2018数学中考专题--5-角平分线问题专题

三角形的角平分线1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 62. 如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，若∠EAN＝25°，则∠ADB等于( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 75°3. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°4. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE垂直平分AB，垂足为E，若BD＝6cm，则CD等于( )A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 5cm5. 如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3.若△ABC 的周长是22，则△ABC的面积是( )A. 28B. 30C. 32D. 336. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°8. 如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( )A．△BOD≌△BOF B．∠OAD＝∠OBF C．∠COE＝∠CO F D．AD＝AE 9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE ＝DF，则∠ADC的度数为____．10. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC=12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则BD的长为____cm.13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E，且AB＝6cm，则△BED的周长是____ cm.14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，且DE＝DF，若DE＝4，则AD＝____．15. 在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为 cm， cm， cm 16. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，则EF＝____．17. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为18. 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.19. 如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上，PM⊥AD 于点M，PN⊥CD于点N.求证：PM＝PN.20. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．参考答案：11 1---8 BACCD DCB9. 137°10. 211. 312. 613. 614. 815. 2 2 216. 2 17. 318. 解：在△BDF 和△CDE 中，∠BFD ＝∠CED ＝90°，∠FDB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△BDF ≌△CDE(AAS)，∴DF ＝DE ，又∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC19. 解：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD(SAS)，∴∠ADB ＝∠CDB ，又∵∠ADB ＋∠ADP ＝∠CDB ＋∠CDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠CDP ，∴DP 平分∠ADC ，又∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN20. 解：过点D 作DF⊥AC，∵AD 是∠BAC 平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∵S △ABD ＝4×22＝4，∴S △ACD ＝7－4＝3， ∴2AC 2＝3，即AC ＝3。

2018年全国中考数学真题分类 线段垂直平分线、角平分线、中位线（一）一、选择题1. （2018四川泸州，7题，3分） 如图2，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且AE+EO=4，则ABCD 的周长为（ ）A.20B. 16C. 12D.8第7题图 【答案】B 【解析】ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，所以O 为AC 的中点，又因为E 是AB 中点，所以EO是△ABC 的中位线，AE=21AB ，EO=21BC ，因为AE+EO=4，所以AB+BC=2(AE+EO)=8，ABCD 中AD=BC ，AB=CD ，所以周长为2(AB+BC)=16【知识点】平行四边形的性质，三角形中位线2. （2018四川省南充市，第8题，3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，30A ∠=，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若2BC =，则EF 的长度为（ ）A ．12B ．1C ．32D【答案】B【思路分析】1.由∠ACB =90°，∠A =30°，BC 的长度，可求得AB 的长度，2.利用直角三角形斜边D的中线等于斜边第一半，求得CD 的长度；3.利用中位线定理，即可求得EF 的长.【解题过程】解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，，∴AB =4，CD =12AB ，∴CD =12×4=2，∵E ，F 分别为AC ，AD 的中点，∴EF =12CD =12×2=1，故选B.【知识点】30°所对直角边是斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边第一半；中位线定理3. （2018四川省达州市，8，3分） △ABC 的周长为19，点D 、E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ．若BC ＝7，则MN 的长为（ ） ． A ．32 B ．2 C ．52D ．3第8题图 【答案】C ，【解析】∵△ABC 的周长为19，BC ＝7， ∴AB ＋AC ＝12．∵∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∴BA ＝BE ，N 是AE 的中点． ∵∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，∴AC ＝DC ，M 是AD 的中点． ∴DE ＝AB ＋AC －BC ＝5． ∵MN 是△ADE 的中位线， ∴MN ＝12DE ＝52． 故选C.【知识点】三角形的中位线4. （2018浙江杭州， 10，3分）如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，DE//BC ，与边AC 交于点E ，连接BE ，记△ADE ，△BCE 的面积分别为S 1，S 2,（ ）A. 若2AD>AB ，则3S 1>2S 2B. 若2AD>AB ，则3S 1<2S 2C. 若2AD<AB ，则3S 1>2S 2D. 若2AD<AB ，则3S 1<2S 2【答案】D【思路分析】首先考虑极点位置，当2AD=AB 即AD=BD 时S 1，S 2的关系，然后再考虑AD>BD 时S 1，S 2的变化情况。

N M O A B PPO N M B A角平分线四大模型专题知识解读【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

【模型分析】P O N M B AQP O N M 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。

结论：△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

《角平分线》经典例题在直角三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BE交AC于E点,过E点作ED⊥BC于D点,已知AC=10cm,ΔCDE的周长为16cm,求CD的长.〔解析〕根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE,从而求出DE+CE=AC,所以ΔCDE的周长=AC+CD,根据ΔCDE的周长及AC的长即可求得CD的长.解:∵BE为∠ABC的平分线,∠A=90°,DE⊥BC,∴AE=DE,∴DE+CE=AE+CE=AC=10cm,∵ΔCDE的周长为16cm,∴DE+CE+CD=16cm,∴CD=16-10=6(cm).如图(1)所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证点C在∠DAB的平分线上.〔解析〕作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,利用∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,得出∠ABC=∠CDF,进而证得ΔCBE≌ΔCDF,得出FC=EC,即可求得结论.证明:如图(2)所示,作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,∴∠BEC=∠DFC=90°,∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,∴∠ABC=∠CDF,在ΔCBE和ΔCDF中,∴ΔCBE≌ΔCDF(AAS),∴FC=EC,∴点C在∠DAB的平分线上.如图(1)所示,已知点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,PD ⊥AB ,若PD =5,ΔABC 的周长为20,求ΔABC 的面积.〔解析〕作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,根据角平分线的性质定理得PE =PF =PD =5,然后根据三角形面积公式和S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC 得到S ΔABC =(AB +BC +AC ),再把ΔABC 的周长为20代入计算即可.解:作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,如图(2)所示,∵点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,∴PE =PF =PD =5,∴S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC=PD ·AB +PE ·BC +PF ·AC=(AB +BC +AC )=20=50.如图(1)所示,在RtΔABC 中,∠ACB =90°,且AC =b ,BC =a ,AB =c ,∠A 与∠B 的平分线交于点O ,O 到AB 的距离为OD.试探究OD 与a ,b ,c 的数量关系.〔解析〕过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OD=OE=OF,然后证得四边形EOFC是正方形,从而证得OE=OF=FC=EC=OD,AE=AD,BD=BF,通过AB=AC-OD+BC-OD即可求解.解:如图(2)所示,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,∵∠BAC,∠ABC的平分线交于点O,OD⊥AB,∴OD=OE,OD=OF,∴OD=OE=OF,∵∠ACB=90°,∴四边形EOFC是正方形,∴OE=OF=FC=EC=OD,在RtΔOAE和RtΔOAD中,∴RtΔOAE≌RtΔOAD,∴AE=AD,同理BD=BF,∴AE+EC=AD+OD=AC=b,BF+CF=BD+OD=BC=a,∴AD=b-OD,BD=a-OD,∴AD+BD=a+b-2OD,即c=a+b-2OD,∴OD=(a+b-c).。

