【备战2016】(陕西版)高考数学分项汇编 专题16 选修部分(含解析)理科

专题02 函数一．基础题组1. 【2006高考陕西版文第2题】函数f (x )=11+x2 (x ∈R )的值域是( )A ．(0，1)B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1]【答案】B考点：函数的值域，容易题.2. 【2007高考陕西版文第2题】函数21lg )(x x f -=的定义域为（A ）［0，1］ （B ）（-1，1）（C ）［-1，1］（D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）【答案】B考点：反函数，容易题.3. 【2009高考陕西版文第3题】函数()4)f x x =≥的反函数为（A ）121()4(0)2f x x x -=+≥ (B) 121()4(2)2f x x x -=+≥ （C ）121()2(0)2f x x x -=+≥ (D)学科121()2(2)2f x x x -=+≥【答案】D考点：反函数，容易题.4. 【2010高考陕西版文第7题】下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是（A ）幂函数（B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数【答案】C考点：函数的性质，容易题.5. 【2010高考陕西版文第13题】已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ .【答案】2 【解析】试题分析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=2. 考点：分段函数，容易题.6. 【2011高考陕西版文第4题】函数13y x =的图像是 （ ）【答案】B考点：函数的图像，容易题.7. 【2011高考陕西版文第11题】设lg ,0()10,0x x x f x x >⎧=⎨⎩…，则((2))f f -=______.【答案】2-考点：分段函数，容易题.8. 【2012高考陕西版文第2题】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1y x =+B ．3y x =-C ．1y x=D ．||y x x =【答案】D考点：函数的性质，容易题.9. 【2012高考陕西版文第11题】设函数()0102x x f x x ≥=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，则()()4=f f - ．【答案】4考点：分段函数，容易题.10. 【2013高考陕西版文第3题】设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )．A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c 【答案】B考点：对数的运算性质，容易题.11. 【2014高考陕西版文第12题】已知42a=，lg x a =，则x =________.考点：指数方程；对数方程.12. 【2015高考陕西，文4】设10()2,0xx f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32【答案】C【考点定位】1.分段函数；2.复合函数求值. 二．能力题组1. 【2006高考陕西版文第4题】设函数f (x )=log a (x +b )(a >0，a ≠1)的图象过点(0， 0)，其反函数的图像过点(1，2)，则a +b 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C考点：对数函数、反函数，容易题.2. 【2006高考陕西版文第9题】已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2 ， x 1+x 2=0 ， 则( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)=f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定【答案】A考点：二次函数，容易题.3. 【2007高考陕西版文第8题】设函数f (x )=2x+1(x ∈R )的反函数为f －1(x ),则函数y = f －1(x )的图像是（ ）【答案】A考点：反函数，能力题.4. 【2008高考陕西版文第7题】已知函数3()2x f x +=，1()fx -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()fm f n --+的值为（ ）A ．10B ．4C ．1D ．2-【答案】D考点：反函数，能力题.5. 【2008高考陕西版文第11题】定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(2)f -等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】A考点：函数的性质，能力题.6. 【2009高考陕西版文第10题】定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则(A)(3)(2)(1)f f f <-< (B) (1)(2)(3)f f f <-<(C) (2)(1)(3)f f f -<< (D) (3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A考点：函数的性质，能力题.7. 【2010高考陕西版文第10题】某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（A ）y ＝[10x] （B ）y ＝[310x +] （C ）y ＝[410x +] （D ）y ＝[510x +] 【答案】B考点：函数的应用，能力题.8. 【2011高考陕西版文第6题】方程cos x x =在(),-∞+∞内 （ ） (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无穷多个根【答案】C考点：函数与方程，能力题.9. 【2011高考陕西版文第14题】设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数．．根的充要条件是n = ．【答案】3或4考点：方程，能力题.10. 【2013高考陕西版文第10题】设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( )．A ．[－x ]＝－[x ]B ．1[]2x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋12x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝[2x ] 【答案】D 【解析】试题分析：令x ＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，所以A 错；考点：函数与方程，能力题.11. 【2014高考陕西版文第7题】下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()3f x x = （B ）()3x f x = （C ）()23f x x = （D ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B考点：函数求值；函数的单调性.12. 【2015高考陕西，文9】 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数【答案】B【考点定位】函数的性质.13. 【2015高考陕西，文10】设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>【答案】C【考点定位】函数单调性的应用. 三．拔高题组1. 【2014高考陕西版文第14题】已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________. 【答案】12014xx+考点：数列的通项公式；数列与函数之间的关系.。

专题06 数列一．基础题组1. 【2006高考陕西版文第3题】已知等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，则该数列前9项和S 9等于( )A ．18B ．27C ．36D ．45【答案】C考点：等差数列，容易题.2. 【2007高考陕西版理第5题】各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S n =2,S 3n =14,则S 4n 等于（A ）80 （B ）30 (C)26 (D)16 【答案】B考点：等比数列，容易题.3. 【2008高考陕西版理第4题】已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64 B ．100C ．110D ．120【答案】B考点：等差数列，容易题.4. 【2009高考陕西版理第13题】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6312a S ==，则2l i mnn S n →∞= ．5. 【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5【考点定位】等差中项．二．能力题组1. 【2006高考陕西版理第20题】已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n ． 【答案】a n =5n －3考点：等比数列.2. 【2007高考陕西版理第22题】已知各项全不为零的数列{a k }的前k 项和为S k ,且S k ＝∈+k a a k k (211N *),其中a 1=1.(Ⅰ)求数列{a k }的通项公式;(Ⅱ)对任意给定的正整数n (n ≥2),数列{b k }满足11++-=b k k a nk b b （k =1,2,…，n -1）,b 1=1.【答案】(Ⅰ) *()k a k k =∈N ;Z (Ⅱ)1n.考点：等差数列、数列求和.3. 【2008高考陕西版理第22题】已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n na x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n = ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+ ．【答案】（Ⅰ）332nn n a ∴=+；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．【解析】试题分析：解法一：（Ⅰ）1321n n n a a a +=+ ，112133n n a a +∴=+，1111113n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 又1213n a -=，11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是以23为首项，13为公比的等比数列．∴原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设2112()1(1)3n f x x x x ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，考点：数列与不等式.4. 【2010高考陕西版理第9题】对于数列｛a n｝，“a n+1＞∣a n∣（n=1，2…）”是“｛a n｝为递增数列”的(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件(C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】B考点：数列的性质5. 【2010高考陕西版理第16题】已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n.【答案】（Ⅰ）a n＝1+（n－1）×1＝n.(Ⅱ)S m=2n+1-2.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，考点：等差数列与等比数列.6. 【2011高考陕西版理第14题】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．【答案】2000考点：数列求和.7. 【2011高考陕西版理第19题】如图，从点1(0,0)P 做x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1),Q 曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1122,;,......;,,n n P Q P Q P Q 记kP 点的坐标为(,0)(1,2,...,)k x k n =.（Ⅰ）试求1x 与1k x -的关系(2)k n ≤≤ （ Ⅱ）求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++． 【答案】（Ⅰ）11(2)k k x x k n -=-≤≤。

2011年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷(理科)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设，是向量，命题“若，则”的逆命题是（ ）a b a b =- ||||a b =（A ）若，则 （B ）若，则a b ≠- ||||a b ≠ a b =- ||||a b ≠（C ）若，则 （D ）若，则||||a b ≠ a b ≠- ||||a b =a b=- 【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。

【解】选D 原命题的条件是，作为逆命题的结论；原命题的结论是，作a b =- ||||a b =为逆命题的条件，即得逆命题“若，则”，故选D ．||||a b =a b =- 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （ ）2x =-（A ） （B ） （C ） （D ）28y x =-28y x =24y x =-24y x=【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．【解】选B由准线方程得,且抛物线的开口向右（或焦点在轴的正半2x =-22p-=-x 轴），所以．228y px x ==3．设函数（R ）满足，，则函数的图()f x x ∈()()f x f x -=(2)()f x f x +=()y f x =像是 （）【分析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．()y f x =【解】选B 由得是偶函数，所以函数的图象关于轴()()f x f x -=()y f x =()y f x =y 对称，可知B ，D 符合；由得是周期为2的周期函数，选项D (2)()f x f x +=()y f x =的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4．（R ）展开式中的常数项是 （ 6(42)xx --x ∈）（A ） （B ） （C ）15 （D ）2020-15-【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由的指数为0，确定x 常数项是第几项，最后计算出常数项.【解】选C ，62(6)1231666(4)(2)222r x rx r r x r xr r x xr r T C C C -----+==⋅⋅=⋅令，则，所以，故选C ．1230x xr -=4r =45615T C ==5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A ）283π-（B ）83π-会所负责活部”（（C ）82π-（D ）23π【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【精讲精析】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是.3218222833V ππ=-⨯⨯⨯=-6．函数在内 （）()cos f x x =[0,)+∞（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。

