扩散方程稳态扩散与非稳态扩散

C / Cm e
2 2


在给定条件下Cm，D, l 皆为定值。只有当 t 时 C / C m 0 才完全均匀化，可见所谓均匀化只有相 对意义。一般来说，只有偏析衰减到一定程度（如
1 1 0 ），即可认为均匀化了。凝固过程细化晶粒，及通
过锻造、轧制、热处理使组织充分细化都可以大大缩短 均匀化退火时间
a.同素异晶转变的金属中，D随晶体结构改变， 910℃，Dα-Fe/Dγ-Fe=280， α-Fe致密度低， 且易形成空位。 b.晶体各向异性使D有各向异性。 铋扩散的各向异性，菱方系Bi沿C轴的自扩 散为垂直C轴方向的1/106 六方系的Zn：平行底面的自扩散系数大于 垂直底面的，因底面原子排列紧密，穿过底面 困难。
Cs C0 2 Dt
C0为原始浓度；Cs为渗碳气氛浓度Cx为距表 x erf 面x处的浓度； ( 2 D t ) erf ( z ) 为误差函数
Fick第二定律的解无限大物体中扩散应用
2.扩散方程在扩散退火过程的应用


显微偏析是合金在结晶过程中形成的，在铸件，锻件中 普遍存在。扩散退火时将零件在高温下长时间保温可促 使成分的均匀化。 具有显微偏析的合金其组元分布大多呈周期性变化。 在研究扩散退火过程时，可以近似为 Dt /t
8.3.3．晶体结构 晶体结构对扩散有影响，有些金属存在同 素异构转变，当它们的晶体结构改变后， 扩散系数也随之发生较大的变化。例如铁 在912℃时发生-Fe-Fe转变，-Fe的自 扩散系数大约是-Fe的240倍。所有元素在 -Fe中的扩散系数都比在-Fe中大，其原 因是体心立方结构的致密度比面心立方结 构的致密度小，原子较易迁移。
空位扩散机制--- 3．交换机制 相邻两原子交换位臵而实现 F10-14：扩散的交换机 制

菲克定律菲克定律（Fick's Law）描述气体扩散现象的宏观规律，这是生理学家菲克（Fick）于1855年发现的。

菲克定律认为粒子流密度（即单位时间内在单位截面积上扩散的粒子数）Jn与粒子数密度梯度dn/dz成正比，即（1）其中比例系数D称为扩散系数，其单位为m·s。

式中负号表示粒子向粒子数密度减少的方向扩散。

菲克定律不仅适用于自扩散，也适用于互扩散，不过此时D表示某两种粒子之间的互扩散系数。

若在与扩散方向垂直的流体截面上的Jn处处相等，则在式（1）两边各乘以流体的截面积及扩散分子的质量，即可得到单位时间内气体扩散的总质量与密度梯度dρ/dz之间的关系（2）菲克定律不仅在物理学中，而且在化学、生物学中都有重要应用。

菲克第一定律(Fick’s first law)早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(C oncentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。

这就是菲克第一定律，它的数学表达式如下：(3.7-1)式中, D称为扩散系数(m/s)，C为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m或k g/m)，为浓度梯度，―–‖号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。

扩散通量J的单位是kg / m·s。

扩散系数扩散系数(Diffusion coefficient)D是描述扩散速度的重要物理量，它相当于浓度梯度为1时的扩散通量，D值越大则扩散越快。

对于固态金属中的扩散，D值都是很小的，例如，1000℃时碳在γ-Fe中的扩散系数D仅为10m/s数量级。

稳态扩散和非稳态扩散菲克第一定律只适应于和J不随时间变化——稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合（见图3.7-1）。

对于稳态扩散也可以描述为：在扩散过程中，各处的扩散组元的浓度C只随距离x变化，而不随时间t变化。

一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。

可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。

x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。

令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。

第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。

一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。

可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。

x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间两者的差值即扩散原子净流量。

令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。

第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。

包括两个内容：（1）早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积律是在第一定律的基础上推导出来的。

菲克第二定律指出，在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值,费克第一定律早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。

这就是菲克第一定律，它的数学表达式如下： (1)式（1）中, D称为扩散系数(m²/s)，C为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m³或kg/m³)，dC/dx 为浓度梯度，―–‖号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。

