山东省临沭县九年级数学《反证法》课件新人教版

复习巩固 教科书第94页内容 举出两个数学中能用 反证法证明的例子.
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再见
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
3.在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.
A
证明：假设 ∠B＝∠C ，
B
C
则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
这与 已知AB≠AC 矛盾．
假设不成立．
∴ ∠B≠∠C
．
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随堂练习
典型例题
【例】用反证法证明：两直线平行，同位角相等．
分组讨论： 1.学生先分组进行讨论； 2.学生讲解思路； 3.教师补充完善.
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典型例题
【例】用反证法证明：两直线平行，同位角相等．
A′
已知：如图，AB∥CD，直线EF交AB于点O， A
求证：∠1=∠2.
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24.2.1 反证法
学习目标
1.通过实例理解反证法的含义，并了解运用反证法证明的基本步骤； 2.通过反证法的证明过程，体会新的证明方法和思路； 3.在“分析、推理”等过程中，培养学生的推理能力以及逻辑思维 能力； 4.利用现实生活和数学中的反证法素材体会“正难则反”的思想， 开拓思维，并激发学生的求知、探索欲望.
与以前学过的证明不同
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延伸
反证法证题的基本步骤： 第一步：假设命题的 结论 不成立. 第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出与学过的概念、 基本事实、已证明的定理、性质或题设相 矛盾 的结果. 第三步：由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明 原命题 是 正确的.

《初中数学反证法》PPT 课件
本PPT课件详细介绍了初中数学中的反证法。内容包括反证法的定义和原理， 反证法在数学中的应用，反证法的基本步骤，以及使用反证法解决数学问题 的示例。
反证法例题解析
数学概念和定理
使用反证法解决常见的数学概念和定理问题。
步骤示例
演示如何运用反证法来解决具体问题。
深入探索
探讨反证法在不同数学领域中的应用。
3
学习建议
分享一些学习反证法的有效方法和技巧。
练习题和答案解析
1 提供练习
给出一些练习题，让学生巩固对反证法的理解。
2 答案解析
提供详细的答案解析，帮助学生检查和纠正错误。
3 挑战题目
提供一些有挑战性的题目，激发学生的思考和探索欲望。
解题技巧
分享一些解题技巧和经验。
反证法的优势和限制
数学推理的优势
反证法在数学推理中的重要作 用。
限制和注意事项
使用反证何促进思维的创 新。
常见误解和常见问题
1
常见错误和误解
学生在学习反证法时可能容易犯的常见错误和误解。
2
问题解答
解答学生常见问题和困惑，帮助他们更好地理解和应用反证法。

2.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。 3.求证：等腰三角形的底角必定是锐角．
知识的升华
人教版数学九年级上册反证法优质PPT
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警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供： Ａ说：这里有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎． 聪明的同学们，若只有一人说真话，假如你是 警察，你觉得谁说了真话？你会释放谁？ 请与大家分享你的判断！
证明真命题的方法
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直接证法 间接证法
反证法
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例１ 用反证法证明：经过同一条直线三个点不能作圆
已知：点A、B、C三点在直线 L上.
求证：过A、B、C三点不能作圆.
证明：如图，假设过同一条直线l上三点A、B、 P
C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，
那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，
又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P
l1
l2
为l1与l2的交点，
而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的
A
“过一点有且只有一条直线与已知直线
B
C
垂直”相矛盾，
所以假设不成立 所以过同一条直线上的三点不能作圆．
应用新知
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探究
在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C，
A
感则 受
AB＝AC （ 等角对等边 ）
B
C
方 这与 已知AB≠AC 法: ∴假设不成立 ．

