3.1函数的概念及其表示基础练习题

课时分层作业(十五)函数的表示法(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为()A．y＝2x B．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})D[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.]2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为()x 12 3f(x)230A．3 B．2C．1 D．0B[由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.]3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()C [距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]4．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则有f (t )＝1t1－1t＝1t －1，故选B.] 5．若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3 B [设f (x )＝ax ＋b ，由题设有 ⎩⎪⎨⎪⎧2(2a ＋b )－3(a ＋b )＝5，2(0·a ＋b )－(－a ＋b )＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.]二、填空题6．已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________. －1 [由2x ＋1＝3得x ＝1，∴f (3)＝1－2＝－1.] 7．f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域为________．[－4,3] [由函数的图象可知，f (x )的值域为[－2,3]∪[－4,2.7]，即[－4,3]．]8．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．y ＝80x (x ＋10)，x ∈(0，＋∞) [由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0.]三、解答题9．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)求函数f (x )的值域．[解] f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示：(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (1)>f (0)>f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4， 则函数f (x )的值域为(－∞，4]．10．(1)已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式； (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式．[解] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b ＝ax ＋8a ＋b ＝2x ＋21，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5. (2)因为f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由f (0)＝1，得c ＝1. 又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ，整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2，所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋3.∴f (x )＝x 2＋3.[等级过关练]1．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝2，则a 的值为( ) A ．－1 B ．5 C ．1D ．8C [由3x ＋2＝2得x ＝0， 所以a ＝2×0＋1＝1. 故选C.]2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( )A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10) D [由题意得y ＋2x ＝20， 所以y ＝20－2x ，又2x >y ，即2x >20－2x ，即x >5， 由y >0即20－2x >0得x <10， 所以5<x <10.故选D.]3．已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，则f (x )的解析式为________．f(x)＝13x2－2x[以－x代替x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.与f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x联立得：f(x)＝13x2－2x.]4．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝14(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为________．－1[因为g(x)＝14(x2＋3)，所以g(f(x))＝14[(2x＋a)2＋3]＝14(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.]5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域．[解](1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，∴水的面积A＝[2＋(2＋2h)]h2＝h2＋2h(m2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．。

第2课时 分段函数必备知识基础练知识点一分段函数求值1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1，x <1，则f {f [f (2)]}＝( )A ．0B ．1C ．2 D. 22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >0，x －1，x <－1，则函数f (x )的定义域是( )A ．(0，＋∞) B．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，1－x 2，x >1，若f (x )＝－3，则x ＝________.知识点二分段函数的图象4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈0，1]，则函数f (x )的图象是( )5．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )6．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是________．知识点三 分段函数的实际应用7.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米8．电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．通话收费S (元)与通话时间t (分钟)的函数图象可表示为下图中的( )关键能力综合练 一、选择题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－1002．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >0，x 2，x ≤0，则满足f (a )＝1的实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．23．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )4．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.235．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4 二、填空题7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，2－x ，－2≤x <0的值域是________．8．(易错题)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜4，3x ，x ≥4，若f (a )＜－3，则a 的取值X 围是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈0，2，3，x ∈[2，＋∞.(1)求f (－1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (4)的值； (2)求函数的定义域、值域．学科素养升级练1．(多选题)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2若f (x )＝1，则x 的值是( )A ．－1 B.12C ．－ 3D ．12．(情境命题—生活情境)某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r (单位：元)与时间t (1≤t ≤20，t ∈N ，单位：天)之间的函数关系式为r ＝14t ＋10，且日销售量y (单位：箱)与时间t 之间的函数关系式为y ＝120－2t①第4天的销售利润为________元；②在未来的这20天中，公司决定每销售1箱该水果就捐赠m (m ∈N *)元给“精准扶贫”对象．为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t 的增大而增大，则m 的最小值是________．3．某市出租车的现行计价标准是：路程在2 km 以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km 后的路程按1.9元/km 收取，但超过10 km 后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km)．(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f (x )(单位：元)表示为行程x (0<x ≤60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)第2课时分段函数必备知识基础练1．解析：由题意，f(2)＝2－1＝1，f[f(2)]＝f(1)＝1－1＝0，f{f[f(2)]}＝f(0)＝1，故选B.答案：B2．解析：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，即(0，＋∞)∪(－∞，－1)，选D.答案：D3．解析：若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)．综上可得，所求x的值为－4或2.答案：－4或24．解析：当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．故选A.答案：A5．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x <0部分)即可．答案：D6．解析：由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成， 当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴f (x )＝x ＋1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx (k ≠0)， 将(1，－1)代入，则k ＝－1.∴f (x )＝－x .即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤17．解析：该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.答案：A8．解析：结合题意，易知B 正确，故选B. 答案：B关键能力综合练1．解析：因为f (－7)＝10，所以f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100，故选A. 答案：A2．解析：当a ＞0时，f (a )＝2不符合，当a ≤0时，a 2＝1， ∴a ＝－1，故选A. 答案：A3．解析：根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D ，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ，故选B.答案：B4．解析：由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0<x <1，x ＋1，－1<x <0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.答案：B5．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，故选C.答案：C6．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f x ＋1，x ≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23×2＝43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43＋83＝4. 答案：B7．解析：当x ≥0时，f (x )≥1； 当－2≤x ＜0时，2＜f (x )≤4. ∴值域为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)8．易错分析：题目中f (x )为分段函数，在求值时需要根据定义域取值X 围不同代入不同的解析式，本题极易误以为1－a <1＋a 而忘记分类讨论导致结果错误．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不符合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，满足题意．答案：－349．解析：当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解． 所以a 的取值X 围是(－∞，－3)． 答案：(－∞，－3)10．解析：(1)易知f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32＝－34，f (4)＝3. (2)作出图象如图所示．利用“数形结合”，易知f (x )的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1,2]∪{3}．学科素养升级练1．解析：根据题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2若f (x )＝1，分3种情况讨论：①当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2＝1，解可得x ＝－1； ②当－1<x <2时，f (x )＝x 2＝1，解可得x ＝±1， 又由－1<x <2，则x ＝1；③当x ≥2时，f (x )＝2x ＝1，解可得x ＝12，舍去．综合可得：x ＝1或－1； 故选AD. 答案：AD2．解析：①因为r (4)＝14×4＋10＝11，y (4)＝120－2×4＝112，所以该天的销售利润为11×112＝1 232；②设捐赠后的利润为W 元，则W ＝y (r －m )＝(120－2t )⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋10－m ，化简可得，W ＝－12t 2＋(2m ＋10)t ＋1 200－120m .令W ＝f (t )，因为二次函数的开口向下，对称轴为t ＝2m ＋10，为满足题意， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋10≥20，f 1>0，n ∈N *解得m ≥5，故答案为：①1232；②5. 答案：①1232 ②53．解析：(1)由题意得，车费f (x )关于路程x 的函数为： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8，0<x ≤2，8＋1.9x －2，2<x ≤10，8＋1.9×8＋2.85x －10，10<x ≤60＝⎩⎪⎨⎪⎧8，0<x ≤2，4.2＋1.9x ，2<x ≤10，2.85x －5.3，10<x ≤60.(2)只乘一辆车的车费为：f (16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；换乘2辆车的车费为：2f (8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．∵40.3>38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.。

【课堂例题】例1.求下列函数的定义域： (1)12y x =+;(2)y =(3)y =例2.求函数21(),1f x x R x =∈+，在0,1,2x =处的函数值和值域.例3.下列图中哪一个不是函数()y f x =的图像？(1) (2)例4.判断下列两个函数是否是同一个函数，并说明理由.(1)2()||,()f x x g x ==;(2)22()2,()x f x x g x x==;(3)(),()f x x g x ==(4)(),()f x x g x ==(选用)例5.(1)已知函数2()f x x =，求(1)f x -； (2)已知函数2(1)f x x -=，求()f x .【知识再现】1.函数(),y f x x D =∈的含义是：设D 是 ，对于 ， 按照 ，都有 ，则这种对应关系叫做集合D 上的函数.2.自变量的所有取值构成的集合叫做 ， 叫做值域.3.函数的常用表示方法有：① ，② ，③解析法(公式法). 【基础训练】1.写出下列函数的定义域： (1)21,23y x x x =∈+- ;(2)y x =∈ ;(3)12y x x =+∈+ ； (4)1,|3|1y x x =∈+- . 2.下列图像中，哪些是函数图像，哪些不是函数图像？ .3.下列各函数()f x 与()g x 表示同一个函数的是( )(A)21(),()11x f x g x xx -==-+; (B),0()||,(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩; (C)0(),()1f x x g x ==; (D)2(),()f x g x ==4.已知函数2()1f x x =-，则(0)f = ；(2)f -= ; (15)f = .5.求函数y =的定义域.yx O y x O (1)(2)6.若2()f x x px q =++且(1)0,(2)0f f ==，求(1)f -的值及该函数的值域.7.某企业去年四个季度生产某种型号机器的数量y (万台)与季度的函数关系是：提示：根据定义域确定图像的类型，注意函数的图像不一定是曲线.【巩固提高】8.根据下列步骤，描点连线，作函数y =的大致图像:①首先由函数的定义域为 ，值域为 ，来确定大致作图范围; ②其次在这个定义域内，从自变量的初始值开始适当地选取若干个x 的值， 并计算出相应的y 值（精确到0.1）：④最后把这些点连成一条光滑的曲线就是函数y =的大致图像.xyO9.在计算机语言中我们经常使用递归运算来确定一个函数的函数值， 具体方法是：①首先给出自变量初始值对应的函数值；②然后由这个函数值用递归式依次计算下一个函数值. 例：已知函数()y f n =，满足(0)1f =，且*()(1),f n nf n n N =-∈， 试求(1),(2),(3),(4),(5)f f f f f .(选做)10.(1)已知函数2()2f x x =，求函数(),(1)f x f x -+； (2)已知2(1)f x x +=，求函数()f x ；(3)已知函数()f x 与函数()f x -满足方程：2()3()3f x f x x --=+. 试求函数()f x .【温故知新】11.已知集合{(,)|(),}A x y y f x x D ==∈，集合{(,)|,}B x y x a y R ==∈，那么A B 中元素的个数是( )(A) 0; (B) 1; (C) 0或1; (D) 2.【课堂例题答案】例1.(1)(,2)(2,)-∞--+∞；(2)[1,)+∞；(3) (4,2]-. 例2.11(0)1,(1),(2)25f f f ===,值域为(0,1]. 例3.(2)不是.例4.(1)不同，定义域不同；(2)不同，定义域不同； (3)相同，三要素相同；(4)不同，(1)(1)f g -≠-. 例5.(1)2(1)21f x x x -=-+；(2)2()21f x x x =++.【知识再现答案】1.非空数集，D 中任意的x ，某个对应法则，唯一确定的y 与之对应.2.定义域，函数值所构成的集合3.列表法；图像法. 【习题答案】1.(1)(,3)(3,1)(1,)-∞--+∞；(2)[4,1]-； (3)(,2)(2,5)-∞--；(4)(,4)(4,2)(2,)-∞----+∞2.(1)(3)是函数图像；(2)(4)不是函数图像.3.B4.1,3,224--.5.113(,)(,]224-∞. 6.(1)6f -=，值域为1[,)4-+∞. 7.{1,2,3,4}D =,图见右，为散点图. 8.①[0,),[0,)+∞+∞，9.(1)1,(2)2,(3)6,(4)24,(5)120f f f f f =====. 10.(1)22()2,(1)242f x x f x x x -=+=++;(2)2()21f x x x =-+;(3)1()35f x x =- 提示：原方程x 用x -替换后得到新方程2()3()3f x f x x --=-+，结合原方程，消去()f x -即可.11.C。

