现代控制理论实验指导书2015.3.17

《现代控制理论》实验指导书安阳工学院电子信息与电气工程学院目录实验一控制系统的数学模型及转换 (2)实验二状态空间模型的线性变换及其标准形 (6)实验三求解系统方程 (9)实验四系统能控性、能观性的判别 (11)实验五系统稳定性仿真实验 (14)实验六状态反馈和状态观测器的设计 (16)实验一 控制系统的数学模型及转换一． 实验目的（1）熟悉线性系统的数学模型及模型转换。

（2）了解MATLAB 中相应的函数。

二． 实验条件带有MATLAB 的微机一台。

三． 实验原理（1） 由传递函数建立状态空间系统的传递函数为()()()11101110n n nn n Y s b s b s b G s U s s a s a s a ----+++==++++ （i ） 系统只含单实极点时的情况。

设()U s 可分解为： ()()()()12U n s s s s λλλ=---则 ()()1ni i iY s cU s s λ==-∑若令状态变量为 ()1i iX U s s λ=- 其向量-矩阵形式为11122201101n n n x x x x u x x λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，[]12nn x x y c c c x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（ii ） 系统含重实极点时的情况。

例如()D s 可分解为 ()()()()314U n s s s s λλλ=---则 ()()()()131112324111ni i iY s c c c c U s s s s s λλλλ==+++----∑ 若令状态变量为 ()1i iX U s s λ=-111111211213113444101001101n n n x x x x x x u x x x x λλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []1112134n y c c c c c x =（2） 状态方程转化为传递函数设系统的模型如式(1－1)示。

p m n R y R u R x DCx y Bu Ax x∈∈∈⎩⎨⎧+=+= (1－1)其中A 为n ×n 维系数矩阵、B 为n ×m 维输入矩阵 C 为p ×n 维输出矩阵，D 为传递阵，一般情况下为0，只有n 和m 维数相同时，D=1。

系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1－2)示。

D B A SI C s den s num s G +-==-1)()()()( (1－2)式(1－2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的按s 降幂排列的分母。

四． 练习内容（1）采用MATLAB 编程，求系统的传递函数阵或状态空间表达式。

注意：ss2tf 和tf2ss 是互为逆转换的指令；（2）在MATLAB 界面下调试程序，并检查是否运行正确。

（3）[例1.1] 已知SISO 系统的状态空间表达式为(1－3)，求系统的传递函数。

,631234100010321321u x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321001x x x y (1－3)程序:%首先给A 、B 、C 阵赋值； A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2]; B=[1;3;-6]; C=[1 0 0]; D=0;[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)程序运行结果: num =0 1.0000 5.0000 3.0000 den =1.00002.00003.00004.0000 从程序运行结果得到:系统的传递函数为:43235)(232+++++=s s s s s S G (1－4)（4）[例1.2] 从系统的传递函数(1－4)式求状态空间表达式。

程序:num =[0 1 5 3]; den =[1 2 3 4];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 程序运行结果:A =B = -2 -3 -4 1 1 0 0 0 0 1 0 0C =D = 1 5 3 0 五． 实验内容与要求（1） 在运行以上[例]程序的基础上，应用MATLAB 对(1－5)系统编程，求系统的A 、B 、C 、D 阵，并运行得出结果。

432352)(232+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=s s s s s s S G (1－5) 提示：num =[0 0 1 2；0 1 5 3]； （2）用两种方法验证上述结果是否正确。

提示：①[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)； ②D B A I C G +-=-1)s (syms s;六． 讨论[例1.2]程序运行结果不等于式(1－3)中的A 、B 、C 阵，是结果错了吗？为什么？实验二 状态空间模型的线性变换及其标准形一． 实验目的（1） 掌握线性系统的对角线标准形、约当标准形的表示及相应变换阵的求解。

（2） 了解MATLAB 中相应的函数。

二． 实验条件带有MATLAB 的微机一台。

三． 实验原理 （1） 对角规范型设A 阵为任意形式的方阵，且有n 个互异实数特征值12,,,n λλλ ，则可由非奇异线性变换化为对角阵Λ，121n P AP λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ P 阵由A 阵的实数特征向量()1,2,,i p i n = 组成：[]12n P p p p =特征向量满足i i i Ap p λ=，1,2,,i n =程序实现：[P,D]=eig(A) %P 为变换阵，D 为对角阵（2） 约当标准形设A 阵具有m 重实特征值1λ，其余为()n m -个互异实特征值，但在求解i i iAp p λ=时只有一个独立实特征向量1p ，则只能使A 化为约当阵J ，111111010m n J P AP λλλλλ-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]121m m n P p p p p p +=其中12,,,m p p p 是广义特征向量，满足[][]11121211,,,,,,1m m p p p A p p p λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中1,,m n p p + 是互异特征值对应的实特征向量。

