湖南省长沙市天心区长郡教育集团2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

2020-2021学年九年级（上）第一次限时训练数学模拟试卷（二）一、单选题（每道题3分，共36分）1．4的平方根是（）A．±2B．2C．﹣2D．162．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣2，﹣1）4．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a4﹣a3＝a D．a4÷a3＝a5．若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab等于（）A．2B．1C．﹣2D．﹣16．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80C．80（1+2x）＝100D．80（1+x2）＝1007．若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜2B．k＞2C．k＞0D．k＜08．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为﹣39．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023B．2021C．2020D．201910．在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（）A．119°B．120°C．121°D．122°11．如图，AB⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．812．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每道题3分，共12分）13．用科学记数法表示0.000000123＝．14．已知直角三角形两条直角边的长是3和4，则其内切圆的半径是．15．已知二次函数y＝x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，M是AD的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是．三、解答题（共72分）17．计算：（﹣）﹣1﹣+﹣（π﹣）0+|1﹣|． 18．先化简，再求值：÷（﹣m ﹣1），其中m ＝﹣2． 19．解方程：3x （x ﹣2）＝x ﹣2．20．学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表． 借阅图书的次数0次 1次 2次 3次 4次及以上 人数 7 13 a 10 3请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a ＝ ，b ＝ ．（2）该调查统计数据的中位数是 ；众数是 ．（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数．（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．21．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，其切线AE 与直径BD 的延长线相交于点E ，且AE ＝AB ．（1）求∠ACB 的度数；（2）若DE ＝2，求圆O 的半径．22．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A （﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．23．如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y 轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF ＝1：2，求点M、N的坐标；③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标，。

长郡教育集团初中课程中心 2020-2021学年度初三第一次限时检测数学注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 12020-的绝对值是（ ） A.2020- B.12020-C.12020D.2020 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D3. 下列计算正确的是（ ）A.()22a b a b --=-+B.2222c c -=C.22243x y yx x y -=- D.325a b ab += 4. 对于二次函数()223y x =-+的图象，下列说法不正确的是（ ） A.开口向下 B.对称轴是直线3x =-C.顶点坐标为（3-，0）D.当3x <-时，y 随x 的增大而减小 5. 如图，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在（ ） A.△ABC 的三条内角平分线的交点处 B.△ABC 的三条高线的交点处 C.△ABC 三边的中垂线的交点处 D.△ABC 的三条中线的交点处6. 如图，在O 中，∠BOD=120°，则∠BCD 的度数是（ ）A.60°B.80°C.120°D.150°7. 用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（ ） A.有一个内角小于90° B.每一个内角都大于90° C.有一个内角小于或等于90° D.每一个内角都小于90°8. 如图，在△ABC 中，∠C=64°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，得到△A’B’C’，且点C’在BC 上，则∠B’C’B 的度数为（ ）A.42°B.48°C.52°D.58°9.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y ax b =+的图象大致是（ ）10.如图，已知点A （2，1），B （0，2），将线段AB 绕点M 逆时针旋转到11A B ，点A 与1A 是对应点，则点M 的坐标是（ ） A.（0，2-） B.（1，1-） C.（0，0） D.（1-，1-）A B C D11. 二次函数288y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A.2k < B.2k <且0k ≠ C.2k ≤ D.2k ≤且0k ≠ 12. 如图，P 为O 内的一个定点，A 为O 上的一个动点，射线AP 、AO 分别与O 交于B 、C 两点.若O 的半径长为3，OP=5，则弦BC 的最大值为（ ）A.23B.3C.6D.32二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）13.把多项式344x x -因式分解为： .14.使得()011x x -+有意义的x 的取值范围是 .15.如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线分别相交于C 、D ，已知△PCD 的周长等于10cm ，则PA= cm.16.如图，在正方形ABCD 中，AB=8，点M 在CD 边上，且DM=2，△AEM 与△ADM 关于AM 所在直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为 .三、解答题（本大题共9小题，共72分）17.（6分）计算：()()230111 3.142π-⎛⎫--+⨯- ⎪⎝⎭18.（6分）先化简，再求值：2443111x xxx x-+⎛⎫÷-+⎪++⎝⎭，其中4x=.19.（6分）求解不等式组()328131522x xx x--≤⎧⎪⎨-<-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来.20.（8分）2020年是特殊的一年，新年以来我们经历了新型冠状病毒肺炎、举国上下众志成城，共同抗疫.严酷战疫中，我们又一次感受到祖国的强大.口罩也成为人们防护防疫的必备武器，某县某药店有2500枚口罩准备出售.从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：（1）求图①中m的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有多少枚？21.（8分），M是AC 如图，MB，MD是O的两条弦，点A、C分别在MB，MD上，且AB CD的中点.（1）求证：MB MD =；（2）过O 作OE MB ⊥于点E ，当OE=1，MD=4时，求O 的半径.22.（9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 都是格点. （1）将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°得到△111A B C ；（2）作△111A B C 关于点O 成中心对称的△222A B C ；（3）求12B B 的长以及四边形2211C B C B 的面积.23.（9分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，AC=AB ，O 为△ABC 的外接圆.（1）如图1，求证：AD 是O 的切线；（2）如图2，CD 交O 于点E ，过点A 作AG BE ⊥，垂足为F ，交BC 于点G.①求证：AG BG =；②若2AD =，3CD =，求GF 的长.24.（10分）某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：（1）求y与的关系式；（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值.25.（10分）已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （3，0），与y 轴交于C （0，3），又经过点B （4，1）.（1）求抛物线的函数关系式；（2）如图1，连接AB ，在题1中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的外接圆圆心恰好在PA 上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合），经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标.。

湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）第一次限时检测数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）．1．（3分）直线y＝x﹣2与y轴的交点坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）2．（3分）下列各点在函数y＝﹣图象上的是（）A．（﹣2，﹣3）B．（3，2）C．（﹣1，6）D．（﹣6，﹣1）3．（3分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB＝5，截面圆圆心O到水面的距离OC是3，则水面宽AB是（）A．8B．5C．4D．34．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．（3分）下列两个图形一定相似的是（）A．任意两个等边三角形B．任意两个直角三角形C．任意两个等腰三角形D．两个等腰梯形6．（3分）一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝（k≠0）在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．（3分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定8．（3分）历史上，雅各布．伯努利等人通过大量投掷硬币的实验，验证了“正面向上的频率在0.5左右摆动，那么投掷一枚硬币10次，下列说法正确的是（）A．“正面向上”必会出现5次B．“反面向上”必会出现5次C．“正面向上”可能不出现D．“正面向上”与“反面向上”出现的次数必定一样，但不一定是5次9．（3分）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3 10．（3分）“服务他人，提升自我”，某学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男2女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（）A．B．C．D．11．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，点A1、A2依次在y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为（）A．（2，0）B．（2，0）C．（3+2，0）D．（3，0）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别是﹣2，﹣1，0，1，2，若将这5张卡片的背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为非负数的概率是．14．（3分）一个扇形的圆心角为100°，面积为15πcm2，则此扇形的半径长为．15．（3分）如图，直线y＝x+2与双曲线相交于点A，点A的纵坐标为3，k 的值为．16．（3分）有四张扑克牌，分别为红桃3，红桃4，红桃5，黑桃6，背面朝上洗匀后放在桌面上，从中任取一张后记下数字和颜色，再背面朝上洗匀，然后再从中随机取一张，两次都为红桃，并且数字之和不小于8的概率为．17．（3分）如图所示，△ABC中，D为△ABC的边AC上一点，若∠ABD＝∠ACB，AD＝3，DC＝1，则AB＝．18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在y轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y＝的图象过点B、E．则AB 的长为．三、解答题（共66分）19．（6分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6）（1）求这个反比例函数的关系式；（2）判断点B（3，﹣4）是否在这个反比例函数的图象上？20．（8分）某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为；（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．21．（8分）如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（4，1）、B（a，2）两点，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为E、C．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点D的坐标为（1，0），求△ABD的面积．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．23．（8分）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A＝∠D＝90°，△DEF 的顶点E位于BC的中点处．①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．24．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠BCP＝∠BAN（2）求证：＝．25．（10分）月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x （元/件）的取值范围．26．（10分）如图，已知抛物线y＝（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x 轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）第一次限时检测数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）．1．D；2．C；3．A；4．A；5．A；6．B；7．C；8．C；9．D；10．D；11．B；12．B；二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．；14．3cm；15．3；16．；17．2；18．﹣1；三、解答题（共66分）19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；。

长郡教育集团初中课程中心2020－2021学年度初三年级暑假作业检测数学参考答案一、选择题二、填空题13．x ≥1 14.－3 15.y ＝2x －9 16.x (x －1)＝1056 17.26218.②⑤ 三、解答题19．解：(1)设二次函数解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，∵抛物线过点C (0，－3)，∴－3＝a (0＋1)(0－3)，解得a ＝1， ∴y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.(4分) (2)由y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，－4)．(2分) 20．(1)∵x 2＋4x ＋1＝0， ∴x 2＋4x ＋4＝3， ∴(x ＋2)2＝3， ∴x ＋2＝±3，∴x 1＝－2＋3，x 2＝－2－ 3.(4分) (2)∵a ＝2，b ＝3，c ＝－1， ∴Δ＝32－4×2×(－1)＝17＞0，则x ＝－3±174.∴x 1＝－3＋174，x 2＝－3－174.(4分)21. 7环，7环，7.5环，100人(2分一空)22．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4，AB ∥DC ，OB ＝OD ， ∴∠OBE ＝∠ODF ， ∴△BOE ≌△DOF (ASA)， ∴EO ＝FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；(4分) (2)解：当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ， 设BE ＝x ，则 DE ＝x ，AE ＝6－x ， 在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2， ∴x 2＝42＋(6－x )2， 解得：x ＝133，∴菱形的边长为133.(4分)23．【解析】(1)设这两年该种植户每年投资的年平均增长率为x ，则2017年种植户投资为 20(1＋x )万元，2018年种植户投资为20(1＋x )2万元，据题意得：20＋20(1＋x )＋20(1＋x )2＝95， 解得：x ＝－3.5(舍去)或x ＝0.5＝50%. ∴该种植户每年投资的增长率为50%；(5分)(2)2019年该种植户投资额为：20(1＋50%)3＝67.5(万元)．(4分) 24．【解析】(1)令x ＝0得：y ＝4，∴B (0，4)．∴OB ＝4， 令y ＝0得：0＝－43x ＋4，解得：x ＝3，∴A (3，0)．∴OA ＝3.在Rt △OAB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝5.(2分) (2)∴OC ＝OA ＋AC ＝3＋5＝8， ∴C (8，0)．(2分)设OD ＝x ，则CD ＝DB ＝x ＋4.在Rt △OCD 中，DC 2＝OD 2＋OC 2，即(x ＋4)2＝x 2＋82，解得：x ＝6， ∴D (0，－6)．(2分) (3)∵S △P AB ＝12S △OCD ，∴S △P AB ＝12×12×6×8＝12.∵点P 在y 轴上，S △P AB ＝12，∴12BP ·OA ＝12，即12×3BP ＝12，解得：BP ＝8， ∴P 点的坐标为(0，12)或(0，－4)．(3分)25．【解析】(1)w ＝y 1·x ＋71(6－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋426－71x （0≤x ≤1）－x 2＋81x ＋426－71x （1<x ≤6）＝⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋426（0≤x ≤1），－x 2＋10x ＋426（1<x ≤6）. ∴w ＝⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋426（0≤x ≤1），－x 2＋10x ＋426（1<x ≤6）.(3分)(2)由(1)知，当x ＝1时，9x ＋426的最大值为435；当1＜x ≤6时，－x 2＋10x ＋426的最大值为x ＝5时的值，即451， 451＞435，∴当该公司每年的国内销售量为5万件，国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．(3分)(3)∵该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件， ∴该公司每年在国内销售的件数x 的范围为：0≤x ≤1， 则总利润w ＝(80－2m )x ＋(71－m )(6－x )＝(9－m )x ＋426－6m ， 显然当9≤m ≤10时，w 的值小于393，当5≤m ＜9时，9－m ＞0，当x ＝1时，令w ＝(9－m )×1＋426－6m ＝393，解得m ＝6，当x ＝0时，令w ＝426－6m ＝393，解得m ＝5.5.∵从国内销售的每件产品中捐出2m (5≤m ≤10)元给希望工程， ∴x ＝0不符合题意．∴m ＝6时国内国外销售的最大总利润为393万元．(4分) 26．【解析】(1)等腰(1分)．b ＝2.(2分)(2)存在．如图，作△OCD 与△OAB 关于原点O 中心对称，则四边形ABCD 为平行四边形．当OA ＝OB 时，平行四边形ABCD 是矩形，又∵AO ＝AB ，∴△OAB 为等边三角形．∴∠AOB ＝60°，作AE ⊥OB ，垂足为E ，∴AE ＝3OE . ∴b ′24＝3×b ′2(b ′＞0)． ∴b ′＝2 3.∴A (3，3)，B (23，0)． ∴C (－3，－3)，D (－23，0)．设过点O 、C 、D 的抛物线为y ＝mx 2＋nx ，则⎩⎨⎧12m －23n ＝0，3m －3n ＝－3， 解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝23，故所求抛物线的表达式为y ＝x 2＋23x .(3分) (3)由－x 2＋4mx －8m ＋4＝3，x ＝4m ±16m 2－4（8m －1）2＝2m ±4m 2－8m ＋1，当x 为整数时，须 4m 2－8m ＋1为完全平方数，设 4m 2－8m ＋1＝n 2 (n 是整数)整理得： (2m －2)2－n 2＝3，即 (2m －2＋n )(2m －2－n )＝3，两个整数的积为3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －2＋n ＝1，2m －2－n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧2m －2＋n ＝3，2m －2－n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧2m －2＋n ＝－1，2m －2－n ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧2m －2＋n ＝－3，2m －2－n ＝－1. 解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎨⎧m ＝0，n ＝－1， 综上，得：m ＝2或m ＝0；根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长， 当m ＝2时，抛物线方程为y ＝－x 2＋8x －12＝－(x －4)2＋4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；当m ＝0时，抛物线方程为y ＝－x 2＋4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长； ∴抛物线与直线y ＝3交点的横坐标均为整数时m ＝2或m ＝0.(4分)。