3.1 函数的概念及其表示方法1. 函数概念的理解；2. 求函数的定义域；3. 求函数值（值域）；4. 函数的三种表示方法；5. 求函数解析式；6. 分段函数的概念；7.分段函数的求值；8.函数的图象及应用；9. 分段函数与方程、不等式综合问题一、单选题1．（2021·全国高一课时练习）设()1,01,01,0x x f x x x +>ìï==íï-<î，则()()0f f 等于（ ）A ．1B ．0C ．2D ．-1【答案】C 【解析】1,0()1,01,0x x f x x x +>ìï==íï-<îQ\ (0)1f =,((0))(1)112f f f ==+=.故选: C.2．（2021·浙江南湖嘉兴一中高一月考）下列函数中，与函数y =有相同定义域的是（ ）A．()f x =B ．1()f x x=C ．()||f x x =D．()f x =【答案】A 【解析】函数y =的定义域为{}0x x >；函数()f x ={}0x x >；函数1()f x x=的定义域为{}0,x x x ¹ÎR ；函数()f x x =的定义域为R ；函数()f x =定义域为{}1x x ….所以与函数y =有相同定义域的是()f x =.故选：A.3．（2021·浙江高一期中）函数1()f x x=的定义域是( )A ．R B ．[1,)-+¥C ．(,0)(0,)-¥+¥U D ．[1,0)(0,)-+¥U 【答案】D 【解析】由题意可得：10x +³，且0x ¹，得到1x ³-，且0x ¹，故选：D4．（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x －1)＝x 2－3，则f(2)的值为( )A ．－2B ．6C ．1D ．0【答案】B 【解析】令1x t -=，则1x t =+,()()213f t t \=+-,()()213f x x \=+-()()222136f \=+-=,故选B.5．（2021·全国高一课时练习）如果1f x æöç÷èø＝1x x-，则当x≠0，1时，f(x)等于（ ）A ．1xB ．11x -C ．11x-D ．11x-【答案】B 【解析】令1x＝t ，则x ＝1t ()1t ¹，代入1f x æöç÷èø＝1x x -，则有f(t)＝111t t-＝11t -()1t ¹.即()()111f x x x =¹-.故选：B.6．（2021·全国高一课时练习）已知函数y ＝21,02,0x x x x ì+£í->î，则使函数值为5的x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2或52-C ．2-D ．2或2-或52-【答案】C 【解析】当0x £时，令5y =，得215x +=，解得2x =-；当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52x =-，不合乎题意，舍去.综上所述，2x =-.故选：C.7．（2021·全国高一课时练习）设函数若f （a ）＝4，则实数a ＝（ ）A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2【答案】B 【解析】当0a £时，()4f a a =-=，解得4a =-；当0a >时，24()f a a ==，解得2a =±，因为0a >，所以2a =，综上，4a =-或2，故答案选B 8．（2021·全国高一）函数()f x x =+的值域是（ ）A ．1,2éö+¥÷êëøB ．1,2æù-¥çúèûC ．(0,)+¥D ．[1,)+¥【答案】A【解析】t =，且0t ³，则212t x +=，函数转化为2211(1)22t y t t +=+=+由0t ³，则12y ≥，即值域为1,2éö+¥÷êëø故选：A.9．（2021·浙江高一课时练习）下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）A ．()f x x =B ．()f x x x=-C ．()1f x x =+D ．()f x x=-【答案】C 【解析】A 中()()2222f x x x f x ===，B 中()()2222f x x x f x =-=，C 中()()2212f x x f x =+¹，D 中()()222f x x f x =-=10．（2021·浙江高一课时练习）设函数()f x 的定义域是[0,1]，则函数()(2)(01)f x a f x a a +++<<的定义域为（ ）A ．1,22a a -éù-êúëûB ．,12a a éù--êúëûC ．[,1]a a --D ．1,2a a -éù-êúëû【答案】A 【解析】由1011021220101a x ax a a a x a x a a --ì+ìï-ïï+Þ-ííïï<<î<<ïî……………………得122a a x --……故选：A 二、多选题11．（2021·广东禅城 佛山一中高一月考）下列四个图形中可能是函数y ＝f （x ）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【解析】在A ，D 中，对于定义域内每一个x 都有唯一的y 与之相对应，满足函数关系，在B ，C 中，存在一个x 有两个y 与x 对应，不满足函数对应的唯一性，故选AD.12．（2021·历下 山东师范大学附中高一学业考试）已知()221f x x +=，则下列结论正确的是（ ）A ．()34f -=B ．()2214x x f x -+=C ．()2f x x=D ．()39f =【答案】AB 【解析】由()221f x x +=，令21x t +=，可得12t x -=，可得：()222(1)2124t t t f t --+==，即：()2214x x f x -+=，故C 不正确，B 正确；可得：()2(31)344f ---==，故A 正确；()2(31)314f -==故D 不正确；故选：AB.13．（2021·江苏姑苏 苏州中学高一期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()||f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与21()1x g x x -=-C ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >ì=í-<îD ．()f x =()g x =【答案】AC 【解析】对A, ()g x x ==,故A 正确.对B, ()1f x x =+定义域为R ,21()1x g x x -=-定义域为{}|1x x ¹,故B 错误.对C, 1,0()1,0x xf x x x >ì==í-<î,故C 正确.对D, ()f x =210x -³,解得1x £-或1x ³.()g x =定义域为1010x x +³ìí-³î即1x ³.故D 错误.故选：AC14．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22,1,12x x f x x x +£-ì=í-<<î，关于函数()f x 的结论正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(),4-¥C ．()13f =D ．若()3f x =，则x E.()1f x <的解集为()1,1-【答案】BD 【解析】由题意知函数()f x 的定义域为(),2-¥，故A 错误；当1x £-时，()f x 的取值范围是(],1-¥，当12x -<<时，()f x 的取值范围是[)0,4，因此()f x 的值域为(),4-¥，故B 正确；当1x =时，()2111f ==，故C 错误；当1x £-时，23x +=，解得1x =（舍去），当12x -<<时，23x =，解得x =或x =，故D 正确；当1x £-时，21x +<，解得1x <-，当12x -<<时，21x <，解得11x -<<，因此()1f x <的解集为()(),11,1-¥--U ；故E 错误.故选：BD.三、填空题15．（2021·全国高一课时练习）下列对应或关系式中是A 到B 的函数的序号为________.①，ÎÎA R B R ，221x y +=；②A ＝{1，2，3，4}，B ＝{0，1}，对应关系如图：③，==A R B R ，1:2®=-f x y x ；④，==A Z B Z ，:®=f x y .【答案】②【解析】①，ÎÎA R B R ，221x y +=，存在x 对应两个y 的情况，所以不是A 到B 的函数；②符合函数的定义，是A 到B 的函数；③，==A R B R ，1:2®=-f x y x ，对于集合A 中的2x =没有对应y ，所以不是A 到B 的函数；④，==A Z B Z ，:®=f x y ，对于集合A 中的{|0,}x x x z £Î没有对应y ，所以不是A 到B的函数.故答案为：②16．（2021·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）已知，若()()10f f a =，则a =______________.【答案】32【解析】0x >时，()20f x x =-<，∴由()10f x =知0x £，∴2110x +=，3x =-，而2()11f x x =+³，因此由()3f a =-知0a >，即23a -=-，32a =．故答案为：32．17．（2021·全国高一课时练习）已知()1,00,0x f x x ³ì=í<î则不等式()2xf x x +£的解集是________.【答案】{}|1x x £【解析】当0x ³时，()1f x =，代入()2xf x x +£，解得1x £，∴01x ££；当0x <时，()0f x =，代入()2xf x x +£，解得2x £，∴0x <；综上可知{}|1x x £.故答案为：{}|1x x £.四、双空题18．（2021·全国高一课时练习）已知f(x)＝11x+ (x≠－1)，g(x)＝x 2＋2，则f （2）＝________，f(g （2）)＝________.【答案】13 17【解析】因为()11f x x =+，故可得()123f =；又()22g x x =+，故可得()22226g =+=；故()()()1267f g f ==.故答案为：13；17.19．（2021·安达市第七中学高一月考）设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知函数[]()f x x x =-，则(0.5)f -=________ ；其值域为_________.【答案】0.5 [)0,1 【解析】作出函数[]()f x x x =-的图像，如图所示，由图可知(0.5)0.5(1)0.5f -=---=，其值域为[)0,1，故答案为(1). 0.5 (2). [)0,120．（2021·浙江高一期中）设函数()(2141x f x x ì<ï=í³ïî，则((0))f f =____，使得()4f a a ³的实数a 的取值范围是_____．【答案】4 1a £ 【解析】因为()(2141x f x x ì<ï=í³ïî，所以()01f =，因此((0))(1)4f f f ==；当1a <时，()4f a a ³可化为2(1)4+³a a ，即2(1)0a -³显然恒成立，所以1a <；当1a ³时，()44f a a =³，解得1a =；综上，1a £.故答案为4；1a £21．（2021·首都师范大学附属中学高一期中）已知函数22,(),x x x af x x x a ì-+£=í>î.（1）当a =1时，函数()f x 的值域是___________；（2）若函数()f x 的图像与直线y a =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________.【答案】R []0,1【解析】（1）当a =1时，22,1(),1x x x f x x x ì-+£=í>î当1x >时，()1f x x =>当1x £时，22()2(1)11f x x x x =-+=--+£所以函数()f x 的值域是(1,)(,1]R+¥-¥=U （2）因为当x a >时，()f x x a =>，所以只需函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+³，即01x ££时，所以当01a ££时，函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+<，即1x >或0x <时，所以当1a >或0a <，即2a x x >-+，从而函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =无公共点，因此实数a 的取值范围是[]0,1故答案为：(1). R (2). []0,1五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.（1）y ＝3－12x ；（2）y ＝（3）y（4）y 1x.【答案】（1）R ；（2）10,7éùêúëû；（3）()()2,11,---+¥U ；（4）()3,00,22éö-÷êëøU .【解析】（1）因为函数y ＝3－12x 为一次函数，所以该函数的定义域为全体实数R ；（2）由题意可得0170x x ³ìí-³î，解得107x ££，所以该函数的定义域为10,7éùêúëû；（3）由题意得1020x x +¹ìí+>î，解得2x >-且1x ¹-，所以该函数的定义域为()()2,11,---+¥U ；（4）由题意得230200x x x +³ìï->íï¹î，解得322x -£<且0x ¹，所以该函数的定义域为()3,00,22éö-÷êëøU .23．（2021·全国高一课时练习）已知2,11()1,11,1x x f x x x ì-££ï=>íï<-î（1）画出f(x)的图象；（2）若1()4f x =，求x 的值；（3）若1()4f x ³，求x 的取值范围.【答案】（1）作图见解析；（2）12x =±；（3）11,,22æùéö-¥-È+¥ç÷úêèûëø【解析】（1）函数2y x =的对称轴0x =，当0x =时，0y =；当1x =-时，1y =；当1x =时，1y =，则f(x)的图象如图所示.（2）1()4f x=等价于21114xx-££ìïí=ïî①或1114x>ìïí=ïî②或1114x<-ìïí=ïî③解①得12x=±，②③的解集都为Æ∴当1()4f x=时，12x=±.（3）由于1124fæö±=ç÷èø，结合此函数图象可知,使1()4f x³的x的取值范围是11,,22æùéö-¥-È+¥ç÷úêèûëø24．（2021·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）12()(0) f f x x xxæö+=¹ç÷èø.【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3）2()(0)33xf x xx=-¹【解析】（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得22 329 aa b=ìí+=î∴a＝1，b＝3∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.（2）设x＋1＝t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.（3）解1 ()2f x f xxæö+=ç÷èøQ，将原式中的x与1x互换，得112()f f xx xæö+=ç÷èø.于是得关于f(x)的方程组()()12112f x f x x f f x x x ìæö+=ç÷ïïèøíæöï+=ç÷ïèøî解得2()(0)33x f x x x =-¹.25．（2021·全国高一课时练习）已知函数22,2()2,2x x f x x x £ì=í+>î（1）若0)(8f x =，求0x 的值；（2）解不等式()8f x >.【答案】（1）0x =；（2）{|>x x .【解析】（1）当02x £时，由02=8x ，得04x =，不符合题意；当02x >时，由2028+=x，得0x =0x =舍去)，故0x =（2）()8f x >等价于228x x £ìí>î ——①或2228x x >ìí+>î——②解①得x f Î，解②得>x ，综合①②知()8f x >的解集为{|>x x .26．（2021·全国高一）已知(1)f x +的定义域为(2,4)，（1）求()f x 的定义域；（2）求(2)f x 的定义域【答案】（1）（3，5）；（2）35,22æöç÷èø.【解析】（1）)1(f x +Q 的定义域为(2,4)，24x \<<，则315x <+<，即()f x 的定义域为(3,5)；（2）()f x Q 的定义域为(3,5)；\由325x <<得3522x <<，即(2)f x 的定义域为35,22æöç÷èø．27．（2021·全国高一）若函数()f x =的定义域为R ，则m 的取值范围为多少？【答案】112mm ìü>íýîþ∣.【解析】Q 函数()f x =的定义域为R ，230mx x \++¹，若0m =，则3x ¹-，不满足条件．，若0m ¹，则判别式1120m D =-<，解得112m >，即1|12m m ìü>íýîþ。

