311倾斜角与斜率
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高中数学 3.1.1直线的倾斜角和斜率
l O
P
x
5
问题引入
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述 直线的倾斜程度呢？
y
l O
P
x
6
一．直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．
问题：在直角坐标系中，过点P的一条直 线 绕点P旋转，不管旋转多少周，他对x 轴的相对位置有几种情形，请画出来？
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过 直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直 线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴 垂直,α=900
18
例题分析
例1 如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）, 求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾 斜角是锐角还是钝角。
§3.1.1 直线的倾斜角和斜率
1
2
复习回顾
一次函数的图象有何特点? 给定函数y=2x+1,如何作出它的图像?
3
问题引入
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定 一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的位置能够确定吗？
y
l
O P
x
4
问题引入
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，… 它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线 区别在哪里呢？ y
经过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 )( x1 x 2 ) 的直线的 斜率公式为：
tan y 2 y1 x 2 x1 .
P
x
5
问题引入
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述 直线的倾斜程度呢？
y
l O
P
x
6
一．直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．
问题：在直角坐标系中，过点P的一条直 线 绕点P旋转，不管旋转多少周，他对x 轴的相对位置有几种情形，请画出来？
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过 直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直 线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴 垂直,α=900
18
例题分析
例1 如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）, 求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾 斜角是锐角还是钝角。
§3.1.1 直线的倾斜角和斜率
1
2
复习回顾
一次函数的图象有何特点? 给定函数y=2x+1,如何作出它的图像?
3
问题引入
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定 一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的位置能够确定吗？
y
l
O P
x
4
问题引入
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，… 它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线 区别在哪里呢？ y
经过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 )( x1 x 2 ) 的直线的 斜率公式为：
tan y 2 y1 x 2 x1 .
311_直线的倾斜角与斜率
相等； （6）两直线的斜率相等，则它们的倾斜角
相等；
例4 下列说法正确的是( )D A 若直线L的倾斜角为α，则直线L的 斜率为 tan α.
B 若直线L的斜率为 tan α，若直线L 的倾斜角为α. C 若直线L的倾斜角为α=900，则直线 L必平行于y轴.
D 每一条直线L都存在倾斜角，但并 非每一条直线L都存在斜率.
P2(x2,y2),且直线P1P2与x轴不垂直，
即x1≠x2
yy P2P2
k y2 y1
PQα1 αθ QP1 α
x2 x1
x1 x2
o
xx
思考1:当直线P1P2平行于x轴或与 x轴重合时，上述公式还适 用吗？为什么？
思考2:当直线P1P2平行于y轴或与y 轴重合时，上述公式还适用吗？ 为什么？
思考3:经过点A（a，b）、B（m，n） （a≠m）的直线的斜率是什么？
k bn nb am ma
思考4:对于三个不同的点A，B，C，
若 kAB kAC ，则这三点的位置关
系如何？
例题讲解
例1 已知点A(3，2),B(－4，1), C(0，－l),求直线AB，BC，CA的斜 率，并判断这些直线的倾斜角是锐 角还是钝角．
2.当倾斜角α=1200，1350，1500时， 这条直线的斜率分别等于多少？
3.当倾斜角α=900时，这条直线 的斜率等于多少？
四. 直线的斜率公式
思考:在直角坐标系中，经过两点 A（2，4）、B（－1，3）的直线
有几条？直线AB的斜率是多少？
yA
Bα
C
αo
x
1.直线的斜率公式
一般地，已知直线上的两点P1(x1,y1)，
思考题
已知三点A(a，2)、B(3，7)、 C(2，9a)在一条直线上， 求实数a的值．
相等；
例4 下列说法正确的是( )D A 若直线L的倾斜角为α，则直线L的 斜率为 tan α.
B 若直线L的斜率为 tan α，若直线L 的倾斜角为α. C 若直线L的倾斜角为α=900，则直线 L必平行于y轴.
D 每一条直线L都存在倾斜角，但并 非每一条直线L都存在斜率.
