苏教版数学必修四同步练习：1.2 1.2.3 第2课时 诱导公式五、六 应用案巩固提升

双基达标 (限时15分钟)1．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ＝________. 答案 2232．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值等于________． 解析 由诱导公式可得：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 答案 －133．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________. 答案 － 34．若cos(π＋α)＝－13，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α是________． 解析 cos(π＋α)＝－cos α＝－13，cos α＝13，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－13. 答案 －135．设α是第二象限角，且cos α2＝－ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π－α2，则α2是第________象限角．答案 三6．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)的值．解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴sin α＝－2cos α，且cos α≠0.∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34. 综合提高 (限时30分钟)7．化简：1＋2sin (3π－α)·cos (α－3π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2－ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α(其中角α在第二象限)的结果为________．答案 －18．设f (x )＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2＋1tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫19π2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 答案 49.3sin(－1 200°)·tan 19π6－cos 585°·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－374π的值为________． 解析 原式＝3sin(240°－4×360°)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－5π6－ cos(360°＋225°)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－10π ＝－3sin240°·tan 5π6－cos 225°·tan 3π4＝－3sin 60°·tan π6－cos 45°·tan π4＝－3×32×33－22×1＝－3＋22.答案 －3＋2210.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值为________． 答案 －2＋ 211．求1－2sin 160°cos 340°cos 200°＋1－cos 220°的值． 解 原式＝1－2sin (180°－20°)cos (360°－20°)cos (180°＋20°)＋sin 20°＝1－2sin 20°cos 20°sin 20°－cos 20° ＝(sin 20°－cos 20°)2sin 20°－cos 20°＝|sin 20°－cos 20°|sin 20°－cos 20°∵cos 20°＞sin 20°，∴|sin 20°－cos 20°|＝－(sin 20°－cos 20°)．∴原式＝－1.12．已知sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π，求sin 3(π－α)＋5cos 3(4π－α)3cos 3(5π＋α)－sin 3(－α)的值．解 由sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2， 得－sin α＝2cos α.①若cos α＝0，由sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±1，此时，①式不成立，故cos α≠0，∴tan α＝－2.所以sin 3(π－α)＋5cos 3(4π－α)3cos 3(5π＋α)－sin 3(－α)＝sin 3α＋5cos 3α－3cos 3α＋sin 3α＝tan 3α＋5－3＋tan 3α＝(－2)3＋5－3＋(－2)3＝311. 13．(创新拓展)(1)已知函数f (x )满足f (cos x )＝cos 2x ，求f (sin 15°)的值；(2)已知函数f (x )满足f (cos x )＝12x (0≤x ≤π)，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3的值．解 (1)f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＝12×2π3＝π3.。

1．2.3 三角函数的诱导公式(二) 课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________； cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________.以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________； cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________.2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．一、填空题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为______．2．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α＝________. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于________． 5．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为________． 6．代数式sin 2(A ＋15°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝______. 8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________． 9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________. 二、解答题11．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．能力提升13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．14．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．1．2.3 三角函数的诱导公式(二)知识梳理1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α 2．异名 符号作业设计1．－12解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 2．－13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 3．－12解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12. ∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin α＝－12. 4．－13 解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 5．－3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 6．1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.7．－ 3解析 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， 得sin φ＝－32， 又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 8．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23. 9.892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 10．2解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 11．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．12．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 13．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.14．解 由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

