通用版高考数学二轮复习课时跟踪检测七文3

——教学资料参考参考范本——通用高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二文______年______月______日____________________部门A组——12＋4提速练一、选择题1．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.当x<0时，x＋6>3，解得－3<x<0；当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x－b)＞0的解集是(2,3)，则a＋b＝( )A．1 B．2C．4 D．8解析：选C 由题知(x－a)⊗(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x －a)[x－(b＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.3．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n 的最小值是( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选C 由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋＝a＋b＋＝(a＋b)≥×2＝5，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故m＋n的最小值为5.4．(20xx·合肥质检)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最大值为( )A．5 B．6C. D．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z＝x＋2y 经过直线x－y＝－1与x＋y＝4的交点，即时，z 取得最大值，zmax＝＋2×＝，故选C.5．(20xx·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是( )A．[－3,0] B．[－3,2]C．[0,2] D．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．6．(20xx·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )A．－15 B．－9C．1 D．9解析：选 A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B(－6，－3)时，z 取得最小值，zmin ＝2×(－6)－3＝－15.7．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选B ∵a2＋b2＋c2＝4，∴2ab＋2bc ＋2ac≤(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(a2＋c2)＝2(a2＋b2＋c2)＝8，∴ab＋bc ＋ac≤4(当且仅当a ＝b ＝c ＝时等号成立)，∴ab＋bc ＋ac 的最大值为4.8．(20xx·惠州调研)已知实数x ，y 满足：若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选 B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C 时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·＝－4，解得a ＝2，故选B.9．当x ，y 满足不等式组时，－2≤kx－y≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得即B(－2,2)，由得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C(2,0)，由得即A(－5，－1)，要使不等式－2≤kx－y≤2恒成立，则即所以－≤k≤0，故选D.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元，则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y≤12，x ＋2y≤8，x≥0，y≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线z ＝3x ＋4y 过点B(2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得的最大利润为18万元．11．若两个正实数x ，y 满足＋＝1，且不等式x ＋<m2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选 B 由题可知，1＝＋≥2＝，即≥4，于是有m2－3m>x ＋≥≥4，故m2－3m>4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m<－1或m>4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．(20xx·天津高考)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x 的不等式f(x)≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916C ．[－2，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 解析：选A 法一：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示． 当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x ＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a ＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x ＋≥＋a ，即＋≥a，又＋≥2，当且仅当＝，即x ＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a 的取值范围是.法二：关于x 的不等式f(x)≥在R 上恒成立等价于－f(x)≤a＋≤f(x)，即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立，令g(x)＝－f(x)－.若x≤1，则g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3＝－2－，当x＝时，g(x)max＝－；若x>1，则g(x)＝－－＝－≤－2，当且仅当＝，且x>1，即x＝时，等号成立，故g(x)max＝－2.综上，g(x)max＝－.令h(x)＝f(x)－，若x≤1，则h(x)＝x2－x＋3－＝x2－x＋3＝2＋，当x＝时，h(x)min＝；若x>1，则h(x)＝x＋－＝＋≥2，当且仅当＝，且x>1，即x＝2时，等号成立，故h(x)min＝2.综上，h(x)min＝2.故a的取值范围为.二、填空题13．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：由x>a，知x－a>0，则2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为.答案：3214．若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．解析：因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，所以当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.答案：215．如果实数x，y满足条件且z＝的最小值为，则正数a的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x＝1，y＝1时，z取最小值，即＝，所以a＝1.答案：116．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：解：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0的解集为________．解析：不等式＋<0，可化为＋<0，故得－1<<－或<<1，解得－3<x<－1或1<x<2，故＋<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．答案：(－3，－1)∪(1,2)B组——能力小题保分练1．已知x，y满足则z＝8－x·y的最小值为( )A ．1 B. C.D.132解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·y＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y 最小，最小值为.故选D.2．设x ，y 满足约束条件若目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值为6，则＋的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选 B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．∵a>0，b>0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6，∴2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3.∵＋＝(a ＋2b)×＝＋＋≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， ∴＋的最小值为3.故选B.3．设不等式组所表示的平面区域为Dn ，记Dn 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(n∈N*)，若m>＋＋…＋对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，19解析：选 A 不等式组表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx ＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以an ＝3n ，所以＝＝，所以＋＋…＋＝＝，数列为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，趋近于，所以m≥.故选A.4．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组所确定的平面区域上的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|＋|的最小值为( )A. B.55 C.D.33解析：选B 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．设P(x ，y)，Q(a ，－2a)，则＋＝(x ＋a ，y －2a)，则|＋|＝，设z ＝|＋|，则z 的几何意义为可行域内的动点P 到动点M(－a,2a)的距离，其中M 也在直线2x ＋y ＝0上，由图可知，当点P 为(0,1)，M 为P 在直线2x ＋y ＝0上的垂足时，z 取得最小值d ＝＝＝.5．设二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c 的导函数为f′(x)．若∀x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为( )A.＋2 B ．－2 C ．2＋2D ．2－2解析：选B 由题意得f′(x)＝2ax ＋b ，由f(x)≥f′(x)在R 上恒成立，得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，则≤＝，又4ac－4a2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t＝－1，则t≥0.当t>0时，≤＝≤＝－2（当且仅当t＝时等号成立），当t＝0时，＝0<－2，故的最大值为－2，故选B.6．(20xx·广州模拟)满足不等式组的点(x，y)组成的图形的面积是5，则实数a的值为________．解析：不等式组等价于或画出不等式组所表示的平面区域如图中△ABC及其内部，易知A(1,2)，因为S△ABC＝×1×2＝1<5，所以a>1.画出不等式组所表示的平面区域，如图中的△ABC和△ADE所示．不等式组所对应的平面区域是△ADE及其内部，易知D(a，a＋1)，E(a,3－a)，所以S△ADE＝×(a－1)×(a＋1－3＋a)＝5－1，解得a＝3(a＝－1舍去)．答案：311 / 11。