- 1 -第三章 函数 3.1.1 函数的概念一、选择题1、如图，下列对应关系，不是数集A 到数集B 上的函数是( )2、下列四个图像中，哪个图像是函数的图像A 、、3、设f(x)=x+1，则f(2)的值为( ) A 、4 B 、3 C 、2 D 、14、已知f(x)=若f(x)=9，则x 的值是( )A 、3或﹣3B 、3C 、﹣3D 、﹣3或7 5、已知函数f(x)=2x+a ，f(5)= 6，则a=( ) A 、﹣4 B 、4 C 、5 D 、6 三、填空题1、若函数f(x)=2x ﹣2x ，则f(8)＝ f(x+1)＝2、g(x)=3+4x ，f[g(x)]=221xx +,则f(7)=3、已知f(x)= ，则f[f(0)]=4、已知函数f(x)=33++bx ax ，若f(2)=４, 则f(﹣2)=5、已知函数y=3x ，x ∈[﹣1,2]，则其值域是BABCD2x （x ﹤0） x+2（x ﹥0）0 x ﹥03 x=032x ﹣4 x ﹥0- 2 - 26、函数y=11-x 的定义域是 ７、f(x)=ax -1的定义域为｛x|x ≠5｝，则a= 三、解答题1、求下列函数的定义域 ⑴y=6+x ⑵y=51-x (3)x xy --=332、求函数y=xx 54--的定义域。

3、若函数f(x)=11-x ，g(x)=12-x ,求f(g(3))的值。

４、已知函数=)(x f（1）求)3(),0(),1(f f f -（2）作出函数的图象[)+∞∈,0,1x ()0,,1∞-∈-x- 3 -3.1.2 函数的表示方法(一)一、选择题1、函数x x y 53+=的表示方法为 ( ) A 、图象法 B 、列表法 C 、解析法 D 、以上都不对2、若点(1,y)在函数x x f 2)(=的图象上，则y= ( ) A 、2 B 、21C 、2xD 、以上都不对 3、(-1,3)是以下哪个函数图像上的点 ( ) A 、y=2x B 、y=1-2x C 、2x y = D 、x y =4、若点(x,4)在函数2x y =的图象上，则x= ( ) A 、-2 B 、2 C 、2或-2 D 、以上都不对5、一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，叫过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜，亮亮才感觉身上不那么发烫了，下图中能基本反映亮亮这一天(０～24时)体温变化情况的是A 、B 、C 、二、填空题1、函数的表示方法通常有 ， ，2、点P(-1,2)，Q(2,0)，Q(3,2)，T(4,-4)中，在函数y=-2x+4上的点有 个 3、一次函数f(x)=kx 的图象过点(2,4)，则f(x)的解析式是________4、一种产品的单价为a 元，写出收款总额y 随售出件数x 变化的解析式为________ 5、、若点(-1,y)在常值函数f(x)=6的图象上，则y=________ 三、解答题1、已知函数f(x)在[-1,1]上的图象如图所示，求f(x)的解析式24 时24 时24 时18 24 时2、汽车在行驶过程中，速度往往是变化的，下图表示的是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况。

分层训练·练到位基础达标1.(2022·山东菏泽高一期末·知识点2·能力点1)函数f (x )=√2的定义域为( )。

A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0]∪[1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)2.(2022·广东深圳实验中学高一期末·知识点3)(多选)下列函数中,满足f (2x )=2f (x )的是( )。

A.f (x )=|x |B.f (x )=x -|x |C.f (x )=x +1D.f (x )=-x3.(2022·山东省实验中学高一期中·知识点1)下列函数中,与函数y =x +1是同一个函数的是( )。

A.y =(√x +1)2 B.y =√x 33+1 C.y =x 2x +1 D.y =√x 2+14.(2022·江苏扬州高一期末·能力点3)若f (√x +1)=x +1,则f (3)的值为( )。

A.4B.5C.9D.105.(2022·山东菏泽一中高一月考·能力点1)已知函数y =f (x +1)的定义域是[-2,3],则y =f (x )的定义域是( )。

A.[0,5]B.[-1,4]C.[-3,2]D.[-2,3]高考提升1.(2022·重庆南开中学高一期中·知识点5·能力点6)已知函数f (x )的图像如图3-1-11,则函数y =-f (|x |)的图像为( )。

图3-1-11 A B C D 图3-1-122.(2022·山东邹城一中高一期中·知识点1)(多选)下列各组中两个函数是同一个函数的是( )。

A.f (x )=2x +1(x ∈R ),g (t )=2t +1(t ∈R )B.f (x )=x 2-1x -1,g (x )=x +1C.f (x )=√x ·√x +1,g (x )=√x 2+xD.f (x )=|3-x |+1,g (x )={x -2,x ≥3,-x +4,x <33.(2022·江西师大附中高一月考·能力点5)若当x ∈[0,m ]时,函数y =x 2-3x -4的值域为[-254,-4],则实数m 的取值范围是( )。