2017-2018学年中考数学专题---《三角形全等与角平分线，垂直平分线》一．选择题（每小题3份，共计36分）1．下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形D．全等三角形的对应边相等，对应角相等2．不能使两个直角三角形全等的条件是（）A．斜边、直角边对应相等B．两直角边对应相等C．一锐角和斜边对应相等D．两锐角对应相等3．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=（）A．90°B．135°C．150°D．180°4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则A．AF=2BF B．AF=BF C．AF＞BF D．AF＜BF第4题图第5题图第6题图5．如图，△ABC中，∠B=∠C=∠EDF=α，BD=CF，BE=CD，则下列结论正确的是（）A．2α+∠A=180°B．α+∠A=90°C．2α+∠A=90°D．α+∠A=180°6．如图，把一个等腰直角三角形放在间距是1的横格纸上，三个顶点都在横格上，则此三角形的斜边长是（）A．3 B．C．2D．27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∠C的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（）A．50°B．45°C．40°D．35°第6题图第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，AC=10，BC=8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，则△BDC的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．209．已知AD和BE是△ABC的高，H是AD与BE或是它们的延长线的交点，BH=AC，则∠ABC的度数为（）A．45°B．135°C．60°或120°D．45°或135°10．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B，D重合，已知AB=3，AD=4，则①DE=DF；②DF=EF；③△DCF≌△DGE；④EF=．上面结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（）①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．A．4个B．3个C．2个D．1个第10题图第11题图第12题图12．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四边形AEPF=S△；④BE+CF=EF．上述结论中始终正确的有（）ABCA．4个B．3个C．2个D．1个2017-2018学年中考数学专题---《三角形全等与角平分线，垂直平分线》题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二．填空题（共6小题）13．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于．14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3，则BE=．第13题图第14题图第15题图15．如图，已知点O为∠CAB与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE=2，则点O 到AB的距离与点O到CD的距离之和是．16．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为5cm，则△ADE的周长为cm．17．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为．第16题图第17题图第18题图18．如图所示，将等腰直角三角形ABC放置到平面直角坐标系中，直角顶点C在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y=图象过点A，若点B与点C坐标分别为（0，1）与（﹣2，0），则k=．三．解答题（19-21每小题8分，22-25每小题9分，共计60分）19．如图，∠C=∠F，AC∥EF，AE=BD，求证：①△ABC≌EDF；②BC∥DF．20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．求证：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AD垂直平分EF．21．如图：△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于N．求证：BM=．22．如图，已知四边形ABCD中，∠D=∠C=90°，AE平分∠BAD，点E是DC的中点，且E在DC上．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）求∠AEB；（3）求证：AD+BC=AB．23．如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取点E，使得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF．（1）求证：AB=CE；（2）求证：BF+EF=FD．24．如图1，线段BE上有一点C，以BC，CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC，DCE，连接AE，BD，分别交CD，CA于Q，P．（1）证明：AE=BD（2）如图2，取AE的中点M、BD的中点N，连接MN，试判断三角形CMN的形状，并说明理由．25．情景阅读：如图1，M是正方形ABCD的AB边上的中点，MD⊥MH，且MH交正方形ABCD的外角∠CBE的平分线BH于点H．在AD上取中点G，连接MG，易证得：△MBH≌△DGM，则可得：MD=MH．建模迁移：如图2，在等边△ABC中，点M是BC边上的点，连接AM，过点M在AM右侧作∠AMH=60°，与∠ACB的邻补角∠A的平分线交于点H．（1）猜想验证：MA=MH；（2）初步应用：点M在直线BC上运动时，上述（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）延伸拓展：在（2）的条件下，过H作HN⊥BC，试说明CB，CM，之间的数量关系，直接写出结论．26．如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）求证：BF⊥AE；（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．27．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD．AG．（1）求证：AD=AG；（2）AD与AG的位置关系如何．28．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，EF垂直平分BD．求证：∠ABD=∠BDF．29．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC、BD，若AB=AC 且∠ABD=60°．求证：AB=BD+CD．30．如图，等腰△ABC中，AC=BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．求证：G为AB的中点．31．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F，DF=BC．求证：ED﹣FC=BE．2017-2018学年中考数学专题---《三角形全等与角平分线，垂直平分线》参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形D．全等三角形的对应边相等，对应角相等【解答】解：A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；C．全等图形的面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意；D．全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意；故选：C．2．不能使两个直角三角形全等的条件是（）A．斜边、直角边对应相等B．两直角边对应相等C．一锐角和斜边对应相等D．两锐角对应相等【解答】解：A、符合AAS，正确；B、符合HL，正确；C、符合ASA，正确；D、因为判定三角形全等必须有边的参与，错误．故选D．3．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=（）A．90°B．135°C．150°D．180°【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，又∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．故选B．4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC 交AB于F，则（）A．AF=2BF B．AF=BF C．AF＞BF D．AF＜BF【解答】解：∵AD平分∠BAC，EF∥AC，∴∠FAE=∠CAE=∠AEF，∴AF=EF，∵BE⊥AD，∴∠FAE+∠ABE=90°，∠AEF+∠BEF=90°，∴∠ABE=∠BEF，∴AF=BF．故选B．5．如图，△ABC中，∠B=∠C=∠EDF=α，BD=CF，BE=CD，则下列结论正确的是（）A．2α+∠A=180°B．α+∠A=90°C．2α+∠A=90°D．α+∠A=180°【解答】解：A、正确．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C=α，∴2α+∠A=180°．B、错误．不妨设，α+∠A=90°，∵2α+∠A=180°，∴α=90°，这个显然与已知矛盾，故结论不成立．C、错误．∵2α+∠A=180°，∴2α+∠A=90°不成立．D、错误．∵2α+∠A=180°，∴α+∠A=180°不成立．故选A．6．如图，把一个等腰直角三角形放在间距是1的横格纸上，三个顶点都在横格上，则此三角形的斜边长是（）A．3 B．C．2 D．2【解答】解：如图所示：作BD⊥a于D，CE⊥a于E，则∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AE=BD=1，∵CE=2，∴由勾股定理得：AB=AC=，=，∴BC==．故选：B．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∠C的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（）A．50°B．45°C．40°D．35°【解答】解：∵E在∠C的平分线上，∴E点到CB的距离等于E到AC的距离，∵E在∠B的外角的平分线上，∴E点到CB的距离等于E到AB的距离，∴E点到AC的距离等于E到AB的距离，∴AE是∠BAC的外角的平分线．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，，∵EB是∠ABC的外角的平分线，∴∠ABE=60°，∴∠AEB=180°﹣60°﹣75°=45°．故选B．8．如图，在△ABC中，AC=10，BC=8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，则△BDC的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．20【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC于点D，AC=6，BC=4，∴AD=BD，∴△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=10+8=18．故选C．9．已知AD和BE是△ABC的高，H是AD与BE或是它们的延长线的交点，BH=AC，则∠ABC的度数为（）A．45°B．135°C．60°或120°D．45°或135°【解答】解：有2种情况，如图（1），（2），∵BH=AC，∠BEC=∠ADC，∠AHE=∠BHD，∠HAE+∠C=90°，∠HAE+∠AHE=90°，∴∠C=∠AHE，∴∠C=∠BHD，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD．如图（1）时∠ABC=45°；如图（2）时∠ABC=135°．∵HE⊥AC，∴∠C+∠EBC=90°①，∵∠HDC=90°，∴∠H+∠HBD=90°②，∵∠HBD=∠EBC③，∴由①②③可得，∠C=∠H，∵BH=AC，∠ADC=∠BDH，∠C=∠H，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD，∴∠AB D=45°，∠ABC=135°．故选D．10．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B，D重合，已知AB=3，AD=4，则①DE=DF；②DF=EF；③△DCF≌△DGE；④EF=．上面结论正确的有（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个【解答】解；如图作EM⊥BC于M．∵四边形ABCD是矩形，四边形EFDG是由四边形ABEF翻折，∴∠ADC=∠GDF=∠C=∠G=90°，DC=DG=AB=3，AD=BC=4∴∠EDG=∠CDF，在△DEG和△DFC中，，∴△DEG≌△DFC．故③正确，∴DE=DF，故①正确，设DF=FB=x，则CF=4﹣x，在RT△DCF中，∵DF2=CD2+CF2，∴x2=（4﹣x）2+32，∴x=，∴DE=DF=，∵四边形AEMB是矩形，∴AE=BM=，ME=AB=3，∴MF=BC﹣BM﹣CF=4﹣﹣（4﹣）=，在RT△EFM中，EF==．故④正确，②错误．假设DF=EF，∵DE=DF，∴EF=DE=DF，∴△DEF是等边三角形，∴∠DFE=60°，∴∠BFE=∠DFE=∠DFC=60°，这显然不可能，假设不成立，故②错误．故正确的有3个，选C11．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（）①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．A．4个B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：（1）PA平分∠BAC．∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，∴△APR≌△APS，∴∠PAR=∠PAS，∴PA平分∠BAC；（2）由（1）中的全等也可得AS=AR；（3）∵AQ=PR，∴∠1=∠APQ，∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，又∵PA平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∴∠PQS=∠BAC，∴PQ∥AR；（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠CSP，∵PR=PS，∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．故选B．12．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四边形AEPF=S△ABC；④BE+CF=EF．上述结论中始终正确的有（）A．4个B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE=∠CPF，∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP=CP，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=S△ABC，①②③正确；故AE=FC，BE=AF，∴AF+AE＞EF，∴BE+CF＞EF，故④不成立．始终正确的是①②③．故选B．二．填空题（共6小题）13．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于 4 ．【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，∴∠DEG=15°×2=30°，∴ED=AE=8，∴在Rt△DEG中，DG=DE=4，∴DF=DG=4．故答案为：4．14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3，则BE= 3．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB．故∠B=∠EAB=22.5°，所以∠AEC=45°．又∵∠C=90°，∴△ACE为等腰三角形所以CE=AC=3，故可得AE=3．故答案为：3．15．如图，已知点O为∠CAB与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE=2，则点O到AB的距离与点O到CD的距离之和是 4 ．【解答】解：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，∵点O为∠CAB与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，OG⊥AB，OH⊥CD，∴OG=OE=2，OH=OE=2，∴OG+OH=4，∴点O到AB的距离与点O到CD的距离之和是4，故答案为：4．16．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC 长为5cm，则△ADE的周长为 5 cm．【解答】解：∵△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD=BD，AE=EC，∵边BC长为5cm，∴BD+DE+EC=5cm，∴AD+ED+AE=5cm，故答案为：5．17．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为．【解答】解：别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，在△BCE与△ACF中，∴△BCE≌△ACF（ASA）∴CF=BE，CE=AF，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴CF=BE=3，CE=AF=3+1=4，在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，∴AC=5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴，∴∴在Rt△BCD中，∵CD=，BC=5，所以BD==．故答案为：．18．如图所示，将等腰直角三角形ABC放置到平面直角坐标系中，直角顶点C在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y=图象过点A，若点B与点C坐标分别为（0，1）与（﹣2，0），则k= ﹣6 ．【解答】解：过A点作AD⊥x轴，作AE⊥y轴，∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴AC=CB，∵∠ACD+∠CAD=∠ACD+∠BCO，∴∠CAD=∠BCO，在△ADC与△COB中，△ADC≌△COB，∴AD=CO=2，CD=BO=1，∴OD=DC+CO=3，∴矩形ADOE的面积是3×2=6，∴k=﹣6．故答案为：﹣6．三．解答题（共13小题）19．如图，∠C=∠F，AC∥EF，AE=BD，求证：①△ABC≌EDF；②BC∥DF．【解答】证明：①∵AE=BD，∴AE+EB=BD+EB，即AB=ED，∵AC∥EF，∴∠A=∠FED，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌EDF；②∵△ABC≌EDF，∴∠ABC=∠D，∴BC∥DF．20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．求证：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AD垂直平分EF．【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE；（2）在Rt△AED和Rt△AFD中∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE=AF，而DE=DF，∴AD垂直平分EF．21．如图：△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于N．求证：BM=．【解答】证明：连接BD，DC，如图：∵DE所在直线是BC的垂直平分线，∴BD=CD，∵AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N，∴DM=DN，在Rt△BMD与Rt△CDN中，∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），∴BM=；22．如图，已知四边形ABCD中，∠D=∠C=90°，AE平分∠BAD，点E是DC 的中点，且E在DC上．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）求∠AEB；（3）求证：AD+BC=AB．【解答】（1）证明：过E作EF⊥AB于F，∵∠D=90°，AE平分∠BAD，∴EF=DE，∵E为DC中点，∴DE=EC，∴EF=EC，∵EF⊥AB，∠C=90°，（2）解：延长AE、BC交于点M，∵AD∥BC∴∠DAE=∠CME，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAM，∴∠BAM=∠CME，∴AB=BM，在△ADE和△MCE中∴△ADE≌△MCE，∴AE=EM，∠DAE=∠M∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠M=∠BAE，∴AB=BM，∵AE=EM，∴BE⊥AM，（3）证明：∵△ADE≌△MCE，∴AD=CM，∵AB=BM，BM=BC+CM，∴AD+BC=AB．23．如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取点E，使得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF．（1）求证：AB=CE；（2）求证：BF+EF=FD．【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的高，∠ACB=45°，∴∠ADB=∠CDE=90°，△ACD是等腰直角三角形，∴AD=CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴AB=CE；（2）如图，在EC上截取EG=BF，∵△ABD≌△CED，∴∠B=∠CED，在△BDF和△EDG中，，∴△BDF≌△EDG（SAS），∴DF=DG，∠BDF=∠EDG，∴∠FDG=∠FDE+∠EDG=∠FDE+∠BDF=∠ADB=90°，∴△DFG是等腰直角三角形，∴BF+EF=EG+EF=FG=FD，故BF+EF=FD．24．如图1，线段BE上有一点C，以BC，CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC，DCE，连接AE，BD，分别交CD，CA于Q，P．（1）找出图中的所有全等三角形．（2）找出一组相等的线段，并说明理由．（3）如图2，取AE的中点M、BD的中点N，连接MN，试判断三角形CMN的形状，并说明理由．【解答】解：（1）△BCD≌△ACE；△BPC≌△AQC；△DPC≌△EQC （2）BD=AE．理由：等边三角形ABC、DCE中，∵∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD=AE．（3）等边三角形．理由：由△BCD≌△ACE，∴∠1=∠2，BD=AE．∵M是AE的中点、N是BD的中点，∴DN=EM，又DC=CE．在△D和△ECM中，，∴△D≌△ECM（SAS），∴=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°．∴∠NCD+∠DCM=60°，即∠NCM=60°，又∵CM=，∴△CMN为等边三角形．25．情景阅读：如图1，M是正方形ABCD的AB边上的中点，MD⊥MH，且MH 交正方形ABCD的外角∠CBE的平分线BH于点H．在AD上取中点G，连接MG，易证得：△MBH≌△DGM，则可得：MD=MH．建模迁移：如图2，在等边△ABC中，点M是BC边上的点，连接AM，过点M 在AM右侧作∠AMH=60°，与∠ACB的邻补角∠A的平分线交于点H．（1）猜想验证：MA=MH；（2）初步应用：点M在直线BC上运动时，上述（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）延伸拓展：在（2）的条件下，过H作HN⊥BC，试说明CB，CM，之间的数量关系，直接写出结论．【解答】证明：（1）如图2，过M点作MD∥AC交AB于D，则BM=BD，∠ADM=120°∵AB=BC，∴AD=MC，∵CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH=60°，∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，又∵∠DMC=120°，∠AMH=60°，∴∠HMC+∠AMD=60°又∵∠DAM+∠AMD=∠BDM=60°，∴∠HMC=∠MAD，在△ADM和△MCH中，，∴△AMD≌△MHC（ASA），∴MA=MH；（2）成立，如图3，过M点作MD∥AB交AC延长线于D，∵MD∥AB，∴∠D=∠BAC=60°，∴∠ACB=60°，∴∠DCM=60°，∴∠DMC=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CDM是等边三角形，∴CM=MD，∵∠AMH=60°，∠CMD=60°，∴∠AMH+∠1=∠CMD+∠1，即∠AMD=∠CMH，在△AMD和△HMC中，，∴△AMD≌△HMC，∴MA=MH；（3）由（2）证得△AMN≌△HMC，∴AN=CH，∵∠HDC=90°，∠HCD=60°，∴∠CHD=30°，∴CH=2CD，∵AC=BC，=CM∴AN=AC+=BC+=CB+CM，∵AN=CH，2CD=CB+CM，即：CB=2CD﹣CM．26．如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）求证：BF⊥AE；（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．【解答】证明：（1）∵BC⊥CA，DC⊥CE，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD与△ACE中，，∴△ACE≌△BCD；（2）∵△BCD≌△ACE，∴∠CBD=∠CAE，∵∠BGC=∠AGE，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴BF⊥AE；（3）∠CFE=∠CAB，过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，∵△BCD≌△ACE，∴AE=BD，S△ACE=S△BCD，∴CH=CI，∴CF平分∠BFH，∵BF⊥AE，∴∠BFH=90°，∠CFE=45°，∵BC⊥CA，BC=CA，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∴∠CFE=∠CAB．27．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD．AG．（1）求证：AD=AG；（2）AD与AG的位置关系如何．【解答】解：（1）∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，∴∠AFC=∠BFC=∠BEC=∠BEA=90°∴∠BAC+∠ACF=90°，∠BAC+∠AB E=90°，∠G+∠GAF=90°，∴∠ABE=∠ACF．在△ABD和△GCA中，，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AD=GA，（2）结论：AG⊥AD．理由：∵△ABD≌△GCA（SAS），∴∠BAD=∠G，∴∠BAD+∠GAF=90°，∴AG⊥AD．28．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，EF垂直平分BD．求证：∠ABD=∠BDF．【解答】证明：∵EF垂直平分BD，∴FB=FD，∴∠FBD=∠BDF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠FBD，∴∠ABD=∠BDF．29．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC、BD，若AB=AC 且∠ABD=60°．求证：AB=BD+CD．【解答】证明：如图作AM⊥CD于M，AN⊥BD于N．∵AB=AC，∴∠ABC=∠3，∵∠2=∠3，∠1=∠ABC，∴∠1=∠2，∵AM⊥CD，AN⊥DB，∴AM=AN，在RT△ABN和RT△ACM中，，∴△ABN≌△ACM，∴BN=CM，在RT△ADN和RT△ADM中，，∴△ADN≌△ADM，∴DN=DM，∴BD+CD=BN+ND+CD=BN+CM=2BN，在RT△ABN，∵∠ANB=90°，∠ABN=60°，∴∠BAN=30°，∴AB=2BN，∴AB=BD+CD．30．如图，等腰△ABC中，AC=BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．求证：G为AB的中点．【解答】证明：∵CA=CB∴∠CAB=∠CBA∵△AEC和△BCD为等边三角形∴∠CAE=∠CBD，∠FAG=∠FBG∴AF=BF．在三角形ACF和△CBF中，，∴△AFC≌△BCF（SSS），∴∠ACF=∠BCF∴AG=BG（三线合一）∴G为AB的中点31．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F，DF=BC．求证：ED﹣FC=BE．【解答】证明：延长EB至G，使BG=CF，连接CG，∵DF⊥BC，∴∠CBG=∠DFC=90°，在△BCG和△FDC中∴△BCG≌△FDC，∴CD=CG，∠1=∠2，∵∠1+∠DCF=90°，∴∠2+∠DCF=90°，∵∠DCE=45°，∴∠ECG=45°，∴∠DCE=∠ECG，在△DEC和△EGC中，∴△DEC≌△EGC（SAS），∴ED=EG，∴ED﹣FC=BE．。

