_《高等数学》(下)复习提纲(本科)

大一高数下册知识点框架在大一的高等数学下册中，学生们将进一步学习和掌握一系列高数的重要知识点。

本文将为您提供大一高数下册的知识点框架，以便于您对该学期的学习内容有一个全面的了解。

一、多元函数及其极限1. 二元函数的概念与表示2. 二元函数的极限与连续性3. 多元函数的极限与连续性4. 二元函数的偏导数与全微分二、多元函数的微分学1. 多元函数的偏导数与全微分的概念2. 多元函数的微分法则与高阶偏导数3. 隐函数与参数方程的求导4. 多元函数的泰勒展开式三、多元函数的积分学1. 重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的计算方法4. 曲线与曲面的面积四、向量代数与空间解析几何1. 向量的基本概念与运算2. 空间直线与平面的方程3. 空间曲线的参数方程与切向量4. 空间曲面的方程与切平面五、微分方程1. 常微分方程的基本概念与解法2. 一阶线性微分方程及其应用3. 高阶线性常微分方程及其应用4. 非齐次线性微分方程的常数变易法六、级数1. 数项级数的概念与性质2. 收敛级数的判定方法3. 幂级数的收敛半径与收敛域4. 泰勒级数与函数的展开七、常微分方程初步1. 常微分方程的基本概念与解法2. 可化为常微分方程的高阶微分方程3. 高阶线性微分方程的常数变易法4. 常微分方程的应用问题八、多元函数微分学应用1. 多元函数的条件极值与最值2. 线性规划与凸集3. 多元函数在工程与物理问题中的应用4. 二重积分在平面图形中的应用九、场论初步1. 初等矢量场2. 偏导数与梯度3. 散度与旋度4. 基本定理与应用以上为大一高数下册的知识点框架，希望对您的学习有所帮助。

通过系统地学习这些知识点，并进行大量的练习与应用，相信您将能够顺利掌握高等数学下册的内容，并取得优异的成绩。

祝您学业进步！。

高等数学下册考试提纲第一篇：高等数学下册考试提纲高等数学下册考试提纲一、二元函数求极限二、求向量投影，已知一定条件求平面方程三、求方向导数最大值（梯度的模），隐函数求一阶偏导，多元抽象复合函数求二阶偏导四、二元分段函数在分界点连续，偏导数、可微性判断五、交换二重积分次序；二重积分在直角坐标计算六、三重积分计算（球面坐标）七、第一类曲线积分计算；第二类曲线积分计算（利用曲线积分与路径无关或格林公式）八、第一类曲面积分计算；第二类曲面积分计算（利用高斯公式）九、求数项级数的和；求幂级数的收敛域与和函数十、数项级数敛散性判断；利用比较法证明数项级数收敛十一、利用条件极值求最大、最小值在几何上的应用题第二篇：《高等数学》考试大纲《高等数学》考试大纲――各专业（工科及管理类专业）适用1.极限与连续数列极限和函数极限的概念和性质，函数的左、右极限概念，无穷小的概念及性质，无穷小与无穷大的关系，无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在准则与两个重要极限，利用存在准则1及两个重要极限求极限。

函数连续的概念及运算，函数间断点及其分类，初等函数的连续性，利用初等函数的连续性求极限，闭区间上连续函数的性质。

2.导数与微分导数的概念，几何意义，可导与连续的关系，基本初等函数的导数公式，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则，隐函数的求导方法，对数求导法，高阶导数及其计算。

微分的概念，微分基本公式，微分运算法则，微分形式不变性，微分的计算。

3.中值定理及其导数应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，利用洛必塔（罗彼塔）法则求极限。

函数单调性的判别法，函数单调区间的求法及利用单调性证明不等式，函数取极值的判别法及极值求法，函数最大值与最小值的求法，最值应用。

曲线的凹（上凹）、凸（下凹）的判别法，曲线凹（上凹）、凸（下凹）区间及拐点的求法。

4.不定积分原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分的第一、第二换元积分法，分部积分法，简单有理函数及无理函数的不定积分求法。

高等数学下册复习资料高等数学下册是一门重要的大学数学课程，也是有挑战性的一门课程。

学生们需要透彻地掌握这门课程的基本概念、理论和实际应用，才能够为以后的学习和工作做好充分的准备。

因此，复习高等数学下册是非常必要的。

一、复习重点1.微分方程微分方程是高等数学下册中比较难理解和掌握的知识点之一。

在这个部分中，学生们需要掌握常微分方程及其解法、初始值问题、高阶微分方程、齐次方程和非齐次方程等。

2.多元函数微积分学多元函数微积分学是高等数学下册的另一个难点，包括多重积分、曲线积分、曲面积分、矢量场的线积分和面积分等。

3.线性代数线性代数是高等数学下册另一个重要的知识点。

这个部分需要学生们掌握线性空间、矩阵、行列式和特征值及其应用、线性方程组及其应用等。

二、复习方法1.理解基本概念和理论高等数学下册有很多基本的概念和理论，这些知识点是这门课程的基础。

学生们需要花费足够的时间来学习和理解这些概念和理论，从而能够透彻地掌握整个课程。

2.做题巩固知识点在学习中，做题是非常重要的一部分。

学生们需要选择一些代表性和难度适当的例题和习题来练习，从而加深对知识点的理解和掌握。

同时，做题也可以帮助学生们检查自己的学习效果。

3.查阅资料和参考书籍在复习过程中，学生们可以查阅相关资料和参考书籍，例如高等数学下册的教材、辅读书和网上资料等。

通过阅读和学习这些资料，学生们可以更深入地了解和掌握相关知识点。

4.参加辅导课和讨论小组参加辅导课和讨论小组，可以让学生们更好地交流和学习。

在这个过程中，学生们可以和老师和同学们一起讨论和解决问题，不断提高自己的学习能力。

三、总结复习高等数学下册需要花费足够的时间和精力，但是这个过程是非常重要的。

通过理解基本概念和理论、做题巩固知识点、查阅资料和参考书籍、参加辅导课和讨论小组等方法，学生们可以逐渐掌握高等数学下册的知识点，为以后的学习和工作打下坚实的基础。

高等数学下册知识点归纳
高等数学下册的知识点主要包括以下内容：
1. 向量的模、方向角、投影：向量的模是表示向量大小的度量，方向角和方向余弦是描述向量方向的量，投影则是描述向量在另一个向量上的投影。

