第五讲：一元一次方程与实际问题(二)教师版

人教版数学七年级上册3.4《实际问题与一元一次方程2》教案一. 教材分析《实际问题与一元一次方程2》是人教版数学七年级上册第三章第四节的内容。

这一节的内容是在学生已经掌握了方程的解法的基础上，引导他们运用一元一次方程解决实际问题。

教材通过引入实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。

本节内容主要包括运用一元一次方程解决生活中的等量关系问题，以及简单的利润问题。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。

他们在学习过程中，能够通过观察、思考、操作、交流等活动，发现生活中的数学问题，并尝试用方程来解决。

但是，学生对于解决实际问题的方法和策略还不够熟练，需要老师在教学中给予引导和点拨。

三. 教学目标1.理解一元一次方程解决实际问题的基本步骤。

2.会运用一元一次方程解决生活中的等量关系问题和简单的利润问题。

3.体会数学与生活的联系，培养学生的应用意识。

四. 教学重难点1.重点：运用一元一次方程解决实际问题。

2.难点：如何找出实际问题中的等量关系，列出合适的方程。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生观察、思考、交流，发现生活中的数学问题，进而列出方程解决问题。

同时，运用案例分析法，对实际问题进行深入剖析，使学生掌握解决实际问题的方法和策略。

六. 教学准备1.准备相关的生活案例，如购物问题、利润问题等。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的购物问题，引导学生思考如何用数学方法来解决实际问题。

2.呈现（10分钟）呈现几个生活中的实际问题，如购物问题、利润问题等。

让学生观察这些问题，尝试找出其中的等量关系。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际问题，找出其中的等量关系，并尝试列出方程。