● 证法2：假设a、b、c是不全为正的实数，由于abc>0，所以a、b、c中只能是两负一正，不妨设 a<0，b<0，c>0，
● ∵ab＋bc＋ac>0， ● ∴a(b＋c)＋bc>0， ● ∵bc<0，∴a(b＋c)>0， ● ∵a<0，∴b＋c<0， ● ∴a＋b＋c<0， ● 这与a＋b＋c>0矛盾， ● 故假设不成立，原结论成立． ● 即a，b，c全为正实数．
● [解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交， 则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题设矛盾．
● (2)b∥平面α. ● 则平面α内有直线b′，使b∥b′. ● 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾． ● 综上所述，b与平面α只能相交．
●4．反证法的适用对象 ●作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数
学问题：
●(1)直接证明需分多种情况的； ●( 2 ) 结 论 本 身 是 以 否 定 形 式 出 现 的 一 类 命 题 — — 否 定 性 命 题 ； ●(3)关于唯一性、存在性的命题； ●( 4 ) _ _ _ _结_ _论_ _ 以 “ 至 多 ” 、 “ 至 少 ” 等 形 式 出 现 的 命 题 ； ●(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索
●2．反证法证题的原理
●(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
●(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而 说明原结论正确．
●3．反证法常见的矛盾类型
●反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以 是与_已__知_条__件__矛盾，或与_______假_设矛盾，或与 _定_义__、__公_理__、_定__理_______、公认的简单事实矛盾等．矛盾 是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的．

Ｂ
∠Ａ＿＿＜６０°， ∠Ｂ＿＿＜６０°，∠Ｃ＿＿＜６０°
Ｃ
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
这于＿＿三＿角＿形＿的＿内＿角＿和＿等＿于＿１＿８＿０＿°＿＿＿矛盾
所以假设命题＿＿不＿成＿立＿＿， 所以，所求证的结论成立．
人教版数学九年级上册 24.2.1反证法课件
人教版数学九年级上册 24.2.1反证法课件
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反证法定义:
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立，是错误的, 即所求证的命题正确.
这种证明方法叫做反证法.
人教版数学九年级上册 24.2.1反证法课件
(2)由90°＜∠B＜180°，90°＜∠C＜180°，则 ∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾.∴两个 底角都是钝角这个假设也不成立．
故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角.
说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有“是直角(等于 90°)”和“是钝角（大于90°)”两种情况，这时，必须分别证 明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定 命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.
直线平
行,那么这两条直线也互相平行.
lห้องสมุดไป่ตู้
不用反证法证明
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3
A 2 l1
B1
l2
证明:作直线l，分别与直线l1 ，l2 ， C 3
l3
l3交于于点A，B，C。
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3（已知） ∴∠2 =∠1 ，∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等）

人教版数学九年级上册24.2.1反证法 课件
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下课了!
人教版数学九年级上册24.2.1反证法 课件
从而得出假设命题不成立，是错误的，
即所求证的命题正确.
这种证明方法叫做反证法.
24.2.1 反证法
1.写出下列各结论的反面：
（1）a//b
试 一 （2）a≥0
a∥b a<0
试 （3）b是正数
b是0或负数
（4）a⊥b
a不垂直于b
举一反三
2.“a＜b”的反面应是（ D ） （A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b 3.用反证法证明命题“三角形中最多有 一个角是直角”时，应如何假设？
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练一练1
已知：如图，直线a,b被直线c所截，
1
∠1 ≠ ∠2 2
求证：a∥b
证明：假设结论不成立，则a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立
∴a∥b
人教版数学九年级上册24.2.1反证法 课件
c a b
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中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时, 与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小 伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问 王戎为什么?
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运 用了怎样的推理方法?你想知道吗？
王戎推理方法是: 假设“李子甜”
提出假设
树在道边则李子少
推理论证