3．1.2 函数的表示法必备知识基础练1．函数y ＝x －1(x ≥0)的图象是( ) A ．一条射线 B ．一条线段 C ．两条射线 D ．一条直线2．已知函数f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f (g (2))＝( )A ．3B ．2C ．1D ．03．已知f (x )是反比例函数，且f (－3)＝－1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝－3x B. f (x )＝3xC ．f (x )＝3xD ．f (x )＝－3x4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，1x，x >1，则f (f (－1))＝( )A ．2B ．12C ．1D ．－15．已知函数f (x )和g (x )的定义域为{2，3，4，5}，其对应关系如下表，则g (f (x ))的值域为( )A.{2，3} B ．{2，C ．{3，4} D ．{2，3，4}6．(多选)下列给出的式子是分段函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤52x ，x <1B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R x 2，x ≥2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5x 2，x ≤1D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0x －1，x ≥57．已知二次函数f (x )的图象经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，则函数f (x )的解析式为________．8．[2022·广东梅州高一期末]已知f (2x －1)＝x 2－2x ，则f (0)＝________．关键能力综合练1．某学生离家去上学，一开始岀发，心情轻松，缓慢行进，后来发现时间比较紧，为了赶时间开始加速，走完余下的路程．下列图形中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0－2x ，x >0，若f (x )＝5，则x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－523．函数y ＝x ＋|x |x的图象是( )4．已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋3，则函数y ＝f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－6x ＋4 B ．f (x )＝x 2－4x ＋6 C ．f (x )＝x 2－4x －4 D ．f (x )＝x 2－6x ＋115．已知函数f (x )是一次函数，且f [f (x )－4x ]＝5恒成立，则f (2)＝( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．96．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－43C ．－1D ．17．[2022·广东深圳高一期末]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <3f （x －2），x ≥3，则f (f (5))＝________．8．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (－x )＝2x ＋3，则f (x )＝________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －1，x ≥01x，x <0且f (2)＝0.(1)求f (f (1))；(2)若f (m )＝－m ，求实数m 的值．10．求下列函数的解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )； (2)若函数f (x ＋1)＝x －1，求f (x ).核心素养升级练1．(多选)具有性质f (1x)＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝x ＋1xC ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <10，x ＝1－1x ，x >1D ．f (x )＝x 2－1x2．对于任意的实数x 1、x 2，min{x 1，x 2}表示x 1、x 2中较小的那个数．若函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝x ，记h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则h (x )的解析式为________________．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x >02，x ＝01－2x ，x <0(1)画出函数f (x )的图象；(2)求f (f (3))，f (a 2＋1)(a ∈R )的值；(3)当f (x )≥2时，求x 的取值范围．3．1.2 函数的表示法必备知识基础练1．答案：A解析：函数y ＝x －1为一次函数，图象为直线，但是当x ≥0时，所得到的图象为一条射线．2．答案：B解析：观察函数y ＝g (x )的图象得：g (2)＝1，由表格知：f (1)＝2，所以f (g (2))＝2. 3．答案：B解析：设f (x )＝k x(k ≠0)， ∵f (－3)＝k－3＝－1，∴k ＝3， ∴f (x )＝3x.4．答案：B解析：根据题意，因为f (－1)＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝12.5．答案：B解析：g (f (2))＝g (4)＝2，g (f (3))＝g (2)＝4，g (f (4))＝g (5)＝4，g (f (5))＝g (2)＝4，所以所求值域是{2，4}．6．答案：AD解析：对于A ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤52x ，x <1，定义域为[1，5]∪(－∞，1)＝(－∞，5]，且[1，5]∩(－∞，1)＝∅，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A 正确；对于B ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈Rx 2，x ≥2，定义域为R ∪[2，＋∞)＝R ，但R ∩[2，＋∞)＝[2，＋∞)≠∅不满足函数的定义，如当x ＝2时，f (2)＝3和4，故不是函数，故B 错误；对于C ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5x 2，x ≤1，定义域为[1，5]∪(－∞，1]＝(－∞，5]，且[1，5]∩(－∞，1)＝{1}，且f (1)＝5和1，故不是函数，故C 错误；对于D ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0x －1，x ≥5，定义域为(－∞，0)∪[5，＋∞)，且(－∞，0)∩[5，＋∞)＝∅，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D 正确．7．答案：f (x )＝－x 2－4x －1解析：根据顶点为(－2，3)，设f (x )＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)， 由f (x )过点(－3，2)，得2＝a ×1＋3， 解得a ＝－1，所以f (x )＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1. 8．答案：－34解析：令x ＝12，则2x －1＝0，所以f (0)＝f (2×12－1)＝(12)2－2×12＝－34.关键能力综合练1．答案：C解析：由题意知：一开始岀发，心情轻松，缓慢行进，所以开始曲线比较平缓，后来发现时间比较紧，为了赶时间开始加速，所以曲线变得越来越陡峭，又因为纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，所以开始距离最大，最后距离为0，故选C.2．答案：A解析：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋1＝5，解得：x ＝－2或x ＝2(舍)，∴x ＝－2； 当x >0时，f (x )＝－2x ＝5，解得：x ＝－52(舍)；综上所述：x 的值是－2. 3．答案：C解析：对于y ＝x ＋|x |x，当x >0时，y ＝x ＋1；当x <0时，y ＝x －1.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0x －1，x <0，故其图象应为C.4．答案：B解析：因为f (x ＋1)＝x 2－2x ＋3， 令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，则f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＋3＝t 2－4t ＋6，所以f (x )＝x 2－4x ＋6. 5．答案：D解析：因为函数f (x )是一次函数，且f [f (x )－4x ]＝5恒成立， 令f (x )－4x ＝t ，则f (x )＝4x ＋t ， 所以f (t )＝4t ＋t ＝5，解得t ＝1， 所以f (x )＝4x ＋1，f (2)＝2×4＋1＝9. 6．答案：AB解析：令f (a )＝t ，故f (t )＝2，进而得t ＝－1或t ＝1， 所以f (a )＝－1或f (a )＝1， 由于x >0时，f (x )≥2，所以3a ＋5＝－1或3a ＋5＝1，解得a ＝－2或a ＝－43.7．答案：1解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <3f （x －2），x ≥3，所以f (5)＝f (3)＝f (1)＝12＝1， 所以f (f (5))＝f (1)＝12＝1. 8．答案：－2x ＋1解析：因为f (x )＋2f (－x )＝2x ＋3，① 所以f (－x )＋2f (x )＝2·(－x )＋3，② ②×2－①得，f (x )＝－2x ＋1.9．解析：(1)∵f (2)＝2a －1＝0得a ＝12，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥01x ，x <0，∴f (1)＝－12，∴f (f (1))＝f (－12)＝－2.(2)当m ≥0时，由f (m )＝－m 得12m －1＝－m 解得m ＝23；当m ＜0时，由f (m )＝－m 得1m＝－m ，无实数解，综上所述，m ＝23.10．解析：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ，f (x －1)＝a (x －1)＋b ， 所以3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝7， 所以f (x )＝2x ＋7.(2)由函数f (x ＋1)＝x －1， 令x ＋1＝t ≥0，则x ＝t 2－1， 所以f (t )＝t 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ∈[0，＋∞).核心素养升级练1．答案：AC解析：对于选项A ，f (1x )＝1x －x ，－f (x )＝1x－x ，故满足“倒负”变换；对于选项B ，f (1x )＝1x ＋x ，－f (x )＝－1x－x ，故不满足“倒负”变换；对于选项C ，当0＜x ＜1时，f (1x)＝－x ，－f (x )＝－x ，当x ＝1时，f (1)＝0，成立，当x ＞1时，f (1x )＝1x ，－f (x )＝1x，故满足“倒负”变换；对于选项D ，f (1x )＝1－x 3x 2，－f (x )＝1－x3x，故不满足“倒负”变换．2．答案：h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－2或x ≥1x ，－2<x <1解析：当f (x )≤g (x )时，即2－x 2≤x ，即x 2＋x －2≥0，解得x ≤－2或x ≥1， 此时，h (x )＝min{f (x )，g (x )}＝f (x )＝2－x 2； 当f (x )>g (x )时，即2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0， 解得－2<x <1.此时，h (x )＝min{f (x )，g (x )}＝g (x )＝x .综上所述，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－2或x ≥1x ，－2<x <1.3．解析：(1)函数f (x )的图象如图所示：(2)f (f (3))＝f (3－32)＝f (－6)＝1－2×(－6)＝13，f (a 2＋1)＝3－(a 2＋1)2＝－a 4－2a 2＋2；(3)当x >0时，f (x )≥2⇒3－x 2≥2⇒－1≤x ≤1，∴0<x ≤1； 当x ＝0时，f (x )＝2，符合题意； 当x <0时，f (x )≥2⇒1－2x ≥2⇒x ≤－12，综上所述：x 的取值范围为：(－∞，－12]∪[0，1].。

专题3.1函数的概念及其表示练基础1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（）A ．1-B ．1C ．13-D ．132．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩则(3)f =（）A ．7B ．2C ．10D ．123．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（）A ．16B ．18C ．21D ．244．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（）A ．1B ．3C ．3-D ．1或35．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为().A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]6．（广东高考真题）函数()f x x=的定义域是______．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________.10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.练提升1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（）A ．t 没有最小值B ．t 51-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为17122．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（）A ．865y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=-4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x+-，则f (x )满足的关系有（）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D ．1(()f f x x-=-5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f xg x ≤6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，则（）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.9.（2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）10.（2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.练真题1.（山东高考真题）设=s 0<<12−1,≥1,若=+1,则=（）A．2B．4C．6D．82.（2018上海卷）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，1的可能取值只能是（）A．3D．03.（2018年新课标I 卷文）设函数=2−，≤01，>0，则满足+1<2的x 的取值范围是（）A.−∞，−1B.0，+∞C.−1，0D.−∞，04.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．5.（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．。