长郡教育集团2020－2021学年度初三第五次限时检测数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)长郡教育集团初中课程中心2020－2021学年度初三第五次限时检测数学参考答案一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分)题号123456789101112答案BCDDDCDACABA1.B 【解析】0.000000823＝8.23×10－7.故选B.2．C 【解析】A 项，2a 3÷a ＝2a 2，故选项错误；B 项，(ab 2)2＝a 2b 4，故选项错误；C 项正确；D 项，(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，故选项错误．故选C.3．D 【解析】A 项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B 项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C 项，不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；D 项，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．故选D.4．D 【解析】A 项，购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；B 项，射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；C 项，经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；D 项，任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；故选D.5．D 【解析】A 项，7与5不能合并，所以A 选项错误；B 项，2与3不能合并，所以B 选项错误；C 项，原式＝6÷2＝3，所以C 选项错误；D 项，原式＝2－22＋1＝3－22，所以D 选项正确．故选D.6．C 【解析】如图，由sin α＝PQ OP ＝45，可设PQ ＝4a ，OP ＝5a ，∵OQ ＝3，∴由OQ 2＋PQ 2＝OP 2可得32＋(4a)2＝(5a)2，解得：a ＝1(负值舍去)，∴PQ ＝4，OP ＝5，则tan α＝PQ OQ ＝43，故选C.7．D 【解析】方程的两边同乘(x －1)(x ＋2)，得：x ＋2＝3解得：x ＝1.检验：把x ＝1代入(x －1)(x ＋2)＝0，即x ＝1不是原分式方程的解．则原分式方程无解．故选D.8．A 【解析】连接OC ，∵四边形OBCD 是平行四边形，∴BC ＝OD ，∴BC ＝OB ＝OC ，∴△OBC 为等边三角形，∴∠BOC ＝60°，由圆周角定理得，∠A ＝12∠BOC ＝30°，故选A.9．C 【解析】二次函数y ＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1，a ＝34＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝2，顶点为(2，1)，当x ＝2时，y 有最小值1，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小；故选项A 、B 的说法正确，C 的说法错误；根据平移的规律，y ＝34x 2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y ＝34(x －2)2＋1，故选项D 的说法正确，故选C.10．A 【解析】连接DE ，∵△ADE ∽△ABC ，∴AD ∶AB ＝AE ∶AC ，∴3∶8＝AE ∶10，∴AE ＝154.故选A.11．B 【解析】根据题意得，∠CAB ＝65°－20°＝45°，∠ACB ＝40°＋20°＝60°，AB ＝302，过B 作BE ⊥AC 于E ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝90°，在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝45°，AB ＝302km ，∴AE ＝BE ＝22AB ＝30km ，在Rt △CBE 中，∵∠ACB ＝60°，∴CE ＝33BE ＝103km ，∴AC ＝AE ＋CE ＝(30＋103)km ，∴A ，C 两港之间的距离为(30＋103)km ，故选B.12．A 【解析】如图，设OA 交CF 于K.由作图可知，CF 垂直平分线段OA ，∴OC ＝CA ＝1，OK ＝AK ，在Rt △OFC 中，CF ＝OF 2＋OC 2＝5，∴AK ＝OK ＝1×25＝255，∴OA ＝455，由△FOC ∽△OBA ，可得OF OB ＝OC AB ＝CF OA，∴2OB ＝1AB ＝5455，∴OB ＝85，AB ＝45，∴∴k ＝3225.故选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分)13．150【解析】如图所示．∵BC ∶AB ＝1∶ 3.∴∠A ＝30°.∵AC ＝300m ，∴BC ＝300×sin 30°＝150m.14.23【解析】∵DE ∥BC ，∴∠F ＝∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠FBC ，∴∠F ＝∠DBF ，∴DB ＝DF ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AD ＋DB ＝DE BC ，即11＋2＝DE4，解得：DE ＝43，∵DF ＝DB ＝2，∴EF ＝DF －DE ＝2－43＝23.15．(－2，1)或(2，－1)【解析】∵点A(－4，2)，B(－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，∴点A 的对应点A′的坐标是：(－2，1)或(2，－1)．【解析】作DF ⊥x 轴于F ，如图所示：则DF ∥OB ，∵四边形AOBC 是矩形，点C 的坐标为(－2，4)，∴AC ＝OB ＝4，OA ＝2，AC ∥OB ，∴∠BAC ＝∠ABO ，由折叠的性质得：∠BAD ＝∠BAC ，AD ＝AC ＝4，∴∠BAD ＝∠ABO ，∴AE ＝BE ，设AE ＝BE ＝x ，则OE ＝4－x ，在Rt △AOE 中，由勾股定理得：22＋(4－x)2＝x 2，解得：x ＝2.5，∴AE ＝2.5，OE ＝1.5，∵DF ∥OB ，∴△AOE ∽△AFD ，∴OE FD ＝OA AF ＝AE AD ，即1.5FD ＝2AF ＝2.54，解得：FD ＝125，AF ＝165，∴OF ＝AF －OA ＝65，∴点D 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．解：原式＝2×32＋3×(2－3)－2＋1(3分)＝3＋6－33－2＋1＝5－2 3.(6分)18．÷x 2－2x ＋12x ＋6＝x ＋3－4x ＋3·2（x ＋3）（x －1）2＝x －11·2（x －1）2＝2x －1(3分)当x ＝2＋1时，原式＝22＋1－1＝ 2.(6分)19．1）＋3≤7①1②解不等式①得x ≤3，(2分)解不等式②得x ≥－1，(4分)故不等式组的解集为：－1≤x ≤3，把解集在数轴上表示出来为：(6分)20．证明：(1)在 ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠A ＝∠C ，∵E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，∴AE ＝12AB ，CF ＝12DC ，∴AE ＝CF ，在△ADE 和△CBF 中，＝BC ，A ＝∠C ，＝CF ，∴△ADE ≌△CBF(SAS)；(4分)(2)∵AB ＝CD ，AE ＝CF ，∴BE ＝DF ，又AB ∥CD ，∴BE ∥DF ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∵∠ADB ＝90°，点E 为边AB 的中点，∴DE ＝EB ＝12AB ，∴四边形BFDE 为菱形．(8分)21．解：(1)本次调查的总人数为17÷0.17＝100(人)，则a ＝30100＝0.3，b ＝100×0.45＝45(人)，故答案为：0.3，45；(2分)(2)360°×0.3＝108°，答：扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角为108°；(4分)(3)将同一班级的甲、乙学生记为A 、B ，另外两学生记为C 、D ，列树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为212＝16.(8分)22．解：(1)根据题意得，y ＝－12x ＋50(0≤x ≤20)；(3分)(2)根据题意得，(40＋－12x ＋2250，解得：x 1＝50，x 2＝10，∵每件利润不能超过60元，∴x ＝10，答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；(6分)(3)根据题意得，w ＝(40＋－12x ＋＝－12x 2＋30x ＋2000＝－12(x －30)2＋2450，∵a ＝－12＜0，∴当x ＜30时，w 随x 的增大而增大，∵40＋x ≤60，x ≤20，∴当x ＝20时，w 最大＝2400，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．(9分)23．解：(1)证明：连接OD ，OC ，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠PCO ＝90°，∵AB ⊥CD ，AB 是直径，∴弧BD ＝弧BC ，∴∠DOP ＝∠COP ，在△DOP 和△COP 中，＝CO ，DOP ＝∠COP ，＝OP ，∴△DOP ≌△COP(SAS)，∴∠PDO ＝∠PCO ＝90°，∵D 在⊙O 上，∴PD 是⊙O 的切线．(3分)(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠PDO ＝90°，∴∠ADO ＝∠PDB ＝90°－∠BDO ，∵OA ＝OD ，∴∠A ＝∠ADO ，∴∠A ＝∠PDB ，∵∠BPD ＝∠BPD ，∴△PDB ∽△PAD ，∴PD PB ＝PA PD，∴PD 2＝PA·PB.(6分)(3)解：∵DC ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠DMB ＝90°，∴∠A ＋∠DBM ＝90°，∠CDB ＋∠DBM ＝90°，∴∠A ＝∠CDB ，∵tan ∠CDB ＝12，∴tan A ＝12＝BDAD ，∵△PDB ∽△PAD ，∴PB PD ＝PD PA ＝BD AD ＝12，∵PD ＝4，∴PB ＝2，PA ＝8，∴AB ＝8－2＝6.(9分)24．解：(1)若y 1＝y 2时，则x ＋m ＝3x ，∴x 2＋mx －3＝0.此时Δ＝m 2＋12＞0，∴方程总有两个不等实根，(1分)∴函数y ＝x ＋m 和y ＝3x 是“合作函数”．当m ＝2时，由x ＋2＝3x ，则x 2＋2x －3＝0，解得：x 1＝－3，x 2＝1，所以，当m ＝2时它们的合作点为－3和1.(3分)(2)若y 1＝y 2时，则x ＋m ＝3x －1，解得，x ＝m ＋12.∵|x|≤2，∴|m ＋12|≤2.解得，－5≤m ≤3.所以当－5≤m ≤3时，函数y ＝x ＋m 和y ＝3x －1是“合作函数”，合作点为x ＝m ＋12.当m ＜－5或m ＞3时，函数y ＝x ＋m 和y ＝3x －1不是“合作函数”.(6分)(3)①由y 1＝y 2得，x ＋m ＝x 2－(2m ＋1)x ＋(m 2＋3m －3)，即x 2－(2m ＋2)x ＋(m 2＋2m －3)＝0，∴x 1＝m －1，x 2＝m ＋3.又∵0≤x ≤5且有唯一合作点，≤m －1≤5，＋3>5≤m ＋3≤5，－1<0，解得2＜m ≤6或－3≤m ＜1.(8分)②y 1＋y 2＝x ＋m ＋x 2－(2m ＋1)x ＋(m 2＋3m －3)＝x 2－2mx ＋m 2＋4m －3当x ＝0取最大值时，y 1＋y 2＝m 2＋4m －3＝18，解得m 1＝－7(舍去)，m 2＝3.当x ＝5取最大值时，y 1＋y 2＝25－10m ＋m 2＋4m －3＝18，解得m 1＝3－5，m 2＝3＋5(舍弃)．综上，m 的值为3或3－ 5.(10分)25．解：(1)在函数y ＝12－1中，当y ＝0时，x ＝2，∴A(2，0)，当x ＝－6时，y ＝－4，∴B(－6，－4)，将A(2，0)，B(－6，－4)代入y ＝－512x 2＋bx ＋c 中，－512×22＋2b ＋c ＝0，－512×（－6）2－6b ＋c ＝－4，＝－76，＝4，∴该抛物线得解析式为y ＝－512x 2－76x ＋4①；(3分)(2)存在，理由：设直线AB 交y 轴于点C ，则点C(0，－1)，如图所示，作线段AB 的垂直平分线交x 轴于点F 、交AB 于点E，由A 、B 点坐标得，点E(－2，－2)，则AE ＝（－2－2）2＋（－2）2＝25，由△AOC ∽△AEF 知，AO AE ＝AC AF ，即：225＝5AF ，则AF ＝5，故点F(－3，0)，由点E(－2，－2)、F(－3，0)得直线EF 的表达式为：y ＝－2x －6②，联立①②并解得：x ＝－4或6(舍去x ＝6)，故点P 的坐标为(－4，2)，PE ＝（－4＋2）2＋（2＋2）2＝25，所以PE ＝AE ，所以∠APB ＝90°，即△APB 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形.(6分)(3)如下图所示，PD 为直径，则∠PGD ＝90°，即PG ⊥AC.∠OAC ＝90°－∠PDC ＝∠DPG ，在Rt △AOC 中，sin ∠OAC ＝15＝sin ∠DPG ，则GD ＝PDsin ∠DPG ，设点P ，－512x 2－76x ＋则点，12x －GD ＝PDsin ∠DPG －512x 2－76x ＋4－12x ＋当x ＝－b 2a ＝－2时，GD 最大，最大值为453.(10分)。

2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列方程是一元二次方程的是()+1=0 C. x2−5x=3 D. x−3y+1=0A. 3x2+y=2B. x2−1x2.长沙今年4月上旬有一段时间7天的最高气温为(单位：℃)：15，19，17，18，17，16，17.对这组数据，下列说法不正确的是()A. 平均数为17B. 中位数为18C. 众数为17D. 极差为43.抛物线y=−3(x+2)2−1的顶点坐标是()A. (2,−1)B. (2,1)C. (−2,−1)D. (−2,1)4.某校要选拔参加长沙市三独比赛乐器参赛人员，13名参赛同学的初赛成绩各不相同，按照成绩取前6名进入决赛.如果小芳知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小芳需要知道这13名同学成绩的()A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5.用配方法解方程x2−6x−9=0时，配方结果正确的是()A. (x+3)2=18B. (x−6)2=45C. (x−3)2=18D. (x+6)2=456.将抛物线y=(x−3)2−2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为()A. y=x2+3B. y=(x−6)2+3C. y=x2−7D. y=(x−6)2−77.从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是s甲2=1.2，s乙2=3.1，s丙2=2.5，s丁2=3.7，你认为派谁去参赛更合适()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8.已知x1，x2是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，则2x1+2x2−x1x2的值为()A. −1B. 1C. −7D. 79.关于一次函数y=−2x+3，下列结论正确的是()A. 图象经过一、二、三象限B. y随x的增大而增大C. 当x<3时，y>0 D. 图象过点(1,−1)210.某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动.试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为()A. (15+2x)(8+x)=110B. (15−2x)(8−x)=110C. (15+x)(8+2x)=110D. (15−x)(8−2x)=11011.已知二次函数y=−2x2+8x+c的图象过点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(6,y3)，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y2<y1<y3B. y3<y2<y1C. y1<y3<y2D. y1<y2<y312.函数y=ax2+b与y=ax+b(ab≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.若函数y=√3−2x在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是______ ．14.已知关于x的一元二次方程x2−mx+2n=0的一个根为−2，则m+n=______ ．15.晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小宇的三项成绩(百分制)依次为95分，90分，88分，则小宇这学期的体育总评成绩为______ 分.16.若关于x的一元二次方程3x2−2x+c=0有实数根，则c的取值范围为______ ．17.为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的(x−2)2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是______ ．关系为y=−22518.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)，交y轴的负半轴于C，顶点为D.下列结论：①abc>0；②2c<3b；③若△ABD是等腰直角三角；④若点P为对称轴上的动点，当|PB−形，则a=12PC|有最大值时，其最大值为√9a2+1.其中正确的结论的序号是______ .(只填序号)三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.解一元二次方程：(x−3)2=18；(1)12(2)3x(2x+1)=4x+2．20.已知一次函数的图象经过点(−1,2)和点(3,−2)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在此函数图象上，且x1≤x2，请比较y1，y2的大小，并说明理由．21.