当前位置：文档之家 › 浅水方程推导教学提纲

浅水方程推导教学提纲

  • 格式：doc
  • 大小：245.50 KB
  • 文档页数：7

浅水方程推导
1. 浅水方程推导
将三维的基本方程沿水深积分平均，即可得到沿水深平均的平面二维流动基本方程。

定义水深为0H Z ζ=-， ζ、0Z 为基准面下液面水位和河床高程
x
定义沿水深平均流速i U 为：0
1i i z U u dz H
ζ
=⎰
引用莱布尼兹公式
a
b
b
a
b
a
i
i
i
i
f
b a f dz dz f f x x x x ∂∂∂∂=+-∂∂∂∂⎰
⎰
自由表面及底部运动学条件
0000
z x y z z z z
x
y
z z z z z z d u u u dt t x
y
d z z z z u u u dt t x
y
ζζζ
ζζζζ
======∂∂∂=
=++∂∂∂∂∂∂==++∂∂∂
以x 方向为例三维流动的运动方程沿水深平均为
02
222221()()()()0y x x z x x x y x z t z u u u u p
u u u u u u dz t x y z x x y z ζ
υρ⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂∂++++-++=⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎣
⎦⎰非恒定项积分
00000x x x x z z z z z x x x
z z z u z dz u dz u u t t t t HU z u u t t t
ζ
ζζζζ
ζ====∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰
对流项积分
首先将时均流速分解为i i i u U u =+∆，式中i U 为垂线平均流速，i u ∆为时均流速i u 与垂线平均流速i U 的差值。

000
0x x x x x x
x x
z z z z z u u z dz u u dz u u u u x x x x
ζ
ζζ
ζ
==∂∂∂∂=-+∂∂∂∂⎰⎰
()()(2)x x x x x x z z x x x x x x z x x x x xx x x
z u u dz U u U u dz
U U u u U u dz
HU U u u dz HU U ζ
ζ
ζ
ζ
β=+∆+∆=+∆∆+∆=+∆∆=⎰
⎰⎰⎰
式中，0
1x x z xx
x x
u u dz HU U ζ
β∆∆=+
⎰，是由于流速沿垂线分布不均匀而引入的
修正系数，类似于水力学中的动量修正系数，其数值一般在1.02—1.05，可以近似取1.0，因此
00
x x x x x x
x x z z z z u u HU U z dz u u u u x x x
x
ζ
ζ
ζ
==∂∂∂∂=-+
∂∂∂∂⎰
类似，可以得到
x y x y
x y x y z z z z u u HU U z dz u u u u y
y
y
y
ζ
ζ
ζ==∂∂∂∂=
-
+
∂∂∂∂⎰
00
x z
x z
x z
z z z z u u dz u u u u x ζ
ζ
==∂=-∂⎰
上几式相加，并利用底部及自由表面运动学条件可得
0()()()x x x x y x z z x y
x x x u u u u u u u dz t x y z HU U HU HU U t x y
ζ
⎡⎤∂∂∂∂
+++⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦
∂∂∂=++
∂∂∂⎰
压力项积分
00
0z z z z z z p dz pdz p p x x x x ζ
ζζζ==∂∂∂∂=-+∂∂∂∂⎰⎰（莱布尼茨公式） 将()p g z ρζ=-代入上式后化简得：
00z z p H dz gH gH gH x x x x
ζ
ζ
ρρρ∂∂∂∂=+=∂∂∂∂⎰ 扩散项积分
02
22222
222
22[()]()cos y x x x a z t t w z u u HU HU u dz g C x y z x y ζ
ρννωβρ
∂∂∂∂∂++=+-∂∂∂∂∂⎰上式右边后两项分别为由底部创面阻力和表面风阻力引起的阻力项。

式中，w C 为无因次风应力系数；a ρ为空气密度；ω为风速；β为风向与x 方向的夹角。

最后运动方程写成张量形式为
22i j
i
i
t j
i
j
HU U HU HU gH g
t
x x x ςν∂∂∂∂+++=∂∂∂∂
2. 差分格式的稳定性与收敛性 两种误差
舍入误差：ε=有限精度的计算机上的解-差分方程的精确解（稳定性）
离散误差=偏微分方程的精确解-差分方程的精确解（收敛性） （1） 稳定性分析
误差ε也满足差分方程。