三角形的高、中线、与角平分线专题练习（含答案解析）--八年级数学上册一、基础题训练1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）2．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）3．下列说法正确的是（）①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．A．①②③B．①②C．②③D．①③4．三角形的三条中线的交点的位置为（）A．一定在三角形内B．一定在三角形外C．可能在三角形内，也可能在三角形外D．可能在三角形的一条边上5．下列说法错误的是（）A．三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分B．三角形的三条中线，角平分线都相交于一点C．直角三角形三条高交于三角形的一个顶点D．钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB=7cm，AC=5cm，则△ABD和△ACD的周长差为cm．7．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有个．二、中档题训练8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=．9．大家都知道，三角形的三条高（所在的直线）、三条角平分线、三条中线都会交于一点，那么三角形的三条交点不一定在三角形的内部．10．三角形的：①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④11．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE 的周长的差．12．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE==．（2）∠BAD==．（3）∠AFB==．（4）S△AEC=．三、综合题训练13．如图，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．14．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD 和∠ECD的度数．答案解析1.选D2．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．3．选B4.选A5．【考点】三角形的角平分线、中线和高【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线、角平分线、高的概念可知．【解答】解：A、三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，错误；B、三角形的三条中线，角平分线都相交于一点，正确；C、直角三角形三条高交于直角顶点，正确；D、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，正确．故选A．【点评】注意三角形的中线、角平分线、高的概念．以及三角形的中线、角平分线、高的交点的位置．6．已知AB=7cm，AC=5cm，则△ABD和△ACD的周长差为2cm．7.68．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【专题】几何图形问题．【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1=30°，∠2=20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°．故答案为50°．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD=10°是正确解答本题的关键．9.高10.B11．【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；（3）由于AE是中线，那么BE=CE，于是△ACE的周长﹣△ABE 的周长=AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC﹣AB，易求其值．12．（1）BE=CE=BC．（2）∠BAD=∠DAC=∠BAC．（3）∠AFB=∠AFC=90°．（4）S△AEC=3．【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．【分析】分别根据三角形的中线、角平分线和高及三角形的面积公式进行计算即可．13．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，注意：要分情况进行讨论．14、【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】由CD⊥AB与∠B=60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A=20°，∠B=60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数。

角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。

分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。

问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。

分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。

分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：ACABDC BD =。

分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

专题05三角形中的角平分线模型【模型1】如图，已知OP 平分AOB ∠，过点P 作OA PD ⊥,OB PE ⊥；可根据角平分线性质证得ODP ∆≌OEP ∆，从而可得OPE OPD ∠=∠，PE PD OE OD ==;。

【模型拓展】与角平分线有关的辅助线作法【辅助线作法一】如图，已知OP 平分AOB ∠，点C 是OA 上的一点，通常情况下，在OB 上取一点D，使得OC OD =，连接PD，结合OP OP =，POD POC ∠=∠，可证得OPC ∆≌OPD ∆。

从而可得PD PC =，PDO PCO ∠=∠，DPO CPO ∠=∠。

【辅助线作法二】如图，已知OP 平分AOB ∠，OP CP ⊥，通常情况下，延长CP 交OB 于点D，结合OP OP =，POD POC ∠=∠，︒=∠=∠90OPD OPC ，可证得OPC ∆≌OPD ∆。

从而可得PD PC =，PDO PCO ∠=∠，OD OC =。

【辅助线作法三】如图，已知OP 平分AOB ∠，通常情况下，过点P 作PC//OB，根据平行线性质：两直线平行内错角相等；结合POD POC ∠=∠，从而可得PC OC =，CPO COP ∠=∠。

【例1】如图，OC 为∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 为OC 上另一点，连接DF ，EF ，则下列结论：①OD ＝OE ；②DF ＝FE ；③∠DFO ＝∠EFO ；④S △DFP ＝S △EFP ，正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】证明△ODP ≌△OEP （AAS ），由全等三角形的性质可推出OD =OE ，证明△DPF ≌△EPF （SAS ），由全等三角形的性质可推出DF =EF ．∠DFP =∠EFP ，S △DFP =S △EFP ，则可得出答案．【解析】解：①∵OC 平分∠AOB ，∴∠DOP =∠EOP ，∵PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，∴∠ODP =∠OEP =90°，∵OP =OP ，∴△ODP ≌△OEP （AAS ），∴OD =OE ．故①正确；②∵△ODP ≌△OEP ，∴PD =PE ，∠OPD =∠OPE ，∴∠DPF =∠EPF ，∵PF =PF ，∴△DPF ≌△EPF （SAS ），∴DF =EF ．故②正确；③∵△DPF ≌△EPF ，∴∠DFO =∠EFO ，故③正确；④∵△DPF ≌△EPF ，∴S △DFP =S △EFP ，故④正确．故选：D ．【例2】如图，已知OC 平分∠MON ，点A 、B 分别在射线OM ，ON 上，且OA ＝OB ．求证：△AOC ≌△BOC．【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立．【解析】证明：∵OC 平分∠MON ，∴∠AOC ＝∠BOC ，在△AOC 和△BOC 中，OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOC （SAS ）．【例3】请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AB BD AC CD=，下面是这个定理的部分证明过程：证明：如图2，过C 作CE ∥DA ，交BA 的延长线于E ．…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，AD 平分∠BAC ，求BD 的长．（请按照本题题干的定理进行解决）【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）如图2：过C 作CE ∥DA ．交BA 的延长线于E ，利用平行线分线段成比例定理得到BD CD ＝BA EA，利用平行线的性质得∠2=∠ACE ，∠1=∠E ，由∠1=∠2得∠ACE =∠E ，所以AE =AC 即可证明结论；（2）先利用勾股定理计算出AC =5，再利用（1）中的结论得到AC AB ＝CD BD ，即53＝CD BD ，则可计算出BD =32，然后利用勾股定理计算出AD =2，从而可得到△ABD 的周长．【解析】（1）解：如图2：过C 作CE ∥DA ．交BA 的延长线于E ，∵CE //AD ，∴BD CD ＝BA EA，∠2＝∠ACE ，∠1＝∠E ，∵AD 平分∠BAC∴∠1＝∠2，∴∠ACE ＝∠E ，∴AE ＝AC ，∴AB AC ＝BD CD；（2）∵AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC ＝5，∵AD 平分∠BAC ，∴AC AB ＝CD BD ，即53＝4BD BD -，∴BD ＝32，∴AD∴△ABD 的周长＝32+3+2＝92+．一、单选题1．如图，ABC 中，5AB =，6BC =，10CA =，点D ，E 分别在BC ，CA 上，DE AB ∥，F 为DE 中点，AF 平分BAC ∠，则BD 的长为（）A ．32B ．65C ．85D ．2【答案】B【分析】根据角平分线和平行可得EA EF =，从而可得2DE AE =，然后证明EDC ABC △△∽，利用相似三角形的性质即可求出AE ，DE ，进而求出CD ，最后进行计算求出BD 即可解答．【解析】解：∵F 为DE 中点，∴2ED EF =，∵AF 平分BAC ∠，∴EAF FAB ∠=∠，∵DE AB ∥，∴FAB AFE ∠=∠，∴EAF AFE ∠=∠，∴EA EF =，∴2DE AE =，设AE x =，则2DE x =，∵DE AB ∥，∴EDC B ∠=∠，∵C C ∠=∠，∴EDC ABC △△∽，∴ED EC DC AB AC BC==，∵5AB =，6BC =，10CA =，∴210510x x -=，∴2x =，∴24DE x ==，∴456CD =，∴245CD =，∴246655BD BC CD =-=-=．故选：B ．2．如图，平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线AE 交CD 于E ，若AB =5，BC =3，则EC 的长为（）A ．1B ．2C ．2.5D ．4【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得AB =CD =5，AD =BC =3，AB ∥CD ，然后根据平行线的性质可得∠EAB =∠AED ，然后根据角平分线的定义可得∠EAB =∠EAD ，从而得出∠EAD =∠AED ，根据等角对等边可得DA =DE =3，即可求出EC 的长．【解析】解:∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =5，BC =3，∴AB =CD =5，AD =BC =3，AB ∥CD∴∠EAB =∠AED∵AE 平分∠DAB∴∠EAB =∠EAD∴∠EAD =∠AED∴DA =DE =3∴EC =CD －DE =2故选B ．3．如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A ．PA PQ=B ．PA PQ <C ．PA PQ >D ．PA PQ≤【答案】D 【分析】连接PQ ，当PQ ⊥OM 时，根据角平分线的性质得出PQ =PA ，利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论．【解析】解：连接PQ ，当PQ ⊥OM 时，∵OP 平分∠MON ，PQ ⊥OM ，PA ⊥ON ，∴PQ =PA ，此时点P 到OM 的距离PQ 最小，∴PA ≤PQ ，故选：D ．4．如图，CD ，CE ，CF 分别是ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．2AB BF=B．12ACE ACB∠=∠C．AE BE=D．CD BE⊥【答案】C【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．【解析】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，∴CD⊥AB，∠ACE＝12∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠E=90°，∵AD=AD，∴△DAC≌△DAE，∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE =60°，∴③DE 平分∠ADB 错误；∵BE +AE =AB ，AE =AC ，∴BE +AC =AB ，∴④BE +AC =AB 正确；∵∠BDE =90°-∠B ，∠BAC =90°-∠B ，∴∠BDE =∠BAC ，∴②∠BAC =∠BDE 正确．综上，正确的个数的3个，故选：C ．6．如图，∠BAC ＝30°，AD 平分∠BAC ，DF ⊥AB 交AB 于F ，DE ⊥DF 交AC 于E ，若AE ＝8，则DF 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B 【分析】过点D 作DG AC ⊥，根据角平分线的性质可得DF DG =，根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定，可得AE ED =，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【解析】如图，过点D 作DG AC ⊥ AD 平分∠BAC ，DF ⊥AB ，DG AC⊥∴DF DG =，CAD BAD∠=∠DE DF ⊥ ，DF ⊥AB ，AB DE∴∥BAD EDA∴∠=∠EAD EDA∴∠=∠EA ED∴=8AE = 8DE AE ∴== ∠BAC ＝30°，30DEG ∴∠=︒142DG DE ∴==4DF ∴=故选B二、填空题7．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，请你添加一个条件________，使四边形AEDF 是菱形．【答案】DF ∥AB【分析】添加DF ∥AB ，根据DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ，可以判断四边形AEDF 是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立．【解析】解：DF ∥AB ，理由如下：∵DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠EAD ＝∠FAD ，∴∠ADF ＝∠FAD ，∴FA ＝FD ，∴平行四边形AEDF 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．8．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD ＝8，BE ＝3，则AB 的长为________．【答案】5【分析】首先由在平行四边形ABCD 中，AD =8，BE =3，求得CE 的长，然后由DE 平分∠ADC ，可证CD =CE =5，即可求解．【解析】∵在平行四边ABCD 中，AD =8，∴BC =AD =8，AD //BC ，∴CE =BC -BE =8-3=5，∠ADE =∠CED ，∴DE 平分∠ADC ，∴∠ADE =∠CDE ，∴∠CDE =∠CED ，∴CD =CE =5=AB ，故答案为：5．9．如图，在ABC 中，ACB ∠的平分线交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ．F 为BC 上一点，若DF AD =，6ACD CDF S S -=△△，则AED 的面积为______．【答案】3【分析】在CA 上截取CG ＝CF ，连接DG ．根据题意易证()CDG CDF SAS ≅ ，得出DG DF =，CDG CDF S S = ．即可求出AD DG =，6ADG S = ．最后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求出ADE S ．【解析】如图，在CA 上截取CG ＝CF ，连接DG，∵CD 平分ACB ∠，∴ACD BCD ∠=∠．在CDG 和CDF 中，CG CF GCD FCD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CDG CDF SAS ≅ ，∴DG DF =，CDG CDF S S = ．∵6ACD CDF S S -=△△，∴6ACD CDG S S -= ，即6ADG S = ．∵AD DF =，∴AD DG=．∴AE=EG，∴132ADE GDE ADGS S S===．故答案为：3．10．如图，AB＝BE，∠DBC＝12∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：_____．（填序号）①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．【答案】①②④【分析】根据已知∠DBC＝12∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CBE，就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD≌△EBG，即可判断．【解析】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，∵FB＝BC，BD⊥AC，∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝12∠FBC，∵∠DBC＝12∠ABE，∴∠FBC＝∠ABE，∴∠FBA＝∠CBE，∵AB＝AE，∴△FAB≌△CBE（SAS），∴∠F＝∠BCE，∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCD，∴∠BCD＝∠BCE，∴BC平分∠DCE，故①正确；∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠DCE＝180°，故②正确；∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，∴△BDC≌△BGC（AAS），∴AD＝GE，CD＝CG，∵AC＝AD+DC，∴AC＝AD+CG＝AD+GE+CE＝2GE+CE，∵GE≠BE，∴AC≠2BE+CE，故③错误；∵AC＝CF﹣AF，∴AC＝2CD﹣CE，故④正确；故答案为：①②④．11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是___．【答案】2【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论．【解析】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴DE＝BE，∵BE＝2，∴DE＝2．故答案为：2．12．如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠CAE、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC=∠ACB；②∠ADC+∠ABD=90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有____________．（填序号）【答案】①②④【分析】根据角平分线的定义得到∠EAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，求得∠ABC=∠ACB，故①正确；根据角平分线的定义得到∠ADC=90°12-∠ABC，求得∠ADC+∠ABD=90°故②正确；根据全等三角形的性质得到AB=CB，与题目条件矛盾，故③错误，根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到2∠BDC=∠BAC，故④正确．【解析】解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，故①正确；∵AD，CD分别平分∠EAC，∠ACF，∴可得∠ADC=90°12-∠ABC，∴∠ADC+12∠ABC=90°，∴∠ADC+∠ABD=90°，故②正确；∵∠ABD =∠DBC ，BD =BD ，∠ADB =∠BDC ，∴△ABD ≌△BCD （ASA ），∴AB =CB ，与题目条件矛盾，故③错误，∵∠DCF =∠DBC +∠BDC ，∠ACF =∠ABC +∠BAC ，∴2∠DCF =2∠DBC +2∠BDC ，2∠DCF =2∠DBC +∠BAC ，∴2∠BDC =∠BAC ，故④正确，故答案为：①②④．三、解答题13．如图，AC ＝BC ，∠1＝∠2，求证：OD 平分∠AOB ．【答案】见详解【分析】证明△ACO ≌△BCO 即可求证．【解析】证明：∵∠1=∠2，∠1+∠ACO =180°，∠2+∠BCO =180°，∴∠ACO =∠BCO ，∵AC =BC ，CO =CO ，∴△ACO ≌△BCO ，∴∠AOC =∠BOC ，∴OD 平分∠AOB ．14．如图，在ABC 中，AE 平分BAC BE AE ∠⊥，于点E ，延长BE 交AC 于点D ，点F 是BC 的中点．若35AB AC ==，，求EF 的长．【答案】1【分析】根据角平分线的定义结合题意，即可利用“ASA”证明BAE DAE ≅ ，即得出3AD AB ==，BE DE =，从而可得出2CD =，点E 为BD 中点，从而可判定EF 为BCD △的中位线，进而可求出EF 的长．【解析】∵AE 平分BAC BE AE∠⊥，∴BAE DAE ∠=∠，90AEB AED ∠=∠=︒．又∵AE =AE ，∴BAE DAE ≅ (ASA)，∴3AD AB ==，BE DE =，∴2CD AC AD =-=，点E 为BD 中点．∵F 是BC 的中点，∴EF 为BCD △的中位线，∴112EF CD ==．15．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =100°，BD 是∠ABC 的平分线，BD =BE ．求证：(1)△CED 是等腰三角形；(2)BD +AD =BC ．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）由AB =AC ，∠A =100°求出∠ABC =∠C =40°，再由BD 是∠ABC 的平分线求出∠DBC =12∠ABC =20°，根据BD =BE 求出∠BED =∠BDE =80°，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求得∠EDC =40°，则∠EDC =∠C ，从而证明ED =EC ，即△CED 是等腰三角形；（2）在BE 上截取BF =BA ，连结DF ，先证明△FBD ≌△ABD ，则FD =AD ，∠BFD =∠A =100°，可证明∠EFD =∠FED =80°，则AD =FD =ED =EC ，即可证明BD +AD =BE +EC =BC ．【解析】（1）∵AB =AC ，∠A =100°，∴∠ABC =∠C =12×（180°-100°）=40°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC =12∠ABC =20°，∵BD =BE ，∴∠BED =∠BDE =12×（180°-20°）=80°，∴∠EDC =∠BED -∠C =80°-40°=40°，∴∠EDC =∠C ，∴ED =EC ，∴△CED 是等腰三角形．（2）如图，在边BC 上取点F ，使BF BA =，在ABD △和FBD 中∵AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD FBD≌△△∴AD DF =，100BFD A ∠=∠=︒，∴18010080DFE ∠=︒-︒=︒，∴DFE DEF∠=∠∴DF DE=∴AD EC=∴BD AD BE EC BC +=+=．16．如图，AD 为△ABC的角平分线．(1)如图1，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB =8，AC =5．则BE =_______．(2)如图2，若∠C =2∠B ，点E 在AB 上，且AE =AC ，AB =a ，AC =b ，求CD 的长；（用含a 、b 的式子表示）(3)如图3，BG ⊥AD ，点G 在AD 的延长线上，连接CG ，若△ACG 的面积是7，求△ABC 的面积．【答案】(1)3；(2)CD =a －b ；(3)ABC S =14【分析】（1）利用ASA 证明△AEF ≌△ACF ，得AE ＝AC ＝5，得出答案；（2）利用ASA 证明△ADE ≌△ADC ，得∠C =∠AED ，DC =DE ，再证明∠B =∠BDE ，得出BE =DE ，即可得到结论；（3）利用ASA 证明△AGB ≌△AGH ，得出BG =HG ，即可得出△ABC 的面积．【解析】（1）∵AD 是△ABC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵CE ⊥AD ，∴∠CFA ＝∠EFA ，∵在△AEF 和△ACF 中EAF CAF AF AF AFE AFC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AEF ≌△ACF （ASA ），∴AE ＝AC ＝5，∵AB =8，∴BE ＝AB −AC ＝8−5＝3，故答案为：3；(2)∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，在△ADE 和△ADC 中AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ADC∴∠C =∠AED ，DC =DE又∵∠C =2∠B ，∠AED =∠B +∠BDE∴∠B =∠BDE∴DE =BE ，∴DC =DE =BE =AB －AE =AB －AC=a －b ；(3)如图，分别延长AC ，BG 交于点H ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，∵AG ⊥BH ，∴∠AGB =∠AGH =90°，∵在△AGB 和△AGH 中BAD CAD AG AG AGB AGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AGB ≌△AGH ，∴BG =HG ，∴22BCH BCG HCG S S S == ，又∵2ABC BCH ACG CGH S S S S +=+ （）∴ABC S =14．17．已知：如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，AD ，CE 是角平分线，AD 与CE 相交于点F ，FM AB ⊥，FN BC ⊥，垂足分别为M ，N ．【思考说理】（1）求证：FE FD =．【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“90ACB ∠=︒”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即FE FD =）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．【答案】（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解；【分析】（1）由角平分线的性质、三角形内角和定理证()Rt FDN Rt FEM AAS ∆≅∆∠即可求解；（2）在AB 上截取CP =CD ，分别证()CDF CPF SAS ∆≅∆、()AFE AFP ASA ∆≅∆即可求证；【解析】证明：（1）∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，∴点F 是ABC ∆的内心，∵FM AB ⊥，FN BC ⊥，∴FM FN =，∵90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，∴30CAB ∠=︒∴15CAD ∠=︒∴75ADC ∠=︒∵45ACE ∠=︒∴75CEB ∠=︒∴ADC CEB∠=∠∴()Rt FDN Rt FEM AAS ∆≅∆∠∴FE FD=（2）如图，在AB 上截取CP =CD ，在CDF ∆和CPF ∆中，∵CD CP DCF PCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CDF CPF SAS ∆≅∆∴FD FP =，∠CFD =∠CFP ，∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，∴∠CAD =∠BAD ，∠ACE =∠BCE ，∵∠B =60°，∴∠ACB +∠BAC =120°，∴∠CAD +∠ACE =60°，∴∠AFC =120°，∵∠CFD =∠AFE =180°-∠AFC =60°，∵∠CFD =∠CFP ，∴∠AFP =∠CFP =∠CFD =∠AFE =60°，在AFE ∆和AFP ∆中，∵AFE AFP AF AF PAF EAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AFE AFP ASA ∆≅∆∴FP =EF∴FD =EF ．18．如图，∠MAN 是一个钝角，AB 平分∠MAN ，点C 在射线AN 上，且AB ＝BC ，BD ⊥AC ，垂足为D．(1)求证：BAM BCA ∠=∠；(2)动点P ，Q 同时从A 点出发，其中点Q 以每秒3个单位长度的速度沿射线AN 方向匀速运动；动点P 以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC ＝5，设动点P ，Q 的运动时间为t 秒．①如图②，当点P 在射线AM 上运动时，若点Q 在线段AC 上，且52ABP BQC S S =△△，求此时t 的值；②如图③，当点P 在直线AM 上运动时，点Q 在射线AN 上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得 APB 与 BQC 全等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说出理由．【答案】(1)见解析(2)①2517t =；②存在，54t =或52t =【分析】（1）①先证Rt △BDA ≌Rt △BDC （HL ），推出∠BAC ＝∠BCA ．再由角平分线的定义得∠BAM ＝∠BAC ，等量代换即可证明BAM BCA ∠=∠；（2）①作BH ⊥AM ，垂足为M ．先证△AHB ≌△ADB （AAS ），推出BH ＝BD ，再由S △ABP ＝52S △BQC ，推出52AP CQ =，结合P ，Q 运动方向及速度即可求解；②分“点P 沿射线AM 方向运动，点Q 在线段AC 上”，以及“点P 沿射线AM 反向延长线方向运动，点Q 在线段AC 延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP 与CQ 的关系即可求解．【解析】（1）证明：∵BD ⊥AC ，∴90BDA BDC ∠=∠=︒，在Rt △BDA 和Rt △BDC 中，BD BD AB CB=⎧⎨=⎩，∴Rt △BDA ≌Rt △BDC （HL ），∴∠BAC ＝∠BCA ．∵AB 平分∠MAN ，∴∠BAM ＝∠BAC ，∴∠BAM ＝∠BCA ．（2）解：①如下图所示，作BH ⊥AM ，垂足为M ．∵BH ⊥AM ，BD ⊥AC ，∴∠AHB ＝∠ADB ＝90°，在△AHB 和△ADB 中，AHB ADB BAH BAD AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△AHB ≌△ADB （AAS ），∴BH ＝BD ，∵S △ABP ＝52S △BQC ，∴151222AP BH CQ BD =⨯ ，∴52AP CQ =，∴5(53)2t t =-，∴2517t =．②存在，理由如下：当点P 沿射线AM 方向运动，点Q 在线段AC上时，如下图所示，∵AB ＝BC ，又由（1）得∠BAM ＝∠BCA ，∴当AP ＝CQ 时，△APB ≌△CQB ，∴53t t =-，∴54t =；当点P 沿射线AM 反向延长线方向运动，点Q 在线段AC 延长线上时，如下图所示，由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴∠BAP＝∠BCQ，又∵AB＝BC，∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，∴35t t=-，∴52 t=．综上所述，当54t=或52t=时，△APB和△CQB全等．。

