(11)初等数论ppt第五章-一勒让德符号、Jaco概要

(2.1.1)3.15 勒让德符号和雅可比符号1.勒让德符号命题1：设p为奇素数，则2）a有模 p 平方根5定义2：设p为奇素数，则定义a在模p中的勒让德符号：命题3：设p为奇素数1）2）3）Note4：1) a有模p平方根5a在模p中为一个平方数5a为模p的二次剩余.2)在模p中，任意两个平方数之积仍为平方数；任意两个非平方数之积也为平方数。

例1：模11的非零平方数有：1,3,4,5,9;(3.1.1)因此：体会：在模p中，任意两个平方数之积仍为平方数；任意两个非平方数之积也为平方数。

例2：模35的非零平方数有：体会：在模35中，任意两个平方数之积仍为平方数；但非平方数2,3之积6却为非平方数。

2.雅可比符号定义5：设n为奇整数，gcd(a,n)=1.令其中则称为a在模n中的雅可比符号。

定理6：设n为奇整数.有：1）2）3）4）二次推论7：设gcd(a,n)=1.若a为模n的二次剩余，则推论8：,则a一定不是模n的二次剩余.Note9: 设gcd(a, n)=1.但 a不一定为模 n 的二次剩余.例如：2不是模15的二次剩余。

但=例3：计算. 在模137中, 判断107是否为二次剩余？解：由于137是素数，故107为模137的二次剩余。

例4：计算，在模12345中。

判断4567是否为二次剩余？解：故4567一定不是模12345的二次剩余。

叙述10：【二次剩余问题】设gcd(a,n)=1.1），则a一定不是模n的二次剩余；2），则a可能是模n的二次剩余，也可能不是模n的二次剩余.定理11：设n=pq两素数之积,gcd(a,n)=1.则a为模n的二次剩余5目录。

九年级培优专题：勒让德符号及勒让德方程1. 勒让德符号勒让德符号（Legendre symbol）是数论中的一个重要概念，用于描述某个整数对另一个给定奇素数的二次剩余性质。

勒让德符号常用的记号为$(\frac{a}{p})$，其中$a$是整数，$p$是奇素数。

勒让德符号有以下几条性质：- 如果$a$是一个二次剩余模$p$，即存在整数$x$使得$x^2\equiv a \pmod{p}$，则$(\frac{a}{p}) = 1$；- 如果$a$是一个二次非剩余模$p$，即对于任意的整数$x$，都无法满足$x^2 \equiv a \pmod{p}$，则$(\frac{a}{p}) = -1$；- 如果$a \equiv b \pmod{p}$，则$(\frac{a}{p}) = (\frac{b}{p})$；- 对于任意的整数$a$和奇素数$p$，有$(\frac{a}{p}) \equiva^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p}$。

2. 勒让德方程勒让德方程（Legendre equation）是微分方程中的一个特殊类型，形式为：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \alpha(\alpha+1)y = 0$$其中$\alpha$是常数。

勒让德方程常出现在物理学和工程学的问题中，例如描述在球坐标系中的电势分布和量子力学中的径向波函数形态。

勒让德方程有着丰富的解析解和特殊函数，其解的形式通常可以表示为勒让德多项式（Legendre polynomials）的线性组合。

勒让德多项式是一类特殊的正交多项式，其中的解是勒让德方程的特殊解。

利用勒让德多项式的性质，我们可以解决许多涉及到勒让德方程的实际问题，例如计算球面上的电势分布和量子力学中的氢原子束缚能级等。

参考资料。

数论中的勒让德符号是一种重要的数论工具，用来研究与素数相关的性质。

勒让德符号是法国数学家阿道夫·埃雷尔·勒让德于18世纪中期引入的，它是对任意整数a和素数p之间关系的一种表示。

勒让德符号定义如下：对于任意的整数a，定义勒让德符号（a/p）为1当且仅当a是p的二次剩余（即存在一个整数x，使得x^2≡a (mod p)），否则为-1。

当a既不是p的二次剩余，也不是p的二次非剩余时，勒让德符号定义为0。

勒让德符号的定义基于二次剩余的概念，即对于一个素数p，如果存在一个整数x，使得x^2≡a (mod p)，那么a就是p的一个二次剩余。

反之，如果对于任意的整数x，x^2≡a (mod p)都不成立，那么a就是p的一个二次非剩余。

勒让德符号在数论中的应用非常广泛。

首先，它在解决二次剩余问题中起到重要作用。

对于给定的素数p和整数a，可以通过计算勒让德符号（a/p）来确定a是否是p的二次剩余。

特别地，当a和p互素时，可以使用欧拉准则简化计算过程。

根据欧拉准则，勒让德符号（a/p）等于a^((p-1)/2) (mod p)。

如果这个值等于1，那么a就是p的二次剩余；如果等于-1，那么a就是p的二次非剩余。

这个方法在密码学等领域中有着重要的应用。

其次，勒让德符号在费马小定理的推广以及埃拉托斯特尼筛法的改进中也有所应用。

费马小定理指出，对于素数p和整数a，如果a不是p的倍数，那么a^(p-1)≡1 (mod p)。

而通过勒让德符号的推广，可以得到a^((p-1)/2)≡（a/p）(mod p)的等式。

这个等式在研究模n二次剩余以及求解二次同余方程等问题时非常有用。

最后，勒让德符号还与高斯二次和有关。

高斯二次和是一个特殊的复数，它可以用来表示某些域中的二次剩余和二次非剩余。

勒让德符号与高斯二次和的关系是，当勒让德符号为1时，对应的高斯二次和是实数；当勒让德符号为-1时，对应的高斯二次和是虚数。

总结起来，数论中的勒让德符号是一种重要的工具，它通过对整数和素数之间关系的表示，帮助我们研究与素数相关的性质。