2. 两向量的数量积、向量积：数量积是两个向量的点乘，结果是一个标量；向量积是两个向量的叉乘，结果是一个向量。

3. 平面及其方程：平面的一般方程、点法式方程等都是描述平面的重要方式。

4. 空间直线及其方程：空间直线的方程包括对称式方程、参数方程等。

5. 空间曲线的切线与法平面：空间曲线的切线方程和法平面方程是描述空间曲线的重要方式。

6. 曲面的切平面与法线：曲面的切平面和法线是描述曲面在某一点的切线和方向的重要方式。

7. 全微分：全微分是函数在某一点的变化率的度量，包括一阶偏导数和高阶偏导数。

8. 偏导计算：偏导数是函数在某个变量上的变化率，对于多元函数来说，偏导数是重要的概念。

9. 二元函数的极限：二元函数的极限是描述函数在某个点附近的性质的重要方式，包括极限的求解和证明。

10. 二重积分：二重积分是计算二维区域上的积分的重要方式，包括定积分和反常积分。

以上是高等数学下册的一些主要知识点，掌握这些知识点有助于理解和应用高等数学的基本概念和方法。

第7章：微分方程一、微分方程的相关概念1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解. 特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解.3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解； 也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中. 二、微分方程的常见类型及其解法 1. 可分离变量的微分方程及其解法 (1).方程的形式：dx x f dy y g )()(=.(2). 方程的解法：分离变量法(3). 求解步骤①. 分离变量，将方程写成dx x f dy y g )()(=的形式；②. 两端积分：⎰⎰=dx x f dy y g )()(，得隐式通解C x F y G +=)()(；③. 将隐函数显化. 2. 齐次方程及其解法 (1).方程的形式：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ. (2).方程的解法：变量替换法 (3). 求解步骤①．引进新变量x y u=，有ux y =及dxdux u dx dy +=； ②．代入原方程得：)(u dxdux u ϕ=+；③．分离变量后求解，即解方程xdxu u du =-)(ϕ；④．变量还原，即再用xy代替u . 3. 一阶线性微分方程及其解法 (1).方程的形式：)()(x Q y x P dxdy=+. 一阶齐次线性微分方程:0)(=+y x P dxdy.一阶非齐次线性微分方程:0)()(≠=+x Q y x P dxdy. (2).一阶齐次线性微分方程0)(=+y x P dxdy的解法: 分离变量法. 通解为⎰-=x d x P Ce y )(,(R C ∈).(公式)(3).一阶非齐次线性微分方程0)()(≠=+x Q y x P dxdy的解法: 常数变易法. 对方程)()(x Q y x P dxdy=+，设⎰-=x d x P e x u y )()(为其通解，其中)(x u 为未知函数， 从而有 ⎰---'=⎰x d x P x d x P e x P x u x u dxdy)()()()(e )(，代入原方程有 )()()()()(e)()()()(x Q e x u x P e x P x u x u x d x P x d x P xd x P =+-'⎰-⎰--⎰，整理得 ⎰='x d x P x Q x u )(e )()(，两端积分得 C dx e x Q x u x d x P +=⎰⎰)()()(，再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解))(()()(C dx e x Q e y x d x P x d x P +=⎰⎰⎰-dx e x Q e Ce x d x P x d x P x d x P ⎰⎰⎰-⎰-+=)()()()(，(公式)即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解.三、可降阶的高阶微分方程1． )()(x f y n =型接连n 次积分，可得此方程的含有n 个相互独立的任意常数的通解． 2． ),(y x f y '=''型令p y ='，则dxdpy =''，代入原方程，并依次解两个一阶微分方程便可得此方程的通解． 3． ),(y y f y '=''型令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''，代入原方程，得到一阶微分方程),(p y f dydp p =．解此一阶微分方程，得到),(1C y p y ϕ=='，然后分离变量并积分便可得此方程的通解．第8章 向量与解析几何222cos A C A θ=+⋅第9章 多元函数微分法及其应用一、基本概念 1．多元函数（1）知道多元函数的定义n 元函数：),,,(21n x x x f y = （2）会求二元函数的定义域1°：分母不为0； 2°：真数大于0；3°：开偶次方数不小于0； 4°：u z arcsin =或u arccos 中||u ≤1 （3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限A y x f y y x x =→→),(lim 0这里动点),(y x 是沿任意路线趋于定点),(00y x 的．（1） 理解二重极限的定义（2） 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； （3） 会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性（1）理解定义：)()(lim 00P f P f P P =→．（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。

欢迎共阅高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面1）椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2）3）4）5）6）（二） 1、法向量：n2、3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =，),,(2222C B A n =，⇔∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21//212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三） 空间直线及其方程 1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =，过点),,(000z y x3、两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s =，⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔21//L L 212121p p n n m m ==4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，2、 微分法1）复合函数求导：链式法则若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ （二） 应用1）求函数),(y x f z =的极值解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，① 若AC ② 若AC ③ 若AC 2、 1）曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Γ:z y x 2） 曲面:∑（一） 二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 计算： 1）直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ，21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ，21()()(,)d d d (,)d d y c y Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D ，21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分1、 定义：∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk kk k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 计算： 1）⎰⎰⎰Ωx f ,(⎰⎰⎰Ωx f (2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x ρρ3）（三） 应用曲面z S :（一） 1、 2、设,(y x f 在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为),(ψ⎪⎩⎨=t y ，其中在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则（二） 对坐标的曲线积分 1、定义：设L 为xoy 面内从A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(y x P ，),(y x Q 在L 上有界，定义∑⎰=→∆=nk kk k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ，∑⎰=→∆=nk kk kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.欢迎共阅向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d2、计算：设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则 3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：，L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,，cos α=则LP ⎰（三） 1、则有⎰⎰D 2、G 则x Q ∂∂（四） 1、 设∑定义⎰⎰∑2、:z =∑，xy ，则（五） 对坐标的曲面积分 1、 定义：设∑为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数，定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理，1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰；01(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰2、性质：1）21∑+∑=∑，则计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在∑上连续，则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“+”，∑为下侧取“-”.3、 两类曲面积分之间的关系：其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角。

高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数：傅里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量)散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环通量)旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))向量代数定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =⋅，θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直 zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行 //0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔== 交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++空间曲面∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z = 0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法“线“方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1） 利用直角坐标系X —型⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()x y α+,α为实数)21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤0θπ≤≤2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

高数下知识点复习高等数学下册包含了许多重要的知识点，对于我们深入理解数学的应用和进一步学习其他学科都有着至关重要的作用。

下面就来对这些知识点进行一个系统的复习。

首先是多元函数的微积分学。

多元函数与一元函数有很多相似之处，但也存在着明显的差异。

对于多元函数的极限与连续，要理解多元函数极限的定义和存在条件。

它比一元函数的极限更为复杂，因为需要考虑多个方向上的趋近情况。

连续性的判断也是基于极限的概念，需要函数在某点的极限值等于该点的函数值。

多元函数的偏导数是重点之一。

偏导数表示函数在某一变量方向上的变化率。

计算偏导数时，将其他变量视为常数，只对关注的变量进行求导。

比如对于函数＼（f(x,y)＼），＼（f_x\）表示对＼（x\）的偏导数，＼（f_y\）表示对＼（y\）的偏导数。

偏导数的几何意义可以理解为曲面在某一坐标轴方向上的切线斜率。

全微分则是综合考虑了各个变量的变化对函数值的影响。

它的表达式为＼（dz ＝ f_x dx ＋ f_y dy\）。

接着是多元函数的极值问题。

通过求解偏导数为零的方程组，得到驻点。

然后利用二阶偏导数判断驻点是否为极值点。

这里会涉及到判别式＼（D ＝ f_{xx}f_{yy} f_{xy}＾2\）。

若＼（D ＞ 0\）且＼（f_{xx} ＞ 0\），则为极小值点；若＼（D ＞ 0\）且＼（f_{xx} ＜0\），则为极大值点；若＼（D ＜ 0\），则不是极值点。