教师巡回指导，为学生提供帮助。

4.巩固（10分钟）选取几个小组的解法，进行讲解和分析。

让学生明确解决实际问题的方法和步骤。

个性化教学辅导教案——进门测评分_____1．★★根据题意列出方程（不必求解）：（1）小明父亲今年42岁，比小明年龄的4倍少10岁，问小明今年几岁？（2）小赵为班级买三副羽毛球拍，付出50元，找回3.50元，每副羽毛球拍的单价是多少？（3）甲班有学生58人，乙班有学生46人，要使甲、乙两班的人数相等，应如何调动？（4）某推销员，卖出全部商品的后，得到400元，卖出全部商品共得到多少元？（5）有宿舍若干间，如果每间住4人还空一间，如果每间住3人就有5人没有床位，问有多少间宿舍？【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【专题】12 ：应用题．【解答】解：（1）设小明今年x岁，根据题意得4x﹣10=42；（2）设每副羽毛球拍的单价为x元，根据题意得3x+3.50=50．（3）设从甲班调x人到乙班，则：58﹣x=46+x；（4）设卖出全部商品共得到x元，则：x=400．（5）设有x间宿舍，由如果每间住4人还空一间可得4（x﹣1），如果每间住3人就有5人没有床位可得3x+5，根据总人数相等的关系可列方程得：4（x﹣1）=3x+5．【点评】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．2．★★现有180件机器零件需加工，任务由甲、乙两个小组合作完成．甲组每天加工12件，乙组每天加工8件，结果共用20天完成任务．求甲、乙两组分别加工机器零件多少个．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设甲组加工机器零件x件，那么乙组加工机器零件（180﹣x）件，根据“甲的工作时间+乙的工作时间=20”列方程求解可得．【解答】解：设甲组加工机器零件x件，那么乙组加工机器零件（180﹣x）件，根据题意得：，解得：x=60，∴180﹣x=120，答：设甲组加工机器零件60件，那么乙组加工机器零件120件．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．3．★★一种商品按成本增加10%的定价出售，每件商品定价是120元，问该商品的成本价是多少元？【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】设商品的成本价是x元，根据增加成本的10%后，售价为120元，可得出方程．【解答】解：设商品的成本价是x元，由题意得，（1+10%）x=120．【点评】本题考查了由实际问题抽象一元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系．1．★★小明和小刚从相距25千米的两地同时相向而行，3小时后两人相遇，小明的速度是4千米/小时，设小刚的速度为x千米/小时，列方程得（）A．4+3x=25B．12+x=25C．3（4+x）=25D．3（4﹣x）=25【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】这是个相遇问题，设小刚的速度为x千米/小时，根据小明和小刚从相距25千米的两地同时相向而行，3小时后两人相遇，小明的速度是4千米/小时，可列方程求解．【解答】解：设小刚的速度为x千米/小时，3（4+x）=25．故选C．【点评】本题考查理解题意能力，根据题意知道是个相遇问题，且路程=速度×时间，可列出方程．2．★★一轮船往返于A，B两地之间，逆水航行需3h，顺水航行需2h，水速为3km/h，则轮船的静水速度为（）A．18km/h B．15km/h C．12.5km/h D．20.5km/h【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】本题求的是速度，时间比较明确，那么一定是根据路程来列等量关系．本题的等量关系为：逆水速度×逆水时间=顺水速度×顺水时间．【解答】解：设轮船在静水中的速度是x千米/时，则3（x﹣3）=2（x+3）解得：x=15，故选B【点评】本题考查了一元一次方程的应用．逆水速度=静水速度﹣水流速度；顺水速度=静水速度+水流速度是船航行之类的题中的必备内容．3．★★一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地，A、B两地间的路程是多少？【考点】8A：一元一次方程的应用；33：代数式求值．【分析】设A、B两地间的路程为xkm，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为1小时即可列出方程，求出x的值．【解答】解：设A、B两地间的路程为xkm，根据题意得﹣=1，解得x=420．答：A、B两地间的路程为420km．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用的知识，解答本题的关键是根据两车所用时间之差为1小时列出方程，此题难度不大．4．★★★甲、乙两名运动员在长50米的泳池里游泳．甲运动员的速度是1米/秒，乙运动员的速度是0.5米/秒．（1）他们同时分别在泳池的两端出发，进行50米短距离训练，几秒后他们相距20米？（2）他们同时分别在泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向时间，那么这段时间里他们共相遇了多少次？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）利用相遇前相距20m或相遇后相距20m，分别得出等式求出答案；（2）利用两人行驶一个全程所用的时间结合总时间利用图形得出答案．【解答】解：（1）设x秒后他们相距20米．根据题意，得（0.5+1）x=50﹣20或（0.5+1）x=50+20，解得：x=20或．答：20秒或秒后他们相距20米；（2）甲游完一个全程用的时间：50÷1=50（秒），乙游完一个全程要用的时间：50÷0.5=100（秒），画出这两人的运行图：图中实线段和虚线段的每个交点表示两运动员相遇了一次，从图上可以看出，甲、乙两运动员在5分钟内共相遇了5次，其中，有2次在游泳池的两端相遇．答：在这段时间里共相遇了5次．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意利用分类讨论得出是解题关键．知识点一：一元一次方程的应用行程问题（路程=速度×时间）；①相遇问题：例题：1．★★两地相距600千米，甲乙两车分别从两地同时出发相向而行，甲车比车乙每小时多走10千米，4小时后两车相遇，则乙车的速度是（）A．70千米/小时B．75千米/小时C．80千米/小时D．85千米/小时【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x+10）千米/小时，根据路程=两车速度和×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x+10）千米/小时，根据题意得：4（x+x+10）=600，解得：x=70．故选A．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据路程=两车速度和×时间列出关于x的一元一次方程是解题的关键．