求解稳定，则要求
1
1n i n i
εε+≤
Von Neumann （冯.诺依曼）稳定性分析
将某一时刻分布在网格点上的误差按Fourier 级数展开，然后考察下一时刻各网格点上误差的Fourier 分量是衰减还是增长，以判断差分方程是否稳定。

用一维热传导方程作为模型方程
22T T t x
α∂∂=∂∂ 差分显式格式：
1112
(2)()n n n n n
i i i i i T T T T T t x α++---+=∆∆ 假设误差随时间按指数函数的方式增长或衰减，即随时间按指数函数变化。

/2
1
(,)m
N ik x at m x t e e ε==∑
将其代入差分方程得：
122
41sin ()2
n i m n i k x t G x εαε+∆∆=-=∆ 称为放大因子 解不等式，即1G ≤，得：
2
1
()2t
S x α∆=≤∆ （2） 收敛性分析
收敛性是指当网格点空间趋于零时，差分方程的解无限接近于偏微分方程的解。

可以证明，当网格变细，并且1/2S ≤时，有限差分方程的解收敛于给定的扩散方程的精确解。

由于收敛性问题的讨论在理论上证明较为困难（微分方程较复杂时），关于收敛性问题比稳定性问题复杂得多，所以在此给出更具实用意义的定理，Lax 等价定理，即，对于一个与线性偏微分方程相容的适定的初值问题的差分格式，稳定性是差分方程解收敛于微分方程的充分必要条件。

也就是说对一适定的线性初值问题，相容性加稳定性等价于收敛性 3. 多维问题的常用差分格式 以二维扩散方程为例
2222()u u u v t x y
∂∂∂=+∂∂∂ （1）交替方向隐式格式(ADI)
基本思想是将差分计算分成两步：第一步在一个方向是隐式的，而在另一个方向上是显式的；第二步则是两个方向交换一下，即在第一个方向上为显式，而在第二个方向上为隐式。

由于只在一个方向上隐式，求解时形成的方程组是三对角方程组，所以求解大为简化。

（2）时间分裂格式
基本思想是将多维问题分解为几个一维问题。

由taylor 展开式得：
()2
12,,2,,2
2
4
4
4
22
,224224,,2
2
222,1212211n
n
n n j k
j k
j k
j k n
n
n j k j k j k n
j k u u u
u
t t t t u u u u u u t t x y x x y y t t o t x y νννν+⎛⎫∂∂⎛⎫
=+∆+∆+⋅⋅⋅
⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂=++∆+++∆+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫
∂∂=+∆+∆+∆ ⎪⎪∂∂⎝
⎭⎝⎭ 略去高阶无穷小得
221
,22,11n
n j k j k u t t x x νν+⎛⎫⎛⎫∂∂=+∆+∆ ⎪⎪∂∂⎝
⎭⎝⎭
分别令
()()*,,1*,,11n j k yy j k
n j k
xx j k
u t u u
t u
νν+=+∆∆=+∆∆
显然这相当于解二个一维问题
2222,u u u u t x t y
νν∂∂∂∂==∂∂∂∂。

合集下载

由浅入深探究小学五年级上册数学《方程》教案

由浅入深探究小学五年级上册数学《方程》教案

由浅入深探究小学五年级上册数学《方程》教案数学一直被认为是一门深奥、抽象的学科，许多人会觉得学数学非常困难。

但实际上，如果根据学生的认知规律，采取科学有效的教学方法，让学生从浅入深地学习数学，数学学习也可以变得轻松有趣。

针对小学五年级上册的数学课程，《方程》一章是比较重要的一个内容，涉及到了等式的概念，一元一次方程的解法，以及方程在生活中的应用等知识。

在教学上，可以采取由浅入深的教学方法，循序渐进地引导学生掌握这些知识。

一、学习等式的概念我们要让学生了解等式的概念。

可以以简单的生活例子来引导学生理解等式，比如：“我们爱举办运动会，能否把男生跑步和女生跑步时间差相等的情况，在纸上用一个简单的公式表示出来呢？”接着，引导学生自己设计等式，并给出一些简单的例子。

