第五讲：一元一次方程与实际问题(二)教师版

人教版数学七年级上册3.4《实际问题与一元一次方程2》教案一. 教材分析《实际问题与一元一次方程2》是人教版数学七年级上册第三章第四节的内容。

这一节的内容是在学生已经掌握了方程的解法的基础上，引导他们运用一元一次方程解决实际问题。

教材通过引入实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。

本节内容主要包括运用一元一次方程解决生活中的等量关系问题，以及简单的利润问题。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。

他们在学习过程中，能够通过观察、思考、操作、交流等活动，发现生活中的数学问题，并尝试用方程来解决。

但是，学生对于解决实际问题的方法和策略还不够熟练，需要老师在教学中给予引导和点拨。

三. 教学目标1.理解一元一次方程解决实际问题的基本步骤。

2.会运用一元一次方程解决生活中的等量关系问题和简单的利润问题。

3.体会数学与生活的联系，培养学生的应用意识。

四. 教学重难点1.重点：运用一元一次方程解决实际问题。

2.难点：如何找出实际问题中的等量关系，列出合适的方程。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生观察、思考、交流，发现生活中的数学问题，进而列出方程解决问题。

同时，运用案例分析法，对实际问题进行深入剖析，使学生掌握解决实际问题的方法和策略。

六. 教学准备1.准备相关的生活案例，如购物问题、利润问题等。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的购物问题，引导学生思考如何用数学方法来解决实际问题。

2.呈现（10分钟）呈现几个生活中的实际问题，如购物问题、利润问题等。

让学生观察这些问题，尝试找出其中的等量关系。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际问题，找出其中的等量关系，并尝试列出方程。

教师巡回指导，为学生提供帮助。

4.巩固（10分钟）选取几个小组的解法，进行讲解和分析。

让学生明确解决实际问题的方法和步骤。

归纳
通过刚才的情景分析和思考,你觉得根据实 际问题列方程,大概要经历什么样的步骤呢？
设未知数，列方程
实际问题
方程
分析实际问题中的数量关系,找到其中的 等量关系。
如：y ， 2.3 各是一项
不含未知数的项，称为常数项
(1)在方程4xy 5 0中，4xy项的系数是_4______,
次数是 __2____,常数项是 _-_5_____.
分析：
x
x+8 48-x
方法一： 男生人数 + 女生人数 = 全班人数
x + (x+8) =
48
方法二： 女生人数 - 男生人数 = 8 (48-x) - x = 8
x+（x+8）=48 x=20
x=19呢？
如果用20代替方程中的x时， 什么是方程的解？
左边=20+(20+8)=48， 如果未知数所取的某个
是，请简要说明理由。
(1)5x 0
是
(2)
x
2
y
56
不是,这个方程含有x,y两个未知 数
(3)3 5 8 不是,等式中不含未知数
(4)2y ( y 9) 15 是
x (5) 2 x 6 不是，未知数的次数是2次
(6)3x 23 3 是
x 练习：若 2 25m 1 0是关于x的一元一次方程，
练习1
6
x
1 2
10

x
1 2
如何求方程
7x 20
x 5
3的解呢？
根据等式的性质2,方程两边同乘以20,得
20 7x 20 x 203
20
5
即7x 4x 60

数学 七年级 上册
3.4 实际问题与一元一次方程
3.4 实际问题与一元一次方程 （第2课时）
导入新知
3.4 实际问题与一元一次方程
小明的妈妈在商场用180元购买一件衣服，据了解 这件衣服的进价是120元，你知道这件衣服的利润和利 润率各是多少吗？带着这个问题，
本节课我们将学习运用一元一次方程解决销售中 的盈亏问题.
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程
拓广探索题
现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，销 售量要比原销售量增加百分之几？
解：设销售量要增加x.
则由题意可知（1-20%）（1+x）=1.
解得
x = 0.25.
答：销售量要比原销售量增加25%.
课堂小结
销 售 中 的 盈 亏
3.4 实际问题与一元一次方程
3.4 实际问题与一元一次方程
能力提升题
某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不 好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%， 那么商店最多可打几折出售此商品？
解：设商店最多可以打x折出售此商品， 根据题意，得1500 x 1000(1 5％).
10
解得 x = 7.
答:商店最多可以打7折出售此商品.
现在两件衣服的售价为已知条件，要知道卖这两 件衣服是盈利还是亏损，还需要知道什么？
两件衣服的成本(即进价).
如果设盈利的那件衣服的进价为x 元， 根据进价、利润率、售价之间的关系， 你能列出方程求解吗？同理，如果设另 一件衣服的进价为 y 元呢？
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程
解：(1) 设盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意得 x＋0.25 x＝60. 解得 x＝48.

