6排列组合与二项式定理——04年~18年湖南对口高考数学

概率历年高考题一、选择题校分配1名医生和2名护士，不同的方法有（ ）A 、540B 、270C 、180D 、902、（2004）5人站成一排照相，其中甲、乙二人必须相邻，则不同的排法有（ ）A 、24B 、48C 、60D 、723、（2005）从1、2、3、4、。

9中任取两个奇数和两个偶数排成没有重复数字的四位数，其个数为（ ）A 、1440B 、2880C 、720D 、都不对4、（2006）某种小麦发芽的概率是0.8，在一次试验的5粒种子中恰恰有4粒发芽的概率是（ ）A 、()1410.80.8⨯-B 、()4110.80.8⨯-C 、()44110.80.85C ⨯-D 、()14410.80.85C ⨯- 5、（2006）从1、2、3中任取两个数组成无重复数字的两位数的个数是（ ）A 、2B 、4C 、6D 、86、（2007）从1、2、3、4、5中任取两个数组成无重复数字的两位偶数的个数（ ）A 、20B 、6C 、8D 、107、（2007）从集合A={1、2、3、4、5、6}中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率为（ ）A 15 B 110 C 25 D 128、（2008）甲乙两队进行行篮球赛，甲队获胜的概率为０,6，如果比赛三场，甲队恰 好胜两场的概率是（ ）A ．0,62B ．0,62⨯0,4C ．3⨯0,62⨯0,4D ．3⨯0,6⨯0,429、（2008）4名学生争夺３项比赛冠军（无并列），获得冠军的可能性的种数为（ ）A ．３４B ．４３C ．34CD ．34P 10、（2009）现有5套经济适用房分给4户居民，（每户只能拥有一套），则所有分法种数为（ ）A 、5！B 、20C 、45D 、5411、（2010）5个人站成一排，甲、乙两人之间无其它人的排法有（ ）种。