这样一来，学生可以通过自己的实践经验，理解等式的概念，了解等式的两端是相等的，可以含有相等数量的数或含有相等数量的代数式。

二、学习一元一次方程的解法了解等式的概念后，再引导学生学习一元一次方程的解法。

先从简单的方程开始，比如“2x=6”，让学生通过试算法求出未知数x的值，并引导学生自己验证答案。

这样一来，学生可以初步了解一元一次方程的解法。

引导学生学习等式两端同时加上或减去同一数的解法，再通过生活中的例子引导学生理解解方程中应该用到的方程性质。

比如：“如果有6个苹果，分给三个人，每个人分到了多少个苹果？”就可以用“6÷3=x”来表示，并且通过引导、导出轻松得到“x=2”的解。

再比如：“如果有10个饼干，分给同学们，每人拿了2个，还剩下几个？”可以用“10-2x=y”来表示，并通过引导得到“y=10-2x”的解。

可以让学生通过练习，巩固练习一元一次方程的解法，让学生自己动手设计题目，并互相出题、互相解答，以此更好地掌握一元一次方程的解法。

三、探讨方程在生活中的应用可以通过引入方程在生活中的应用，来引导学生更深入地理解方程的概念和解法。

比如：“奶奶常常做锅巴，锅巴是由饭、油、盐组成的，现在奶奶想做出两斤油饭锅巴，要多少油呢？”可以通过让学生自己设计方程，以及通过实验验证，来引导学生理解方程在生活中的实际应用，提升他们解决实际问题和探究方程的能力。

计算浅水动力学

计算浅水动力学

计算浅水动力学摘要：1.浅水动力学的基本概念2.浅水波的形成和传播3.浅水动力学的基本方程4.浅水波的分类及其特点5.浅水波的求解方法6.浅水动力学在实际应用中的案例7.总结与展望正文：一、浅水动力学的基本概念浅水动力学是研究在浅水环境中，水体的运动规律及其与岸线、海底地形相互作用的学科。

在自然界中，如湖泊、水库、港湾等水域，浅水区域占据着重要的地位。

了解浅水动力学对于预测潮汐、风暴潮、航道整治等方面具有重要意义。

二、浅水波的形成和传播在浅水环境中，由于水深较浅，水面波浪的形成和传播受到海底地形、风速、水深等因素的影响。

波浪在传播过程中，其波形、波高、波速等参数会发生变化，从而影响水域的生态环境和工程应用。

三、浅水动力学的基本方程浅水动力学的基本方程主要包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。

这些方程描述了水体在浅水环境中的运动规律，为研究浅水波提供了理论依据。

四、浅水波的分类及其特点根据波浪的形成原因和传播特点，浅水波可分为风浪、潮汐浪、辐射浪等。

不同类型的浅水波具有不同的特点，如风浪受风速、水深影响较大，潮汐浪与潮汐变化密切相关，辐射浪则与海底地形有关。

五、浅水波的求解方法求解浅水波的方法主要有解析法、数值法和实验法。

解析法通过理论推导获取浅水波的解析解，但适用范围有限；数值法利用计算机模拟求解浅水方程，适用于复杂地形和长时间演变分析；实验法通过实地观测和模型试验，验证理论分析和数值模拟的正确性。