2016年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（四）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|lnx≥0}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±13．如图所示，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的M的值是（）A．1 B．2 C．3 D．44．设，是两个非零向量，若命题p：•＞0，命题q：，夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若tanα=2，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，87．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A．4B．4 C．6D．68．等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b=（）A．64 B．32 C．256 D．40969．如图，若在矩阵OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A．1﹣B．C． D．1﹣10．已知实数x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最大值为a，最小值为b，则（a﹣bt）6展开式中t4的系数为（）A．200 B．240 C．﹣60 D．6011．双曲线的一个焦点F与抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点相同，它们交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．212．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f （x），a=e3f（2），b=e2f（3），则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知随机向量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c﹣1）=P（X＜c+3），则c=______．14．P是棱长为2的正四面体内任意一点，则它到该正四面体各个面的距离之和等于______．15．函数f（x）=，对任意x∈R恒有f（x）≥f（0），则实数a的取值范围是______．16．在△ABC中，O是外接圆的圆心，若•=﹣，∠A=60°，则△ABC周长的最大值______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD．（1）证明：AC∥平面BEF；（2）求平面BEF和平面ABCD所成锐角二面角的余弦值．19．某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目，为了解该项目受欢迎程度，在某班男女（2）根据题目要求，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”？20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．21．已知函数f（x）=x﹣a﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（1）证明：若0＜x1＜x2，则＜．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB，CD是圆O的两条互相垂直的直径，E是圆O上的点，过E点作圆O的切线交AB的延长线于F，连结CE交AB于G点．（1）求证：FG2=FA•FB；（2）若圆O的半径为2，OB=OG，求EG的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|（x∈R，a∈R）的值域为[﹣2，2]．（1）求实数a的值；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤m﹣m2，求实数m的取值范围．2016年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|lnx≥0}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即A=[1，+∞）；由B中的不等式解得：﹣3＜x＜3，即B=（﹣3，3），则A∩B=[1，3）．故选：B．2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵（1﹣ai）2=（1﹣a2）﹣2ai为纯虚数，∴，解得a=±1．故选：D．3．如图所示，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的M的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】选择结构．【分析】由题意，程序的功能是输出两数中的较大数，从而可得结论．【解答】解：由题意，程序的作用是输出两数中的较大数，所以当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是3．故选：C．4．设，是两个非零向量，若命题p：•＞0，命题q：，夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用数量积运算性质、三角函数求值即可判断出结论．【解答】解：设，夹角是θ，命题p：•＞0，则cosθ＞0，∴θ是锐角或0，则命题p是命题q成立的必要不充分条件．故选：B．5．若tanα=2，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求，即可利用已知条件计算求值．【解答】解：∵tanα=2，∴sin2α﹣cos2α===．故选：C．6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．7．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A ．4B ．4C ．6D ．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长a ，可得：该三棱柱的俯视图为边长为a 的正三角形，即可得出面积．【解答】解：由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长=×2=4，∴该三棱柱的俯视图为边长为4的正三角形，其面积===4． 故选：A ．8．等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差公比都是2，则b b b =（ ） A ．64 B ．32 C ．256 D ．4096【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1．求得b b b =b 1•b 5•b 9，代入计算即可得到所求值．【解答】解：等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差公比都是2，可得a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，b n =1•2n ﹣1=2n ﹣1．可得b b b =b 1•b 5•b 9=1•24•28=212=4096．故选：D ．9．如图，若在矩阵OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A ．1﹣B ．C ．D ．1﹣【考点】几何概型．【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积．即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．【解答】解：S 矩形=π， sinxdx=﹣cosx |=﹣（cos π﹣cos0）=2，∴S 阴影=π﹣2，故豆子落在图中阴影部分的概率为=1﹣，故选：A ．10．已知实数x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最大值为a，最小值为b，则（a﹣bt）6展开式中t4的系数为（）A．200 B．240 C．﹣60 D．60【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得a、b的值，代入（a﹣bt）6，写出展开式的通项，由x的指数等于4求得r值，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（2，0），B（0，1），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2；当直线y=x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1．∴a=2，b=﹣1．则（a﹣bt）6即为（2+t）6．由，取r=4，可得展开式中t4的系数为．故选：D．11．双曲线的一个焦点F与抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点相同，它们交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得p=2c，将x=c代入双曲线的方程，可得=2p=4c，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求．【解答】解：抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），由题意可得c=，即p=2c，由直线AB过点F，结合对称性可得AB垂直于x轴，令x=c，代入双曲线的方程，可得y=±，即有=2p=4c，由b2=c2﹣a2，可得c2﹣2ac﹣a2=0，由e=，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，（负的舍去），故选：C．12．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f （x），a=e3f（2），b=e2f（3），则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造新函数，研究其单调性即可．【解答】解：令g（x）=f（x）•e5﹣x则，=对任意的x≥0，f′（x）＞f（x），e x＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在定义域上是增函数，∴g（2）＜g（3）故答案选：B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知随机向量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c﹣1）=P（X＜c+3），则c=．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于c 程，解方程即可．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，1），∵P（X＞2c﹣1）=P（X＜c+3），∴2c﹣1+c+3=6，∴c=，故答案为：．14．P是棱长为2的正四面体内任意一点，则它到该正四面体各个面的距离之和等于．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离．【解答】解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，设它到四个面的距离分别为a，b，c，d，由于棱长为1的正四面体，故四个面的面积都是×2×2×sin60°=．又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，又高为2×sin60°=，故底面中心到底面顶点的距离都是：．由此知顶点到底面的距离是=．此正四面体的体积是××=××（a+b+c+d）．所以：a+b+c+d=．故答案为：．15．函数f（x）=，对任意x∈R恒有f（x）≥f（0），则实数a的取值范围是[0，2] ．【考点】函数恒成立问题．【分析】讨论可得a≥0，故恒成立问题可化为x++a≥a2恒成立，从而解得．【解答】解：若a＜0，则f（a）=0＜f（0），故不成立；故a≥0，而f（0）=a2，故若对任意x∈R恒有f（x）≥f（0），则x++a≥a2恒成立，故a2﹣a﹣2≤0，故0≤a≤2，故答案为：[0，2]．16．在△ABC中，O是外接圆的圆心，若•=﹣，∠A=60°，则△ABC周长的最大值3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件可得外接圆的半径为r=1，BC=，再利用余弦定理、基本不等式求得△ABC周长的最大值．【解答】解：△ABC中，∵O是外接圆的圆心，设外接圆的半径为r，∵∠A=60°，∴∠BOC=120°，由•=﹣，可得r•r•cos120°=﹣•r2=﹣，∴r=1，∴BC==．△ABC中，由余弦定理可得BC2=3=CA2+AB2﹣2CA•AB•cos60°=AC2+AB2﹣CA•CB=（AB+AC）2﹣3AB•AC≥（AB+AC）2﹣3，求得（AB+AC）2≤12，∴AB+AC≤2，∴△ABC周长AB+AC+BC≤3，故△ABC周长的最大值为，故答案为：3．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣2．当n=1时，a1=2a1﹣2，得a1=2；当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，可得a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1（n≥2），可知：数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n=2n．（2）na n=n•2n，由已知得：T n=1×2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴2T n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减得：﹣T n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．18．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD．（1）证明：AC∥平面BEF；（2）求平面BEF和平面ABCD所成锐角二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）法一：记BF中点为M，AC与BD交点为O，连结MO，ME，推导出四边形OCEM为平行四边形，由此能证明AC∥平面BEF．法2：以D为原点，DA，DC，DF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能证明AC∥平面BEF．（Ⅱ）求出平面BEF的法向量和平面ABCD 的一个法向量，利用向量法能求出平面BEF 和平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）证法1：如图，记BF中点为M，AC与BD交点为O，连结MO，ME，由题设知，CE，MO，即CE MO，∴四边形OCEM为平行四边形，∴EM∥CO，即EM∥AC，又AC⊄平面BFE，EM⊂平面BFE，∴AC∥平面BEF．…证法2：由题设知，DA，DA，DC两两相互垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），F（0，0，2）．设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），则，又，∴，取x=1，得=（1，1，2），又=（﹣2，2，0），∴=0，即，又AC⊄平面BEF，∴AC∥平面BEF．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BEF的法向量=（1，1，2），平面ABCD 的一个法向量为=（0，0，1），则cos＜＞===，平面BEF和平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．…19．某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目，为了解该项目受欢迎程度，在某班男女20（2）根据题目要求，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”？【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率，求出对应的概率；（Ⅱ）填写列联表，计算K2的值，对照数表得出概率结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意知，喜欢这项活动的男生有8人，女生有15人，从中选一人有23种选法，其中选到男生有8种，所求概率为．…K2=中，得K2=≈5.013＞3.841，所以，有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，由，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值．【解答】20．（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，∴依题意，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C的方程为：．…（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，则，整理，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由韦达定理，得：，，∴|y1﹣y2|===，∴==，椭圆C的内接平行四边形面积为S=4S△OAB=，令m=≥1，则S=f（m）==，注意到S=f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴S max=f（1）=6，当且仅当m=1，即t=0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．…21．已知函数f（x）=x﹣a﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（1）证明：若0＜x1＜x2，则＜．【考点】不等式的证明；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）解法1、求出f（x）的导数，求得单调区间，可得极小值且为最小值，解得a的范围；解法2、运用参数分离，求得右边韩寒说的最小值，即可得到a的范围；（II）取a=1，知f（x）=x﹣1﹣lnx，ln＜﹣1（0＜x1＜x2）可得lnx2﹣lnx1＜，即有＜，再由不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）解法1：f（x）=x﹣a﹣lnx的导数为f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，得x＞1；令f′（x）＜0，得0＜x＜1，即f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可知f（x）min=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1．解法2：f（x）≥0，即a≤x﹣lnx（x＞0），令g（x）=x﹣lnx（x＞0），则g′（x）=1﹣=（x＞0），令g′（x）＞0，得x＞1；令g′（x）＜0，得0＜x＜1，即g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可知g（x）min=g（1）=1，可得a≤1．（II）证明：取a=1，知f（x）=x﹣1﹣lnx，由（Ⅰ）知lnx﹣x+1≤0，即lnx≤x﹣1，ln＜﹣1（0＜x1＜x2）可得lnx2﹣lnx1＜，即有＜，则==﹣1＜﹣1＜==＜．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB，CD是圆O的两条互相垂直的直径，E是圆O上的点，过E点作圆O的切线交AB的延长线于F，连结CE交AB于G点．（1）求证：FG2=FA•FB；（2）若圆O的半径为2，OB=OG，求EG的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接OE，DE，由弦切角定理知∠FEG=∠D，证明FG=FE，由切割线定理得FE2=FA•FB，即可证明：FG2=FA•FB；（2）由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG，即可求EG的长．【解答】（1）证明：连接OE，DE，由弦切角定理知∠FEG=∠D．∵∠C+∠D=90°，∴∠C+∠FEG=90°又∠C+∠CGO=90°，∠CGO=∠FGE∴∠C+∠FGE=90°，∴∠FGE=∠FEG即FG=FE …由切割线定理得FE2=FA•FB，所以FG2=FA•FB；（Ⅱ）解：由OB=OG=2知，OG=2，∴AG=2+2，BG=2﹣2，在Rt△OCG中，由OC=2，OG=2得，CG=4．由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG，即（2+2）（2﹣2）=4EG，∴EG=2．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3即可化为直角坐标方程．曲线C2参数方程是（t为参数）消去参数化为直角坐标方程．（II）直线方程与椭圆方程联立可得交点坐标，利用中点坐标公式、圆的标准方程即可得出．【解答】解：（I）曲线ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3化为直角坐标方程为：x2+3y2=3，即=1；曲线C2参数方程是（t为参数）化为直角坐标方程为：x=﹣（y﹣1），即x+y﹣=0．（II），解得，即A（0，1），B（，0），线段AB的中点为M，则以线段AB为直径的圆的直角坐标方程为=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|（x∈R，a∈R）的值域为[﹣2，2]．（1）求实数a的值；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤m﹣m2，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）问题转化为：|a﹣4|=2，解出即可；（2）求出f（x）的最小值，得到﹣2≤m ﹣m2，解出即可．【解答】解：（1）对于任意x∈R，f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|∈[﹣|a﹣4|，|a﹣4|]，可知|a﹣4|=2，解得：a=2或a=6；（2）依题意有﹣2≤m﹣m2，即m2﹣m﹣2≤0，解得：m∈[﹣1，2]．2016年9月20日。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