然后是重积分。

二重积分可以用于计算平面区域上的面积、质量等。

将二重积分化为累次积分是常见的计算方法，要根据积分区域的形状选择合适的积分顺序。

三重积分则是对空间区域的积分，其计算方法与二重积分类似，但更加复杂。

在重积分的应用中，求曲面的面积是一个重要的内容。

需要利用曲面的方程和相应的积分公式进行计算。

再来说说曲线积分和曲面积分。

曲线积分分为第一型曲线积分和第二型曲线积分。

第一型曲线积分与曲线的长度有关，常用于计算曲线的质量等。

高数下期末考试复习大纲第8章1.掌握空间向量的基本概念及运算，会求单位向量、向量的方向角及方向余弦2.会求空间直线的向量方程与参数方程，空间曲线在某点处的切线方程与法平面方程3.会求平面方程及点法式方程，空间曲面在某点处的切平面方程与法平面方程4.理解空间曲面的一般方程，认识简单的旋转曲面方程（例如锥面等），会求柱面方程5.理解空间曲线的一般方程，理解空间曲线的向量方程及参数方程，认识常见的空间曲线的参数方程，例如螺旋线，直线。

第9章1.理解多元函数的定义域，值域的概念，弄清多元函数与一元函数定义域的区别，理解二元函数的等位线与三元函数的等位面。

2.掌握二元函数极限的概念，会求简单二元函数的极限，会利用双路径法判断二元函数在某点处的极限不存在。

3.理解二元函数的连续的概念。

4.理解多元函数的偏导数的定义及其几何意义，会求多元函数的偏导数及高阶偏导（不超过三阶），会求隐函数的偏导数，会利用树状图求复合函数的偏导数，会求二元函数的全微分。

5.弄清二元函数偏导数存在与连续的关系6. 会求多元函数的梯度与方向导数，了解方向导数与函数增长的关系，理解二元函数的梯度与等位线的关系。

7.会求二元函数的驻点及极值，会利用拉格朗日数乘法求二元函数的极值。

8.弄清极值的存在性与驻点的关系,认识马鞍面的鞍点第10章1.理解二重积分的背景,会利用二重积分表示平面状物体的质量及面积,会将二重积分化累次积分计算直角坐标系下二重积分.2.会计算简单的极坐标系下的二重积分.3. 理解三重积分的背景,会利用三重积分表示空间物体的质量及体积, 会将简单的三重积分化累次积分计算直角坐标系下三重积分.4.会利用二重积分计算平面状物体的质心与形心.第11章1.掌握两类曲线积分的背景及其表示形式,会求简单的两类曲线积分.2.会判断第二类曲线积分是否与路径无关,会计算积分与路径无关的第二类曲线积分.3.理解格林公式的含义.4.会表示曲线状物体的质量及变力沿曲线做功.6.掌握两类曲面积分的背景及其表示形式,会利用公式将第一类曲面积分化为二重积分.会用向量表示有向曲面的侧.7.了解高斯公式与斯托克斯公式第12章1.理解级数收敛与发散的定义, 会利用第n项判别法判断级数的发散.会求简单级数的和(等比级数,叠项级数),认识P-级数及掌握P-级数收敛与发散的条件.2.会利用比较(极限形式),比值,根值判别法判断正项级数的敛散性.3.会利用莱布尼茨判别法判断交错级数的敛散性,理解绝对收敛与条件收敛.4.会求幂级数的收敛域与收敛区间,了解幂级数的和函数的概念.5.会利用公式将函数展开成幂级数,了解泰勒级数.6.了解傅里叶级数的概念及其收敛性，了解傅里叶正弦级数和余弦级数.。