扩散通量J的单位是kg / m^2·s。

在三维情况下，有如下形式公式：其中，J为扩散通量，为一个三维向量场，D为扩散系数，为一个二阶张量，C为浓度，为一个数量场，▽为梯度算子。

扩散系数(Diffusion coefficient)D是描述扩散速度的重要物理量，它相当于浓度梯度为1时的扩散通量，D值越大则扩散越快。

对于固态金属中的扩散，D值都是很小的，例如，1000℃时碳在γ-Fe 中的扩散系数D仅为10m^2/s数量级。

费克定律里的稳态扩散和非稳态扩散费克第一定律只适应于J和C不随时间变化——稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合（见下图）。

对于稳态扩散也可以描述为：在扩散过程中，各处的扩散组元的浓度C只随距离x变化，而不随时间t变化，每一时刻从前边扩散来多少原子，就向后边扩散走多少原子，没有盈亏，所以浓度不随时间变化。

实际上，大多数扩散过程都是在非稳态条件下进行的。

非稳态扩散(Nonsteady-state diffusion)的特点是：在扩散过程中，J随时间和距离变化。

扩散方程扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。

可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。

x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。

令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。

第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律），，，（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C1 2）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：,,,,,,,,,,,,上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。

按照老师给我的那篇论文，我觉得fick定理就是用来解决土壤呼吸的相应的计算，那么接下来是我找的一些关于fick定理相应的资料，我截了一点我觉得相应重要的，我能看懂的。

菲克定律，是描述物质扩散现象的宏观规律，菲克（Fick）于1855年发现的。

有两个内容：（1）早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。

这就是菲克第一定律。

（2）菲克第二定律是在第一定律的基础上推导出来的。

菲克第二定律指出，在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值。

有两个式子。

式（1）中, D称为扩散系数(m²/s)，C为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m³或kg/m³)，dC/dx为浓度梯度，“–”号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。

扩散通量J的单位是kg / m^2·s。

下一个这个是在三维的情况下。

其中，J为扩散通量，为一个三维向量场，D为扩散系数，为一个二阶张量，C为浓度，为一个数量场，▽为梯度算子。

扩散系数(Diffusion coefficient)D是描述扩散速度的重要物理量，它相当于浓度梯度为1时的扩散通量，D值越大则扩散越快。

对于固态金属中的扩散，D值都是很小的，例如，1000℃时碳在γ-Fe中的扩散系数D仅为10m^2/s数量级。

Fick定理里面的稳态扩散和非稳态扩散。

那么我们那个项目中测量土壤呼吸的是非稳态扩散。

因为他的J和C是随着时间变化的。

然后他还有其他比较复杂的公式。

如费克第二定律是在第一定律的基础上推导出来的。

费克第二定律指出，在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值，即将代入上式，得这就是费克第二定律的数学表达式。

图1 粒子跳跃势垒示意图
晶体中粒子迁移的方式，即扩散机构示意图， 如图2所示。其中： 1. 易位扩散：如(a) 2. 环形扩散：如(b) 3. 间隙扩散：如(c) 4. 准间隙扩散：如(d) 5. 空位扩散： 如(e)
图2 晶体中的扩散
讨论：
在以上各种扩散中， 1.易位扩散所需的活化能最大。 2.由于处于晶格位置的粒子势能最低， 在间隙位置和空位处势能较高：故空 位扩散所需活化能最小．因而空位扩 散是最常见的扩散机理，其次是间隙 扩散和准间隙扩散。
（一） 一维稳态扩散 作为一个应用的实例，我们来讨论气体通过 玻璃的渗透过程。设玻璃两侧气压不变，是 一个稳定扩散过程。根据积分得：
x l
x 0
J
x
dx
c s1
c s2
Dd c
Jx
s 2 s1 D l
因为气体在玻璃中的溶解度与气体压力有关， 而且通常在玻璃两侧的气体压力容易测出。 根据西弗尔特（sivert）定律，许多双原子溶 解度通常与压力的平方根成正比。
由于扩散有方向性故J为矢量，则J=iJx+jJy+kJz, 三维方向。
三、
菲克第二定律
当扩散处于非稳态，即各点的浓度随时 间而改变时，利用式（1）不容易求出浓度 分布C（X，t）。但通常的扩散过程大都是 非稳态扩散，为便于求出C（X，t），还要 从物质的平衡关系着手，建立第二个微分 方程式。
（1） 一维扩散 如图5所示，在扩散方向上取体积元 Ax, J x和 J xx 分别表示流入体积元及从体积元流出的扩散通量， 则在Δt时间内，体积元中扩散物质的积累量为:
（2） 按扩散方向分： 由高浓度区向低浓度区的扩散叫顺扩散， 又称下坡扩散; 由低浓度区向高浓度区的扩散 叫逆扩散，又称上坡扩散。