）1。

集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<，则AB =（ )A ．()1,3B ．[)1,3C ．[)1,+∞D ．[),3e 【答案】B 【解析】试题分析:因}33|{},1|{<<-=≥=x x B x x A ，故}31{<≤=x B A ,应选B. 考点:集合的交集运算。

2.若复数()21(ai i -为虚数单位，a R ∈） 是纯虚数， 则a =（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．1± 【答案】D 【解析】考点:复数的有关概念及运用.3.如图所示， 当输入,a b 分别为2,3时, 最后输出的M 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：由算法的伪代码程序语言可知输出的是两数3,,2==b a 中最大的数，故应输出3,故应选C.考点：伪代码语言程序的理解和识读.4.设,a b 是两个非零向量， 若命题:0p a b >,命题q ：,a b 夹角是锐角, 则命题p 是命题q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条 【答案】B 【解析】考点:充分必要条件的判定。

5.若tan 2α=，则2sin 2cos αα-的值为（ ）A ．45B ．45-C ．35 D ．35-【答案】C 【解析】试题分析：因53tan 11tan 2cos sin cos cos sin 2cos 2sin 22222=+-=+-=-ααααααααα,故应选C. 考点：同角三角函数的关系及运用.6。

如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)。

已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y 的值分别为（ ）A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,8 【答案】C 【解析】试题分析：由中位数的定义可知5=x ,因8.16524930)85(⨯=+++++y ,故8=y ,应选C 。

2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学及答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分 . 第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3至5页.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效 .4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回 .第Ⅰ卷一 . 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A { x | x 24x 3 0} ， B { x | 2x 3 0} ，则 A I B( 3, 3)( 3,3)(1,3)( 3,3)（A ）2（B ）2（C ）2（D ）2（2）设(1 i) x1yi，其中 x ，y 是实数，则x yi =（A ）1（B ）2（C ） 3（D ）2（3）已知等差数列{ an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班车在 7:00 ，8:00 ，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（A）（ B）（ C）（ D）（5）已知方程– =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）( –1,3)（B）(–1,3)（C）(0,3)（D）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 . 若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17π（ B）18π（ C）20π（ D）28π（7）函数y=2x2–e|x|在[ –2,2] 的图像大致为（A）（B）（C）（D）（8）若a b 10， c 1，则（A）a c b c（） ab c ba c（）（）B C a log b c b log a c D log a c log b c（9）执行右面的程序图，如果输入的x 0， y 1， n 1，则输出x，y的值满足（A）y2x （B） y 3x （C） y 4x （D） y 5x(10)以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A、B两点，交 C的标准线于 D、E两点. 已知 | AB|= 4 2，| DE|=2 5，则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8(11) 平面a过正方体ABCD-A B CD的顶点A，a// 平面CBD，平面 ABCD=m，1111 1 1a a平面 ABA1B1=n，则 m、n 所成角的正弦值为(A) 3(B)2(C)3(D) 1 223 312. 已知函数 f xsin(x+)(0，), x 为 f (x) 的零点， x为 y f ( x) 图( )442像的对称轴，且 f ( x) 在5单调，则的最大值为18 ，36（A ）11（B ）9（C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分 . 第(13) 题~第 (21) 题为必考题， 每个试题考生都必须作答 . 第(22) 题~第(24) 题为选考题，考生根据要求作答 .二、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分(13) 设向量 a =( m ，1) ，b =(1 ，2) ，且 | a +b | 2=| a | 2+| b | 2，则 m =.(14) (2 x x )5 的展开式中， x 3 的系数是 . （用数字填写答案）（ 15）设等比数列满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2 a n 的最大值为。