课时跟踪检测（十九）一、选择题1．若过点P (2,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －7＝0相交于两点A ，B ，且∠ACB ＝60°(其中C 为圆心)，则直线l 的方程是( )A ．4x －3y －5＝0B ．x ＝2或4x －3y －5＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．x ＝2或4x －3y ＋5＝0解析：选B 由题意可得，圆C 的圆心为C (－1,2)，半径为23，因为∠ACB ＝60°，所以△ABC 为正三角形，边长为23，所以圆心C 到直线l 的距离为3.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2，与圆相交，且圆心C 到直线l 的距离为3，满足条件；若直线l 的斜率存在，设l ：y －1＝k (x －2)，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1＝3，解得k ＝43，所以此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0.2．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0 B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.3．(2017·洛阳统考)已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则l 的方程为( ) A ．4x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 212＝1，x 224－y222＝1，两式相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2.又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，则y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x＋8y ＋7＝0，故选C.4．(2017·云南统考)抛物线M 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，准线与曲线E ：x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上一点，若OA ―→·AF ―→＝－4，则点A的坐标是( )A ．(－1,2)或(－1，－2)B ．(1,2)或(1，－2)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：选B 设抛物线M 的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线方程为x ＝－p2.曲线E 的方程可化为(x －3)2＋(y ＋2)2＝16，由题意知圆心E 到准线的距离d ＝3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ，F (1,0)．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，所以OA ―→·AF―→＝y 204⎝⎛⎭⎪⎫1－y 204－y 20＝－4，解得y 0＝±2，所以x 0＝1，所以点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)，故选B.5．(2017·成都模拟)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB ―→|＝2，OC ―→＝53OA ―→－23OB ―→.若M 是线段AB 的中点，则OC ―→·OM ―→的值为( ) A ．3 B ．2 3 C ．2D ．－3解析：选A 由条件易知△OAB 为正三角形，OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|·|OB ―→|·cos π3＝2.又由M为AB 的中点，知OM ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，所以OC ―→·OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53 OA ―→－23OB ―→·12(OA ―→＋OB ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫53|OA ―→|2＋OA ―→·OB ―→－23|OB ―→|2＝3. 6．(2017·武昌调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52。

课时知能训练一、选择题1．如果f＝aa＞0且a≠1为减函数，那么g＝og错误!－1的图象是图中的【解析】易知0＜a＜1，g在1，＋∞上的增函数．【答案】 A2．2022·韶关质检函数＝2－2的图象大致是【解析】当＜0时，＝2－2是增函数，从而排除C、D又f2＝f4＝0，B不符合，选A【答案】 A3．为了得到函数＝g错误!的图象，只需把函数＝g 的图象上所有的点A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【解析】由＝g错误!，得＝g＋3－1由＝g 图象向左平移3个单位，得＝g＋3的图象，再向下平移一个单位得＝g＋3－1的图象．【答案】 C4．在同一平面直角坐标系中，函数＝g的图象与＝e的图象关于直线＝对称，而函数＝f的图象与＝g的图象关于轴对称．若fm＝－1，则m的值为A．－e B．－错误!C．e【解析】依题意得，点m，－1位于函数＝f的图象上，点m，－1关于轴的对称点－m，－1必位于＝g的图象上．∵＝g与＝e的图象关于直线＝对称．∴g＝n ．因此－1＝n－m，∴－m＝e－1，则m＝－错误!5．函数f＝错误!的图象和函数g＝og2的图象的交点个数是A．1B．2C．3D．4【解析】在同一坐标系中画出f与g的图象，如图可知f与g的图象有3个交点．【答案】 C二、填空题6．如图2－7－1所示，函数f的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为0,0，1,2，3,1，则f错误!的值等于________．图2－7－1【解析】∵f3＝1，∴错误!＝1，∴f错误!＝f1＝2【答案】 27．2022·梅州调研若函数＝f∈R满足f＋2＝f，且∈[－1,1时，f＝||则函数＝f的图象与函数＝og4||的图象的交点的个数为________．【解析】当||＞4时，＝og4||＞1，且f∈[0,1]，在同一坐标系内作出两函数图象，可知两函数的图象有6个交点．【答案】 68．已知函数f＝错误!的图象与函数＝g的图象关于直线＝对称，令h＝g1－||，则关于h有下列命题：①h的图象关于原点对称；②h为偶函数；③h的最小值为0；④h在0,1上为减函数．其中正确命题的序号为________．将你认为正确的命题的序号都填上【解析】g＝og错误!，∴h＝og错误!1－||，∴h＝错误!∴正确的命题序号为②③三、解答题9．已知函数f＝错误!1画出f的图象的简图；2根据图象写出函数的单调递增区间．【解】1函数f的图象如图所示．2由图象可知，函数f的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．10．已知函数f＝3＋m2＋n－2的图象过点－1，－6，且函数g＝f′＋6的图象关于轴对称．1求函数f的解析式；2若函数h＝f′＋c有最小值1，试求实数c的值．【解】1由函数f图象过点－1，－6，得m－n＝－3 ①由f＝3＋m2＋n－2，得f′＝32＋2m＋n，则g＝f′＋6＝32＋2m＋6＋n，又g图象关于轴对称，所以－错误!＝0，所以m＝－3，代入①式得n＝0因此f＝3－32－22由1知f′＝32－6，∴h＝32－6＋c＝3－12＋c－3当＝1时，h有最小值c－3因此c－3＝1，∴c＝4∴实数c的值为411．2022·清远调研已知函数f＝|2－4＋3|1求函数f的单调区间，并指出其增减性；2若关于的方程f－a＝至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．【解】f＝错误!作出图象如图所示．1递增区间为[1,2，[3，＋∞，递减区间为－∞，1，[2,3．2原方程变形为|2－4＋3|＝＋a，设＝＋a，在同一坐标系下再作出＝＋a的图象如图则当直线＝＋a过点1,0时，a＝－1；当直线＝＋a与抛物线＝－2＋4－3相切时，由错误!得2－3＋a＋3＝0由Δ＝9－43＋a＝＝－错误!由图象知当a∈[－1，－错误!]时，方程至少有三个不等实根．。

课时跟踪检测（二）A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·宝鸡质检)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12 (k ∈Z)，故选B.2.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知， 函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A.3．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A 法一：由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)， ①由f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z)，②由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )．又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝23.又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A 符合．法二：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z. 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.4．(2017·湖北荆州质检)函数f (x )＝2x －tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )解析：选C 因为函数f (x )＝2x －tan x 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ，又当x →π2时，y <0，排除选项D ，故选C.5．(2017·安徽芜湖模拟)若将函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移m (m >0)个单位长度后所得的图象关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 平移后所得的函数图象对应的解析式是y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋π6，因为该函数的图象关于直线x ＝π4对称，所以2⎝⎛⎭⎪⎫π4－m ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，所以m ＝π6－k π2(k ∈Z)，又m >0，故当k ＝0时，m 最小，此时m ＝π6.⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部6．(2017·云南检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(－1＋4k π，1＋4k π)，k ∈ZB ．(－3＋8k π，1＋8k π)，k ∈ZC ．(－1＋4k,1＋4k )，k ∈ZD ．(－3＋8k,1＋8k )，k ∈Z解析：选 D 由题图，知函数f (x )的最小正周期为T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为(8k －3,8k ＋1)(k ∈Z)，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15解析：选A 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.8．(2017·武昌调研)若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4，故选D.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则φ＝( )A.5π6B.2π3C.π3D.π6解析：选D 函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于该函数是偶函数，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，又0<φ<π，∴φ＝π6，故选D.10．若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 解析：选A f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2，所以T 4＝π2，得T ＝2π(T 为函数f (x )的最小正周期)，故ω＝2πT ＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，故选A.11．(2018届高三·广西三市联考)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－ 3解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ.∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴2×π12＋π6＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1，故选B.12．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 解析：选D f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D.二、填空题13．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 答案：114．