2.反证法可以适用的两种情形 (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结 论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从 反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
用反证法证明否定性命题 【技法点拨】
1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命 题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具 体，适合使用反证法
【归纳】 (1)用反证法证题时，若原命题的反面不唯一时怎么 办？(2)宜用反证法证明的题型有哪些？ 提示：(1)用反证法证明命题时，若原命题的反面不唯一，这 时要把每一种情况一一否定，不能遗漏. (2)宜用反证法证明的题型有： ①易导出与已知矛盾的命题； ②“否定性”命题；
③“唯一性”命题； ④“必然性”命题； ⑤“至多”“至少”类的命题； ⑥涉及“无限”结论的命题等.
用反证法证明唯一性命题 【技法点拨】
用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性 和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存 在”等形式出现的命题时，由于假设结论易导出矛盾，所以用 反证法证其唯一性比较简单明了.
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解) 1.在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时的反 证应分为________和___________________. 2.求证方程2x=3有且只有一个根.
【解析】1.两条直线的交点个数包括：没有交点，有且只有一 个交点和不只有一个交点.故“有且只有一个交点”的反设应为 无交点和不只有一个交点. 答案：无交点 不只有一个交点
2.因为2x=3，所以x=log23.这说明方程有一个根.下面用反证 法证明方程2x=3的根是唯一的. 假设方程2x=3有两个根x1,x2(x1≠x2)， 则 2x1 3, 2两x2 式3,相除，得 =1.2x1x2 若x1-x2＞0，则2x1x＞2 1,这与 2x=1x12 矛盾； 若x1-x2＜0，则2x1x＜2 1,这也与 2=x11x2矛盾， 因此只能x1-x2=0，这与x1≠x2矛盾. 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾.故2x=3只有一个根.

.. 导. 学 固思
问题1 如何证明上述结论呢?
证明:假如
不是妈妈打破的 ,妈妈一定会大骂,当时是没
有.所以结论是妈妈打破了盘子.
问题2 反证法的意义及用反证法证明命题的基本步骤
假设命题结论的 证明方法叫反证法.
反面 成立,经过正确的推理,引出
矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的
用反证法证明问题的基本步骤:
3
C ).
2

用反证法证明命题“如果 a>b,那么 3 ������ > ������”时,假设的内 容应是( D ).
A. 3 ������ = ������ C. 3 ������ = ������且 3 ������ < ������
3 3
3 3
B. 3 ������ < ������
3
3
D. 3 ������ = ������或 3 ������ < ������
问题4 适合用反证法证明的试题类型
(1)直接证明困难, (2)需分成很多类进行讨论, (3)结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题, (4)结论为“唯一”类命题.
.. 导. 学 固思
1
否定结论“方程至多有两个解”的说法中,正确的是(
A.有一个解 C.至少有三个解 B.有两个解 D.至少有两个解
明:数列{cn}不是等比数列.
【解析】假设数列{cn}是等比数列,则(an+bn) =(an-1+bn-1)(an+1+bn+1),① 因为{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为 p,q,所以 2 2 ������������ =an-1an+1,������������ =bn-1bn+1, 代入①并整理得:2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn( + ),即 2= + ,②

A
P C
延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B 一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直是__直__角_时，则_∠__B_+_∠__C_=__1_8_0_°
说明这：本与_例_三_中_角__“形__的是__三_锐_个_角_内__(角_小_和_于_等__9于_0_1°_8_0_)°”_矛的盾；
所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
24.2.1 反证法
廊坊市第七中学 何静
例1、求证：过同一直线上的三点不能作圆
• 已知：点A、 B、 C三点在直线 上 • 求证：过A、 B、 C三点不能作圆 • 证明：假设过A、 B、 C三点可以作一个圆。 • 设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分
所以假设不成立，原命题结论成立， 即 l１∥l３
甲：在十一长 假里，我和爸 爸、妈妈去新 加坡玩了整整6 天，真是太高 兴了.
丙：是啊,10 月4号我确实 和甲在廊坊 “万达”逛街！
乙：这不可能，10月4 号上午还看见你和丙在 廊坊“万达”逛街呢！
乙：甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天，
那么甲从10月1号至6号或是2号至7号 在新加坡，即10月4号甲在新加坡， 这与“10月4号甲在廊坊市的万达”矛盾,
万事开头难，让我们走好第一步！
假设否“李则子甜”推不成立不出矛盾，或者不能断定推出的结果是
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.
错误的。 最多的反面是不止。
如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角. 综上所述,假设不成立.
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供： Ａ说：这里有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎．