因此,区域Ω是边长为9 cm的正方形,图中阴影部分表示事件A:“小圆板压在塑料板的边上”..于是μΩ=9×9=81(cm2),μA=9×9-7×7=32(cm2).故所求概率P(A)=3281(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在中心O与正方形的顶点的距离不超过圆板的半径1 cm 时,如图②所示的阴影部分,图中阴影部分表示事件B:“小圆板压在塑料板顶点上”.于是μΩ=9×9=81(cm2),μB=π·12=π(cm2).故所求的概率P(B)=π.81。

．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( ) ．他们一定不会淋雨．他们淋雨的可能性为．他们淋雨的可能性为．他们淋雨的可能性为解析：他们淋雨是因为下雨了且帐篷没有运到，所以淋雨的概率为.答案：．一个路口的红绿灯的时间为，黄灯的时间为，绿灯的时间为，当你到达路口时，事件＝“看见绿灯”、事件＝“看见黄灯”、事件＝“看见的不是绿灯”概率大小关系为( )．()>()>() ．()>()>()．()>()>() ．()>()>()解析：由几何概型可得，()＝，()＝，()＝.答案：．某产品的设计长度为，规定误差不超过为合格品，今对一批产品进行检测，测得结果如表所示，则这批产品的不合格率是( )解析：(不合格)＝(以上)＋(以下)＝＝.答案：．一只转盘，均匀地标有～个数，转动指针，指针指向偶数的概率是．解析：指针指向个中的任一个都是等可能的，而指向偶数的有个，∴＝＝.答案：．如图为一个边长为的正三角形以及它的内切圆，若随机向该三角形内丢一粒豆子，若已知随机模拟试验中，豆子落在三角形内切圆内的次数为次，则随机模拟试验一共进行了大约次．(结果保留π)解析：设此次模型试验共进行了次，当边长为时，圆的半径是＝，∴＝，解得＝.答案：．某研究性学习小组对昼夜温差与某种子发芽数的关系进行研究．他们分别记录了四天中每天昼夜温差与每天粒种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：()求这四天浸泡种子的平均发芽率；()若研究的一个项目是在这四天中任选天的种子发芽数来进行，记发芽的种子数分别为，(<)，用(，)的形式列出所有的基本事件，并求事件：“、满足(\\(≥≥))”的概率．解：()这四天浸泡种子的发芽总数为：＋＋＋＝，故这四天的平均发芽率为×＝.()因为<，故所有的基本事件为：()，()，()，()，()，()，即基本事件总数为.易知事件包含的基本事件为：()，()．所以()＝＝.。

3.4概率的应用课后篇巩固探究1.取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1 m的概率是（）2 1 1A.-B. -C. -D.不能确定3 3 4【答案】B【解析】记剪得两段绳长都不小于1 m为事件A,把绳子三等分，于是当剪断位置处在屮间一段上时，事件A发生.由于屮I'可一段的长度等于绳长的;则事件4发生的概率P（A）=-.a~ r,故选B.2.四边形4BCD为长方形SB=2,301,0为A3的中点，在长方形4BCD内随机取一点，取到的点到0的距离大于1的概率为（）71 7t 717TA. — B・1 ■— C. — D. 1 ■—4 4 8 8【答案】B【解析】以0为圆心，1为半径作圆•则圆与长方形的公共区域内的点满足到点。

的距离小于或等于1 •故所求事件的概率为P邁穿二17 •故选B.3.若3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数•从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）3 111A. —B. —C. —D.—10 5 10 20【答案】c【解析】试题分析：从1,2,3,4,5123,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5,故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为丄，故选C.10考点：古典概型（顾视频八4.张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是（）⑦抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜；②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜；③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜；④张明、张华两人各写一个数字6或&如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜.A.①②B.②C.②③④D.①②③④【答案】B【解析】①抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和偶数是等可能的，均为2所以公平；2②中，恰有一枚正面向上包括（正，反）,（反，正）两种情况，而两枚都正面向上仅为（正,•正），因此②中游戏不公平.③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和黑色是等可能的，均为£所以公平；2④张明、张华两人各写一个数字6或&一共四种情况（6,6）,（6,8）,（8,6）,（&8）,两人写的数字相同和不同是等可能的，均为！所以公平；.故选B.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用儿何•概型求解.（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系屮表示所碍要的区域.（3）儿何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性.基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.5.从12件同类产品中（其中10件正品,2件次品），任意抽取6件产品，下列说法中正确的是（）A.抽出的6件产品必有5件正品,1件次品B.抽出的6件产品中可能有5件正品,1件次品C.抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品D.抽取6件产品时，不可能抽得5件正品,1件次品【答案】B【解析】从12件中任抽6件，产品情况是随机的，构成随机事件.对于A,C,D来说，所下结论不符合随机事件的特点.故选B.6.在正方体ABCD-A}B^D}内随机取点，则该点落在三棱锥A^ABC内的概率是___________ .【答案】*【解析】由题意可知，为儿何概型的体积比，不妨设正方体的棱长为1,所以概率1 1V A .Anr ; •匕• 1 • 1) • 1 1A i MG 3 2 1 埴上p = ____________ = ____ = _・丿貝§ °I3^ABCD-A J B J C J D J67.现有一游戏规则如下:盒中有3张分别标有123的卡片•从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数则玩摩天轮，否则去划船，则去玩摩天轮的概率为【答案】19【解析】对立事件:两次抽取的卡片号码都为奇数，共有4种抽法.而有放回的两次抽取卡片共有9个基本事件,4 5因此所求爭件概率为1 —= -・9 9故答案为：98.某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正、副组长，其中至少有1名女生当选的概率是____ .(用分数作答)【答案】W【解析】从7名学生中选出2人，所有基本事件数为C^ = 21个，从4名男生屮选出2人，有« = 6个基本事件，则至少有1名女生有两种可能，1男1女和2女，包含12+3=15个基本事件.所以概率为?.7故答案为：冷.点睛:古典概型中，基本爭件的探求方法有(1)枚黔去:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本爭件的探求，注意在确定基本事件(X,V)时可以看成是有序的，女0(1.2)与(24)不同，有时也可以看成是无序的,如(1,2)与(2,1)相同；(3用|■列组合法：学在求一些较复杂的基本爭件的个数时，可利用排列或组合的知识•本题是利用方法(1)将基本事件一一列举后求概率的・_科_网…学一科_网…9.甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽,乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.⑴设(力)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况.(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜;若甲抽到的牌的牌面数字比乙小,则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】(1)12, (2)- , (3)游戏公平【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用列举法求解；(2)借助题设运用古典概型的计算公式探求；(3) 依据题设运用概率的计算公式分析推断.试题解析：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用V表示，红桃2,红桃3,红桃4分别用2, 3, 4表示)为:(2, 3)、(2, 4)、(2, 4')、(3, 2)、(3, 4)、(3, 4')、(4, 2)、(4, 3)、(4, 4')、(4', 2)、(4‘，3)、(4', 4)共12种不同情况(没有写全面吋：只写出1个不给分，2・4个给1分，5・8个给8分，9・11个给3分)(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2, 4, 4,因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为73(3)由甲抽到的牌比乙大的有(3, 2)、(4, 2)、(4, 3)、(4\ 2)、(4\ 3) 5 种,甲胜的概率P1=-,乙获胜的概率为p2 = -, V —<-12 12 12 12・••此游戏不公平。

人民教育出版社B版高中数学目录(全)高中数学（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算整合提升第二章函数2.1 函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（I）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法整合提升第三章基本初等函数（I）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数-3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）整合提升高中数学（B版）必修二第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系(第1课时)空间中的平行关系(第2课时)1.2.3空间中的垂直关系(第1课时)空间中的垂直关系(第2课时)综合测试阶段性综合评估检测(一)第2章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系综合测试高中数学（B版）必修三一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例单元回眸第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样显示全部信息第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例单元回眸第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关单元回眸第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用单元回眸高中数学（B版）必修四第一章基本初等函数(2)1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角单元回眸第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用单元回眸第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积单元回眸高中数学（B版）必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例复习与小结第一章综合测试第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和复习与小结第二章综合测试第三章不等式. 3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.2 简单的线性规划复习与小结第三章综合测试高中数学（B版）选修1－1第1章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.2 基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式第1章综合测试题第2章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性2.2 椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第2章综合测试题阶段性综合评估检测（一）第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离高中数学（B版）选修1－2目录：第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析单元回眸第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明单元回眸第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.2复数的运算单元回眸第四章框图4.1流程图4.2结构图单元回眸高中数学（人教B）选修2-1第1章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.2 基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式第1章综合测试题第2章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性2.2 椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质.2.5直线与圆锥曲线第2章综合测试题阶段性综合评估检测（一）第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离第3章综合测试题阶段性综合评估检测（二）高中数学人教B选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理本章整合提升第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法本章整合提升第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法本章整合提升高中数学人教B选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角单元回眸第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布单元回眸第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析单元回眸高中数学（B版）选修4－1第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1相似三角形1.1.1相似三角形判定定理1.1.2相似三角形的性质1.1.3平行截割定理1.1.4锐角三角函数与射影定理1.2圆周角与弦切角1.2.1圆的切线1.2.2圆周角定理1.2.3弦切角定理1.3圆幂定理与圆内接四边形1.3.1圆幂定理1.3.2圆内接四边形的性质与判定本章小结阅读与欣赏欧几里得附录不可公度线段的发现与逼近法第二章圆柱、圆锥与圆锥曲线2.1平行投影与圆柱面的平面截线2.1.1平行投影的性质2.1.2圆柱面的平面截线2.2用内切球探索圆锥曲线的性质2.2.1球的切线与切平面2.2.2圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线2.2.3圆锥面及其内切球2.2.4圆锥曲线的统一定义本章小结阅读与欣赏吉米拉•丹迪林附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.2极坐标系本章小结第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程本章小结附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.2排序不等式2.3平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏著名数学家柯西第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式、贝努利不等式本章小结阅读与欣赏完全归纳法和不完全归纳法数学归纳法数学归纳法简史附录部分中英文词汇对照表。