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 解析：函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π6+x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则其图象的一条对称轴为x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.答案：±215．(2017·深圳调研)已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R)，则下列四个结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 解析：因为f (x )＝cos x sin x ＝12sin 2x ，所以f (x )是周期函数，且最小正周期为T ＝2π2＝π，所以①②错误；由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z)，当k ＝0时，－π4≤x ≤π4，此时f (x )是增函数，所以③正确；由2x ＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝π4＋k π2(k ∈Z)，取k ＝1，则x ＝3π4，故④正确．答案：③④16．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f (2 017)＝________.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A ·1＋ωx ＋2φ2＋1＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，∴A 2＋1＋A 2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f (2 017)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 016π2＋sin 2 017π2＋2×2 017＝504×0－sin π2＋4 034＝0－1＋4 034＝4 033.答案：4 033B 组——能力小题保分练1．曲线y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4和直线y ＝12在y 轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 3P 7|＝( )A ．πB ．2πC ．4πD ．6π解析：选B y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ，故曲线对应的函数为周期函数，且最小正周期为π，直线y ＝12在y 轴右侧与函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在每个周期内的图象都有两个交点，又P 3与P 7相隔2个周期，故|P 3P 7|＝2π，故选B.2．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－π12，π6上单调且最大值不大于3，则φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 解析：选D 因为函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－π12，π6上单调且最大值不大于3，又－π6＋φ<2x ＋φ≤π3＋φ，所以2×π6＋φ≤π3，且2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ≥－π2，解得－π3≤φ≤0，故选D.3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝－2π3对称B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称 C ．若方程f (x )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(－2，－ 3 ] D ．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度得到函数f (x )的图象 解析：选 C 根据题中所给的图象，可知函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴当x ＝－2π3时，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋π3＝－π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2sin(－π)＝0，从而f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0对称，而不是关于直线x＝－2π3对称，故A 不正确；当x ＝－5π12时，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋π3＝－π2，∴f (x )的图象关于直线x ＝－5π12对称，而不是关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称，故B 不正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，f (x )∈[－2， 3 ]，结合正弦函数图象的性质，可知若方程f (x )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(－2，－3 ]，故C 正确；根据图象平移变换的法则，可知应将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位长度得到f (x )的图象，故D 不正确．故选C.4．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数互为生成函数．给出下列四个函数： ①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ③f (x )＝sin x ；④f (x )＝2sin x ＋ 2. 其中互为生成函数的是( )A ．①②B ．①④C ．③④D ．②④解析：选 B 首先化简题中①②两个函数解析式可得：①f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，可知③f (x )＝sin x 的图象要与其他函数的图象重合，只经过平移不能完成，还必须经过伸缩变换才能实现，∴③f (x )＝sin x 不与其他函数互为生成函数；同理①f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4(④f (x )＝2sin x ＋2)的图象与②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f (x )＝2sin x ＋2的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到①f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，∴①④互为生成函数，故选B.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，且当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则( )A ．f (1)<f (－1)<f (0)B ．f (0)<f (1)<f (－1)C ．f (－1)<f (0)<f (1)D ．f (1)<f (0)<f (－1)解析：选C 因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，故f (x )＝A sin(2x ＋φ)，因为当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，所以2×2π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－11π6，k ∈Z ，又φ>0，故可取k ＝1，则φ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (－1)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋π6<0，f (1)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6>0，f (0)＝A sin π6＝12A >0，故f (－1)最小．又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2>sin π6，故f (1)>f (0)．综上可得f (－1)<f (0)<f (1)，故选C.6．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω＝2，故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π8，k ∈Z.令2x ＋φ＝m π，m ∈Z ，则x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故函数g (x )的图象的对称轴为x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故k π2＋π8－m π2＋φ2＝n π2，m ，n ，k ∈Z ，即φ＝(m ＋n －k )π－π4，m ，n ，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π4.答案：－π4。

新高考高三数学（文）二轮复习课时跟踪训练(三十九)[基础巩固]一、选择题1．设a 、b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0[解析] ∵a －|b |>0，∴|b |<a . ∴a >0.∴－a <b <a .∴b ＋a >0. [答案] D2．“a ＝14”是“对任意正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件．既不充分也不必要条件 [解析] 当a ＝14时，x ＋14x ≥2x ·14x ＝1，当且仅当x ＝14x ，即x ＝12时取等号；反之，显然不成立．[答案] A3．已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定[解析]∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋m>m＋m－1>0(m>1)，∴1m＋1＋m<1m＋m－1，即a<b.[答案] B4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1. 其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是() A．②③B．①②③C．③D．③④⑤[解析]若a＝12，b＝23，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.[答案] C5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a ＋b＋c＝0，求证b2－ac<3a”索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0[解析]由题意知b2－ac<3a⇐b2－ac<3a2⇐(a＋c)2－ac<3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇐－2a2＋ac＋c2<0⇐2a2－ac－c2>0⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.[答案] C6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负B．恒等于零C．恒为正D．无法确定正负[解析]由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的减函数．由x1＋x2>0，可知x1>－x2，则f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0，故选A.[答案] A二、填空题7．(2018·安徽合肥模拟)设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．[解析]解法一(取特殊值法)：取a＝2，b＝1，则m<n.解法二(分析法)：a－b<a－b⇐b＋a－b>a⇐a<b＋2b·a－b＋a－b⇐2b·a－b>0，显然成立．[答案]m<n8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________．[解析] 由题意2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3， ∴△ABC 为等边三角形． [答案] 等边三角形9．(2018·广东佛山质检)已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值为________．[解析] 因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0.所以不等式可化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b .