专题十六 选修部分1.【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ+=的距离为 ．【答案】1【解析】先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ+=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d .考点定位：本题考点为极坐标方程与直角坐标方程的互化及求点到直线距离，要求学生熟练使用极坐标与直角坐标互化公式进行点的坐标转化及曲线方程的转化，熟练使用三个距离公式，包括两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线的距离.【名师点睛】本题考查极坐标基础知识，要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲线方程的转化，然后利用点到直线距离公式求出距离，本题属于基础题，先把点的极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后求点到直线的距离. 2.【2015高考湖北，理15】（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC= .【答案】21 【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线， 由切割线定理知，)(2BC PB PB PC PB PA +=⋅=，因为3BC PB =， 所以224PB PA =，即PB PA 2=，第15题图APBC由PAB ∆∽PCA ∆，所以21==PA PB AC AB . 【考点定位】圆的切线、割线，切割线定理，三角形相似.【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．3.【2015高考湖北，理16】在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A B 两点，则||AB = . 【答案】52由两点间的距离公式得52)223223()2222(||22=+++=AB . 【考点定位】极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，两点间的距离.【名师点睛】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错. 4.【2015高考重庆，理14】如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若P A =6，AE =9，PC =3，CE :ED =2:1，则BE =_______.题（14）图EDPCBAO【答案】2【解析】首先由切割线定理得2PA PC PD =⋅，因此26123PD ==，9CD PD PC =-=，又:2:1CE ED =，因此6,3CE ED ==，再相交弦定理有AE EB CE ED ⋅=⋅，所以6329CE ED BE AE ⋅⨯===. 【考点定位】相交弦定理，切割线定理.【名师点晴】平面几何问题主要涉及三角形全等，三角形相似，四点共圆，圆中的有关比例线段（相关定理）等知识，本题中有圆的切线，圆的割线，圆的相交弦，由圆的切割线定理和相交弦定理就可以得到题中有关线段的关系． 5．【2015高考重庆，理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π【解析】直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos 24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.【名师点晴】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．6．【2015高考重庆，理16】若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 【答案】4a =或6a =-【解析】由绝对值的性质知在1x =-或x a =时()f x 可能取得最小值，若(1)215f a -=--=，32a =或72a =-，经检验均不合；若()5f a =，则15x +=，4a =或6a =-，经检验合题意，因此4a =或6a =-. 【考点定位】绝对值的性质，分段函数.【名师点晴】与绝对值有关的问题，我们可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把问题转化为不含绝对值的式子（函数、不等式等），本题中可利用绝对值定义把函数化为分段函数，再利用函数的单调性求得函数的最小值，令此最小值为5，求得a 的值．7.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为 74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 .【考点定位】极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想．【名师点睛】本题主要考查正弦两角差公式，极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属于容易题，解答此题在于准确把极坐标问题转化为平面直角坐标问题，利用平面几何点到直线的公式求解． 8. 【2015高考广东，理15】（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .【答案】8．【解析】如下图所示，连接OC ，因为//OD BC ，又BC AC ⊥，所以OP AC ⊥，又O 为AB 线段的中点，所以1122OP BC ==，在Rt OCD ∆中，122OC AB ==，由直角三角形的射影定理可得2OC OP OD =⋅即222812OC OD OP===，故应填入8．【考点定位】直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理运用，属于中档题，解答平面几何问题关键在于认真审题分析图形中的线段关系，适当作出辅助线段，此题连接OC ，则容易得到Rt OCD ∆，并利用直角三角形的射影定理求得线段OD 的值．9.【2015高考天津，理5】如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为( ) （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52【答案】A【解析】由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅，所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A.【考点定位】相交弦定理.【名师点睛】本题主要考查相交弦定理、数形结合思想、数学计算能力.应用相交弦定理及，得到相应线段的关系：,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，再利用线段三等分析点的性质，结合图形，进行适当的转化，进行运算，体现数学基本思想：数形结合.是基础题.10.【2015高考安徽，理12】在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 . 【答案】6【考点定位】1.极坐标方程与普通方程的转化；2.圆上的点到直线的距离.【名师点睛】对于极坐标与参数方程的问题，考生要把握好如何将极坐标方程转化成普通方程，抓住核心：222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，普通方程转化成极坐标方程，抓住核心：222,tan yx y xρθ+==.圆上的点到直线的距离最大值或最小值，要考虑到圆的半径加上（或减去）圆心到直线的距离.11.【2015高考新课标2，理22】选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ） 若AG 等于O的半径，且AE MN ==，求四边形EBCF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；． 【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，12DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，AB =．所以四边形EBCF的面积221122⨯⨯=【考点定位】1．等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质． 【名师点睛】平面几何中平行关系的证明往往有三种方法：①由垂直关系得出；②由角的关系得出；③由平行关系的传递性得出；除了用常规方法求面积外，通过割补法，将所求面积转化为易求面积的两个图形的和或者差更简洁．GAEFONDB CM【2015高考上海，理3】若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ．【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵【名师点睛】线性方程组的增广矩阵是线性方程组另一种表示形式，明确其对应关系即可解决相应问题.即11112211211222221122+++++++++n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b =⎧⎪=⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩对应增广矩阵为{11121121222212n nn n nnn a a a b a a a b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12.【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值． 【答案】（Ⅰ）(0,0)和3)2；（Ⅱ）4．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为cos ,)αα．所以2sin cos AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．【考点定位】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．【名师点睛】（Ⅰ）将曲线2C 与1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立2C 与1C 和3C 与1C 的极坐标方程，求得,A B 的极坐标，由极径的概念将AB 表示，转化为三角函数的最大值问题处理，高考试卷对参数方程中参数的几何意义和极坐标方程中极径和极角的概念考查加大了力度，复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区． 13．【2015高考新课标2，理24】（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >>>+是a b c d -<-的充要条件．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】（Ⅰ）因为2a b =++，2c d =++，由题设a b c d +=+，ab cd >，得22>>（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>．（ⅱ）若>，则22>，即a b ++>c d ++．因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-，综上，>是a b c d -<-的充要条件．【考点定位】不等式证明．【名师点睛】>+22>，展开结合已知条件易证；（Ⅱ）充要条件的证明需要分为两步，即充分条件的证明和必要条件的证明．证明的关键是寻找条件和结论以及它们和已知之间的联系． 15. 【2015江苏高考，21】A （选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆【答案】详见解析 【解析】试题分析：利用等弦对等角，同弧对等角，得到ABD E ∠=∠,又公共角BAE ∠，所以两三角形相似试题解析：因为C AB =A ，所以D C ∠AB =∠． 又因为C ∠=∠E ，所以D ∠AB =∠E ， 又∠BAE 为公共角，可知D ∆AB ∽∆AEB ． 【考点定位】相似三角形【名师点晴】1.判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”． 2.借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．21.B （选修4—2：矩阵与变换） 已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.A（第21——A 题）【答案】1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦,另一个特征值为1．从而矩阵A 的特征多项式()()()21f λλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．【考点定位】矩阵运算，特征值与特征向量【名师点晴】求特征值和特征向量的方法(1)矩阵a b c d ⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦的特征值λ满足()0()()0ab f a d bc cd λλλλλ--==⇒---=--，属于λ的特征向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足x x A y y λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(2)求特征向量和特征值的步骤：①解()0ab fcd λλλ--==--得特征值；②解()0()0a x by cx d y λλ--=⎧⎨-+-=⎩，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量． 21. C （选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.【解析】试题分析：先根据222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将圆C 的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据圆的标准方程得到其半径.试题解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系x y O ．圆C的极坐标方程为240ρθθ⎫+-=⎪⎪⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=，即()()22116x y -++=，所以圆C．【考点定位】圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化【名师点晴】1.运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．