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04 挑战压轴题（解答题二）3．（2021·广东广州·统考中考真题）已知抛物线()2123y x m x m =-+++（1）当0m =时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点()1,1E --、()3,7F ，若该抛物线与线段EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．1．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD BC <，5AD =，2AB DC ==．⑴如图，P 为AD 上的一点，满足∠BPC=∠A ，求AP 的长；⑵如果点P 在AD 边上移动（点P 与点D 不重合），且满足∠BPE=∠A ，BC 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ．①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设CQ y =，CQ=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；②写CE=1时，写出AP 的长（不必写解答过程）5．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）平面直角坐标系xOy 中，对于任意的三个点A 、B 、C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的“三点矩形”．在点A ，B ，C 的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A ，B ，C 的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG ，矩形IJCH 都是点A ，B ，C 的“三点矩形”，矩形IJCH 是点A ，B ，C 的“最佳三点矩形”．如图2，已知()41M ，，()23，N -，点()P m n ，．(1)①若2m =，4n =，则点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_________；②若2m =，点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”的面积为24，求n 的值；(2)若点P 在直线25y x =-+上．①求点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m 的取值范围；②当点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P 的坐标；(3)若点()P m n ，在抛物线2y ax bx c =++上，当且仅当点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”面积为18时，21m -≤≤-或13m ≤≤，直接写出抛物线的解析式．6．如图，一条抛物线经过原点和点C （8，0），A 、B 是该抛物线上的两点，AB ∥x 轴，点A 坐标为（3，4），点E 在线段OC 上，点F 在线段BC 上，且满足∠BEF =∠AOC .（1）求抛物线的解析式；（2）若四边形OABE 的面积为14，求S △ECF ；（3）是否存在点E ，使得△BEF 为等腰三角形？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由.7．（2020下·天津和平·九年级统考阶段练习）已知点()4,8A -和点()2,B n 在抛物线2y ax =上．（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标，并求出n 的值；（Ⅱ）求点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ QB +最短，求此时点Q 的坐标；（Ⅲ）平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，点()2,0C -是x 轴上的定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A C CB ''+最短，求此时抛物线的解析式；②()4,0D -是x 轴上的定点，当抛物线向左平移到某个位置时，四边形A B CD ''的周长最短，求此时抛物线的解析式（直接写出结果即可）8．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）问题探究（1）请在图1中过点A 画一条直线，将ABC V 分成面积相等的两部分；（2）如图2，在ABCD Y 中，3AB =，4=AD ，点E 在AD 的延长线上，且2DE =，过点E 作直线l 分别交边CD ，AB 于点M ，N ．若直线l 将ABCD Y 的面积平分，则请求出CM 的长度；问题解决（3）某市为保护生态环境，方便市民观光游览，准备在秦岭北麓兴建一处“和谐观光园”，其形状为四边形ABCD ，如图3所示．在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，实际长度5AD =公里，9AB =公里，13BC =公里，15CD =公里，点P 在CD 上且5PD =公里，根据用地需求，需在BC 上确定点E ，将五边形ABEPD 作为特色植物繁育展示区，使其面积为四边形ABCD 总面积的一半，并在AB 上确定点F ，在PEF !中修建游客休息区，剩余部分作为花卉展示区，为方便游客游览，要求修建PE 、PF 、EF 三条观光道路的总长度最小．请问这样的PEF !是否存在？若存在，请求出点E 到点B 的距离及PEF !周长的最小值；若不存在，请说明理由．(1)求点B 的坐标；(2)如果抛物线212y x bx c =-++经过点(1)求证：2AG OE =；(2)若tan 21CAE AE ∠==，，求AG 的长；(3)如图2，若1AE =，设tan CAE ∠=①用含有x 的代数式表示OB 的长；②求y 关于x 的函数关系式．11．