[P,J]=jordan(A) %P 为变换阵，J 为约旦阵（3） P 变换若已知变换矩阵P ，则AP P A 1-=,B P B 1-=,CP C =四． 练习内容 （1） 输入状态空间模型u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1006116100010 ， 试做线性变换，要求变换后系统矩阵A 为对角阵。

A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]; B=[0 ;0; 1]; [P,D]=eig(A); Q=inv(P); A1=Q*A*P; B1=Q*B;（2） 试将矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A 化为约旦标准型，并求出变换阵。

A=[0 1 0;0 0 1;2 -5 4]; [P,J]=jordan(A);五． 实验内容与要求编写程序运算以下两题，并运行得出结果。

（1）输入状态空间模型01161166115A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，121B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100011C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21D ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 求A 的特征多项式、特征值，A 的对角或约当标准形，变换矩阵P 。

（2）输入状态空间模型0123A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]10C =，0D = 输入变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3002P ，求经P 变换的模型。

六． 讨论对于一个系统，已知状态空间模型，如何判断变换之后的系统为对角线标准型，还是约旦标准型？能否统一用jordan 语句来转换？实验三 求解系统方程一． 实验目的（1） 掌握状态转移矩阵的求法。

（2） 掌握系统方程的求解方法。

（3） 了解MATLAB 中相应的函数。

二．实验条件带有MATLAB 的微机一台。

三．实验原理（1）状态转移矩阵的计算方法 级数展开法∑∞==+++++=022!1!1!21k k k k k Att A k t A k t A At I e拉普拉氏变换[]11)(---=A sI L e At（2）求解系统方程 线性齐次方程的解)0()(x e t x At =非齐次方程的解τττd Bu e x e t x tt A At )()0()(0)(⎰-+=三、 练习内容试求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321A 的状态转移矩阵Ate 。

syms t; A=[1 2 ;3 4]; eAt=expm(A*t) 四、实验内容与要求（1）输入矩阵0123A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦求状态转移矩阵,并计算ｔ＝0.3时的状态转移矩阵的值。

（2）已知线性系统状态方程为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=103210 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01)0(x ，)(1)(t t u = 求系统状态方程的解。

五、讨论对于0123A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，如何用公式[]11)(---=A sI L e At 求状态转移矩阵，写出程序并运行，得出结果。

实验四 系统能控性、能观性的判别一、实验目的（1） 系统的能控性和能观测性的判别方法、系统的能控性和能观测性分解。

（2） 了解MATLAB 中相应的函数。

二、 实验条件带有MATLAB 的微机一台。

三、 实验原理 （1） 能控性判据线性定常连续系统完全能控的充分必要条件：1n rank BAB A B n -⎡⎤=⎣⎦ ，其中n 为矩阵A 的维数。

（2） 能观测性判据线性定常连续系统完全能观测的充分必要条件：1n C CA rank n CA -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中n 为矩阵A 的维数。

（3） 系统的能控性分解不能控系统的动态方程：xAx Bu =+ ，y Cx = 变换为下列的规范表达式1111212200c c c c c c x x x A A B PAP PBu u x x x A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 112c c c c x x y CP C C x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中c x 为r 维能控状态子向量；c x 为()n r -维不能控状态子向量 令12y y y =+，则可得到子系统的动态方程，其中能控子系统动态方程11121c c c x A x A x Bu =++ ，11y C x =不能控子系统动态方程为22c c xA x = ，22c y C x =（4） 系统的能观测性分解不能观测系统的动态方程：xAx Bu =+ ，y Cx = 变换为下列能观测分解的规范表达式111122122ˆˆ0ˆˆˆo o o o o o x x x A B TAT TBu u x x x B A A-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11ˆ0o o o o x x y CT C x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦能观测子系统动态方程为111ˆˆo o x A x Bu =+ ，11ˆoy C x y == 不能观测子系统动态方程为21222ˆˆˆo o o x A x A x B u =++ ，10y = 四． 练习内容 已知系统u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=0136101101600 x y ]100[=（1）判别系统的能控性。