中考数学专题练习-三角形的角平分线、中线和高（含解析）一、单选题1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形2.已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm3.钝角三角形的高线在三角形外的数目有（）A. 3B. 2C. 1D. 04.三角形的三条中线的交点的位置为（）A. 一定在三角形内B. 一定在三角形外C. 可能在三角形内，也可能在三角形外D. 可能在三角形的一条边上5.三角形的重心是（）A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点6.如图，△ABC中BC边上的高为（）A. AEB. BFC. ADD. CF7.下列说法正确的是（）A. 三角形的中线就是过顶点平分对边的直线B. 三角形的三条角平分线的交点有可能在三角形外部C. 三角形的三条高线的交点必在三角形内部D. 以上说法都错8.三角形的角平分线是（）A. 射线B. 直线C. 线段D. 线段或射线9.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A. 形状相同的三角形B. 面积相等的三角形C. 直角三角形D. 周长相等的三角形10.如图，在△ABC中，BD，CE分别为AC，AB边上的中线，BD⊥CE，若BD=4，CE=6，则△ABC 的面积为（）A. 12B. 24C. 16D. 3211.下列说法错误的是（）．A. 锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B. 钝角三角形有两条高线在三角形外部C. 直角三角形只有一条高线D. 任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线12.如图，，垂足为D，，下列说法正确的是（）A. 射线AC是的角平分线B. 直线BD是的边AD上的高C. 线段AC是的中线D. 线段AD是的边BC上的高13.在下图中，正确画出AC边上高的是( )A. B.C. D.14.如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO 是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（）A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个15.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（）A. AC是△ABC的高B. DE是△BCD的高C. DE是△ABE的高D. AD是△ACD的高16.三角形的角平分线、中线和高（）A. 都是线段B. 都是射线C. 都是直线D. 不都是线段17.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，则CD是△ABC（）A. BC边上的高B. AB边上的高C. AC边上的高D. 以上都不对18.如图，下面的四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A. B. C. D.二、填空题19.AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，△ABD与△ACD的周长之差为________cm.20.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是________度．21.如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有________.22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=________23.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2________，BD=________，AE=________．24.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且，则________cm2．25.一个等腰但不等边的三角形，它的角平分线、高、中线的总条数为________ 条．三、解答题26.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．27.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，试求△ABC周长。

专题05 平面直角坐标系【知识要点】知识点一平面直角坐标系的基础有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。