A 、48B 、24C 、120D 、144二、填空题1、（2000）3名学生坐在一排7个座位上，若每人左右两边都有空座位，则不同的坐法种数是 。

排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。

湖南省2018年高考对口招生考试数学真题及参考答案湖南省2018年普通高等学校对口招生考试数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共4页,时量120分钟,满分120分一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则A ∩B=（ ） A.{1,2,3,4,5,6} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{1,2,5,6}2. “92=x ”是“3=x ”的（ ） A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数x x y 22-=的单调增区间是（ ）A.(-∞,1]B. [1,+∞)C.(-∞,2]D.[0,+∞)4.已知53cos -=α, 且α为第三象限角,则tan α=（ ）A.34 B.43 C.43- D.34- 5.不等式112>-x 的解集是（ ） A.{0|<x x } B.{1|>x x }C.{10|<<x x }D.{10|><x x x 或}6.点M 在直线01243=-+y x 上，O 为坐标原点,则线段OM 长度的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 2512D. 5127.已知向量a ，b 满足7=a ，12=b ,42-=∙b a ,则向量a ,b的夹角为（ ）A. ︒30B. 60°C. 120°D. 150° 8.下列命题中,错误．．的是（ ） A. 平行于同一个平面的两个平面平行 B. 平行于同一条直线的两个平面平行 C. 一个平面与两个平行平面相交,交线平行D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交 9.已知︒=15sin a ，︒=100sin b ，︒=200sin c ,则c b a ,,的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b c a <<C. a b c <<D. b a c << 10.过点(1,1)的直线与圆422=+y x 相交于A ，B 两点,O 为坐标原点,则OAB ∆面积的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 3D. 23二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 某学校有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该学校学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取男生的人数为 . 12. 函b x x f +=cos )((b 为常数)的部分图像如图所示,则b = .13.6)1(+x 的展开式中5x 的系数为 (用数字作答)14.已知向量a =(1,2),b =(3,4),c =(11,16),且c =a x +b y,则=+y x .15.如图,画一个边长为4的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,依次类推,这样一共画了10个正方形.则第10个正方形的面积为 .三、解答题(本大题共7小题,其中第21，22小题为选做题.满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.(本小题满分10分)已知数列{n a }为等差数列,1a =1,3a =5，（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设数列{n a }的前n 项和为n S . 若n S =100，求n . 17.(本小题满分10分）某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格,从中随机抽取2瓶检测.用ξ 表示取出饮料中不合格的瓶数.求 (Ⅰ)随机变量ξ的分布列； (Ⅱ)检测出有不合格饮料的概率. 18.(本小题满分10分)已知函数)3(log )(-=x x f a )1,0(≠>a a 且的图像过点(5，1) (Ⅰ)求)(x f 的解析式，并写出)(x f 的定义域；(Ⅱ)若1)(<m f ,求m 的取值范围 19.(本小题满分10分)如图,在三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥底面ABC ，BC AB AA ==1，=∠ABC 90°,D 为AC 的中点.(I)证明:BD ⊥平面C C AA 11；(Ⅱ)求直线1BA 与平面C C AA 11所成的角.20.(本小题满分10分)已知椭圆:C 12222=+by ax (0>>b a )的焦点为1F (-1,0)、2F (1,0),点A (0,1)在椭圆C 上.(I)求椭圆C 的方程；(II) (Ⅱ)直线l 过点1F 且与1AF 垂直,l 与椭圆C 相交于M ，N 两点,求MN 的长.