因为5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，即其最小值为9，所以m ≤9，即m 的最大值等于9.[答案] 9 三、解答题10．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.[能力提升]11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . [答案] A12．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都大于2C ．至少有一个不小于2D ．都小于2[解析] a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，所以至少有一个不小于2.故选C.[答案] C13．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.[证明] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， 要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2，只需证|a |＋|b |≤ 2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2， 只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0， 即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．14．已知函数u (x )＝ln x 的反函数为v (x )，f (x )＝x ·v (x )－ax 2＋bx ，且函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为45°.(1)求实数b 的值；(2)若a <e ，用反证法证明：函数f (x )＝x ·v (x )－ax 2＋bx (x >0)无零点．[解] (1)因为函数u (x )＝ln x 的反函数为v (x )，所以v (x )＝e x ， 所以f (x )＝x e x －ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝e x ＋x e x －2ax ＋b . 因为函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为45°，所以f ′(0)＝tan45°＝1，即e 0＋0·e 0－2a ×0＋b ＝1，解得b ＝0. (2)证明：由(1)知，f (x )＝x e x －ax 2. 假设函数f (x )＝x e x －ax 2(x >0)有零点，则f (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即a ＝e xx 在(0，＋∞)上有解．设g (x )＝e xx (x >0)，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2(x >0)． 当0<x <1时，g ′(x )<0； 当x >1时，g ′(x )>0.所以g (x )≥g (x )min ＝g (1)＝e ，所以a ≥e ，但这与条件a <e 矛盾， 故假设不成立，即原命题得证． 15．若a >0，证明： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.[证明] 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋ 2.∵a >0，∴两边均大于零，∴只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22， 即证a 2＋1a 2＋4＋4 a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋2＋22⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证a 2＋1a 2≥22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需证a 2＋1a 2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2， 即证a 2＋1a 2≥2，它显然成立．∴原不等式成立.。

课时跟踪检测（十六）A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·惠州调研)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝132，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±23xC ．y ＝±94xD ．y ＝±49x解析：选A 由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝132，可得c 2a 2＝134，∴b 2a 2＋1＝134，可得b a ＝32，故双曲线的渐近线方程为y ＝±32x .2．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32解析：选D 由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.3．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：选A 由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，所以m 2＋n >0,3m 2－n >0，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13解析：选A 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2abb 2＋a 2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63. 5．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3解析：选C 由题意，得F (1,0)， 则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)， 由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 6．(2017·广州模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选A 法一：设P (x 0，y 0)，由题意知|x 0|<a ，因为∠F 1PF 2为钝角，所以PF 1―→·PF 2―→<0有解，即(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)<0，化简得c 2>x 20＋y 20，即c 2>(x 20＋y 20)min，又y 20＝b 2－b 2a2x 20，0≤x 20<a 2，故x 20＋y 20＝b 2＋c 2a2x 20∈[b 2，a 2)，所以(x 20＋y 20)min ＝b 2，故c 2>b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以e 2＝c 2a 2>12，解得e >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 法二：椭圆上存在点P 使∠F1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c .如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限内的交点，且|MF 2|＝53，则椭圆的长轴长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 依题意知F 2(1,0)，设M (x 1，y 1)．由抛物线的定义得|MF 2|＝1＋x 1＝53，即x 1＝23.将x 1＝23代入抛物线方程得y 1＝263，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263，又M 在椭圆C 1上，故⎝ ⎛⎭⎪⎫232a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632b 2＝1，结合a 2－b 2＝1，得a 2＝4，则a ＝2，故椭圆的长轴长为4.8．(2017·福州模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |＝( )A. 2 B ．2 C. 5D ．5解析：选C 由题意，知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设准线l ：x ＝－1与x 轴的交点为F 1.过点P 作直线l 的垂线，垂足为P 1(图略)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝x －，x ≤1，得点Q 的坐标为(－1，－4)，所以|FQ |＝2 5.又|PF |＝|PP 1|，所以|PQ ||PF |＝|PQ ||PP 1|＝|QF ||FF 1|＝252＝5，故选C.9．(2017·沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 如图，设MN 的中点为P .∵F 1为MA 的中点，F 2为MB 的中点，∴|AN |＝2|PF 1|，|BN |＝2|PF 2|，又|AN |－|BN |＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝6＝2a ，∴a ＝3.故选A.10．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A.463 B.263 C.433D.233解析：选A 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA ＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为(－1,1)，∵点C 在椭圆上，∴122＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为2c ＝463.11．(2017·云南调研)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 3B. 2 C ．2 D ．3解析：选A 设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此AB 是双曲线的通径，则|AB |＝2b2a，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e2－1＝2，∴e ＝ 3.12．(2017·陕西质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．(0,3]解析：选 B 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|，即|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，因为|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，即4a ＋2a ≥2c ，所以e ≤3，又双曲线的离心率e >1，所以双曲线的离心率e 的取值范围是(1,3]．二、填空题13．(2017·郑州模拟)过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3y －，消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，y 1＋y 2＝103，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163. 答案：16314．A ，F 分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点和右焦点．A ，F 在双曲线的一条渐近线上的射影分别为B ，Q ，O 为坐标原点，△ABO 与△FQO 的面积之比为12，则该双曲线的离心率为________．解析：易知△ABO 与△FQO 相似，相似比为a c ，故a 2c 2＝12，所以离心率e ＝ca＝ 2.答案： 215．(2018届高三·广东五校联考)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)．答案：[2,22)16．(2018届高三·湘中名校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由FA ―→＋FB ―→＝－FC ―→，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－p 2，y 3，y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2，k AC ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3，k BC＝y 3－y 2x 3－x 2＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 32p ＝y 1＋y 2＋y 3p＝0. 答案：0B 组——能力小题保分练1．