扩散⽅程稳态扩散与⾮稳态扩散⼀、扩散⽅程稳态扩散与⾮稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第⼀定律（⼀定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散⽅向的单位截⾯积的扩散物质流量（扩散通量）与该⾯积处的浓度梯度成正⽐即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的⽅向与浓度梯度⽅向相反。

可见，只要存在浓度梯度，就会引起原⼦的扩散。

x轴上两单位⾯积1和2，间距dx，⾯上原⼦浓度为C1、C2则平⾯1到平⾯2上原⼦数n1=C1dx ，平⾯2到平⾯1上原⼦数n2=C2dx若原⼦平均跳动频率f, dt时间内跳离平⾯1的原⼦数为n1f·dt跳离平⾯2的原⼦数为n2fdt，但沿⼀个⽅向只有1/2的⼏率，则单位时间内两者的差值即扩散原⼦净流量。

令，则上式2．扩散系数的测定：其中⼀种⽅法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空⼼园筒，⼼部通渗碳⽓氛，外部为脱碳⽓氛，在⼀定温度下经过⼀定时间后，碳原⼦从内壁渗⼊，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位⾯积中碳流量：A：圆筒总⾯积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳⽓体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。

第⼀定律可⽤来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第⼆定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平⾯组成的微体积，J1、J2为进⼊、流出两平⾯间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第⼀定律）（Fick第⼀定律）（即第⼆个⾯的扩散通量为第⼀个⾯注⼊的溶质与在这⼀段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第⼆定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. ⽆限⼤物体中的扩散设：1）两根⽆限长A、B合?⾦棒，各截⾯浓度均匀，浓度C2>C12）两合⾦棒对焊，扩散⽅向为x⽅向3）合⾦棒⽆限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度⽆关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代⼊则,则菲克第⼆定律为即（1）令代⼊式（1）则有（2）若代⼊（2）左边化简有⽽积分有（3）令，式（3）为由⾼斯误差积分：应⽤初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代⼊（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x⽅向的分布公式，其中为⾼斯误差函数，可⽤表查出：根据不同条件，⽆限⼤物体中扩散有不同情况（1）B⾦属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接⾯处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。

扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。

可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。

x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx 若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。

令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。

第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C1 2）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。

11
J为扩散通量，表示单位时间内通过垂直于扩散方向x的单位
面积的扩散物质质量， 单位为mol•m- 2• s-1 ; g/(cm2•s)； D为扩散系数，反映扩散的快慢，单位为m2•s-1 或 cm2/s； 对各向同性的陶瓷金属材料： D与方向无关 各向异性的单晶： D的变化取决于晶体结构对称性 C是扩散物质的浓度，其单位为mol•m- 3, g/cm3。 ∂C/∂x表示浓度梯度,mol•m- 4 式中的负号表示物质的扩散方向与质量浓度梯度方向相反。 公式适用范围：只适用于浓度梯度∂C/∂x不随时间变化的稳 公式适用范围 态扩散。
将下面的两个公式代入Fick方程式，则有：
24
λ dC D d C － = 2 t dλ 2t dλ
2
dC dC 2D 2 + λ =0 dλ dλ
2
方程的解为： C = A∫ e
0
π
− λ2 / 4 D
dλ + B
25
26
27
28
C1 + C2 C1 − C2 x C= erf ( + ) 2 2 2 Dt
扩散分类1根据?c?t分类稳态扩散和非稳态扩散2根据?c?x分类杂质原子在晶体中的扩散和基体中基质原子的扩散?c?x0自扩散在纯金属和均匀合金中进行?c?x0互扩散上坡扩散和下坡扩散3根据扩散途径分类体扩散晶界扩散表面扩散短程扩散沿位错进行的扩散4根据合金组织分类单相扩散多相扩散8evaporationamp
若已知扩散中的D、t、x等参数，便可求得相应的β值。 不同β值所对应的erf(β) 可查表求出，结合已知的C1、 C2 便可得到C值。由于D是温度的函数，因此该式表 示了扩散的温度、时间、位置和浓度四者之间的关系。

1.气相扩散系数（双组分混合气体） 模型：
1.弹性刚球模型 2.麦克斯韦尔模型 3.萨瑟兰模型 4.勒奈特-琼斯模型
6
（1）弹性刚球模型
uA
8kT
M

1
2d 2 N
Z

1 4
NuA
uA 随机分子的均方根速度；
－－分子平均自由行程；
k－－玻尔兹曼常数（教材120页）
M－－摩尔质量 d－－分子直径
N－－分子浓度 Z－－频率
7
D AA