选做题:请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做,则按所做的第21题计分,作答时,请写清题号. 21.(本小题满分10分) 如图,在四边形ABCD 中,6==CD BC ，4=AB ,=∠BCD 120°, =∠ABC 75°,求四边形ABCD 的面积.22. (本小题满分10分)某公司生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲产品可获利润4万元,生产1吨乙产品可获利润5万元.问:该公司如何规划生产,才能使公司每天获得的利润最大?参考答案一、选择题：1. C2. B3. B4. A5. D6. D7. C8. B9. D 10. A 二、填空题：11. 25 12. 2 13. 6 14. 5 15.321 三、解答题16.解： （Ⅰ）数列{n a }为等差数列,1a =1,3a =5⇒公差d=21315=-- 故12)1(21-=-+=n n a n （Ⅱ）∵等差数列{n a }的前n 项和为n S ，n S =100)(21n n a a nS +=∴100)121(2=-+n n∴10=n17. 解：（Ⅰ）ξ的可能取值有0，1，2P （0=ξ）=52260224=⋅C C C P （1=ξ）=158261214=⋅C C CP （2=ξ）=151262204=⋅C C C故随机变量ξ的分布列是：（Ⅱ）设事件A 表示检测出的全是合格饮料，则A 表示有不合格饮料检测出的全是全格饮料的概率=)(A P 52260224=⋅C C C故检测出有不合格饮料的概率53521)(=-=A P18. 解：（Ⅰ）∵函数)3(log )(-=x x f a )1,0(≠>a a 且的图像过点(5，1) ∴12log =a ∴2=a)3(log )(2-=x x f 有意义，则03>-x∴ 3>x函数)3(log )(2-=x x f 的定义域是),3(+∞(Ⅱ)∵)3(log )(2-=x x f ，1)(<m f∴2log 1)3(log 22=<-m∴23<-m ∴5<m又)3(log )(2-=x x f 的定义域是),3(+∞，即3>m∴53<<mm 的取值范围是（3，5）19. （Ⅰ）证明：∵在三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥底面ABC ∴1AA ⊥BD又BC AB =，=∠ABC 90°,D 为AC 的中点. ∴BD ⊥AC 而A AC AA = 1 ∴ BD ⊥平面C C AA 11(Ⅱ)由（Ⅰ）可知：BD ⊥平面C C AA 11 连结D A 1，则D BA 1∠是直线1BA 与平面C C AA 11所成的角在BD A Rt 1∆中，AB AC BD 2221==，AB B A 21=∴21sin 11==∠B A BD D BA ∴301=∠D BA即直线1BA与平面C C AA 11所成的角是30. 20. 解：（Ⅰ）∵椭圆:C 12222=+by ax (0>>b a )的焦点为1F (-1,0)、2F (1,0)∴1=c又点A (0,1)在椭圆C 上 ∴12=b∴211222=+=+=c b a ∴椭圆C 的方程是1222=+y x(Ⅱ)直线1AF 的斜率11=AF k而直线l 过点1F 且与1AF 垂直 ∴直线l 的斜率是1-=k 直线l 的方程是1--=x y由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=12122y x x y 消去y 得：0432=+x x设),(11y x M ，),(22y x N ，则3421-=+x x ，021=⋅x x 344)(2122121=-+=-x x x x x x2343421212=⨯=-+=x x k MN即MN 的长是234 21. 解：如图，连结BD在BCD ∆中，6==CD BC ，=∠BCD 120°，由余弦定理得：BCD CD BC CD BC BD ∠⋅⋅-+=cos 2222 )21(6626622-⨯⨯⨯-+=362⨯= 36=BD四边形ABCD 的面积ABCD S 四边形=ABD S ∆∆+BCD S =ABD BD BA BCD CD BC ∠⋅⋅+∠⋅⋅sin 21sin 21 =45sin 36421120sin 6621⨯⨯+⨯⨯⨯=2236421236621⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ =6639+22.解：设公司每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，才能使公司获得的利润z 最大，则y x z 54+=，x 、y 满足下列约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥12238200y x y x y x作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图中的阴影部分，四边形ABOC 作直线x y 54-=及其平行线l ：554z x y +-=，直线l 表示斜率为54-，纵截距为5z 的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎨⎧=+=+122382y x y x 得)3,2(A ∴ 233524max =⨯+⨯=z 万元即当公司每天生产甲产品2吨，乙产品3吨时，公司获得的利润最大，最大利润为23万元.。