21.D （选修4—5：不等式选讲）解不等式|23|3x x ++≥ 【答案】153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 【解析】试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可 试题解析：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩．解得5x ≤-或13x ≥-． 综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或． 【考点定位】含绝对值不等式的解法【名师点晴】①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．16.【2015高考福建，理21】选修4-2：矩阵与变换已知矩阵2111,.4301A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(Ⅰ)求A 的逆矩阵1A -；(Ⅱ)求矩阵C ，使得AC=B.【答案】(Ⅰ)312221⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭； (Ⅱ)32223⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭．【考点定位】矩阵和逆矩阵．【名师点睛】本题考查逆矩阵和逆矩阵的性质，是通过伴随矩阵和矩阵的乘法求解，属于基础题，注意运算的准确性．17.【2015高考福建，理21】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x t y t ì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin()m,(m R).4p q -=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【答案】(Ⅰ) ()()22129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3± 【解析】(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4p q -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=.(Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即2，=解得m=-3±【考点定位】1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成y 和x 即可18.【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c ++的值；(Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值． 【答案】(Ⅰ) 4；(Ⅱ)87． 【解析】(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c =++++?-++=++，当且仅当a x b -＃时，等号成立，又0,0a b >>，所以|a b |a b +=+,所以(x)f 的最小值为a b c ++, 所以a b c 4++=．(Ⅱ)由(1)知a b c 4++=，由柯西不等式得()()22222114912+3+1164923a b a b c c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥⨯⨯⨯=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即222118497a b c ++?. 当且仅当1132231b a c ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立 所以2221149a b c ++的最小值为87. 【考点定位】1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．【名师点睛】当x 的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如()f x x a x b =+++的函数的最小值，以及解析式形如()f x x a x b =+-+的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．19．【2015高考陕西，理22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C B =，求O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3．又C D B ⊥E ，所以C D D 90∠B +∠E B = ，从而C D D ∠B =∠BE .又AB 切圆O 于点B ，得D D ∠BA =∠BE ，所以C D D ∠B =∠BA .（II ）由（I ）知D B 平分C ∠BA ，则=3BA AD BC CD =,又BC ，从而AB =，所以4AC ==，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×，即2=6ADAB AE =， 故D D 3E =AE -A =，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.【名师点晴】本题主要考查的是直径所对的圆周角、弦切角定理和切割线定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．20.【2015高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【答案】（I）(223x y +=；（II ）()3,0． 【解析】试题分析：（I ）先将ρθ=两边同乘以ρ可得2sin ρθ=，再利用222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程；（II ）先设P 的坐标，则，再利用二次函数的性质可得C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标． 试题解析：（I）由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22+x y =，所以(22+3x y =.(II)设1(32P +，又，则|PC |==， 故当0t =时，C P 取最小值，此时P 点的直角坐标为()3,0.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数的几何意义和二次函数的性质，属于容易题．解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．21．【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值；（II+的最大值．【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4．故max4 =.考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式和柯西不等式，属于容易题．解题时一定要注意不等式与方程的区别，否则很容易出现错误．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．用柯西不等式证明或求最值要注意：①所给不等式的形式是否与柯西不等式的兴致一致，若不一致，需要将所给式子变形；②等号成立的条件．22.【2015高考新课标1，理22】选修4-1：几何证明选讲如图，AB是 O的直径，AC是 O的切线，BC交 O于E.（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是 O的切线；（Ⅱ）若OA ，求∠ACB的大小.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE =DC ，OE =OB ，利用等量代换可证∠DEC +∠OEB=90°，即∠OED =90°，所以DE是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE =1,由OA =得，AB =，设AE =x ，由勾股定理得BE =，由直角三角形射影定理可得2AE CE BE = ，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小.试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，在Rt △AEC 中，由已知得DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ，连结OE ，∠OBE =∠OEB ，∵∠ACB +∠ABC =90°，∴∠DEC +∠OEB =90°，∴∠OED =90°，∴DE 是圆O 的切线. ……5分（Ⅱ）设CE =1，AE =x ,由已知得AB =，BE =，由射影定理可得，2AE CE BE = ，∴2x =，解得x ACB =60°. ……10分【考点定位】圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理【名师点睛】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：①见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；②过切点有弦，应想到弦切角定理；③若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；④若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直.23.【2015高考新课标1，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN的面积.【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12 【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.24.【2015高考新课标1，理24】选修4—5：不等式选讲已知函数=|x +1|-2|x-a |，a >0.（Ⅰ）当a =1时，求不等式f (x )>1的解集；（Ⅱ）若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】（Ⅰ）当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x-1|＞1，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<， 所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<. ……5分学优高考网（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +. 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >. 所以a 的取值范围为（2，+∞）. ……10分【考点定位】含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法【名师点睛】对含有两个绝对值的不等式问题，常用“零点分析法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题，原不等式的解集是这些不等式组解集的并集；对函数多个绝对值的函数问题，常利用分类整合思想化为分段函数问题，若绝对值中未知数的系数相同，常用绝对值不等式的性质求最值，可减少计算.25.【2015高考湖南，理16】16.（1）如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（1）180MEN NOM ∠+∠= ；（2）FE FN FM FO ⋅=⋅【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）首先根据垂径定理可得90OME ∠= ， 90ENO ∠= ，再由四边形的内角和即可得证；（2）由（1）中的结论可得O ，M ，E ，N 四点共圆，再由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅ 试题解析：（1）如图a 所示， ∵M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，∴OM AB ⊥，ON CD ⊥，即90OME ∠= ， 90ENO ∠= ，180OME ENO ∠+∠= ，又四边形的内角和等于360 ，故180MEN NOM ∠+∠= ；（2）由（I ）知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅【考点定位】1.垂径定理；2.四点共圆；3.割线定理.【名师点睛】本题主要考查了圆的基本性质等知识点，属于容易题，平面几何中圆的有关问题是高考考查的热点，解题时要充分利用圆的性质和切割线定理，相似三角形，勾股定理等其他平面几何知识点的交汇.（Ⅱ）已知直线5:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值.【答案】（1）0222=-+x y x ；（2）18.的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义即知，1821==⋅|t |t |MB||MA|.【考点定位】1.极坐标方程与直角坐标方程的互相转化；2.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关系，属于容易题，在方程的转化时，只要利用θρcos =x ，θρsin =y 进行等价变形即可，考查极坐标方程与参数方程，实为考查直线与圆的相交问题，实际上为解析几何问题，解析几何中常用的思想，如联立方程组等，在极坐标与参数方程中同样适用.（Ⅲ）设0,0a b >>，且11a b a b +=+. （1）2a b +≥；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）将已知条件中的式子可等价变形为1=ab ，再由基本不等式即可得证；（2）利用反证法，假设假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，可求得10<<a ，10<<b ，从而与1=ab 矛盾，即可得证试题解析：由abb a b a b a +=+=+11，0>a ，0>b ，得1=ab ，（1）由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ；（2）假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ，同理10<<b ，从而1<ab ，这与1=ab 矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能成立.【考点定位】1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反证法.【名师点睛】本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解，第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注.。