2.1 函数概念与表示学习目标：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.重点难点：函数的定义域和值域一、知识要点1．函数的概念：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y=f(x),x ∈A,其中所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数的定义域．对于A 中的每一个x 都有一个输出值y 与之对应，我们将所有的输出值y 组成的集合A 叫做函数的值域．函数的“三要素”：2．函数定义域的一般方法：(1)若f （x ）是整式，则定义域为R(2)若f （x ）是分式，则定义域是使分母不为0的实数的集合(3)若f （x ）是偶次根式，则定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合(4)若f （x ）是由几部分组成，则定义域是使各部分都有意义的实数的集合(5)复合函数定义域：已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域．由 解出．已知[()]f g x 的定义域[],a b ，求()f x 的定义域．是_______在____________上的值域3．求函数解析式的方法：①已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；②已知复合关系，求函数的解析式：换元法、配凑法、方程组法；③已知函数图像，求函数解析式；数形结合法；4．求函数值域的类型与求法：类型：①求常见函数值域；②复合函数的值域；③组合函数的值域．求法：①直接法、②配方法、③分离常数法、④换元法、⑤逆求法、⑥叛别式法、⑦数形结合．二、例题精讲题型1：函数的概念1．判断下列对应是否为函数（1）,,;x y y x x R y Z →∈∈其中为不大于的最大整数，（2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈；（3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤； （4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤． 2．下列函数函数中： ⑴2)(x y = ⑵x x y 2= ⑶33x y = ⑷2x y = 与函数x y =是同一个函数为 （填序号）3．（1）设函数).89(,)100()]5([)100(3)(f x x f f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-=变式1：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出 则[(1)]f g 的值为 ；当[()]2g f x =时，x =． 变式2：已知函数f(x)=2,0,1,0,1,0.x x x x x⎧⎪>⎪=⎨⎪⎪-<⎩ （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值．题型2：求函数解析式1.f(x+1)=3x+2;求f(x)2．已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．题型3：求函数定义域1．求下列函数的定义域．（1）43)(2--=x x x f （2）若函数)(x f y =的定义域为[-1,1]，函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域_____________． （3）已知：f （x ）定义域为[]12,0，求f （2x-3）的定义域．（4）已知：f （2x-2）的定义域为[]13,1，求f （x ）的定义域．变式：函数f (2x －1)的定义域是(0，1)，则函数f (1－3x )的定义域是__________．题型4：求函数值域1．求下列函数的值域．三、基础练习1．下各组函数中表示同一函数的有 ．（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x （3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1．2．函数y=x x x +-)1(的定义域为______________．3．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求2()23f x +定义域；4．函数2()42f x x x =-+，(0,3)x ∈的值域是______________．5．设函数1()f x =112223()(),x f x x f x x -==，，则123(((2007)))f f f = __________ ．四、巩固训练1．已知一次函数b ax x f +=)(满足0)1(=f ，(0)1f =-，则)(x f 解析式是_________．2．函数y ＝x^2＋12-x 的定义域是____________． 3．如果函数f （x ）的定义域为[－1，3]，那么函数f （x ）－f （－x ）的定义域为________．4．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+[1,3]x ∈； （2）y =（3）312x y x +=-5．函数y ＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+)1(5)10(3032x x x x x x 的最大值是______．。

高中函数入门练习题及讲解1. 函数的概念和表示法练习题：定义一个函数f(x)，使得f(x) = 2x + 3。

求f(5)的值。

答案：将x=5代入函数f(x) = 2x + 3，得到f(5) = 2*5 + 3 = 13。

2. 函数的自变量和因变量练习题：如果一个函数y = f(x)，当x增加1时，y的值将如何变化？答案：在函数y = f(x)中，y是因变量，x是自变量。

如果x增加1，y的值将根据函数的具体形式发生变化。

例如，如果y = x^2，那么当x增加1时，y将增加(1+x)^2 - x^2 = 2x + 1。

3. 函数的图像练习题：画出函数y = x^2的图像，并标出顶点坐标。

答案：函数y = x^2是一个开口向上的抛物线。

顶点坐标是原点(0,0)。

4. 函数的单调性练习题：判断函数f(x) = x^3在实数范围内的单调性。

答案：函数f(x) = x^3在实数范围内是单调递增的，因为对于任意x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)。

5. 函数的奇偶性练习题：确定函数f(x) = |x|的奇偶性。

答案：函数f(x) = |x|是偶函数，因为对于所有实数x，都有f(-x) = |-x| = |x| = f(x)。

6. 复合函数练习题：如果有两个函数g(x) = 2x + 1和h(x) = x^2，求复合函数g(h(x))。

答案：将h(x)的表达式代入g(x)中，得到g(h(x)) = g(x^2) =2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1。

7. 反函数练习题：如果有一个函数f(x) = 3x - 1，求其反函数。

答案：设y = 3x - 1，解出x得到x = (y + 1) / 3。

因此，反函数为f^-1(x) = (x + 1) / 3。

8. 函数的值域练习题：确定函数f(x) = 1/x的值域。

答案：函数f(x) = 1/x的值域是所有正实数和所有负实数，即(-∞, 0)并(0, +∞)，因为分母不能为零。

3.1.1 函数的概念一、选择题1．（2019·广东高一课时练习）集合A={x|0≤x ≤4}，B={y|0≤y ≤2}，下列不能表示从A 到B 的函数的是（ ）A ．f ：x →y =12x B ．f ：x →y=2﹣xC ．f ：x →y =23x D ．f ：x →y =√x【答案】C【解析】对于C 选项的对应法则是f ：x →y=23x ，可得f （4）=83∉B ，不满足映射的定义，故C 的对应法则不能构成映射．故C 的对应f 中不能构成A 到B 的映射．其他选项均符合映射的定义. 故选：C ．2．（2019·广东高一课时练习）函数f (x )=√x +1x 的定义域是（ ）A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥0}C ．{x|x ≠0}D ．R 【答案】A【解析】要使f(x)有意义，则满足{x ≥0x ≠0 ，得到x>0.故选A.3．（2018·全国高一课时练习）下列每组函数是同一函数的是（ ） A ．f(x)=x −1,g(x)=(√x −1)2 B ．f(x)=x −1,g(x)=√(x −1)2 C ．f(x)=x 2−4x−2,g(x)=x +2 D ．f(x)=|x|,g(x)=√x 2【答案】D【解析】A ，函数f(x)的定义域为，g (x )的定义域为{x|x ≥1}，两个函数的定义域不相同,不是同一函数；B ，函数f (x )和g (x )的值域不相同，不是同一函数；C ,函数f (x )和g (x )的定义域不同，不是同一函数；D ,f (x )=|x |,g (x )=√x 2=|x |，函数f (x )和g (x )的定义域、值域、对应法则都相同，属于同一函数,故选D.4．（2014·全国高一课时练习）变量x 与变量y ，w ，z 的对应关系如下表所示：下列说法正确的是 A ．y 是x 的函数 B ．w 不是x 的函数 C ．z 是x 的函数 D ．z 不是x 的函数【答案】C【解析】观察表格可以看出，当x =1时，y =–1，–4，则y 不是x 的函数；根据函数的定义，一个x 只能对应一个y,反之一个y 可以跟多个x 对应，很明显w 是x 的函数，z 是x 的函数． 故选C ．5．（2018·全国高三课时练习（文））已知集合{}|A x y ==， {}| B x x a =≥，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是( )A ．(],3-∞-B ．(),3-∞-C ．(],0-∞D ．[)3,+∞ 【答案】A【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A ⋂=，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A.6．（2017·全国高一课时练习）设()2211x f x x -=+，则()212f f ⎛⎫⎪⎝⎭等于( )A ．1B ．－1C ．35 D ．－35【答案】B【解析】()2221413221415f --===++. 221111132********2f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭===- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴.()2112f f =-⎛⎫ ⎪⎝⎭故选B. 二、填空题7．（2017·全国高一课时练习）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出．（1） ()()1f g ＝________；（2）若()()g f x ＝2，则x ＝________． 【答案】1 1 【解析】由题意得，g （1）=3，则f[g （1）]=f （3）=1 ∵g[f （x ）]=2，即f （x ）=2，∴x=1． 故答案为：1，1．8．（2017·全国高一课时练习）用区间表示下列数集． (1){x |x ≥2}＝________； (2){x |3<x ≤4}＝________； (3){x |x >1且x ≠2}＝________.【答案】 [2，＋∞) (3,4] (1,2)∪(2，＋∞) 【解析】由区间表示法知： (1)[2，＋∞)； (2)(3,4]；(3)(1,2)∪(2，＋∞)．9．（2017·全国高一课时练习）若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】由题意3a －1>a ，得a>12,故填1,.2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．（2017·全国高一课时练习）已知f(x)＝x 2＋x －1，x ∈{0，1，2，3}，则f(x)的值域为________. 【答案】{－1，1，5，11}【解析】由已知得f(0)=−1;f(1)=1+1−1=1;f(2)=4+2−1=5;f(3)=9+3−1=11 故答案为{－1，1，5，11}. 三、解答题11．（2018·全国高一课时练习）求下列函数的定义域（1）y =√x +8+√3−x （2）y =√x 2−1+√1−x 2x−1【答案】（1）[−8,3]；（2）{−1}。