专题05排列组合与二项式定理考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1排列组合综合（10年8考）2024·全国甲卷、2023·全国甲卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2021·全国甲卷、2021·全国甲卷、2020·海南卷、2020·山东卷、2019·全国卷、2017·全国卷、2016·全国卷、2016·四川卷、2016·全国卷1.理解、掌握排列与组合的定义，会计算排列数与组合数，熟练掌握排列组合的解题方法排列组合是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，需重点复习2.理解、掌握二项式定理的通项公式，会相关基本量的求解，会三项式、乘积式的相关计算二项式定理是新高考卷的常考内容，一般考查二项式系数和、系数和、求给定项的二项式系数或系数及相关最大（小）项计算，需重点强化复习考点2二项式定理综合（10年8考）2024·北京卷、2022·北京卷、2020·北京卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2018·全国卷、2017·全国卷、2017·全国卷、2016·四川卷、2015·全国卷、2015·陕西卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷考点01排列组合综合1．（2024·全国甲卷·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率81=243P =.解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=.故选：B2．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A ．120B ．60C ．30D ．20【答案】B【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种.故选：B.3．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有24C 6=件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有1122C C 4=，所以这2名学生来自不同年级的概率为4263=.故选：D.4．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种【答案】C【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分步乘法公式则共有1265C A 120⋅=种，故选：C.5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．A ．4515400200C C ⋅种B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种【答案】D【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600⨯=人，高中部共抽取2006020600⨯=，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种.故选：D.6．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B7．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概率2172213 P-==.故选：D.8．（2021·全国乙卷·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有2 54!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.9．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610，故选：C.10．（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】C【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.11．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.12．（2020·山东·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.13．（2019·全国·高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．14．（2017·全国·高考真题）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D【详解】4项工作分成3组,可得：24C =6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：36363A ⨯=种．故选D.15．（2016·全国·高考真题）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A ．24B ．18C ．12D ．9【答案】B【详解】解：从E 到F ，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E 到F 最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C 42C 22＝6种走法．同理从F 到G ，最短的走法，有C 31C 22＝3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．故选B ．【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．16．（2016·四川·高考真题）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A ．24B ．48C ．60D ．72【答案】D【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为44372A =，故选D.【考点】排列、组合【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．17．（2016·全国·高考真题）定义“规范01数列”{an }如下：{an }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个【答案】C【详解】试题分析：由题意，得必有10a =，81a=，则具体的排法列表如下：,01010011;010101011,共14个【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到出奇制胜的效果．考点02二项式定理综合1．（2024·北京·高考真题）在(4x x 的展开式中，3x 的系数为（）A ．6B ．6-C ．12D ．12-【答案】A【分析】写出二项展开式，令432r-=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】(4x x 的二项展开式为(()()442144C C1,0,1,2,3,4r rrr rrr T x xxr --+==-=，令432r-=，解得2r =，故所求即为()224C 16-=.故选：A.2．（2022·北京·高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-【答案】B【分析】利用赋值法可求024a a a ++的值.【详解】令1x =，则432101a a a a a ++++=，令=1x -，则()443210381a a a a a -+-+=-=，故420181412a a a +++==，故选：B.3．（2020·北京·高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（）．A ．5-B ．5C ．10-D ．10【答案】C【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可.【详解】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrrr r T CC x --+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4．（2020·全国·高考真题）25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515r rrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r rr C xy -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+=故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.5．（2019·全国·高考真题）（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．6．（2018·全国·高考真题）522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【详解】分析：写出103152r r rr T C x -+=⋅⋅，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrrr r r r T C xC x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C ⋅⋅==故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．7．（2017·全国·高考真题）(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80【答案】C【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.8．（2017·全国·高考真题）621(1)x x++展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中2x 的系数．【详解】因为6662211(1)(1)(1)(1)x x x x x ++=++⨯+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226C 15x x =；621(1)x x⨯+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x ⨯=，故2x 的系数为151530+=，故选：C ．9．（2016·四川·高考真题）设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为()A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4【答案】A【详解】试题分析：二项式6()x i +的展开式的通项为616r r r r T C xi -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为2424615C x i x =-，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6()x i +可以写为6()i x +，则其通项为66r r r C i x -，则含4x 的项为46444615C i x x -=-．10．（2015·全国·高考真题）()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为A ．10B ．20C ．30D ．60【答案】C【详解】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选C.考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.11．（2015·陕西·高考真题）二项式()()1n x n N *+∈的展开式中2x 项的系数为15，则n =A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【详解】二项式()1n x +的展开式的通项是1C r rr n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．12．（2015·湖南·高考真题）已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于（）．AB ．C ．6D ．6-【答案】D 【详解】5215C 1r r r r r T a x -+=-()，令1r =，可得530a -=解得6a =-.故选：D.【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题.13．（2015·湖北·高考真题）已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A ．122B ．112C ．102D ．92【答案】D【详解】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．。