1.2.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数诱导公式(一至四)课时训练5三角函数诱导公式(一至四)基础夯实1.已知sin(π+α)=且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值为()B.-C.D.-+α)=-sinα=,sinα=-,cos(α-2π)=cosα=.2.导学号51820090(2016·安徽滁州凤阳中学期中)若600°角的终边上有一点(-4,a),则a的值是()A.-B.4D.±4tan600°=,又因为tan600°=tan(3×180°+60°)=tan60°=,所以,所以a=-4.3.已知cos,则cos=()B.-C.D.-θ=π,∴-θ=π-.∴cos=cos=-cos=-.4.tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin(-606°)=()式=tan10°+tan(180°-10°)+sin(5×360°+66°)-sin(-720°+114°)=tan10°-tan10°+sin66°-sin114°=sin66°-sin(180°-66°)=sin66°-sin66°=0.π-α)=log8 ,且α∈,则tan(2π-α)=.π-α)=sinα=log8=-,∴sinα=-.而α∈,∴cosα=.∴tanα==-.∴tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=.)=cos 17x,则f的值为.=cos=cos=cos=-cos=-.导学号51820091已知sin(3π+θ)=,求的值.sin(3π+θ)=,∴sinθ=-.∴=====32.能力提升f(x)=,且f(m)=2,试求f(-m)的值.f(x)=,又f(-x)=,所以f(x)=f(-x).从而f(-m)=f(m)=2.导学号51820092化简:sin+cos(k∈Z).=sin+cos.①当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),原式=sin+cos=sin+cos=sin+cos=sin-cos.因为+α与-α互余,所以原式=sin-sin=0.②当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),原式=sin+cos=-sin+cos=0.。

第2课时 诱导公式五、六1.了解诱导公式五、六的导出过程．2.理解诱导公式五、六的结构特征．3.掌握六组诱导公式的灵活应用．1．诱导公式五、六2．诱导公式五、六的语言概括π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α.( ) (2)若α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α.( ) (3)sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α.( ) 解析：(1)错误．因为sin ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－cos α.所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α是错误的． (2)正确．诱导公式中的角α为任意角，在化简时先假定α为锐角． (3)正确．因为π4－α＋π4＋α＝π2，所以成立．★答案★：(1)× (2)√ (3)√ 2．已知sin α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝( ) A ．23B ．－23C ．53D ．－53解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝23. 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α＝________． 解析：sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝13，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－223.所以tan α＝sin αcos α＝－2 2.★答案★：－2 24．若α＋β＝π2且sin α＝15，则cos β＝________．解析：因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝15. ★答案★：15利用诱导公式求值(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是________． (2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，求cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值． 【解】 (1)sin 239°tan 149° ＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos 31°(－tan 31°)＝sin 31°＝1－m 2. 故填1－m 2.(2)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12.若本例(2)题设不变，如何求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值呢？解：cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－12.已知三角函数值求其他三角函数值的解题策略(1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系； ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异．(2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数转化为同名的三角函数．1.(1)已知角α的终边经过点P (－4，3)，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （－π－α）cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值．(2)已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P (a ，35)，求sin （π2＋α）＋2sin （π2－α）2cos （3π2－α）的值．解：(1)因为角α的终边经过点 P (－4，3)，所以tan α＝－34，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （－π－α）cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.(2)因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P (a ，35)，所以a 2＋925＝1(a ＜0)，所以a ＝－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以原式＝cos α＋2cos α－2sin α＝－32·cos αsin α＝(－32)×－4535＝2.利用诱导公式化简三角函数式化简：(1)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫－3π2－α＝________；(2)tan （3π－α）sin （π－α）sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋sin （2π－α）cos ⎝⎛⎭⎫α－7π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos （2π＋α）.【解】 (1)原式＝ （－sin α）·cos α·cos α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－sin αcos 2αsin αcos α＝－cos α. 故填－cos α.(2)tan (3π－α)＝－tan α，sin (π－α)＝sin α， sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α，sin (2π－α)＝－sin α， cos ⎝⎛⎭⎫α－7π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α， cos (2π＋α)＝cos α， 所以，原式 ＝－tan αsin α（－cos α）＋－sin α（－sin α）－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α ＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这四套诱导公式，切记运用前两套公式不变名，而运用后两套公式必须变名．2.(1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，求sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin （π＋α）的值．(2)化简：sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）.解：(1)原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·sin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α.