（2021上·安徽六安·九年级校考阶段练习）南浔区某校增设拓展课程之“开心农场”，如图，准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面，已知AB ⊥BC ，AB ＝3米，BC ＝1米）和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆，小型农场中间GH 也是用篱笆隔开），点D 可能在线段AB 上（如图1），也可能在线段BA 的延长线上（如图2），点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D 在线段AB 上时，①设DF 的长为x 米，请用含x 的代数式表示EF 的长；②若要求所围成的小型农场DBEF 的面积为9平方米，求DF 的长；(2)DF 的长为多少米时，小型农场DBEF 的面积最大？最大面积为多少平方米？12．（2022·陕西西安·西安市第三中学校考模拟预测）问题提出：(1)如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，P 是对角线AC 上的一点，连接PD ，将PD 绕点P 逆时针旋转90︒得到PM ，过点M 作MN AC ⊥于N ，求PN 的长．问题解决：(2)2022年3月我省局部发生疫情，为落实“科学防治、精准施策、分级管理”，我省某小区设计防疫区域，在道路CD 边固定柱子(点)Q ，道路AB 边确定一点P ，以PQ 为边，搭建正方形防疫区域PMNQ ，内部道路CD 上设点E 作为记录处，EPQ V 、EPM V 、EMN V 、ENQ V 分别为不同的防疫物资放置区域，设计图简化如图2所示，已知道路两边AB CD ∥，道路宽为6m ，Q 为CD 上一定点，P 为AB 上一动点，PE CD ⊥于E ．请问是否存在符合设计要求且面积最小的EMN V ？若存在，请求出面积最小值及此时QE 的长；若不存在，请说明理由．13．（2022·四川巴中·统考模拟预测）为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m．(1)当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为242m(2)当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？14．（2021·江苏常州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数()0=≠和二次函数y kx k（2）如图②，四边形ABCD 内接于O e ，AC 为直径，点B 是半圆AC 的三等分点（弧AB <弧BC ），连接BD ，若BD 平分ABC ∠，且8BD =，求四边形ABCD 的面积．（3）如图③，为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，其中一块圆形场地圆O ，设计人员准备在内接四边形ABCD 区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形ABCD 满足∠ABC=60°，AB=AD ，且AD+DC=10（其中24DC ≤≤ ），为让游客有更好的观体验，四边形ABCD 花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形ABCD ？若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由．16．（2021·上海宝山·统考一模）已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ，()1,3B -两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E 在线段BC 上，当CED OBD =∠∠时，求点 E 的坐标；（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．17．（2022上·河北沧州·九年级校考阶段练习）一名身高为1.8m 的篮球运动员甲在距篮筐（点B ）水平距离4m 处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方0.25m 处（点A ）出手，篮球在距离篮筐水平距离为1.5m 处达到最大高度3.5m ，以水平地面为x 轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；(2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？(3)已知运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3运动员乙在运动员甲与篮筐之间的什么范围内能在空中截住球？18．（2023下·浙江·八年级专题练习）在矩形ABCD 中，6cm AB =，12cm BC =，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm /秒的速度移动，同时，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm /秒的速度移动．如果P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时，PBQ V 的面积等于28cm ？(2)设运动开始后第t 秒时，五边形APQCD 的面积为范围；写出t 为何值时，S 的值最小．(3)当t =32时，试判断DPQ V 的形状．(4)计算四边形DPBQ 的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．(1)BD = ；(2)如图2，在运动过程中，连接OD ，将ODC V 沿OD 折叠，得到ODP V ，连接为 ，此时，AP 的值为 ；(3)如图3，在运动过程中，以O 为圆心，OC 的长为半径作半圆，交射线CB 于。
