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10第十讲静电场直角坐标分离变量法

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直角坐标的分离变量法

直角坐标的分离变量法

m y
Dme a sin
m1
m
a
x
Φ 4Φ0
1
( 2m1)y
e a sin
(2m 1)
x
m1 (2m1)
a
y
V0e a sin
a
x
y
V0e a
sin
a
x
a 1, V010
V0
sinh(
(b a
y)
) sin(
x )
a
sinh( b )
a
V0sinh(
(b
a
y))
sin(
第 2 章 静电场
2.8 分离变量法
2.8.1 直角坐标系的分离变量法
分离变量法适用的条件
• 分离变量法是一种求解微分方程的方法,适用于求解 具有理想边界条件的典型边值问题 。
• 采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程 的通解。
• 只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可 确定积分常数，得到边值问题的解。
a s in
0
s
a
x Dm sin
m 1
m
a
xdx
0
a
sin
0
s
a
xdx
当 m=s 时有值:
a D
2m
Φ0
a m
sin
0
a
xdx
a 2
Dm
Φ0
a
m
cos m
a
a
x
0
Φ0
a
m
[(1)m
1]
a 2
D m
0
a
m
[(1)m
1]
Dm
20

第三章 静电场边值关系

第三章 静电场边值关系

电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电 位微分方程为
2 1 d d r 0 r dr dr
求得
C1 ln r C 2
利用边界条件：
V r a
C1 ln a C 2 V C1 ln b C 2 0
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面 r
r a 与 △ OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为 r f
代入上述边界条ห้องสมุดไป่ตู้，求得镜像电荷如下：
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解
V a b
O
对于这种边值问题，镜像法不适
用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱 坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半

静电场的解法

静电场的解法

静电场的解法第三章静电场的解法第三章静电场的解法静电场问题的类型唯一性定理分离变量法镜像法有限差分法第三章静电场的解法静电场问题的类型分布型问题已知全空间的电荷分布利用电场强度或电位的计算公式直接计算场中各点的电场强度或电位这类问题称为分布型问题对此问题有如下几种解法。

、根据电荷分布利用场源积分式直接求解电场。

、根据电荷分布利用场源积分式直接求解电位再根据计算电场。

、若电荷分布具有某种对称性从而判断场的分布也具有某种对称性时可用高斯定理直接求解电场此法主要是要正确选取高斯面一般高斯面上的场强要保持常量并且方向与所在面的法向相同计算才可化简。

第三章静电场的解法边值型问题已知确定区域中的电荷分布和其边界上的电位或电位函数的法向导数分布求解该区域中电位的分布状况这类问题称为边值型问题或简称为边值问题边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三种类型。

