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第一章随机事件

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概率论与数理统计 第一章1.1随机事件

概率论与数理统计 第一章1.1随机事件

事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
事件的关系与运算
８. 完备事件组 设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其 满足：
完
随机事件
在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，
往往还关心试验的结果 是否具备某一指定的可观
察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为一 个事件 ， 它分三类：
随机事件
1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的 事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发 生的事件. 例如，在抛掷一枚骰子的试验中，我们也许会关
A : “点数为奇数”，B : “点数小于5”.
则 A B {1，2，3，4，5}； A B {1，3}；
A - B {5}.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相 容的(或互斥的).
7. 若 A B S 且 A B ,
事件的关系与运算
由于随机现象的结果事先不能预知， 初看似乎 毫无规律. 然而人们发现 同一随机现象大量重 其每种可能的结果 出现的频率具有 复出现时，
稳定性， 从而表明随机现象也有其固有的规律
性. 人们把随机现象在大量重复出现时 所表现 出的量的规律性 称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律性
概率论与数理统计是研究 随机现象统计规律性 的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需 对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象

概率论第一章随机事件及其概率

概率论第一章随机事件及其概率
A
B
和事件 A∪B={| ∈ A或B } A = { HHH }，B = { TTT } ； A∪B = { HHH，TTT } 三次都是同一面
特别的，对任意的随机事件 A ， A∪A = A， A∪ = A， A∪S = S 当 A、B 不相容时，记成 A∪B = A＋B
S
(3).事件的积运算 得到一个新事件，它的发生表示 这些事件中每一个都要发生，
解. 由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。 (1) A、B互不相容即 AB = ，则 P (B – A ) = 0.5； (2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2； (3) 利用加法公式的另一形式： P (A∪B ) = P (A ) + P (B – A )， 得到P (B – A ) = 0.4。
性质5 设A，B是两个事件，若 A B， 则 P (A ) ≤ P (B ) 性质6 对任意的事件A ，有P (A ) ≤1。 证明思路 利用概率定义中的无穷可加以及非负性等。
思考
性质4中如何推广到n个事件的加法公式
例1.11 假定 P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5 ， 分别计算 (1) A、B 不相容；(2) A B； (3) P (A∪B) = 0.7 时概率P (B – A) 的值。
例如从 26 个英文字母中任取2 个排列， 所有不同方式一共有 P262 = 26×25 = 650。
(2) 可以重复的排列
从 n 个不同元素中允许放回任意取 m 个 出来排成有顺序的一列( 即取出的这些元素 可以相同 )。所有不同的排列方式一共有 n×n×…×n = nm

(完整版)概率论第一章随机事件与概率

(完整版)概率论第一章随机事件与概率
P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理

概率论知识点

概率论知识点

第一章随机事件及其概率§ 1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。

是人们通常说的偶然现象。

其特点是，在相同的条件下重复观察时，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先不能断言将出现哪种结果•例如,投掷一枚五分硬币，可能国徽”向上,也可能伍分”向上；从含有5件次品的一批产品中任意取出3件，取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一•指在科学研究或工程技术中，对随机现象在相同条件下的观察。

对随机现象的一次观察（包括试验、实验、测量和观测等）,事先不能精确地断定其结果，而且在相同条件下可以重复进行，这种试验就称为随机试验。

样本空间：概率论术语。

我们将随机试验E的一切可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为1。

样本空间的元素，即E的每一个结果，称为样本点。

随机事件：实际中，在进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E的样本空间I ■■的子集为E的随机事件，简称事件•在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.特别，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.样本空间门包含所有的样本点，它是门自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件.空集？不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）：若事件A与事件B不可能同时发生，亦即A B =①，则称事件A与事件B是互斥（或互不相容）事件。

互逆事件：事件A与事件B满足条件A B =①，A B =1 ,则称A与B是互逆事件，也称A与B是对立事件，记作B （或A = B ）。

互不相容完备事件组：若事件组A,A2,…A满足条件A i A j二①，（i,i=t n ）,nA-、_:，则称事件组A, A2,…A n为互不相容完备事件组（或称A, A2,…A n为样本空i=1间门的一个划分）。