湖南省 2018 年普通高等学校对口招生考试数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 4 页。

时量 120 分钟。

满分120 分一． 选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合 A={1,2,3,4} ， B={3,4,5,6} ，则 ( )A.{1,2,3,4,5,6}B.{2,3,4}C.{3,4}D.{1,2,5,6} 2. “ x 2 9 是 x 3的( ) 条件A. 充分必要B. 必要不充分C. 充分不必要D.既不充分也不必要3. 函数 y x 22 x 的单调增区间是 ( )A. (,1] B. [1, )C. ( , 2]D.[0, )4. 已知 cos3 ，且 为第三象限角，则 tan =( )A.45334B.C. D.3 4435. 不等式 | 2 x 1| 1的解集是 ()A. { x | x 0}B.{x | x 1}C.{ x | 0 x 1} D. { x | x 0 或 x 1}6. 点 M 在直线 3x+4y-12=0 上， O 为坐标原点，则线段 OM 长度的最小值是 ()A.3B.4C.12D.122557. 已知向量 a 、 b 满足 | a | 7,| b | 12 , a b 42 , 则向量 a 、 b 的夹角为 ()A.30 °B.60 °C.120° D.150°8. 下列命题中，错误 的是 ( )．．A. 平行于同一个平面的两个平面平行B. 平行于同一条直线的两个平面平行C. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交9．已知 a sin 15 , b sin 100 , c sin 200 , 则 a,b,c 的大小关系为 ( )A. a b cB.a c bC.c b aD.c a b面积的最10. 过点（ 1,1 ）的直线与圆x 224相交于A,B 两点，O 为坐标原点，则△大值为 ()yOABA.2B.4C.3D. 2 3二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）11. 某学校有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该学校学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取男生的人数为 ______。

