《高等数学》（下册）复习提纲
复 习 题
1．求与平面230x +y +z +=1π:及2310x +y z +=-2π:都平行且过点(1,0,1)P -的直线方程。 2．求与直线240,:2320.
x +y z +=l x +y +z =-⎧⎨
-⎩垂直，且过点P(-1,0,1)的平面方程。
3．函数)
1ln(4)2arcsin(2
2
2
y x y
x x z ---+
=的定义域为 。
4．求极限：xy
xy y x 42lim
+-
→→。 5．证明极限
2
(,)(0,)
lim x y x y x
→- 0不存在。
6．计算偏导数：（1）x
y z arcsin
=，求
2
2
z x
∂∂；
（2）设 ),(2
x
y x f y z =，求
z z x y
∂∂∂∂，。
7．求x
y e z =在点（1，2）的全微分。 8．设y
z z x ln
=，求 ,
z z x y ∂∂∂∂。
9．求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面及法线方程。
10．求曲线22230,
23540.x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩
在点)1,1,1(处的切线和法平面方程。
11．求函数222u x y z =++在曲线32 , ,t z t y t x ===点)1,1,1(处沿曲线在该点的切线正向的
方向导数。
12．求(,,)sin()f x y z xyz xyz =的梯度。
13．求椭圆2225160x xy y y ++-=到直线80x y +-=的最短距离。 14．交换积分次序：⎰
⎰-2
2
1
0 ),(y y
dx y x f dy 。
15．计算积分：(1)sin D
x dxdy x
⎰⎰
，其中D 是由直线y x =及抛物线2
y x =所围成的区域；
(2)dxdy y x D
⎰⎰
+2
2，D ：}2|),{(2
2
y y
x y x ≤+；
(3)⎰⎰⎰Ω
+dv z x )(， Ω：球面2224x y z ++=与抛物面22
3x y z +=所围成的区域。
16．设)(x f 连续，2)(10
=⎰dx x f ，求⎰⎰10
1
)()(x
dy y f x f dx 。
17
．求曲面2z =-2
2
y x
z +=所围的立体体积。
18．计算积分：(1)⎰+L
ds y x )(2
2
，L 为下半圆周21x y --=；
(2)dy y x dx y xy L
)()(2
2++-⎰，L 为抛物线2
x y =从（0，0）到（1，1）的一段有向弧；
(3)dy x y e dx y x y e x
L
x )cos ()sin (-+--⎰，其中L 是在圆周2
2x
x y -=
上由点
(2,0)到(0,0)的一段弧。
19．验证()dy y xy y x dx y xy x )33(35222324+-+-+某一函数的全微分，并求这样的一个
函数(),u x y 。 20
．求锥面z =
被柱面x y x 22
2=+所截得的有限部分的曲面面积。
21．计算曲面积分：(1)⎰⎰∑
++ds z y x )(，∑为球面1222=++z y x 上2
1≥
z 的部分；
(2) dxdy y x xdydz z y )()(-+-⎰⎰∑
，其中∑是)30(122≤≤=+z y x 与3,1==z z 所
围成的封闭曲面的外侧；
(3) zdxdy dydz z x ++⎰⎰∑
)2(，其中∑是曲面)10(22≤≤+=z y x z 的下侧。
22．用高斯公式计算曲面积分：zdxdy dydz z x ++⎰⎰∑
)2(，其中∑是旋转抛物面锥面
)10(2
2≤≤+=z y x z 的下侧。
23．在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族x a y sin = (0)a >中，求一条曲线L ，使得沿该曲线
从点O 到点A 的积分3(1)(2)L
y dx x y dy +++⎰的值为最小。
24. 判定敛散性：(1))1cos
1(1
∑∞
=-n n
； (2)∑∞
=--11
1sin )
1(n n n
； (3))11ln(1)1(1n n n n
+-∑∞
=。 25. 判定级数条件收敛、绝对收敛：(1)∑∞
=--1
11sin
)1(n n n
； (2))11ln(1)1(1
n
n
n n
+
-∑∞
=。
26. 求幂级数的收敛域及和函数：(1)∑∞
=+0
1
n n
n x
； (2)11
)1(-∞
=∑+n n x n n 。
27. 将
2
312
++x x 和x e x )4(+分别展成4+x 的幂级数。
28．将x x f =)()0(π≤≤x 分别展开成正弦级数和余弦级数。 29．求微分方程的通解：(1)x
e
x y y y --=-'-'')1(32； (2)x e y y y x
2cos 52=+'-''。
30．求微分方程的特解：20, (0)0, (0)1y y y y y ''''++===。
31．设曲线积分⎰+c
dy x f dx x yf )]()(在右半平面(0)x >内与路径无关，其中()f x 可导，且
(1)1f =，求()f x 。