个性化教学辅导教案——进门测评分_____1．★★根据题意列出方程（不必求解）：（1）小明父亲今年42岁，比小明年龄的4倍少10岁，问小明今年几岁？（2）小赵为班级买三副羽毛球拍，付出50元，找回3.50元，每副羽毛球拍的单价是多少？（3）甲班有学生58人，乙班有学生46人，要使甲、乙两班的人数相等，应如何调动？（4）某推销员，卖出全部商品的后，得到400元，卖出全部商品共得到多少元？（5）有宿舍若干间，如果每间住4人还空一间，如果每间住3人就有5人没有床位，问有多少间宿舍？【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【专题】12 ：应用题．【解答】解：（1）设小明今年x岁，根据题意得4x﹣10=42；（2）设每副羽毛球拍的单价为x元，根据题意得3x+3.50=50．（3）设从甲班调x人到乙班，则：58﹣x=46+x；（4）设卖出全部商品共得到x元，则：x=400．（5）设有x间宿舍，由如果每间住4人还空一间可得4（x﹣1），如果每间住3人就有5人没有床位可得3x+5，根据总人数相等的关系可列方程得：4（x﹣1）=3x+5．【点评】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．2．★★现有180件机器零件需加工，任务由甲、乙两个小组合作完成．甲组每天加工12件，乙组每天加工8件，结果共用20天完成任务．求甲、乙两组分别加工机器零件多少个．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设甲组加工机器零件x件，那么乙组加工机器零件（180﹣x）件，根据“甲的工作时间+乙的工作时间=20”列方程求解可得．【解答】解：设甲组加工机器零件x件，那么乙组加工机器零件（180﹣x）件，根据题意得：，解得：x=60，∴180﹣x=120，答：设甲组加工机器零件60件，那么乙组加工机器零件120件．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．3．★★一种商品按成本增加10%的定价出售，每件商品定价是120元，问该商品的成本价是多少元？【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】设商品的成本价是x元，根据增加成本的10%后，售价为120元，可得出方程．【解答】解：设商品的成本价是x元，由题意得，（1+10%）x=120．【点评】本题考查了由实际问题抽象一元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系．1．★★小明和小刚从相距25千米的两地同时相向而行，3小时后两人相遇，小明的速度是4千米/小时，设小刚的速度为x千米/小时，列方程得（）A．4+3x=25B．12+x=25C．3（4+x）=25D．3（4﹣x）=25【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】这是个相遇问题，设小刚的速度为x千米/小时，根据小明和小刚从相距25千米的两地同时相向而行，3小时后两人相遇，小明的速度是4千米/小时，可列方程求解．【解答】解：设小刚的速度为x千米/小时，3（4+x）=25．故选C．【点评】本题考查理解题意能力，根据题意知道是个相遇问题，且路程=速度×时间，可列出方程．2．★★一轮船往返于A，B两地之间，逆水航行需3h，顺水航行需2h，水速为3km/h，则轮船的静水速度为（）A．18km/h B．15km/h C．12.5km/h D．20.5km/h【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】本题求的是速度，时间比较明确，那么一定是根据路程来列等量关系．本题的等量关系为：逆水速度×逆水时间=顺水速度×顺水时间．【解答】解：设轮船在静水中的速度是x千米/时，则3（x﹣3）=2（x+3）解得：x=15，故选B【点评】本题考查了一元一次方程的应用．逆水速度=静水速度﹣水流速度；顺水速度=静水速度+水流速度是船航行之类的题中的必备内容．3．★★一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地，A、B两地间的路程是多少？【考点】8A：一元一次方程的应用；33：代数式求值．【分析】设A、B两地间的路程为xkm，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为1小时即可列出方程，求出x的值．【解答】解：设A、B两地间的路程为xkm，根据题意得﹣=1，解得x=420．答：A、B两地间的路程为420km．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用的知识，解答本题的关键是根据两车所用时间之差为1小时列出方程，此题难度不大．4．★★★甲、乙两名运动员在长50米的泳池里游泳．甲运动员的速度是1米/秒，乙运动员的速度是0.5米/秒．（1）他们同时分别在泳池的两端出发，进行50米短距离训练，几秒后他们相距20米？（2）他们同时分别在泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向时间，那么这段时间里他们共相遇了多少次？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）利用相遇前相距20m或相遇后相距20m，分别得出等式求出答案；（2）利用两人行驶一个全程所用的时间结合总时间利用图形得出答案．【解答】解：（1）设x秒后他们相距20米．根据题意，得（0.5+1）x=50﹣20或（0.5+1）x=50+20，解得：x=20或．答：20秒或秒后他们相距20米；（2）甲游完一个全程用的时间：50÷1=50（秒），乙游完一个全程要用的时间：50÷0.5=100（秒），画出这两人的运行图：图中实线段和虚线段的每个交点表示两运动员相遇了一次，从图上可以看出，甲、乙两运动员在5分钟内共相遇了5次，其中，有2次在游泳池的两端相遇．答：在这段时间里共相遇了5次．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意利用分类讨论得出是解题关键．知识点一：一元一次方程的应用行程问题（路程=速度×时间）；①相遇问题：例题：1．★★两地相距600千米，甲乙两车分别从两地同时出发相向而行，甲车比车乙每小时多走10千米，4小时后两车相遇，则乙车的速度是（）A．70千米/小时B．75千米/小时C．80千米/小时D．85千米/小时【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x+10）千米/小时，根据路程=两车速度和×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x+10）千米/小时，根据题意得：4（x+x+10）=600，解得：x=70．故选A．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据路程=两车速度和×时间列出关于x的一元一次方程是解题的关键．2．★★甲、乙两地相距100km，小张与小王分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，小张的速度比小王的速度每小时快10km，两人经过2小时相遇，求小张与小王的速度分别为多少？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】先设小王的速度每小时xkm，然后用速度与时间的乘积得出两地之间的路程，列出方程解答即可．【解答】解：设小王的速度每小时xkm，2x+2（x+10）=100，解得x=20，（1）请根据他们的对话内容，求出小明和爸爸的速度；（2）爸爸追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距50m．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）设爸爸的速度为x m/min，则小明的速度为m/min，根据爸爸的话列出方程并解答；（2）分两种情况：小明在爸爸的前方和后方，根据时间=路程差÷速度差列出算式求解即可．【解答】解：（1）设爸爸的速度为xm/min，则小明的速度为m/min，根据题意得：，解得：x=400，=．答：小明的速度为300m/min，爸爸的速度为400m/mim；（2）50÷（400﹣300）=50÷100=0.5（分钟）；（400﹣50）÷（400﹣300）=350÷100=3.5（分钟）‘答：再经过0.5或3.5分钟，小明和爸爸在跑道上相距50m．故答案为：0.5或3.5．【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的答：无风时飞机的航速是120千米/时．（2）由（1）知，无风时飞机的航速是120千米/时，则3×（120﹣24）=288（千米）．答：两机场之间的航程是288千米．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，用到的知识点是顺风速度=无风时的速度+风速，逆风速度=无风时的速度﹣风速，关键是根据顺风飞行的路程等于逆风飞行的路程列出方程．1．★★A、B两地相距900千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度为110千米/时，乙车的速度为90千米/时，则当两车相距100千米时，甲车行驶的时间是（）A．4小时B．4.5小时C．5小时D．4小时或5小时【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设当两车相距100千米时，甲车行驶的时间为x小时，根据路程=速度×时间结合两车相距100千米即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设当两车相距100千米时，甲车行驶的时间为x小时，根据题意得：900﹣（110+90）x=100或（110+90）x﹣900=100，解得：x=4或x=5．故选D．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系路程=速度×时间，列出一元一次方程是解题的关键．2．★★一架飞机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为每小时x千米，则下列方程正确是（）A．5.5（x﹣24）=6（x+24）B．=C．5.5（x+24）=6（x﹣24）D．=﹣24【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】先表示出飞机顺风飞行的速度和逆风飞行的速度，然后根据速度公式，利用路程相等列方程．【解答】解：设飞机在无风时的飞行速度为x千米/时，则飞机顺风飞行的速度为（x+24）千米/时，逆风飞行的速度为（x﹣24）千米/时，根据题意得5.5•（x+24）=6（x﹣24）．故选C【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程：审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．本题的关键是表示出飞机顺风飞行的速度和逆风飞行的速度．3．★★★甲、乙两人在同一条笔直的公路上练习马拉松，甲的速度为6千米/时，乙的速度为8千米/时．（1）如果他们同时同地同向而行，那么t小时后他们相距多少千米？（2）若甲先跑半小时，乙在甲的出发地才开始追，要多少时间才能追上甲？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）如果他们同时同地同向而行，那么t小时后他们相距的路程为：乙t小时行驶的路程﹣甲t小时行驶的路程；（2）设乙需x小时才能追上甲，根据甲（+x）小时行驶的路程=乙x小时行驶的路程列出方程，求解即可．【解答】解：（1）如果他们同时同地同向而行，那么t小时后他们相距的路程为：8t﹣6t=2t （千米）；（2）设乙要x小时才能追上甲，根据题意，得6（+x）=8x，解得x=1.5．答：乙要1.5小时才能追上甲．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，找到等量关系进而列出式子．4．★★一艘船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时．若轮船在静水中的速度为30千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】根据逆流速度=静水速度﹣水流速度，顺流速度=静水速度+水流速度，表示出逆流速度与顺流速度，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设A港和B港相距x千米，可得方程：﹣2=，解得x=448．答：A港和B港相距448千米．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．5．★★★已知：A、B两地相距500km，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲速每小时60千米，乙速每小时40千米，请按下列要求列方程解题：（1）若同时出发，相向而行，多少小时相遇？（2）若同时出发，相向而行，多长时间后两车相距100km？（3）若同时出发，同向而行，多长时间后两车相距100km？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）若同时出发，相向而行，设x小时相遇，根据两车行驶的路程之和是500km 列出方程并解答；（2）设两车同时出发，同向而行，y小时后两车相距100km，此题要分两种情况：①相遇前，甲乙两车路程=500﹣100，②相遇后甲乙两车路程=500+100，根据等量关系列出方程，再解即可；（3）设两车同时出发，同向而行，z小时后两车相距10km，此题要分两种情况：①相遇前，甲乙两车路程差=500﹣100，②相遇后甲乙两车路程差=500+100，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：（1）设x小时相遇，依题意得：（60+40）x=500，解得x=5．答：若同时出发，相向而行，5小时相遇；了1圈的路程．7．★★★A，B两地间的路程为448千米，一列慢车从A站出发，每小时行驶60千米，一列快车从B站出发，每小时行驶80千米，问：（1）两车同时出发，相向而行，快车开出后多少小时两车相遇？（2）两车相向而行，慢车先开28分钟，快车开出后多少小时两车相遇？（3）两车同时出发，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）设快车开出后x小时两车相遇，根据两地间距=相遇时间×两车速度之和，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设快车开出后y小时两车相遇，根据两地间距=慢车先行的路程+相遇时间×两车速度和，即可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）设出发后z小时快车追上慢车，根据两地间距=相遇时间×两车速度之差，即可列出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设快车开出后x小时两车相遇，根据题意得：（60+80）x=448，解得：x=3.2．答：快车开出后3.2小时两车相遇．（2）设快车开出后y小时两车相遇，根据题意得：（60+80）y+×60=448，解得：y=3．答：快车开出后3小时两车相遇．（3）设出发后z小时快车追上慢车，根据题意得：（80﹣60）z=448，解得：z=22.4．答：出发后22.4小时快车追上慢车．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．8. ★★★长江上有A、B两个港口，一艘轮船以最大航行速度从A到B顺水航行要用时2h，从B到A（航线相同）逆水航行要用时3.5h，已知水流的速度为15km/h，求轮船在答：若相背而行，1小时后，两车相距800千米；（3）设z小时后快车追上慢车，根据题意，可得（120﹣80）z=600，解得z=15．答：若两车同向而行，快车在慢车后面，15小时后，快车追上慢车．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．【规律方法】1.利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．2.列一元一次方程解应用题的五个步骤：①审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．②设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．③列：根据等量关系列出方程．④解：解方程，求得未知数的值．⑤答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．——出门测评分_____1．★★小明每秒钟跑6米，小彬每秒钟跑5米，小彬站在小明前10米处，两人同时起跑，小明多少秒钟追上小彬（）A．5秒B．6秒C．8秒D．10秒【考点】8A：一元一次方程的应用．【专题】127：行程问题．【分析】可根据小明跑的路程=小彬跑得路程+10，来列等价量关系，其中小明跑了6x，小彬跑了5x，x为小明追上小彬用的时间．【解答】解：根据题意可列等价关系为：设小明跑了x秒追上小彬，则：6x=5x+10，解得：x=10．故选D．【点评】本题考查的是一元一次方程在实际生活中的应用比较简单．2．★★某船顺流航行的速度为20km/h，逆流航行的速度为16km/h，则水流的速度为（）A．2km/h B．4km/h C．18km/h D．36km/h【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】先设未知数，设水流的速度为xkm/h，根据顺流航行的速度﹣水流的速度=静水速度，逆流航行的速度+水流的速度=静水速度，列方程可解得．【解答】解：设水流的速度为xkm/h，则20﹣x=16+x，x=2，则则水流的速度为2km/h，故选A．【点评】本题是一元一次方程的应用，属于水流航行问题，此类题要熟练掌握公式：①顺风速度=无风速度+风速度；②逆风速度=无风速度﹣风速度．3．★★甲．乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，若快车甲的速度为60km/h，慢车乙的速度比快车甲慢4km/h，A、B两地相距80km，求两车出发到相遇所行时间．如果设xh后两车相遇，则根据题意列出方程（）A．+=60B．x（x﹣4）=80C．60x+（60﹣4）x=80D．60x+60（x﹣4）=80【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】设xh后两车相遇，根据题意可得，两车的速度和×时间=80km，据此列方程．【解答】解：设xh后两车相遇，由题意得，60x+（60﹣4）x=80．【点评】逆水速度=静水速度﹣水流速度；顺水速度=静水速度+水流速度是船航行之类的题中的必备内容．——课后作业1．★★A，B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米，一列快车从B地出发，每小时行驶90千米，快车提前30分钟出发．两车相向而行，慢车行驶了多少小时后，两车相遇？若设慢车行驶了x小时后，两车相遇，根据题意，列方程如下，其中正确的是（）A．60（x+30）+90x=480B．60x+90（x+30）=480C．D．【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】通过理解题意可知本题的等量关系，即快车路程+慢车路程=全路程；根据等量关系，可列出方程即可【解答】解：慢车行驶了x小时后，两车相遇，根据题意得出：60x+90（x+）=480．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，此题的关键是找到等量关系，当两车相遇时，他们就走完了全程．2．★★甲以5千米/小时的速度先走16分钟，乙以13千米/小时的速度追甲，则乙追上甲的时间为多少小时（）A．10B．6C．D．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设出追上甲所需的时间，利用甲和乙走过的距离相等，列出方程进行求解．【解答】解：设乙追上甲的时间为x小时，由题意得5（x+）=13x解得：x=答：乙追上甲的时间为小时．故选：C．【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．3．★★一架飞机在A，B两城间飞行，顺风要5.5小时，逆风要6小时，风速为24千米/小时．设A，B两城之间的距离为x，则可列出方程（）A．﹣=24B．=C．+24=﹣24D．=【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】可让两城距离分别除以顺风时间及逆风时间可得顺风速度和逆风速度，进而用顺风速度，逆风速度及风速表示出无风时的速度，让其相等列出方程即可．【解答】解：∵A，B两城之间的距离为x，顺风要5.5小时，逆风要6小时，∴顺风速度=，逆风速度=，∵风速为24千米/时，∴可列方程为：+24=﹣24，故选C．【点评】考查由实际问题抽象出一元一次方程，用逆风速度和顺风速度表示出无风时的速度是解决本题的关键；用到的知识点为：顺风速度=无风时的速度+风速；逆风速度=无风时的速度﹣风速．4．★★海南环岛高速公路（含东线和西线）全长约600千米，一辆小汽车和一辆客车同时从海口出发，小汽车沿东线高速环岛，客车沿西线高速环岛，经过3小时后两车相遇，若小汽车比客车每小时多行驶40千米，求两车的速度．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设客车速度为x km/h，则小汽车速度为（x+40）km/h，根据路程=速度×时间，列出方程，再进行求解即可．【解答】解：设客车速度为x km/h，则小汽车速度为（x+40）km/h，根据题意得：（x+x+40）×3=600，解得：x=80，则小汽车速度为80+40=120 km/h，答：客车速度为80 km/h，小汽车速度为120 km/h．答：两车行驶了3小时相遇；（2）设两车行驶了x小时快车追上慢车，根据题意，得85x﹣65x=450，解得：x=22.5．答：22.5小时快车追上慢车；（3）设慢车行驶了x小时后两车相遇，根据题意，得65x+85（0.5+x）=450，解得：x=2．答：慢车行驶了2小时后两车相遇．【点评】本题考查了行程问题的数量关系在解实际问题中的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．★★甲乙两车分别从距离360千米的两地相向开出，已知甲车的速度是60千米/时，乙车速度是40千米/时，若甲车先开出1小时，则乙车开出多长时间后两车相遇？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设乙车开出x小时两车相遇，则甲行驶的路程是60（x+1）km，乙行驶的路程是40x，根据两车相遇时路程之和等于总路程建立方程求出其解即可．【解答】解：设乙车开出x小时两车相遇，由题意，得60（x+1）+40x=360，解得：x=3，答：乙车开出3小时后两车相遇，【点评】本题考查了行程问题中路程=速度×时间的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，在解答时根据相遇问题两车行驶的路程之和=全程建立方程是关键．8．★★某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后由逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/小时，船在静水中的速度为8km/小时．已知甲、丙两地间的距离为2km，求甲乙两地间的距离．（提示：分在丙地在甲、乙两地和丙地上游两种情况求解）【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】本题需分类讨论：（1）丙在甲地和乙地之间，（2）丙不在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，即可解题．【解答】解：（1）丙在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，则+=3，解得：x=12.5．（2）丙不在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，则+=3，解得：x=10．答：甲乙两地间的距离为12.5km或10km．【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，本题中分类讨论并分别列出方程求解是解题的关键．9．★★★一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．1.5小时后两车相距70km；2小时后两车相遇．相遇时快车比慢车多行驶40km．（1）甲乙两地之间相距280km；（2）求快车和慢车行驶的速度；（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，快车出发多长时间，两车相距35km？．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）先求出两车半小时行驶70km，再乘以4可求甲乙两地之间相距的距离；（2）先求出两车的速度和，再根据相遇时快车比慢车多行驶40km，可得快车比慢车的速度快40÷2=20km/小时，依此可求快车和慢车行驶的速度；（3）设快车出发x小时，两车相距35km，分四种情况：①两车相遇前，相距35km，②两车相遇后，相距35km，③快车到达乙地后，慢车到达甲地前，相距35km，④慢车到达甲地后，相距35km，进行讨论即可求解．【解答】解：（1）70÷（2﹣1.5）×2=70÷0.5×2=280（km）．答：甲乙两地之间相距280km；（2）（280÷2+40÷2）÷2=160÷2=80（km/h），（280÷2﹣40÷2）÷2=120÷2=60（km/h），故快车行驶的速度80 km/h，慢车行驶的速度60km/h．（3）设快车出发x小时，两车相距35km，①两车相遇前，相距35km，则有80x+35+60x=280，解得x=；②两车相遇后，相距35km，则有80x﹣35+60x=280，解得x=；③快车到达乙地后，慢车到达甲地前，相距35km，则有80x﹣280+35=60x，解得x=，因为慢车走完全程需要小时，＞，所以不合题意，舍去；④慢车到达甲地后，相距35km，则有80x+35=280×2，解得x=综上所述，小时或小时或小时，两车相距35km．故答案为：280．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的应用．【思考】10．★★★★列一元一次方程解应用问题：一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管3小时可注满一池水，单独开放乙管6小时可注满一池水，单独开放丙管4小时可放尽一池水．（1）若同时开放甲、乙、丙三个水管，几小时可注满水池？（2）若甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需几小时可注满水池？（3）若甲管先开放1小时后关闭，而后同时开放乙、丙两个水管，能注满水池吗？并说明理由．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）设三个水管同时开放x小时可注满水池，根据“甲、乙注水量﹣丙出水量=1”列出方程并解答；（2）设共需y小时可注满水池，根据“甲、乙注水量﹣丙出水量=1”列出方程并解答；（3）设开放甲管1小时后后关闭，再开放乙、丙两管，需z小时可注满水池，根据“甲、乙注水量﹣丙出水量=1”列出方程并解答．【解答】解：（1）设三个水管同时开放x小时可注满水池，根据题意得（+）x﹣=1，解得x=4，所以三个水管同时开放4小时可注满水池；（2）设共需y小时可注满水池，依题意得+﹣=1，解得y=，所以若甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需小时可注满水池；（3）设开放甲管1小时后后关闭，再开放乙、丙两管，需z小时可注满水池，根据题意得+﹣=1解得z=﹣8，因为﹣8＜0不符合实际意义，所以先甲管1小时后，再开放乙、丙两管不能注满水池．。