2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形1.在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线C2经过点A （﹣3，0），B（1，0），与y轴的交点为E．（1）求抛物线C2的函数解析式；（2）点P（m，n）（﹣3＜m＜0）是抛物线C2上的动点，设四边形OAPE的面积为S，求S与m的函数关系式，并求四边形OAPE的面积的最大值；（3）若y＝x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，在抛物线C2的对称轴上，是否存在一点M，使得以M，O，D为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x＝﹣1与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q在第三象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．4．已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，抛物线y＝﹣+bx+c过点A、C，且与x轴交于另一点B，在第一象限的抛物线上任取一点D，分别连接CD、AD，作DE⊥AC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）求△ACD面积的最大值；（3）若△CED与△COB相似，求点D的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y ＝﹣x2+bx+c过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABE面积的最大值．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由．6．如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．7．如图所示，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，（1）求cos∠CAO的值；（2）求直线AC的函数关系式；（3）如果有动点P是y轴上，且△OP A与△OAC相似，求P点坐标．8．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E 的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙M与y轴相切，切点为D．以C，D，M 为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、点C，与y轴交于点B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标，并求出△ABP周长的最小值；（3）在线段AC上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y＝kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB 上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x的代数式表示）；（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点M，连接AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，当△AHC周长最小时，求此时点H 坐标．（3）设对称轴与x轴交于点E，在对称轴上是否存在点G，使以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于A，B两点，与y 轴相交于点C，OA＝4，OB＝2，点D是抛物线上一动点，且在y轴的左侧，连接AD，BC，AC，CD．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线m：y＝kx+8（不经过点B），同时与x轴和y轴相交，若直线m与x轴和y轴围成的三角形与△BCO相似，求k的值；（3）连接OD，若△ACD的面积是△ABC的面积的时，求△DOC的面积．14．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+1与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点E是直线BC上一动点，求出△ADE周长的最小值；（3）点P，M分别是抛物线和直线BC上的动点，是否存在以P，M，C为顶点的三角形与△AOC相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，点A（0，2），B（1，0），连接AB并将线段AB绕点B顺时针旋转90°，点A 转到点C处．一抛物线经过C、B两点，与x轴交于另一点D（3.5，0）．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式．（2）在BC上方抛物线上是否存在一点P，使得四边形PBDC的面积最大？若存在，求出P的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由．（3）连接CD，①求证：CD∥AB；②直线CD上是否存在一点M，使得△MBC与△AOB相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，且4CO＝2BO＝OA＝4，点D是线段AB 上的动点，过点D作DF⊥x轴，交x轴于点F，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D的坐标是多少时，DE最长，最长是多少？（3）当DE最长时，在直线DE上是否存在点P，使得以P、A、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．17．已知抛物线与直线AC相交于A、C两点，且A（﹣2，0）、C（4，3）．（1）填空：b＝，c＝；（2）长度为的线段DE在线段AC上移动，点G与点F在上述抛物线上，且线段DG 与EF始终平行于y轴．①连接FG，求四边形DEFG的面积的最大值，并求出对应点D的坐标；②CH⊥AB，垂足为点H，线段DE在移动的过程中，是否存在点D，使△DEG与△ACH相似？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，试说明理由．18．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4的顶点为（1，），抛物线交x轴于A，B两点（A在B 的左边），交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，沿射线AC方向平移抛物线y＝ax2+bx+4，分别记A、C两点的对应点为E、F，在平移过程中，是否存在以A，E，B为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，请求出此时平移后的E的横坐标；若不存在，请简要说明理由；（3）如图3，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，求N点坐标．