第十六章 选修部分一．基础题组1.（长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，过圆O 外一点P 的作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N 的直线交圆O 于A 、B 两点，连接PA 并延长交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若MC BC =.（1）求证：APM ∆∽ABP ∆； (2) 求证：四边形PMCD 是平行四边形. 【答案】见解析. 【解析】2. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos()3πρθ=-.（1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A ,B 两点，求||AB 的最大值和最小值.【答案】(1) 2240x y x +--=，其表示一个圆. (2) ||AB 的最小值为值为8. 【解析】3.（长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.设函数()|+2|||()f x x x a a =+-∈R .(1)若不等式()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围； (2) 若不等式3()2f x x …恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 1a -≥.(2) a 的取值范围是(,4]-∞时3()2f x x ≥恒成立. 【解析】试题解析 (1) 当0a ≥时，()0f x a +≥恒成立，当0a <时，要保证()f x a -≥恒成立，即()f x 的最小值|2|a a --≥，解得1a -≥. (5分)(2) 根据函数()f x 图像的性质可知，当322a a +=时，3()2f x x ≥恒成立，即4a =， 所以a 的取值范围是(,4]-∞时3()2f x x ≥恒成立.(10分)4.（贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=4，AE=2，求CD．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°，证明OA∥CE，利用AE⊥CE，可得AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）由（1）可得△ADE∽△BDA，求出∠ABD=30°，从而∠DAE=30°，可得DE=AEtan30°，利用切割线定理，可得结论．5．（贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）在直角坐标系xOy中，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．【分析】（Ⅰ）根据互化公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）设出Q点坐标，Q，再根据点到直线的距离公式求出最小值．【解析】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．6．（贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求证：﹣3≤f（x）≤3；（2）解不等式f（x）≥x2﹣2x．【分析】（1）通过讨论x的范围得到相对应的f（x）的表达式，从而证明出结论；（2）利用分段函数解析式，分别解不等式，即可确定不等式的解集．7.（辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数学（理）试题）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T，公切线为TN，外圆的弦TC，TD分别交内圆于A、B两点，并且外圆的弦CD恰切内圆于点M.AB CD；(Ⅰ)证明：//(Ⅱ)证明：AC MD BD CM⋅=⋅.【答案】（Ⅰ）//AB CD .（Ⅱ）AC MD BD CM ⋅=⋅. 【解析】试题解析：（Ⅰ）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, ……………3分 同理，NTB TCD ∠=∠,所以，TCD TAB ∠=∠, 所以，//AB CD . ……………5分8. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (Ⅰ)求曲线2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2sin ρθ=. (Ⅱ) []1,0∈TN TM . 【解析】(Ⅱ)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分 联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , …8分 即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分 (解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交， 由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数），…………………7分 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，…………………8分 则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα ，所以[]1,0∈TN TM . …………………10分此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.9. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知命题“a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---”是真命题，记t 的最大值为m ， 命题“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，其中(0,)2πγ∈.(Ⅰ)求m 的值； (Ⅱ)求n 的取值范围.【答案】（Ⅰ）4=m .（Ⅱ）22≥n . 【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，所以“R n ∈∃，2cos sin ≥--+γγn n ”是真命题. ………………7分因为n n n n --+=--+γγγγcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤（(0,)2πγ∈）， 因此，2cos sin =--+γγn n ，此时2cos sin =+γγ，即4πγ=时. ……8分即，22222=--+n n ，由绝对值的意义可知，22≥n .…………10分 10. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，PA 是圆的切线，A 是切点，M 是PA 的中点，过点M 作圆的割线交圆于点C,B ，连接PB,PC 分别交圆于点E,F,EF 与BC 的交点为N. 求证：（Ⅰ）//;EF PA （Ⅱ）MA NE MC NB ⋅=⋅.【答案】见解析. 【解析】11. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程点P 是曲线()=20ρθπ≤≤上的动点，(20)A ，,AP 的中点为Q. （Ⅰ）求点Q 的轨迹C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若C 上点M 处的切线斜率的取值范围是⎡⎢⎣，求点M 横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）()()22110x y y -+=≥；（Ⅱ）32⎡⎢⎣． 【解析】12. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()2(0,0)f x x a x b a b =-++>>的最小值为1. (Ⅰ)求a b +的值 (Ⅱ)求12a b+的最小值.【答案】（Ⅰ）1a b +=；（Ⅱ）当且仅当1,2a b =-=时，12a b+有最小值3+．【解析】13.（甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．14．（甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．【解析】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．15．（甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）已知函数f（x）=|x ﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥3恒成立，得到|x﹣3|+|x﹣2|的最小值大于等于3﹣k，求出|x ﹣3|+|x﹣2|的最小值即可确定出k的取值范围；（Ⅱ）把k=1代入不等式，分情况讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出不等式的解集即可．16．（黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE于F点，交AB于D点．（1）求∠ADF的度数；（2）若AB=AC，求AC：BC．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）由弦切角定理可得∠B=∠EAC，由DC是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠DCB，进而∠ADF=∠AFD，由BE为⊙O的直径，结合圆周角定理的推论，可得∠ADF的度数；（2）由（1）的结论，易得△ACE∽△BCA，根据三角形相似的性质可得，又由AB=AC，可得AC：BC=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．【点评】本题考查的知识点是弦切角，三角形相似的性质，其中（1）中是要根据已知及弦切角定理结合等量代换得到∠ADF=∠AFD，（2）的关键是根据三角形相似的性质得到=tanB．17．（黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）（2015•海南模拟）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）把曲线M的参数方程化为 y=x2﹣1，把曲线N的极坐标方程化为 x+y﹣t=0．曲线N与曲线M只有一个公共点，数形结合求得t的范围．（2）当t=﹣2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=﹣，故本题即求直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，利用两条平行线间的距离公式计算求得结果．故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，为=．【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．18．（黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）（2015•哈尔滨校级三模）已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．【考点】不等式的证明．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用，相乘即可证明结论．（Ⅱ）利用，，，，相加证明即可．（Ⅱ），，，，相加得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查综合法证明不等式的方法的应用，考查逻辑推理能力．19．（宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）（2015•海南模拟）已知函数f （x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f （）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．20.（宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）由圆锥曲线C：（α为参数）化为，可得F2（1，0），利用截距式即可得出直线AF2的直角坐标方程．（2）直线AF2的斜率为，可得直线l的斜率为．直线l的方程为：，代入椭圆的方程化为=0，t1+t2=，利用||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|即可得出．∴||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|=．【点评】本题考查了椭圆的参数方程、直线的截距式与参数方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.(长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，过圆O 外一点P 的作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N 的直线交圆O 于A 、B 两点，连接PA 并延长交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若MC BC =.（1）求证：APM ∆∽ABP ∆；(2) 求证：四边形PMCD 是平行四边形.【命题意图】本题主要考查平面几何的证明，具体涉及切割线定理以及三角形 相似等内容.22. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos()3πρθ=-.（1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A ,B 两点，求||AB 的最大值和最小值.【命题意图】本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容.【解析】(1) 对于曲线2C 有8cos()3πρθ=-，即24cos sin ρρθθ=+，因此曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +--=，其表示一个圆. (5分) (2) 联立曲线1C 与曲线2C的方程可得：2130t t α-⋅-=，12||||AB t t =-===因此||AB 的最小值为8. (10分)23. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题) （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.设函数()|+2|||()f x x x a a =+-∈R .(1)若不等式()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围； (2) 若不等式3()2f x x …恒成立，求实数a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查不等式的相关知识，具体涉及绝对值不等式及 不等式证明等内容.24.（甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点M ，BAC ∠的平分线分别交圆O 和BC 于点D ，E ，若5152MA MB ==. （1）求证：52AC AB =；（2）求AE ·DE 的值.【答案】（1）详见解析；（2）4052. 【解析】25.（甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M ，求实数a 的值.【答案】（1）22(3)1x y +-=；（2）376a =或92a =. 【解析】26.（甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知不等式|2||2|18x x ++-<的解集为A ．（1）求集合A ；（2）若a ∀，b A ∈，(0,)x ∈+∞，不等式4a b x m x+<++ 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(9,9)A =-；（2）14m ≥.【解析】试题分析：（1）对x 的取值情况分类讨论将绝对值号去掉，即可求解；（2）根据（1）中求得的A ，再结合问题，可知其等价于min 4()a b x m x+<++，再利用基本不等式求最值即可. 试题解析：（1）若|2||2|18x x ++-<，则2(2)(2)18x x x <-⎧⎨-+--<⎩或22(2)(2)18x x x -≤≤⎧⎨+--<⎩或2(2)(2)18x x x >⎧⎨++-<⎩，解得99x -≤≤，∴(9,9)A =-；（2）∵a ∀，b A a ∈⇒∀，(9,9)b ∈-，∴(18,18)a b +∈-，∵4x m m x ++≥，∴min 4()4x m m x++=+，由题可知，418m +≥，∴14m ≥.27. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）∠ACE＝∠BCD；（Ⅱ）BC 2＝BE·CD.28.（甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1(12x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若(,)P x y 是直线l 与圆面ρ≤4sin()6πθ-+y 的取值范围． 【解析】（1）因为圆C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-所以214sin()4cos )62πρρθρθθ=-=- 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以22x y+2x =-所以圆C 的直角坐标方程为：22x y+20x +-=. 5分（2）设z y =+，由圆C 的方程22x y+20x +-=⇒22(1)(4x y ++-= 所以圆C的圆心是(-，半径是2将112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入z y =+得z t =- 8分又直线l过(C -，圆C 的半径是2，由题意有：22t -≤≤所以22t -≤-≤+y 的取值范围是[2,2]-. 10分29.（甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|,f x m x m R =--∈，且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-．（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若,,a b c R +∈，且11123m a b c ++=，求证：239a b c ++≥.。