为庆祝中国共产党建党100周年，某校八年级开展了以“明党史，跟党走”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取部分学生的成绩，并用得到的数据绘制了条形统计图(满分为30分，最低为26分)，请根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)本次随机抽样调查的学生人数为______ ；(2)求本次抽样调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；(3)若该校八年级共有1200名学生参加了此项竞赛，得30分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮助年级组估计需准备多少份“一等奖”奖品？22.已知某二次函数的图象以A(−1,4)为顶点，且过点B(2,−5)．(1)求该函数的解析式；(2)若该函数的图象与x轴相交于点E、F，与y轴相交于点C，求△EFC的面积．23.长沙著名网红打卡地“超级文和友”在2019年五一小长假期间，接待食客约20万人次，在2021年五一小长假期间，接待食客约28.8万人次.现假定该店每年五一小长假接待食客的增长率相同．(1)求出该店2019年至2021年五一小长假期间食客人次的年平均增长率；(2)按照这个增长率，预计2022年“超级文和友”在五一小长假期间食客将达到多少万人次？24.毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？25.我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”y=2x−1，其“和谐点”为(1,1)．(1)在下列关于x的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“√”．①y=x−3______ ；x+1______ ；②y=−12③y=x2−2x______ ．(2)若点A、点B是“和谐函数”y=x2−(2m+1)x+(m−1)2(其中m>0)上的“和谐点”，且8√2≤AB≤10√2，求m的取值范围；x2+(m−k+2)x+n+k−1的图象上存在唯一的一(3)若“和谐函数”y=−14个“和谐点”，且当−1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．x2+bx+c与y轴交于点B(0,1)，顶点为A.点F(2,1)在抛物26.如图，已知抛物线y=14线的对称轴上，点C(0,3)是y轴上一点.点P在抛物线上运动，过点P作PM⊥x轴于点M，连接PF和CF．(1)求抛物线的解析式；(2)求证：在点P运动的过程中，总有PF=PM+1；(3)若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，请求出所有“巧点”的坐标.是否存在使△PCF的周长最小的“巧点”，若有，请直接写出“巧点”的坐标；若无，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、是分式方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C．利用一元二次方程定义进行解答即可．此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2.【答案】B=17，正确，不符合题意；【解析】解：A、平均数是：15+19+17+18+17+16+177B、把这些数从小到大排列为15，16，17，17，17，18，19，中位数是17，错误，符合题意；C、17出现了3次，出现的次数最多，则众数是17，正确，不符合题意；D、极差是：19−15=4，正确，不符合题意；故选：B．根据公式和定义分别计算该组数据的平均数，众数，中位数及极差后找到正确的答案即可．本题考查了极差、平均数、中位数及众数的定义，特别是求中位数时候应先排序．3.【答案】C【解析】解：∵抛物线的解析式为：y=−3(x+2)2−1，∴其顶点坐标为(−2,−1)．故选C．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．4.【答案】B【解析】解：13个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有7个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选：B．由于比赛取前6名参加决赛，共有13名选手参加，根据中位数的意义分析即可．本题考查了中位数意义．解题的关键是正确理解中位数的意义．5.【答案】C【解析】解：∵x2−6x−9=0，∴x2−6x=9，∴x2−6x+9=18，∴(x−3)2=18．故选：C．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可．本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．6.【答案】B【解析】解：将抛物线y=(x−3)2−2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为：y=(x−3−3)2−2+5，即y=(x−6)2+3；故选：B．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7.【答案】A【解析】解：∵平均成绩都是86.5分，s甲2=1.2，s乙2=3.1，s丙2=2.5，s丁2=3.7，，而1.2<2.5<3.1<3.7，∴甲的成绩最稳定，∴派甲去参赛更合适，故选：A．平均成绩相同，根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8.【答案】D【解析】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=−3，所以2x1+2x2−x1x2=2(x1+x2)−x1x2=2×2−(−3)=7．故选：D．利用根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=3，然后利用整体代入的方法计算x1x2−x1−x2的值．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．9.【答案】C【解析】解：A、由于一次函数y=−2x+3中的k=−2<0，b=3>0，所以图象过一、二、四象限，不符合题意；B、由于一次函数y=−2x+3中的k=−2<0，所以y随x的增大而减小，不符合题意；C、令y>0，则−2x+3>0，此时x<32，符合题意；D、当x=1时，y=1.所以图象不过(1,−1)，不符合题意；故选：C．解不等式求得不等式的解集即可判断C；根据一次函数的性质即可判断A、B；把点(1,−1)代入解析式即可判断D．本题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与不等式的关系．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为(15−2x)米、宽为(8−x)米的大矩形，依题意得：(15−2x)(8−x)=110．故选：B．设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为(15−2x)米、宽为(8−x)米的矩形，利用种植的面积=合成大矩形的长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11.【答案】C【解析】解：∵y=−2x2+8x+c=−2(x−2)2+c+8，∴图象的开口向下，对称轴是直线x=2，∴C(6,y3)关于直线x=2的对称点是(−2,y3)，∵−3<−2<−1，∴y1<y3<y2，故选：C．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=2，根据x<2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．12.【答案】D【解析】解：A、由抛物线可知，a>0，b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项不可能；B、由抛物线可知，a>0，b>0，由直线可知，a<0，b>0，故本选项不可能；C、由抛物线可知，a<0，b>0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项不可能；D、由抛物线可知，a<0，b<0，由直线可知，a<0，b<0，抛物线与直线交y轴同一点，故本选项有可能．故选：D．根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．本题考查了一次函数和二次函数的图象．熟记一次函数、二次函数的图象的性质是解题的关键．13.【答案】x≤32【解析】解：由题意得：3−2x≥0，解得：x≤3，2．故答案为：x≤32根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．14.【答案】−2【解析】解：把x=−2代入方程x2−mx+2n=0得4+2m+2n=0，所以m+n=−2．故答案为−2．根据一元二次方程根的定义得到4+2m+2n=0，然后计算m+n的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15.【答案】90【解析】解：小宇这学期的体育总评成绩为；95×20%+90×30%+88×50%=88(分)．故答案为：90．根据加权平均数的计算公式进行计算即可．本题考查了加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则(x1w1+x2w2+⋯+x n wn)÷(w1+w2+⋯+w n)叫做这n个数的加权平均数．16.【答案】c≤13【解析】解：∵关于x的一元二次方程3x2−2x+c=0有实数根，∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×3×c≥0，∴c≤1，3．故答案为：c≤13直接利用根的判别式判断得出即可．此题主要考查了根的判别式，正确根据根的判别式得出方程根的情况是解题关键．17.【答案】7【解析】解：由题意，得(x−2)2+2=0，当y=0时，−225化简，得：(x−2)2=25，解得：x1=7，x2=−3(舍去)，故答案为：7．(x−2)2+2，求出x的值就可以求出结论．当y=0时代入解析式y=−225本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的解法的运用，解答时由二次函数的解析式建立方程是关键．18.【答案】①③④【解析】解：∵开口向上，对称轴x=1，与y轴的交点在y轴负半轴上，∴a>0，b<0，c<0，∴abc>0，故①符合题意，把点A(−1,0)，B(3,0)代入解析式，得：a−b+c=0(1)，9a+3b+c=0(2)，(2)−(1)×9，得：12b −8c =0，∴3b =2c ，故②不符合题意；由抛物线y =ax 2+bx +c 交x 轴于A(−1,0)，B(3,0)得：y =a(x +1)(x −3)，∴c =−3a ，当x =1时，y =−4a ，∴D(1,−4a)，∵△ABD 是等腰直角三角形，∴2|−4a|=AB =4，∴a =0.5，故③符合题意；当x =0时，y =c =−3a ，∴C(0,−3a)，当点P 是AC 的延长线与对称轴的交点时，|PB −PC|有最大值，此时，|PB −PC|=|PA −PC|=AC ，∵AC =√OA 2+OC 2=√1+9a 2，故④符合题意．故答案为：①③④．从开口方向，对称轴的位置，与y 轴的交点位置判断a 、b 、c 的正负，判断①；把A 、B 的坐标代入确判断；利用等腰直角三角形的三线合一的性质判断③；由三角形的三边关系判断④．本题考查了二次函数图象和系数的关系、等腰直角三角形的性质、三角形三边的关系求线段差的极大值．要求学生在掌握二次函数图象和系数的关系同时学会用消元的方法判断②，学会利用数形结合的思想判断③④．19.【答案】解：(1)∵(x −3)2=36，∴x −3=±6，∴x 1=9，x 2=−3；(2)3x(2x +1)−2(2x +1)=0，(2x +1)(3x −2)=0，2x +1=0或3x −2=0，∴x 1=−12，x 2=23．【解析】(1)先变形为(x −3)2=36，然后利用直接开平方法解方程；(2)先变形为3x(2x +1)−2(2x +1)=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解方程．20.【答案】解：(1)根据题意，设一次函数解析式为：y =kx +b ，将(−1,2)和(3,−2)代入得：{−k +b =23k +b =−2， 解得：{k =−1b =1， ∴一次函数解析式为：y =−x +1；(2)∵k =−1<0，∴y 随x 的增大而减小，当x 1≤x 2时，y 1≥y 2．【解析】(1)根据待定系数法即可求得；(2)根据一次函数y =−x +1的性质即可判断．本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．21.【答案】50【解析】解：(1)本次随机抽样调查的学生人数为：9+12+14+10+5=50(人)． 故答案为：50；(2)平均数是：26×9+27×12+28×14+29×10+30×550=27.8(分)，∵在这组数据中，28出现14次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是28，将这组数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数都是28，因此中位数是28， 答：平均数为27.8，中位数是28，众数是28；(3)1200×550=120(份)，答：估计需准备120份“一等奖”奖品．(1)根据条形统计图可求出调查人数；(2)根据平均数、中位数、众数的意义和求法，分别计算即可；(3)样本估计总体，用1200去乘样本中得30分的人数所占的比例即可．本题考查扇形统计图和条形统计图的意义，理解两个统计图中数量之间的关系是正确计算的前提．22.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4，把(2,−5)代入得a⋅9+4=−5，解得a=−1，所以抛物线解析式为y=−(x+1)2+4或y=−x2−2x+3；(2)∵函数的图象与x轴相交于点E、F，则令y=0，即−x2−2x+3=0，解得x1=1，x2=−3．∴EF=4．∵二次函数与y轴相交于C，令x=0，则y=3，∴C(0,3)．∴S△EFC=12EF⋅OC=12×4×3=6．【解析】(1)设顶点式y=a(x+1)2+4，然后把(2,−5)代入求出a的值即可；(2)根据抛物线解析式求得线段EF的长度和点C的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式以及抛物线与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．23.【答案】解：(1)设该店每年五一小长假接待食客的增长率为x，依题意得：20(1+x)2=28.8，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)．答：这个增长率为20%．(2)28.8×(1+20%)=34.56(万人次)．答：预计2022年“超级文和友”在五一小长假期间食客将达到34.56万人次．【解析】(1)设该店每年五一小长假接待食客的增长率为xx ，根据2019年和2021年的人数，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；(2)根据第四批公益课受益学生人数=第三批公益课受益学生人数×(1+增长率)，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24.【答案】解：(1)设y 与x 的函数解析式为y =kx +b ，将(12,28)、(15,25)代入，得：{12k +b =2815k +b =25， 解得：{k =−1b =40， 所以y 与x 的函数解析式为y =−x +40(10≤x ≤20)；(2)根据题意知，W =(x −10)y=(x −10)(−x +40)=−x 2+50x −400=−(x −25)2+225，∵a =−1<0，∴当x <25时，W 随x 的增大而增大，∵10≤x ≤20，∴当x =20时，W 取得最大值，最大值为200，答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．【解析】(1)利用待定系数法求解可得y 关于x 的函数解析式；(2)根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．25.【答案】× √ √【解析】解：(1)①∵x =x −3时无解，∴y =x −3不是“和谐函数”；②x=−12x+1时，解得x=23，∴y=−12x+1是“和谐函数”；③x=x2−2x时，解得x=0或x=3，∴y=x2−2x是“和谐函数”；故答案为：①×，②√，③√；(2)∵y=x2−(2m+1)x+(m−1)2是“和谐函数”，∴x=x2−(2m+1)x+(m−1)2，整理得，x2−(2m+2)x+(m−1)2=0，∵点A、点B是“和谐函数”上的“和谐点”，设A(x1,x1)，B(x2,x2)，∴Δ=16m>0，x1+x2=2m+2，x1⋅x2=(m−1)2，∴AB=√(x1−x2)2+(x1−x2)2=√2|x1−x2|=√2√(x1+x2)2−4x1x2=4√2m，∵8√2≤AB≤10√2，∴8√2≤4√2m≤10√2，∴4≤m≤254；(3)∵“和谐函数”y=−14x2+(m−k+2)x+n+k−1的图象上存在唯一的一个“和谐点”，∴x=−14x2+(m−k+2)x+n+k−1，且Δ=0，∴14x2−(m−k+1)x−n−k+1=0，Δ=(m−k+1)2−n−k+1=0，∴n=(m−k+1)2+1−k，n是关于m的二次函数，对称轴为m=k−1，①若k−1≤−1，即k≤0，当m=−1时，n有最小值k，(−1−k+1)2+1−k=k，解得k=1(舍去)；②若k−1≥3，即k≥4，当m=3时，n有最小值k，(3−k+1)2+1−k=k，解得k=5+2√2或k=5−2√2(舍去)；③若−1<k−1<3，即0<k<4，当m=k−1时，n有最小值k，1−k=k，解得k=12；综上所述：k=12或k=5+2√2．(1)根据定义，①x=x−3时无解，②x=−12x+1时，解得x=23，③x=x2−2x时，解得x=0或x=3，由此可确定“和谐函数”；(2)由题意可知x=x2−(2m+1)x+(m−1)2，设A(x1,x1)，B(x2,x2)，因此可得Δ= 16m>0，x1+x2=2m+2，x1⋅x2=(m−1)2，AB=4√2m，再由已知可得8√2≤4√2m≤10√2，即可求4≤m≤254；(3)由题意可得x=−14x2+(m−k+2)x+n+k−1，Δ=(m−k+1)2−n−k+1=0，可知n=(m−k+1)2+1−k，n是关于m的二次函数，对称轴为m=k−1，①若k−1≤−1，即k≤0，当m=−1时，n有最小值k，(−1−k+1)2+1−k=k，解得k=1(舍去)；②若k−1≥3，即k≥4，当m=3时，n有最小值k，(3−k+1)2+1−k= k，解得k=5+2√2或k=5−2√2(舍去)；③若−1<k−1<3，即0<k<4，当m=k−1时，n有最小值k，1−k=k，解得k=12，即可求解．本题考查二次函数的综合应用，理解新定义，能将新定义与所学二次函数、一元二次方程的知识相结合是解题的关键．26.【答案】解：(1)∵点F(2,1)在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线x=2，∴b=−1，∵点B(0,1)在抛物线上，∴c=1，∴y=14x2−x+1；(2)设P(m,14m2−m+1)，∵F(2,1)，∴PF=√(m−2)2+(14m2−m+1−1)2=14(m−2)2+1，∵PM=14(m−2)2，∴FP=PM+1；(3)当△PCF面积为2时，无论P点在何位置，如图，设直线PM与直线CF交于点K，∴S△PCF=12×2×KP，∴KP=2，由点C(0,3)，点F(2,1)可得直线CF的解析式为y=−x+3，设P(m,14m2−m+1)，K(m,−m+3)，∴KP=|−m+3−(14m2−m+1)|=2，∴14m2−2=2或2−14m2=2，∴m=±4或m=0，∴当△PCF面积为2时，各“巧点”为(0,1)或(4,1)或(−4,9)，∵△PCF的周长=PC+PF+CF，∵PF=PM+1，∴△PCF的周长=PC+PM+1+CF，∵CF为定值，∴当PC+PM取最小值时，即点C、P、M共线是，周长有最小值，∴当△PCF周长最小时存在“巧点”为P(0,1)或P(4,1)或P(−4,9)，当△PCF周长最小时存在“巧点”为P(0,1)．【解析】(1)由点F(2,1)确定对称轴为x=2，从而求出b=−1，再将点B(0,1)代入抛物线解析式可求c，即可求解；(2)设P(m,14m2−m+1)，由两点距离公式可得PF=14(m−2)2+1，因为PM=14(m−2)2，则可证明FP=PM+1；(3)设直线PM与直线CF交于点K，由S△PCF=12×2×KP，求出KP=2，再求出直线CF的解析式为y=−x+3，设P(m,14m2−m+1)，K(m,−m+3)，则KP=|−m+3−(14m2−m+1)|=2，求出m=±4或m=0，则可求各“巧点”为(0,1)或(4,1)或(−4,9)，因为△PCF的周长=PC+PM+1+CF，当PC+PM取最小值时，即点C、P、M共线是，周长有最小值，所以当△PCF周长最小时存在“巧点”为P(0,1)．本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，灵活运用所学知识是解题的关键．第21页，共21页。