又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13， 所以sin α＝－13.所以原式＝23.(2)因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， cos (π＋α)＝－cos α，sin (π－α)＝sin α， cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin (π＋α)＝－sin α， 所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.利用诱导公式证明三角恒等式求证：(1)sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2（π＋θ）；(2)tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）＝－tan α.【证明】 (1)右边＝ －2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ（－sin θ）－11－2sin 2θ＝2sin⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin2θ＝－2sin⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin2θ＝－2cos θsin θ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ＝（sin θ＋cos θ）2sin2θ－cos2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边．所以原等式成立．(2)左边＝sin（2π－α）cos（2π－α）·sin（－α）·cos（－α）cos（π－α）sin（π－α）＝－sin α·（－sin α）·cos αcos α·（－cos α）·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．所以原等式成立．利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左、右归一法：即证明左、右两边都等于同一个式子．(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，即化异为同．3.求证：tan（π＋α）sin（－2π－α）cos（2π－α）sin⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝tan α.证明：左边＝tan α·sin（－α）·cos（－α）sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝tan α·（－sin α）·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin2α－sin⎝⎛⎭⎫π2－αcos⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin2α－cos α·sin α＝sin αcos α＝tan α＝右边．1．诱导公式五、六(1)诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．2．诱导公式一～六(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系． (2)这六组诱导公式可归纳为“k π2±α(k ∈Z )”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的异名三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．【解】 (1)f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）＝（－sin α）·cos α·（－cos α）（－cos α）·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α， 所以sin α＝－15，又α是第三象限角， 所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－256.所以f (α)＝256.(3)因为－31π3＝－6×2π＋5π3，所以f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos5π3＝－cos π3＝－12， 所以f (α)＝－12.(1)在解答过程中，若诱导公式把握不准，就会在处出现符号或三角函数名称的错误；若忽略角α是第三象限角，就会在处求解cos α的值时出现符号的错误；若对终边相同的角的三角函数值相等理解不够或不会转化，则在处会出现角的错误．(2)对于六组诱导公式，要从本质上理解、形式上记忆准确，理解“奇变偶不变，符号看象限”，即掌握好三角函数名称和符号．对于三角函数值的符号的准确判定，一定要记准在四个象限内的不同的三角函数值的符号，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，否则就会在求解时出现符号错误．1．若sin (3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A ．－12B ．12C ．32D ．－32解析：选A ．因为sin (3π＋α)＝－sin α＝－12，所以sin α＝12.所以cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12. 2．给出的下列式子中：①cos 5π9＝sin 4π9；②sin(1＋π)＝sin 1；③tan ⎝⎛⎭⎫－π5＝－tan π5；④cos ⎝⎛⎭⎫－6π7＝cos π7. 其中正确的是________(填序号即可)．解析：①cos5π9＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π18＝－sin π18；②sin(1＋π)＝－sin 1；③tan ⎝⎛⎭⎫－π5＝－tan π5；④cos ⎝⎛⎭⎫－6π7＝cos ⎝⎛⎭⎫π7－π＝cos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫－π7＋π＝－cos π7. ★答案★：③3．已知sin 110°＝a ，则cos 20°的值为________． 解析：因为sin 110°＝sin(90°＋20°)＝cos 20°， 所以cos 20°＝sin 110°＝a . ★答案★：a4．若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＞0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＞0，则角θ的终边位于第________象限． 解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＝－cos θ＞0， 所以cos θ＜0，又cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＞0， 所以θ为第二象限的角． ★答案★：二[学生用书P86(单独成册)])[A 基础达标]1．化简：sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x ＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin xD ．－cos x解析：选B ．sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x＝sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x .2．若cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝( ) A ．13B ．223C ．－13D ．－223解析：选A ．因为cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－θ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32，则tan (2 018π－α)＝( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．3或－ 3D ．33或－33解析：选B ．由cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32得sin α＝－32， 又0<α<3π2，所以π<α<3π2，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－322＝－12， tan α＝ 3.因为tan (2 018π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－3，故选B ． 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A ．－13B ．13C ．－223D ．223解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 5．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选A ．f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos(A ＋B )＝cos C; ②sin(A ＋B )＝－sin C ；③sin B ＋C 2＝cos A 2. 