湖南2018年高考对口招生测验数学真题及参考答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：湖南省2018年普通高等学校对口招生考试数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共4页,时量120分钟,满分120分一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则A ∩B=（ ） A.{1,2,3,4,5,6} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{1,2,5,6}2. “92=x ”是“3=x ”的（ ） A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数x x y 22-=的单调增区间是（ ）A.(-∞,1]B. [1,+∞)C.(-∞,2]D.[0,+∞)4.已知53cos -=α, 且α为第三象限角,则tan α=（ ）A.34B.43C.43-D.34-5.不等式112>-x 的解集是（ ） A.{0|<x x } B.{1|>x x } C.{10|<<x x } D.{10|><x x x 或}6.点M 在直线01243=-+y x 上，O 为坐标原点,则线段OM 长度的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 2512D. 5127.已知向量a ，b 满足7=a ，12=b ,42-=•b a ,则向量a ,b的夹角为（ ）A. ︒30B. 60°C. 120°D. 150° 8.下列命题中,错误．．的是（ ） A. 平行于同一个平面的两个平面平行 B. 平行于同一条直线的两个平面平行 C. 一个平面与两个平行平面相交,交线平行D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交 9.已知︒=15sin a ，︒=100sin b ，︒=200sin c ,则c b a ,,的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b c a <<C. a b c <<D. b a c << 10.过点(1,1)的直线与圆422=+y x 相交于A ，B 两点,O 为坐标原点,则OAB ∆面积的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 3D. 23二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 某学校有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该学校学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取男生的人数为 .12. 函b x x f +=cos )((b 为常数)的部分图像如图所示,则b = .13.6)1(+x 的展开式中5x 的系数为 (用数字作答)14.已知向量a =(1,2),b =(3,4),c =(11,16),且c =a x +b y,则=+y x .15.如图,画一个边长为4的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,依次类推,这样一共画了10个正方形.则第10个正方形的面积为 .三、解答题(本大题共7小题,其中第21，22小题为选做题.满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.(本小题满分10分)已知数列{n a }为等差数列,1a =1,3a =5， （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设数列{n a }的前n 项和为n S . 若n S =100，求n . 17.(本小题满分10分）某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格,从中随机抽取2瓶检测.用ξ 表示取出饮料中不合格的瓶数.求 (Ⅰ)随机变量ξ的分布列； (Ⅱ)检测出有不合格饮料的概率. 18.(本小题满分10分)已知函数)3(log )(-=x x f a )1,0(≠>a a 且的图像过点(5，1) (Ⅰ)求)(x f 的解析式，并写出)(x f 的定义域； (Ⅱ)若1)(<m f ,求m 的取值范围 19.(本小题满分10分)如图,在三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥底面ABC ，BC AB AA ==1，=∠ABC 90°,D 为AC 的中点.(I)证明:BD ⊥平面C C AA 11；(Ⅱ)求直线1BA 与平面C C AA 11所成的角.20.(本小题满分10分)已知椭圆:C 12222=+by ax (0>>b a )的焦点为1F (-1,0)、2F (1,0),点A (0,1)在椭圆C 上.(I)求椭圆C的方程；AF垂直,l与椭圆C相交于M，N两点, (II)(Ⅱ)直线l过点1F且与1求MN的长.选做题:请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做,则按所做的第21题计分,作答时,请写清题号.21.(本小题满分10分)如图,在四边形ABCD中,∠BCD120°,BC，4=6=CD=AB,=∠ABC75°,求四边形ABCD的面积.=22.(本小题满分10分)某公司生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲产品可获利润4万元,生产1吨乙产品可获利润5万元.问:该公司如何规划生产,才能使公司每天获得的利润最大?甲乙原料限额A（吨） 1 2 8B（吨） 3 2 12参考答案一、选择题：1. C2. B3. B4. A5. D6. D7. C8. B9. D 10. A 二、填空题：11. 25 12. 2 13. 6 14. 5 15.321 三、解答题16.解： （Ⅰ）数列{n a }为等差数列,1a =1,3a =5⇒公差d=21315=-- 故12)1(21-=-+=n n a n（Ⅱ）∵等差数列{n a }的前n 项和为n S ，n S =100)(21n n a a nS +=∴100)121(2=-+n n∴10=n17. 解：（Ⅰ）ξ的可能取值有0，1，2P （0=ξ）=5226224=⋅C C C P （1=ξ）=158261214=⋅C C CP （2=ξ）=151262204=⋅C C C故随机变量ξ的分布列是：ξ12P52158151（Ⅱ）设事件A 表示检测出的全是合格饮料，则A 表示有不合格饮料检测出的全是全格饮料的概率=)(A P 52260224=⋅C C C故检测出有不合格饮料的概率53521)(=-=A P18. 解：（Ⅰ）∵函数)3(log )(-=x x f a )1,0(≠>a a 且的图像过点(5，1) ∴12log =a ∴2=a)3(log )(2-=x x f 有意义，则03>-x∴ 3>x函数)3(log )(2-=x x f 的定义域是),3(+∞(Ⅱ)∵)3(log )(2-=x x f ，1)(<m f∴2log 1)3(log 22=<-m∴23<-m ∴5<m又)3(log )(2-=x x f 的定义域是),3(+∞，即3>m∴53<<mm 的取值范围是（3，5）19. （Ⅰ）证明：∵在三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥底面ABC ∴1AA ⊥BD又BC AB =，=∠ABC 90°,D 为AC 的中点. ∴BD ⊥AC 而A AC AA = 1 ∴ BD ⊥平面C C AA 11(Ⅱ)由（Ⅰ）可知：BD ⊥平面C C AA 11 连结D A 1，则D BA 1∠是直线1BA 与平面C C AA 11所成的角在BD A Rt 1∆中，AB AC BD 2221==，AB B A 21= ∴21sin 11==∠B A BD D BA∴ 301=∠D BA即直线1BA与平面C C AA 11所成的角是 30. 20. 解：（Ⅰ）∵椭圆:C 12222=+b y a x (0>>b a )的焦点为1F (-1,0)、2F (1,0)∴1=c 又点A (0,1)在椭圆C 上∴12=b∴211222=+=+=c b a ∴椭圆C 的方程是1222=+y x(Ⅱ)直线1AF 的斜率11=AF k而直线l 过点1F 且与1AF 垂直 ∴直线l 的斜率是1-=k直线l 的方程是1--=x y由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=12122y x x y 消去y 得：0432=+x x设),(11y x M ，),(22y x N ，则3421-=+x x ，021=⋅x x344)(2122121=-+=-x x x x x x2343421212=⨯=-+=x x k MN 即MN 的长是234 21. 解：如图，连结BD在BCD ∆中，6==CD BC ， =∠BCD 120°，由余弦定理得：BCD CD BC CD BC BD ∠⋅⋅-+=cos 2222)21(6626622-⨯⨯⨯-+=362⨯= 36=BD四边形ABCD 的面积ABCD S 四边形=ABD S ∆∆+BCD S=ABD BD BA BCD CD BC ∠⋅⋅+∠⋅⋅sin 21sin 21=45sin 36421120sin 6621⨯⨯+⨯⨯⨯ =2236421236621⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=6639+ 22.解：设公司每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，才能使公司获得的利润z 最大，则y x z 54+=，x 、y 满足下列约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥12238200y x y x y x作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图中的阴影部分，四边形ABOC作直线x y 54-=及其平行线l ：554z x y +-=，直线l 表示斜率为54-，纵截距为5z 的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎨⎧=+=+122382y x y x 得)3,2(A ∴ 233524max =⨯+⨯=z 万元即当公司每天生产甲产品2吨，乙产品3吨时，公司获得的利润最大，最大利润为23万元.。