2016陕西高考理科综合真题及答案注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共126分）本卷共21小题，每小题6分，共126分。

可能用到的相对原子质量：H1C12O16NA23AL27P31S32Ca40Fe56Ni59Cu64Zn65一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在细胞的生命历程中，会出现分裂、分化等现象。

下列叙述错误．．的是A.细胞的有丝分裂对生物性状的遗传有贡献B.哺乳动物的造血干细胞是未经分化的细胞C.细胞分化是细胞内基因选择性表达的结果D.通过组织培养可将植物椰肉细胞培育成新的植株2.某种物质可插入DNA分子两条链的碱基对之间，使DNA双链不能解开。

若在细胞正常生长的培养液中加入适量的该物质，下列相关叙述错误．．的是A.随后细胞中的DNA复制发生障碍B.随后细胞中的RNA转录发生障碍C.该物质可将细胞周期阻断在分裂中期D.可推测该物质对癌细胞的增殖有抑制作用3.下列关于动物激素的叙述，错误．．的是A.机体内、外环境的变化可影响激素的分泌B.切除动物垂体后，血液中生长激素的浓度下降C.通过对转录的调节可影响蛋白质类激素的合成量D.血液中胰岛素增加可促进胰岛B细胞分泌胰高血糖素4.关于高等植物叶绿体中色素的叙述，错误．．的是A.叶绿体中的色素能够溶解在有机溶剂乙醇中B.构成叶绿素的镁可以由植物的根从土壤中吸收C.通常，红外光和紫外光可被叶绿体中的色素吸收用于光合作用D.黑暗中生长的植物幼苗叶片呈黄色是由于叶绿素合成受阻引起的5.如果采用样方法调查某地区（甲地）蒲公英的种群密度，下列做法中正确的是A.计数甲地内蒲公英的总数，再除以甲地面积，作为甲地蒲公英的种群密度B.计数所有样方内蒲公英总数，除以甲地面积，作为甲地蒲公英的种群密度C.计算出每个样方中蒲公英的密度，求出所有样方蒲公英密度的平均值，作为甲地蒲公英的种群密度D.求出所有样方蒲公英的总数，除以所有样方的面积之和，再乘以甲地面积，作为甲地蒲公英的种群密度6.果蝇的某对相对性状由等位基因G、g控制，且对于这对性状的表现型而言，G对g完全显性。