§ 1.2 随机事件的概率概率：随机事件出现的可能性的量度。

概率论与数理统计

概率论与数理统计

一、事件的频率与概率
次数， µ n ( A ) : 事件 A 在 n 次可重复试验中出现的 次数，
称为 A 在 n 次试验中出现的频数
频率—— f n ( A) = 频率
µ n ( A)
n
.
频率有如下性质： 频率有如下性质：
1. 非负性：对任何事件 A，有 0 ≤ f n ( A) ≤ 1 非负性：
掷一骰子， 如： A =“掷一骰子，点数小于 4”， B =“掷一骰子，点数小于 5”， 掷一骰子， 则A ⊂ B.
显然对任何事件 A，有 Φ ⊂ A ⊂ Ω⊂ A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A = B .
2.事件的和（并） 事件的和（
两个事件 A, B 中至少有一个发生 (属于A或属于 B的样本点 构成的集合 )，称为事件 A 与 B 的和(并 ), 记作 A + B 或 A ∪ B .
显然， 显然，事件 A 与 A 可以构成一个完备事件 组
类似地，称可列个事件 A1 , A2 , L , An， 构成一个 L 类似地， 完备事件组， 完备事件组，如果满足 ：
(1)
( 2)
Ai A j = Φ
(i ≠ j )
∑A
i
i
=Ω
律 事件运算满足下列运算 ：
(1) 交换律 A + B = B + A AB = BA
设袋中有红, 黄各一球, 例: 设袋中有红,白,黄各一球,有放回抽取三 取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球, ),每次取一球 次(取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球,试 说明下列各组事件是否相容?若不相容, 说明下列各组事件是否相容?若不相容,说明是否 对立? 对立? 三次抽取, 三次抽取, (1) A=“三次抽取,颜色全不同”,B=“三次抽取, = 三次抽取 颜色全不同” = 三次抽取 相容 颜色不全同” 颜色不全同” (2) A=“三次抽取,颜色全同”,B=“三次抽取, 三次抽取, 三次抽取, = 三次抽取 颜色全同” = 三次抽取 颜色不全同” 颜色不全同” 不相容， 不相容，对立 三次抽取, 三次抽取, (3) A=“三次抽取,无红色球”,B=“三次抽取, = 三次抽取 无红色球” = 三次抽取 无黄色球” 无黄色球” 相容 三次抽取, (4) A=“三次抽取,无红色球也无黄色”, = 三次抽取 无红色球也无黄色” B=“三次抽取, 无白色球” 不相容，不对立 三次抽取, = 三次抽取 无白色球” 不相容，

概率论第一章

概率论第一章
例如：在检查某些圆柱形产品时， 例如：在检查某些圆柱形产品时，如果规定只有它的长度及直径 都合格时才算产品合格，那么“产品合格” 直径合格” 都合格时才算产品合格，那么“产品合格”与“直径合格”、 长度合格”等事件有着密切联系。 “长度合格”等事件有着密切联系。
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。