【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。

平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。

两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。

平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。

坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。

象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。

按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。

点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。

知识点二点的坐标的有关性质（考点）性质一各象限内点的坐标的符号特征象限横坐标x纵坐标y第一象限正正第二象限负正第三象限负负第四象限正负性质二坐标轴上的点的坐标特征1.x轴上的点，纵坐标等于0；2.y轴上的点，横坐标等于0；3.原点位置的点，横、纵坐标都为0. 性质三 象限角的平分线上的点的坐标1．若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； 2．若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 1.在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；2.在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；P ),(b a ，则 1.点P 到x 轴的距离为b ； 2.点P 到y 轴的距离为a ；3.点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a +XXX性质六 平面直角坐标系内平移变化性质七 对称点的坐标1. 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；2. 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3.点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；小结：坐标轴上 点P （x ，y ） 连线平行于 坐标轴的点 点P （x ，y ）在各象限 的坐标特点 象限角平分线上 的点 X 轴Y 轴原平行X 轴平行Y 轴第一第二第三第四第一、第二、XyP2P mm -nOXy P3Pnm -nOn -XyP1Pnn -mO【考查题型】考查题型一 用有序数对表示位置【解题思路】要确定位置坐标，需根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．典例1．（2021·湖北宜昌市中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．A ．小李现在位置为第1排第2列B ．小张现在位置为第3排第2列C ．小王现在位置为第2排第2列D ．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可． 【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A 选项错误； B. 小张现在位置为第3排第2列，故B 选项正确； C. 小王现在位置为第2排第3列，故C 选项错误； D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D 选项错误． 故选：B ．变式1-1．（2018·广西柳州市中考模拟）初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（ ）点象限 象限 象限 象限 三象限 四象限 (x,0)(0,y)(0,0)纵坐标相同横坐标不同横坐标相同纵坐标不同x ＞0 y ＞0 x ＜0 y ＞0 x ＜0 y ＜0 x ＞0 y ＜0(m,m) (m,-m)A ．（6，3）B ．（6，4）C ．（7，4）D ．（8，4）【答案】C【详解】根据题意知小李所对应的坐标是（7，4）.故选C.变式1-2．（2017·北京门头沟区一模）小军邀请小亮去他家做客，以下是他俩的对话： 小军：“你在公交总站下车后，往正前方直走400米，然后右转直走300米就到我家了” 小亮：“我是按照你说的走的，可是走到了邮局，不是你家…”小军：“你走到邮局，是因为你下公交车后朝向东方走的，应该朝向北方走才能到我家…” 根据两人的对话记录，从邮局出发走到小军家应( ) A ．先向北直走700米，再向西走100米 B ．先向北直走100米，再向西走700米 C ．先向北直走300米，再向西走400米 D ．先向北直走400米，再向西走300米 【答案】A【分析】根据对话画出图形即可得出答案．【详解】解：如图所示：从邮局出发走到小军家应：向北直走700米，再向西直走100米．故选：A ．考查题型二 求点的坐标典例2．（2021·天津中考真题）如图，四边形OBCD 是正方形，O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，点C 在第一象限，则点C 的坐标是（ ）A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6【答案】D【分析】利用O ，D 两点的坐标，求出OD 的长度，利用正方形的性质求出ＯB ，BC 的长度，进而得出C 点的坐标即可．【详解】解：∵O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，∴OD ＝6，∵四边形OBCD 是正方形，∴OB ⊥BC ，OB =BC =6 ∴C 点的坐标为：()6,6， 故选：D ．变式2-1．（2021·山东滨州市·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M ，到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为5，则点M 的坐标为（ ） A ．()4,5- B ．(5,4)-C ．(4,5)-D ．(5,4)-【答案】D【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可. 【详解】设点M 的坐标为（x ，y ）， ∵点M 到x 轴的距离为4， ∴4y =， ∴4y =±，∵点M 到y 轴的距离为5， ∴5x =， ∴5x =±，∵点M 在第四象限内， ∴x=5，y=-4，即点M 的坐标为（5，-4） 故选：D.变式2-2．（2021·湖北襄阳市模拟）如图，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为()4,0，点C 的坐标为()4,4，点D 在y 轴上，则点B 的坐标为（ ）A ．(4,2)B ．(2,8)C ．(8,4)D ．(8,2)【答案】D【分析】根据菱形的性质得出D 的坐标（0，2），进而得出点B 的坐标即可． 【详解】连接AC ，BD ，AC 、BD 交于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，OA ＝4，AC ＝4， ∴ED ＝OA ＝EB ＝4，AC ＝2EA ＝4， ∴BD ＝8，OD ＝EA ＝2 ∴点B 坐标为（8，2）， 故选：D ．变式2-3．（2021·广东二模）已知点2,24()P m m +-在x 轴上，则点Р的坐标是（ ） A ．()4,0 B ．()0,8C ．()4,0-D ．()0,8-【答案】A【分析】根据点P 在x 轴上，即y=0，可得出m 的值，从而得出点P 的坐标． 【详解】解：∵点2,24()P m m +-在x 轴上， ∴240m -=，∴2m=；∴2224m+=+=，∴点P为：（4，0）；故选：A．变式2-4．（2021·广西一模）点M（3，1）关于y轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3．﹣1）D．（1，3）【答案】A【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】点M（3，1）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，1），故选：A．考查题型三点的坐标的规律探索【解题思路】考查坐标的规律探索，解题的关键是根据题意找到坐标的变化规律.典例3．（2021·山东中考真题）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2021的坐标为（）A．（﹣1008，0）B．（﹣1006，0）C．（2，﹣504）D．（1，505）【答案】A【分析】观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，由于2021÷4＝504…3，A2021在x 轴负半轴上，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．【详解】解：观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，∵2021÷4＝504 (3)∴A2021在x轴负半轴上，纵坐标为0，∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，∴A2021的横坐标为﹣（2021﹣3）×12＝﹣1008．∴A 2021的坐标为（﹣1008，0）． 故选A ．变式3-1．（2021·山东菏泽市·中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则点2019A 的坐标是（ ）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1【答案】C【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点2019A 的坐标． 【详解】()10,1A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，()52,1A ，()63,1A ，…，201945043÷=⋅⋅⋅，所以2019A 的坐标为()50421,0⨯+， 则2019A 的坐标是()1009,0， 故选C ．变式3-2．（2021·辽宁阜新市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C 100的坐标为( )A ．121200,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()600,0C ．12600,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1200,0【答案】B【分析】根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点C 1，C 3，C 5，…在第一象限，点C 2，C 4，C 6，…在x 轴上，由点A ，B 的坐标利用勾股定理可求出AB 的长，进而可得出点C 2的横坐标，同理可得出点C 4，C 6的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点C 2n 的横坐标为2n×6(n 为正整数)”，再代入2n=100即可求出结论．【详解】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C 1，C 3，C 5，…在第一象限，点C 2，C 4，C 6，…在x 轴上．∵A(4，0)，B(0，3)， ∴OA=4，OB=3，∴，∴点C 2的横坐标为4+5+3=12=2×6， 同理，可得出：点C 4的横坐标为4×6，点C 6的横坐标为6×6，…， ∴点C 2n 的横坐标为2n×6(n 为正整数)， ∴点C 100的横坐标为100×6=600， ∴点C 100的坐标为(600，0)． 故选：B ．考查题型四 判断点的象限【解题思路】各象限内点的坐标的符号特征需记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．典例4．（2021·湖南株洲市·中考真题）在平面直角坐标系中，点(,2)A a 在第二象限内，则a 的取值可以．．是（ ） A ．1 B ．32-C ．43D ．4或-4【答案】B【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数即可判断． 【详解】解：∵点(,2)A a 是第二象限内的点， ∴0a <，四个选项中符合题意的数是32-， 故选：B变式4-1．（2021·江苏扬州市中考真题）在平面直角坐标系中，点()22,3P x +-所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．【详解】∵x 2＋2＞0，∴点P （x 2＋2，−3）所在的象限是第四象限．故选：D ．变式4-2．（2021·湖北黄冈市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点(,)A a b -在第三象限，则点(,)B ab b -所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据点(,)A a b -在第三象限，可得0a <，0b -<，进而判定出点B 横纵坐标的正负，即可解决．【详解】解：∵点(,)A a b -在第三象限，∴0a <，0b -<，∴0b >，∴0ab ->，∴点B 在第一象限，故选：A ．变式4-4．（2021·湖南邵阳市·中考真题）已知0,0a b ab +>>，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）A ．(),a bB ．(),a b -C ．(),a b --D ．(),a b -【答案】B 【分析】根据0,0a b ab +>>，得出0,0a b >>，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．【详解】∵0,0a b ab +>>∴0,0a b >>选项Ａ：(),a b 在第一象限选项Ｂ：(),a b -在第二象限选项Ｃ：(),a b --在第三象限选项Ｄ：(),a b -在第四象限小手盖住的点位于第二象限故选：B考查题型五 点坐标的有关性质1.坐标轴上的点的坐标特征1．（2017·四川中考模拟）如果点P(a －4，a)在y 轴上，则点P 的坐标是( )A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(－4,0)D ．(0，－4)【答案】B【解析】由点P(a−4,a)在y 轴上，得a−4=0，解得a=4，P 的坐标为(0,4)，故选B.2．（2018·广西柳州十二中中考模拟）点P （m +3，m +1）在x 轴上，则点P 坐标为（）A ．（0，﹣4）B ．（4，0）C ．（0，﹣2）D ．（2，0）【答案】D【详解】解：∵点P （m+3，m+1）在x 轴上，∴y ＝0，∴m+1＝0，解得：m ＝﹣1，∴m+3＝﹣1+3＝2，∴点P 的坐标为（2，0）．故选：D ．3．（2021·甘肃中考真题）已知点(224)P m m +，﹣在x 轴上，则点P 的坐标是（ ）A ．(40)，B ．(04)，C ．40)(-，D ．(0,4)-【答案】A【详解】 解：点224P m m +（，﹣）在x 轴上，240m ∴﹣＝，解得：2m ＝，24m ∴+＝，则点P 的坐标是：()4,0．故选：A ．4．（2021·甘肃中考模拟）已知点P （m+2，2m ﹣4）在x 轴上，则点P 的坐标是（ ）A ．（4，0）B ．（0，4）C ．（﹣4，0）D ．（0，﹣4）【答案】A【详解】解：∵点P （m+2，2m ﹣4）在x 轴上，∴2m ﹣4＝0，解得：m ＝2，∴m+2＝4，则点P 的坐标是：（4，0）．故选：A ．5．（2021·广东华南师大附中中考模拟）如果点P (m +3，m +1)在平面直角坐标系的x 轴上，则m ＝() A ．﹣1 B ．﹣3 C ．﹣2 D ．0【答案】A【详解】由P (m +3，m +1)在平面直角坐标系的x 轴上，得m +1＝0．解得：m ＝﹣1，故选：A ．2.象限角的平分线上的点的坐标1.已知点A（-3+a，2a+9）在第二象限角平分线上，则a=_________【答案】-2【详解】∵点A在第二象限角平分线上∴它的横纵坐标互为相反数则-3+a+2a+9=0解得a=-22．（2018·广西中考模拟）若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是( )A．(2，2) B．(－2，－2) C．(2，2)或(－2，－2) D．(－2，2)或(2，－2)【答案】C【解析】已知点M在第一、三象限的角平分线上，点M到x轴的距离为2，所以点M到y轴的距离也为2.当点M 在第一象限时，点M的坐标为（2，2）；点M在第三象限时，点M的坐标为（-2，-2）．所以，点M的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C．3.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征1．（2021·广西中考模拟）已知点A（a﹣2，2a+7），点B的坐标为（1，5），直线AB∥y轴，则a的值是（）A．1 B．3 C．﹣1 D．5【答案】B【详解】解：∵AB∥y轴，∴点A横坐标与点A横坐标相同，为1，可得：a -2=1，a=3故选：B．2．（2018·天津中考模拟）如果直线AB平行于y轴，则点A，B的坐标之间的关系是（）A．横坐标相等B．纵坐标相等C．横坐标的绝对值相等D．纵坐标的绝对值相等【答案】A【解析】试题解析：∵直线AB平行于y轴，∴点A，B的坐标之间的关系是横坐标相等.故选A.3．（2021·广东华南师大附中中考模拟）已知点A（5，﹣2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且B到y轴的距离等于4，那么点B是坐标是（）A．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）B．（4，2）或（﹣4，2）C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2）D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）【答案】A【详解】∵A（5，﹣2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴B的纵坐标y＝﹣2，∵“B到y轴的距离等于4”，∴B的横坐标为4或﹣4．所以点B的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故选A．4．（2021·江苏中考模拟）若线段AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1），则点B的坐标为（）A．（5，1）B．（﹣1，1）C．（5，1）或（﹣1，1）D．（2，4）或（2，﹣2）【答案】C【详解】∵AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1）∴点B的坐标为（5，1）或（﹣1，1）5．（2018·江苏中考模拟）已知点M（﹣1，3），N（﹣3，3），则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别为（）A．相交，相交B．平行，平行C．垂直，平行D．平行，垂直【答案】D【详解】由题可知，M、N两点的纵坐标相等，所以直线MN与x轴平行，与y轴垂直相交.故选:D.4.点到坐标轴距离1．（2018·天津中考模拟）已知平面内不同的两点A （a +2，4）和B （3，2a +2）到x 轴的距离相等，则a 的值为( )A ．﹣3B ．﹣5C ．1或﹣3D ．1或﹣5【答案】A【解析】∵点A （a ＋2，4）和B （3，2a ＋2）到x 轴的距离相等，∴4＝|2a ＋2|，a ＋2≠3，解得：a ＝−3，故选A ．2．（2018·江苏中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4- 【答案】C【解析】由题意，得x=-4，y=3，即M 点的坐标是（-4，3），故选C ．3．（2017·北京中考模拟）点P 是第二象限的点且到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为4，则点P 的坐标是（ ） A ．（﹣3，4）B ．（ 3，﹣4）C ．（﹣4，3）D ．（ 4，﹣3） 【答案】C【详解】由点且到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为4，得|y|=3，|x|=4．由P 是第二象限的点，得x=-4，y=3．即点P 的坐标是（-4，3），故选C ．4.（2012·江苏中考模拟）在平面直角坐标系中，点P (－3，4)到x 轴的距离为( )A．3 B．－3 C．4 D．－4【答案】C【详解】∵|4|=4，∴点P（-3，4）到x轴距离为4．故选C．5.平面直角坐标系内平移变化1．（2021·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）【答案】A【解析】已知将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为（﹣1，1）．故选A．2.（2021·北京中考模拟）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(4，－1)，B(1,1)将线段AB 平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2,2)，则点B′的坐标为()A．(－5,4) B．(4,3) C．(－1，－2) D．(－2，－1)【答案】A【详解】∵点A（4，﹣1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到A′（﹣2，2），∴点B（1，1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到的对应点B′的坐标为（﹣5，4）．故选A．3．（2015·广西中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是（）A．(2，5) B．(－8，5) C．(－8，－1) D．(2，－1)【答案】D【解析】解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．4．（2016·四川中考真题）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（）A．（7，1）B．B（1，7）C．（1，1）D．（2，1）【答案】C【解析】因为4-0=4，10-6=4，所以由点A到点A1的平移是向右平移4个单位，再向上平移4个单位，则点B的对应点1B的坐标为（1，1）故选C.5．（2018·武汉市东西湖区教育局中考模拟）在坐标系中，将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标（）A．（2,4）B．(1,5) C．(1,-3) D．(-5,5)【答案】B【详解】将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标(1,5).故选B.6.对称点的坐标1．（2021·广东中考模拟）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【答案】A【解析】点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），故选A．2．（2021·山东中考模拟）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a>【答案】C【详解】依题意得P点在第三象限，∴，解得：a ＜﹣1．故选C ．3．（2014·广西中考真题）已知点A （a ，2013）与点B （2014，b ）关于x 轴对称，则a+b 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】关于x 轴对称的两个点的特点是，x 相同即横坐标，y 相反即纵坐标相反，故a=2014，b=-2013，故a+b=1 4．（2018·广西中考模拟）已知点P(a ＋l ，2a －3)关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是（ ） A ．a 1<-B ．31a 2-<<C ．3a 12-<<D ．3a 2> 【答案】B【解析】∵点P （a ＋1，2a －3）关于x 轴的对称点在第一象限，∴点P 在第四象限。