2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.若点A(2,4)在函数y=kx−2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是()A. (1,1)B. (−1,1)C. (−2,−2)D. (2,−2)2.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为()A. 16B. 12C. 24D. 203.如果一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么()A. k>0，b>0B. k>0，b<0C. k<0，b>0D. k<0，b<04.下列说法中，错误的是()A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 菱形的对角线互相垂直D. 平行四边形的对角线互相平分5.王明同学把5次月考成绩(单位：分，满分100分)整理如下：75，74，78，73，75，关于这组数据的说法正确的是()A. 众数为74B. 中位数为74C. 平均数为76D. 方差为2.86.用配方法解一元二次方程x2−4x=5时，此方程可变形为()A. (x+2)2=1B. (x−2)2=1C. (x+2)2=9D. (x−2)2=97.沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为()A. 20(1+2x)=80B. 2×20(1+x)=80C. 20(1+x2)=80D. 20(1+x)2=808.对于实数a，b，定义运算“∗”如下：a∗b=a2−ab，例如：3∗2=32−3×2=3，则方程(x+1)∗(2x−1)=3的根的情况是()A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根9.抛物线y=ax2+bx−3经过点(2,4)，则代数式8a+4b+1的值为()A. 3B. 9C. 15D. −1510. 如图，函数y =ax 2−2x +1和y =ax −a(a 是常数，且a ≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) A. B. C. D.11. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，则水面下降1m 时，水面宽度增加( )A. 1mB. 2mC. (2√6−4)mD. (√6−2)m12. 二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(−2,−9a)，下列结论：①a −3b +2c >0；②3a −2b −c =0；③若方程a(x +5)(x −1)=−1有两个根x 1和x 2，且x 1<x 2，则−5<x 1<x 2<1；④若方程|ax 2+bx +c|=1有四个根，则这四个根的和为−8.其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S 甲2=1.2，S 乙2=0.5，则在本次测试中，______同学的成绩更稳定(填“甲”或“乙”)14. 如图，将平行四边形ABCD 的一边BC 延长至E ，若∠A =110°，则∠1=______．15. 已知直线y =x −3与y =2x +2的交点为(−5,−8)，则方程组{x −y −3=02x −y +2=0的解是______．16.二次函数y=x2+2x+2图象先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后二次函数图象的顶点坐标是______．17.若关于x的一元二次方程(a−1)x2−3x+2=0有实数根，则整数a的最大值为______．18.已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD最大值为______．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.解下列方程：(1)3x2−13x+14=0；(2)x2−7x=6．20.“最美的女教师”张丽莉，为了抢救两名学生，以致双腿高位截肢，社会各界纷纷为她捐款，我市某中学八年级一班全体同学也积极参加了捐款活动，该班同学捐款情况的部分统计如图所示：(1)求该班的总人数及扇形统计图中捐款5元的人数对应的圆心角度数；(2)请将条形图补充完整，并写出捐款金额的中位数；(3)该班平均每人捐款多少元？21.已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)，(1,1)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求出此二次函数的图象的顶点坐标及其与y轴的交点坐标．22.如图，O为△ABC边AC的中点，AD//BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．(1)求证：四边形ABCD为菱形；(2)若BD=8，AC=6，求DE的长．23.如图，某中学有一道长为35米的墙，计划用60米长的围栏靠墙围成一个矩形草坪AB−CD，设该矩形草坪AB边长为x米．(1)用含有x的式子表示BC，并写出x的取值范围；(2)若草坪ABCD的面积为400平方米，求BC的长度．24.已知关于x的二次函数y=x2−(2k−1)x+k2+1的图象与x轴有两个交点．(1)求k的取值范围；(2)若与x轴交点的横坐标为x1，x2，且它们的倒数之和是−3，求k的值；2(3)在(2)的条件下，若该抛物线与x轴交于点A、B，交y轴于点C，求三角形ABC的面积．25. 某公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售价格p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p ={14t +30(1≤t ≤24,t 为整数)−12t +48(25≤t ≤48,t 为整数)，且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：时间t/天1 3 6 10 20 40 … 日销售量y/千克 118 114 108 100 80 40 … (1)已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐赠n 元利润(n <9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为(2,4)，直线x =2与x 轴相交于点B ，连接OA ，抛物线y =x 2从点O 沿OA 方向平移，与直线x =2交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．(1)求线段OA所在直线的函数解析式；(2)设抛物线顶点M的横坐标为m，①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；(3)当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵点A(2,4)在函数y=kx−2的图象上，∴2k−2=4，解得k=3，∴此函数的解析式为：y=3x−2，A、∵3×1−2=1，∴此点在函数图象上，故本选项正确；B、∵3×(−1)−2=−5≠1，∴此点在不函数图象上，故本选项错误；C、∵3×(−2)−2=−7≠−2，∴此点在不函数图象上，故本选项错误；D、∵3×2−2=4≠−2，∴此点在不函数图象上，故本选项错误．故选A．将点A(2,4)代入函数解析式求出k的值，再把各点的坐标代入解析式，逐一检验即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．2.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AC=8，∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，∴AO=BO=4，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=4，∴△ABO的周长是4+4+4=12，故选B．根据矩形性质求出AO=BO=4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分．【解析】解：由题意得，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，k>0，b<0．故选B．因为一次函数y﹦kx﹢b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，即函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，即可确定k，b的符号．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平行四边形、菱形的判定和性质一一判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，本选项符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，本选项不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，正确，本选项不符合题意；D、平行四边形的对角线互相平分，正确，本选项不符合题意．故选：A．5.【答案】D【解析】此题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，解题时分别计算出众数、中位数、平均数及方差后找到正确的选项即可．分别计算该组数据的众数、平均数、中位数及方差后，选择正确的答案即可．【解答】解：x −=15(75+74+78+73+75)=75；∵排序后为：73、74、75、75、78，∴中位数为：75；∵75出现了2次，最多，∴众数为75，s 2=15[(75−75)2+(74−75)2+(78−75)2+(73−75)2+(75−75)2] =2.8．故选D ． 6.【答案】D【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【解答】解：∵x 2−4x =5，∴x 2−4x +4=5+4，∴(x −2)2=9．故选D ．7.【答案】D【解析】解：设增长率为x，根据题意得20(1+x)2=80，故选：D．根据第一年的销售额×(1+平均年增长率)2=第三年的销售额，列出方程即可．本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.(当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“−”)．8.【答案】A【解析】解：根据定义运算，方程(x+1)∗(2x−1)=3化为(x+1)2−(x+1)(2x−1)=3，整理，得x2−x+1=0，∵b2−4ac=(−1)2−4×1×1=−3<0，∴方程没有实数根．故选：A．先根据定义运算，将原方程化为一元二次方程，然后利用根的判别式进行判断即可．本题考查了一元二次方程，熟练运用根的判别式是解题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解题的关键是将(2,4)代入解析式中求出a与b的关系式，本题属于基础题型．将(2,4)代入二次函数的解析式即可求出a与b的关系式．【解答】解：将(2,4)代入y=ax2+bx−3，∴4=4a+2b−3，∴4a+2b=7，∴8a+4b+1=2(4a+2b)+1=15故选C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax−a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y=ax−a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象>0，故选项正确；应该开口向上，对称轴x=−−22aC、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象>0，故选项错误；应该开口向上，对称轴x=−−22aD、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．11.【答案】C【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为(0,2)，通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标(−2,0)到抛物线解析式得出：a=−0.5，所以抛物线解析式为y=−0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=−1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=−1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=−1代入抛物线解析式得出：−1=−0.5x2+2，解得：x=±√6，所以水面宽度增加到2√6米，比原先的宽度当然是增加了2√6−4．故选C．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=−1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．12.【答案】B【解析】解：∵抛物线的开口向上，∴a>0，∵抛物线的顶点坐标(−2,−9a)，∴−b2a =−2，4ac−b24a=−9a，∴b=4a，c=−5a，∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax−5a，∴a−3b+2c=a−12a−10a=−21a<0，所以①结论错误，3a−2b−c=3a+4a+5a=12a>0，故②结论错误，∵抛物线y=ax2+4ax−5a交x轴于(−5,0)，(1,0)，∴若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1<x2，则−5<x1<x2<1，正确，故结论③正确，若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，设方程ax2+bx+c=1的两根分别为x1，x2，则x1+x22=−2，可得x1+x2=−4，设方程ax2+bx+c=1的两根分别为x3，x4，则x3+x42=−2，可得x3+x4=−4，所以这四个根的和为−8，故结论④正确，故选：B．根据二次函数的性质一一判断即可．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13.【答案】乙【解析】【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=1.2，S乙2=0.5，∴S甲>S乙，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙；故答案为：乙．14.【答案】70°【解析】解：∵平行四边形ABCD的∠A=110°，∴∠BCD=∠A=110°，∴∠1=180°−∠BCD=180°−110°=70°．故答案为：70°．根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．15.【答案】{x =−5y =−8【解析】解：直线y =x −3与y =2x +2的交点为(−5,−8)，即x =−5，y =−8满足两个解析式，则{x =−5y =−8是{y =x −3y =2x +2即方程组{x −y −3=02x −y +2=0的解． 因此方程组{x −y −3=02x −y +2=0的解是{x =−5y =−8． 由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此点P 的横坐标与纵坐标的值均符合方程组中两个方程的要求，因此方程组的解应该是{x =−5y =−8． 方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．16.【答案】(2,3)【解析】解：∵将二次函数y =x 2+2x +2=(x +1)2+1的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后的二次函数的解析式为：y =(x −2)2+3，∴平移后的二次函数的顶点坐标为(2,3)．故答案是：(2,3)．按照“左加右减，上加下减”的规律即可得到函数解析式，求得其顶点坐标即可． 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．17.【答案】2【解析】解：∵关于x 的一元二次方程(a −1)x 2−3x +2=0有实数根，∴△=9−8(a −1)≥0，且a −1≠0，解得：a ≤178且a ≠1，则整数a 的最大值为2．故答案为：2．根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a 的范围，确定出所求即可．此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，灵活意义一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．18.【答案】2【解析】解：根据题意得，CD =2x +1−x 2=−x 2+2x +1=−(x 2−2x +1−1)+1=−(x 2−2x +1)+2=−(x −1)2+2，可见函数最大值为2．故答案为2．CD 的最大值即为点C 的纵坐标减去点D 的纵坐标，据此列出CD 的表达式，为关于x 的二次函数，求出二次函数的最大值即可．本题考查了二次函数与一次函数的关系，将求CD 的最大值转化为求关于x 的二次函数的最大值是解题的关键．19.【答案】解：(1)∵3x 2−13x +14=0，∴(x −2)(3x −7)=0，∴x =2或x =73．(2)∵x 2−7x =6，∴x 2−7x +494=6+494，∴(x −72)2=634， ∴x =72±3√72．【解析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练一元二次方程的解法，本题属于基础题型．20.【答案】解：(1)该班学生的总人数为：14÷28%=50(名)，“捐款5元”所在扇形的圆心角的度数为：1050×360°=72°；(2)捐款10元的人数为：50×32%=16(人)，捐款25元的人数为：50−(10+16+14+6)=4(人)，补全统计图如下：因为该班有50名学生，捐款数按从小到大排列后，第25、26位同学都捐了10元，所以捐款金额的中位数为10元；(3)该班平均每人捐款：5×10+10×16+15×14+20×6+25×450=640 50=12.8(元)．【解析】(1)由捐款15元的人数除以占的百分比，即可确定出该班学生的总人数；求出“捐款5元”的学生所占的百分比，再乘以360°即可得到“捐款5元”所在扇形的圆心角的度数；(2)求出捐款10元、25元的人数，补全条形统计图，根据中位数的定义确定该班捐款的中位数；(3)利用加权平均数的求解方法列式求解即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21.【答案】解：(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)，(1,1)，∴{9+3b+c=01+b+c=0，解得b=−4，c=3．∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3．(2)∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴抛物线的顶点坐标为(2,−1)；∵当x=0时，y=3，∴与y轴的交点坐标为(0,3)．【解析】(1)把点(3,0)，(1,1)代入二次函数y=x2+bx+c，利用待定系数法即可求得；(2)化成顶点式即可求得顶点坐标；横坐标为0，即令x=0，即可求得抛物线与y轴的交点纵坐标．主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和其顶点坐标、抛物线与x轴y轴的交点坐标的求法．22.【答案】(1)证明：∵O为△ABC边AC的中点，AD//BC，∴OA=OC，∠OAD=∠OCB，∠ADB=∠CBD，在△OAD和△OCB中，{∠OAD=∠OCBOA=OC∠AOD=∠COB，∴△OAD≌△OCB(ASA)，∴OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=DC，∴四边形ABCD是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=12BD=4，OC=12AC=3，AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴BC=√OB2+OC2=5，∵DE⊥BC，∴∠E=90°=∠BOC，∵∠OBC=∠EBD，∴△BOC∽△BED，∴OCDE =BCBD，即3DE=58，∴DE=245．【解析】(1)由ASA证明△OAD≌△OCB得出OD=OB，得出四边形ABCD是平行四边形，在证出∠CBD=∠CDB，得出BC=DC，即可得出四边形ABCD是菱形；(2)由菱形的性质得出OB=12BD=4，OC=12AC=3，AC⊥BD，由勾股定理得出BC=√OB2+OC2=5，证出△BOC∽△BED，得出OCDE =BCBD，即可得出结果．本题考查了菱形的判定与性质、平四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)设AB=x米，则BC=60−2x(12.5<x<30)；(2)根据题意，得x(60−2x)=400，整理，得：x2−30x+200=0，解得：x1=20，x2=10(不符合题意，舍去)，BC=60−2x=20米．答：BC边的长为20米．【解析】(1)根据矩形的周长和一边的长表示出另一边的长即可；(2)利用矩形面积求法得出其边长，进而得出答案．此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出矩形的长与宽是解题关键．24.