2021-2022年高一数学人教版A 版(2019)必修第一册同步练习题3-1 函数的概念及其表示【含答案】1．已知f (x )＝－3x ＋2，则f (2x ＋1)等于( B ) A ．－3x ＋2 B ．－6x －1 C ．2x ＋1 D ．－6x ＋5【答案】B【解析】在f (x )＝－3x ＋2中，用2x ＋1替换x ，可得f (2x ＋1)＝－3(2x ＋1)＋2＝－6x －3＋2＝－6x －1.2．（2020·浙江高一期中）函数1()1f x x x=+的定义域是( )A ．RB ．[1,)-+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．[1,0)(0,)-+∞【答案】D【解析】由题意可得：10x +≥，且0x ≠，得到1x ≥-，且0x ≠，故选：D3．（2020·浙江高一课时练习）已知21,[1,0),()1,[0,1],x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩则函数()y f x =-的图象是（ ） A ． B ．C ． D ．【答案】A【解析】当0x =时，依函数表达式知2(0)(0)011f f -==+=，可排除B ；当1x =时，(1)(1)10f -=-+=，可排除C 、D ．故选A4．已知函数y ＝21,02,0x x x x ⎧+≤⎨->⎩，则使函数值为5的x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2或52-C ．2-D ．2或2-或52- 【答案】C【解析】当0x ≤时，令5y =，得215x +=，解得2x =-；当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52x =-，不合乎题意，舍去.综上所述，2x =-，故选C.5.已知f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q .那么f (72)等于( ) A ．p ＋q B ．3p ＋2q C ．2p ＋3q D ．p 3＋q 2【答案】B【解析】因为f (ab )＝f (a )＋f (b )，所以f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q ，f (8)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3p ，所以f (72)＝f (8×9)＝f (8)＋f (9)＝3p ＋2q .6.已知f (x )＝{ 1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |x ＜0}【答案】A【解析】当x ≥0时，f (x )＝1，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1，所以0≤x ≤1； 当x ＜0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，所以x ＜0，综上，x ≤1. 7．(多选)下列函数中，满足f (2x )＝2f (x )的是( )A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x【答案】ABD【解析】在A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x －|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在C中，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)．8．(多选)(多选)已知函数f(x)＝{x＋2，x≤－1，x2，－1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是( )A．f(x)的定义域为RB．f(x)的值域为(－∞，4)C．若f(x)＝3，则x的值是 3D．f(x)<1的解集为(－1,1)【答案】BC【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)．当－1<x<2时，x2＝3，解得x＝3或x＝－3(舍去)，故C正确；当x≤－1时，x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)，故D错误．故选B、C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9.已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．【答案】{－1,1,3,5,7}【解析】∵x＝1,2,3,4,5，且f(x)＝2x－3.∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}．10.已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________.【答案】322-x 【解析】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ， 依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎨⎧=+=43363b a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-==322b a则f (x )＝322-x 11.已知函数f (x )满足f (x )＝2f )1(x＋3x ，则f (x )的解析式为________________．【答案】f (x )＝－x －x2(x ≠0) 【解析】由题意知函数f (x )满足f (x )＝2f )1(x＋3x ，即f (x )－2f )1(x＝3x ，用x1代换上式中的x ，可得f )1(x－2f (x )＝3x，联立方程得解得f (x )＝－x －x2(x ≠0)．12．(一题两空)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：min ）为()x A xf x x A A<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，其中A ，c 为常数，已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，求c 和A 的值. 【答案】60,16c A ==【解析】由题意()x A xf x x A A<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩组装第4件产品用时30 min ，则()430f =，304=，即60c =，组装第A 件产品用时15 min ，则()15f A =， 15A=，即15c A =16A =，所以c 和A 的值分别为60和16. 三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.已知函数p ＝f (m )的图象如图所示．求：(1)函数p ＝f (m )的定义域； (2)函数p ＝f (m )的值域；(3)p 取何值时，只有唯一的m 值与之对应．【解析】(1)观察函数p ＝f (m )的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m ≤0或1≤m ≤4，由图知定义域为[－3,0]∪[1,4]． (2)由图知值域为[－2,2]．(3)由图知：p ∈(0,2]时，只有唯一的m 值与之对应．14.如图所示，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4).（1）求[](0)f f 的值； （2）求函数()f x 的解析式.【解析】（1）直接由题图观察，可得[(0)](4)2f f f ==.（2）设线段AB 所对应的函数解析式为(0)(02)k b y x k x =+≠将04x y =⎧⎨=⎩与20x y =⎧⎨=⎩，代入y kx b =+.得402bk b =⎧⎨=+⎩，42b k =⎧⎨=-⎩，∴24(02)y x x =-+同理，线段BC 所对应的函数解析式为2(26)x y =-.∴24,02()2,26x x f x x x -+⎧=⎨-<⎩.15.某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．【解析】(1)设每天来回y 次，每次拖x 节车厢，则可设y ＝kx ＋b (k ≠0)．由题意，得16＝4k ＋b,10＝7k ＋b ， 解得k ＝－2，b ＝24， 所以y ＝－2x ＋24.(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S ，则由(1)知S ＝xy ， 所以S ＝x (－2x ＋24)＝－2x 2＋24x ＝－2(x －6)2＋72， 所以当x ＝6时，S max ＝72，此时y ＝12， 则每日最多运营的人数为110×72＝7 920.所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.16．（2019·全国高一课时练习）甲、乙两车同时沿某公路从A 地出发，驶往距离A 地300 km 的B 地，甲车先以75 km/h 的速度行驶，在到达A 、B 中点C 处停留2 h 后，再以100 km/h 的速度驶往B 地，乙车始终以v （单位：km/h ）的速度行驶．（1）将甲车距离A 地的距离()f t （单位：km ）表示为离开A 地的时间t （单位：h ）的函数，求出该函数的解析式并画出函数的图象；（2）若两车在途中恰好相遇两次（不包括A 、B 两地），试求乙车行驶速度v 的取值范围． 【解析】（1）由题意可知，当02t ≤<时，()75f t t =； 当24t ≤≤时，()()2150f t f ==；当4t >时，()()1501004100250f t t t =+-=-，由()100250300f t t =-=，得112t =.()75,02150,2411100250,42t t f t t t t ⎧⎪≤<⎪∴=≤≤⎨⎪⎪-<≤⎩．函数()y f t =的图象如图所示：（2）由已知，得乙车离开A 地的距离()g t （单位：km ）表示为离开A 地的时间t （单位：h ）的函数为()3000g t vt t v ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，其图象是一条线段，如图所示．由图象知，当点()4,150在直线()g t vt =下方，点11,3002⎛⎫⎪⎝⎭在直线()g t vt =的上方可知两车在途中恰好相遇两次，则有4150113002v v >⎧⎪⎨<⎪⎩，解得75600211v <<. 故当75600211υ<<时，两车在途中恰好相遇两次（不包括A 、B 两地）， 因此，v 的取值范围是75600,211⎛⎫⎪⎝⎭．。

,求
f
(x)
的解析式.
5
f x 1 x 2 x f x
3．（2020·全国高一专题练习）（1）已知
,则
＝________；
（2）已知函数
f
x
是一次函数,若
f
f
x
4x
8
,则
f
x
＝________；
（3）已知函数 f x 对于任意的 x 都有 f x 2 f x 1 2x ,则 f x ＝________.
的定义域是________.
3．（2019·河南淇滨高中高一月考）设
f
(x)
2x, x 0
x2, x 0
,则
f
(
f
(3))
______
4．（2019·浙江南湖.嘉兴一中高一月考）已知
f
x
x2 1 x 0 2x x 0 ,若
f
f a 10 ,则 a
8
______________.
4．（2019·贵州省铜仁第一中学高一期中）集合
且
用区间表示出来（ ）
0, 2
A．
0,
B．
0, 2 U2, 2,
C．
D．
【参考答案】C
x x 0 x 2 x 0 x 2 x 2 0, 2 2,
【解析】由集合
且
或
,
故选:C.
5．（2019·吉林辽源高一期中（理））下列四个区间能表示数集 A x |0 x 5 或 x 10 的是（ ）
0, 2
A．
0,
B．
0, 2 U2, 2,
C．
D．
A x |0 x 5 x 10
5．（2019·吉林辽源高一期中（理））下列四个区间能表示数集

函数的概念一、考点聚焦1．函数的定义函数概念的理解需注意以下几点：①A 、B 都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。

②在现代定义中，B 不一定是函数的值域，如函数12+=x y 中称为实数集到实数集的函数。

③对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了。

④函数符号)(x f 的含义：)(x f 是表示一个整体，一个函数，而记号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则（或运算），如.32)(2+-=x x x f 当2=x 时，可看作是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x 为某一个代数式（或某一个函数记号）时，则左右两边的所有x 都用同一个代数式（或函数记号）代替，如3)(2)]([)]([,3)12(2)12()12(22+-=+---=-x g x g x g f x x x d 等，)(a f 与)(x f 的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。

2．函数的定义域求函数定义域的一般原则是：①如果)(x f 为整式，其定义域为实数集R ；②如果)(x f 为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；③如果)(x f 是二次根式（偶次根式），其定义域使根号内的式子不小于0的实数集合； ④如果x f ()是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤0)(x x f =的定义域是}.0|{≠∈x R x⑥如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义； ⑦不给出解析式，已知)(x f 的定义域为A x ∈，则)]([x g f 的定义域是求使A x g ∈)(的x 的取值范围；已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域是求)(x g 在A 上的值域。

3．函数的对应法则)(x f 与)(a f 的区别与联系：)(a f 表示当a x =时函数)(x f 的值，是一个常量，而)(x f 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量，)(a f 是)(x f 的一个特殊值。