人教版2021年中考数数学阶段复习巩固与提升集训《角平分线的相关计算》专题练方法点拨：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

过关练习：1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交MN的长为半径画弧,两弧交于点AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于12P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是( )A.15B.30C.45D.602. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,若△DEB的周长为10cm,则斜边AB的长为( )A.8cmB.10cmC.12cmD.20cm3. 如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是( )A.PC=PDB.∠CPD=∠DOPC ∠CPO=∠DPO D.OC=OD4.5. 如图,AE,OB,OC分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,OD⊥BC,则∠1和∠2的关系是（）.A.∠1＞∠2B. ∠1=∠2C. ∠1＜∠2D.无法确定6. 如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC⊥OB于点C,若OC=2,则PC的长是________.7. 已知:如图,AD是△ABC的角平分线,且AB∶AC=√3∶√2,则△ABD与△ACD的面积之比为 .8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是；9. 如图,AD∥BC,∠D=90°.如果P是DC的中点,BP平分∠ABC,∠CPB=35°,则∠PAD的度数为 .10. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

中考数学专题复习三角形问题（双角平分线型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．如图，ABD ∠，ACD ∠的角平分线交于点P ，若48A ∠=︒，10D ∠=︒，则P ∠的度数（ ）A ．19︒B ．20︒C ．22︒D ．25︒2．如图，BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，BE 与CF 交于点G ，若140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒，则A ∠=（ ）A ．80°B ．75°C ．60°D ．45°3．如图所示，在ABC 中，,ABC ACB ∠∠的平分线,BE CD 相交于点F ，若且∠ABC =42°，60A ∠=︒，则BFC ∠等于（ ）．A ．121︒B ．120︒C ．119︒D ．118︒4．如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：∠BDF 和CEF △都是等腰三角形 ∠DE BD CE =+； ∠BF CF >；∠若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒． 其中正确的有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．45．在ABC ∆中，70A ∠=︒ ，若B C ∠∠、的平分线BE CF 、交于点O ，则BOC ∠的度数是（ ） A ．115︒ B ．125︒C ．135︒D ．110︒评卷人 得分二、填空题 6．如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，……以此类推，若A α∠=，则2020A ∠=_______．7．如图，五边形ABCDE 在,BCD EDC ∠∠处的外角分别是,,,FCD GDC CP DP ∠∠分别平分FCD ∠和GDC ∠且相交于点P ．若160,80,90A B E ∠=︒∠=︒∠=︒，则CPD ∠=________．8．如图，在∠ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC ＝130°，则∠D ＝_____9．如图，在ABC ∆中，A θ∠=，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和1A CD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠；⋯；2019A BC ∠和2019A CD ∠的平分线交于点2020A ，则2020A ∠=__．（用θ表示）10．如图，已知ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，ABC ∠的平分线与ABC 外角ACM ∠的平分线交于点G ，若8BFC G ∠=∠，则A ∠=________︒．11．如图，ABC 的角平分线OB 、OC 相交于点O ，40A ∠︒＝，则BOC ∠＝______．12．如图在∠ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE 为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论∠122∠=∠，∠32BOC ∠=∠，∠901BOC ∠=︒+∠，∠902BOC ∠=︒+∠，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）13．∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点An ． 设∠A ＝θ．则1A ∠＝_________，∠A 2021＝____________．评卷人 得分三、解答题 14．如图1，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动（不与点O 重合），AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G ． （1）若∠MON =60°，则∠ACG = ；（直接写出答案） （2）若∠MON =n °，求出∠ACG 的度数；（用含n 的代数式表示）（3）如图2，若∠MON =80°，过点C 作CF ∠OA 交AB 于点F ，求∠BGO 与∠ACF 的数量关系．15．如图，在∠ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数．（2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？16．已知BC∠OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：（1）如图（1），求证：OB∠AC．（2）如图（2），若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，试求∠EOC的度数．（3）在图（2）的条件下，若平行移动AC，如图（3），那么∠OCB∠∠OFB的值是否会发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．17．（1）如图所示，在ABC中，,BO CO分别是ABC∠和ACB∠的平分线，证明：1902BOC A∠=+∠︒．（2）如图所示，ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：1902BDC A-︒∠=∠．（3）如图所示，ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：12D A∠=∠．18．我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，EF 为一镜面,AO 为入射光线，入射点为点O ，ON 为法线（过入射点O 且垂直于镜面EF 的直线），OB 为反射光线,此时反射角BON ∠等于入射角AON ∠，由此可知BOF ∠等于AOE ∠．（1）两平面镜OP 、OQ 相交于点O ，一束光线从点A 出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B ．∠如图2，当POQ ∠为多少度时，光线//AM NB ？请说明理由．∠如图3，若两条光线AM 、NB 所在的直线相交于点E ，延长MN 发现MO 和NO 分别为MEN 一个内角和一个外角的平分线，则POQ ∠与MEN ∠之间满足的等量关系是_______．（直接写出结果）（2）三个平面镜PM 、MN 、NQ 相交于点M 、N ，一束光线从点A 出发,经过平面镜三次反射后，恰好经过点E ，请直接写出M ∠、N ∠、BCD ∠与BFD ∠之间满足的等量关系．19．如图，已知60BAC ∠=︒，AD 是角平分线且10AD =，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE AC ⊥，则DEF 周长为________．20．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE BE、分别是BAO∠和ABO∠角的平分线，点A B、在运动的过程中，AEB∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB∠的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD AD BC，、分别是BAP∠和ABM∠的角平分线，又DE CE、分别是ADC∠和BCD∠的角平分线，点A B、在运动的过程中，CED∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED∠的度数．（3）如图3，延长BA至G，已知BAO OAG∠∠、的角平分线与BOQ∠的角平分线及反向延长线相交于E F、，在AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO∠的度数为____（直接写答案）（2）如图∠，,AP CP分别平分,BAD BCD∠∠，若36,16ABC ADC∠=︒∠=︒，求P∠的度数．（3）如图∠，直线AP平分BAD∠的外角,FAD CP∠平分BCD∠的外角BCE∠，若,ABC ADCαβ∠=∠=，则P∠=________用αβ、的代数式表示）22．如图1，,AD BD分别是ABC的内角,BAC ABC∠∠的平分线，过点A作AE AD⊥，交BD的延长线于点E．（1）求证：12E C∠=∠；（2）如图2，如果AE AB=，且:2:3BD DE=，求cos ABC∠的值；（3）如果ABC∠是锐角，且ABC与ADE相似，求ABC∠的度数，并直接写出ADEABCSS∆∆的值．23．（1）如图∠，∠ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD∠BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：∠∠CAE的度数；（2）如图∠，若把（1）中的条件“AD∠BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD∠BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．（3）在∠ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD∠BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．24．如图∠所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．（1）求证：ADC DAB DCB ABC∠∠∠∠=++；（2）如图∠所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若120EDF∠=︒，求A B C G E F∠∠∠∠∠∠+++++的度数．25．平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．求∠ANC ．26．如图，四边形ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点O ．（1）如果130A ∠=︒，110D ∠=︒，求BOC ∠的度数；（2）请直接写出BOC ∠与A D ∠+∠的数量关系．27．如图，已知ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于点O ，EF 过点O 且//EF BC ．（1）若50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，求BOC ∠的度数；（2）若130BOC ∠=︒，1:22:3∠∠=，求ABC ∠、ACB ∠的度数．28．如图，∠CBF ，∠ACG 是∠ABC 的外角，∠ACG 的平分线所在的直线分别与∠ABC ，∠CBF 的平分线BD ，BE 交于点D ，E ．（1）若∠A=70°，求∠D 的度数；（2）若∠A=a ，求∠E ；（3）连接AD ，若∠ACB=β，则∠ADB= ．29．（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______（2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．30．如图，ABC ∆的角平分线BD CE 、相交于点P ．（1）若50,70ABC ACB ∠=︒∠=︒，则A ∠=________︒；（2）试探究DPC ∠与A ∠之间的数量关系并说明理由．参考答案：1．A【解析】【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF ＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋12∠ACD＝∠A＋12∠ABD，代入计算即可．【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，∠∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∠∠AFB＝∠PFC，∠∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∠∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∠∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，∠2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，∠PB、PC是角平分线∠∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∠2∠P＝∠A−∠D∠∠A＝48°，∠D＝10°，∠∠P＝19°．法二：延长DC，与AB交于点E．∠∠ACD 是∠ACE 的外角，∠A ＝48°，∠∠ACD ＝∠A ＋∠AEC ＝48°＋∠AEC ．∠∠AEC 是∠BDE 的外角，∠∠AEC ＝∠ABD ＋∠D ＝∠ABD ＋10°，∠∠ACD ＝48°＋∠AEC ＝48°＋∠ABD ＋10°，整理得∠ACD −∠ABD ＝58°．设AC 与BP 相交于O ，则∠AOB ＝∠POC ，∠∠P ＋12∠ACD ＝∠A ＋12∠ABD ，即∠P ＝48°−12（∠ACD −∠ABD ）＝19°．故选A .【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 2．C【解析】【分析】连接,BC 先求解,DBC DCB ∠+∠ 再求解,GBC GCB ∠+∠ 可得,GBD GCD ∠+∠ 再利用角平分线的定义可得：,ABD ACD ∠+∠ 从而可得：,ABC ACB ∠+∠ 再利用三角形的内角和定理可得A ∠的大小.【详解】解：连接,BC 140,BDC ∠=︒18014040,DBC DCB ∴∠+∠=︒-︒=︒100,BGC ∠=︒18010080,GBC GCB ∴∠+∠=︒-︒=︒40,GBD GCD GBC GCB DBC DCB ∴∠+∠=∠+∠-∠-∠=︒BE 平分ABD∠，CF 平分ACD ∠，()280,ABD ACD GBD GCD ∴∠+∠=∠+∠=︒+8040120,ABC ACB ABD ACD DBC DCB ∴∠+∠=∠∠+∠+∠=︒+︒=︒()18060.A ABC ACB ∴∠=︒-∠+∠=︒故选：.C【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.3．B【解析】【分析】由∠ABC =42°，∠A =60°，根据三角形内角和等于180°，可得∠ACB 的度数，又因为∠ABC 、∠ACB 的平分线分别为BE 、CD ，所以可以求得∠FBC 和∠FCB 的度数，从而求得∠BFC 的度数．【详解】解：∠4260180ABC A ABC A ACB ∠=︒∠=︒∠+∠+∠=︒，，．∠180426078ACB ∠=︒-︒-︒=︒．又∠∠ABC 、∠ACB 的平分线分别为BE 、CD ． ∠1212FBC ABC ∠=∠︒＝，1392FCB ACB ∠=∠︒＝． 又∠180FBC FCB BFC ∠+∠+∠=︒．∠1802139120BFC ∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，关键是可以根据题目中的信息，灵活变化求出相应问题的答案．4．C【解析】【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．【详解】解：∠∠BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，∠∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∠DE∠BC，∠∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（两直线平行，内错角相等），∠∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，∠DB=DF，EF=EC，∠∠BDF和△CEF都是等腰三角形，∠∠选项正确，符合题意；∠∠DE=DF+FE，∠DB=DF，EF=EC，∠DE=DB+CE，∠∠选项正确，符合题意；∠根据题意不能得出BF＞CF，∠∠选项不正确，不符合题意；∠∠若∠A=80°，∠∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，∠∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，×100°=50°，∠∠CBF+∠BCF=12∠∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，∠∠选项正确，符合题意；故∠∠∠正确．【点睛】等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系，解题关键是逐个判断选项即可得出正确答案．5．B【解析】【分析】由A∠的度数可以求出ABC∠与ACB∠的和，由角平分线的性质可以得出1=2∠∠，3=4∠∠，即可得出2∠与4∠的和，即可得出BOC∠的度数．【详解】∠70A∠=︒，∠ABC∠+ACB∠=110°，∠BE CF、为ABC∠与ACB∠的平分线，∠1=2∠∠，3=4∠∠，∠2∠+4∠=110÷2=55°，∠BOC∠=180°－55°=125°．故选：B．【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟记相关概念是解题关键．6．20202α【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解112A A ∠=∠，同理求出∠A 2，∠A 3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∠A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∠∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∠∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∠12（∠A +∠ABC ）=12∠ABC +∠A 1， ∠∠A 1=12∠A ，∠∠A =α．∠A 1=12∠A =12α，同理可得∠A 2=12∠A 1=212α， 根据规律推导，∠2020A ∠=20202α， 故答案为20202α．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．7．105°【解析】【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD ＋∠CDE 的度数，从而求出∠PCD ＋∠PDC 的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD 的度数．【详解】解：∠∠A ＝160°，∠B ＝80°，∠E ＝90°，∠∠BCD ＋∠CDE ＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°，∠∠PCD ＋∠PDC ＝12（180°×2−210°）＝75°，在∠CPD 中，∠CPD ＝180°−（∠PCD ＋∠PDC ）＝180°−75°＝105°，故答案为：105°．【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD ＋∠CDE 的度数是解题的关键．8．40°【解析】【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∠∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∠∠ACO=12∠ACB ，∠CD 平分∠ACE ，∠∠ACD=12∠ACE ，∠∠ACB+∠ACE=180°，∠∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE ）=12×180°=90°， ∠∠BOC ＝130°，∠∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．9．20202【解析】【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A 1=12∠A ，由于∠A 1=12∠A ，∠A 2=12∠A 1=212∠A ，…，以此类推可知∠A 2020即可求得． 【详解】∠A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∠∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CA=12∠ACD ， ∠∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，即12∠ACD=∠A 1+12∠ABC ，∠∠A 1=12（∠ACD-∠ABC ）， ∠∠A+∠ABC=∠ACD ，∠∠A=∠ACD-∠ABC ，∠∠A 1=12∠A ，以此类推∠A 2=12∠A 1=12•12∠A=212∠A, ∠A 3=12∠A 2=21122⨯∠A=312∠A ，……， 所以∠A n =12n A ∠， 202020202020122A A θ∴∠=∠=． 故答案为：20202θ．【点睛】 本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A n =12nA ∠. 10．36【解析】【分析】 首先根据三角形的外交性质求出2A G ∠=∠，结合三角形的高的知识得到G ∠和A ∠之间的关系，进而可得结果；【详解】由图知：ACM A ABC ∠=∠+∠，∠CG 是ACM ∠的角平分线，∠2ACM GCM ∠=∠，∠2A ABC GCM ∠+∠=∠，∠BG 是ABC ∠的角平分线，∠12GBC ABC ∠=∠， ∠GBC G GCM ∠+∠=∠，即12ABC G GCM ∠+∠=∠， ∠22ABC G GCM ∠+∠=∠，∠2ABC G A ABC ∠+∠=∠+∠，∠2A G ∠=∠，∠ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，∠CE AB ⊥，BD AC ⊥，∠90AEF ADF ∠=∠=︒，∠在四边形AEFD 中有：180A DFE ∠+∠=︒，∠DFE BFC ∠=∠，∠180A BFC ∠+∠=︒，∠18842BFC G A A ∠=∠=⨯∠=∠， ∠45180A BFC A A A ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∠180536A ︒∠=÷=︒．【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键．11．110︒．【解析】【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数．【详解】解：∠OB 、OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∠∠OBC+∠OCB= 111() 222ABC ACB ABC ACB ∠+∠=∠+∠∠∠A=40°，∠∠OBC+∠OCB= 1(18040)2︒︒-=70°，∠∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°．故答案是110．【点睛】本题主要利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的关键．12．∠∠【解析】【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋12∠1，∠BOC＝90°＋∠2，再分析判断．【详解】∠CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∠∠DCE＝12∠ACD，∠DBE＝12∠ABC，又∠∠DCE是∠BCE的外角，∠∠2＝∠DCE−∠DBE＝12（∠ACD−∠ABC）＝12∠1，故∠正确；∠BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∠∠OBC＝12ABC，∠OCB＝12∠ACB，∠∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝180°−12（∠ABC＋∠ACB）＝180°−12（180°−∠1）＝90°＋12∠1，故∠、∠错误；∠OC 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∠∠ACO ＝12∠ACB ，∠ACE ＝12∠ACD ， ∠∠OCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝12×180°＝90°， ∠∠BOC 是∠COE 的外角，∠∠BOC ＝∠OCE ＋∠2＝90°＋∠2，故∠正确；故答案为：∠∠．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．13． 2θ 20212θ 【解析】【分析】据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可求出∠A 1的度数，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】解：∠A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∠∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， 又∠∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，∠12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A 1， ∠∠A 1=12∠A ，∠∠A=θ， ∠∠A 1=2θ， 同理可得：∠A n =2n θ， ∠∠A 2021=20212θ，故答案为：2θ，20212θ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．14．（1）60°；（2）90°-12n °；（3）∠BGO -∠ACF =50° 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAO +∠ABO ，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；（2）仿照（1）的解法解答；（3）根据平行线的性质得到∠ACF =∠CAG ，根据（2）的结论解答．【详解】解：（1）∠∠MON =60°，∠∠BAO +∠ABO =120°， ∠AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∠∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ， ∠∠CBA +∠CAB =12（∠ABO +∠BAO ）=60°， ∠∠ACG =∠CBA +∠CAB =60°，故答案为：60°；（2）∠∠MON =n °，∠∠BAO +∠ABO =180°-n °，∠AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∠∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ， ∠∠CBA +∠CAB =12（∠ABO +∠BAO ）=90°-12n °， ∠∠ACG =∠CBA +∠CAB =90°-12n °； （3）∠CF ∠OA ，∠∠ACF =∠CAG ，∠∠BGO -∠ACF =∠BGO -∠CAG =∠ACG ，由（2）得：∠ACG =90°-12×80°=50°． ∠∠BGO -∠ACF =50°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．15．（1）115︒；（2）36A ∠=︒【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，求得PBC ∠，PCB ∠，再根据三角形内角和定理即可求得BPC ∠；（2）根据（1）的方法求得BPC ∠，再结合条件∠BPC ＝3∠A ，解方程即可求得∠A ．