三、 达标训练
1.下列变形正确的是 ( )
2.小 颖 种 了 一 株 树 苗,开 始 时 树 苗 高 为 40cm,栽种后每周约长 高 15cm,大约 周后树苗长高到 1m.
三、 达标训练
1.下列变形正确的是 ( A )
2.小 颖 种 了 一 株 树 苗,开 始 时 树 苗 高 为 40cm,栽种后每周约长 高 15cm,大约 4 周后树苗长高到 1m.
二、 合作探究
例2利用等式的基本性质解下列方 程 :
二、 合作探究
变式练习足球表面是由若干个黑色五 边形和白色六边形皮块围 成的,黑、白皮块数目比为 3∶5,一 个足球表面一共有 32个皮块,黑 色皮块和白色皮块各有多少个？
二、 合作探究
变式练习足球表面是由若干个黑色五 边形和白色六边形皮块围 成的,黑、白皮块数目比为 3∶5,一 个足球表面一共有 32个皮块,黑 色皮块和白色皮块各有多少个？
即
：
如
果
a
=
b，Biblioteka 那么ac
=
b
c
（
或
a c
=
b c
，
其
中
c
≠
0
）
.
二、 合作探究
例1根据等式的性质判断 ,下列变形正确的是 ( )
二、 合作探究
例1根据等式的性质判断 ,下列变形正确的是 ( B )
二、 合作探究
变式练习
二、 合作探究
变式练习
二、 合作探究
例2利用等式的基本性质解下列方 程 :
即
：
如
果
a
=
b
，
那
么
a
c
=
b