P2(x2,y2),且直线P1P2与x轴不垂直，
即x1≠x2
yy P2P2
k y2 y1
PQα1 αθ QP1 α
x2 x1
x1 x2
o
xx
思考1:当直线P1P2平行于x轴或与 x轴重合时，上述公式还适 用吗？为什么？
思考2:当直线P1P2平行于y轴或与y 轴重合时，上述公式还适用吗？ 为什么？
思考3:经过点A（a，b）、B（m，n） （a≠m）的直线的斜率是什么？
k bn nb am ma
思考4:对于三个不同的点A，B，C，
若 kAB kAC ，则这三点的位置关
系如何？
例题讲解
例1 已知点A(3，2),B(－4，1), C(0，－l),求直线AB，BC，CA的斜 率，并判断这些直线的倾斜角是锐 角还是钝角．
2.当倾斜角α=1200，1350，1500时， 这条直线的斜率分别等于多少？
3.当倾斜角α=900时，这条直线 的斜率等于多少？
四. 直线的斜率公式
思考:在直角坐标系中，经过两点 A（2，4）、B（－1，3）的直线
有几条？直线AB的斜率是多少？
yA
Bα
C
αo
x
1.直线的斜率公式
一般地，已知直线上的两点P1(x1,y1)，
思考题
已知三点A(a，2)、B(3，7)、 C(2，9a)在一条直线上， 求实数a的值．
《倾斜角与斜率》课件
斜率在经济学中的 应用：描述价格、 需求、供给等变化 趋势
斜率在工程学中的 应用：描述斜坡、 斜面等倾斜角度
斜率在数学中的 应用：描述函数、 曲线等变化趋势
定义不同：倾斜角是直线与水平线之间的夹角，而斜率是直线的倾斜程度，即直 线与水平线之间的夹角的正切值。
取值范围不同：倾斜角的取值范围是[0, 90]度，而斜率的取值范围是实数集。
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01.
02.
03.
04.
倾斜角是表示直线或平面相对于水平面的倾斜程度的角 倾斜角是二面角中的一个角，其范围为0°到90° 倾斜角是直线与水平面之间的夹角，其范围为0°到90° 倾斜角是平面与水平面之间的夹角，其范围为0°到90°
倾斜角是斜率的正切值
斜率是倾斜角的正切值
倾斜角与斜率都是描述直线倾 斜程度的量
圆柱体：倾斜角是圆柱体侧面与底面的 夹角
球体：倾斜角是球体表面与水平面的夹 角
空间几何体：倾斜角是空间几何体与水 平面的夹角
斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量 斜率等于直线或曲线在该点的切线斜率 斜率等于直线或曲线在该点的导数 斜率等于直线或曲线在该点的斜率函数值
斜率公式：y=kx+b，其中k为 斜率，x、y为坐标
几何意义不同：倾斜角表示直线与水平线之间的夹角，而斜率表示直线的倾斜程 度。
计算方法不同：倾斜角的计算方法是通过三角函数计算，而斜率的计算方法是通 过直线的斜率公式计算。
倾斜角是斜率的正切值
斜率是倾斜角的正切值
倾斜角是斜率的倒数
斜率是倾斜角的倒数
倾斜角：表示直线与水平线的夹角，取值范围为0°到90° 斜率：表示直线的倾斜程度，取值范围为正无穷到负无穷 区别：倾斜角是角度，而斜率是比例 联系：倾斜角与斜率都可以用来描述直线的倾斜程度，但倾斜角更直观，而斜率更精确 应用：在几何图形中，倾斜角与斜率可以用来描述直线的倾斜程度，也可以用来计算直线的斜率、倾斜角等参数。
高中数学第三章直线与方程311倾斜角与斜率312两条直线平行与垂直的判定刷题课件新人教A版必修2
15．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k
满足( A ) A．k≥ 3 或k≤－4
4
B．k≥3/4或k≤ Leabharlann 1 43 C．－4≤k≤ 4
3 D. 4 ≤k≤4
解析
如图所示，过点P作直线PC⊥x轴交线段AB于点C，作出直线PA，PB.
①直线l与线段AB的交点在线段AC(除去点C)上时，
14．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，如果
l1⊥l2，则a＝_____-_6_或__5___.
解析 当k2＝0时，由两直线垂直知直线l12≠0时，由k1·k2＝－1，得a＝－6.故a的值为－6或5.
3.1.1+3.1.2
刷易错
易错点 直线斜率与倾斜角关系理解不准确致误
3.1.1+3.1.2
刷基础
题型1 直线的倾斜角与斜率
1．下列说法正确的是( D ) A．一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角 B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角 C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为180° D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
解析 对于A，一条直线向上方向和x轴正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角，A错误； 对于B，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，B错误； 对于C，和x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，C错误； 对于D，每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率，如α＝90°时，斜率不存 在，D正确． 故选D.
3.1.1+3.1.2
题型1 直线的倾斜角与斜率
D
刷基础
倾斜角与斜率 课件
【解析】 (1)直线的斜率分别为 k1＝tan60°＝ 3，k2＝tan135° ＝－1；
(2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－－14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 m＝2 时，直线 AB 的斜率不存在； 当 m≠2 时，直线 AB 的斜率 kAB＝m4－－32＝m－1 2.