【详解】（1）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ∠ABC +∠ACB ＝130°， 1()652PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒， 180()18065115BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，（2）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， 1()2PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠， 180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，1902PBC PCB A ∴∠+∠=︒-∠， 180()BPC PBC PCB1180(90)2A =︒-︒-∠ 1902A =+∠︒∠BPC ＝3∠A13902A A ∴∠=︒+∠， 36A ∴∠=︒．【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．16．（1）见解析；（2）40°；（3）不发生变化，12【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明；（2）由∠FOC =∠AOC ，并且OE 平分∠BOF 得到∠EOC =∠EOF +∠FOC =12（∠BOF +∠FOA ）=12∠BOA ，算出结果；（3）先得出结论：∠OCB ：∠OFB 的值不发生变化，理由为：由BC 与AO 平行，得到一对内错角相等，由∠FOC =∠AOC ，等量代换得到一对角相等，再利用外角性质等量代换即可得证．【详解】解：（1）∠BC ∠OA ，∠∠B +∠O =180°，又∠∠B =∠A ，∠∠A +∠O =180°，∠OB ∠AC ；（2）∠∠B +∠BOA =180°，∠B =100°，∠∠BOA =80°，∠OE 平分∠BOF ，∠∠BOE =∠EOF ，又∠∠FOC =∠AOC ，∠∠EOC =∠EOF +∠FOC =12（∠BOF +∠FOA ）=12∠BOA =40°；（3）结论：∠OCB ：∠OFB 的值不发生变化．理由为：∠BC ∠OA ，∠∠FCO =∠COA ，又∠∠FOC =∠AOC ，∠∠FOC =∠FCO ，∠∠OFB =∠FOC +∠FCO =2∠OCB ，∠∠OCB ：∠OFB =1：2=12． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．17．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】【详解】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．∠由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．∠由∠得180x y BOC +=-∠︒．∠ 把∠代入∠，得()2180180A BOC ∠+-∠=︒︒，即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902BOC A ∠=+∠︒ （2）∠BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∠()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、， 由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒-∠-∠，=180°-12[∠A +（∠A +∠ABC +∠ACB ）]，=180°-12（∠A +180°），=90°-12∠A ；（3）如图：∠BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∠∠1=∠2，∠5=1（∠A+2∠1），∠3=∠4，2在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∠∠1+∠3=180°-∠A∠（∠A+2∠1），在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A∠，∠A．把∠代入∠得∠D=12【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．18．（1）∠90°，理由见解析；∠∠MEN=2∠POQ；（2）2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD 【解析】【分析】（1）∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根据∠AMN+∠BNM=180°，可得α+β=90°，再根据三角形内角和定理进行计算即可；∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，根据三角形外角性质可得∠MEN=2（β-α），再根据三角形外角性质可得∠POQ=β-α，进而得出∠MEN=2∠POQ；（2）分别表示出∠M，∠N，∠BCD，利用四边形内角和表示出∠BFD，再将∠M，∠N，∠BCD进行运算，变形得到∠BFD，即可得到关系式．【详解】解：（1）∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，当AM∠BN时，∠AMN+∠BNM=180°，即180°-2α+180°-2β=180°，∠180°=2（α+β），∠α+β=90°，∠∠MON中，∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-（α+β）=90°，∠当∠POQ为90度时，光线AM∠NB；∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，∠∠AMN=180°-2α，∠MNE=180°-2β，∠∠AMN是∠MEN的外角，∠∠MEN=∠AMN-∠MNE=（180°-2α）-（180°-2β）=2（β-α），∠∠MNQ是∠MNO的外角，∠∠POQ=∠MNQ-∠NMO=β-α，∠∠MEN=2∠POQ；（2）设∠PBE=∠MBC=∠1，∠MCB=∠NCD=∠2，∠CDN=∠ADQ=∠3，可知：∠M=180°-∠1-∠2，∠N=180°-∠2-∠3，∠BCD=180°-2∠2，∠∠CBA=180°-2∠1，∠CDA=180°-2∠3，∠∠BFD=360°-∠CDA-∠CBA-∠BCD=360°-（180°-2∠1）-（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠1+∠2+∠3）-180°又∠2（∠M+∠N）-∠BCD=2（180°-∠1-∠2+180°-∠2-∠3）-（180°-2∠2）=540°-2（∠1+∠2+∠3）=360°-[2（∠1+∠2+∠3）-180°]=360°-∠BFD∠2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BF D．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质以及多边形内角和定理的综合应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 19．553+ 【解析】 【分析】知道60BAC ∠=︒和AD 是角平分线，就可以求出30DAE ∠=︒，AD 的垂直平分线交AC 于点F 可以得到AF =FD ，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE ，得到DEF C DE EF AF AE DE =++=+△．【详解】解： AD 的垂直平分线交AC 于点F ，∴ DF AF =（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∠DEF C DE EF AF AE DE =++=+△ ∠60BAC ∠=︒，AD 是角平分线 ∠30DAE ∠=︒ ∠10AD =∠5DE =，53AE = ∠553DEF C =+△ 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．20．（1）不发生变化，∠AEB=135°；（2）不发生变化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°【解析】【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长A D、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠P AB+∠MBA=270°，再由A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在∠AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，∠直线MN与直线PQ垂直相交于O，∠∠AOB=90°，∠∠OAB+∠OBA=90°，∠AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∠∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∠∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）=45°，∠∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不变．延长A D、BC交于点F．∠直线MN与直线PQ垂直相交于O，∠∠AOB=90°，∠∠OAB+∠OBA=90°，∠∠P AB+∠MBA=270°，∠A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∠∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，∠∠BAD+∠ABC=12（∠P AB+∠ABM）=135°，∠∠F=45°，∠∠FDC+∠FCD=135°，∠∠CDA+∠DCB=225°，∠DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∠∠CDE+∠DCE=112.5°，∠∠CED =67.5°；（3）∠∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∠∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，∠∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO，∠AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∠∠EAF=90°．在∠AEF中，∠有一个角是另一个角的3倍，故有：∠∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；∠∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；∠∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；∠∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．∠∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．21．（1）证明见解析；（2）26P ∠=︒；（3）1()2P αβ∠=+． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）设∠BAP =∠PAD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；（3）表示出∠P AD 和∠PCD ，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解． 【详解】解：（1）∠∠A +∠B +∠AOB =180°，∠C +∠D +∠COD =180゜， ∠∠A +∠B +∠AOB =∠C +∠D +∠COD ． ∠∠AOB =∠COD ， ∠∠A +∠B =∠C +∠D ；（2）∠,AP CP 分别平分,BAD BCD ∠∠， 设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，则有x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩，∠∠ABC -∠P =∠P -∠ADC ，∠11()(3616)2622P ABC ADC ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）如图，∠AP 平分∠BAD 的外角∠F AD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∠∠1=∠2，∠3=∠4，∠∠P AD =180°-∠2=180°-∠1，∠PCD =180°-∠3，∠∠P +（180°-∠1）=∠ADC +（180°-∠3）， ∠P +∠1=∠ABC +∠4， ∠2∠P =∠ABC +∠ADC ， ∠,ABC ADC αβ∠=∠=，∠11()()22P ABC ADC αβ∠=∠+∠=+．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． 22．（1）证明见解析；（2）23；（3）30ABC ∠=︒，23ADEABCS S∆∆=-或45ABC ∠=︒，22ADEABCS S ∆∆=-． 【解析】 【分析】（1）由题意：90E ADE =︒-∠∠，根据三角形外内角性质和三角形内角和可得11()9022ADE ABC BAC C ∠=∠+∠=︒-∠，由此即可解决问题．（2）延长AD 交BC 于点F ．证明//AE BC ，可得90AFB EAD ==︒∠∠，BF BD AE DE=，由:2:3BD DE =，可得2cos 3BF BF ABC AB AE ===∠． （3）因为ABC 与ADE 相似，90DAE ∠=︒，所以ABC ∠中必有一个内角为90︒因为ABC ∠是锐角，推出90ABC ∠≠︒．接下来分两种情形分别求解即可．【详解】（1）证明：如图1中，AE AD ⊥，90DAE ∴∠=︒，90E ADE =︒-∠∠，AD平分BAC∠，BD平分ABC∠的，12BAD BAC∴∠=∠，12ABD ABC∠=∠，ADE BAD DBA∠=∠+∠，180BAC ABC C+=︒-∠∠∠，11()9022ADE ABC BAC C∴∠=∠+∠=︒-∠，1190(90)22E C C∴∠=︒-︒-∠=∠．（2）解：延长AD交BC于点F．AB AE=，ABE E∴∠=∠，又∠ABE EBC∠=∠，E CBE∴∠=∠，//AE BC∴，90AFB EAD∴∠=∠=︒，BF BDAE DE=，:2:3BD DE=，2cos3BF BFABCAB AE∴∠===．（3）ABC与ADE相似，90DAE∠=︒，ABC∴∠中必有一个内角为90︒ABC∠是锐角，90ABC∴∠≠︒．∠当ABC AED时，90BAC DAE∠=∠=︒，12E C∠=∠，12ABC E C∴∠=∠=∠，90ABC C∠+∠=︒，30ABC ∴∠=︒，如图，过B 点作BH ∠AE ，∠90BAC ∠=︒，AD 平分∠BAC ， ∠∠BAH =45°，∠AH =BH ，2AB BH =， ∠E 30∠=︒， ∠3tan BHHE BH E==∠，∠(31)AE HE AH BH =-=-， ∠ABCAED ，∠2231232ADE ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫-⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∠当ABC EDA ~时，即90C DAE ==︒∠∠时，1452E C ==︒∠∠，45EDA ∴=︒∠，45ABC EDA ∴∠=∠=︒，如解图（3）-2；过B 点作BH ∠AE ，45ABC BAC ∠==︒，,AD BD 分别是ABC 的内角,BAC ABC ∠∠的平分线，∠ABD BAD ∠=∠，∠BD =AD ， 又∠45E ∠=︒，∠2DE AE =，2BE HE =， ∠(12)BE BD BE AE =+=+， ∠222HE AE +=， ∠22AH HE AE AE =-=， ∠在Rt ABH 中，()2222222222222AB BH AH AE AE AE ⎛⎫⎛⎫+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠()()22222222ADE ABC AES DE S EA AB ∆∆⎛⎫=+=⎪⎭=⎝- 综上所述，30ABC ∠=︒，23ADEABCS S ∆∆=-或45ABC ∠=︒，22ADEABCS S ∆∆=-． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 23．（1）∠40°；∠10°；（2）10°；（3）∠DFE ＝12（β﹣α），见解析 【解析】 【分析】（1）如图1中，求出∠BAD ，∠BAE ，根据∠DAE ＝∠BAE ﹣∠BAD 即可解决问题． （2）如图2中，作AH∠BC 于H ．利用（1）中结论，再证明∠DFE ＝∠HAE 即可． （3）结论：∠DFE ＝12（∠B ﹣∠C ）．如图3中，作AH∠BC 于H ，FD∠BC 于D ．由∠HAE ＝∠EAB ﹣∠BAH ，∠BAH ＝90°﹣∠B ，∠BAE ＝12（180°﹣∠B ﹣∠C ）推出∠HAE＝90°﹣12∠B ﹣12∠C ﹣（90°﹣∠B ）＝12（∠B ﹣∠C ），由AH∠FD ，推出∠DFE ＝∠HAE ，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图（1）．∠AD∠BC，∠∠ADB＝90°，∠∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∠∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，而AE平分∠BAC，∠∠CAE=∠BAE＝12∠BAC＝12×80°＝40°，∠∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°；（2）如图2中，作AH∠BC于H．由（1）可知∠HAE＝10°，∠AH∠EF，∠∠DFE＝∠HAE＝10°（3）结论：∠DFE＝12（∠B﹣∠C）．理由如下：如图3中，作AH∠BC于H，FD∠BC于D．∠∠HAE ＝∠EAB ﹣∠BAH ，∠BAH ＝90°﹣∠B ，∠BAE ＝12（180°﹣∠B ﹣∠C ）， ∠∠HAE ＝90°﹣12∠B ﹣12∠C ﹣（90°﹣∠B ）＝12（∠B ﹣∠C ）， ∠AH∠FD ， ∠∠DFE ＝∠HAE ， ∠∠DFE ＝12（β-α）． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和主要用在求三角形中角的度数．也考查了三角形外角性质． 24．（1）见解析；（2）240° 【解析】 【分析】（1）延长CD 交AB 于点E ，根据三角形外角性质可证ADC DAE AED ∠=∠+∠，AED DCB ABC ∠=∠+∠，运用角的等量转换即可证明．（2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方法可证A B C BDC ∠+∠+∠=∠，E G F EDF ∠+∠+∠=∠，BDC ∠和EDF ∠是对顶角，可推出A B C G E F ∠∠∠∠∠∠+++++的度数等于2倍EDF ∠的度数，计算得出答案．【详解】（1）证明：延长CD 交AB 于点E ，如图：∠ADC ∠是ADE 的外角，∠ADC DAE AED ∠=∠+∠．∠AED ∠是CEB △的外角，∠AED DCB ABC ∠=∠+∠，∠ADC DAE DCB ABC DAB DCB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠．（2）解：∠EDF ∠和BDC ∠是对顶角，∠120BDC EDF ∠=∠=︒．由（1）的结论可知BDC A B C ∠=∠+∠+∠，EDF E G F ∠=∠+∠+∠，∠240A B C E G F DCB EDF ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键．25．（1）33°；（2）123°【解析】【分析】（1）AM 与BC 交于E ，AD 与MC 交于F ，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，BEM ∠是ABE △和MCE 的外角，MFD ∠是MAF △和FCD 的外角，列出关于AMC ∠的方程组，计算得出AMC ∠的度数．（2）AN 与BC 交于点G ，AD 与BC 交于点F ，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，BFD ∠是ABF 和FCD 的外角，AGC ∠是NGC 和ABG 的外角，列出关于ANC ∠的方程组，计算得出ANC ∠的度数．【详解】解：（1）AM 与BC 相交于E ，AD 与MC 相较于F ，如图：∠MA 和MC 是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，∠设∠BAM=∠MAD=a ，∠BCM=∠MCD=b ，∠∠BEM 是∠ABE和∠MCE 的外角，∠∠M+∠BCM=∠B+∠BAM ，即：∠M+b=24°+a∠，又∠∠MFD 是∠MAF 和∠CDF 的外角，可得∠M+a=42°+b∠，∠式＋∠式得2∠M=24°+42°，解得：∠M=33°，∠=33AMC ∠︒．（2）AN 与BC 相交于G ，AD 与BC 相较于F ，如图:∠NA 和NC 是∠EAD 和∠BCD 的角平分线，∠设∠EAN=∠NAD=m ，∠BCN=∠NCD=n ， ∠∠BFD 是∠ABF 和∠FCD 的外角，∠∠B+∠BAD=∠D+∠BCD ，即：24°+(180°-2m ）=42°+2n ，可得m+n=81°∠，又∠∠AGC 是∠NGC 和∠ABG 的外角，可得∠N+n=24°+(180°-m ），得∠N=204°-（m+n ）∠，∠式代入∠式，得∠N=204°-81°=123°，∠123ANC ∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键．26．（1）120°；（2）1()2BOC A D ∠=∠+∠【分析】（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；（2）方法同（1）【详解】解：（1）∠∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，∠∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D ）=360°-240°=120°，∠OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∠∠OBC+∠OCB=111(221)1206220AB ABC DC C BCD B ∠+∠=⨯+∠︒=∠=︒ ， ∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-60°=120°；（2）1()2BOC A D ∠=∠+∠ 证明：在四边形ABCD 中，360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒∠360()ABC DCB A D ∠+∠=︒-∠+∠∠OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∠∠OBC+∠OCB=1111((222)180)2ABC BCD AB D A C D CB ∠+∠=︒-∠∠=+∠∠+ ∠180(1)()2O BOC BC OCB A D ∠+∠=︒-∠=∠+∠ 【点睛】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．27．（1）125° （2）60°；40°【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠OBC=25°，∠OCB=30°，再利用三角形的内角和定理求解即可；（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC ，∠OCB 的度数，利用角平分线的定义可求解；解：（1）∠ABC ∠和ACB ∠的平分线BO 与CO 相交于点O ，∠12EBO OBC ABC ∠=∠=∠，12FCO OC ACB ∠=∠=∠， 又50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，∠25OBC ∠=︒，30OCB ∠=︒，∠180125BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=︒︒；（2）∠130BOC ∠=︒，∠1250∠+∠=︒，∠1:23:2∠∠=，∠3150305∠=⨯︒=︒，2250205∠=⨯︒=︒，∠//BF BC ，∠130OBC ∠=∠=︒，220OCB ∠=∠=︒，∠ABC ∠和ACB ∠的平分线BO 与CO 相交于点O ，∠60ABC ∠=︒，40ACB ∠=︒．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．28．（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG ，∠DBC=12∠ABC ，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC ，∠CBE=12∠CBF ，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=12∠A ，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC ，∠DAM=12∠MAC ，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：（1）∠CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∠∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∠∠ACG=∠A+∠ABC，∠2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∠∠DCG=∠D+∠DBC，∠2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∠∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∠∠D=12∠A=35°；（2）∠BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∠∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∠∠DBC+∠CBE=12（∠ABC+∠CBF）=90°，∠∠DBE=90°，∠∠D=12∠A，∠A=α，∠∠D=12α，∠∠DBE=90°，∠∠E=90°-12α；（3）如图，∠BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∠AD平分∠MAC，∠ABD=12∠ABC，∠∠DAM=12∠MAC，∠∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∠∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．29．（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-∠ 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【详解】解：（1）∠40A ∠=︒，∠18040ABC ACB ∠+∠=︒-，∠ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，∠12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=， ∠()118090202BPC ABC ACB ∠=︒-∠+=︒+︒ 故答案为110° （2）12BPC A ∠=∠， 证明：∠ACE ∠是ABC 的外角，PCE ∠是PBC 的外角，∠ACE ABC A ∠=∠+∠PCE PBC BPC ∠=∠+∠，∠BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠，∠1122PBC ABC PCE ACE ∠=∠∠=∠，∠1122ACE ABC BPC ∠=∠+∠， ∠()111222BPC ABC ACE ABC ACE ∠=∠-∠=∠-∠， ∠12BPC A ∠=∠， 故答案为：12BPC A ∠=∠； （3）由（1）得，1902BPC A ∠=︒-∠， 故答案为：1902BPC A ∠=︒-∠． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角形外角性质是解题的关键．30．（1）60；（2）1902︒-∠A ，见解析． 【解析】【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；（2）先根据角平分线的定义得到∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-12（∠ABC+∠ACB ），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，易得∠BPC=90°+12∠A ，再根据平角的定义解答即可． 【详解】（1）∠∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠∠A=180°-50°-70°=60°．故答案为60．（２）∠DPC=90°-12∠A ，理由：,ABC ACB ∠∠的平分线相交于点P ，111,222ABC ACB ∴∠=∠∠=∠， ()11118012180180222BPC ABC ACB ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠ 180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠()111801809022BPC A ∴∠=︒-︒-∠A =︒+∠，。