【答案】解：(1)△=b2−4ac=[−(2k−1)]2−4(k2+1)=−4k−3>0，解得：k<−34；(2)抛物线与x轴交点的横坐标为x1，x2，则x1+x2=2k−1，x1⋅x2=k2+1，则1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k−1k2+1=−32，解得：k=−13(舍去)或−1，故k=−1；(3)当k =−1时，y =x 2−(2k −1)x +k 2+1=x 2+3x +2，令x =0，则y =2，故点C(0,2)，即OC =2，令y =0，即x 2+3x +2=0，解得：x =−1和−2，则AB =1，三角形ABC 的面积=12×AB ⋅OC =12×1×2=1，故三角形ABC 的面积为1．【解析】(1)△=>0，即可求解；(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2k−1k 2+1=−32，即可求解；(3)三角形ABC 的面积=12×AB ⋅OC ，即可求解．本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．25.【答案】解：(1)设y =kt +b ，把t =1，y =118；t =3，y =114代入得到： {k +b =1183k +b =114， 解得：{k =−2b =120， ∴y =−2t +120．将t =30代入上式，得：y =−2×30+120=60．所以在第30天的日销售量是60kg ．(2)设第x 天的销售利润为w 元．当1≤t ≤24时，由题意w =(−2t +120)(14t +30−20)=−12(t −10)2+1250， ∴t =10时w 最大值为1250元．当25≤t ≤48时，w =(−2t +120)(−12t +48−20)=t 2−116t +3360， ∵对称轴t =58，a =1>0，∴在对称轴左侧w 随x 增大而减小，∴t =25时，w 最大值=1085，综上所述第10天利润最大，最大利润为1250元．(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为m 元．由题意m =(−2t +120)(14t +30−20)−(−2t +120)n =−12t 2+(10+2n)t +1200−120n ，∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，∴−10+2n2×(−12)>23.5，∴n >6.75．又∵n <9，∴n 的取值范围为6.75<n <9．【解析】(1)设y =kt +b ，利用待定系数法即可解决问题．(2)日利润=日销售量×每公斤利润，据此分别表示前24天和后24天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．(3)列式表示前24天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n 的取值范围． 此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．26.【答案】解：(1)设OA 所在直线的函数解析式为y =kx ，∵A(2,4)，∴2k =4，∴k =2，∴OA 所在直线的函数解析式为y =2x ．(2)①∵顶点M 的横坐标为m ，且在线段OA 上移动，∴y =2m(0≤m ≤2)．∴顶点M 的坐标为(m,2m)．∴抛物线函数解析式为y =(x −m)2+2m ．∴当x =2时，y =(2−m)2+2m =m 2−2m +4(0≤m ≤2)．∴点P 的坐标是(2,m 2−2m +4)．②∵PB =m 2−2m +4=(m −1)2+3，又∵0≤m ≤2，∴当m=1时，PB最短．(3)当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=(x−1)2+2即y=x2−2x+3．假设在抛物线上存在点Q，使S△QMA=S△PMA．设点Q的坐标为(x,x2−2x+3)．①点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC//AO，交y轴于点C，∵PB=3，AB=4，∴AP=1，∴OC=1，∴C点的坐标是(0,−1)．∵点P的坐标是(2,3)，∴直线PC的函数解析式为y=2x−1．∵S△QMA=S△PMA，∴点Q落在直线y=2x−1上．∴x2−2x+3=2x−1．解得x1=2，x2=2，即点Q(2,3)．∴点Q与点P重合．∴此时抛物线上不存在点Q(2,3)，使△QMA与△APM的面积相等．②当点Q落在直线OA的上方时，作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE//AO，交y轴于点E，∵AP=1，∴EO=DA=1，∴E、D的坐标分别是(0,1)，(2,5)，∴直线DE函数解析式为y=2x+1．∵S△QMA=S△PMA，∴点Q落在直线y=2x+1上．∴x2−2x+3=2x+1．解得：x1=2+√2，x2=2−√2．代入y=2x+1得：y1=5+2√2，y2=5−2√2．∴此时抛物线上存在点Q1(2+√2,5+2√2)，Q2(2−√2,5−2√2)使△QMA与△PMA的面积相等．综上所述，抛物线上存在点Q1(2+√2,5+2√2)，Q2(2−√2,5−2√2)使△QMA与△PMA的面积相等．【解析】(1)根据A点的坐标，用待定系数法即可求出直线OA的解析式．(2)①由于M点在直线OA上，可根据直线OA的解析式来表示出M点的坐标，因为M 点是平移后抛物线的顶点，因此可用顶点式二次函数通式来设出这个二次函数的解析式，P的横坐标为2，将其代入抛物线的解析式中即可得出P点的坐标．②PB的长，实际就是P点的纵坐标，因此可根据其纵坐标的表达式来求出PB最短时，对应的m的值．(3)根据(2)中确定的m值可知：M、P点的坐标都已确定，因此AM的长为定值，若要使△QMA的面积与△PMA的面积相等，那么Q点到AM的距离和P到AM的距离应该相等，因此可分两种情况进行讨论：①当Q在直线OA下方时，可过P作直线OA的平行线交y轴于C，那么平行线上的点到OA的距离可相等，因此Q点必落在直线PC上，可先求出直线PC的解析式，然后利用抛物线的解析式，看得出的方程是否有解，如果没有则说明不存在这样的Q点，如果有解，得出的x的值就是Q点的横坐标，可将其代入抛物线的解析式中得出Q点的坐标．②当Q在直线OA上方时，同①类似，可先找出P关于A点的对称点D，过D作直线OA的平行线交y轴于E，那么直线DE上的点到AM的距离都等于点P到AM上的距离，然后按①的方法进行求解即可．(本题也可通过以AP为底，找出和点M到AP的距离相等的两条直线，然后联立抛物线的解析式进行求解即可)．本题考查了一次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、函数图象的交点、图形面积的求法等知识点，主要考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．。

2025届湖南省长沙市芙蓉区长郡芙蓉中学数学九年级第一学期开学统考模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2016S 的值为（）A ．201212⎛⎫⎪⎝⎭B ．201312⎛⎫⎪⎝⎭C ．20122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．20132⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2、（4分）如果（2+）2＝a +b ，a ，b 为有理数，那么a +b ＝（）A ．7+4B ．11C ．7D ．33、（4分）教育局组织学生篮球赛，有x 支球队参加，每两队赛一场时，共需安排45场比赛，则符合题意的方程为（）A ．()11452x x -=B ．()11452x x +=C ．()145x x -=D ．()145x x +=4、（4分）如图，BE 、CF 分别是△ABC 边AC 、AB 上的高，M 为BC 的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是（）A ．21B ．18C ．15D ．135、（4分）如图，不等式组1010x x +⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．6、（4分）某市一周日最高气温如图所示，则该市这周的日最高气温的众数是（）A ．25B ．26C ．27D ．287、（4分）若等腰ABC ∆的周长是50cm ，一腰长为xcm ，底边长为ycm ，则y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围是()A ．502(050)y x x =-<<B ．1(502)(050)2y x x =-<<C ．25502(25)2y x x =-<<D ．125(502)(25)22y x x =-<<8、（4分）以下命题，正确的是（）.A ．对角线相等的菱形是正方形B ．对角线相等的平行四边形是正方形C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）学校开展的“争做最美中学生”的一次演讲比赛中，编号分别为1，2，3，4，5的五位同学最后成绩如下表所示：那么这五位同学演讲成绩的众数是_____，中位数是_____．10、（4分）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB =6，则BC 的长为__．11、（4分）已知：x =2y =-，代数式222x xy y -+的值为_________.12、（4分）医学研究发现一种新病毒的直径约为0.000043毫米，这个数0.000043用科学记数法表为______________．13、（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线()0y kx k =>分别交反比例函数4y x=和9y x =在第一象限的图象于点,,A B 过点B 作BD x ⊥轴于点,D 交4y x=的图象于点,C 连结AC ．若ABC 是等腰三角形，则k 的值是________________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）计算：2÷×．15、（8分）在数学拓展课上，老师让同学们探讨特殊四边形的做法：如图，先作线段AB ，作射线AM （MAB ∠为锐角），过B 作射线BN 平行于AM ，再作MAB ∠和NBA ∠的平分线分别交BN 和AM 于点C 和D ，连接CD ，则四边形ABCD 为菱形；（1）你认为该作法正确吗？请说明理由.（2）若4AB =，并且四边形ABCD 的面积为AC 上取一点Q ，使得BQ =.请问图中存在这样的点Q 吗？若存在，则求出AQ 的长；若不存在，请说明理由.16、（8分）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90CBA ADC ∠=∠=︒，2AB =，5BC =，E 、P 分别在AD 、BC 上，且1DE BP ==，AP 与BE 相交于点H ，CE 与PD 相交于点F ．（1）求证：四边形ABCD 为矩形；（2）判断四边形EFPH 是什么特殊四边形？并说明理由；（3）求四边形EFPH 的面积．17、（10分）阅读下面材料：数学课上，老师出示了这祥一个问题：如图，在正方形ABCD 中，点F 在AB 上，点E 在BC 延长线上。

2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意得.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）的倒数是（）A．B．3C．﹣3D．2．（3分）下列银行标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．B．（a3）2＝a5C．（﹣a）3÷（﹣a）＝﹣a2D．3x3×（﹣2x2）＝﹣6x54．（3分）由陈可辛执导的电影《夺冠》，于2020年9月25日在中国内地上映，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历，截至目前已突破8.1亿的票房．其中数据8.1亿用科学记数法表示为（）A．8×108B．8.1×108C．81×107D．0.81×109 5．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，6cmC．4cm，6cm，8cm D．5cm，6cm，12cm6．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：S甲2＝0.48，S乙2＝0.52，S丙2＝0.56，S丁2＝0.58，则成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（3分）若线段2cm，4cm，x，10cm成比例，则x等于（）A．cm B．20cm C．5cm D．8cm8．（3分）已知，△ABC≌△DEF，且∠A＝55°，∠E＝45°，则∠C＝（）A．55°B．45°C．80°D．90°9．（3分）如图，△ABC≌△CDA，那么下列结论错误的是（）A．AB＝CD B．∠1＝∠2C．∠B＝∠D D．AD＝AB 10．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．问：城中有多少户人家？（）A．55B．65C．75D．8511．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC ∽△AED的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④12．（3分）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．14．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，其中＝，则＝．15．（3分）如图，矩形OABC，点B在反比例函数y＝的图象上，则矩形OABC面积为．16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝2，则菱形ABCD的周长是．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分）17．（6分）计算：|﹣4|﹣（）﹣1﹣（π﹣2020）0+．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣3（x+y）（x﹣y）+2x2，其中，x＝1，y＝﹣1．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣5，1）（1）将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，请画出线段AC，并写出C点坐标；（2）请画出折线BAC关于y轴的对称图形．20．（8分）中秋节有吃月饼的习俗，长沙市某食品厂为了解市民对去年中秋节期间销售量较好的A、B、C、D四种不同口味月饼的喜爱情况，在今年中秋前对芙蓉区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整），请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有人；（2）将两幅不完整的统计图补充完整；（3）若有外型完全相同的A、B、C、D四种月饼各一个，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃的月饼恰好是C种月饼的概率．21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象交于点A（1，8）、B（2，4）两点．（1）求出这两个函数的解析式；（2）结合图象直接写出不等式kx+b≤的解集．22．（9分）随着现代互联网技术的广泛应用和快递行业的高速发展，网上购物的人越来越多，“双十一”当天更是成为了全民狂欢的网购节．据统计，某天猫官方旗舰店在2017年和2019年“双十一”当天的订单量分别为20万件和45万件，现假设该旗舰店每年“双十一”当天的订单量增长率相同．（1）求该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率；（2）如果该旗舰店的客服平均每人每天最多可以处理0.2万件订单，那么该旗舰店现有的250名客服能否当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单？如果不能，请问至少还需要增加多少名客服？23．（9分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，DC＝DB，延长CD 交直线BA于点E，过点D作DF⊥AB，交直线AB于点F．（1）若∠ACD＝35°，求∠CAD的度数；（2）求证：直线DF为⊙O的切线；（3）若BC＝8，AD＝5，求AB的长．24．（10分）若“子函数”y1、y2满足y＝y1+y2，则称函数y是“子函数”y1、y2的“母函数”．例如，“子函数”分别为一次函数y1＝x+1和二次函数y2＝x2+2x﹣3，则“子函数”y1、y2的“母函数”为y＝y1+y2＝x2+3x﹣2．（1）“子函数”分别为反比例函数y1＝和一次函数y2＝kx﹣1，它们的“母函数”过点（1，5），求k的值；（2）若“子函数”y1＝ax2+bx+c为二次函数，且a+b+c＝3，在x＝t时取得最值，“子函数”y2是一次函数，且“母函数”为y＝x2+2x﹣3，当﹣2≤x≤3时，求“子函数”y1的最小值（用含t的式子表示）；（3）“子函数”分别为二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝﹣ax﹣b，其中a+b+c＝0且a＞b＞c，若它们的“母函数”与x轴交点为A（x1，0）、B（x2，0），求|x1﹣x2|的取值范围．25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M和坐标原点O，一次函数y＝mx﹣4m与x轴交于点M．（1）求出抛物线的对称轴；（2）如图1，以线段OM为直径作⊙C，在第一象限内的圆上存在一点B，使得△OBC 为等边三角形，求⊙C过点B的切线l的函数解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，当a＞0时，若抛物线上有且只存在三点D1、D2、D3，使得∠OD1M＝∠OD2M＝∠OD3M＝60°，过点B的切线与抛物线交于P、Q两点，试问：在直线PQ下方的抛物线上是否存在一点N，使得△PNQ的面积最大？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意得.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）的倒数是（）A．B．3C．﹣3D．【解答】解：的倒数是：3．故选：B．2．（3分）下列银行标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．3．（3分）下列计算正确的是（）A．B．（a3）2＝a5C．（﹣a）3÷（﹣a）＝﹣a2D．3x3×（﹣2x2）＝﹣6x5【解答】解：A、＝3，故本选项错误；B、（a3）2＝a6，故本选项错误；C、（﹣a）3÷（﹣a）＝a2，故本选项错误；D、3x3×（﹣2x2）＝﹣6x5，故本选项正确．故选：D．4．（3分）由陈可辛执导的电影《夺冠》，于2020年9月25日在中国内地上映，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历，截至目前已突破8.1亿的票房．其中数据8.1亿用科学记数法表示为（）A．8×108B．8.1×108C．81×107D．0.81×109【解答】解：8.1亿＝810000000＝8.1×108．故选：B．5．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，6cmC．4cm，6cm，8cm D．5cm，6cm，12cm【解答】解：A、1+2＝3，不能构成三角形；B、2+3＜6，不能构成三角形；C、4+6＞8，能构成三角形；D、5+6＜12，不能构成三角形．故选：C．6．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：S甲2＝0.48，S乙2＝0.52，S丙2＝0.56，S丁2＝0.58，则成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：∵S甲2＝0.48，S乙2＝0.52，S丙2＝0.56，S丁2＝0.58，∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，∴成绩最稳定的是甲，故选：A．7．（3分）若线段2cm，4cm，x，10cm成比例，则x等于（）A．cm B．20cm C．5cm D．8cm【解答】解：根据题意得：＝，解得x＝5cm．故选：C．8．（3分）已知，△ABC≌△DEF，且∠A＝55°，∠E＝45°，则∠C＝（）A．55°B．45°C．80°D．90°【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠E＝45°，在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣55°﹣45°＝80°．故选：C．9．（3分）如图，△ABC≌△CDA，那么下列结论错误的是（）A．AB＝CD B．∠1＝∠2C．∠B＝∠D D．AD＝AB【解答】解：A、∵△ABC≌△CDA，∴AB＝CD，本选项说法正确，不符合题意；B、∵△ABC≌△CDA，∴∠1＝∠2，本选项说法正确，不符合题意；C、∵△ABC≌△CDA，∴∠B＝∠D，本选项说法正确，不符合题意；D、当△ABC≌△CDA时，AD与AB不一定相等，本选项说法错误，符合题意；故选：D．10．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．问：城中有多少户人家？（）A．55B．65C．75D．85【解答】解：设城中有x户人家，依题意，得：x+x＝100，解得：x＝75．