1 3
u
A

1
D AA

2
3
3 2d 2 N
kT M
2
理想气体： p NkT CRT
8
（2）勒奈特-琼斯（Lennard-Joner)模型
AB(r
)

4
AB


AB
r
12


AB
r
6
• 索里特(Soret)效应或热扩散：在双组分 混合物中，由于温差作用使一种分子由 低温区向高温区迁移，另一种分子由高 温区向低温区迁移。
• 杜弗(Dofour)效应：是由于浓度梯度产 生质量通量，从而建立起温度梯度而传 热的现象。
31
2.压力扩散
• 压力扩散是混合物中存在压力梯度而引起的。 1.将双组分混合物装入两端封闭的圆管，并使
ＤAB,2＝1.945×10-5(303/288)(3/2)(1/2) ＝1.05 ×10-5m2/s
14
2.液相扩散系数
• 液相扩散不仅与物系的种类、温度有关， 并且随溶质的浓度而变化。
• 只有稀溶液的扩散系数才可视为常数。

稳态扩散和非稳态扩散是物理学和化学领域中常用的术语，用来描述物质在空间中的扩散行为。

稳态扩散是指物质在均匀介质中的扩散过程，而非稳态扩散则是指物质在非均匀介质中的扩散过程。

本文将通过对稳态扩散和非稳态扩散的名词解释，解析其物理意义、数学表达和实际应用，帮助读者更好地理解这两个概念。

一、稳态扩散的名词解释1.1 稳态扩散的物理意义稳态扩散是指当物质在均匀介质中的浓度分布达到稳定状态时的扩散过程。

在稳态扩散中，物质的浓度分布不再发生变化，达到了动态平衡状态。

这种扩散过程通常以弥散系数来描述，可以用弥散方程进行数学建模，是一种重要的物质传输过程。

1.2 弥散系数的数学表达在稳态扩散中，物质的弥散系数是一个重要的物理参数，用来描述物质在均匀介质中扩散的能力。

它通常用符号D表示，是一个与时间和空间无关的常数。

弥散系数与介质的性质、温度和压力等因素有关，不同的物质在不同的介质中有不同的弥散系数。

1.3 稳态扩散的实际应用稳态扩散在化学工程、环境科学和生物医学等领域有着广泛的应用。

在化学工程中，稳态扩散常用来描述气体或液体在反应器中的传质过程；在环境科学中，稳态扩散被用来研究大气、水体和土壤中的污染物传播行为；在生物医学中，稳态扩散可用于分子在细胞内的扩散和运输研究。

二、非稳态扩散的名词解释2.1 非稳态扩散的物理意义非稳态扩散是指当物质在非均匀介质中的浓度分布随时间和空间发生变化的扩散过程。

在非稳态扩散中，物质的浓度分布不断改变，未达到动态平衡状态，通常需要考虑时间和空间的变化。

2.2 非稳态扩散的数学表达在非稳态扩散中，物质的扩散过程通常需要考虑时间和空间的变化，所以需要使用偏微分方程进行描述。

这类方程常常包括时间导数和空间导数，需要通过适当的数值或解析方法进行求解，得到物质浓度随时间和空间的变化规律。

2.3 非稳态扩散的实际应用非稳态扩散在材料科学、地球科学和生物学等领域有着重要的应用价值。

在材料科学中，非稳态扩散常用来研究材料中的晶体生长和变形过程；在地球科学中，非稳态扩散被用来描述地表和地下水体中的渗透和溶质迁移过程；在生物学中，非稳态扩散可用于描述细胞内物质的输运和信号传导过程。