第一类边值问题：给定整个边界上的电位函数求区域中电位分布这类问题又称为狄利克莱问题。

第二类边值问题：给定整个边界上电位函数的法向导数求区域中电位分布这类问题又称为诺伊曼问题。

第三类边值问题：一部分边界上的电位给定另一部分边界上的法向导数给定求区域中电位分布这类问题又称为混合型边值问题。

如果边界是导体则上述三类问题分别变为：已知导体表面的电位已知各导体的总电量已知一部分导体表面上的电位和另一部分导体表面上的电量。

第三章静电场的解法唯一性定理唯一性定理：满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解必定唯一。

或：如果给定一个区域中的电荷分布和边界上的全部边界条件则这个区域中的解是唯一的。

格林定理格林定理是由散度定理直接导出的数学恒等式。

将散度定理用于闭合面S所包围的体积V内任一矢量场式中参量是在区域内两个任意的标量函数并要求在边界上一阶连续在区域内二阶连续。

第三章静电场的解法则有格林第一恒等式上述两式相减得格林第二恒等式第三章静电场的解法唯一性定理的证明设φφ是同一无源区域的边值问题的解。

第10讲静电场直角坐标分离变量法

第10讲静电场直角坐标分离变量法

11
一般解解答(2)
d X 2 = +Kx X 2 dx
X = Ae
± Kxx
2
或X = AshK x x 或X = AchK x x
⎧e ⎫ ⎪ ⎪ X = A ⎨ sh ⎬ K x x ⎪ ch ⎪ ⎩ ⎭
±
12
一般解解答 ∴ ⎧ sin ⎫ ⎧ sin ⎫
⎧ sin ⎫ ⎪cos⎪ ⎪cos⎪ ⎪cos⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪ == ⎪ r ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ φ (r ) = A⎨ ⎬ K x x ⎨ ⎬ K y y ⎨ ⎬ K z z ⎪ e± ⎪ ⎪ e± ⎪ ⎪ e± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ sh ⎪ ⎪ sh ⎪ ⎪ sh ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ch ⎭ ⎩ ch ⎭ ⎩ ch ⎭
电磁场理论讲稿
第十讲静电场直角坐标分离变量法
主讲教师：陈爱新
1
内容及重点
内容：直角坐标，柱坐标，球坐标的分 离变量解法，静电场分离变量法 重点：分离变量法的基本思想，通解中 各项代表的数学物理意义。掌握写方程 及边界条件的技巧，从物理概念上理解 静态场边值问题的分析方法。
2
静态场求解关键?
ρ ∇ φ =− ε0
⎧ sin ⎫ ⎪ cos ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎬K xx⎨ ± ⎪e ⎪ ⎪ sh ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ch ⎭ 2 = Ky
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬K y y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
两个变量的函数形式必须选自横线的两侧
15
预习
柱坐标分离变量法
推导柱坐标系下分离变量法解
• 平凡解和一般解 球坐标分离变量法
推导球坐标系下分离变量法解

第二章 静电场 分离变量法

第二章 静电场 分离变量法

选择导体表面作为区域V的边 界，V内部自由电荷密度ρ＝0 ，泊松方程化为比较简单的拉 普拉斯方程。
0
2
它的通解可以用分离变量法求出。 剩下的问题归结为：怎样利用边界 条件及边值关系确定常数，得到满 足边界条件的特解。
一、拉普拉斯方程的适用条件
1、空间 0 ，自由电荷只分布在某些介质（或导 体）表面上，将这些表面视为区域边界，可用 拉普拉斯方程。 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界 面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分 的和，即 0 0 为已知自由电荷产生 ， 的电势， 不满足 2 0 ， 为束缚电荷产生 的电势，满足拉普拉斯方程 2 0
Ca 1 r a
r a

C 0 a
C
a
0
(r )
a
0
ln
r a
在导体面上
E (a) er
r
d E e dr
r
a e
0
0
r
[例3]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带
电荷为Q 。同心地包围着一个半径为R1的导体球
1 n
S
1
S
2
S
1
2
2 n
S
一般讨论分 界面无自由 电荷的情况
四．应用举例
1、两无限大平行导体板，相距为
差为V ，一板接地，求两板间的电势 和 。
E
l
，两板间电势
解：（1）边界为平面，故应 选直角坐标系 下板 S 0 ，设为参考点
1
Z

大学物理课件静电场

大学物理课件静电场

有限差分法求解边值问题
有限差分法原理
将连续的空间离散化为网格，用差分方程近 似代替微分方程进行数值求解。
有限差分法的离散化方案
常见的离散化方案包括向前差分、向后差分 和中心差分等。
有限差分法的求解步骤
建立差分方程、确定边界条件、采用迭代法 或直接法求解差分方程得到近似解。
06 静电危害防护与 安全措施
连续分布电荷系统势能计算方法
通过积分求解连续分布电荷的势能，需考虑电荷分 布的空间范围和形状。
静电场能量密度和总能量
静电场能量密度定义
单位体积内静电场所具有的能量。
静电场能量密度计算公式
$w = frac{1}{2} varepsilon_0 E^2$，其中$varepsilon_0$为真空 介电常数，$E$为电场强度。
静电场总能量计算
通过对静电场能量密度在空间上的积分，可求得静电场的总能量。
能量守恒定律在静电场中应用
能量守恒定律表述
在一个孤立系统中，无论发生何种变化，系统的总能量保持不变。
静电场中能量转化与守恒
在静电场中，电荷的移动和电场的变化都会伴随着能量的转化，但 总能量保持不变。
应用实例
如电容器充放电过程中，电场能与电源提供的电能或其他形式的能 量相互转化，但总能量不变。
分离变量法的适用范围
适用于具有规则几何形状和简单边界条件的静电场问题。
格林函数法求解边值问题
1 2
格林函数法原理
利用格林函数表示点源产生的场，并通过叠加原 理求解任意源分布产生的场。
格林函数的性质 格林函数具有对称性、奇异性和边界条件等性质。
3
格林函数法的应用步骤 确定格林函数、将源分布表示为点源的叠加、利 用格林函数求解场分布。

分离变量法

∇2ϕ2 = 0
均匀电场中的介质圆柱棒
a≤ ρ <∞
ϕ1 =ϕ2 ϕ2
ρ=0
∂ϕ1 ∂ϕ2 ε0 =ε ∂ρ ∂ρ
ρ→∞
0≤ ρ ≤a
ρ =a
=0 ， ϕ1
= −Ex = −Eρ cosφ
根据对称性 π ϕ(ρ,φ) = ϕ(ρ, −φ) 及 ϕ(ρ, ± ) = 0 2
返 回
上 页
下 页
分离变量, 设 ϕ(ρ,φ) = R(ρ)θ (φ) 代入微分方程
返 回 上 页 下 页
1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theorem) 惟一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的 电位微分方程的解是惟一的。 例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
U0 2 A. ϕ1 = x d U0 B. ϕ2 = x +U0 d U0 C ϕ3 = − . x +U0 d 答案:（C ）
ρ2 d2R ρ dR 1 d2θ + ＋ =0 2 2 R dρ R dρ θ dφ
2
d2θ dR dR 2 2 = 常数，令 ρ2 + n2θ = 0 +ρ −n R = 0 取n 2 dφ2 dρ dρ
当 n = 0 时， R0 (ρ) = A0 ln ρ + B0 ， 0 (φ) = C0φ + D0 θ 当 n ≠ 0时， Rn (ρ) = Anρn + Bnρ−n， n (φ) = Cn cos nφ + Dn sin nφ θ 通解 ϕ(ρ,φ) = ( A ln ρ + B0 )(C0φ + D0 ) 0
nAnan−1 cos nφ ∑
n=1
∞

静电场求解的三种方法研究

ʉ 0 ， =H = 0 ， （1）J 静电场可单独存在； B ,B ,ρ,P 等均与 t 无关； （2）E
静电场是静止的电荷所产生的场， 它具有以下特点：
ʉ 0） = 0 , ∇∙D =ρ ； （3） 不考虑永久磁体 （M 基本方程： ∇ˑE 2 - E 1) = 0 ， 2 - D 1) = σ ； （4） 边值关系： n n (D ˑ (E ∙ 2 - E 1) = 对于均匀介质而言， 介质分界面上的束缚电荷用： n (E ∙ σP + σf ， ε0
3.1.1 基本原理
导体板上所带电荷决定的[2]。而这些问题的特点是： 空间中没有自由电荷分布， 而自由电荷只出现在一 些导体的表面上， 因此， 如果选择这些导体表面作为区域 V 的边界， 则在 V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ， 因 而泊松方程 ∇2 ϕ = ∇2 ϕ = 0 ρ 化简为比较简单的拉普拉斯方程[3]： ε
郭福强 张保花 王俊珺 静电场求解的三种方法研究
107
（1） 均匀各向同性线性介质[1]： （2） 静电平衡时的导体：
= σE = 0 导体内部： J = D =P ; ρP = ρ = 0 ； σʂ0⇒E
外部表面： E = E n = σ , E t = 0 电荷分布在表面上， 电场处处垂直于导体表面。 ε 3 3.1 求解静电场问题的三种方法 分离变量法 在许多实际问题中， 静电场是有带电导体决定的。例如， 电容器内部的电场是由作为电极的两个
分离变量法的优点
分离变量法的优点是求解静电场时适用于考虑求解区域内没有自由电荷分布的区域， 只有在界面
形状比较简单的几何曲面时， 这类问题的解才能以解析解形式给出， 而且视不同区域的对称性和边界 条件情况而定[4]； 分离变量法求解静电场解题步骤思路比较清晰， 学生在学习的过程中容易掌握； 在利 用边值关系和边界条件求解待定系数时， 边界条件不多， 学生很容易结合以上条件求解出特解。 4 4.1 镜像法 基本原理 在一些特殊情形下， 如区域内只有一个或几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面， 这类问题通常 采用镜像法求解。在求解过程中提前设想存在某一个假想的点电荷来代替导体或介质表面的感应电 荷或极化电荷， 注意在这种替换下不能改变空间中的电荷分布， 关键是在于能否满足边界条件。 4.2 基本步骤 （1） :判断是否符合镜像法求解的条件； （2） :是否存在假想的电荷， 初步估计它所在的位置；

分离变量法在静电场问题中的应用

关 系 的适 当选择 。
２ 分 离变 量法 求解 的方程 及通 解
在许 多实际问题中， 静电场是由带电导体决定的。例如： 电容器 内部的电场是由作为电极的两个导 体板上所带电荷决定的。而这些问题 的特点是 ： 空间中有 自由电荷分布 ， 自由电荷只出现在一些导体 而
的表面上 ， 在空间中没有其它 自由电荷分布 。因此 ， Ｊ 如果选择这些导体表面作为区域 Ｖ的边界 ， 则在
再次 ， 从实 际情 况 出发 ， 依次 找 出边 界条 件和 边值关 系来确 定通 解 中的待定 系数 。
概括起来 ， 大致有 以下几种类型的边界条件 ： Ｊ （ ）两种绝缘介质界面上， １ 边值关系为
‘ｌ Ｐ ‘２ Ｐ
ａｐ ‘１
８
ａｐ ‘２
应用这条件可以把界面两边的电势衔接起来 。
Ｖ内部 自由电荷密度 ｐ ０ 因而泊松方程 ‘＝一 ： ， ｐ 旦化为比较简单的拉普拉斯方程 ：
‘＝ Ｐ ０ ｕ （） １
上 式 称为拉 普拉 斯方程 （ 氏方 程 ） 拉 。产 生 电场的 电荷 都分 布 于 区域 Ｖ 的边 界上 ， 们 的作 用 通过 它
边界条件反应出来。因此 ， 这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解， １ 式 的通解可以 （）
９ ３
昌吉学 院学 报
２１ ０ １年第 ４期
‘＝∑（ “ ｐ ａＲ ＋
） Ｃ５ ） Ｐ （００
（） ３
Ｐ（ｏ０ 为勒让德函数， 和 ｂ 是任意常数 ， ｃ ） ｓ ａ 由边界条件或边值关系确定。所以， 在每一个没有电
荷分布的区域 内， 满足拉普拉斯方程 ， ‘ ｐ 其通解 已有（ ） ３ 式给出， ２ 或（ ） 剩下的问题就是由具体 的边界条

拉普拉斯方程的解——分离变量法

王正斌
电动力学
第二章
静电场
§2.3 拉普拉斯方程的解—— 拉普拉斯方程的解——分离变量法 ——分离变量法
一． 拉普拉斯方程的适用条件
1． 空间处处 ρ = 0 ，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边 界，可以用拉普拉斯方程。 2． 在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势为已知。 ① 若所求区域为单一均匀介质，则介质中电势为真空中电势
X ( x) = Ae kx + Be − kx Y ( y ) = C sin ky + D cos ky
ϕ ( x, y ) = ( Ae kx + Be − kx )(C sin ky + D cos ky )
（3）确定常数 A，B，C，D，k ① y = 0, ϕ = 0 ⇒ D = 0 （A，B 不能全为零，否则 ϕ 与 x 无关） 。 ② y = b, ϕ = 0 ⇒ sin kb = 0
显然满足 ∇ 2ϕ = 0 和边界条件
E=
V = 常数，均匀场 l
x
2． 一对接地半无限大平板，相距为 b ，左端有一极板 电势为 V（常数） ，求两平行板之间的电势 解： （1）边界为平面，选直角坐标系 上、下两平板接地，为参考点 同样若 y ≠ 0 或 b, x → ∞ y
z
ϕ x →∞ = 0
若 ϕ 不依赖于 Φ ，即 ϕ 具有轴对称性
bn ) Pn (cosθ ) R n+1 n Pn (cosθ ) 为勒让德函数， P0 = 1 P1 (cosθ ) = cos θ 1 P2 (cosθ ) = (3 cos 2 θ − 1) … 2
通解 ϕ ( R,θ ) =
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r
QP
详细过程详见教 材 pp . 86 页
6
证明
rQP
P
2
1当 rQP 0 当 rQP
1 4
0
（ rQ r P） 0 （ rQ r P） 0
rP 1

V0
4 rQP rQ dV Q
4
4 rP
0
rP 0
7
证明
∴ r p r rQp
1 4
0


VQ
dV Q
是

2

0
的一个特解
8
静态场求解关键?

2
0
泊松方程 拉普拉斯方程
r
rQp

9
0
2
2
0
13
求解非零解
1 X d
2
0
2
X
2

1 d Y
2
Y
2

1 Z
d
Z
2
0
dx
dy
dz
只是 x 的函数
只是 y 的函数
只是 z 的函数
14
平凡解与一般解
平凡解
1 d
2
X
2
0 X Ax B 0 Y Cy D 0 Z Ez F r XYZ
2 正确的边界条件确定解族中的待定系数;
What is
分离变量法和分离变量解族？
11
可分离变量
r 0 若 r u 1 , u 2 , u 3
2
=
U 1 u 1 U 2 u 2 U 3 u 3
U 3的函数
U 1的函数 U 2的函数
2
19
求解
d
2
X
2
K
2 x
X
dx d
2
X
2
K
K
2 x
X 0
x
dx
X Ae
x
或 X AshK 或 X AchK
x
x x
x
e X A sh ch

K
x
x
20
解释
dX dx d X dx
2 2 2
AK x e AK
2 x
K xx
2
r p
1 4
0


dV
VQ
Q
泊松方程 的一个特解
静态场求解关键?
求解

2
0
齐次方程 2
2
0 的通解
非齐次 的特解 0 方程 （已求得）
0

关键问题： 2 求解Βιβλιοθήκη 的通解10求解步骤
1 确定拉普拉斯方程分离变量解解族;
e
K xx
d X dx
2
K
2 x
X AK
2 x
e
K xx
AK
2 x
e
K xx
0
21
一般解解答

sin cos x, y, z e sh ch sin cos K xx e sh ch sin cos K y y e sh ch K zz
2 x
X
dx
dx
X A sin K x x
或 : X A cos K x x
sin X A cos
K xx
18
证明
d X dx
2 2
KxX
2 2 2 x
K x A sin K x x AK dX dx d x dx
2 2
sin K x x 0
K x A cos K x x k x A sin K x x
静态场场定律
E (r ) 0
H (r ) J (r )
0 E (r ) (r )
静态场边界条件
ˆ in ( E 1 E 2 ) 0
ˆ in (H 1 H 2 ) K ( 0 E 1 0 E 2 )
称 r
是变量可分离的
12
直角坐标系
(r )
2
(r )
2
x
2

(r )
2
y
2

(r )
2
z
2
0
( r ) X ( x )Y ( y ) Z ( z )
d X dx
2 2
YZ
XZ
d Y dy
2
2
XY
d Z dz
22
复杂问题
解=平凡解+一般解
或 多项解的线性迭加
对于一维及二维问题，
可用同样的方法构造
23
与z 无关的二维情况的一般解为
sin cos A e sh ch K
2 y
x, y
sin cos k x x e sh ch
X dx 2 1 d Y Y dy
2 2
1 d Z Z
2
dz
2
0
Ax
B Cy D Ez F

15
平凡解物理意义
Ax+B , Cy+D , Ez+F 均可为平凡解
x方向 均匀场
y方向 均匀场
z方向 均匀场
(Ax+B)(Cy+D),(Ax+B)(Ez+F),(Cy+D)(Ez+ F)也可为平凡解 16
一般解
1 X d
2
X
2
K
2 x
或 或 或
1 d X X dx
2
2
2
K
2 x
dx
2
1 d Y Y dy
2
2
K
K
2 y
1 d Y Y dy
2
2
K
K
2 y
1 d Z
Z
2
2 z
1 d Z
2
2 z
dz
Z dz 现求解本解答
17
一般解解答
d
2
X
2
K
2 x
X 0
d
2
X
2
K
ˆ in
0 H (r ) 0 J (r ) 0
ˆ in ( 0 H 1 0 H 2 ) 0
ˆ in ( J 1 J 2 ) K 0
3
静电场问题
E 0 0 E J 0
2 x
k
2 y
y
y
K
2 x
0 K
K
两个变量的函数形式必须选自横线的两侧
24
预习
柱坐标分离变量法
推导柱坐标系下分离变量法解(作业)
• 平凡解和一般解 球坐标分离变量法
推导球坐标系下分离变量法解(作业)
• 平凡解和一般解
富里埃级数展开
25
iˆn E 1 E 2 0 iˆn 0 E 1 0 E 2 iˆn J 1 J 2 k 0
4
关于泊松方程与拉普拉斯方程解的分析

2
0
泊松方程 拉普拉斯方程
r
2002年电磁场理论讲稿 第十讲分离变量法
电子工程系：苏东林 2002.2-6
1
内容及重点
内容：直角坐标，柱坐标，球坐标的分
离变量解法，静电场分离变量法
重点：分离变量法的基本思想，通解中
各项代表的数学物理意义。掌握写方程
及边界条件的技巧，从物理概念上理解
静态场边界问题的分析方法。
2
静态场场定律及边界条件
rQp
0
2
r p
1 4
0


dV
VQ
Q
泊松方程 的一个特解
5
泊松方程特解证明

2 P
rP 1
2 P
1 4
2 P

0
r
rQP

VQ
dV

4

0
r
rQP
VQ
dV
1 2 4 P r QP