高等数学下册复习提纲ﻫ第八章多元函数微分学ﻫ本章知识点本章知识点（按历年考试出现次数从高到低排列):ﻫ复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值-－-拉格朗日乘数法(☆☆☆☆）无条件极值（☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆) 隐函数(组）求导（☆☆☆) 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆) 方向导数、梯度计算（☆☆）重极限、累次极限计算（☆☆) 函数定义域求法(☆)1. 多元复合函数高阶导数∂z ∂２z 及. ∂x ∂y∂x例设z= ｆ(ｓin x, ｃos y, ex+ y）, 其中 f 具有二阶连续偏导数，求解ﻫ∂ｚ= ｆ1′ ⋅ｃos ｘ + f 3′⋅ｅｘ＋ y , ∂ｘﻫ∂２z ∂2z ′′′′′′′′= ＝［ｆ１2 ⋅ (−sin y ) +f 13 ⋅ e x + y ］ cｏs x + e x + y f 3′ + [ f 32 ⋅ (− sin y ) ＋ f 33 ⋅ e x + y ］e x＋y ∂y∂ｘ∂x∂yﻫ析1)明确函数的结构(树形图)ﻫｚﻫu v wx+yx ｙx yﻫ，那么复合之后z 是关于x, y 的二元函数．根据结构ﻫ这里u＝sin x, v =cos y, ｗ＝eﻫ图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，按线相乘，“ 分线相加” . ２) f 1′, f 3′ 是f 1′(sin x, cos y, e相同,仍然是sｉn x，cos y , ex＋ｙx+ yﻫ）, f 3′(siｎｘ,cｏs y, ｅx + y ) 的简写形式，它们与ｚ的结构的函数.所以f 1′对y 求导数为ﻫ１∂f1′′′ ′′ ＝f12 ⋅(−sｉn ｙ) + f 13 ⋅ e x + y .∂ｙ所以求导过程中要始终理清函数结构，确保运算不重、不漏.ﻫ∂２z ∂２z ∂２z ∂2z 3)f 具有二阶连续偏导数，从而连续，所以. , =∂ｙ∂x∂x∂y ∂y∂x ∂x∂ｙﻫy2 ∂2z ），其中f 具有二阶连续偏导数,求2 . 练 1. 设ｚ= ｘf ( 2 x, x ∂xﻫ２ﻫ２．设z = f (2x −y ) + g (e sｉn ｙ, x+ y ) 其中ｆ二阶可导，g具有二阶连续偏导数，ﻫx 2 2ﻫ求∂2z . ∂x∂yﻫ2. 多元函数极值ﻫ例1．求函数f （x , y ) ＝e x −y ( x ２− 2 y 2 ）的极值. 解(1)求驻点.由ﻫｆx（x,y )＝e x−ｙ ( x 2 −２y ２）+ 2 xe x− y = 0, ｘ−ｙ２２ｘ−y f ｙ ( x , y ) = −e ( ｘ− 2 y ) −４ｙｅ = 0 ﻫ得两个驻点(0 ,0) ，( −４, −２) , （2)求f ( x , y ）的二阶偏导数ﻫf xｘ( x ，y）= ｅx −ｙ ( x 2 − 2 y 2 ＋４x + ２) ，f xｙ( x ,y ) = ｅx−y (２y 2 −x 2 −２ｘ− 4 y ) ,ﻫf yy ( x ，y) = e x −y ( x 2 −2 y 2 ＋８ｙ−４) ，ﻫ（３)讨论驻点是否为极值点在(0 , ０）处，有Ａ＝2，B = ０, C=−4 ，ＡC−Ｂ = −8 <０,由极值的充分条件知２ﻫ(０, ０)不是极值点，ｆ(0 ，0)= 0 不是函数的极值；−2ﻫ，C=−12−在( −４，−2) 处,有A =−６ｅﻫ2ﻫ，Ｂ= 8eﻫｅ，ＡC− B = 8e2−2−4＞0，而Ａ< 0 ,由极值的充分条件知(−4 , −２) 为极大值点，f (−4 ，−2) = 8e −2 是函数的极大值.析1）这是二元函数无条件极值问题.2）解题步骤：第一步是求出驻点---一阶偏导数为零的点;第二步求目标函数的二阶导2ﻫ数；第三步求出驻点的判别式ＡC −B ，判断是否为极值点以及极大极小.22. 将正数12 分成三个正数x, y ，z 之和使得u = x 3 y 2 z 为最大．解:令F （x, ｙ, z ) = x y z+ λ ( x ＋y + z −１2），则3 2Fx = 3 x 2 y ２z ＋λ = 0, 3 Fｙ = 2 ｘ yz + λ = 0,3 ２Fz = x ｙ + λ＝ 0,ｘ＋ y + ｚ = 12.ﻫ解得唯一驻点(6，4,２) ,故最大值为ｕmａx = 6 ⋅ 4 ⋅２＝2ﻫ析1）题目是为了熟悉条件极值的求法-－-拉格朗日乘数法. 6912．ﻫ3这里拉格朗日函数也可写成ﻫF ( x, y,ｚ) = 3ｌｎx + 2 ln y + ln ｚ+ λ ( x ＋y+ｚ− 12) ．2）由于目标函数是乘积形式，而其和为常数，可以利用均值不等式x x x y y + + + + ＋z x x ｘｙｙx ３ｙ２z= 27 ⋅⋅⋅⋅ 4 ⋅⋅⋅ｚ≤ 2７⋅ 4 3 3 3 ２ 2 3 ３ 3 22 ６ﻫ= ２7 ⋅ 4 ⋅ 2 ６＝69１2 .方法较为简单,但没有拉格朗日乘数具有一般性.3．求函数z =x 2+ y 2在圆( x−6２)２+ (y −２ ) 2 ≤９上的最大值与最小值.解先求函数在圆内部可能的极值点.令z x＝2ｘ= 0,zｙ＝ 2y = 0解得点(0，0）,而z （0,０) ＝0. 再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数Ｆ(x, y ) =ｘ2+ y 2 + λ［(x−2 ) ２＋( y −２) ２−９] ，ﻫFx ＝2 x + 2λ ( x − 2 ) = 0, Fｙ = 2 ｙ＋２λ ( y −２）= 0, 2 2(x − 2 ) + （ y − 2 ) = 9.52２２５２５ 2 2 ２, ）,（− ,− ) ，而2解之得（ﻫ5ｚ( , ）＝２５,z (− ,− ) = １. 