19．如图，二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a＞0）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左边），与y轴交于点C，点P是二次函数图象上一动点．（1）若点C的坐标为（0，﹣3），求二次函数及直线BC的函数关系式．（2）如图①，在（1）的条件下，若点P在第四象限，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，求线段PQ长的最大值．（3）如图②，若点P在第一象限，且△ABP有△ABC相似，求点P的坐标．20．如图，若抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，与y轴相交于点C，直线y＝﹣x+3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线位于第二象限上的一点，连接BP交线段AC于点Q，若△AQB与△AOC相似，求点P的坐标；（3）若点D为抛物线位于第一象限上的一点，过点D作x轴的垂线，垂足为F，直线DF交直线BC于点E，若△CDE为等腰三角形，请直接写出点D的坐标．参考答案：1．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；（2）根据∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函数得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入抛物线的解析式，可得结论．【解答】解：（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，∴A（3，0），把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，∴a＝1，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）；（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，由题意得：D（2+，1），∵B（0，1），C（2，﹣1），∴BC＝＝2，BD＝2+，∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，只能△CBP∽△DBC，∴，即，∴BP＝8﹣4，∴P（0，4﹣7）；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，由旋转得：∠CBD＝∠ABE，∴∠EBD＝∠ABC，∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝8，AC2＝12+12＝2，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，∴E（2m，m+1），∵点E在抛物线上，∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，4m2﹣9m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝（舍），∴E（4，3）．2．【分析】（1）设抛物线C2的函数解析式为y＝x2+bx+c，把A、B的坐标代入上式，即可求解；（2）S＝S△OAP+S△OEP＝（﹣m2﹣2m+3）+×3（﹣m）即可求解；（3）分、，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）设抛物线C2的函数解析式为y＝x2+bx+c，把A、B的坐标代入得，解得：，故抛物线C2的函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）连接OP，作PH⊥x轴，作PQ⊥y轴，把P（m，n）代入y＝x2+2x﹣3得n＝m2+2m ﹣3，由抛物线y＝x2+2x﹣3得：点E（0，﹣3），则S＝S△OAP+S△OEP＝（﹣m2﹣2m+3）+×3（﹣m）＝﹣（m+）2+，所以四边形OAPE的面积最大值是；（3）由y＝x2+2x﹣3得对称轴是直线x＝﹣1，所以D（﹣1，1），则DF＝OF＝1，则△DOF为等腰直角三角形，∴∠DOF＝∠ODF＝45°，OD＝，BD＝，∠BOD＝135°，∴点M只能在点D上方，∵∠BOD＝∠ODM＝135°，∴当时，以M、O、D为顶点的三角形与△BOD相似．①，则解得DM＝2，此时点M坐标为（﹣1，3）；②若，则解得DM＝1，此时点M坐标为（﹣1，2）；综上，点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．3．【分析】（1）利用对称性和待定系数法求函数关系式；（2）分类讨论三角形相似情况即可；（3）由已知，满足条件的Q点在以A、D、F（﹣1，﹣1）的圆E在第三象限的部分，连接CE交圆于Q，则CQ最小．【解答】解：（1）由已知，点A坐标为（﹣3，0）∵直线x＝﹣1为对称轴∴点C坐标为（1，0）∴抛物线解析式为：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3（2）存在由已知点D坐标为（﹣1，0）设点P的横坐标为（a，﹣a﹣1）当△AOB∽△ADP时∴a＝﹣1点P坐标为（﹣1，）当△AOB∽△APD时过点P作PE⊥x轴于点E则△APE∽△APDE∴PE2＝AE•ED∴（﹣a﹣1）2＝（a+3）（﹣a﹣1）解得a1＝﹣3（舍去），a2＝﹣∴点P坐标为（﹣，﹣）（3）存在，CQ最小值为如图，取点F（﹣1，﹣1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，﹣）为圆心．∵tan∠AFD＝2∴（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点．连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值此时CE＝，⊙E半径为∴CQ最小值为4．【分析】（1）根据题意求得点A、C的坐标，将它们分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于点G，交AC于点F．利用三角形的面积公式得到二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答；（3）需要分类讨论：①当∠DCE＝∠BCO时，∠DCE＝∠OAC；②当∠DCE＝∠CBO 时，∠DCE＝∠OCA．