∴应先安排1人工作.
总结：通过设置“完成的工作量”的改变，进一步感受“完成的总工
作量=各部分工作量之和”.明确工程问题的关键所在，认真读题找到
有效的等量关系是解决实际问题的关键所在。
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究二：解决生活中工程问题
活动4
反思过程，发现规律
有关工程问题的应用题中：
人们常规定工程问题中的工作总量为____ 1 . （2）由以上公式可知：一件工作，甲用a小时完成，则 a 小时，工作效 甲的工作量可看成____ 1 ，工作时间是_____ 率是_____. 若这件工作甲用6小时完成，则甲的工作效率 是_____.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:工程问题中的基本量
活动1
通过引例，回顾旧知
问题：整理一块地，由一个人做要80小时完成.
（1）一个人做1小时完成的工作量是_______；
（2）一个人做4小时完成的工作量是_______； （3）一个人做x小时完成的工作量是________； （4）工作效率相同的5个人做1小时完成的工作量是_______； （5）工作效率相同的m个人做1小时完成的工作量是_______；
1 率为 40 .
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究二：解决生活中工程问题
活动1
大胆操作，探究新知
题目中哪些是已知量？哪些是未知的量？如果设先安排x
人工作，则后来有________人一起工作； 已知量有：人均效率、总工作量、先后两个段的工作时
间；未知量：前段时间安排的人数，如果设先安排x人工 作，则后来有（x＋2）人一起工作； 这件工作是分哪两部分完成的？ 一部分人先做4小时，然后增加2人一起再做8小时，完成 这项工作.