2２2２2 2 2２ﻫ3比较z （0，0）, z (ﻫ５２５2 2 2, )，z (−,−) 三值可知, 在圆( x −２ ) 2 + ( ｙ− 2 ） 2 ≤ 9 ２ 2 2 2上函数最大值为z ＝25,最小值为z= 0.析1)在闭域上求函数最值只需找出在开区域和边界上的可疑点,最后比较函数值即可.而不需要判断是否为极值点．2）在求方程组的解时，要注意方程的对称性,必要时也可做换元处理,以简化计算．3) 本题在边界上的最值也可考虑写出圆周的参数方程, 将问题转化为一元函数的最值问题. 练１．求ｆ（x，y）= x 3 ＋3xy２−1５ｘ−１2 y 的极值. 2．证明函数f( x, y ) =(1 + e y ) ｃｏｓｘ− ye y 有无穷多个极大值，但无极小值.ﻫ3. 在椭球面ﻫx２y 2 ｚ2 + ＋= 1的第一卦限求一点, 使该点的且平面与三坐标面围成的四a2 ｂ2 c2面体的体积最小.2 4.求抛物线y= x 与直线x− y − 2 −0之间的距离．3. 偏导数的几何应用偏导数的几何应用的几何例 1. 求曲面x 2 ＋2y２+ ３z ２= ２1平行于平面x + 4 y + 6 z ＝0 的切平面方程.解令F( x，y , z ) = ｘ2 + 2 y 2 + 3 z 2 −2１，曲面在点( x,y, z )处的法向量为r n = ( Fｘ, Fy , Fｚ）= （2 x,4 y,６z ),已知平面的法向量为ｎ1 ＝(1,4,6) ,而切平面与已知平面平行,所以n // n1,从而有ﻫrﻫrrﻫ2x ４y ６z = ＝，1 ４6ﻫ又因为点在切面上，应满足曲面方程ﻫ(1)ｘ２+ 2 y 2 + ３z 2= 21ﻫ（1)、（2）联立解得切点为(１,2，2）及(−１，−2,−２) ，所以所求切平面方程为:（2)ﻫ（x− 1）+ ４( y − 2) ＋ 6（ z − 2）＝ 0 ,或（ｘ+ 1) + 4(y +２）+6（z+ 2) = ０.4ﻫ析ﻫ1)由于已经给出平面的法向量，关键是求出切点，直接利用平面的点法式方程即可. 2）法向量的求法:由曲面方程F ( x, ｙ, z）=0 得ｎ= （Fx ，Fy , Fz ). 如果曲面方程为rz = ｆ(ｘ, y ) ，那么Ｆ（x,y, z ) =z− f （x, y ) ,或F （x, y,ｚ)＝ f ( x, y ) − z . 对应的法向量就为n = (−ｆ x,− f y ,１) 或ｎ= ( f x , f y ,−1) . 3）注意不要把ｎ／/ n１写成n = ｎ１，它们的分量是对应成比例而不一定相等,否则将得出错误结论. 4)两个平面要独立写出，千万不要用大括号联立.还有就是万万不可把平面方程写成了直线啊. ２. 求曲线x 2 + y 2 + z 2 ＝6 ，x +ｙ+ z= ０在点P０(1，−2,1) 处的切线及法平面方程. 解曲线方程为ﻫrrﻫrﻫｒﻫrﻫrﻫｘ2 + y 2 + z 2 ＝6, x + y + z = 0ﻫ取ｘ为自变量,则y 和ｚ看作ｘ的函数,即ｙ＝y （x）, z = z (x ) ．那么曲线的切向量τ= (１, y ′( x), z′( ｘ)）.方程组两边对x求导，得ﻫrﻫ２x ＋ 2 yｙ′ ＋ 2 zz′=６， 1 ＋y + ｚ′ = 0解得将点P0 (1,−２,1）代入，得切向量为y′=ﻫz−ｘｘ−y , z′＝ . ｙ−z y−zﻫτ ＝(1，0，−1) .ﻫ所以曲线在点P０（１，−2，1）处的切线为rx −1 y + 2 z −1 = = ，１0 −1法平面为ﻫ( x − 1）−（ z − 1) = ０ .析1)曲线方程为参数形式５ﻫx = x（t ), y = y (t ), z ＝ｚ (t )，在点P０( x0,ｙ0 ，ｚ0 ) 处对应参数为t 0 ,那么曲线在P0 处的切向量为τ = （x ′(t 0 )，ｙ′(t 0)，z ′（t 0 )) ．由直线的对称式（点向式）方程可得切线方程为ｒﻫx − x0 y − y0 z − z 0 , = = x ′（ｔ0 ) y ′(t 0 ）z ′（t0 )ﻫ法平面方程为x ′(t 0）（x− x0 ）ｙ′ + （t 0 ）( ｙ− y 0 ) + ｚ′(ｔ0 )( z− z 0 ) ＝ 0 .2）若曲线方程是一般式(隐函数形式）ﻫＦ( ｘ, y, ｚ）= 0, ,G ( x, y，z )= 0则,那么曲线在P0 处的切向量为ﻫτ＝Ｇy ﻫ数例题中的解法就是如此.rﻫＦyFz Fz ,Ｇz GzﻫFx Fx, GｚGxﻫFy ． Gy P0ﻫ由于此公式较为复杂,我们经常从x，y , z 三个变量中选取一个作为参数,剩余两个看作其函3ｘ2 + 2 y2＝１2, 练１. 设曲线绕y轴旋转一周得到一旋转曲面,求该曲面在点z = 0ﻫ(0, ３, 2) 指向外侧的单位法向量.２. 求椭球面x 2 ＋２ｙ2 ＋３z 2 = ２1 上某点M 处的切平面π 的方程，使π 过已知直线L：x − 6 y −３ 2ｚ− 1 = = . ２１−２3. 在曲线y= x 2 ,z =ｘ3上求点，使该点处的切线平行于平面x + 2 ｙ+ z = 4 ．４. 求曲线x 2 ＋y 2 ＋ｚ２−３x = ０，在点（１,1,1) 处的切线方程. 2ｘ− 3 ｙ＋ 5 −4z = ０ﻫ６ﻫ4．隐函数组）导数隐函数(组导ﻫ∂z ∂z , . ∂ｘ∂y例 1.设ｅ− xyﻫ− 2 z ＋e− z = ０,求解方程两端对x 求偏导数，得e − xy (−y ）− 2∂z ∂ｚ− e −z ⋅ =0 ∂x∂x即∂ｚye − xy =−；∂ｘ２ + ｅ−z方程两端对y 求偏导数,得ｅ− xy (− x)− 2ﻫ析ﻫ∂ｚ∂z − e−ｚ⋅=0 ∂ｙ∂y即∂ｚｘe −ｘy ＝− . ∂y 2 + ｅ−z当然题目也可用公式法求隐函数的偏导数,那是将F( x,y , ｚ）看成是三个自变量x,ｙ，ﻫz的函数,即x , ｙ, z 处于同等地位.方程两边对x 求偏导数时，ｘ, y 是自变量，z 是x ，ｙ的函数,它们的地位是不同的.2.