六、浅水动力学在实际应用中的案例浅水动力学在航道整治、海岸防护、港口设计等领域具有广泛的应用。

例如，通过研究浅水波的传播规律，可以优化港口布局，降低波浪对建筑物的影响；了解潮汐规律有助于制定航道整治方案，提高航行安全。

七、总结与展望总之，浅水动力学作为一门重要的学科，对于理解和预测浅水环境中的水体运动具有关键作用。

浅水二维河流控制方程

浅水二维河流控制方程

1 浅水二维河流控制方程对于河流沿垂向方向积分连续方程：0dz z w dz y v dz x u H H H =∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰ηηη由莱布尼茨公式：H H H u xH u x dz x u udz x ∂∂-∂η∂+∂∂=∂∂ηηη⎰⎰ 知0dtdH dt d v y H v y vdz y u x H u x udz x H H H H =-η+∂∂+∂η∂-∂∂+∂∂+∂η∂-∂∂ηηηη⎰⎰ 0v yH u x H t H v y u x t v y H v y vdz y u x H u x udz x H H H H H H =∂∂-∂∂-∂∂-∂η∂+∂η∂+∂η∂+∂∂+∂η∂-∂∂+∂∂+∂η∂-∂∂ηηηηηη⎰⎰ 0tH t vdz x udz x H H =∂∂-∂η∂+∂∂+∂∂⎰⎰ηη 令hu udz H =⎰η，hv vdz H=⎰η即垂向平均可得： 0yhv x hu t h =∂∂+∂∂+∂∂ 沿垂向方向积分动量方程：z 方向根据静压假定：⎰⎰ηη⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+∂∂ρ-==H H dz z w z y w y x w x z p 1g dz dt dw 0 得()a p z g p +-ηρ=⎰⎰ηη⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+∂∂ρ-=H x H dz z u z y u y x u x x p 1f dz dt du y huv x huu t hu uvdz y uudz x udz t v u y H u u x H u t Hv u y u u x u t v u y H v u y uvdz y u u x H u u x uudz x u t H u t udz t dz z uw y uv x uu t u dz dtdu H H H H H H H H H H H H H H H H H H∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηη忽略水表面的风切应力，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂⎰⎰⎰ηηηy u h y x u h x dz y u y dz x u x dz y u y x u x H H H 即：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂++-∂∂-∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂y u h y x u h x hu hv u gn x H gh x h gh y huv x huu t hu 3/4222 同理⎰⎰ηη⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+∂∂ρ-=H y H dz z v z y v y x v x y p 1f dz dt dv ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂++-∂∂-∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂y v h y x v h x hv hv u gn y H gh y h gh y hvv x huv t hv 3/4222 故浅水的控制方程()b z H =：0yhv x hu t h =∂∂+∂∂+∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂++-∂∂-∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂y u h y x u h x hu h v u gn x z gh x h gh y huv x huu t hu 34222b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂υ∂∂++-∂∂-∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂y v h y x v h x hv h v u gn y z gh y h gh y hvv x huv t hv 34222b 定解条件：1.开边界：有流量、水位、泥沙浓度等边界，一般采用本质边界条件（给定值）或自然边界条件（给定梯度）。

第8讲 求解浅水方程的传统数值方法1_71108073

第8讲 求解浅水方程的传统数值方法1_71108073

0 k


( 1)m v2 m k 2 m t
e
i[ k ( x at ) ( 1)m v2 m1k 2 m1t ]
m1

振幅 其中：
k ( x at ) ( 1)m v2 m1k 2 m1t
m1
具有角度量纲；
k ( x at ) ( 1) v2 m1k
)
22
h*是下面关于h的方程的解
f (h ) = fL (h, hL ) + fR (h, hR ) + D u = 0,
ì 2 gh - 2 gh , ï ï L ï ï fL (h, hL ) = ï í ï (h - h ) g (h + hL ), ï L ï 2hhL ï ï î ì 2 gh - 2 gh , ï ï R ï ï fR (h, hR ) = ï í g (h + hR ) ï (h - h ) , ï R ï 2hhR ï ï î h
推导上述差分方程的修正方程。
4
u u x 2 3u ax3 4u M .E : a a 1 c2 x3 8 c 1 c2 x4 t x 6
修正方程式(标准形式);
u u nu a vn t x n 2 x n
11
题1:

u 2u 2 t x u ( x ,0) 0.3 (0.5) u (0, t ) u (1, t ) 0
采用FTCS格式 ：
u n 1 u n j j t

u n1 2u n u n1 j j j x 2
0.5 分别取 s t2 x 1
F = 0, x
轾 h U= 犏 , 犏 hu 犏 臌