第一章 随机事件与概率


1.2.1 事件域（ σ - 域）
一个以集合为元素的集合称为集合类或集类，常用符号 A , B , C , D , F 等表示。特别 地，用 P (Ω ) 表示由 Ω 的全体子集组成的集类。集类的概念在概率论中也常用。 所谓“事件域”从直观上讲就是一个样本空间中某些子集组成的集合类，记为 F . 当样本空间是实数轴上的一个区间时， 可以人为的构造出无法测量其长度的子集， 这样 的子集被称为不可测集，如果将这些不可测集也看成是事件，那么这些事件将无概率可言， 为了避免这种现象，我们没必要将连续样本空间的所有子集都看成事件。
1.1.3 随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件 ,简称事件 ,常用 A, B, C ,… 表示. 事件既可以用集合表示，也可以用明白无误地语言描述。任一事件是相应样本空间的一 个子集。在概率论中常用一个长方形来表示样本空间 Ω ，用其他几何图形来表示事件 A ， 这类图形称为 venn 图。 例 1.1.2 掷一颗骰子的样本空间为 Ω = {1, 2,3, 4, 5, 6} 出现 1 点, 事件 A = ， “出现偶数点” 事件 B = “出现不大于 3 的偶数点” ，则 A = {2, 4, 6}, B = {2}. 今后，我们都是把事件当作样本空间 Ω 的子集来考虑，由样本空间 Ω 中的单个元素组 成的子集称为基本事件， 而样本空间 Ω 的最大子集 （即 Ω 本身） 称为必然事件， 样本空间 Ω 的最小子集（即空集 ∅ ）称为不可能事件。
3
ω i 表示出现 i 点。
（3）电视机寿命的样本空间为： Ω3 = {t , t ≥ 0}. （4）测量误差的样本空间为： Ω 4 = {x, −∞ < x < +∞}. 样本空间的元素可以是数也可以不是数。 此外样本空间可分为有限和无限两类， 在数学 处理上，将样本点的个数为有限个或可列个的情况归为一类，称为离散样本空间。将样本点 的个数为不可列无限个的情况归为另一类，称为连续样本空间。

第一章 随机事件及概率讲解

例1.2中A “ 编 号 为1或3” B “ 编 号 为 奇 数 ”
（2）事件的相等：若 A B 且 B A ， 则称A与B相等，记为A=B。
包含关系的性质： (a) A ; (b)A A (c)若A B且B C,则A C (d )若A B且B A,则A B
(3) n个元素的全排列数为 Anr n(n 1) 3 21 n!
c. 组合
（1）从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组 合，其总数为
C
r n


n r


Anr r!

n(n 1) (n r 1) r!

n! r!(n r)!
（2）若r1 r2 rk n，把n个不同的元素分成k个部分，
事件的交(积) ：事件A与B都发生，称
为A与B的积（交）事件，记为 A B
。
推广：
事件 A1, A2,, An 同时发生：
n
A1 A2 An Ai i 1
事件 A1, A2, 同时发生：

A1 A2 Ai i 1
5、差事件：事件A发生但B不发生 称为A与B之差，记为A-B
例2.9：某城市共发行A,B,C三种报纸，调 查表明居民家庭中订购C报的占30%，同 时订购A,B两报的占10%,同时订购A,C及 B,C两报的各占8%，5%，三报都订的占 3%.今在该城中任找一户，问该户(1)只订 A、B两报；(2)只订C报的概率各为多少？
第一章 概率论的基本概 念
1 理解随机事件的概念，了解样本空间的 概念，掌握事件之间的关系和运算。
2 理解概率的定义，掌握概率的基本性质， 并能应用这些性质进行概率计算。

概率论

第一章随机事件与概率§1.1 随机事件一、基本概念1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。

有的是人为设置，有的是必须经历。

通常所指的试验具有以下2个特征：（1）可以重复进行；（2）事先明确所有基本结果3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。

例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。

4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。

例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到◇”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。

5．样本点：即基本事件，记为。

随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。

6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。

如投币：Ω={正，反} 抽牌：Ω=随机事件都是样本空间的子集。

例1中抽到任何一张◇，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。

7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。

如投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。

抽牌：Ω=“抽到一张牌”。

8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。

如投币：=“正面朝上且反面朝上”。

抽牌：=“抽到一张电影票”。

例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。

二、事件的关系与运算事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。

1．包含关系（或）集合语言：A中的样本点，全在内。

概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率

S AB
推广：
（1）n个事件A1,A2, An至少有一个发生
所构成的事件，称为 A1, A2, An的和或并，
记为
n
A1 A2 An Ai
i1
当A1, A2, An互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
（2）可列无限多个事件 A1, A2, 至少有一个
（1kn)的不同排列总数为：
n n n nk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
C
k n

Ank k!

n! (n k)!k!