2．★★甲、乙两地相距100km，小张与小王分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，小张的速度比小王的速度每小时快10km，两人经过2小时相遇，求小张与小王的速度分别为多少？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】先设小王的速度每小时xkm，然后用速度与时间的乘积得出两地之间的路程，列出方程解答即可．【解答】解：设小王的速度每小时xkm，2x+2（x+10）=100，解得x=20，（1）请根据他们的对话内容，求出小明和爸爸的速度；（2）爸爸追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距50m．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）设爸爸的速度为x m/min，则小明的速度为m/min，根据爸爸的话列出方程并解答；（2）分两种情况：小明在爸爸的前方和后方，根据时间=路程差÷速度差列出算式求解即可．【解答】解：（1）设爸爸的速度为xm/min，则小明的速度为m/min，根据题意得：，解得：x=400，=．答：小明的速度为300m/min，爸爸的速度为400m/mim；（2）50÷（400﹣300）=50÷100=0.5（分钟）；（400﹣50）÷（400﹣300）=350÷100=3.5（分钟）‘答：再经过0.5或3.5分钟，小明和爸爸在跑道上相距50m．故答案为：0.5或3.5．【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的答：无风时飞机的航速是120千米/时．（2）由（1）知，无风时飞机的航速是120千米/时，则3×（120﹣24）=288（千米）．答：两机场之间的航程是288千米．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，用到的知识点是顺风速度=无风时的速度+风速，逆风速度=无风时的速度﹣风速，关键是根据顺风飞行的路程等于逆风飞行的路程列出方程．1．★★A、B两地相距900千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度为110千米/时，乙车的速度为90千米/时，则当两车相距100千米时，甲车行驶的时间是（）A．4小时B．4.5小时C．5小时D．4小时或5小时【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设当两车相距100千米时，甲车行驶的时间为x小时，根据路程=速度×时间结合两车相距100千米即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设当两车相距100千米时，甲车行驶的时间为x小时，根据题意得：900﹣（110+90）x=100或（110+90）x﹣900=100，解得：x=4或x=5．故选D．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系路程=速度×时间，列出一元一次方程是解题的关键．2．★★一架飞机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为每小时x千米，则下列方程正确是（）A．5.5（x﹣24）=6（x+24）B．=C．5.5（x+24）=6（x﹣24）D．=﹣24【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】先表示出飞机顺风飞行的速度和逆风飞行的速度，然后根据速度公式，利用路程相等列方程．【解答】解：设飞机在无风时的飞行速度为x千米/时，则飞机顺风飞行的速度为（x+24）千米/时，逆风飞行的速度为（x﹣24）千米/时，根据题意得5.5•（x+24）=6（x﹣24）．故选C【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程：审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．本题的关键是表示出飞机顺风飞行的速度和逆风飞行的速度．3．★★★甲、乙两人在同一条笔直的公路上练习马拉松，甲的速度为6千米/时，乙的速度为8千米/时．（1）如果他们同时同地同向而行，那么t小时后他们相距多少千米？（2）若甲先跑半小时，乙在甲的出发地才开始追，要多少时间才能追上甲？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）如果他们同时同地同向而行，那么t小时后他们相距的路程为：乙t小时行驶的路程﹣甲t小时行驶的路程；（2）设乙需x小时才能追上甲，根据甲（+x）小时行驶的路程=乙x小时行驶的路程列出方程，求解即可．【解答】解：（1）如果他们同时同地同向而行，那么t小时后他们相距的路程为：8t﹣6t=2t （千米）；（2）设乙要x小时才能追上甲，根据题意，得6（+x）=8x，解得x=1.5．答：乙要1.5小时才能追上甲．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，找到等量关系进而列出式子．4．★★一艘船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时．若轮船在静水中的速度为30千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】根据逆流速度=静水速度﹣水流速度，顺流速度=静水速度+水流速度，表示出逆流速度与顺流速度，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设A港和B港相距x千米，可得方程：﹣2=，解得x=448．答：A港和B港相距448千米．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．5．★★★已知：A、B两地相距500km，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲速每小时60千米，乙速每小时40千米，请按下列要求列方程解题：（1）若同时出发，相向而行，多少小时相遇？（2）若同时出发，相向而行，多长时间后两车相距100km？（3）若同时出发，同向而行，多长时间后两车相距100km？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）若同时出发，相向而行，设x小时相遇，根据两车行驶的路程之和是500km 列出方程并解答；（2）设两车同时出发，同向而行，y小时后两车相距100km，此题要分两种情况：①相遇前，甲乙两车路程=500﹣100，②相遇后甲乙两车路程=500+100，根据等量关系列出方程，再解即可；（3）设两车同时出发，同向而行，z小时后两车相距10km，此题要分两种情况：①相遇前，甲乙两车路程差=500﹣100，②相遇后甲乙两车路程差=500+100，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：（1）设x小时相遇，依题意得：（60+40）x=500，解得x=5．答：若同时出发，相向而行，5小时相遇；了1圈的路程．