设解u 2 +ｖ2−ｘ 2 −y ＝０, −ｕ + v −ｘｙ + １ = ０，求∂u∂u ∂v ∂v , ,,. ∂x ∂y ∂x ∂ｙ方程组两端对x 求导,得2uu x +2ｖv x −２ x = ０, − u x ＋ v x −y =０．即2uu x + 2vｖx = ２x, − ux + ｖx = y则∂u 2 x2ｖ= y１∂x2u ２ｖx−yv ∂v ２u 2 ｘ = ，= −1 1 ｕ＋v ∂x −１ yﻫ2u 2v x + yu =.−1 1 u+v同样方程组两端对y 求导,得∂ｕ 1 −２xv ∂v 1 + ２ｘu = , = . ∂y 2ｕ + 2v ∂ｙ 2u ＋2v析1）方程组确定的隐函数个数等于方程的个数,而每个函数自变量的个数为“方程组中所有变量个数”减“方程的个数”. ２）大家解线性方程组时可以用代入法或直接使用求解公式．ﻫ∂z∂2z 练1. 设方程e = xyz 确定隐函数ｚ＝f( x, y ），求和．∂x ∂y 2ｚﻫ2. 设函数z= f( x, y）由方程F( x＋ﻫz z ∂2z ∂ｚ, ｙ+ )= 0确定,求和．y ｘ∂x∂y∂xﻫ7ﻫ3. 设y = ｆ(x, ｔ) ,而ｘ= x(ｔ, y) 是由方程F (x, y，t ) = ０所确定的函数,其中 f , F 都具有一阶连续偏导数.求ﻫdx . dtﻫ４. 设u = f ( xｕ, ｖ+ ｙ）, ∂u ∂v ,，其中ｆ, g都具有一阶连续偏导数.求,和．２∂y ∂y v = g (u − x, ｖy ),5. 偏导数及全微分x2 ∂ｚ∂z 例1．设z ＝2ln （2 x − y ) ,求,.∂x ∂y yﻫ解ﻫ∂ｚ２ｘ2x 2 = 2 ｌn (2ｘ−ｙ) + 2 , ∂x y y (２ｘ−y )2x 2 x2 ∂z ＝−lｎ (２ x −ｙ ) −２. ∂y y3 y (2 x −y )析１) 利用一元函数求导即可.对其中变量求导,其余的自变量都看作常数. 2) 也可利用多元复合函数求导公式求导．2. 已知 f ( x, y ) = e 解ｙｓｉn ｘ⋅ln( ｘ3 + ｘy 2 ）,求f x (1,0）.ﻫ３，f x （1，0)= 3 .ｘﻫf (x，0) ＝3 ln x .于是 f ｘ( x，０)=ﻫ析1) 此类题目“先代后求”,或“先求后代”．对于确定一点的一般选后一种方法. 2) 另外分段函数在分界点处要用偏导数定义来求. 3．设z ＝ｌn（x 2+ y 2 ) ,求dz ｘ=1 y ＝1ﻫ解ﻫ设x 2 + y 2 = u,则ｚ= ln u ,所以∂z dz ∂u １= ＝⋅ 2x , ∂x du ∂x u dz = ∂z ∂x dx + ∂z ∂ｙﻫ∂z dｚ∂u 1 = = ⋅2y , ∂ｙ du ∂y ｕdy= dｘ+ dy ．从而x=1 y ＝1ﻫｘ＝１y =1ｘ=1 y=1xｙ, x２＋y 2 ≠ ０，２ 2 练1．设 f ( ｘ, ｙ）= x + y ,求f x (0, 0),f y (0，0）．2 2 0, x +ｙ=０ﻫ2．求z ＝ｌn cosﻫy π 在点（1，）处的全微分.ｘ４ﻫ8ﻫ3.求u ＝ｓｉn xy ⋅ e的全微分.ﻫz2ﻫ1 2 ２,x2+ y2 ≠ 0 ( x + y ) sin 2 2 4. 证明函数ｆ（ｘ, y ) = ｘ+y ０， x２ + y2 = 0 ﻫ在点(0 , ０) 连续且偏导数存在，但偏导数在(０，0) 不连续,而f 在（0 , 0)可微．ﻫ6. 方向导数级梯度例求u=xy２＋yz３在P0 ( ２，−1,１) 的梯度及沿l = ( ２,2，−1) 方向的方向导数. 解ﻫrﻫgｒaｄu ＝ﻫ∂ｕｒ∂u r ∂ｕｖi + ｊ＋k，∂x ∂ｙ∂ｚﻫ而ﻫ∂ｕ∂u ∂u = y２,＝2 xｙ+ ｚ３, = ３yz 2 ∂ｘ∂y ∂zﻫ故ｇraｄu =v r r ∂u r ∂uｒ∂u v ｉ＋j+ k = y 2 i + （２ｘy+ z 3 ) j + 3 yｚ２k , ∂x∂ｙ∂ｚｒr vﻫ则在P0 ( ２,−1,1) 处的梯度为ｇrad ｕ= i+ 5 j−3k . 又l = ( 2,2,−１) ,故其方向余弦为ﻫrcosα=２２ 1 , cｏｓβ = , ｃos γ =− , ３３３ﻫrﻫ所以沿l 方向的方向导数为ﻫ∂ｕ∂ｌ=ｇrａd l u =P0∂u ∂ｕ∂ｕ８cosα + coｓβ + cosγ = . ∂x ∂y∂ｚ３析1）熟悉方向导数和梯度概念及求法.2) 需要注意的是只有在才可用∂u ∂u ∂u ∂ｕ= coｓα+cos β+ cｏs γ 求方向导数．如分∂l ∂x ∂y ∂z段函数在分界点常用定义求出方向导数．ﻫx ＋ｙ+ x2 y2 , ｘ2 + y2 ≠ 0 ２２练设函数ｆ( x，y ）= ｘ + y 0, ｘ２＋y2 ＝0９求函数在点(0 , 0）处沿方向(cos α,cosγ ) 的方向导数.ﻫ７.二重极限及累次极限二重极限及累次极限ﻫｘｙ的收敛性.x ＋y22例１．讨论ｌｉmﻫx →0y →０ﻫ解令y = kx,liｍｘｙx⋅ kｘ k = ｌiｍ 2 , = 2 2 2 x →0 x + ｙ x →０ x + k x 1＋k2 y →0 y ＝kxﻫ２ﻫ其值随k的不同而变化,故极限不存在.2．ｌimsｉn( xy ）sｉn（ｘy ) ｓiｎ( xｙ) = lｉm xy ⋅ y = ｌｉm ｘy ⋅ｌim y = 1 ⋅ 2 = 2 . x →0 x →0 ｘ→0 x →0 ｘｙ→2 y→2 ｙ→ 2y →２练１．讨论二元函数ｆ( x, ｙ) =在点(0,0）的二重极限及两个二次极限.2．讨论函数ﻫx −y + x2 ＋y2 x+ yﻫx2 y, x2 + y2 ≠ 0 f （ x, y ) ＝ x 4 ＋ y 2０, x２+ ｙ2 = 0ﻫ在点（0,0) 的连续性．ﻫ第九、十章多元函数积分学本章知识点本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列）:ﻫ利用高斯公式计算曲面积分(☆☆☆☆☆) 利用格林公式计算曲线积分（☆☆☆☆☆)先一后二或先二后一计算三重积分(☆☆☆☆) 交换二重积分的积分次序（☆☆☆) 利用球坐标计算三重积分(☆☆☆）利用极坐标计算二重积分（☆☆☆）第一类曲线、第一类曲面积分的计算（☆☆）利10ﻫ1．