数列的综合应用
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教学过程
一、课堂导入
递推公式为1()n n a a f n +-=，该如何求解{}n a 的通项？
二、复习预习
复习等差、等比数列的通项和前n项和公式，以及通项和前n项和公式的推导。
三、知识讲解
考点/易错点1 数列通项的求解
1.当已知数列{}n a 满足1()n n a a f n +-=，且(1)(2)(f f f n +++ ）可求，则可用累加法求数列的通项n a 。
2.当已知数列{}n a 满足
1
()n n
a f n a +=，且(1)(2)(f f f n ⋅⋅⋅ ）
可求，则可用累积法求数列的通项n a 。
3.当已知数列{}n a 满足1(1,0)n n a Aa B A B +=+≠≠，可构造一个新的等比数列进行求解数列的通项n a
考点/易错点2 常见数列的前n 项和 （1） (1)
1232
n n n +++++=
（2）2462(1)n n n ++++=+ （3）2135(21)n n ++++-=
（4）2222
(1)(21)
1236
n n n n ++++++=
考点/易错点3
求和方法
（1）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；
（2）裂项相消法求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加的过程中消去中间项，只剩有限项再求和；（3）错位相减法求和：适用于一个等差数列和一个等比数列对应相乘构成的数列求和；
考点/易错点4 常见的列项公式
（1）
111 (1)1 n n n n
=-
++
（2）
1111
() (21)(21)22121 n n n n
=-
-+-+
（3
=
四、例题精析
【例题1】
数列{n a }定义如下：1a =1，当2n ≥时，，则n 的值等于（ ）
A.7 B ．8 C ．9 D ．10
【答案】C 【解析】
利用数列递推式，求出前9项，即可得出结论．由题意可得，当n 为偶数时，1n a ＞ ；当n 为奇数时，01n a ≤＜．1
1a = ，
当n≥2
故选C ．
【例题2】
已知数列{}n a 中，0n a >，11a =，，10096a a =，则20143a a +=．
【解析】
，整理得012962
96=-⋅+a a
，0>n a
，
，，因此下去，20141009896a
a a a ====
，
，
【例题3】
已知数列{}n n a n S 的前项和是，且（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设*31log (1)()n n b S n N +=-∈，求适合方程的正整数n 的值。
【例题4】 已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1(1)n n S a a =-.
（1
）求数列的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足2log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）2n n a =；（2 【解析】
（1）当1n =时，()21111111a S a a a a ==-=-，∵10a ≠，∴12a =,当2n ≥时，1(1)n n S a a =-①，111(1)n n S a a --=-②， ①-②得()11122n n n n n a a a a a a --=-=-，∴12n n a a -=；∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2n n a =；
（2
{}n a
【例题5】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ＝)(22*N n a n ∈-，数列{}n b 中，11b =， 点1(,)n n P b b +（*N n ∈）在直线02=+-y x 上．
（1）求数列{}{},n n a b 的通项n a 和n b ；
（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求满足167n T <的最大正整数n ．
【答案】（1）n n a 2=，12-=n b n ；（2）4.
【解析】
（1）∵1122,22,n n n n S a S a --=-=- *12,)n n n S S a n n N -≥∈又－＝，（ ∴ 122,
0,n n n n a a a a -∴=-≠ 2n a ∴= ∴n n a 2=, ∵11,)20n n n n P b b b b ++∴- 点（在直线x-y+2=0上，＋＝,{}112,121n n n n b b b b b n +∴-=∴=-即数列是等差数列，又＝，
（2）∵(21)2,n n c n - ＝231122123252(21)2,n n n n T a b a b a b n ∴+++=⨯+⨯+⨯++- ＝
23121232(23)2(21)2(23)26n n n n n T n n T n ++∴=⨯+⨯++-+-∴=-+ ,1121232(23)2(21)2(23)26n n n n n T n n T n ++∴=⨯+⨯++-+-∴=-+ ,∵ ,167<n
T 即：,16762)32(1<+-+n n 于是,1612)32(1<-+n n 当4=n 时，1602)32(1=-+n n ；当5=n 时，4482)32(1=-+n n ；故满足167<n T 的最大正整数为4.
【例题6】 已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足21)1(3+=++n S S n n （n ∈N*）．
（1）用a 表示2a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）对任意的N*，，求实数a 的取值范围．
n ∈1n n a a +>
【解析】（1）由条件1=n 得12121=++a a a ， a a 2122-=．
（2）由条件21)1(3+=++n S S n n 得，
213(2)n n S S n n -+=≥,两式相减得361+=++n a a n n (2)n ≥， 解法1：故9612+=+++n a a n n ，两式再相减得62=-+n n a a (2)n ≥， ，，，642a a a ∴构成以2a 为首项，公差为6的等差数列； ，，，753a a a 构成以3a 为首项，公差为6的等差数列；由（1）得a n a n 2662-+=；由条件2=n 得2721321=++++a a a a a ，得a a 233+=， 从而a n a n 23612+-=+， ∴,13(62)(1)2n n a n a n a n =⎧=⎨+--≥⎩，
解法2：设1(1)()n n a x n y a xn y ++++=-++，即122n n a a xn y x +=----,则263230x x y x y -==-⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩
⎩,∴有13(1)(3)n n a n a n +-+=-- ∴2n ≥时，223(6)(1)n n a n a --=-⋅-，即
23(62)(1)n n a n a -=+-⋅-∴2,13(62)(1)2n n a n a n a n -=⎧=⎨+--≥⎩， （3）对任意的n ∈N*，1n n a a +>， 当1n =时，由21a a >，有32(62)a a ⨯+->得4a < ①；
当2n ≥时，由1n n a a +>，有123(1)(62)(1)3(62)(1)n n n a n a --++-⋅->+-⋅-，即123(62)(1)(62)(1)n n a a --+-⋅->-⋅-
若n 为偶数，则3(62)62a a --
>-得②；若n 为奇数，则3(62)(62)a a +->--得③．由①、②、③得
五、课堂小结
1.一般数列求解通项的方法；
2.一般数列求解前n项和的方法。