《实际问题与一元一次方程》公开课教案XX中学王老师教学目标1. 知识与技能：能够根据实际问题列出一元一次方程并解决问题。

2. 过程与方法：通过实际例子和互动，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

3. 情感态度与价值观：增强学生学习数学的兴趣和信心，体会数学在日常生活中的应用。

教学重点与难点教学重点：根据实际问题正确列出一元一次方程。

教学难点：理解实际问题中的数量关系，转化为方程。

教学过程一、导入故事引入：讲述一个简单的购物故事，比如妈妈去超市买水果，买了3斤苹果和2斤橙子，总共花了18元。

引导学生思考：如果知道橙子的价格，如何求出苹果的价格？二、新课讲授1. 从实际问题到方程情境设置：假设你去文具店买文具，一支铅笔2元，一本笔记本5元，你买了3支铅笔和2本笔记本，总共花了16元。

设铅笔的价格为x元，列出方程并解答。

分析：总价= 3支铅笔的价格+ 2本笔记本的价格方程：3x + 25 = 16解方程：3x + 10 = 16，3x = 6，x = 22. 列方程解决实际问题例题1：一个长方形的周长是24米，已知长比宽多2米，求长和宽各是多少米？分析：设宽为x米，则长为(x + 2)米方程：2(x + (x + 2)) = 24解方程：2(2x + 2) = 24，4x + 4 = 24，4x = 20，x = 5总结：宽为5米，长为7米3. 实际应用情境设置：假设你和朋友一起做手工艺品，一个小工艺品卖10元，一个大工艺品卖20元，你们总共卖了10个工艺品，收入是150元。