（3）不形成碳化物而溶于固溶体中的元素, 如钴（Co）、镍（Ni）、硅（Si）等，它 们的影响个不相同。Co、Ni提高碳的扩散 系数,Si则降低碳的扩散系数。 六、扩散理论新的研究方法及应用
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1.在化学热处理中的应用 （1）微机控制扩散过程
（2）扩散速度问题快速深层渗氮技 术的应用 （3）提高表面化学热处理效果在相 变点A1或A3时循环加热,材料表面处 于活化状态，具有极大扩散能力,显 著提高化学热处理的渗入效果。
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c c D t x x
扩散第二定律
c c D 2 t x
2
2
D — 常数
2 2
c D c 2 2 2 t x y z
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四、扩散方程的应用 误差函数解 1.无限长棒的扩散第二方程解
钢铁的渗碳即可作为半无限长棒处理，对于初始含 量碳为C2的工件，置于温度为T的渗碳气氛中，在 扩散过程中初始保持工件表面的碳浓度为C1,且C1> C2，则距表面x处的碳浓度即可用上述解。
3.在渗碳问题中，常规定碳浓度作为渗碳层的界限， 令此给定值为C0，距表面为x处，则：
x C C1 (C1 C 2)erf 2 Dt x0 C 0 C1 (C1 C 2)erf 2 Dt
一、固相的相界面 1、共格晶面：新相与母相在界面上原子 匹配很好，最理想的情况是两相的晶体结 构相同，晶格常数也相等，两者能实现完 全的共格，界面能也最小（图7-16a）。如 fcc与hcp的共格晶面如图7-17。 2、半共格界面（图7-16b）。 3、非共格界面（图7-16c）。 后退 下页
C2 x C 1 erf 2 2 Dt

7.1 扩散定律(1)7.1.1 菲克第一定律（Fick’s First Law）扩散过程可以分类为稳态和非稳态。

在稳态扩散中，单位时间内通过垂直于给定方向的单位面积的净原子数（称为通量）不随时间变化，即任一点的浓度不随时间变化。

在非稳态扩散中，通量随时间而变化。

研究扩散时首先遇到的是扩散速率问题。

菲克(A. Fick)在1855年提出了菲克第一定律，将扩散通量和浓度梯度联系起来。

菲克第一定律指出，在稳态扩散（即）的条件下，单位时间内通过垂直于扩散方向的单位面积的扩散物质量（通称扩散通量）与该截面处的浓度梯度成正比。

为简便起见，仅考虑单向扩散问题。

设扩散沿x轴方向进行（图7-1），菲克第一定律的表达式为（7-1）式中：J为扩散通量(atoms/(m2·s)或kg/(m2·s))；D为扩散系数(m2/s)；为浓度梯度(atoms/(m3·m)或kg/(m3·m)) （图7-2为浓度梯度示意图）；“-”号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散由高浓度向低浓度区进行。

此方程又称为扩散第一方程。

当扩散在稳态条件下应用（7-1）式相当方便。

7.1.2 菲克第二定律(Fick’s Second Law)实际上，大多数重要的扩散是非稳态的，在扩散过程中扩散物质的浓度随时间而变化，即dc/dx≠0。

为了研究这种情况，根据扩散物质的质量平衡，在菲克第一定律的基础上推导出了菲克第二定律，用以分析非稳态扩散。

在一维情况下，菲克第二定律的表达式为（7-2）式中：为扩散物质的体积浓度（atoms/m3或kg/m3）；为扩散时间（s）；为扩散距离（m）。

（7-2）式给出c=f(t,x)函数关系。

式（7-2）又称为扩散第二方程。

由扩散过程的初始条件和边界条件可求出（7-2）式的通解。

利用通解可解决包括非稳态扩散的具体扩散问题。

7.1.3 扩散方程的求解1. 扩散第一方程扩散第一方程可直接用于描述稳定扩散过程。

菲克扩散定律菲克定律是阿道夫·菲克（Adolf F i ck）于1855年提出的，指在不依靠宏观的混合作用发生的传质现象时，描述分子扩散过程中传质通量与浓度梯度之间关系的定律。

简述：菲克定律包括两个内容：（1）早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。

这就是菲克第一定律。

（2）菲克第二定律是在第一定律的基础上推导出来的。

菲克第二定律指出，在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值。

菲克第一定律1858年，菲克参照傅里叶于1822年建立的热传导方程，建立了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的扩散方程。

在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。

数学表达式如下：式中，D称为扩散系数(m²/s)，C为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m³或kg/m³)，∂C/∂x为浓度梯度，“–”号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。

扩散通量J的单位是kg / （m2·s）。

对于三维的扩散体系，作为矢量的扩散通量J可分解为x、y、z坐标轴方向上的三个分量Jx、Jy、Jz此时扩散通量可写成：其中，i、j、k表示x、y、z方向的单位矢量。

J为扩散通量，为一个三维向量场，D为扩散系数，为一个二阶张量，C为浓度，为一个数量场，▽为梯度算子。

上面两个式子为菲克第一定律的数学表达式，它是描述扩散现象的基本方程。

菲克第一定律指出：在任何浓度梯度驱动的扩散体系中，物质将沿起其浓度场决定的负梯度方向进行扩散，其扩散流大小与浓度梯度成正比。