Ai
i1
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 AB 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与 互斥。
S
A
B
推广：n个事件 A1,A2, An互斥
A1, A2, An 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
四．事件的和（并） 事件A与B至少有一个发生所构成的事件， 称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
六. 对立事件（逆事件） 由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
（逆事件）。记为 A
A
A
AA ,A A S,A A.
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点 数大于2”={3，4，5，6}， 求 A B,C D,AE,E.
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第一章 随机事件
练习一
1、 设A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示：
（1） A 发生，B 、C 都不发生；
（2） 三个事件都发生；
（3） 三个事件都不发生；
（4） 三个事件不多于一个发生；
（5） A 、B 都发生，而C 不发生；
（6） A 、B 、C 中至少有一个发生；
（7） A 、B 、C 中不多于两个发生；
（8） A 、B 、C 中至少有两个发生；
2、 写出下列随机试验的样本空间：
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；
（2） 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；
（3） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就
停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查结果；
（4） 在单位圆内任取一点，记录它的坐标。

练习二
1、 设A 、B 、C 是三事件，且P(A)=P(B)=P(C)=
14，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=116，求事件A 、B 、C 全不发生的概率。

2、 已知()0.3,()0.4,()0.5,()P A P B P AB P B A B ===求。

3、 设某长途汽车，在起点站有20位乘客，客车要停10站，设每位乘客在任一站下车是等可能的，求没有三位及三位以上的乘客在同一车站下车的概率。

4、 设电话号码由8位数字组成（首位不为0）。

试求下列事件的概率：A ＝{8位数字不出现重复}，B ＝{8位数字不含0和8}。

5、 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。

6、 设20名运动员中有两名国家队员。

现将运动员任意平分为两组，求两组中各有一名国家运动员的概率。

7、 将4个优等生随机地分到12个班中去，设每个人分配到每班是等可能的。

求至少有两个人被分配在同一班的概率。

练习三
1、有5副不同尺寸的手套。

甲先任取一只，乙接着也任取一只，然后甲再任取一只，最后乙又任取一只。

试求（1）甲正好取到两只配对的手套的概率；（2）乙正好取到两只配对的手套的概率；（3）甲、乙两人取到手套都配对的概率。

2、在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小号
码为5的概率。

（2）求最大号码为5的概率。

3、设袋中有a只红球，b只白球。

每次从袋中任取一球，观察其颜色后放回，并放入c只与所取出的那只球
同色的球。

若在袋中连续取球三次，试求第三次才取到红球的概率。

4、某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号。

求他拨号不超过三次而接通所需要电话的概率，
若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少
5、为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A和B，每种系统单独使用时，其有效的概率分别为，，在
A失灵的条件下，B有效的概率为，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。

练习四
1、设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球。

今从甲袋中任意取一只球放入乙袋
中，再从乙袋中任意取一只球。

问取到白球的概率是多少
2、一个机床有1
3
的时间加工零件A，其余时间加工零件B。

加工零件A时，停机的概率时，加工零件B时，
停机的概率为，求这个机床停机的概率。

3、10个乒乓球中有7个新球，第一次随机地取出2个，用完后放回去，第二次又随机地取出2个。

（1）问
第二次取到几个新球的概率最大（2）如果发现第二次取到的是两个新球，计算第一次没有取到新球的概率。

4、有两箱同种类的零件。

第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。

今从两
箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。

求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。

（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

5、已知男子有是色盲患者，女子有是色盲患者。

今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲
患者，问此人是男性的概率是多少
6、将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为，而B被误收作A的概率为。

信息A与信息B传递的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少
7、设共有10张彩票，其中只有2张可获奖。

甲、乙、丙三人依次抽取彩票一张，规则如下：每人抽出后不
放回，但补入两张与所抽彩票不同的彩票。

问甲、乙、丙三人中谁中奖的概率最大。

练习五
1、设三台机器相互独立地运转着，又第一台、第二台、第三台机器不发生故障的概率依次为，，。

求这三台
机器全不发生故障及它们中至少有一台发生故障的概率。

2、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出地概率分别为111
534
，，。

问能将此密码译出地概率是多少
3、设每次射击时命中率为，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少有一次击中的概率不小于。