方法归纳
(1) 求 直 线 的 斜 率 通 常 有 两 种 方 法 ： 一 是 已 知 直 线 的 倾 斜 角 α(α≠90°)时，可利用斜率的定义，即 k＝tanα 求得；二是已知直线 所经过的两点的坐标时，可利用过两点的直线的斜率公式计算求 得．
(2)使用斜率公式 k＝yx22－ －yx11求斜率时，要注意其前提条件是 x1≠x2，若 x1＝x2，即两点的横坐标相等时，直线斜率不存在．
倾斜角与斜率
知识点一 直线的倾斜角
1．直线 l 的倾斜角的概念 一个前提：直线 l 与 x 轴相交； 一个基准：取 x 轴作为基准； 两个方向：x 轴正方向与直线 l 向上方向． 2．倾斜角的范围 当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此， 直线的倾斜角α的取值范围为[0°，180°)．
【答案】 D
方法归纳
根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图；然后根 据定义找直线向上的方向与 x 轴的正方向的夹角，即为直线的倾斜 角．画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论二 直线的斜率 [例 2] (1)已知两条直线的倾斜角分别为 60°，135°，求这两条 直线的斜率； (2)已知 A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线 AB，BC，AC 的斜率； (3)求经过两点 A(2,3)，B(m,4)的直线的斜率．
311倾斜角与斜率
6
3
求直线斜率k的取值范围 .
y
解：当 时 ,
6
2
有 tan tan 即 k 3 .
6
3
当 2 时 ,
2
3
O
x
有 tan tan 2 即 k 3.
3
综上直线的斜率k的取值范围 ( , 3) ( 3 , ). 3
课后作业
1.教材P86练习（书上）
2.教材P89习题3.1A组1—4（作业本） 3.《同步解析与测评2》之3.1《基础测评》（ 不含平行于垂直）
1
2
暑假结束了......
紧张的学习 ~即将开始
3
或许你会遇到很多困难
老师会陪伴着你、帮 助你~战胜困难取得 胜利！
4
预习...课前
听课...做好笔记（有笔记本）
复习...小结
作业...按时、独立完成
再预习
形成良性循环
课代表准备一个专用记录本
自备一本资料，补充题一律做在 笔记本上
5
聪明在于勤奋 天才在于积累
倾斜角:
A
在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直 线，如果把 x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾 斜角。
•概念分析
1. 倾斜角的顶点是x轴与直线的交点； 2. x轴绕交点旋转； 3. 旋转方向为逆时针； 4. x轴和直线重合时旋转终止； 5. 取最小正角.
y
当直线与x轴平行或重合时， 规定倾斜角为 0°.
0
l x
倾斜角的取值范围是 00 1800.
斜 率：
倾斜角不是90 °的直线，它的倾斜角的
正切叫做这条直线的斜率。
意义：斜率表示倾
3.1直线的倾斜角与斜率解析
x
一、直线的倾斜角:
1、定义:
y
当直线l与x轴相交时，
我们取x轴作为基准，x轴
正向与直线l向上方向之间 o
所成的角 叫做直线的
倾斜角。
l
x
规定:1.当直线与x轴平行或重合时， 00 2.当直线与x轴垂直时， 900
按倾斜角分类，直线可分几类？
y
p
l
o
x
y
l
p
o x
y
ly
p
o
x
p
o
x
l
2、范围: 0 a 180
y
y2
P2 (x2, y2 )
k y2 y1
y1
P1(x1, y1)
x2 x1
o
x 答：斜率不存在，
因为分母为0。
三、直线的斜率公式:
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )
的直线的斜率公式：
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
（4）斜率公式：k
y2 x2
y1 x1
(或k
y1 y2 ) x1 x2
2、思想方法：类比；几何问题代数化
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
复习回顾
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时，取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上 的方向所成的角叫做直线l的倾斜角.
倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率，常用k来表示.
P2 P1
P1 P2
经过两点P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )的直线的斜率公式:
k
y2 x2
y1 x1
311直线的倾斜角与斜率
在平面直角坐标系里
点用坐标表示:
y
p(x, y)
x
l
x
直线如何用代数方法 o 来表示呢？
y
思考？
o
一条直线由哪些条
ห้องสมุดไป่ตู้
件确定呢？
直线的位置
我们知道，两点确定一条直线。
y
一点能确定一条
o
直线的位置吗？
x
过一点O的直线可以作无数条， 可以用直线与X轴的夹角描述它 们的倾斜程度
一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角（angle of inclination）
x
l
y
a o
注意两个方向： (1)直线向上方向； (2)X轴的正方向。
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
a
o
oa
x x
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
倾斜角为锐角 k>0; 倾斜角为钝角 k<0; 倾斜角为00 k=0.