故选：C．11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC ∽△AED的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【解答】解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵＝，∴＝∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．12．（3分）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【解答】解：如图，延长CD交⊙O于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．∵OA⊥PC，OB⊥CT，∴CD＝DP，CE＝TE，∴DE＝PT，∴当PT是直径时，DE的长最大，连接OC，∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，∴∠AOB＝∠COA+∠COB＝∠POT＝90°，故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠1．【解答】解：∵分式在实数范围内有意义，∴1﹣x≠0，解得：x≠1，则x的取值范围是：x≠1．故答案为：x≠1．14．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，其中＝，则＝．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∴，故答案为：．15．（3分）如图，矩形OABC，点B在反比例函数y＝的图象上，则矩形OABC面积为4．【解答】解：∵点B在反比例函数y＝的图象上，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，∴故矩形OABC的面积S＝|k|＝4．故答案为4．16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝2，则菱形ABCD的周长是16．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∵点P是AB的中点，∴AB＝2OP，∵PO＝2，∴AB＝4，∴菱形ABCD的周长是：4×4＝16，故答案为：16．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分）17．（6分）计算：|﹣4|﹣（）﹣1﹣（π﹣2020）0+．【解答】解：原式＝4﹣3﹣1+2＝2．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣3（x+y）（x﹣y）+2x2，其中，x＝1，y＝﹣1．【解答】解：（x﹣2y）2﹣3（x+y）（x﹣y）+2x2＝x2﹣4xy+4y2﹣3（x2﹣y2）+2x2＝x2﹣4xy+4y2﹣3x2+3y2+2x2＝7y2﹣4xy，当x＝1，y＝﹣1时，原式＝7×（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝7+4＝11．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣5，1）（1）将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，请画出线段AC，并写出C点坐标；（2）请画出折线BAC关于y轴的对称图形．【解答】解：（1）如图，线段AC即为所求．C（0，0）．（2）如图，折线CEF即为所求．20．（8分）中秋节有吃月饼的习俗，长沙市某食品厂为了解市民对去年中秋节期间销售量较好的A、B、C、D四种不同口味月饼的喜爱情况，在今年中秋前对芙蓉区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整），请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有600人；（2）将两幅不完整的统计图补充完整；（3）若有外型完全相同的A、B、C、D四种月饼各一个，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃的月饼恰好是C种月饼的概率．【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民有：60÷10%＝600（人），故答案为：600；（2）A组所对应的百分比是×100%＝30%，C组的人数是600﹣180﹣60﹣240＝120（人），所占的百分比是×100%＝20%，将两幅不完整的统计图补充完整如下：（3）画出树状图如图：共有12个等可能的结果，小王第二个吃的月饼恰好是C种月饼的结果有3个，∴小王第二个吃的月饼恰好是C种月饼的概率＝＝．21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象交于点A（1，8）、B（2，4）两点．（1）求出这两个函数的解析式；（2）结合图象直接写出不等式kx+b≤的解集．【解答】解：（1）点A（1，8）、B（2，4）代入y＝kx+b得：，解得：．则一次函数的解析式是：y＝﹣4x+12．把B（2，4）代入y＝得：m＝8，则反比例函数的解析式是：y＝；（2）由图象可知，不等式kx+b≤的解集为0＜x≤1或x≥2．22．（9分）随着现代互联网技术的广泛应用和快递行业的高速发展，网上购物的人越来越多，“双十一”当天更是成为了全民狂欢的网购节．据统计，某天猫官方旗舰店在2017年和2019年“双十一”当天的订单量分别为20万件和45万件，现假设该旗舰店每年“双十一”当天的订单量增长率相同．（1）求该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率；（2）如果该旗舰店的客服平均每人每天最多可以处理0.2万件订单，那么该旗舰店现有的250名客服能否当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单？如果不能，请问至少还需要增加多少名客服？【解答】解：（1）设该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率为x，依题意得：20（1+x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率为50%．（2）45×（1+50%）＝67.5（万件）．∵0.2×250＝50（万件），50＜67.5，∴该旗舰店现有的250名客服不能当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单．设需要增加m名客服，依题意得：0.2×（250+m）≥67.5，解得：m≥87，又∵m为正整数，∴m的最小值为88．答：该旗舰店现有的250名客服不能当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单，至少还需要增加88名客服．23．（9分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，DC＝DB，延长CD 交直线BA于点E，过点D作DF⊥AB，交直线AB于点F．（1）若∠ACD＝35°，求∠CAD的度数；（2）求证：直线DF为⊙O的切线；（3）若BC＝8，AD＝5，求AB的长．【解答】（1）解：∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣35°＝55°．（2）证明：连接DO，并延长DO交BC于点T．∵DB＝DC，∴＝，∴DT⊥BC，CT＝BT，∴∠DTB＝90°，∵AC是直径，∴∠CBA＝90°，∵DF⊥BE，∴∠DFB＝90°，∴四边形DFBT是矩形，∴∠TDF＝90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．（3）解：∵四边形DFBT是矩形，∴DF＝BT，∵CT＝BT＝BC＝4，∴DF＝BT＝4，∵∠AFD＝90°，AD＝5，∴AF＝＝＝3，设EF＝x，DE＝y，则有，解得x＝（负根已经舍弃），∴EF＝，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CBE＝90°，∴∠DBC+∠DBE＝90°，∠DCB+∠E＝90°，∴∠DBE＝∠E，∴DB＝DE，∵DF⊥BE，∴FB＝FE＝，∴AB＝FB﹣AF＝﹣3＝．24．（10分）若“子函数”y1、y2满足y＝y1+y2，则称函数y是“子函数”y1、y2的“母函数”．例如，“子函数”分别为一次函数y1＝x+1和二次函数y2＝x2+2x﹣3，则“子函数”y1、y2的“母函数”为y＝y1+y2＝x2+3x﹣2．（1）“子函数”分别为反比例函数y1＝和一次函数y2＝kx﹣1，它们的“母函数”过点（1，5），求k的值；（2）若“子函数”y1＝ax2+bx+c为二次函数，且a+b+c＝3，在x＝t时取得最值，“子函数”y2是一次函数，且“母函数”为y＝x2+2x﹣3，当﹣2≤x≤3时，求“子函数”y1的最小值（用含t的式子表示）；（3）“子函数”分别为二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝﹣ax﹣b，其中a+b+c＝0且a＞b＞c，若它们的“母函数”与x轴交点为A（x1，0）、B（x2，0），求|x1﹣x2|的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：y1，y2的“母函数”为：y＝y1+y2．＝+kx﹣1．将点（1，5）代入得：5＝+k﹣1．∴k＝5．（2）由题意：y2＝y﹣y1＝（1﹣a）x2+（2﹣b）x﹣3﹣c．∵y1是二次函数，y2是一次函数．∴1﹣a＝0，a≠0．∴a＝1．∵y1＝ax2+bx+c在x＝t取得最值．∴t＝﹣．∴b＝﹣2t．∵a+b+c＝3．∴c＝3﹣b﹣a．＝3+2t﹣1．＝2+2t．∴y1＝x2﹣2tx+2+2t．开口向上，对称轴：x＝t．∵﹣2≤x≤3．∴当t＜﹣2时，x＝﹣2，y1min＝（﹣2）2﹣2t×（﹣2）+2+2t＝6+6t．当﹣2≤t＜3时，x＝t，y1min＝t2﹣2t2+2+2t．＝﹣t2+2t+2．当t≥3时，x＝3，y1min＝9﹣6t+2+2t＝11﹣4t．综上：y1min＝．（3）设y＝ax2+（b﹣a）x+c﹣b与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）．则x1，x2是方程ax2+（b﹣a）x+c﹣b＝0的两根．∴x1+x2＝．x2＝．∵a+b+c＝0，a＞b＞c．a＞0，c＜0∴|x1﹣x2|＝＝＝＝＝＝．∵b＝﹣a﹣c，b＞c．∴﹣a﹣c＞c．﹣a＞2c．﹣＞．∵b＜a．∴﹣a﹣c＜a．﹣c＜2a．∴﹣＜2．∴＜+2＜4．∴＜16．∴＜12．∴＜|x1﹣x2|＜2．25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M和坐标原点O，一次函数y＝mx﹣4m与x轴交于点M．（1）求出抛物线的对称轴；（2）如图1，以线段OM为直径作⊙C，在第一象限内的圆上存在一点B，使得△OBC 为等边三角形，求⊙C过点B的切线l的函数解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，当a＞0时，若抛物线上有且只存在三点D1、D2、D3，使得∠OD1M＝∠OD2M＝∠OD3M＝60°，过点B的切线与抛物线交于P、Q两点，试问：在直线PQ下方的抛物线上是否存在一点N，使得△PNQ的面积最大？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y＝mx﹣4m＝0，解得x＝4，故点M（4，0），∵抛物线y＝ax2+bx+c过原点O，则c＝0，故抛物线的表达式为y＝ax2+bx，将点M的坐标代入上式得：16a+4b＝0，即b＝﹣4a，故抛物线的表达式为y＝ax2﹣4ax①，则抛物线的对称轴为x＝2；（2）由（1）知，OC＝2，则△OBC为边长为2的等边三角形，则该三角形的高为2×sin60°＝，故点B的坐标为（1，），在Rt△EBC中，∠BEC＝90°﹣∠ECB＝90°﹣60°＝30°，故OE＝2BC＝4，则点E的坐标为（﹣2，0），设切线l的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线l的表达式为y＝x+②，（3）存在，理由：∵抛物线上有且只存在三点D1、D2、D3，使得∠OD1M＝∠OD2M＝∠OD3M＝60°，则有一个点D为抛物线的顶点，如下图，根据函数的对称轴，则△OMD为边长为4的等边三角形，同理可得，点D（2，﹣2），即抛物线的顶点为D，将点D的坐标代入①得：﹣2＝4ax﹣8a，解得a＝，则抛物线的表达式为y＝x2﹣2x③，联立②③并整理得：3x2﹣14x﹣4＝0，解得x＝，则x Q﹣x P＝，过点N作NH∥y轴交PQ于点H，设点N（x，x2﹣2x），则点H（x，x+），则S△PQN＝S△HNP+S△HNQ＝•HN•（x Q﹣x P）＝（x+﹣x2+2x）＝（﹣x2+x+），∵a＜0，故抛物线开口向下，△PNQ的面积存在最大值，此时x＝，则点N的坐标为（，﹣）．。

2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−12的相反数是()A. −2B. −12C. 12D. 22.下列运算正确的是()A. a6÷a2=a3B. a5−a3=a2C. (3a3)2=6a9D. 2(a3b)2−3(a3b)2=−a6b23.函数y=√x−2中自变量x的取值范围是()A. x≥0B. x≥2C. x≤2D. x<24.化简x2x−1+x1−x的结果是()A. x+1B. x−1C. −xD. x5.下列方程中，有两个不等实数根的是()A. x2=3x−8B. x2+5x=−10C. 7x2−14x+7=0D. x2−7x=−5x+36.若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则点A(m,1)必在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.函数y=ax2−a与y=ax(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()A. B. C. D.8.下列长度的三条线段，能组成三角形的是()A. 1、1、2B. 3、4、5C. 1、4、6D. 2、3、79.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的()A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三条角平分线的交点10.如图，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于()A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.如图，直线a//b，∠1=115°，则∠2=______ °.12.分解因式：x3−4x2+4x=______．13.PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为______．14. 二元一次方程组{x +2y =3x −y =6的解是______ ．15. 已知x 2+4x −3=0，那么3x 2+12x +2005的值是______ ． 16. 如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，反比例函数y =kx 的图象过点B ，则k 的值为______ ．17. 如图，延长线段AB 到C ，使BC =4，若AB =8，则线段AC 的长是BC 的______ 倍．18. 已知关于x 的不等式组{x −a >03−2x >0的整数解共有4个，则a 的取值范围为______．三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）19. 解不等式2(x −2)≤6−3x ，并写出它的正整数解．20. 如图，AB =AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD相交于点O ．(1)求证：AD =AE ；(2)连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的关系并说明理由．四、解答题（本大题共6小题，共52.0分） 21. 计算：(−12)0+(13)−1×2√3+|tan45°−√3|.(x> 22.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1,0)，B(3,1)，C(3,3).反比例函数y=mx0)的函数图象经过点D，点P是一次函数y=kx+3−3k(k≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．(1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算，说明一次函数y=kx+3−3k(k≠0)的图象一定过点C；(3)对于一次函数y=kx+3−3k(k≠0)，当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围(不必写出过程)．23.某同学在A，B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．(1)求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？(2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八五折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？24.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=4，AD=3√3，AE=3，求AF的长．25.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y(件)与销售单价x(元)的关系可以近似的看作一次函数(如图)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设公司获得的总利润(总利润=总销售额−总成本)为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？(3)若公司要保证利润不能低于4000元，则销售单价x的取值范围为多少元(可借助二次函数的图象解答)？26.如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE=1，A(3,0)，3 D(−1,0)，E(0,3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0<t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．根据相反数的意义解答即可．【解答】解：由相反数的意义得：−12的相反数是12．故选C．2.【答案】D【解析】解：A、a6÷a2=a4，故本选项错误；B、不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、(3a3)2=9a6，故本选项错误；D、2(a3b)2−3(a3b)2=−a6b2，故本选项正确．故选D．根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．本题考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方法则，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．3.【答案】B【解析】解：x−2≥0，x≥2，故选：B．根据二次根式有意义的条件，进行选择即可．本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握二次根是有意义的条件是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：x2x−1+x1−x=x2x−1−xx−1=x2−xx−1=x(x−1)x−1=x，故选：D．将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．5.【答案】D【解析】解：(1)△=9−32=−23<0，方程无根．(2)△=25−40=−15<0，方程无根．(3)△=196−196=0，方程有两个相等的实数根．(4)△=4+12=16>0，方程有两个不相等的实数根．故选：D．整理每个方程后，利用△与0的关系来判断每个方程的根的情况．有两个不等实数根即△>0．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．6.【答案】B【解析】解：∵直线y=3x+m经过第一，三，四象限，∴m<0，∴(m,1)必在第二象限．故选：B．由直线y=3x+m经过第一，三，四象限可判断m的符号，再判断点A(m,1)所在象限．本题主要考查对一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能熟练地运用一次函数的性质进行推理是解此题的关键．7.【答案】A【解析】解：当a>0时，函数y=ax2−a的图象开口向上，但当x=0时，y=−a<0，故B不可能；当a<0时，函数y=ax2−a的图象开口向下，但当x=0时，y=−a>0，故C、D不可能．可能的是A．故选：A．本题只有一个待定系数a，且a≠0，根据a>0和a<0分类讨论．也可以采用“特值法”，逐一排除．讨论当a>0时和a<0时的两种情况，用了分类讨论的思想．8.【答案】B【解析】解：根据三角形的三边关系，知A、1+1=2，不能组成三角形；B、3+4>5，能够组成三角形；C、1+4<6，不能组成三角形；D、2+3<7，不能组成三角形．故选：B．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．