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2.角平分线的性质：①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。

6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。

专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.双角平分线模型（导角模型）【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。

【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A ∠=︒+∠ 1902BDC A ∠=︒-∠ 12BDC A ∠=∠ 1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O ．4231AFCB4321DAB(1)求证：∠AOC＝90°＋1∠ABC；2(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A ＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+1∠A(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点2O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。

专题08三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。

（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1图3条件：如图1，OO ’平分∠MON ，过OO ’的一点P 作PQ//ON.结论：△OPQ 是等腰三角形。

条件：如图2，△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC 。

结论：△BDE 是等腰三角形。

条件：如图3，在ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相交于点M ，N ．结论：△BOM 、△CON 都是等腰三角形。

2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE 平分∠CBA ，∠ACB ＝∠CDA ＝90°.结论：三角形CEF 是等腰三角形。

上，以点长为半径画弧，两弧交于点A．20︒B．25︒C．30︒例2．（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O为△ABC点D，OE//AC交BC于点E．若AB=5cm，BC=10例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，90∠的平分线BE⊥于点D，ABCBAC∠=︒，AD BC交AD于F，交AC于E，若3AE=，2DF=，则AD=_____________．例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC 中，AB=AC ，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF 与BE 、CF 之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC 中∠B 的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF 与BE 、CF 关系又如何?说明你的理由.模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型1）内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC 中，若AD 是∠BAC 的平分线。