7．★★★A，B两地间的路程为448千米，一列慢车从A站出发，每小时行驶60千米，一列快车从B站出发，每小时行驶80千米，问：（1）两车同时出发，相向而行，快车开出后多少小时两车相遇？（2）两车相向而行，慢车先开28分钟，快车开出后多少小时两车相遇？（3）两车同时出发，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）设快车开出后x小时两车相遇，根据两地间距=相遇时间×两车速度之和，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设快车开出后y小时两车相遇，根据两地间距=慢车先行的路程+相遇时间×两车速度和，即可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）设出发后z小时快车追上慢车，根据两地间距=相遇时间×两车速度之差，即可列出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设快车开出后x小时两车相遇，根据题意得：（60+80）x=448，解得：x=3.2．答：快车开出后3.2小时两车相遇．（2）设快车开出后y小时两车相遇，根据题意得：（60+80）y+×60=448，解得：y=3．答：快车开出后3小时两车相遇．（3）设出发后z小时快车追上慢车，根据题意得：（80﹣60）z=448，解得：z=22.4．答：出发后22.4小时快车追上慢车．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．8. ★★★长江上有A、B两个港口，一艘轮船以最大航行速度从A到B顺水航行要用时2h，从B到A（航线相同）逆水航行要用时3.5h，已知水流的速度为15km/h，求轮船在答：若相背而行，1小时后，两车相距800千米；（3）设z小时后快车追上慢车，根据题意，可得（120﹣80）z=600，解得z=15．答：若两车同向而行，快车在慢车后面，15小时后，快车追上慢车．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．【规律方法】1.利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．2.列一元一次方程解应用题的五个步骤：①审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．②设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．③列：根据等量关系列出方程．④解：解方程，求得未知数的值．⑤答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．——出门测评分_____1．★★小明每秒钟跑6米，小彬每秒钟跑5米，小彬站在小明前10米处，两人同时起跑，小明多少秒钟追上小彬（）A．5秒B．6秒C．8秒D．10秒【考点】8A：一元一次方程的应用．【专题】127：行程问题．【分析】可根据小明跑的路程=小彬跑得路程+10，来列等价量关系，其中小明跑了6x，小彬跑了5x，x为小明追上小彬用的时间．【解答】解：根据题意可列等价关系为：设小明跑了x秒追上小彬，则：6x=5x+10，解得：x=10．故选D．【点评】本题考查的是一元一次方程在实际生活中的应用比较简单．2．★★某船顺流航行的速度为20km/h，逆流航行的速度为16km/h，则水流的速度为（）A．2km/h B．4km/h C．18km/h D．36km/h【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】先设未知数，设水流的速度为xkm/h，根据顺流航行的速度﹣水流的速度=静水速度，逆流航行的速度+水流的速度=静水速度，列方程可解得．【解答】解：设水流的速度为xkm/h，则20﹣x=16+x，x=2，则则水流的速度为2km/h，故选A．【点评】本题是一元一次方程的应用，属于水流航行问题，此类题要熟练掌握公式：①顺风速度=无风速度+风速度；②逆风速度=无风速度﹣风速度．3．★★甲．乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，若快车甲的速度为60km/h，慢车乙的速度比快车甲慢4km/h，A、B两地相距80km，求两车出发到相遇所行时间．如果设xh后两车相遇，则根据题意列出方程（）A．+=60B．x（x﹣4）=80C．60x+（60﹣4）x=80D．60x+60（x﹣4）=80【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】设xh后两车相遇，根据题意可得，两车的速度和×时间=80km，据此列方程．【解答】解：设xh后两车相遇，由题意得，60x+（60﹣4）x=80．【点评】逆水速度=静水速度﹣水流速度；顺水速度=静水速度+水流速度是船航行之类的题中的必备内容．——课后作业1．★★A，B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米，一列快车从B地出发，每小时行驶90千米，快车提前30分钟出发．两车相向而行，慢车行驶了多少小时后，两车相遇？若设慢车行驶了x小时后，两车相遇，根据题意，列方程如下，其中正确的是（）A．60（x+30）+90x=480B．60x+90（x+30）=480C．D．【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】通过理解题意可知本题的等量关系，即快车路程+慢车路程=全路程；根据等量关系，可列出方程即可【解答】解：慢车行驶了x小时后，两车相遇，根据题意得出：60x+90（x+）=480．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，此题的关键是找到等量关系，当两车相遇时，他们就走完了全程．2．★★甲以5千米/小时的速度先走16分钟，乙以13千米/小时的速度追甲，则乙追上甲的时间为多少小时（）A．10B．6C．D．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设出追上甲所需的时间，利用甲和乙走过的距离相等，列出方程进行求解．【解答】解：设乙追上甲的时间为x小时，由题意得5（x+）=13x解得：x=答：乙追上甲的时间为小时．故选：C．【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．3．★★一架飞机在A，B两城间飞行，顺风要5.5小时，逆风要6小时，风速为24千米/小时．设A，B两城之间的距离为x，则可列出方程（）A．﹣=24B．=C．+24=﹣24D．=【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】可让两城距离分别除以顺风时间及逆风时间可得顺风速度和逆风速度，进而用顺风速度，逆风速度及风速表示出无风时的速度，让其相等列出方程即可．【解答】解：∵A，B两城之间的距离为x，顺风要5.5小时，逆风要6小时，∴顺风速度=，逆风速度=，∵风速为24千米/时，∴可列方程为：+24=﹣24，故选C．