根据相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度，从而得到点D的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，∴A（4，0），C（0，2），OA＝4，OC＝2，（1分）将A（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣+bx+c中，解得，∴y＝﹣+x+2；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于点G，交AC于点F，设D（t，﹣t2+t+2），其中0＜t＜4，则F（t，﹣t+2）∴DF＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2tS△ACD＝S△CDF+S△ADF＝DF•OG+DF•AG＝DF•（OG+AG）＝DF•OA＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4．∴当t＝2时，S△ACD最大＝4．（3）设y＝0，则﹣t2+t+2＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，∴B（﹣1，0），OB＝1∵tan∠OCB＝＝，tan∠OAC＝＝＝∴∠OCB＝∠OAC∴∠OCA＝∠OBC；①当∠DCE＝∠BCO时，∠DCE＝∠OAC，∴CD∥OA，点D的纵坐标与点C纵坐标相等，令y＝2，则﹣t2+t+2＝2，解得x1＝0，x2＝3，∴D1（3，2）；②如图2，当∠DCE＝∠CBO时，∠DCE＝∠OCA，将△OCA沿AC翻折得△MCA，点O的对称点为点M，过点M作MH⊥y轴于点H，AN⊥MH于点N，则CM＝CO＝2，AM＝AO＝4，设HM＝m，MN＝HN﹣HM＝OA﹣HM＝4﹣m，由∠AMC＝∠AOC＝∠ANM＝∠MHC＝90°易证△CHM∽△MNA，且相似比＝，∴AN＝2MH＝2m，CH＝MN＝2﹣m，在Rt△CMH中，由勾股定理得：m2+（2﹣m）2＝22，解得m1＝0，m2＝∴MH＝，OH＝，M（，）．设直线CM的表达式为y＝kx+n，则，解得，∴y＝x+2，由解得，∴D2（，）综上所述，点D的坐标为D1（3，2）、D2（，）．5．【分析】（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，﹣m2﹣3m+4），从而得出OC＝﹣m、OF＝﹣m2﹣3m+4、BF＝﹣m2﹣3m，根据S△ABE＝S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF 得出S＝﹣2（m+2）2+8，据此可得答案；（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．【解答】解：（1）在直线解析式y＝x+4中，令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得：b＝﹣3，c＝4，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4．（2）如图，连接AE、过点E作EF⊥y轴于点F，设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，﹣m2﹣3m+4），则OC＝﹣m，OF＝﹣m2﹣3m+4，∵OA＝OB＝4，∴BF＝﹣m2﹣3m，则S△ABE＝S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF＝×（﹣m+4）（﹣m2﹣3m+4）﹣×4×4﹣×（﹣m）×（﹣m2﹣3m）．＝﹣2m2﹣8m＝﹣2（m+2）2+8，∵﹣4＜m＜0，∴当m＝﹣2时，S取得最大值，最大值为8．即△ABE面积的最大值为8．（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC＝﹣m，CD＝AC＝4+m，BD＝OC＝﹣m，则D（m，4+m）．∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似∴△DBE必为等腰直角三角形．i）若∠BED＝90°，则BE＝DE，∵BE＝OC＝﹣m，∴DE＝BE＝﹣m，∴CE＝4+m﹣m＝4，∴E（m，4）．∵点E在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，∴4＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合题意，舍去）或m＝﹣3，∴D（﹣3，1）；ii）若∠EBD＝90°，则BE＝BD＝﹣m，在等腰直角三角形EBD中，DE＝BD＝﹣2m，∴CE＝4+m﹣2m＝4﹣m，∴E（m，4﹣m）．∵点E在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，∴4﹣m＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合题意，舍去）或m＝﹣2，∴D（﹣2，2）．综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．6．【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣4），再展开可得到﹣4a＝2，解得a＝﹣，然后写出抛物线解析式；（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P（t，﹣t2+t+2），则M（t，﹣t+2），用t表示出PM＝﹣t2+2t，再证明△PQM∽△BOC，利用相似比得到PQ＝﹣t2+t，然后利用二次函数的性质解决问题；②讨论：当∠PCQ＝∠OBC时，△PCQ∽△ABC，PC∥x轴，利用对称性可确定此时P点坐标；当∠CPQ＝∠OBC时，△CPQ∽△ABC，则∠CPQ＝∠MPQ，所以△PCM为等腰三角形，则PC＝PM，利用两点间的距离公式得到t2+（﹣t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，然后解方程求出t得到此时P点坐标．