(2018届高三·湖北七市(州)联考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 23－y 2＝1解析：选B ∵∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，∴|PF 1|＝|PQ |，P ，F 2，Q 三点共线，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PQ |－|PF 2|＝2a ，即|F 2Q |＝2＝2a ，解得a ＝1.又e ＝ca＝3，∴c ＝3∴b 2＝c 2－a 2＝2，∴双曲线的方程为x 2－y 22＝1.故选B.2．已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 为其右焦点，A 为其左顶点，P 为该椭圆上的动点，则能够使PA ―→·PF―→＝0的点P 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 由题意知，a ＝3，b ＝5，c ＝2，则F (2,0)，A (－3,0)．当点P 与点A 重合时，显然PA ―→·PF ―→＝0，此时P (－3,0)．当点P 与点A 不重合时，设P (x ，y )，PA ―→·PF ―→＝0⇔PA ⊥PF ，即点P 在以AF 为直径的圆上，则圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝254.① 又点P 在椭圆上，所以x 29＋y 25＝1，②由①②得4x 2＋9x －9＝0，解得x ＝－3(舍去)或34，则y ＝±534，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，±534.故能够使PA ―→·PF ―→＝0的点P 的个数为3.3.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题图可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝|BF ||AF |＝a 2－c 2a a ＋c .又13<k <12，所以13<a 2－c 2a a ＋c <12，化简可得13<1－e <12，从而可得12<e <23，故选C.4．(2017·贵阳检测)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ 解析：选B 依题意，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，且“右”区域是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <b ax ，y >－ba x所确定的，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >12，因此该双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞，故选B.5．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：选A 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16.6．(2018届高三·西安八校联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点．若AF ―→＝m FB ―→，则m 的值为________．解析：由题意知F (1,0)，由⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝13，y 1＝－233，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝2 3.由A 在x 轴上方，知A (3,23)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，则AF ―→＝(－2，－23)，FB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－233，因为AF ―→＝m FB ―→，所以m ＝3.答案：3。

课时跟踪检测（六）A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·成都模拟)在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．30解析：选B ∵a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝6(1＋q 2＋q 4)＝78，解得q 2＝3，∴a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.故选B.2．(2017·兰州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144D ．288解析：选B ∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14，∴S 9＝a 1＋a 92＝72.3．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.4．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，则公比q ＝( )A ．1B ．4C ．4或0D ．8解析：选B ∵S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 1q －13，a 1＋a 1q ＝13a 1q 2－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，q ＝0(舍去)，故所求的公比q ＝4.5．已知S n 是公差不为0的等差数列{}a n 的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2＋a 3a 1的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 设数列{}a n 的公差为d ，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，故(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得d ＝2a 1，所以a 2＋a 3a 1＝2a 1＋3d a 1＝8a 1a 1＝8. 6．(2018届高三·湖南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98解析：选C 由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，所以数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝a 1＋a 82＝a 4＋a 52＝92.7．已知数列{}a n 满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n＜12，2a n－1，12≤a n＜1.若a 1＝35，则a 2 018＝( )A.15B.25C.35D.45解析：选A 因为a 1＝35，根据题意得a 2＝15，a 3＝25，a 4＝45，a 5＝35，所以数列{}a n 以4为周期，又2 018＝504×4＋2，所以a 2 018＝a 2＝15，故选A.8．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( )A.32B.94C ．1D ．2解析：选D 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2,3,4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814，化简得a 21q 3＝92，则1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q3＝2. 9．(2017·广州模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12 B.5＋12C.3－52D.3＋52解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3＋q2a 4＋q2＝1q＝25＋1＝5－12，故选A. 10．(2017·张掖模拟)等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：选Ba n a 2n ＝a 1＋n －d a 1＋n －d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ≠0，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.∵a 1－d ＋nd ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.11．(2018届高三·湖南十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1<0，若存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则当n >m 时，S n 与a n 的大小关系是( )A ．S n <a nB ．S n ≤a nC ．S n >a nD ．大小不能确定解析：选C 若a 1<0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d >0，否则若d ≤0，数列是递减数列或常数列，则恒有S m <a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1<0，d >0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m >0，S m >0，又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n >a n .故选C.12．(2017·洛阳模拟)等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56解析：选C 依题意得，S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n 的增大而减小，1<S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，0<S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n <1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n <0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56，－712，其最大值与最小值之和为56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－712＝14.二、填空题13．(2017·合肥质检)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项和S 9＝________.解析：由已知，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ，即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0，所以a n ＋1＝2a n ，又因为a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故S 9＝－291－2＝210－2＝1022.答案：1 02214．(2017·兰州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2 017＝________.解析：当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n －S 2n ＝－S n S n －1，∴2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，∴2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 017＝11 009. 答案：11 00915．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12-12n n ()＝223+22n n n －＝227+22n n －.记t ＝－n 22＋7n2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋498，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. 答案：6416．(2017·广州模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q＝a p ＋a q ，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________． 解析：a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，令p ＝1，q ＝n ，则有a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n ＋ 2.故{a n }是等差数列，所以a n ＝2n ，S n ＝2×＋n n 2＝n 2＋n ，f (n )＝S n ＋60n ＋1＝n 2＋n ＋60n ＋1＝n ＋2－n ＋＋60n ＋1＝n ＋1＋60n ＋1－1.