【点评】考查由实际问题抽象出一元一次方程，用逆风速度和顺风速度表示出无风时的速度是解决本题的关键；用到的知识点为：顺风速度=无风时的速度+风速；逆风速度=无风时的速度﹣风速．4．★★海南环岛高速公路（含东线和西线）全长约600千米，一辆小汽车和一辆客车同时从海口出发，小汽车沿东线高速环岛，客车沿西线高速环岛，经过3小时后两车相遇，若小汽车比客车每小时多行驶40千米，求两车的速度．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设客车速度为x km/h，则小汽车速度为（x+40）km/h，根据路程=速度×时间，列出方程，再进行求解即可．【解答】解：设客车速度为x km/h，则小汽车速度为（x+40）km/h，根据题意得：（x+x+40）×3=600，解得：x=80，则小汽车速度为80+40=120 km/h，答：客车速度为80 km/h，小汽车速度为120 km/h．答：两车行驶了3小时相遇；（2）设两车行驶了x小时快车追上慢车，根据题意，得85x﹣65x=450，解得：x=22.5．答：22.5小时快车追上慢车；（3）设慢车行驶了x小时后两车相遇，根据题意，得65x+85（0.5+x）=450，解得：x=2．答：慢车行驶了2小时后两车相遇．【点评】本题考查了行程问题的数量关系在解实际问题中的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．★★甲乙两车分别从距离360千米的两地相向开出，已知甲车的速度是60千米/时，乙车速度是40千米/时，若甲车先开出1小时，则乙车开出多长时间后两车相遇？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设乙车开出x小时两车相遇，则甲行驶的路程是60（x+1）km，乙行驶的路程是40x，根据两车相遇时路程之和等于总路程建立方程求出其解即可．【解答】解：设乙车开出x小时两车相遇，由题意，得60（x+1）+40x=360，解得：x=3，答：乙车开出3小时后两车相遇，【点评】本题考查了行程问题中路程=速度×时间的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，在解答时根据相遇问题两车行驶的路程之和=全程建立方程是关键．8．★★某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后由逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/小时，船在静水中的速度为8km/小时．已知甲、丙两地间的距离为2km，求甲乙两地间的距离．（提示：分在丙地在甲、乙两地和丙地上游两种情况求解）【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】本题需分类讨论：（1）丙在甲地和乙地之间，（2）丙不在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，即可解题．【解答】解：（1）丙在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，则+=3，解得：x=12.5．（2）丙不在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，则+=3，解得：x=10．答：甲乙两地间的距离为12.5km或10km．【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，本题中分类讨论并分别列出方程求解是解题的关键．9．★★★一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．1.5小时后两车相距70km；2小时后两车相遇．相遇时快车比慢车多行驶40km．（1）甲乙两地之间相距280km；（2）求快车和慢车行驶的速度；（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，快车出发多长时间，两车相距35km？．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）先求出两车半小时行驶70km，再乘以4可求甲乙两地之间相距的距离；（2）先求出两车的速度和，再根据相遇时快车比慢车多行驶40km，可得快车比慢车的速度快40÷2=20km/小时，依此可求快车和慢车行驶的速度；（3）设快车出发x小时，两车相距35km，分四种情况：①两车相遇前，相距35km，②两车相遇后，相距35km，③快车到达乙地后，慢车到达甲地前，相距35km，④慢车到达甲地后，相距35km，进行讨论即可求解．【解答】解：（1）70÷（2﹣1.5）×2=70÷0.5×2=280（km）．答：甲乙两地之间相距280km；（2）（280÷2+40÷2）÷2=160÷2=80（km/h），（280÷2﹣40÷2）÷2=120÷2=60（km/h），故快车行驶的速度80 km/h，慢车行驶的速度60km/h．（3）设快车出发x小时，两车相距35km，①两车相遇前，相距35km，则有80x+35+60x=280，解得x=；②两车相遇后，相距35km，则有80x﹣35+60x=280，解得x=；③快车到达乙地后，慢车到达甲地前，相距35km，则有80x﹣280+35=60x，解得x=，因为慢车走完全程需要小时，＞，所以不合题意，舍去；④慢车到达甲地后，相距35km，则有80x+35=280×2，解得x=综上所述，小时或小时或小时，两车相距35km．故答案为：280．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的应用．【思考】10．★★★★列一元一次方程解应用问题：一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管3小时可注满一池水，单独开放乙管6小时可注满一池水，单独开放丙管4小时可放尽一池水．（1）若同时开放甲、乙、丙三个水管，几小时可注满水池？（2）若甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需几小时可注满水池？（3）若甲管先开放1小时后关闭，而后同时开放乙、丙两个水管，能注满水池吗？并说明理由．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）设三个水管同时开放x小时可注满水池，根据“甲、乙注水量﹣丙出水量=1”列出方程并解答；（2）设共需y小时可注满水池，根据“甲、乙注水量﹣丙出水量=1”列出方程并解答；（3）设开放甲管1小时后后关闭，再开放乙、丙两管，需z小时可注满水池，根据“甲、乙注水量﹣丙出水量=1”列出方程并解答．【解答】解：（1）设三个水管同时开放x小时可注满水池，根据题意得（+）x﹣=1，解得x=4，所以三个水管同时开放4小时可注满水池；（2）设共需y小时可注满水池，依题意得+﹣=1，解得y=，所以若甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需小时可注满水池；（3）设开放甲管1小时后后关闭，再开放乙、丙两管，需z小时可注满水池，根据题意得+﹣=1解得z=﹣8，因为﹣8＜0不符合实际意义，所以先甲管1小时后，再开放乙、丙两管不能注满水池．。