3.1函数的概念及其表示基础练习题一、单选题 1．设2,10,()(6),10x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(9)f =（ ）A ．13B ．12C ．11D ．102．函数111y x =--的图象是（ ） A ． B ． C ．D ．3．已知函数()y f x =的定义域为[6,1]-，则(21)()2f x g x x +=+的定义域是（ ）A ．(,2)(2,3]-∞-⋃-B ．7,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]11,3-D ．7,2(2,0]2⎡⎫--⋃-⎪⎢⎣⎭4．函数0()(2)2f x x x=++-的定义域为（ ） A ．(,2)(2,)-∞⋃+∞ B ．()(),22,2-∞-⋃- C ．(,2)-∞-D ．(,2)-∞5．下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（ ） A ．2()1,()11f x x g x x x =-=-+ B ．0()1,()f x g x x ==C ．,0(),(),0x x f x x g x x x >⎧==⎨-≤⎩D ．233(),()f x x g x x ==6．已知函数1()2f x x =-，则函数(21)f x +的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭ B ．{|2}x x ≠C ．{|5}x x ≠D ．1|2x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭7．已知函数21,0()(2),0x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩ ，则(1)=f （ ）A ．1B ．0C ．-1D ．28．函数123xy x -=++的定义域为（ ） A ．312x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭B ．312x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．3{|12x x -≤≤且0}x ≠ D ．3{|12x x -≤<且0}x ≠ 9．已知函数()y f x =的定义域是[2,3]-，则(1)y f x =+的定义域是（ ） A ．[1,2]B ．[3,4]C ．[1,4]-D ．[3,2]-10．下图中可以表示以x 为自变量的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，且()()10f a f +=，则a 等于（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．312．函数f (x 23x + ） A ．[0，+∞) B ．[3，+∞)C ．3+∞)D ．[03二、填空题 13．函数4()-=x f x 的定义域为________；14．设函数()y f x =满足111x f x x -⎛⎫=+⎪+⎝⎭，则()f x 的表达式为____________. 15．已知函数2,0,()1,0,x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩则()()21f f a +=_______．16．函数()2,11,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩的值域为________．三、解答题17．求下列函数的定义域. （1）0y x x=-；（2）1232y x xx =+-+-. 18．已知函数()24,02,042,4x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩．（1）求()()5ff 的值；（2）画出函数()f x 的图象．19．已知函数()()1f x x x =+，试画出()f x 的图象，并根据图象解决下列两个问题．（1）写出函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．20．若函数()132f x x x =++. （1）求()3f -、()21f a +；（2）求函数()f x 的定义域.21．已知函数()()22323x x x f x -=<-≤+.（1）用分段函数的形式表示函数()f x ； （2）画出函数()f x 的图象； （3）写出函数()f x 的值域. 22．（1）已知f 1x x ⎛⎫-⎪⎝⎭=x 2+21x，求f (x )； （2）已知一次函数f (x )满足f (f (x ))=4x -1，求f (x )；参考答案1．A 【分析】将9x =代入分段函数的解析式即可求解. 【详解】()()91515213f f ==-=，故选：A 2．B 【分析】利用函数的定义域、特殊点的函数值确定正确选项. 【详解】依题意111y x =--的定义域为{}|1x x ≠，由此排除CD 选项. 当0x =时，11201y =-=-，由此排除A 选项. 故选：B 3．D 【分析】由题意可得：621120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解不等式组即可求函数的定义域.【详解】 由题意可得：621120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩ ，解得：702x -≤≤且2x ≠-，故(21)()2f x g x x +=+的定义域是7,2(2,0]2⎡⎫--⋃-⎪⎢⎣⎭，故选：D 4．B 【分析】根据函数解析式，只需解析式有意义，即2020x x ->⎧⎨+≠⎩，解不等式即可求解.【详解】由0()(2)f x x =++， 则2020x x ->⎧⎨+≠⎩，解得2x <且2x ≠-，所以函数的定义域为()(),22,2-∞-⋃-. 故选：B 5．C 【分析】对选项中的每组函数逐一分析定义域与解析式是否完全相同，进而可得答案. 【详解】A ，(][)))(),11,,()1f x x g x x =∈-∞⋃+∞=≥，定义域不同，不是同一个函数；B ，()()0()10,()f x x R g x x x ∈=≠=，定义域不同，不是同一个函数；C ，,0,0(),(),0,0x x x x f x x g x x x x x >>⎧⎧===⎨⎨-≤-≤⎩⎩，解析式定义域都相同，是同一个函数；D ，(),()f x x g x x ====，解析式不相同，不是同一个函数，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的定义以及函数定义域的求解，属于基础题. 6．A 【分析】由题意可得2x ≠，所以212x +≠，即可得解. 【详解】 由函数1()2f x x =-，可得：2x ≠， 所以212x +≠， 解得12x ≠， 故选：A. 7．B【分析】根据分段函数的解析式，代入1x =即可求值. 【详解】因为21,0()(2),0x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以2(1)(12)(1)(1)10f f f =-=-=--=， 故选：B 8．C 【分析】根据偶次根式被开放非负分母不为0列式可解得结果. 【详解】由函数y =有意义得230100x x x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≠⎩，解得312x -≤≤且0x ≠.故选：C 【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 1、有分式时：分母不为0；2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；5、有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 9．D 【分析】令213x -≤+≤即可求出. 【详解】函数()y f x =的定义域是[2,3]-，∴在(1)y f x =+中，213x -≤+≤，解得32x -≤≤， ∴(1)y f x =+的定义域为[3,2]-.故选：D. 10．C 【分析】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x ，都有唯一确定的数y 与之对应. 【详解】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x ， 都有唯一确定的数y 与之对应，所以ABD 选项的图象不是函数图象，故排除, 故选：C. 11．A 【分析】计算出()1f 的值，然后分0a >和0a ≤解方程()()10f a f +=即可得解. 【详解】()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，()12f ∴=.当0a >时，()20f a a =>，此时关于a 的方程()()10f a f +=无解； 当0a ≤时，()1f a a =+，由()()10f a f +=可得30a +=，解得3a =-. 综上所述，3a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查分段函数方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 12．C 【分析】首先计算23x +的范围，再计算函数的值域. 【详解】233x +≥，≥∴函数()f x =)+∞.故选：C 13．[4,)+∞ 【分析】要使函数有意义，则4030x x -≥⎧⎨-≠⎩，据此即可求出函数的定义域．【详解】由题意可知，4030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≥，()f x ∴的定义域为[4,)x ∈+∞.故答案为：[4,)x ∈+∞. 14．()()211f x x x=≠-+ 【分析】 令121111x t x x -==-+≠-++，得出11t x t -=+，代入原式，即可得出结果. 【详解】 令121111x t x x -==-+≠-++，则11t x t-=+， 代入111x f x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭可得()()121111t f t t t t -=+=≠-++， 因此()()211f x x x=≠-+. 故答案为：()()211f x x x=≠-+15．2 【分析】利用分段函数解析式即可求解. 【详解】由2,0,()1,0,x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩因为210a +≥ 所以()()()2122ff a f +==.故答案为：2 16．(],2-∞ 【分析】分别求出函数()f x 在区间[)1,+∞和(),1-∞上的值域，取并集可得出函数()f x 的值域. 【详解】当1x <时，()12f x x =+<； 当1≥x 时，()(]20,2f x x=∈. 综上所述，函数()f x 的值域为(],2-∞. 故答案为：(],2-∞. 【点睛】求分段函数的值域，一般将每支函数在对应区间上的值域求出，再取并集即得结果. 17．（1）()(),11,0-∞--；（2）()3,00,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【分析】 （1）由题意可得10,0,x x x +≠⎧⎨->⎩，解不等式组即可求解；（2）由题意可得230,20,0,x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩，解不等式组即可求解.【详解】（1）由10,0,x x x +≠⎧⎨->⎩得10x x ≠-⎧⎨<⎩，故函数0y =()(),11,0-∞--，（2）由230,20,0,xxx+≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩得3,22,0.xxx⎧≥-⎪⎪<⎨⎪≠⎪⎩∴322x-≤<且0x≠.故函数的定义域是()3,00,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭18．（1）1；（2）图象见解析.【分析】（1）利用函数()f x的解析式由内到外可逐层计算出()()5f f的值；（2）根据函数()f x的解析式可画出该函数的图象.【详解】（1）()24,02,042,4x xf x x x xx x+≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，()5523f∴=-+=-，则()()()53341f f f=-=-+=；（2）函数()f x的图象如下图所示：19．（1）单调递增区间为1(,]2-∞-，[0,)+∞；单调递减区间为1[,0]2-；（2）34. 【分析】根据函数过11(1,0),(,),(0,0),(1,2)24--，即可画出函数图象，（1）由所得图象写出单调区间即可；（2）写出区间端点值、极值，再比较它们的大小即可得最大值. 【详解】22,0()||(1),0x x x f x x x x x x ⎧--≤⎪=+=⎨+>⎪⎩的图象如图所示．(1) ()f x 在1(,]2-∞-和[0,)+∞上是增函数，在1[,0]2-上是减函数， ∴()f x 单调递增区间为1(,]2-∞-，[0,)+∞；单调递减区间为1[,0]2-；(2)∵11()24f -=，13()24f =， ∴()f x 在区间1[1,]2-上的最大值为34.【点睛】本题考查了根据函数解析式画函数图象，利用图象确定函数的性质，属于简单题.20．（1）()31f -=-,()2221143f a a a +=++；（2）[)()3,22,---+∞.【分析】（1）利用函数()f x 的解析式可求得()3f -、()21f a +的值；（2）根据函数解析式有意义可得出关于实数x 的不等式组，进而可求得函数()f x 的定义域. 【详解】 （1）()132f x x x =++，()1333123f -=-+=--，()2221143f aa a +=+++； （2）对于函数()132f x x x =+++，则有3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，解得3x ≥-且2x ≠-. 因此，函数()132f x x x =+++的定义域为[)()3,22,---+∞.【点睛】本题考查函数值的计算，同时也考查了函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.21．（1）()2,2012,033x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（2）图象答案见解析；（3）(]0,2.【分析】（1）分20x -<≤和03x <≤两种情况去掉绝对值可求出函数的解析式； （2）根据（1）的解析式画出函数的图像； （3）根据函数图像可求出函数的值域 【详解】（1）()2,2012,033x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩. （2）函数()f x 的图象如下图所示.（3）由图得函数()f x 的值域为(]0,2. 【点睛】此题考查分段函数，考查由函数解析式画函数图像，根据图像求出函数的值域，属于基础题 22．（1）f (x )=x 2+2；（2）1()23f x x =-或()21f x x =-+. 【分析】（1）利用配凑法可求函数的解析式. （2）利用待定系数法可求函数的解析式. 【详解】（1）(配凑法)∵2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22f x x =+.（2）(待定系数法)∵f (x )是一次函数，∴设f (x )=ax +b (a ≠0)， 则f (f (x ))=f (ax +b )=a (ax +b )+b =a 2x +ab +b .∵f (f (x ))=4x -1，∴241a ab b ⎧=⎨+=⎩－，解得213a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21a b =-⎧⎨=⎩， 1()2()213f x x f x x ∴=-=-+或.【点睛】本题考查函数的解析式的求法，常用的方法有待定系数法、配凑法、函数方程组法等，注意根据题设的特征选择合适的方法，本题属于基础题.。

1．2 函数的的概念及其表示方法（一）基础训练题1、判断下列函数是否表示同一函数？ ⑴2)()(,)(x x g x x f == ⑵33)(,)(x x g x x f == ⑶2)(,)(x x g x x f == ⑷1)(,11)(2+=--=x x g x x x f ⑸3)(,)3()(2-=-=x x g x x f2、设{}{}31,15,7,3,1,5,4,3,2,1==B A 下列对应法则B A f →:是从A 至B 的函数是： (A)1:2+-→x x x f (B)2)1(:-+→x x x f(C)12:1-→-x x f (D)12:-→x x f二、知识点讲解1、函数的定义：设A ，B 是非空的集合，如果按照某个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从集合A 至集合B 的一个函数，记作：A x x f y ∈=),(，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f 的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(叫做函数的值域。

注意：函数的值域{}A x x f ∈)(与集合B 不一定相等。

2、函数的三要素：一个函数由定义域，对应法则和值域三个要素构成。

3、函数相等，当函的定义域及其对应关系确定后，函数的值域也随之确定。

如果两个函的的三要素相同，称两个函数相等。

4、区间的表示方法：区间是集合的一种表示方法： ⑴{}b x a x ≤≤用区间],[b a 表示；⑵{}b x a x <<用开区间),(b a 表示；⑶{}b x x <≤用区间[)b a ,表示；⑷{}b x a x ≤<用区间(]b a ,表示； ⑸{}a x x ≥表区间[)+∞,a 表示；⑹{}a x x ≤用区间(]a ,∞-表示； ⑺{}a x x >用区间()+∞,a 表示；⑻{}a x x <用区间()a ,∞-表示。