当n ＋1＝8，即n ＝7时，f (7)＝8＋608－1＝292；当n＋1＝7，即n ＝6时，f (6)＝7＋607－1＝1027，因为292<1027，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为292.答案：292B 组——能力小题保分练1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选D 不妨设a ＞b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p ＞0，ab ＝q ＞0，∴a ＞0，b ＞0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.2．(2017·郑州质检)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a na 1a 2a 3…a n －1＝2n2n －2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 3．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n n ＋2，1S n ＝2nn ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 因此∑k ＝1n1S k ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.答案：2nn ＋14．(2017·兰州模拟)已知数列{a n }，{b n }，若b 1＝0，a n ＝1nn ＋，当n ≥2时，有b n ＝b n－1＋a n －1，则b 2 018＝________.解析：由b n ＝b n －1＋a n －1，得b n －b n －1＝a n －1，∴b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n －1，∴b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1n，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ＝n －1n，∵b 1＝0，∴b n ＝n －1n ，∴b 2 018＝2 0172 018.答案：2 0172 0185．(2017·石家庄质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n，…，若S k ＝14，则a k ＝________. 解析：因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋…＋nn ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7(n ＝－8舍去)，所以a k ＝78.答案：786．在数列{a n }和{b n }中，a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，a 1＝1，b 1＝1.设c n＝1a n ＋1b n，则数列{c n }的前2 018项和为________．解析：由已知a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 得a n ＋1＋b n ＋1＝2(a n ＋b n )，又a 1＋b 1＝2，所以数列{a n ＋b n }是首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＋b n ＝2n，将a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 相乘并化简，得a n ＋1b n ＋1＝2a n b n ，即a n ＋1b n ＋1a n b n ＝2.所以数列{a n b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n b n ＝2n －1，因为c n ＝1a n ＋1b n ，所以c n ＝a n ＋b n a n b n ＝2n2n －1＝2，数列{c n }的前2 018项和为2×2 018＝4 036.答案：4 036。

课时跟踪检测（二十）A 组——12＋4提速练一、选择题 1．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，π＋x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )是减函数C ．函数f (x )是周期函数D ．函数f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 由函数f (x )的解析式，知f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数．当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x ) ∈[－1,1]．所以函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.3．(2017·合肥模拟)函数y ＝4cos x －e |x |(e 为自然对数的底数)的图象可能是( )解析：选A 令f (x )＝4cos x －e |x |，因为f (－x )＝4cos(－x )－e|－x |＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项B ，D.又f (0)＝4cos 0－e 0＝3>0，所以选项A 满足条件．故选A.4．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选B 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象．因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，故选B.5．(2017·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选D 选项A ，B 是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．故选D.6．(2017·陕西质检)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，则f (8)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2解析：选B 由奇函数f (x )的定义域为R ，可得f (0)＝0，由f (x ＋2)为偶函数，可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，故f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f [－(x ＋2)＋2]＝f (－x )＝－f (x )，则f (x ＋8)＝f [(x ＋4)＋4]＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以f (8)＝f (0)＝0，故选B.7．(2018届高三·湖南五市十校联考)函数y ＝－xx x －2的图象大致为( )选A 当x >2时，2－x <0，e x >0，(x －1)2>0，∴y <0，此时函数的图象在x 轴的下方，排除B ；当x <2且x ≠1时，2－x >0，e x>0，(x －1)2>0，∴y >0，此时函数的图象在x 轴的上方，故选A.8．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c .9．已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意知当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.10．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A x ≤0时，f (x )＝2－x－1,0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故当x >0时，f (x )是周期函数，f (x )的图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．11．(2018届高三·广西三市联考)已知函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤4，4e 5－x，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，则m 的取值范围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2C ．(ln 2,2]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：选D 作出函数y 1＝e|x －2|和y ＝g (x )的图象，如图所示，由图可知当x ＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e5－x，得e2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.12．(2017·洛阳统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－a ＋3≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，故选A.二、填空题13．(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：614．(2017·陕西质检)已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的结论：①y ＝f (x )的值域为R ；②y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；④y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点． 其中正确结论的序号是________． 解析：函数f (x )＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ≥0，1－x －1，x <0，其图象如图所示，由图象可知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；f (x )在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，而在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f (x )的图象关于y 轴对称，故③正确；由于f (x )在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④15．(2017·惠州调研)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个结论： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中正确结论的序号为________．解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－fx ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＋32＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数，在R 上不可能是单调函数，④错误．故正确结论的序号为①②③.答案：①②③16．(2017·云南统考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2＋1＋x 2＋x ，x ≥0，3x 2＋1＋x 2－x ，x <0，若f (x －1)<f (2x ＋1)，则x 的取值范围为________．解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＝3(－x )2＋ln(1＋－x2＋x )＝3x 2＋ln(1＋x 2＋x )＝f (x )，同理可得，当x <0时，f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数．因为当x >0时，函数f (x )单调递增，所以不等式f (x －1)<f (2x ＋1)等价于|x －1|<|2x ＋1|，整理得x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2.答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)B 组——能力小题保分练1．(2017·郑州质检)函数f (x )＝1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )解析：选C 依题意，f (－x )＝1－2－x1＋2－x cos(－x )＝2x－2－x 2x＋2－xcos x ＝2x－12x ＋1cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当0<x <1时，1－2x1＋2x <0，cos x >0，f (x )<0，结合选项知，C 正确，故选C.2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．3．(2017·成都模拟)已知函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12.