设小工艺品的数量为x，大工艺品的数量为y，列出方程并解答。

方程1：x + y = 10方程2：10x + 20y = 150解方程：通过代入或消元法求解三、练习巩固1. 课堂练习列方程并解答以下问题：1. 小明和小红一起去游乐园，门票价格是成人票40元，儿童票20元，总共花了120元，他们买了5张票，求成人票和儿童票的数量。

2. 一个水池有两个进水管，一个大管每小时注水5立方米，一个小管每小时注水3立方米，一小时共注水24立方米，问大管和小管各用了多少时间？2. 教师讲解针对学生易错点进行讲解和纠正。

两车才能相遇？ 3）若两车相向而行，快车先开25分钟，快车开了几小时
与慢车相遇?
乐于合作1 结合前面的问题，请同学们思考以上行程 问题属于哪个基本类型，等量关系有哪些？
学科网
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 5:27:54 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/142021/10/14October 14, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/142021/10/142021/10/142021/10/14
解：设小亮开车x 小时后才能追上小明，则小亮所行路 程为30x公里，小明所行路程为15（x+1）
等量关系：小亮所走路程=小明所走路程
依题意得：30x=15（x+1） x=1
检验：两地相距28公里，在两地之间，小亮追不上小明
喜于收获 这节课你最大的收获是什么？
你还有什么困惑？
小结： 行程问题包括相遇、追击和飞行、航行的速度问题
2掌握行程问题的基本数量关系，进一 步 掌握分析数量关系，列方程的方法

小结
2.审题方法： 粗读（问题类型、关系式）； 精读（找与工作时间、工作效率、工作量有关的等量关系）.
小结
3.注意 语言和单位的完整性、一致性； 检验内容，是不是方程的解，有没有实际意义； 选择合适未知量设未知数.
练习
一条地下管线由甲工程队单独铺设，需要12天，由乙 工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同 时施工，需要多少天可以铺好这条管线？
解：设要x天可以铺好这条管线. 可列方程
x 12
x 24
1
.
解这个方程，得 x 8 .
答：需要8天可以铺好这条管线.
练习 一条地下管线由甲工程队单独铺设，需要12天，由乙
工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同 时施工，需要多少天可以铺好这条管线？
分析： 也可根据等量关系甲的工效+乙的工效=总工效，
设第一阶段的工作量为x，则第二阶段的工作量为40-x .
人均效率
人数
时间
工作量
第一阶段 第二阶段
1
x 4
4
x
1
40 - x
8
40-x
8
一个人40工时的工作量看作是工作总量
整理一批图书，由一个人做要40 h完成.现计划由一部分人 先做4 h，然后增加2人与他们一起做8 h，完成这项工作.
假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
第二1阶段工作量可以表示 为 8 第二阶段人数
40
第一阶段工作量+第二阶 段工作量=工作总量
假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
1
第一阶段的人均效率=第二阶段的人均效率=
40
整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人

思考
我们可以怎样设未知数？设出未知数后，相关的量可以如何表示呢？
根据上节课讲过的“求什么设什么”的原则，可以设先安排x人工作．
思考
根据前面的分析，完成表格：
项目
人均效率
人数
时间/h
工作量

x
4
8
问题
列出方程，对本题进行解答．
解：设安排 x 人先做 4 h．
工作效率×工作时间
工作量÷工作效率
工作量÷工作时间
整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成．现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做 8 h ，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
分析：（1）工作总量通常看作______．（2）人均工作效率为______．（3）工作量＝_______________________________________．
1
工作效率×工作时间
甲的工作效率
乙的工作效率
总工作量
例1 甲每天生产某种零件 80 个，甲生产 3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过 5天，两人共生产这种零件 940 个，问乙每天生产这种零件多少个？
前3天甲生产零件的个数
后5天甲生产零件的个数
后5天乙生产零件的个数
940个
分析：画出示意图如下：
根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作量，列出方程
解方程，得4x＋8(x＋2)＝40，4x＋8x＋16＝40， 12x＝24，x＝2．答：应安排 2人先做 4 h．
安排先工作的人数
设安排 x 人先做4 h
找出等量关系，列方程
解方程
x＝2
解释实际意义
安排 2人先做4 h
检验
问题

注意：
列方程解决比赛积分问题，优先从比赛总场数及比赛总 得分的角度来找相等关系.
例4 足球比赛的得分规则：胜一场得3分，平一场得 1分，负一场得0分.一支足球队在某个赛季共需比赛14场， 现已比赛8场，其中负了一场，共得17分.
（1）在前8场比赛中，这支球队胜了几场？ （2）这支球队打满14场，最高能得多少分？ （3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比 赛，得分不低于29分，就可达到目标.请你分析一下，在 后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预 期的目标？
“某个部件由几个A与几个B组成”等.（2）配套
问题中常见的等量关系：如果a件甲产品和b件乙
产品配成一套，那么甲产品件数的b倍等于乙产
品件数的a倍，即
甲产品件数 乙产品件数
.
a
b
中考教材对接
例1 某纸品加工厂制作甲、乙两种小盒，其中每个 甲种小盒需1张正方形硬纸片和4张长方形硬纸片，每个 乙种小盒需2张正方形硬纸片和3张长方形硬纸片，现用 150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片制作这两种小 盒，最多能制作甲、乙两种小盒各多少个？
分析：设该定价的书应打x折出售，根据“售价-成本 =利润”建立方程，解方程即可．
解：设该定价的书应打x折出售. 由题意，得
10 x -8=（10-8）×（1-10%）， 10
解得x=9.8. 答：该定价的书应打九八折出售．
中考教材对接
打折销售是商家根据顾客心理进行促销的一种手段，解 决此类问题主要是理清问题中的各种数量关系，如进价、 标价、售价、利润、利润率、打折等，找出合适的等量 关系列出方程.
中考教材对接
分析：题目中的配套关系：每个甲种小盒需要正方 形硬纸片1张，长方形硬纸片4张；每个乙种小盒需要正 方形硬纸片2张，长方形硬纸片3张.相等关系：①两种小 盒需要正方形硬纸片150张；②两种小盒需要长方形硬纸 片300张.如果制作甲种小盒x个，则由相等关系①可知制 作乙种小盒 150 x 个，于是根据相等关系②列出方程.