【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），即y＝ax2﹣3ax﹣4a，则﹣4a＝2，解得a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，BC＝＝2，当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2），设直线BC的解析式为y＝mx+n，把C（0，2），B（4，0）得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P（t，﹣t2+t+2），则M（t，﹣t+2），∴PM＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，∵∠NBM＝∠NPQ，∴△PQM∽△BOC，∴＝，即PQ＝，∴PQ＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，∴当t＝2时，线段PQ的最大值为；②当∠PCQ＝∠ABC时，△PCQ∽△ABC，此时PC∥OB，点P和点C关于直线x＝对称，∴此时P点坐标为（3，2）；当∠CPQ＝∠OBC时，△CPQ∽△ABC，∵∠OBC＝∠NPQ，∴∠CPQ＝∠MPQ，而PQ⊥CM，∴△PCM为等腰三角形，∴PC＝PM，∴t2+（﹣t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，解得t＝，此时P点坐标为（，），综上所述，满足条件的P点坐标为（3，2）或（，）．7．【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，可以求得A、B、C三点的坐标，从而可以求得OA、OC、AC的长，进而可以得到cos∠CAO 的值；（2）根据点A、C两点的坐标，可以求得直线AC的函数关系式；（3）根据第三问的条件，可知符合要求的三角形OP A存在三种情况，然后分别画出相应的图形，即可求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，∴x2﹣4x+3＝0，得x＝1或x＝3，x＝0时，y＝3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴OA＝1，OC＝3，∴，∴cos∠CAO＝；（2）设直线AC的解析式为：y＝kx+b，∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），∴解得k＝﹣3，b＝3．即直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3；（3）如果有动点P是y轴上，且△OP A与△OAC相似，则有如下三种情况，第一种情况如下图1所示，当∠OP A＝∠OCA，∠AOC＝∠AOP时，△OP A∽△OAC，∴，∵点C的坐标为（0，3），∴OP＝OC＝3，∴点P的坐标为（0，﹣3）；第二种情况如下图2所示，点P位于y轴正半轴，当∠OP A＝∠OAC，∠AOC＝∠AOP时，△OP A∽△OAC，∴，∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，OC＝3，即点P的坐标为（0，）；第三种情况如下图3所示，点P位于y轴负半轴，当∠OP A＝∠OAC，∠AOC＝∠AOP时，△OP A∽△OAC，∴，∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，OC＝3，∴，即点P的坐标为（0，﹣）．由上可得，点P的坐标为：（0，﹣3），（0，），（0，﹣）．8．【分析】（1）根据题意把点A（﹣1，0），B（2，0）代入二次函数解析式，得到b和c 的二元一次方程组，求出b和c的值即可；（2）设E（a，b），且a＞0，b＞0，首先用a和b表示出S四边形ABEC，再结合点E在二次函数的图象上，得到S四边形ABEC＝﹣a2+2a+3，即可求解；（3）首先画出图形，以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，得到，或，根据n的取值范围求出m的值即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）如图1．∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2与y轴相交于点C，∴C（0，2）．设E（a，b），且a＞0，b＞0．∵A（﹣1，0），B（2，0），∴OA＝1，OB＝2，OC＝2．则S四边形ABEC＝＝1+a+b，∵点E（a，b）是第一象限的抛物线上的一个动点，∴b＝﹣a2+a+2，∴S四边形ABEC＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，当a＝1时，b＝2，∴当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1，2），且四边形ABEC的最大面积为4．（3）如图2．设M（m，n），且m＞0．∵点M在二次函数的图象上，∴n＝﹣m2+m+2．∵⊙M与y轴相切，切点为D，∴∠MDC＝90°．∵以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴，或．①当n＞2时，或，解得m1＝0（舍去），m2＝，或m3＝0（舍去），m4＝﹣1（舍去）．②同理可得，当n＜2时，m1＝0（舍去），m2＝，或m3＝0（舍去），m4＝3．综上，满足条件的点M的坐标为（，），（，），（3，﹣4）．9．【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后判断出平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ACP的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式Δ＝0时方程只有一个根求解即可；（3）设点E的横坐标为c，表示出BE、QE，然后根据相似三角形对应边成比例，分OA 和BE，OA和QE是对应边两种情况列出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）令x＝0，则y＝2，∴点C（0，2），设直线AC的解析式为y＝kx+m（k≠0），则，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+2，由三角形的面积可知，平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ACP的面积最大，此时设过点P的直线为y＝x+n，联立，消掉y得，﹣x2﹣x+2＝x+n，整理得，2x2+6x﹣6+3n＝0，△＝62﹣4×2×（﹣6+3n）＝0，解得n＝，此时x1＝x2＝﹣＝﹣，y＝×（﹣）+＝，∴点P（﹣，）时，△ACP的面积最大；（3）存在点Q（﹣2，2）或（﹣，）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC 相似．