精品学案：排列，组合和二项式定理高考大纲对排列，组合和二项式定理这一章的考试内容及考试要求为： 1．分类计数和分步计数原理； 2．排列组合公式3．组合组合数公式和组合数的两个性质 4．二项式定理和二项式展开式 考试要求掌握分类计数和分步计数原理，并能用他们解决一些简单的应用问题。

理解排列的意义，掌握排列的计数公式，并能用他解决一些简单的应用问题。

理解组合的意义，掌握组合的计数公式，并能用他解决一些简单的应用问题。

掌握二项式定理和他的展开式的性质，并能用他计算和证明一些简单的应用问题。

要点一计数原理1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法 要点二排列1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示3．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）和m n A =!()!n n m -4阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．要点三组合1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=,,(n m N m n ≤∈*且4组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；2：m n C 1+＝m n C +1-m n C要点四二项式定理1．正确理解二项式展开式中的第r ＋1项，第r ＋1项的二项式系数，第r ＋1项的系数之间的差别．2．二项系数的性质问题求二项式系数最大的项，可直接根据二项式系数的增减性与最大值性质，当为n 奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，若求系数最大的项，则要根据各项系数的正、负变化情况并采用列不等式组、比较系数法求解．3．二项式的某项系数问题该问题解法多样，既可化归为二项式问题求解，又可从组合角度求解，一般地，三项式（a ＋b＋c）n的展开式中，a p b q c r的系数为4．赋值法在二项展开式中的运用赋值法的模式是：对任意的x∈A，某式子恒成立，那么对A中的特殊值，该式子一定成立．特殊值如何选取？视具体问题而定，没有一成不变的规律，它的灵活性较强，一般x0＝0， 1，－1取较多．一般地，多项式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为1[(1)(1)]2f f--，偶次项系数和为1[(1)(1)]2f f+-．如二项式系数性质。

2004年高考《排列组合二项式定理概率统计》试题全集1、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽 江西文科（11）5分 】从1，2， (9)九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（C ）A ．95B ．94C ．2111D ．2110 2、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽 江西)理科（11）5分】从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（D ）A ．12513B ．12516C ．12518D ．12519 3、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽 江西)文科（20）12分】从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求：（I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.【（Ⅰ）65；（Ⅱ）1254】 4、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽 江西)理科（18）12分】一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.【P(ξ=0)=0.09，P(ξ=1)＝0.3，P(ξ=2)=0.37，P(ξ=3)=0.2，P(ξ=4)=0.04； E ξ=1.8】5、【全国Ⅱ卷文12理12四川等】在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（C ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个6、【全国Ⅱ卷理13四川等】从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有ξ7、【全国Ⅱ卷文19理18四川等】已知8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8 支球队分为A 、B 两组，每组4支，Ⅰ.A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；Ⅱ.A 组中至少有两支弱队的概率。