角的大小 0° (0°,90°) 90° (90°,180°)
K的范围 ０ （０，＋∞） 不 （－∞，０） 存 在
K的增减性 —— 随角递增而 — 随角递增而
a 60 k tan 60 3
当a 90时
y
k ?
o
x
思考：当直线与 x 轴垂直时，
直线的倾斜角是多少？
a 90 tan a(不存在)
点用坐标表示:
y
p(x, y)
x
l
x
直线如何用代数方法 o 来表示呢？
y
思考？
o
一条直线由哪些条
ห้องสมุดไป่ตู้
件确定呢？
直线的位置
我们知道，两点确定一条直线。
y
一点能确定一条
o
直线的位置吗？
x
过一点O的直线可以作无数条， 可以用直线与X轴的夹角描述它 们的倾斜程度
一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角（angle of inclination）
x
l
y
a o
注意两个方向： (1)直线向上方向； (2)X轴的正方向。
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
a
o
oa
x x
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
倾斜角为锐角 k>0; 倾斜角为钝角 k<0; 倾斜角为00 k=0.
角的大小 0° (0°,90°) 90° (90°,180°)
K的范围 ０ （０，＋∞） 不 （－∞，０） 存 在
K的增减性 —— 随角递增而 — 随角递增而
a 60 k tan 60 3
当a 90时
y
k ?
o
x
思考：当直线与 x 轴垂直时，
直线的倾斜角是多少？
a 90 tan a(不存在)
直线的倾斜角与斜率通用
2023《直线的倾斜角与斜率通用》contents •直线倾斜角与斜率的概念•直线的倾斜角与斜率的计算•直线倾斜角与斜率的应用•直线倾斜角与斜率的扩展知识•直线的倾斜角与斜率的数学文化价值目录01直线倾斜角与斜率的概念直线倾斜角是直线与水平线的夹角，可以用希腊字母表示。
直线倾斜角的取值范围是0度到180度。
直线倾斜角的定义直线斜率是直线在平面直角坐标系中的变化率，可以用符号表示。
直线斜率的取值范围是负无穷大到正无穷大。
直线斜率的定义直线斜率与直线倾斜角之间存在一种对应关系，可以用公式表示。
当直线斜率大于0时，直线倾斜角为锐角；当直线斜率小于0时，直线倾斜角为钝角。
直线倾斜角与斜率的关系02直线的倾斜角与斜率的计算直线的倾斜角是直线与水平线的夹角。
直线的倾斜角的计算定义$\alpha \in \lbrack 0,\pi)$。
取值范围当$\alpha = \frac{\pi}{2}$时，直线垂直于水平线。
特殊值计算公式$k = \tan\alpha$，其中$\alpha$是直线的倾斜角。
定义直线的斜率是直线在平面上的变化率。
特殊值当$\alpha = \frac{\pi}{2}$时，直线不存在斜率。
直线斜率的计算1直线倾斜角与斜率计算的特殊情况23当直线的倾斜角为$\frac{\pi}{2}$时，直线垂直于水平线，其斜率不存在。
垂直线当直线的斜率为0时，直线的倾斜角为0，即直线与水平线重合。
水平线当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为$\frac{\pi}{2}$或其终边在坐标轴上。
斜率不存在03直线倾斜角与斜率的应用平行垂直重合当两直线的斜率的乘积为-1时，两直线垂直。
当两直线的斜率相等且截距相等时，两直线重合。
03利用倾斜角与斜率判断直线的位置关系0201当两直线的斜率相等且截距不相等时，两直线平行。
求解最值在生产生活中，经常会遇到求解最值问题，结合倾斜角可更好地解决。
优化方案通过比较不同方案下直线的倾斜角，可选择最优方案。
311直线的倾斜角与斜率
2、直线的斜率定义： ktana (a90)
3、斜率k与倾斜角之间的关系：
a 0 k tan0 0
0 a 90 k tana 0
a
90
tana(不存在) k不存在
90 a 180 k tana 0
4、斜率公式： ky2y1(或 ky1y2)
x2x1
x1x2
问题1: 我们学过:x-y+1=0,它表示什么？
问题2: 如何在Leabharlann 面直角坐标系内确定它的位置?y
1
问题3:
-1 o
x
过(-1,0)点能不能确定一条直线?
1.直线的倾斜角
y
l
α o
直线l与x轴 相交时,取x轴为 基准，x轴正向 与直线L向上的 方向之间所成的 x 角α叫做直线L 的倾斜角。
规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角 为0°
例题分析
3.从 M2, 2 射出一条光线,经过 x轴反射
后过点 N( 8, 3) ,求反射点 P 的坐标
解 ：P设 (x,0)
因为入射角等于反射角
y
KMPKPN
23 2x 8x
解得 x2
N(-8,3) 2 M(2,2)
-2 O 2
x
P
反射点 P (2,0)
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 0 180
定义：我们把一条直线的的倾斜角的正切值
叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
ktan,001800
k,
倾斜角是90 °的直线没有斜率。 例如： l的 直 倾 线 斜 45,角 则为 斜率 k为 ta4n： 51
直线 l的倾斜1角 20,则 为斜率k为 ta： 1n203