若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)<g (3)<g (2)B ．g (π)<g (2)<g (3)C ．g (2)<g (3)<g (π)D ．g (2)<g (π)<g (3)解析：选C 因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以a 12＝22，即a ＝12，函数f (x )在R 上单调递减．函数g (x ＋2)为偶函数，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )且g (x )单调递减，所以x ∈[2,6]时，g (x )单调递增，根据对称性，可知在[－2,6]上距离对称轴x ＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g (2)<g (3)<g (π)．故选C.4．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝x 2x －1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π＋12，则∑k ＝12 016f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2 017的值为( )A ．2 016B ．1 008C ．504D ．0解析：选B 因为f (x )＝x －12＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π＋12＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，所以f (x )的图象是由y ＝14x ＋sin x ＋12的图象向右平移12个单位长度得到的，因为曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12是由曲线y ＝sin x 向右平移12个单位长度得到的，所以曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称，又曲线y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称，所以f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12对称，所以f (x )＋f (1－x )＝ 1.所以∑k ＝12 016f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2 017＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝ 1 008×⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝1 008，故选B. 5．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝________.解析：依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.答案：236．已知函数f (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，函数g (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有g (xy )＝g (x )－g (y )成立，且f (3)＝2，g (－2)＝3，则f (－3)＋g (2)＝________.解析：根据题意，函数f(x)满足对任意的x，y∈R，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，令x ＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，即f(1)＝0；令x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，则f(－1)＝0；令y＝－1，则f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，f(－3)＝f(3)＝2.函数g(x)满足对任意的x，y∈R，都有g(xy)＝g(x)－g(y)成立，令x＝y ＝－1，则g(1)＝g(－1)－g(－1)＝0；令x＝1，y＝－1，则g(－1)＝g(1)－g(－1)，即g(－1)＝0；令y＝－1，则g(－x)＝g(x)－g(－1)，∴g(－x)＝g(x)，即函数g(x)为偶函数，∴g(2)＝g(－2)＝3.∴f(－3)＋g(2)＝2＋3＝5.答案：5。

学 习 资 料 汇编课时跟踪检测（二十三）A 组——12＋4提速练一、选择题1．设f (x )＝x ln x ，f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B ∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ，故选B. 2．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：选C 依题意，f (0)＝e 0cos 0＝1，因为f ′(x )＝e xcos x －e xsin x ，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，故选C.3．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则n ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．4解析：选C 对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，而直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ＝k ，k ＋1＝3，1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.4．若下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (1)＝( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－53解析：选A 由题意知，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∵a ≠0，∴其图象为最右侧的一个．由f ′(0)＝a 2－1＝0，得a ＝±1.由导函数f ′(x )的图象可知，a <0，故a ＝－1，∴f (x )＝13x 3－x 2＋1，f (1)＝13－1＋1＝13.5．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2)解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x＝2x 2－5x ＋2x＝x －x －x>0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞)．6.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．－427，0B ．0，－427C.427，0 D ．0，427解析：选C 由题意知，f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x＝13或x ＝1，易得当x ＝13时，f (x )取极大值427，当x ＝1时，f (x )取极小值0.8．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)·f (x 2－1)的解集是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：选D 因为f (x )＋xf ′(x )<0，所以[xf (x )]′<0，故xf (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，又(x ＋1)f (x ＋1)>(x 2－1)·f (x 2－1)，所以0<x ＋1<x 2－1，解得x >2.9.已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为其导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(－3，－2)∪(2,3)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选A 由y ＝f ′(x )的图象知，f (x )在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f (－2)＝1，f (3)＝1，∴f (x 2－6)>1可化为－2<x 2－6<3，解得2<x <3或－3<x <－2.10．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)上均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)上均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上有零点，在区间(1，e)上无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点 解析：选D 因为f ′(x )＝13－1x ，所以当x ∈(0,3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，而0<1e <1<e<3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点．11．(2017·成都模拟)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t，2处的切线与曲线C 2：y＝ex ＋1－1也相切，则t ln 4e2t的值为( )A ．4e 2B ．8eC ．2D ．8解析：选D 由y ＝tx ，得y ′＝12t ·x －12，则曲线C 1在x ＝4t 时的切线斜率为k ＝t4，所以切线方程为y －2＝t 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t ，即y ＝t 4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1－1的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1－1，得y ′＝e x ＋1，则由e x 0＋1＝t 4，得切点⎝ ⎛⎭⎪⎫ln t4－1，t 4－1，故切线方程又可表示为y－t 4＋1＝t 4x －ln t 4＋1，即y ＝t 4x ＋t 4ln 4t ＋t 2－1，所以由题意，得t 4ln 4t ＋t 2－1＝1，即t ln 4t＋2＝8，整理得t ln 4e2t＝8，故选D.12．(2018届高三·湘中名校联考)已知函数g (x )＝a －x 21e≤x ≤e，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e 2－2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2D.[)e 2－2，＋∞解析：选A 由题意，知方程x 2－a ＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解．设f (x )＝2ln x －x 2，则f ′(x )＝2x－2x ＝－x ＋x －x.易知x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时f ′(x )>0，x ∈[1，e]时f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f (x )极大值＝f (1)＝－1，又f (e)＝2－e 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e2，f (e)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，所以a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选A.二、填空题13．(2017·张掖模拟)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，则实数a的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋1，∵函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，∴f ′(x )≤0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧14－12a ＋1≤0，9－3a ＋1≤0，解得a ≥103，∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞14．(2017·山东高考)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x；②f (x )＝3－x； ③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.