解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，所以cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ，所以sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A 2， 所以③是正确的．★答案★：③7．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2， 则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝________．解析：因为－π＜α＜－π2， 所以－7π12＜5π12＋α＜－π12. 又cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13＞0，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 由⎝⎛⎭⎫π12－α＋⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫5π12＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. ★答案★：－2238．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. ★答案★：9129．化简：sin （θ－5π）cos ⎝⎛⎭⎫－π2－θcos （8π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2 sin （－θ－4π）. 解：原式＝－sin （5π－θ）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θcos θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ[－sin （4π＋θ）]＝－sin （π－θ）（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ） ＝－sin θ（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ）＝－sin θ. 10．已知1＋tan （π＋α）1＋tan （2π－α）＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．解：由已知，得1＋tan α1－tan α＝3＋22， 所以tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22. 所以cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α＝1＋22＋11＋12＝4＋23. [B 能力提升]1．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）等于( ) A ．－32 B ．32C ．0D ．23 解析：选B ．设θ的终边上一点为P (x ，3x )(x ≠0)，则tan θ＝y x ＝3x x＝3. 因此sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－3cos θcos θ－sin θ ＝－31－tan θ＝－31－3＝32， 故选B ．2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2（2π－α）tan （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值． 解：由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35， 所以sin α＝－35， 再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45， 所以tan α＝±34， 所以原式＝－cos α（－cos α）·tan 2α（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝±34. 3．(选做题)已知sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，3cos(－α)＝－2·cos (π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．解：因为sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，所以sin α＝2sin β.① 因为3cos(－α)＝－2cos (π＋β)， 所以3cos α＝2cos β.②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)，所以cos 2α＝12，cos α＝±22.又0＜α＜π，所以α＝π4或α＝3π4. 当α＝π4时，β＝π6；当α＝3π4时，β＝5π6. 即α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.。

1.2.3三角函数的诱导公式(-)莖课时作业［学业水平训练］1. sin 330。

等于 _______ .解析：sin 330° = sin(360° — 30°) = — sin 30°=3. 已知 sin(45° + a)=咅，则 sin(225°+a)= __________ ・ 解析：sin(225°+a) = sin( 180°+45° + a) = — sin(45° + a) = —*\ 答案：—咅4. 已知cos(a —?i) = —咅，且a 是第四象限角，则sin(—2兀+a)= _________ . 解析：由cos(a —兀)=—令，易得cosa=咅， 又因为sin(—27i+a) = sin a,所以只需求出sin a 即可. Ta 是第四象限角，sin a= —yj 1 — cos 2«= — Y J - 12 姣家・一生 口木.13 A /315 ・ 中,若 cos A = 2 ?则 sin (7i —/)= __________ ；若 sin A =㊁，则 cosA =解析:9：A 是ZUBC 中的内角， sin (兀一/)=sin A =pl —cos?力=㊁，______________ Rcos^4== ± 2 • 效案--士逅 口木• 2 21TT6. __________________________________________________________ 已知 sin (兀一a) = log 叼，且 aW (—刁 0),则 tan(27i —a)的值为 ________________ .角军析:・.• sin (7i —a) = sin a=log 8^= _亍tan(2jr ~a)= —tan a sin acos a答案：芈»＞在垄生用书中，业内容单述成册©答案：一*= sin = _sin 晋=—sin(7r+£匹_J_ 6=2-7. 求下列三角函数式的值： (1) sin(-330°)-cos210°；(2h/3sin(-l 200°)-tan(-30°)-cos 585°-tan(-l 665°). 解：(l)sin(-330°)-cos210° =sin(30° -360°)cos( 180°+30°) = sin 30°-(—cos 30。

1．2.3 三角函数的诱导公式(一) 课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝________，cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z.(2)公式二：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.(3)公式三：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝______，tan(π＋α)＝________.一、填空题1．sin585°的值为________．2．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________. 3．若n 为整数，则代数式sin(n π＋α)cos(n π＋α)的化简结果是________．4．三角函数式cos(α＋π)sin 2(α＋3π)tan(α＋π)cos 3(－α－π)的化简结果是______. 5．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)＝________. 6．tan(5π＋α)＝2，则sin(α－3π)＋cos(π－α)sin(－α)－cos(π＋α)的值为________． 7．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝________.(用k 表示)8．代数式1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°的化简结果是______． 9．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2011)＝1，则f (2012)＝____.10．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为________． 二、解答题11．若cos(α－π)＝－23，求sin(α－2π)＋sin(－α－3π)cos(α－3π)cos(π－α)－cos(－π－α)cos(α－4π)的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.能力提升13．化简：sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin(k π－θ)·cos(k π＋θ)(其中k ∈Z)．