第二类曲面积分及高用斯托克斯公式计算第二类曲线积分（☆)ﻫ斯公式1 2 ( x ＋y 2 )介于平面ｚ=0 和 2例计算∫∫(zﻫΣﻫ2＋x）ｄy d z − z d x d ｙ,其中Σ是抛物面ｚ＝ｚ=2之间部分的下侧.解方法一利用高斯高斯,将曲面积分转化为三重积分.作辅助面2Σ1：z= 2，( x,y )∈D xｙ:0 ≤ x ＋ｙ≤ 4 ，取上侧.ﻫ2 z 2ﻫ∑1ﻫ记Σ 与Σ 1 所围区域为Ω ,则ﻫ∑∫∫（zﻫΣ2ﻫ＋x）d y d ｚ−z ｄｘｄｙo xﻫ2y=Σ + Σ1ﻫ∫∫(zΩﻫ2+ x) d y d z−z d ｘ d ｙ−∫∫（z ＋ｘ) ｄy d z−z ｄx d yﻫΣ1=∫∫∫[１＋（−１)］ d x d y d z −∫∫（−2） d x d yD ｘｙﻫ= ８π ．ﻫ方法二投影法，将曲面积分转化成二重积分. 先计算∫∫( zΣﻫ２ﻫ＋ｘ）d y d ｚ．ﻫ将Σ 分成前后两部分:ﻫΣ1:x= 2z −y 2 , ( y, ｚ ) ∈ D yz : １ y ２≤ z ≤ 2，取前侧； 2 Σ 2：x = − 2 z −y 2 , ( y，z ) ∈Ｄｙz ： 1 y 2 ≤ z ≤２，取后侧. 2∫∫（zﻫΣ Σ1ﻫ2ﻫ+ｘ) d ｙｄｚﻫ＝∫∫（z 2 + x)ｄy d z + ∫∫ ( z 2 +x）d ｙd zΣ1=ﻫ∫∫ (zﻫD ｙｚﻫ2+ 2 z −ｙ 2 ) d y ｄ z −∫∫ ( z 2 − 2 z −y２）ｄy ｄzD yｚﻫ=２∫∫ 2 z −ｙ 2 ) d ｙ d ｚD ｙz= 2∫ d y ∫ 1ﻫ−２ﻫ2ﻫ2ﻫy２2２z − y 2 d z＝4π .再计算ﻫ∫∫ ｚd ｘd ｙ.ﻫΣ１1ﻫ∫∫ z d x d y=−∫∫ΣDxｙ１２ﻫ（x 2 + y 2 )] d ｘd y2 1 2π 2 ∫0 d θ ∫0 ρ ρ ｄ ρ 2 = −4πﻫ=ﻫ所以ﻫ∫∫ ( zΣ2+ x ） ｄ ｙ d ｚ − z d x ｄ y ＝ ４π − （−4π ） = 8π .ﻫ方法三 利用两类曲面积分之间的关系,将所有坐标面上的积分转化为一个坐标面上的积分. 因为曲面下侧上任一点处的法向量为ﻫｖ n ＝ ( z x , z y ,−1） ＝ ( ｘ, ｙ,−1) ,所以c ｏs α ＝由ﻫx 1+ x ２ ＋ ｙ2ﻫ， c ｏｓ β ＝ﻫ−1 1＋ x2 + y2ﻫ，d yd ｚ d zd x d xd y = = , cos α cos β c ｏs γﻫ知d yd z =所以ﻫco ｓ α d ｘ d y = −x d x d y ， c ｏs γ∫∫ （ z ﻫΣ Σ2ﻫ+ ｘ) ｄ y d ｚ − z d x d y ﻫｙ= ∫∫ [( z 2 + x ）(− ｘ) − z ］ ｄ x ｄ y＝ − ∫∫ [（ 1 ( ｘ 2 + y 2 ) 2 + x)(− x) − １ ( x ２ + y ２ )] d ｘ ｄ y ２ 2Dxyo2x= − ∫∫ [( 1 ( x 2 + y ２ ) 2 + ｘ)（− x) − 1 ( x 2 + y 2 )] d x d y 2 ２Dx ｙﻫ＝∫∫ [ xDxyﻫ２ﻫ1( x２+y 2 ）] d x d ｙ2ﻫ2ﻫ＝∫+２π 0=8π ．ﻫ析1)遇到ｄθ ∫ （ρ ２cｏｓ2 θ + 1 ρ 2 ) ρｄρ ２ﻫ0ﻫ第二类曲面的积分的题目,首选高斯公式. 2)当积分曲面不是封闭曲面时,可添加辅助面使成为封闭的.12ﻫ３)若被积函数在曲面所围的区域里有奇点时,不可使用高斯公式.这时,一般用投影法.有些情况也可做辅助面将奇点包围，然后在多连通区域上使用高斯公式．4)做题步骤：一,画出积分区域图;二，检查积分曲面是否封闭,被积函数在封闭曲面所围区域上是否具有一阶连续偏导数．否则，做出相应的辅助面;三，使用高斯公式,将第二类曲面积分转化成三重积分,看清楚Ｐ, Ｑ,R;四,检查是否忘了减掉辅助面的积分（如果有的话),检查三重积分的正负号与曲面的外内测是否对应．5)注意试用高斯公式后积分区域的变化．练1. 计算I =∫∫ﻫSﻫｙ2 z d y d z + xｚd z dｘ+ x 2 yｄx dｙ其中S 为旋转抛物面ｚ=x 2+ y 2 ，ﻫ圆柱面x 2 + y 2= 1 和坐标面在第一象限内所围成的空间区域Ω 的外侧. ２. 计算ﻫI = ∫∫ 2 x 3 d y d z + 2 y 3 d z dｘ+３( z 2 − 1) d x ｄ y 其中S 为曲面Ｓz ＝１− x ２− y 2 ，z≥0 的上侧.3. 计算侧.ﻫxd ｙd z ＋yｄzd x + zd xｄy,其中∫∫ ( x 2 + y ２ﻫ为任一不经过原点的闭曲面外+ z ２)3 2 ∑ﻫ∑2．第二类曲线积分与格林公式ﻫ例1．计算(e sin y −３y ＋x）dx ＋(e ｃos y −ｘ)dy , 其中l 为由点Ａ(３,０) 经椭圆ﻫｘ２∫xﻫlx = 3 cos t 的上半弧到点 B ( −3,0）再沿直线回到 A 的路径．y = ２ sin tﻫ解Ｐ= e x siｎy − 3 ｙ＋x 2 ,ﻫQ = ｅx cos y −ｘ,由格林公式2 x原式＝(e sin ｙ− 3 y ＋ x )dｘ+ (ｅｃos y −ｘ)dyx lﻫ∫ﻫy２ﻫ=∫∫ ［ﻫＤﻫ∂Q ∂P − ]ｄxｄｙ∂x∂yﻫxﻫ=ﻫ∫∫［(ｅﻫDＤ−3xﻫｏﻫ３ﻫxｃos y − 1) − (e cｏs y− 3]dxｄｙﻫ1ﻫ=∫∫ 2dxdｙ＝2 ⋅２π⋅３⋅ 2 = 6π．ﻫ1３ﻫ2. 计算I =ﻫ∫ﻫL (1− 2xy −ｙ 2 ）ｄ x −（x + y） 2 d y ,其中Ｌ是从原点沿直线y = x 到点(１,1）的一段ﻫ弧. 若(1− 2ｘy − y 2 ) d x − ( x + y） 2 ｄｙ是某个函数的全微分，求出一个这样的函数。