精品文档湖南省2018年普通高等学校对口招生考试数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共4页,时量120分钟,满分120分一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则A∩B=（）A.{1,2,3,4,5,6}B.{2,3,4}C.{3,4}D.{1,2,5,6}23x?9x?）”的（ 2. “”是“必要不充分条件A.充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.2xx2?y?函数3.）的单调增区间是（∞∞,2] D.[0,+)) C.(-A.(-∞,1] B. [1,+∞3??cos???）4.已知=（ , 且,为第三象限角则tan54433?? C. A. B. D.44331??2x1的解集是（不等式）5.1|?x|x0xx?} A.{} B.{1xx|??x0或1?0x|x?}} D.{C.{精品文档．精品文档0?y?123x?4OMO M长度的在直线为坐标原点,上，则线段点6. ）最小值是（1212 A. 3 B. 4 C. D. 525????????12b?7a?b?42ba?b?aa的夹,,，7.已知向量则向量，满足, ）角为（?30 D. 150°° C. 120A. ° B. 60 ）错误下列命题中,的是（ 8.．．平行于同一个平面的两个平面平行A. 平行于同一条直线的两个平面平行B.交线平行C. 一个平面与两个平行平面相交, 则必与另一个相交D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交,c,b,a?200c?sinsina?sin15?b?100?的大小关系为,，则，9.已知）（b?ac?abca?c?c?b?ba?? A. B. D. C. 224?y?xO BA为坐标原，10.过点(1,1)的直线与圆相交于,两点OAB?）面积的最大值为（点,则33A. 2 B. 4 C. D. 2二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)精品文档．精品文档11.某学校有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该学校学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取男生的人数为 .f(x)?cosx?bbb= .则12.函)的部分图像如图所示(,为常数6)?1(x13.展开式的5x的系中数为用数()字作答??????bybacaxc则,且=14.已知向量=(1,2),+=(3,4),=(11,16),??yx .再将这个正方形各边的中点相连,画一个边长为4的正方形,15.如图个则第.10个正方形这样一共画了依次类推个正方形得到第2,,10 .正方形的面积为精品文档．精品文档60满分22，小题为选做题.本大题共7小题,其中第21(三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分,)分16.(本小题满分10aaa，}为等差数列,=5=1,已知数列{31n a }的通项公式；（Ⅰ）求数列{n SaS nn. 若{}的前=100项和为，求 . （Ⅱ）设数列nnn分）17.(本小题满分10 .用,从中随机抽取2瓶检测瓶不合格6某种饮料共瓶，其中有2?求表示取出饮料中不合格的瓶数. 随机变量)的分布列；(Ⅰ?. 检测出有不合格饮料的概率(Ⅱ))分本小题满分18.(10精品文档．精品文档f(x)?log(x?3)(a?0,且a?1)的图像过点(5，1) 已知函数a f(x)f(x)的定义域；的解析式，并写出Ⅰ)求 (f(m)?1m的取值范围若,求(Ⅱ)19.(本小题满分10分)ABC?ABCAAAA?AB?BCABC，,在三棱柱中，，⊥底面如图11111?ABC?AC D的中点,.为90°AACC BD；(I)证明: ⊥平面11BAAACC所成的角. (Ⅱ)求直线与平面111精品文档．精品文档20.(本小题满分10分)22yx?1?FF0?a?b:C(1,0),(已知椭圆(-1,0))的焦点为、2122ba A(0,1)在椭圆C点上.C的方程； (I)求椭圆FAFCll M，且与与椭圆垂直,(II)(Ⅱ)直线过点相交于11NMN的长求.两点,选做题:请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做,则按所做的第21题计分,作答时,请写清题号.21.(本小题满分10分)ABCDBC?CD?6?BCD?4AB?120°，,,如图在四边形中，,?ABC?ABCD的面积.,75°求四边形精品文档．精品文档22.)10分(本小题满分23.BA吨已知生产1两种原料某公司生产甲、乙两种产品均需用.，吨1每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产该公问:.生产1吨乙产品可获利润5万元4甲产品可获利润万元,?,才能使公司每天获得的利润最大司如何规划生产精品文档．。

专题 30 排列组合、二项式定理（理）年 份题号 考 点考 查 内 容2011 理 8 二项式定理 二项式定理的应用，常数项的计算 2023 理 2排列与组合 简单组合问题卷 1 理 9 二项式定理 二项式定理的应用以及组合数的计算 2023卷 2理 5 二项式定理 二项式定理的应用 卷 1 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算2023卷 2 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 10 二项式定理 三项式展开式系数的计算2023卷 2 理 15 二项式定理 二项式定理的应用卷 1 理 14 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算 卷 2 理 5 排列与组合 计数原理、组合数的计算2023卷 3理 12 排列与组合 计数原理的应用 卷 1 理 6 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 2 理 6 排列与组合 排列组合问题的解法2023卷 3理 4 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 15 排列与组合 排列组合问题的解法2023 卷 3 理 5 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算2023卷 3 理 4 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 卷 1 理 8 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2023 卷 3理 14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2023 年预测考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次 考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次 考点 104 组合问题的求解23 次考 4 次 考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次 考点 106 二项式定理23 次考 11 次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原 理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点102 两个计数原理的应用1．(2023 全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9（答案）B（解析）由题意可知E →F 有6 种走法，F →G 有3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 ⨯ 3 = 18 种走法，应选B．2．(2023 新课标理1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.18B.3824 - 2 7C.58D.78（答案）D（解析）P ==．24 83．(2023 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4 位回文数有个；(Ⅱ) 2n +1 (n ∈N+) 位回文数有个．（解析）(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第—位不能为0，有9(1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4 位回文数有9 ⨯10 = 90 种．答案：90(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发觉，2n +1 位回文数和2n + 2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n + 2位回文数的个数．2n + 2 位回文数只用看前n +1位的排列情况，第—位不能为0 有9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为9 ⨯10n ．解法二：可以看出2 位数有9 个回文数，3 位数90 个回文数。