理由如下：设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为（c，﹣c2﹣c+2），BE＝1﹣c，①OA和BE是对应边时，∵△BEQ∽△AOC，∴＝，即＝，整理得，c2+c﹣2＝0，解得c1＝﹣2，c2＝1（舍去），此时，﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，点Q（﹣2，2）；②OA和QE是对应边时，∵△QEB∽△AOC，∴＝，即＝，整理得，4c2﹣c﹣3＝0，解得c1＝﹣，c2＝1（舍去），此时，﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝，点Q（﹣，），综上所述，存在点Q（﹣2，2）或（﹣，）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．10．【分析】（1）利用A（﹣1，0）、点B（0，﹣5）代入解析式求出即可；（2）利用轴对称图形的性质得出P点位置，进而得出直线BC的解析式，进而求出P点坐标；（3）利用相似三角形的性质利用对应边不同分别得出E点坐标即可．【解答】解：（1）根据题意，得，解得，故二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）令y＝0，得二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象与x轴的另一个交点坐标C（5，0）．由于P是对称轴x＝2上一点，连接AB，由于AB＝＝，要使△ABP的周长最小，只要P A+PB最小．由于点A与点C关于对称轴x＝2对称，连接BC交对称轴于点P，则P A+PB＝BP+PC＝BC，根据两点之间，线段最短，可得P A+PB的最小值为BC＝5，故△ABP的周长最小值为：+5．因为BC与对称轴x＝2的交点P就是所求的点．设直线BC的解析式为y＝kx+b，根据题意，可得：，解得，所以直线BC的解析式为y＝x﹣5．因此直线BC与对称轴x＝2的交点坐标是方程组的解，解得，所求的点P的坐标为（2，﹣3）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（5，0），∴AC＝6，∵P（2，﹣3），C（5，0），∴PC＝3，∵B（0，﹣5），C（5，0），∴BC＝5，当△PEC∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：EC＝5，∴E（0，0）；当△EPC∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：EC＝3.6，∴OE＝5﹣3.6＝1.4，故E点坐标为：（1.4，0），综上所述：以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：（0，0），（1.4，0）．11．【分析】（1）首先设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，由A点坐标为（3，0），则可将A点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式；（2）首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后由P在直线上，将x代入直线方程，即可求得P的纵坐标，又由E在抛物线上，则可求得E的纵坐标，它们的差即为PE 的长；（3）分别从当∠EDP＝90°时，△AOB∽△EDP与当∠DEP＝90°时，△AOB∽△DEP 两种情况去分析，注意利用相似三角形的对应边成比例等性质，即可求得答案，注意不要漏解．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵A（3，0）在抛物线上，∴0＝a（3﹣1）2﹣2∴a＝，∴y＝（x﹣1）2﹣2，（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，），设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣．∵P为线段AB上的一个动点，∴P点坐标为（x，x﹣）．（0＜x＜3）由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，x2﹣x﹣），∵0＜x＜3，∴PE＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，（3）由题意可知D点横坐标为x＝1，又D点在直线AB上，∴D点坐标（1，﹣1）．①当∠EDP＝90°时，△AOB∽△EDP，∴．过点D作DQ⊥PE于Q，∴x Q＝x P＝x，y Q＝﹣1，∴△DQP∽△AOB∽△EDP，∴，又OA＝3，OB＝，AB＝，又DQ＝x﹣1，∴DP＝（x﹣1），∴，解得：x＝﹣1±（负值舍去）．∴P（﹣1，）（如图中的P1点）；②当∠DEP＝90°时，△AOB∽△DEP，∴．由（2）PE＝﹣x2+x，DE＝x﹣1，∴，解得：x＝1±，（负值舍去）．∴P（1+，﹣1）（如图中的P2点）；综上所述，P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）．12．【分析】（1）运用待定系数法把点A、B、C的坐标代入求解即可；（2）连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH＝BH+CH＝BC最小，故△AHC 周长最小，运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，即可求得答案；（3）当以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似时，分两种情况：①△BEG∽△AOC，②△GEB∽△AOC，分别利用相似三角形性质建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵点A（﹣1，0）和点B（3，0）关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH＝BH+CH＝BC最小，如图，∴AC+AH+CH＝AC+BH最小，即△AHC周长最小，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点H的坐标为（1，2）；（3）存在．