14．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．1．2.3 三角函数的诱导公式(一) 知识梳理1．原点 x 轴 y 轴2．(1)sin α cos α tan α(2)－sin α cos α －tan α(3)sin α －cos α －tan α(4)－sin α －cos α tan α作业设计1．－22 2.－33 3.tan α 4．tan α解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·cos 3(α＋π)＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin αcos α＝tan α. 5．－32解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12， ∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)．6．3解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. 7．－1－k 2k解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos80°＝k ，∴sin80°＝1－k 2.∴tan80°＝1－k 2k . ∴tan100°＝－tan80°＝－1－k 2k. 8．－1解析 原式＝1＋2sin(180°＋110°)·cos(360°＋70°)sin(180°＋70°)＋cos(720°＋70°) ＝1－2sin110°cos70°－sin70°＋cos70°＝1－2sin70°cos70°cos70°－sin70°＝|sin70°－cos70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1. 9．3解析 f (2011)＝a sin(2011π＋α)＋b cos(2011π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2 ＝2－(a sin α＋b cos β)＝1，∴a sin α＋b cos β＝1，f (2012)＝a sin(2012π＋α)＋b cos(2012π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3.10．－53解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝232log 2 ＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53. 11．解 原式＝－sin(2π－α)－sin(3π＋α)cos(3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52. 12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)， ∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z)． tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，∴原式成立．13．解 当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin(2n π－θ)·cos(2n π＋θ)＝sin(π＋θ)·cos(π－θ)－sin θ·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin(π－θ)·cos(π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)＝－1. ∴原式的值为－1.14．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.。

第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.3 诱导公式A 级 基础巩固一、选择题1．若sin (π＋α)＝－12，则sin (4π－α)的值是( )A.12 B ．－12 C ．－32 D.32 解析：因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12.答案：B2．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误． 答案：B3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25解析：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫52π＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，所以cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝15.答案：C4．设tan (5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan α. 所以tan α＝m .所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A5．若sin (π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (2π－α)的值为( ) A ．－23mB.23m C ．－32mD.32m 解析：因为sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，所以－sin α－sin α＝－m ，则sin α＝m2.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案：C6．已知sin (π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：357．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin (π＋α)＋cos (π－α)＝________．解析：因为tan α＝43，α为第一象限角，所以sin α＝45，cos α＝35.所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－75.答案：－758．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于_______．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0， 所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角．所以cos C ＝－1－sin 2C ＝－223.所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－24. 9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－45＝－920.B 级 能力提升11．若cos 165°＝a ，则tan 195°＝( ) A.1－a 2 B ．－1－a 2aC.1－a 2aD.1＋a 2a解析：cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝a ，故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝1－a 2，tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝1－a 2－a .答案：B12．设φ(x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(19π－x )，则φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________． 解析：因为φ(x )＝cos 2x ＋sin 2x －tan x ＝1－tan x ，所以φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1－tan π3＝1－ 3.答案：1－313．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45.又因为sin αcos α<0. 所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.14．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 证明：因为sin(α＋β)＝1， 所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)．所以α＝2k π＋π2－β(k ∈Z)．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.所以tan(2α＋β)＋tan β＝0得证．15．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan 2（2π－α）·tan （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解：因为5x 2－7x －6＝0的两根为x ＝2或x ＝－35，所以sin α＝－35.又因为α为第三象限角， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝34.所以原式＝（－cos α）·（－cos α）·tan 2α·（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝34.。