3.1 函数的概念及其表示（精讲）思维导图考点一 区间的表示【例1】（2021·广东湛江）用区间表示下列数集： （1）{|1}x x ≥-； （2）{|0}x x <； （3）{|11}x x -<<； （4）R ；（5）{|10}x x -≤<； （6）{|0124}x x x <<≤≤或．常见考法【一隅三反】1．（2021·安徽）已知(]2,31a a -为一个确定的区间，则a 的取值范围是________. 2．（2021·广东潮州）用区间表示下列集合：（1）{|13}x x -≤≤；（2）{|01}x x <≤；（3）{|25}x x ≤<； （4）{|02}x x <<；（5）{|3}x x <；（6）{|2}x x ≥.考点二 函数的判断【例2】（1）（2021·全国高一课时练习）下列图形中，不可能是函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）（2021·全国高一课时练习）设集合{|12}A x x =≤≤，{|14}B y y =≤≤，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的函数的是（ ） A ．2:f x y x →= B ．:32f x y x →=- C ．:4f x y x →=-+D ．2:4f x y x →=-【方法总结】（1）用区间表示数集的原则有①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭不能弄错；（2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开； （3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．【一隅三反】1．（2021·广西）下列各图中，不可能表示函数y =f (x )的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·广东中山市）（多选）设集合{}02M x x =≤≤，{}02N y y =≤≤，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国高一课时练习）有对应法则f ： （1）A ＝{0，2}，B ＝{0，1}，x →2x； （2）A ＝{－2，0，2}，B ＝{4}，x →x 2； （3）A ＝R ，B ＝{y |y ＞0}，x →21x ； （4）A ＝R ，B ＝R ，x →2x ＋1；（5）A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，B ＝R ，(x ，y )→x ＋y . 其中能构成从集合A 到集合B 的函数的有________(填序号)．考点三 函数的定义域【例3-1】（1）（2021·浙江高一期末）函数()2561x x f x x -++=+的定义域（ ）A ．(][),16,-∞-⋃+∞B ．()[),16,⋃-∞-+∞C ．(]1,6-D ．[]2,3（2）（2021·全国高一课时练习）函数0(3)()2x f x x -=-定义域为（ ）A ．[2，+∞)B ．(2，+∞)C ．(2，3)∪(3，+∞)D ．[2，3)∪(3，+∞)【例3-2】（2021·广东）（1）已知()y f x =的定义域为[0,1]，求函数2(1)y f x =+的定义域；（2）已知(21)y f x =-的定义域为[0,1]，求()y f x =的定义域； （3）已知函数()y f x =的定义域为[0,2]，求函数(2)()21f xg x x =-的定义域．【一隅三反】1．（2021·辽河油田第二高级中学高一开学考试）函数1()2f x x =-的定义域是（ ） A ．(,2)-∞B ．[2,)+∞C ．(2,)+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞2．（2021·云南文山壮族苗族自治州）函数0()3(2)f x x x =+++的定义域是（ ）A ．[3,)-+∞B ．[3,2)--C ．[3,2)(2,)---+∞D ．(2,)-+∞3．（2021·广西崇左市·崇左高中高一开学考试（文））函数()121f x x x =++-的定义域为（ ） A ．[)2,-+∞ B ．[)()2,11,-⋃+∞ C ．R D ．(],2-∞- 4．（2021·江苏高一）函数()2126f x x x x =++--的定义域为（ ）A ．[)2,-+∞B ．{3x x ≠，且}2x ≠- C ．()()2,33,⋃-+∞D ．[)()2,33,-⋃+∞5．（2021·安徽芜湖市）已知函数()282f x x x =+-，则函数()()3y f x f x =+-的定义域是（ ） A ．[-5，4]B ．[-2，7]C ．[-2，1]D ．[1，4]6．（2021·上海浦东新区）已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x -的定义域为___________. 7．（2021·黑龙江大庆市）若函数()y f x =的定义域为[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是__________．8.（2021·云南）已知函数()21f x +的定义域为[]12，，则函数()41f x +的定义域为 9．（2020·江苏高一课时练习）（1）已知f (x )的定义域为[0，2]，求y =f (x +1)的定义域； （2）已知y =f (x +1)的定义域为[0，2]，求f (x )的定义域；（3）已知函数y =f (2x ﹣1)的定义域为[﹣1，1]，求函数y =f (x ﹣2)的定义域.考点四 函数的表示方法【例4-1】．（2021·陕西咸阳市）德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图像、表格还是其它形式.已知函数()f x 由下表给出，则()()19492020f f 的值为（ ）x1921x <19211949x ≤< 19492021x ≤< 20212049x ≤<2049x ≥()f x1 2345A ．2B ．3C ．4D ．5【例4-2】已知函数f (x )＝－x －1，x ∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y ＝f (x )．【例4-3】（2021·上海高一专题练习）（1）已知2211,f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭求()f x 的解析式. （2）已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式（3）已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式（4）已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x =_____________.【一隅三反】1．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州）若一次函数()f x 满足(())2f f x x =+，则()f x =_________．2．（2021·全国高一课时练习）已知2(1)f x x -=，则()y f x =的解析式为______________．【方法总结】求函数解析式的常用方法：1.换元法：已知()()f g x 的解析式，求()f x 时，常用换元法求解，求解时利用()t g x =，求出()f t ，再由相等函数的概念，即可得出结果；2.待定系数法：已知函数类型求解析式时，常永待定系数法求解，先设函数解析式，根据题中条件，列出关于待定系数的方程组，求出待定系数，即可得出解析式；3.消元法（解方程组法）：已知()f x 与()f x -、()f x 与()f k x -（k 为常数）等之间的关系式，只需结合原式得出新的式子，两式联立，利用消元法，即可求出()f x .3.（2021年云南节选））根据下列条件，求函数()f x 的解析式； （1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+； (2)已知函数()f x 为二次函数，且2(1)()24f x f x x -+=+，求()f x 的解析式； （3）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭； （4）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =； （5）知函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立（6）已知()22112x f x x++=，求()f x 的解析式；5.作出下列函数的图象：(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)； (3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．考点五 两个函数相等【例5】（2021·浙江）下列函数中，与函数1y x =+是相等函数的是（ ） A ．()21y x =+B ．331y x =+C ．21x y x=+D ．21y x =+【一隅三反】1．（2021·全国高一课时练习）下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A ．y =x 2与y =(x )4 B ．y =x 2与y =t 2C ．y =||x x 与y =1(0),1(0)x x ≥⎧⎨-<⎩ D ．y =1x +·1x -与y =21x - 2．（2021·东莞市光明中学高一开学考试）判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）（1）()293x f x x -=+，()3g t t =-（3t ≠-）；（2）()11f x x x =+-，()()()11g x x x =+-；（3）()f x x =，()2g x x =；（4）()f x x =，()33g x x =． A ．（1），（4）B ．（2），（3）C ．（1）D ．（3）3．（2021·福建三明市·高一期末）下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A ．22()x x f x x+=，()2g x x =+B ．2()3f x x x =-，2()3g t t t =-C ．2()()f x x =，()g x x =D ．2()f x x =，()g x x =考点六 函数值【例6】（1）（2021·吉林延边朝鲜族自治州·高一期末）已知1232x f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则()4f 的值为（ ）A ．12B ．8C ．23D ．17（2）（2021·全国高一课时练习）函数f (x )对于任意实数x 均满足f (x +2)=1()f x ，若f （1）=-5，则f (f (5))=（ ）A ．2B ．5C ．-5D ．-15（3）（2021·四川省）已知()222f x x +=-，且()4f a =，则a =（ ） A ．10 B ．6C ．5D ．3【一隅三反】1．（2021·全国高一课时练习）已知函数2()f x x x=+，且()(2)f a f =，则实数a ＝________. 2．（2021·福建福州市）已知函数()()2143f x x x R -=+∈，若()15f a =，则实数a 的值为____________． 3．（2021·江苏南通市·高一期末）已知函数()f x 满足：()12f =，且对任意的实数x ，都有()()11f x f x +=+成立，则()2021f =______.4．（2021·全国高一课时练习）已知()12g x x =-，()()2210xf g x x x -≠⎡⎤⎣⎦=，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 考点七 分段函数【例7-1】（1）（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩则(3)f =（ ） A ．7B ．2C ．10D ．12（2）（2021·浙江高一期末）设()2|1|2,||11,||11x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，则12f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．12B ．413C ．95-D ．2541（3）（2021·新疆乌苏市第一中学高一开学考试）已知函数21,08,0x x y x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()10f a =，则a 的值是（ ） A ．3或3-B ．3-或4C ．3-D ．3或3-或4【例7-2】（2021·全国高一课时练习）已知函数f (x )=24-(0)2(0)1-2(0)x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，，，求：（1）画出函数f (x )的简图(不必列表)； （2）求f (f （3）)的值；（3）当-4≤x <3时，求f (x )取值的集合．【一隅三反】1．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（ ） A ．16B ．18C ．21D ．242．（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2,12,014,0x x x x x ⎧>⎪≤≤⎨⎪+<⎩，()32g x x =-，则f (g （2）)=（ ）A ．-3B ．-2C ．3D ．-13．（2021·保定市徐水区第一中学高一期末）设函数2,0()2,0x x f x x +⎧=⎨<⎩则[(3)]f f -=（ ）A ．－1B ．0C ．1D ． 44．（2021·广东清远市·高一期末）已知函数()22,0,24,0,x x f x x x x ⎧<=⎨+-≥⎩则()()1f f =（ ）A ．12-B ．-4C ．12D ．45．（2021·全国高一）设函数22,0(),0x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，若()(2)5f t f +=，则t 的值是（ ）A ．2B ．0C ．0或1-D ．1-6．（2021·全国高一）已知函数()24,02,042,4x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩．（1）求()()5ff 的值；（2）画出函数()f x 的图象．。