9.【答案】D【解析】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：D．因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为C．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比相等．根据相似三角形对应边的比相等可得ACBC =CDAC，将CD=4，CB=9代入计算即可．【解答】解：∵△ACD∽△BCA，∴ACBC =CDAC，∴AC2=CD⋅BC=4×9=36，∴AC=6．故选D．11.【答案】65【解析】解：∵∠1=115°，∴∠3=∠1=115°，∵a//b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°−∠3=180°−115°=65°．故答案为：65．由对顶角相等，可求得∠3的度数，又由a//b，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠2的度数．此题考查了平行线的性质．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．12.【答案】x(x−2)2【解析】解：x3−4x2+4x=x(x2−4x+4)=x(x−2)2，故答案为x(x−2)2．首先提取公因式x，然后利用完全平方式进行因式分解即可．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．13.【答案】2.5×10−6【解析】解：0.0000025=2.5×10−6，故答案为：2.5×10−6．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10−n ，其中1≤|a|<10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．14.【答案】{x =5y =−1【解析】解：在方程组{x +2y =3①x −y =6②中，①−②，得3y =−3， ∴y =−1．代入②，得x =5． 所以原方程组的解为{x =5y =−1．考查了解二元一次方程组的方法．在本题中，x 的系数都为1，因此可采用加减消元法进行解答． 注意观察方程组的特点，根据特点运用简便方法计算． 15.【答案】2014【解析】解：∵x 2+4x −3=0，即x 2+4x =3， ∴原式=3(x 2+4x)+2005=9+2005=2014． 故答案为：2014．原式前两项提取3变形后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16.【答案】−1【解析】解：因为反比例函数y =kx 的图象过点B ，且四边形OABC 是边长为1的正方形，所以|k|=1，即k =±1，由图知反比例函数的图象在第二象限，所以k =−1． 故答案为：−1．此题只需根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值|k|即可作答．主要考查了反比例函数y =kx 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形的面积为12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．17.【答案】3【解析】解：∵BC =4，AB =8，则AC =12， ∴线段AC 的长是BC 的3倍．由已知条件可知，AC =AB +BC ，代入求值，则线段AC 与BC 的倍数关系可求． 借助图形来计算，这样才直观形象，便于思维．灵活运用线段的和、倍转化线段之间的数量关系．18.【答案】−3≤a <−2【解析】解：{x −a >0 ①3−2x >0 ②，由①得：x >a ， 由②得：x <1.5， ∴a <x <1.5．因为有4个整数解，可以知道x 可取−2，−1，0，1， ∴−3≤a <−2，所以可知a 的取值为：−3≤a <−2． 故答案为：−3≤a <−2．先解出不等式的解，然后根据整数解的个数确定a 的取值范围．本题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值． 19.【答案】解：不等式2(x −2)≤6−3x ， 解得，x ≤2，∴正整数解为1和2．【解析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．20.【答案】(1)证明：在△ACD 与△ABE 中， ∵{∠A =∠A∠ADC =∠AEB =90°AC =AB， ∴△ACD≌△ABE ， ∴AD =AE ．(2)答：直线OA 垂直平分BC ．理由如下：连接BC ，AO 并延长交BC 于F ， 在Rt △ADO 与Rt △AEO 中，{OA =OA AD =AE∴Rt △ADO≌Rt △AEO(HL)， ∴∠DAO =∠EAO ，即OA 是∠BAC 的平分线， 又∵AB =AC ，∴OA ⊥BC 且平分BC ．【解析】(1)根据全等三角形的判定方法，证明△ACD≌△ABE ，即可得出AD =AE ，(2)根据已知条件得出△ADO≌△AEO ，得出∠DAO =∠EAO ，即可判断出OA 是∠BAC 的平分线，即OA ⊥BC ．本题考查了全等三角形的判定方法，以及全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质，难度适中．21.【答案】解：(−12)0+(13)−1×2√3+|tan45°−√3|=1+3×2√33+|1−√3|=1+2√3+√3−1=3√3．【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、分母有理化可以解答本题．本题考查零指数幂、负整数指数幂、分母有理化、二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD =BC ，∵B(3,1)，C(3,3)，∴BC ⊥x 轴，AD =BC =2， 而A 点坐标为(1,0)， ∴点D 的坐标为(1,2)． ∵反比例函数y =m x(x >0)的函数图象经过点D(1,2)，∴2=m1, ∴m =2，∴反比例函数的解析式为y =2x ；(2)当x =3时，y =kx +3−3k =3k +3−3k =3， ∴一次函数y =kx +3−3k(k ≠0)的图象一定过点C ；(3)设点P 的横坐标为a ， 则a 的范围为23<a <3．【解析】(1)由B(3,1)，C(3,3)得到BC ⊥x 轴，BC =2，根据平行四边形的性质得AD =BC =2，而A 点坐标为(1,0)，可得到点D 的坐标为(1,2)，然后把D(1,2)代入y =mx 即可得到m =2，从而可确定反比例函数的解析式；(2)把x =3代入y =kx +3−3k(k ≠0)得到y =3，即可说明一次函数y =kx +3−3k(k ≠0)的图象一定过点C ；(3)设点P 的横坐标为a ，由于一次函数y =kx +3−3k(k ≠0)过C 点，并且y 随x 的增大而增大时，则P 点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，当纵坐标小于3时，由y =2x 得到a >23，于是得到a 的取值范围．本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；利用平行四边形的性质确定点的坐标；掌握一次函数的增减性． 23.【答案】解：(1)设随身听和书包的单价分别为x 元，y 元． 由题意可得{x +y =452x =4y −8，解得{x =360y =92.答：随身听和书包的单价分别为360元，92元；(2)A 超市需要：452×0.85=384.2(元)；B 超市需要：先购买随身听花费360元，返券90元，还需要92−90=2(元)，共花费360+2=362(元)．因为384.2>362，所以在B 超市购买省钱．【解析】(1)设随身听和书包的单价分别为x 元，y 元，根据随身听和书包单价之和是452元，列方程组求解即可；(2)根据两商家的优惠方式分别计算是否两家都可以选择，比较钱数少的则购买更省钱． 此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB//CD ，AD//BC ，∴∠B +∠C =180°，∠ADF =∠DEC ，∵∠AFD +∠AFE =180°，∠AFE =∠B ，∴∠AFD =∠C ，∴△ADF∽△DEC ；(2)∵AE ⊥BC ，AD =3√3，AE =3，∴在Rt △DAE 中，DE =√AD 2+AE 2=√(3√3)2+32=6，由(1)知△ADF∽△DEC ，得AF DC =AD DE ，∴AF =DC×AD DE =4×3√36=2√3．【解析】(1)根据四边形ABCD 是平行四边形，得出AB//CD ，AD//BC ，再根据平行线的性质得出∠B +∠C =180°，∠ADF =∠DEC ，然后根据∠AFD +∠AFE =180°，∠AFE =∠B ，得出∠AFD =∠C ，从而得出△ADF∽△DEC ；(2)根据已知和勾股定理得出DE =√AD 2+AE 2，再根据△ADF∽△DEC ，得出AF DC =AD DE ，即可求出AF 的长．此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．25.【答案】解：(1)设y 与x 的函数关系式为：y =kx +b ，∵函数图象经过点(60,400)和(70,300)，∴{400=60k +b 300=70k +b ， 解得：{k =−10b =1000． 故y 与x 之间的函数关系式为：y =−10x +1000；(2)由题意可得出：P =(x −50)(−10x +1000)=−10x 2+1500x −50000，自变量取值范围：50≤x ≤70.∵−b 2a =−1500−20=75，a =−10<0．∴函数P =−10x 2+1500x −50000图象开口向下，对称轴是直线x =75.∵50≤x ≤70，此时y 随x 的增大而增大，∴当x =70时，P 最大值=6000.(3)由P ≥4000，当P =4000时，4000=−10x 2+1500x −50000，解得：x 1=60，x 2=90，∵a =−10<0，∴得60≤x ≤90，又50≤x ≤70；故销售单价的取值范围为60≤x ≤70．【解析】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式和二次函数增减性等知识，利用二次函数增减性得出是解题关键．(1)直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；(2)利用总利润=单利润×销售量，进而得出P 与x 的函数关系式，进而得出最值；(3)利用二次函数的增减性得出x 的取值范围即可．26.【答案】(1)解：由题意，设抛物线解析式为y =a(x −3)(x +1)．将E(0,3)代入上式，解得：a =−1．∴y =−x 2+2x +3．则点B(1,4)．(2)证明：如图1，过点B 作BM ⊥y 于点M ，则M(0,4)．在Rt △AOE 中，OA =OE =3， ∴∠1=∠2=45°，AE =√OA 2+OE 2=3√2．在Rt △EMB 中，EM =OM −OE =1=BM ，∴∠MEB =∠MBE =45°，BE =√EM 2+BM 2=√2．∴∠BEA =180°−∠1−∠MEB =90°．∴AB 是△ABE 外接圆的直径．在Rt △ABE 中，tan∠BAE =BE AE =13=tan∠CBE ，∴∠BAE =∠CBE ．在Rt △ABE 中，∠BAE +∠3=90°，∴∠CBE +∠3=90°．∴∠CBA =90°，即CB ⊥AB ．∴CB 是△ABE 外接圆的切线．(3)解：Rt △ABE 中，∠AEB =90°，tan∠BAE =13，sin∠BAE =√1010，cos∠BAE =3√1010； 若以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，则△DEP 必为直角三角形；①DE 为斜边时，P 1在x 轴上，此时P 1与O 重合；由D(−1,0)、E(0,3)，得OD =1、OE =3，即tan∠DEO =13=tan∠BAE ，即∠DEO =∠BAE满足△DEO∽△BAE 的条件，因此O 点是符合条件的P 1点，坐标为(0,0)．②DE 为短直角边时，P 2在x 轴上；若以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，则∠DEP 2=∠AEB =90°，sin∠DP 2E =sin∠BAE =√1010；而DE =√12+32=√10，则DP 2=DE ÷sin∠DP 2E =√10÷√1010=10，OP 2=DP 2−OD =9即：P 2(9,0)；③DE 为长直角边时，点P 3在y 轴上；若以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，则∠EDP 3=∠AEB =90°，cos∠DEP 3=cos∠BAE =3√1010； 则EP 3=DE ÷cos∠DEP 3=√10÷3√1010=103，OP 3=EP 3−OE =13； 综上，得：P 1(0,0)，P 2(9,0)，P 3(0,−13).(4)解：设直线AB 的解析式为y =kx +b ．将A(3,0)，B(1,4)代入，得{3k +b =0k +b =4，解得{k =−2b =6． ∴y =−2x +6．过点E 作射线EF//x 轴交AB 于点F ，当y =3时，得x =32，∴F(32,3)．情况一：如图2，当0<t ≤32时，设△AOE 平移到△GNM的位置，MG 交AB 于点H ，MN 交AE 于点S ．则ON =AG =t ，过点H 作LK ⊥x 轴于点K ，交EF 于点L ．由△AHG∽△FHM ，得AG FM =HK HL ，即t 32−t =HK3−HK ． 解得HK =2t ．∴S 阴=S △MNG −S △SNA −S △HAG =12×3×3−12(3−t)2−12t ⋅2t =−32t 2+3t ．情况二：如图3，当32<t ≤3时，设△AOE 平移到△PQR的位置，PQ 交AB 于点I ，交AE 于点V ．由△IQA∽△IPF ，得AQ FP =IQ IP .即3−t t−32=IQ3−IQ ， 解得IQ =2(3−t)．∵AQ =VQ =3−t ，∴S 阴=12IV ⋅AQ =12(3−t)2=12t 2−3t +92． 综上所述：s ={−32t 2+3t(0<t ≤32)12t 2−3t +92(32<t ≤3)．【解析】(1)已知A 、D 、E 三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B 的坐标．(2)过B 作BM ⊥y 轴于M ，由A 、B 、E 三点坐标，可判断出△BME 、△AOE 都为等腰直角三角形，易证得∠BEA =90°，即△ABE 是直角三角形，而AB 是△ABE 外接圆的直径，因此只需证明AB 与CB 垂直即可．BE 、AE 长易得，能求出tan∠BAE 的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此题得证．(3)△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=1，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三3角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．(4)过E作EF//x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．。

2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题所出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列各数是无理数的是（）A．0B．πC．D．﹣2．（3分）下列运算，正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．（xy2）2＝x2y4D．x6÷x3＝x23．（3分）如图，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）若代数式有意义，则x的取值是（）A．x＝0B．x≠0C．x＝3D．x≠﹣35．（3分）数据1，2，3，0，5，5，6的中位数和众数分别是（）A．3和2B．3和3C．3和5D．0和56．（3分）多项式3ma2+15mab的公因式是（）A．3m B．3ma2C．3ma D．3mab7．（3分）如图，能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4B．∠1＝∠3C．∠1＝∠2D．∠2＝∠38．（3分）若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（）A．﹣10B．﹣9C．9D．109．（3分）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．五边形的内角和是540°C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝31°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C，使得点A'恰好落在AB边上，则α等于（）A．149°B．69°C．62°D．31°11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+ac在直角坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．12．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P，则下列结论中：（1）△OEF是等腰直角三角形；（2）图形中全等的三角形只有两对；（3）BE+BF＝OA；（4）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，正确的结论有（）A．1个B．2 个C．3个D．4个二、填空阻（本大题头有6小题，每小题3分，共18分，不需写出解答过程，请把答直接写在答题卡相应位置上）13．（3分）已知y＝++3，则x﹣y＝．14．（3分）若点P（4，﹣5）和点Q（a，b）关于原点对称，则a的值为．15．（3分）已知一等腰三角形有两边长为6，8，则这个三角形的周长为．16．（3分）已知a，b满足方程组，则a﹣4b的值为．17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为．18．（3分）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB 的周长最小时，S△P AB＝．三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每题6分；第21、22题每题8分;第23、24题每题9分；第25，26题每题10分）19．（6分）计算：﹣22++（3﹣π）0﹣|π﹣3|．20．（6分）先化简，再求值：（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2，其中a＝﹣1，b＝2．21．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为；（3）点A1的坐标为；（4）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为．22．（8分）如图，在△ABC中，AE是它的角平分线，∠C＝90°，∠B＝30°，D在AB边上，AD＝4，以AD为直径的圆O经过点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．23．（9分）某商店在2017年至2019年期间销售一种礼盒，2017年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2019年这种礼盒的进价比2017年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2017年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．（1）2017年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同问年增长率是多少？24．（9分）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD 交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF＝CF．（3）若∠EAB＝30°，CF＝2，求GA的长．25．在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B．（1）如图，过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，OA：OB＝3：4，BC ＝，①求AB的长；②求直线AC的解析式；（2）若⊙O1经过点M（2，2），设△BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，求其变化的范围．26．（10分）已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C、设直线CM与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切？若存在，求出P的坐标；若不存在．请说明理由．（3）设直线y＝kx+2与抛物线交于Q、R两点，若原点O在以QR为直径的圆外，请直接写出k的取值范围．2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题所出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列各数是无理数的是（）A．