解析：设g (x )＝e x f (x )，对于①，g (x )＝e x ·2－x， 则g ′(x )＝(e x ·2－x )′＝e x ·2－x(1－ln 2)>0，所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求； 对于②，g (x )＝e x ·3－x，则g ′(x )＝(e x ·3－x )′＝e x ·3－x(1－ln 3)<0，所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求； 对于③，g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝(e x ·x 3)′＝e x ·(x 3＋3x 2)，显然函数g (x )在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求； 对于④，g (x )＝e x ·(x 2＋2)，则g ′(x )＝[e x·(x 2＋2)]′＝e x ·(x 2＋2x ＋2)＝e x ·[(x ＋1)2＋1]>0， 所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求． 综上，具有M 性质的函数的序号为①④. 答案：①④15．已知函数f (x )＝e x－mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )的导数f ′(x )＝e x－m ，即切线斜率k ＝e x－m ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则满足(e x －m )e ＝－1，即e x －m ＝－1e 有解，即m ＝e x ＋1e 有解，∵e x＋1e ＞1e ，∴m ＞1e.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 16．(2017·兰州模拟)已知函数f (x )＝e x＋m ln x (m ∈R ，e 为自然对数的底数)，若对任意正数x 1，x 2，当x 1>x 2时都有f (x 1)－f (x 2)>x 1－x 2成立，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．依题意得，对于任意的正数x 1，x 2，当x 1>x 2时，都有f (x 1)－x 1>f (x 2)－x 2，因此函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )－1＝e x＋mx－1≥0，即x (e x －1)≥－m 恒成立．记h (x )＝x (e x－1)，x >0，则有h ′(x )＝(x ＋1)e x－1>(0＋1)e 0－1＝0(x >0)，h (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，h (x )的值域是(0，＋∞)，因此－m ≤0，m ≥0.故所求实数m 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)B 组——能力小题保分练1．(2017·陕西质检)设函数f (x )＝x sin x 在x ＝x 0处取得极值，则(1＋x 20)(1＋cos 2x 0)的值为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．2解析：选D f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，令f ′(x )＝0得tan x ＝－x ，所以tan 2x 0＝x 20，故(1＋x 20)(1＋cos 2x 0)＝(1＋tan 2x 0)·2cos 2x 0＝2cos 2x 0＋2sin 2x 0＝2，故选D.2．(2017·开封模拟)过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有( ) A ．3条 B ．2条 C ．1条D ．0条解析：选A 由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k ＝3x 20－3，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (2,1)代入可得关于x 0的一元三次方程2x 30－6x 20＋7＝0.令y ＝2x 30－6x 20＋7，则y ′＝6x 20－12x 0.由y ′＝0得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，y ＝7>0；x 0＝2时，y ＝－1<0.所以方程2x 30－6x 20＋7＝0有3个解．故过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有3条，故选A.3．(2017·惠州调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( )A ．(e ，＋∞)B ．(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析：选D f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x )，所以f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)可变形为f (ln x )<f (1)．f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )，因为2＋cos x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以f (ln x )<f (1)等价于|ln x |<1，即－1<ln x <1，所以1e<x <e.故选D.4．设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由正弦型函数的图象可知：f (x )的极值点x 0满足f (x 0)＝±3，则πx 0m ＝π2＋k π(k ∈Z)，从而得x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫k ＋12m (k ∈Z)．所以不等式x 20＋[f (x 0)]2<m 2即为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122m 2＋3<m 2，变形得m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122>3，其中k ∈Z.由题意，存在整数k 使得不等式m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122>3成立．当k ≠－1且k ≠0时，必有⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122>1，此时不等式显然不能成立，故k ＝－1或k ＝0，此时，不等式即为34m 2>3，解得m <－2或m >2.5．若对任意的a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，函数f (x )＝12x 2－ax －2b 与g (x )＝2a ln(x －2)的图象均有交点，则实数b 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1516＋12ln 2，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫158＋ln 2，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1516＋12ln 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1516＋12ln 2，＋∞ 解析：选A 依题意，原问题等价于对任意的a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，关于x 的方程12x 2－ax －2a ln(x －2)＝2b 有解．设h (x )＝12x 2－ax －2a ln(x －2)，则h ′(x )＝x －a －2a x －2＝xx －a －x －2，所以h (x )在(2，a ＋2)上单调递减，在(a ＋2，＋∞)上单调递增，当x →2时h (x )→＋∞，当x →＋∞时，h (x )→＋∞，h (a ＋2)＝－12a 2－2a ln a ＋2，记p (a )＝－12a 2－2a ln a ＋2，则h (x )的值域为[p (a )，＋∞)，故2b ∈[p (a )，＋∞)对任意的a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞恒成立，即2b ≥p (a )max ，而p ′(a )＝－a －2ln a －2≤－12＋2ln 2－2<0，故p (a )单调递减，所以p (a )≤p ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝158＋ln2，所以b ≥1516＋12ln 2，故选A.6．(2017·张掖模拟)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )>1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )>32－2sin 2x 2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12>0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )，∴f (2cos x )>32－2sin 2x 2，即g (2cos x )>0，∴2cos x >1，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3.敬请批评指正。

课时跟踪检测（七）1．(2018届高三·广西三市联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12， 又b 1＝log 4a 1＋1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n n －2d ＝n 2＋3n4.2．(2017·福州质检)已知等差数列{a n }的各项均为正数，其公差为2，a 2a 4＝4a 3＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n.解：(1)依题意知，a n ＝a 1＋2(n －1)，a n >0.因为a 2a 4＝4a 3＋1，所以(a 1＋2)(a 1＋6)＝4(a 1＋4)＋1，所以a 21＋4a 1－5＝0，解得a 1＝1或a 1＝－5(舍去)，所以a n ＝2n －1.(2)a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n ＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋…＋(2×3n－1)＝2×(1＋3＋32＋ (3))－(n ＋1)＝2×1－3n ＋11－3－(n ＋1)＝3n ＋1－n －2.3．(2017·济南模拟)已知数列{a n }满足a 1＝511,4a n ＝a n －1－3(n ≥2)． (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：当n ≥2时，由4a n ＝a n －1－3得a n ＋1＝14(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列．所以a n ＋1＝512×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝211－2n ，a n＝211－2n －1.(2)b n ＝|11－2n |，设数列{11－2n }的前n 项和为T n ，则T n ＝10n －n 2.当n ≤5时，S n ＝T n ＝10n －n 2；当n ≥6时，S n ＝2S 5－T n ＝n 2－10n ＋50.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.4．(2018届高三·广东五校联考)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵S n ＝2a n －a 1， ① ∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－a 1；②①－②得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，∴2(2a 1＋1)＝a 1＋4a 1，解得a 1＝2.∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＝2n.(2)∵a n ＝2n，∴S n ＝2a n －a 1＝2n ＋1－2，S n ＋1＝2n ＋2－2.∴b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n ＋1n ＋1－n ＋2－＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1. ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－1＝2n－12n ＋1－1. 5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解：(1)证明：∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12，当n ＝1时，a 1＋S 1＝1，∴a 1＝12，a 1－1＝－12，又c n ＝a n －1，∴{c n }是首项为－12，公比为12的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.。