《实际问题与一元一次方程》公开课教案XX中学王老师教学目标1. 知识与技能：能够根据实际问题列出一元一次方程并解决问题。

2. 过程与方法：通过实际例子和互动，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

3. 情感态度与价值观：增强学生学习数学的兴趣和信心，体会数学在日常生活中的应用。

教学重点与难点教学重点：根据实际问题正确列出一元一次方程。

教学难点：理解实际问题中的数量关系，转化为方程。

教学过程一、导入故事引入：讲述一个简单的购物故事，比如妈妈去超市买水果，买了3斤苹果和2斤橙子，总共花了18元。

引导学生思考：如果知道橙子的价格，如何求出苹果的价格？二、新课讲授1. 从实际问题到方程情境设置：假设你去文具店买文具，一支铅笔2元，一本笔记本5元，你买了3支铅笔和2本笔记本，总共花了16元。

设铅笔的价格为x元，列出方程并解答。

分析：总价= 3支铅笔的价格+ 2本笔记本的价格方程：3x + 25 = 16解方程：3x + 10 = 16，3x = 6，x = 22. 列方程解决实际问题例题1：一个长方形的周长是24米，已知长比宽多2米，求长和宽各是多少米？分析：设宽为x米，则长为(x + 2)米方程：2(x + (x + 2)) = 24解方程：2(2x + 2) = 24，4x + 4 = 24，4x = 20，x = 5总结：宽为5米，长为7米3. 实际应用情境设置：假设你和朋友一起做手工艺品，一个小工艺品卖10元，一个大工艺品卖20元，你们总共卖了10个工艺品，收入是150元。

设小工艺品的数量为x，大工艺品的数量为y，列出方程并解答。

方程1：x + y = 10方程2：10x + 20y = 150解方程：通过代入或消元法求解三、练习巩固1. 课堂练习列方程并解答以下问题：1. 小明和小红一起去游乐园，门票价格是成人票40元，儿童票20元，总共花了120元，他们买了5张票，求成人票和儿童票的数量。

2. 一个水池有两个进水管，一个大管每小时注水5立方米，一个小管每小时注水3立方米，一小时共注水24立方米，问大管和小管各用了多少时间？2. 教师讲解针对学生易错点进行讲解和纠正。