大一下高数下册知识点归纳高等数学是大学工科专业的一门核心课程，对于理工科学生来说，它是一门重要的基础学科。

在大一下学期，我们学习了高等数学下册，包括了多元函数与偏导数、重积分、曲线与曲面积分以及无穷级数等内容。

下面对这些知识点进行归纳梳理。

一、多元函数与偏导数在高等数学下册的开篇，我们学习了多元函数与偏导数。

多元函数是指含有多个自变量的函数，而偏导数是指将多元函数对某个自变量进行偏微分得到的导数。

在学习这一部分内容时，我们需要掌握多元函数的定义与性质，了解偏导数的计算方法，并且能够求出函数的高阶偏导数。

二、重积分重积分是对二元函数或三元函数在一个区域上的积分运算。

在学习重积分时，我们需要了解二重积分和三重积分的定义与性质，掌握计算重积分的方法，包括直角坐标系下的计算和极坐标系、柱坐标系、球坐标系等其他坐标系的转换。

三、曲线与曲面积分曲线积分和曲面积分是对向量场在一条曲线上或者曲面上的积分运算。

在学习曲线与曲面积分时，我们需要了解曲线积分和曲面积分的定义与性质，学会计算第一类和第二类曲线积分以及曲面积分。

此外，还需要熟悉格林公式、高斯公式和斯托克斯公式等与曲线与曲面积分相关的重要定理。

四、无穷级数无穷级数是由无穷多个数相加或相乘而成的表达式。

在学习无穷级数时，我们需要了解级数的定义与性质，熟悉常见的数学级数，如几何级数、调和级数等，并学会判断级数的敛散性以及计算级数的和。

以上是大一下高数下册的主要知识点的归纳。

这些知识点在理工科专业中具有重要的作用，它们是我们后续学习更高级数学知识的基础。

在学习这些内容时，我们要注意理论和实际问题的结合，加强习题的练习，提高自己的计算和分析问题的能力。

通过对这些知识点的深入学习，我们将能够更好地应对以后的专业课程和研究工作。

总结起来，大一下高数下册的主要知识点包括多元函数与偏导数、重积分、曲线与曲面积分以及无穷级数。

掌握这些知识点对于理工科专业学生来说是至关重要的，它们是我们在数学领域进一步发展和应用的基础。

高等数学下册知识点归纳高等数学下册知识点归纳高等数学是数学各个分支中最重要的一门学科之一，包括微积分、线性代数、概率论、常微分方程等多个分支。

本文主要对高等数学下册中的主要知识点进行归纳概括，以方便学生复习和总结。

1. 多元函数微积分多元函数微积分是高等数学的重点内容之一，包括多元函数的极限、连续、可微、偏导数、全微分及其应用、重积分等知识。

其中，偏导数和全微分是多元函数微积分的基础，重积分则是其最具实际意义的应用之一。

2. 常微分方程常微分方程是一种描述自然现象和工程问题的重要数学模型，包括一阶和二阶常微分方程及其组合形式。

常微分方程的解法有解析法和数值法两种，解析法主要包括分离变量法、同解叠加法、常系数线性齐次方程组等方法。

数值法则包括欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格-库塔法等。

3. 线性代数线性代数是研究向量空间及其线性变换的数学分支，是数学领域中最重要的基础学科之一。

线性代数主要包括向量、矩阵及其运算、线性变换及其矩阵表示、特征值、特征向量以及相似矩阵等内容。

4. 概率论概率论是研究随机现象的概率和统计规律的一门学科，具有广泛的应用背景，包括生命科学、物理学、金融学等领域。

概率论主要包括概率空间、随机变量及其分布、多维随机变量及其联合分布、独立性、条件概率、贝叶斯公式、随机过程以及极限定理等内容。

5. 复变函数复变函数是指定义在复平面上的函数，是一种比实函数更为复杂的函数。

复变函数包括全纯函数及其导数、几何意义、级数展开、奇点、留数、调和函数以及边值问题等内容。

6. 傅里叶级数与变换傅里叶级数与变换是一种将非周期函数表示成一系列正弦和余弦函数或复指数函数的方法。

傅里叶级数是周期函数的展开，傅里叶变换是非周期函数的展开。

傅里叶级数和变换在信号处理、图像处理、量子力学等众多领域中有着广泛应用。

7. 向量场与曲线积分向量场与曲线积分是研究向量场在平面和空间中的性质以及曲线上的曲面积分的一门学科。

向量场主要研究向量函数在区域内的变化规律，曲线积分是将向量场沿着曲线的积分。

《高等数学》（下）（理工类）教学内容与要求一、考试时间：2014. 7. 4 （19周周五）上午9: 00-11: 00二、内容与要求（按章节）：第七章微分方程第一节：微分方程的基本概念要求：了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解的概念第二节：可分离变量的微分方程要求：掌握可分离变量的微分方程的求解方法第三节：齐次方程要求：掌握齐次方程的求解方法第四节：一阶线性微分方程要求：掌握一阶线性微分方程的求解方法第五节：可降阶的高阶微分方程要求：掌握前两种类型的高阶微分方程的降阶方法第六节：高阶线性微分方程要求：了解二阶线性微分方程解的结构。

第七节：常系数齐次线性微分方程要求：掌握二阶常系数线性齐次方程的解法。

第八章向量代数与空间解析几何第一节：向量及其线性运算要求：1、理解向量的概念，掌握向量、向量夹角的表示方法，了解向量的位置关系;2、掌握向量的线性运算及其运算律，掌握两个向量平行的充分必要条件；3、了解空间直角坐标系，掌握向量的坐标表达式；4、会利用向量的坐标表达式进行向量的线性运算；5、会计算向量的模及方向角，了解向量在轴上的投影及其性质。

第二节：数量积向量积混合积要求：掌握向量的数量积和向量积的运算及运算律，了解两向量垂直、平行的条件。

第三节：曲面及其方程要求：了解曲面方程的概念，会求旋转曲面的方程，了解柱面及其特征。

第四节：空间曲线及其方程要求：了解空间曲线的一般方程和参数方程，了解空间曲线在坐标面上的投影曲线。

第五节：平面及其方程要求：1、掌握平面的点法式方程和一般方程，了解平面的截距式方程；2、会求两平面的夹角，会判断两平面的位置关系，会计算平面外一点到平面的距离。

第六节：空间直线及其方程要求：1、了解空间直线的一般方程，掌握空间直线的对称式方程与参数方程；2、会求两直线及直线和平面的夹角，会判断直线与直线，直线与平面的位置关系；第九章多元函数微分法及其应用第一节：多元函数的基本概念要求：1、了解平面点集的相关概念；2、了解多元函数的概念及其表示，了解二元函数的几何意义，会求二元函数的定义域与函数值。

《高等数学》下册期末考试考前复习提纲第一部分 空间解析几何与向量代数一、向量代数 1、向量的概念 （1）向量的定义有大小有方向的线段a（自由向量） （2）向量的表示1）),,(z y x a a a a =， 为向量的直角坐标表示2）0a a a=，其中a 为向量的模（大小），222zy x a a a a ++= 0a 为a 的单位向量，0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a aαβγ==，)cos ,cos ,(cos γβα为a的方向余弦，1cos cos cos 222=++γβα注：若有两点：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则向量AB 为 212121{(),(),()}AB x x y y z z =--- 2、向量的运算 （1）线性运算),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+),,(z y x a a a a λλλλ=（2）数量积（标积，点积） 1）cos ,,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤2）z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅特例：当b a ⊥时，0=⋅b a（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积）1）0sin c b a c b a ϕ=≡⨯，b a ,与c为右手螺旋关系2）()()()xy z y z z y z x x z x y y x x y zij ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+- 特例：当b a//时，0=⨯b a ，或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==（两向量平行的判据）3、两点的间距公式212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式： 000222Ax By Cz Dd A B C+++=++平面π的点法式方程为： 0Ax By Cz D +++= 二、空间解析几何1、空间曲面与空间曲线 （1）方程曲面方程 0),,(=z y x F （三元方程）曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）常见的曲面与曲线1） 柱面—— 一直线l （母线）沿着一平面曲线C （准线）作平行于一定直线L 的移动所得的曲面 母线z //轴的柱面： 0),(=y x F母线y //轴的柱面： 0),(=x z F 母线x //轴的柱面： 0),(=z y F2） 旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面例22(,)00z y x yf y z x →±+=⎧−−−−−−−→⎨=⎩绕z 不变，旋转曲面0),(22=+±z y x f 3）空间螺旋线t k z a y a x ωθθθθ====,,cos ,sin4）二次曲面（三元二次方程）)(a 椭球面1222222=++cz b y a x椭球面与平行于坐标面平面的交线：→⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b y z c c a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(y y y b b c z y b b a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(x x x a a c zx a a b y 分别为在1z z =，1y y =与1x x =平面内的椭圆。