0B．πC．D．﹣【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【解答】解：，∴0，，是有理数，π是无理数．故选：B．2．（3分）下列运算，正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．（xy2）2＝x2y4D．x6÷x3＝x2【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、2x+3y，无法计算，故此选项错误；B、（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，故此选项错误；C、（xy2）2＝x2y4，正确；D、x6÷x3＝x3，故此选项错误；故选：C．3．（3分）如图，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．4．（3分）若代数式有意义，则x的取值是（）A．x＝0B．x≠0C．x＝3D．x≠﹣3【分析】根据分式有意义的条件可得x+3≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3，故选：D．5．（3分）数据1，2，3，0，5，5，6的中位数和众数分别是（）A．3和2B．3和3C．3和5D．0和5【分析】根据中位数和众数的定义解答即可．【解答】解：把这些数从小到大为：0，1，2，3，5，5，6，最中间的数是3，则中位数是3；∵5出现了2次，出现的次数最多，∴众数是5；故选：C．6．（3分）多项式3ma2+15mab的公因式是（）A．3m B．3ma2C．3ma D．3mab【分析】定系数，即确定各项系数的最大公约数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．【解答】解：多项式3ma2+15mab的公因式是3ma，故选：C．7．（3分）如图，能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4B．∠1＝∠3C．∠1＝∠2D．∠2＝∠3【分析】利用平行线的判定定理逐项分析即可．【解答】解：A．根据∠1＝∠4能推出AB∥CD，所以此选项正确；B．根据∠3＝∠1不能推出AB∥CD，所以此选项错误；C．根据∠2＝∠1不能推出AB∥CD，所以此选项错误；D．根据∠3＝∠2不能推出AB∥CD，所以此选项错误；故选：A．8．（3分）若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（）A．﹣10B．﹣9C．9D．10【分析】根据方程无实数根得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再进行判断即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，∴△＝62﹣4×1×（﹣a）＜0，解得：a＜﹣9，∴只有选项A符合，故选：A．9．（3分）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．五边形的内角和是540°C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【分析】分别根据平行四边形的性质、多边形内角和和菱形的判定和性质逐项判断即可．【解答】解：∵平行四边形的对角线互相平分，∴A选项正确；∵五边形内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴B选项正确；∵菱形的对角线互相垂直，∴C选项正确；∵只有对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，∴D选项错误；∴错误的是D，故选：D．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝31°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C，使得点A'恰好落在AB边上，则α等于（）A．149°B．69°C．62°D．31°【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，再利用等腰三角形的性质求出∠ACA′即可解决问题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝59°，∵CA＝CA′，∴∠A＝∠CA′A＝59°，∴α＝∠ACA′＝180°﹣2×59°＝62°，故选：C．11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+ac在直角坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、c的正负情况，然后根据一次函数的解析式和一次函数的性质即可得到该一次函数的图象经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，∵一次函数y＝bx+ac，∴b＜0，ac＜0，∴一次函数y＝bx+ac的图象经过第二、三、四象限，故选：D．12．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P，则下列结论中：（1）△OEF是等腰直角三角形；（2）图形中全等的三角形只有两对；（3）BE+BF＝OA；（4）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，正确的结论有（）A．1个B．2 个C．3个D．4个【分析】（1）（3）（4）正确．只要证明△BOE≌△COF，即可解决问题，（2）图中全等三角形不止两对，故（2）错误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，ABC＝90°，∠BAO＝∠ABO＝∠OBC＝45°，AC⊥BD，∵∠EOF＝90°，∴∠BOE+∠BOF＝90°，∵∠BOF+∠COF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，BE＝CF，∴△EOF是等腰直角三角形，故（1）正确，∴BE+BF＝CF+BF＝BC＝OA，故（3）正确，∵S四边形OEBF＝S△BOE+S△BOE＝S△BOE+S△COF＝S△BOC＝S正方形ABCD，∴S正方形ABCD＝4S四边形OEBF故（4）正确；图中全等三角形有△BOE≌△COF，△AOB≌△AOD≌△DOC≌△BOC，故（2）错误．故选：C．二、填空阻（本大题头有6小题，每小题3分，共18分，不需写出解答过程，请把答直接写在答题卡相应位置上）13．（3分）已知y＝++3，则x﹣y＝﹣2．【分析】根据二次根式有意义的条件确定出x的值，进而得出y的值，代入即可求解．【解答】解：∵y＝++3，∴解得：x＝1∴y＝3∴x﹣y＝﹣2故答案为：﹣2 14．（3分）若点P（4，﹣5）和点Q（a，b）关于原点对称，则a的值为﹣4．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：∵点P（4，﹣5）和点Q（a，b）关于原点对称，∴点Q的坐标为（﹣4，5），即a＝﹣4．故答案为：﹣4．15．（3分）已知一等腰三角形有两边长为6，8，则这个三角形的周长为20或22．【分析】分为两种情况：①等腰三角形的三边为6，6，8，②等腰三角形的三边为6，8，8，分别求出即可．【解答】解：分为两种情况：①等腰三角形的三边为6，6，8，符合三角形的三边关系定理，此时这个三角形的周长是6+6+8＝20；②等腰三角形的三边为6，8，8，符合三角形的三边关系定理，此时这个三角形的周长是6+8+8＝22；即等腰三角形的周长为20或22，故答案为：20或22．16．（3分）已知a，b满足方程组，则a﹣4b的值为4．【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．【解答】解：两式相加可得：﹣a+4b＝﹣4，∴a﹣4b＝4，故答案为：417．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为9．【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B＝AB＝6，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA ＝30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC＝S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝6，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，∴S△A1BA＝9，又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，S△A1BC1＝S△ABC，∴S阴影＝S△A1BA＝9．故答案为：9．18．（3分）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝．【分析】根据轴对称，可以求得使得△P AB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△P AB的面积，本题得以解决．【解答】解：，解得，或，∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），∴AB＝＝3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△P AB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，即点P的坐标为（0，），将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，∴△P AB的面积是：＝，故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每题6分；第21、22题每题8分;第23、24题每题9分；第25，26题每题10分）19．（6分）计算：﹣22++（3﹣π）0﹣|π﹣3|．【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣4+2+1﹣（π﹣3）＝﹣4+2+1﹣π+3＝﹣π+2．20．（6分）先化简，再求值：（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2，其中a＝﹣1，b＝2．【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2＝a2+2ab+b2﹣a2+b2﹣2b2＝2ab，当a＝﹣1，b＝2时，原式＝2×（﹣1）×2＝﹣4．21．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）；（3）点A1的坐标为（﹣2，3）；（4）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为π．【分析】（1）利用旋转的性质得出A1，B1的位置，即可得出所要图形；（2）利用关于原点对称点的坐标性质得出即可；（3）利用（1）中图形得出点A1的坐标；（4）利用弧长公式的求出弧BB1的长．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵点A的坐标为（3，2），∴点A关于O点中心对称的点的坐标为：（﹣3，﹣2）；故答案为：（﹣3，﹣2）；（3）由（1）得：点A1的坐标为（﹣2，3）；故答案为：（﹣2，3）；（4）∵B的坐标为（1，3），∴BO＝，∴在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为：＝．故答案为：π．22．（8分）如图，在△ABC中，AE是它的角平分线，∠C＝90°，∠B＝30°，D在AB边上，AD＝4，以AD为直径的圆O经过点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出∠CAE＝∠OEA，进而得出∠OEB＝90°，即可得出答案；（2）首先求出EO，BE的长，进而利用阴影部分的面积＝S△EOB﹣S扇形EOD，进而得出答案．【解答】（1）证明：连接OE，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠EAB，∵AO＝EO，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠CAE＝∠OEA，∴AC∥EO，∵∠C＝90°，∴∠OEB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∠OEB＝90°，∴EO＝BO，∠EOB＝60°，∵AD＝4，∴EO＝2，DO＝2，∴BO＝4，∴BE＝2，图中阴影部分的面积为：×EO×BE﹣＝2﹣π．23．（9分）某商店在2017年至2019年期间销售一种礼盒，2017年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2019年这种礼盒的进价比2017年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2017年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．（1）2017年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同问年增长率是多少？【分析】（1）设2017年这种礼盒的进价是x元/盒，则2019年这种礼盒的进价是（x﹣11）元/盒，根据数量＝总价÷单价结合2017年和2019年购入礼盒数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用数量＝总价÷单价可求出2017年及2019年购进这种礼盒的数量，设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，根据2017年及2019年获得的利润，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设2017年这种礼盒的进价是x元/盒，则2019年这种礼盒的进价是（x﹣11）元/盒，依题意，得：＝，解得：x＝35，经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意．答：2017年这种礼盒的进价是35元/盒．（2）2017年及2019年购进这种礼盒的数量为3500÷35＝100（盒）．设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，依题意，得：（60﹣35）×100（1+y）2＝（60﹣35+11）×100，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为20%．24．（9分）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD 交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF＝CF．（3）若∠EAB＝30°，CF＝2，求GA的长．【分析】（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，∠B＝∠1，而CD⊥AB，则∠CDB＝90°，根据等角的余角相等得到∠B＝∠2，所以∠1＝∠2，于是得到AF＝CF；（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF＝30°，F A＝FC＝2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF ＝1，AD＝，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG＝DF：CF然后把DF＝1，AD＝，CF＝2代入计算即可．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE，∵CG∥AE，∴CG⊥OC，∴CG是⊙O的切线；（2）证明：连结AC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠2+∠BCD＝90°，而CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠2，∵C是劣弧AE的中点，∴＝，∴∠1＝∠B，∴∠1＝∠2，∴AF＝CF；（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，F A＝FC＝2，∴DF＝AF＝1，∴AD＝DF＝，∵AF∥CG，∴DA：AG＝DF：CF，即：AG＝1：2，∴AG＝2．25．在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B．（1）如图，过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，OA：OB＝3：4，BC＝，①求AB的长；②求直线AC的解析式；（2）若⊙O1经过点M（2，2），设△BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，求其变化的范围．【分析】（1）已知点O到直线AB的距离为，且OA：OB＝3：4，从O点作AB的垂线，利用三角函数关系求出OA、OB和OB的关系，利用△AOB的面积公式可求出AB的长度；根据三角函数分别求出A、C的坐标．利用待定系数法可求得直线AC的解析式；（2）设△AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，则d+AB＝OQ+OP+QB+P A＝OA+OB，由此即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，过O作OG⊥AB于G，则OG＝，∵OA：OB＝3：4，设OA＝3k，OB＝4k，∴AB＝5k，∵OA•OB＝AB•OG＝2S△AOB，即3k×4k＝5k×，∴k＝1，∴AB＝5；∴A（3，0）．∵∠AOB＝90°，∴AB是⊙O1的直径．∵AC切⊙O1于A，∴BA⊥AC，∴∠BAC＝90°．∵BC＝．∴OC＝BC﹣OB＝．∴C（0，﹣）．设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，∴k＝．∴直线AC的解析式为y＝x﹣；（2）结论：d+AB的值不会发生变化，设△AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示．∴BQ＝BT，AP＝AT，OQ＝OP＝．∴BQ＝BT＝OB﹣，AP＝AT＝OA﹣．∴AB＝BT+AT＝OB﹣+OA﹣＝OA+OB﹣d．则d+AB＝d+OA+OB﹣d＝OA+OB．在x轴上取一点N，使AN＝OB，连接OM、BM、AM、MN．∵M（2，2），∴OM平分∠AOB，∴OM＝2，∴∠BOM＝∠MON＝45°，∴AM＝BM，又∵∠MAN＝∠OBM，OB＝AN，∴△BOM≌△ANM，∴∠BOM＝∠ANM＝45°，∠ANM＝∠MON，∴OM＝NM，∠OMN＝90°，∴OA+OB＝OA+AN＝ON＝×OM＝×2＝4．∴d+AB的值不会发生变化，其值为4．26．（10分）已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C、设直线CM与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切？若存在，求出P的坐标；若不存在．请说明理由．（3）设直线y＝kx+2与抛物线交于Q、R两点，若原点O在以QR为直径的圆外，请直接写出k的取值范围．【分析】（1）设解析式为y＝a（x﹣1）2+4，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据根据勾股定理，可得P A的长，PQ的长，根据圆的半径相等，可得关于u的方程，根据解方程，可得答案．（3）如图，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为w．因为原点O在以QR为直径的圆外，可知2OW＞PQ，由此构建不等式，解不等式即可解决问题；【解答】（1）解：由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a＜0），又∵抛物线经过点N（2，3），∴3＝a（2﹣1）2+4，解得a＝﹣1．故所求抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；（2）解：如图：假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，则P A是圆的半径且P A2＝u2+22，过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ＝P A时以P为圆心的圆与直线CD相切．由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，由P（1，u）得PE＝u，PM＝|4﹣u|，PQ＝PM．由PQ2＝P A2得方程：（4﹣u）2＝u2+22，解得u＝﹣4+2，u＝﹣4﹣2所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．（3）如图，设R（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为w．由，消去y得到：x2+（k﹣2）x﹣1＝0，∴x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝﹣1，∴y1+y2＝k（x1+x2）+4＝﹣k2+2k+4，y1y2＝k2（x1x2）+2k（x1+x2）+4＝﹣3k2+4k+4，∴W（，），RQ＝＝∵原点O在以QR为直径的圆外，∴2OW＞PQ，∴2•＞整理得：3k2﹣4k﹣3＜0，解得＜k＜．。