一元一次方程与实际问题第二课时蔡琼工程问题一、教学目标〔一〕学习目标1初步感知工程问题中的数量关系2会分析工程问题中的数量关系，能准确找出相等关系，并能列出方程表示问题中的相等关系3体会建立数学模型的思想〔二〕学习重点分析工程问题中的数量关系，能准确找出相等关系〔三〕学习难点如何找等量关系列方程二、教学设计〔一〕课前设计1预习任务〔1〕工程问题中，通常把总工作量简单表示为“1〞；〔2〕工作量= 工作效率工作时间；〔3〕总工作量=各阶段工作量的和；〔4〕工作量= 人均效率人数时间2.预习自测〔1〕某项工程，甲单独做要6天完成，乙单独做要4天完成，那么甲、乙的工作效率分别表示为，两人合做2天可以完成整个工程的．【知识点】【解题过程】解：把总工作量看成1，甲单独做要6天完成，那么甲每天完成总工程的，即甲的工作效率为乙单独做要4天完成，那么乙每天完成总工程的，即乙的工作效率为，两人合做2天完成的工作量是【思路点拨】总工作量看成“1〞，再分别运用公式：工作效率=工作量÷工作时间；工作量= 工作效率×工作时间计算即可【答案】，；〔2〕限期完成一项工程，甲队单独做4天可完成，乙队那么需10天完成，现甲队工作2天后，余下的由乙对去做，正好按期完成，问原方案需多少天完成？设原方案需天完成，那么甲队完成了_________，乙队完成__________，由题意列方程得_________________，解得=_______【知识点】工程问题h完成,那么m的值为〔〕A B C D【知识点】从工程问题中抽象出一元一次方程的模型-1〕h的工作量〞=1列出方程即可【答案】C．〔4〕一项工程，甲队单独做需2021成，乙队单独做需30天完成，丙队单独做需40天完成，开始甲、乙、丙三队合作，后来甲队另有事离开，由乙、丙继续合作，全部工程一共用了12天完成，求甲队工作了多少天？【知识点】工程问题个人做1小时完成的工作量是；〔6〕工作效率相同的m个人做小时完成的工作量是师问：你能快速、准确地完成以上问题吗？学生举手抢答：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕总结：〔1〕在工程问题中，通常把全部工作量简单的表示为1〔2〕如果一件工作需要n小时完成，那么平均每小时完成的工作量就是〔3〕工程问题中，当人均工作效率相同时：工作量=人均效率×人数×工作时间【设计意图】通过类比，让学生明白“人数变化〞和“时间〞的变化以后，工作量的算法及人均工作效率的含义，为新知识的学习作铺垫探究二解决生活中工程问题★▲●活动①大胆操作，探究新知整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在方案由一局部人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？师问1：“由一个人做要40小时完成〞可以得到什么？生答：把总工作量设为1，那么一个人1小时完成的工作量即人均效率为师问2：题目中哪些是量？哪些是未知的量？如果设先安排人工作，那么后来有________人一起工作；学生：量有：人均效率、总工作量、先后两个段的工作时间；未知量：前段时间安排的人数，如果设先安排人工作，那么后来有〔＋2〕人一起工作；师问3：这件工作是分哪两局部完成的？学生：一局部人先做4小时，然后增加2人一起再做8小时，完成这项工作【设计意图】通过生活中的实例，用问题串的形式来培养学生仔细审题的习惯学会抓关键信息分析题意，找到等量关系并能列方程求解●活动②集思广益，讨论交流解决问题师问1：你能找出题目中的等量关系吗？生答：先、后两个时段的工作量之和＝总工作量“1〞师问2：请快速完成表格师问3：你能根据相等关系列出方程吗？学生：师问4：你能完整解答此题吗？学生：解：设先安排人先做4小时，那么后来有〔＋2〕人一起做了8小时；由题意可得：，解得：答：应先安排2人先做4小时【设计意图】通过提问和学生的答复及填表，引导学生利用表格对信息做出梳理和加工找出相等关系，列出方程从而解决实际问题●活动③发散思维变式1：整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在方案由一局部人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作的假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？师问：找出和活动①条件不同的地方，思考哪里发生了变化？该怎样解决这个问题？学生：活动①中是“完成了整项工作〞而此题是“只完成这项工作的〞∴只需将总工作量1换成即可∴方程变为：，解得：，∴应先安排1人工作变式2：整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在方案由一局部人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，最后再由增加的2人做6小时，完成这项工作假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？师问：找出和活动①条件不同的地方，思考哪里发生了变化？该怎样解决这个问题？学生：与活动①相比，多出了一段时间，即最后再由增加的2人做6小时，才完成这项工作∴先、后两个时段的工作量之和＋增加的2人做6小时的工作量＝总工作量“1〞∴方程变为：，解得：，∴应先安排1人工作总结：通过设置“完成的工作量〞的改变，进一步感受“完成的总工作量=各局部工作量之和〞明确工程问题的关键所在，认真读题找到有效的等量关系是解决实际问题的关键所在。