2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.已知集合,10}，A为M的子集，且子集A中各元素的和为8.则满足条件的子集A共有（）个.A. 8B. 7C. 6D. 52.在平面直角坐标系中，不等式组{√3x−y≤0,x−√3y+2≥0,y≥0表示的平面区域的面积是A. √32B. √3C. 2D. 2√33.设a、b、c为同一平面内的三个单位向量，且a⊥b.则(c-a)•(c-b)的最大值为（）.A. 1+√2B. 1-√2C. √2-1D. 14.从1，2，…，20这20个数中，任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为（）.A. 319B. 119C. 338D. 1385.已知A、B为抛物线y=3-x2上关于直线x+y=0对称的相异两点.则|AB|等于（）.A. 3B. 4C. 3√2D. 4√26.设函数f(x)=x3+ax2+6x+c(a、b、c均为非零整数).若f(a)=a3，f(b)=b3，则c的值为（）.A. -16B. -4C. 4D. 167.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，G为△BCD的重心，M为线段AG的中点.则三棱锥M-BCD的外接球的表面积为（）.A. πB. 3π2C. √6π4D. √6π88.设非负实数a 、b 、c 满足ab +be +ca =a +b +c >0.则√ab +√bc +√ca 的最小值为（ ）. A. 2 B. 3 C. √3 D. 2√2第II 卷（非选择题）二、填空题9.在数列n 4=1，a 11=9，且任意连续三项的和均为15.则a 2016=________. 10.设m 、n 均为正整数，且满足24m =n 4.则m 的最小值为________.11.设函数f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2x ，若对x∈[1,2]，不等式af(x)+g(x)≥0恒成立，则实数a 的取值范围是__________．12.设a ∈R .则函数f (x )=|2x -1|+|3x -2|+|4x -3|+|5x -4|的最小值为_______. 三、解答题13.设x y 、均为非零实数，且满足sincos955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-.（Ⅰ）求yx的值； （Ⅱ）在ABC ∆中，若tan yC x=，求sin 22cos A B +的最大值. 14.已知直线l ：y =√3x +4，动圆⊙O ：x 2+y 2=r 2(1<r <2)，菱形ABCD 的一个内角为60°，顶点A 、B 在直线l 上，顶点C 、D 在⊙O 上.当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围. 15.如图，⊙O 1与⊙O 2交于P 、Q 两点，⊙A 的弦以与⊙O 2相切，⊙O 2的弦PB 与⊙O 1相切，直线PQ 与△P AB 的外接圆⊙O 交于另一点R .证明：PQ =QR .16.设函数f(x)=lnx +a(1x−1)（a ∈R ）， 且f (x )的最小值为0.（1）求a 的值；（2）若数列{a n }满足a 1=1，a n +l =f (a n )+2(n ∈Z +)，记S n =[a 1]+[a 2]+…+[a n ]，[m ]表示不超过实数m 的最大整数，求S n .17.记“∑”表示轮换对称和.设a 、b 、c 为正实数，且满足abc =1.对任意整数n ≥2，证明：∑√b+cn≥2n.参考答案1.C【解析】1.注意到，元素和为8的子集A有｛8}、｛1，7｝、｛2，6｝、｛3，5｝、｛1，2，5｝、｛1，3，4｝，共6个.选C.2.B【解析】2.由不等式组绘制可行域如图所示，则A(−2,0),B(1,√3)，不等式组表示的平面区域的面积是S=12×2×√3=√3 .本题选择B选项.3.A【解析】3.由a⊥b，|a|=|b|=|c|=1，知a·b=0，|a+b|=√2.设向量c与a+b的夹角为θ.则 (c-a)·(c-b)=c2-c·(a+b)+a·b=|c|2-|c||a+b|cosθ=1-√2cosθ≤1+√2，当且仅当cosθ=-1，即0=π时，上式等号成立.故(c-a)·(c-b)的最大值为1+√2.选A.4.D【解析】4.从这20个数中任取三个数，可构成的数列共有A 203个. 若取出的三个数a 、b 、c 成等差数列，则a +c =2b . 故a 与c 的奇偶性相同，且a 、c 确定后，b 随之而定. 从而，所求概率为p =2A 102A 203=138. 选D.5.C【解析】5.因为点A 、B 关于直线x +y =0对称，所以，设点A (a ，b )，B (-b ，-a ). 又点A 、B 在抛物线y =3-x 2上，则{b =3−a 2，−a =3−b2⇒{a =−2，b =−1 或{a =1，b =2.不妨设点A (-2，-1)，B (1，2).则|AB |=3√2. 选C. 6.D【解析】6.设g (x )=f (x )-x 3=ax 2+bx +c . 由f (a )=a 3，f (b )=b 3⇒ g (a )=g (b )=0.则a 、b 为方程g (x )=0的两个根⇒a +b =−ba ，ab =ca⇒ c =−a 4a+1=−(a 2+1)(a −1)−1a+1.因为c 为整数，所以，a +1=±1⇒a =0(舍去)或-2. 故c =16. 选D. 7.B【解析】7.因为G 为正△BCD 的重心，所以，AG ⊥平面BCD ⇒AG ⊥BG . 在Rt △AGB 中， AB =1，BG =23×√32=√33⇒AG =√AB 2−BG 2=√63⇒MG = 12AG =√66. 在Rt △MGB 中，MB =√MG 1+BG2=√22⇒MC =MB =√22.则MB 2+MC 2=12=BC 2⇒MB ⊥MC .类似地⊥Ml )，MD ⊥MB .于是，三棱锥M -BCD 的外接球的直径等于以MB 、MC 、MD 为棱的正方体的体对角线长. 设三棱锥M -BCD 的外接球半径为R . 则2R =√3MB =√62.故外接球的表面积S =4πR 2=3π2. 选B. 8.A【解析】8.不妨设a ≥b ≥c .由均值不等式得(a+b +c)(√ab +√bc +√ca)≥(a +b)√ab +(b +c)√bc +(c +a)√ca ≥2√ab √ab +2√bc √bc +2√ca √ca =2(ab +bc +ca)，当且仅当c =0且a =b 时，上式等号成立.又ab +bc +ca =a +b +c >0，则√ab +√bc +√ca ≥2. 由c =0，a =b ，ab +bc +ca =a +b +c ，得a =b =2.故当a 、b 、c 中有两个为2、一个为0时，√ab +√bc +√ca 取得最小值为2. 选A. 9.5【解析】9.依题意，对任意n ∈Z +，有a n +a n +1+a n +2=a n +1+a n +2+a n +3=15⇒a n +3=a n . 则a 1=a 4=1，a 2=a 11=9，a 3=15-a 1-a 2=5. 故a 2016=a 3×672=a 3=5. 10.54【解析】10.由n 4=24m =23×3m ，知m min =2×33=54. 11.[−176，+∞)【解析】11. 由f (x )+g (x )=2x ①⇒ f (-x )+g (-x )=2-x⇒-f (x )+g (x )=2-x . ②由式①、②得，g (x )=2x +2−x 2 ，f (x )=2x −2−x2.由af (x )+g (2x )≥0⇒a (2x -2-x )+22x +2-2x ≥0. ③令t =2x -2 –x ，由x [1，2]，得t ∈[32，154] ，且22x +2-2x =t 2+2.则对t ∈[32，154]由式③得−a ≤t +2t.因为函数t +2t在区间[32，154]内单调递增，所以t =√32时，(t +2t)min=176. 故−a ≤176，即a ≥−176.12.1【解析】12. 注意到，f(x)=2|x −12|+3|x −23|+4|x −34|+5|x −25|=2(|x −1|+|x −4|)+3(|x −2|+|x −4|+4|x −3|)≥2|(x −12)−(x −45)|+3|(x −23)−(x −45)| =2|45−12|+3|45−23|=1当且仅当(x −12)(x −45)≤0，(x −23)(x −45)≤0，x −34=0，即x =34时，等号成立. 故f （x ）min=f(34)=113.（Ⅰ）1；（Ⅱ）23.【解析】13.（Ⅰ）先对已知条件左右两边同除以x ，得到tan95tan 201tan 5yx y x πππ+=-，再令tan y x θ=，即可得到9tan()tan520ππθ+=，从而得到θ的表达式，进而可求出yx的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出C 的值，从而可得到)(B A +的值，用B 表示A ，代入到sin 22cos A B +中，最终式子变成了一个二次函数的形式，利用三角函数的有界性可求出最值.试题分析：（Ⅰ）由已知得tan95tan 201tan 5yx y x πππ+=-，令θtan =xy ，则tan tan 95tan201tan tan 5πθππθ+=-，即9tan()tan 520ππθ+= 所以9520k ππθπ+=+，即()4k k Z πθπ=+∈. 故tan tan()14y k x πθπ==+=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得tan 1C =，因为0C π<<， 所以4C π=，从而34A B π+=， 则3222A Bπ=-.所以3sin 22cos sin(2)2cos 2A B B Bπ+=-+2cos 22cos 2cos 2cos 1B B B B =-+=-++2132(cos )22B =--+故当1cos 2B =，即3B π=时，sin 22cos A B +取得最大值为32. 14.(0，3√32)∪(2√32，6√3)【解析】14.因为菱形ABCD 有一个内角为60°，所以，△ACD 或△BCD 为等边三角形，不妨设为等边三角形，如图3.因为圆心O 到直线l 的距离为2>r ，所以，直线l 与⊙O 相离. 设l CD :y =√3x -b .则直线l 与CD 的距离d =|b−4|2.又圆心O 到直线CD 的距离为|b|2，故|CD|=2√r 2−(|b|2)2=√4r 2−b 2.由d=√32|CD|⇒|b−4|2=√32√4r 2−b 2⇒b 2−2b +4=3r 2.因为1<r <2，所以，3<b 2-2b +4<12⇒-2<b <1或1<b <4. 又S=2S ΔACD =2×√34|CD|2=2×√34(√3)2d 2=√36(b −4)2，而函数S 在区间(-2，1)、区间(1，4)内分别单调递减，故菱形ABCD 的面积S 的取值范围是(0，3√32)∪(2√32，6√3).15.见解析【解析】15.联结O 1O 2，分别与PQ 、PO 交于点M 、N ，则O 1O 2⊥PQ ，且M 为PQ 的中点.联结PO 1、PO 2、OO l 、OO 2、OQ 、OR . 因为P A 与⊙O 2相切，所以，P A ⊥PO 2. 又P A 为⊙O 1与⊙O 的公共弦，则P A ⊥O 1O . 于是，PO 2∥O 1O . 类似地，PO 1∥O 2O .所以，四边形PO 1OO 2为平行四边形. 从而，N 为PO 的中点.由M 为PQ 的中点，知MN ∥OQ ，即O 1O 2∥OQ . 因为O 1O 2⊥OQ ，所以，OQ ⊥PR .又OP =OR ，故Q 为PR 的中点，即PQ =QR . 16.(1) 当a =1时，f (x )取得最小值0. (2) S n =2n -1【解析】16. （1）f ′(x)=1x −a 2=x−a 2(x >0).当a ≤0时，f ′(x)>0，则f (x )在区间(0，+∞)内单调递增，无最小值，不符合题意. 当a >0时，若0<x <a ，则f ′(x)<0； 若x >a ，则f ′(x)>0.所以，函数f (x )在区间(0，a )内单调递减，在区间(a ，+∞)内单调递增. 故f (x )min =f (a )=ln a -a +1.设g (a )=ln a -a +1(a >0).则g ′(a)=1a −1=1−aa . 若0<a <1，则g ′(a)>0； 若a >1，则g ′(a)<0.所以，函数g (a )在区间(0，1)内单调递增，在区间(1，+∞)内单调递减. 故g (a )≤g （1）=0.当且仅当a =1时，上式等号成立. 从而，当a =1时，f (x )取得最小值0. （2）由（1）知f(x)=lnx +1x−1.则a n +1=f (a n )+2=lna n +1a n+1.由a 1=1，得a 2=2. 从而，a 3=ln 2+32.因为12<ln 2<1，所以，2<a 3<3.下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，2<a n <3. 当n =3时，结论已成立. 假设n =k (k ≥3)时，2<a k <3. 当n =k +1时，有a k+1=lna k +1a k+1.由（1）知 h (x )=f (x )+2=lnx +1x+1 在区间(2，3)内单调递增. 所以，h （2）<h (a k )<h （3），即ln2+32<ℎ(a k )<ln3+13+1.由ln 2>12，ln 3<53⇒2<h (a k )<3⇒2<a k +1<3， 即当n =k +1时，结论也成立.由归纳假设，知对一切整数n ≥3，均有2<a n <3. 于是，[a 1]=1，[a n ]=2(n ≥2).故S n =[ a 1]+[a 2]+…+[a n ] =1+2(n -1)-2n -1. 17.见解析【解析】17.不妨设a ≤b ≤c .则√b +c n ≥√c +b n ≥√a +b n ，b+c n ≤√c+a n ≤a+bn . 由切比雪夫不等式得∑a =∑(√b +c n ·√b+c n)≤13(∑√b +c n )(∑√b+c n ). 又由幂平均不等式得13∑√b +c n ≤√13∑(b +c)n =√23∑a n . 故∑a ≤√23∑a n (∑√b+c n ) ⇒√b+c n≥√23∑a n =√32(∑a)n−1n 由已知及均值不等式得∑a≥3√abc 3=3. 故√b+c n ≥√2n .。