实际问题与一元一次方程（第5课时）教学目标1．体验建立方程模型解决问题的一般过程．2．体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力．教学重点通过分类讨论，将数学问题转化为方程问题．教学难点由实际问题抽象出数学模型的探究过程．教学过程新课导入今天，我们来探究如何用一元一次方程解决与实际生活联系更为紧密的问题——分段计费问题．解决这类问题的关键仍然是在实际问题中分析数量关系，先找出相等关系，再设未知数列方程求解．新知探究一、探究学习【问题】下表中有两种移动电话计费方式．你了解上面表格中这些数字的含义吗？怎样理解“月使用费”和“主叫超时费”？【师生活动】教师提问，学生思考、回答．教师对回答的方向适当给予提示，如“月使用费的比较”“超时费的比较”等，然后教师列举出一两个具体的主叫时间，让学生通过简单计算回答相应的费用．【设计意图】通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力，引导学生对表格信息做初步梳理和简单加工；通过对几个容易计算的主叫时间的话费计算，检验学生是否理解表格信息的含义，并渗透“话费多少与主叫时间相关”．【问题】根据对表格的理解，你觉得应该怎么求话费？【师生活动】教师引导学生分类写出话费求法．【答案】主叫时间在主叫限定时间之内，话费＝月使用费；主叫时间超过主叫限定时间，话费＝月使用费＋主叫超时总费用．【设计意图】引导学生写出两种计费方式下的话费求法，为后面进行比较做好铺垫．【问题】你觉得选择哪种计费方式更省钱呢？【师生活动】教师提出问题，学生思考回答．根据学生的回答情况，教师适当加以引导．若学生回答方式一或者方式二省钱，可以和班级其他学生一起举例加以质疑；若学生的回答中出现分类讨论的趋势，则教师加以肯定并引导学生作进一步地探究．【设计意图】学生对电话计费问题是有生活基础的，所以具备了一定的认识，在给出探究问题后让学生充分发言，表达自己对问题的直观认识，同时学生之间进行交流，为问题的进一步探究做准备．【问题】通过大家的讨论，你对电话计费问题有什么新的认识？【师生活动】教师提出问题，学生思考回答．根据学生回答，教师适当加以归纳引导：若学生还没有明确的分类，则引导学生思考“你可以确定哪一个时间区间内两种计费的比较结果”，从而引导学生进行分类；若学生已经对问题进行了分类，则追问“为什么这样分类？”以及“在每一个时间区间内你是怎么分析的”，从而引导学生更合理地解决问题．【设计意图】学生参考了其他同学的观点后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定分类讨论的研究方式．【问题】设一个月内用移动电话主叫为t min（t是正整数）．列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．【师生活动】教师提出问题，学生思考并制作表格，教师巡视．找一名学生填写下面的表格，其他同学适当补充．【答案】填写表格如下：【设计意图】引导学生列表，让学生体验使用表格整理信息的益处，并通过列表使学生进一步明确两种计费方式的变化规律，同时考察学生列代数式表示未知量的能力．【问题】观察表格，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？【师生活动】教师提出问题，学生思考并小组讨论，教师选小组汇报讨论结果．学生能对“t小于150”“t＝150”“t＝350”三种情况作出准确判断，对于“t大于150且小于350”的情况，教师辅助学生加以分析．【问题】当t大于150且小于350时，计费情况怎样？【师生活动】学生组内交流，派出学生代表回答．【答案】当t从150增加到350时，按方式一的计费由58元增加到108元，而方式二的计费一直是88元，所以方式一在变化过程中，经历某一主叫时间，和方式二的计费相等，都为88元．列方程58＋0.25(t－150)＝88，可得t＝270．所以当t＝270时，两种计费方式的费用相等．【问题】当t＞350时，计费情况又是怎样的呢？【师生活动】教师指导学生进行探究并表述结果．【答案】当t＞350时，方式一的计费为58＋0.25(t－150)，可变形为108＋0.25(t－350)；方式二的计费为88＋0.19(t－350)，故按方式二的计费少．【设计意图】学生通过分类讨论得到方程模型，并利用方程求出关键数据，这可使学生认识到方程的重要性和应用价值，增强学生对模型的应用意识和应用能力．【问题】综合以上的分析，可以发现：___________________，选择方式一省钱；___________________，选择方式二省钱．【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．【答案】当t＜270时当t＞270时【设计意图】在得出方程模型的结论之后，引导学生利用结论解释实际问题，从而完成解题过程．【归纳】分段计费问题的求解方法．分段计费在日常生活中有着广泛的应用，如话费、水费、电费等，解决分段计费问题时，我们可分段计算每个范围内应付的费用，然后求和．二、典例精讲【例题】用A4纸在某打印社复印文件，复印页数不超过20页时每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元．如何根据复印的页数选择复印的地点，使总价格比较便宜？（复印的页数不为0）【问题】你能通过分析题目，合理地列出表格吗？【师生活动】教师引导学生列表，将题目中的信息以表格的形式整理出来．【答案】设复印x页，整理数据如下：【设计意图】通过列表，进一步巩固学生列表整理信息的能力．【问题】如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？【师生活动】根据表格，学生仿照前面问题的探究过程，对此问题进行分析，教师巡视进行指导．【答案】解：设复印页数为x页（x是正整数）．（1）当x＜20时，0.12x＞0.1x恒成立，图书馆价格便宜；（2）当x＝20时，2.4＞2，图书馆价格便宜；（3）当x＞20时，依题意，得2.4＋0.09(x－20)＝0.1x．解得x＝60．代入数值进行验证，可知当x＞60时，打印社价格便宜，当x＜60时，图书馆价格便宜．综上分析，当x＜60时，图书馆价格便宜；当x＝60时，打印社和图书馆的价格相同；当x＞60时，打印社价格便宜．【设计意图】通过解答此题，使学生对表格的分析能力得到巩固和深化，进一步熟悉解决问题的方法与过程，从而提高分析与解决问题的能力．课堂小结板书设计一、分段计费问题的分类讨论二、列代数式表示分段计费三、列方程寻找不同计费方案中的转折点课后任务完成教材第112页复习题3第10题．。

新知探究
知识点
销售盈亏问题
探究
销售中的盈亏
一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，
另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈
不亏？
问题1：你估计盈亏情况是怎样的？
A. 盈利.
B. 亏损.
C. 不盈不亏.
新知探究
知识点
销售盈亏问题
分析：有同学可能认为，一件盈利25%，另一件亏损25%，
根据题意，得30%(x-10)=20%x.
解得x=30.
小书包利润
大书包利润
所以x-10=30-10=20.
答：每个大书包的进价为30元，每个小书包的进价为20元.
随堂练习
2. 一件商品按成本价提高20%后标价，再打八折销售，售价为
144元.售出这件商品是盈利还是亏损？
解：设这件商品的成本价为x元.
服
x+25%x=60
利润率
进价
利润
售价
25%
x
25%x
60
-25%
y
-25%y
60
y-25%y=60
新知探究
知识点
销售盈亏问题
探究
销售中的盈亏
一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，
另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈
不亏？
在本问题中，设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它
服共亏损8元.
这个结论与你的猜想
一致吗？
新知探究
知识点
销售盈亏问题
跟踪练习 一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又
按标价的8折出售，此时售价为60元. 请问商家是盈是亏，还是不