理由如下：由题意得：OA＝1，OC＝3，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴E（1，0），设G（1，m），则EG＝|m|，∵B（3，0），∴BE＝3﹣1＝2，当以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似时，①△BEG∽△AOC，∴＝，即＝，∴|m|＝6，解得：m＝±6，∴点G的坐标为（1，6）或（1，﹣6）；②△GEB∽△AOC，∴＝，即＝，∴|m|＝，解得：m＝±，∴点G的坐标为（1，）或（1，﹣）；综上所述，以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似时，点G的坐标为（1，6）或（1，﹣6）或（1，）或（1，﹣）．13．【分析】（1）由OA和OB的长得到点A和点B的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）先求得点C的坐标得到OC的长，然后求得直线m与坐标轴的两个交点的坐标，最后利用相似三角形的性质分类讨论求得k的值；（3）先求得直线AC的解析式，过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，设点D的坐标得到点E的坐标，从而表示出△ACD的面积，再求得△ABC的面积，从而列出方程求得点D 的坐标，最后求得△COD的面积．【解答】（1）解：∵OA＝4，OB＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），将点A和点B的坐标代入y＝ax2+bx+8，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+8．（2）对y＝﹣x2﹣2x+8，令x＝0，得y＝8，∴点C的坐标为（0，8），∴OC＝8，对直线y＝kx+8，当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝﹣，∴直线y＝kx+8与y轴的交点为点C（0，8），与x轴的交点为（﹣，0），记为点M，∴OM＝|﹣|，如图1，当△MOC∽△BOC时，∴＝1，∴MO＝BO＝2，∴M1（﹣2，0），代入y＝kx+8中，得﹣2k+8＝0，解得：k＝4；当△MOC∽△COB时，，∴＝＝4，∴MO＝32，∴M2（﹣32，0），M3（32，0），分别代入y＝kx+8中，得﹣32k+8＝0或32k+8＝0，解得：k＝或k＝﹣；综上所述，k＝4或k＝或k＝﹣．（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝2x+8，如图2，当点D在AC之间的抛物线上时，过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2﹣2x+8），则点E的坐标为（x，2x+8），∴DE＝﹣x2﹣2x+8﹣（2x+8）＝﹣x2﹣4x，∴S△ACD＝S△AED+S△ECD＝＝，∴S△ACD＝＝﹣2x2﹣8x，∵OA＝4，OB＝2，OC＝8，∴S△ABC＝＝24，又∵S△ACD＝S△ABC，∴﹣2x2﹣8x＝×24，解得：x＝﹣2+或x＝﹣2﹣，∵S△COD＝，∴S△COD＝＝8﹣4或S△COD＝＝8+4；如图3，当点D在点A左侧抛物线上时，过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2﹣2x+8），则点E的坐标为（x，2x+8），∴DE＝2x+8﹣（﹣x2﹣2x+8）＝x2+4x，∴S△ACD＝S△ECD﹣S△AED＝＝，∴S△ACD＝＝2x2+8x，∵OA＝4，OB＝2，OC＝8，∴S△ABC＝＝24，又∵S△ACD＝S△ABC，∴2x2+8x＝×24，解得：x＝﹣2﹣或x＝﹣2+（舍），∵S△COD＝，∴S△COD＝＝8+4；综上所述，△COD的面积为8﹣4或8+4或8+4．14．【分析】（1）把A（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1即可求解；（2）作A点关于直线BC的对称点A'，连接A'D交BC于点E，连接AE，A'B，当A'、D、E三点共线时，△ADE的周长最小，求出A'（3，﹣2），再求A'D＝，AD＝，即可求解；（3）分三种情况讨论：①当∠CMP＝90°时，过点M作MG⊥y轴交于点G，过点P作PH⊥y轴交于点H，可得△GCM∽△HPC，设M（t，t﹣3），当∠CPM＝∠ACO时，＝，则P（3t，﹣3﹣3t），可求P（5，﹣8）；当∠CMP＝∠ACO时，＝3，可求P（5，﹣8）；②当∠CMP＝90°时，过点M作EF∥x轴，交y轴于点E，过点P作PF ⊥EF交于点F，证明△ECM∽△FMP，设M（t，t﹣3），则P（4t，﹣2t﹣3），可求P （，﹣）；当∠CMP＝∠OCA时，＝3，则P（t，t﹣3），可求P（，﹣）；③当∠CPM＝90°时，过点P作KL⊥y轴交于点L，过点M作MK⊥LK交于K 点，证明△CLP∽△PKM，设P（m，﹣m2+4m﹣3），则M（3m2﹣11m，﹣m2+7m﹣3），可求P（，﹣）；当∠MCP＝∠OCA时，＝3，M（m2﹣m，﹣m2+m﹣3），可求P（，﹣）．【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得：a+1＝0，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3，在y＝﹣x2+4x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3，作A点关于直线BC的对称点A'，连接A'D交BC于点E，连接AE，A'B，∴AE+DE+AD＝A'E+DE+AD≥A'D+DE，当A'、D、E三点共线时，△ADE的周长最小，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∴∠ABA'＝90°，∵AB＝A'B，∴A'（3，﹣2），∵D（2，1），∴A'D＝，AD＝，∴△ADE周长的最小值为+；（3）存在以P，M，C为顶点的三角形与△AOC相似，理由如下：∵A（1，0），C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴tan∠OCA＝，①当∠CMP＝90°时，过点M作MG⊥y轴交于点G，过点P作PH⊥y轴交于点H，∴∠GCM+∠HCP＝90°，∵∠GCM+∠GMC＝90°，∴∠HCP＝∠GMC，∴△GCM∽△HPC，∴＝＝，设M（t，t﹣3），∴GM＝t，GC＝t，当∠CPM＝∠ACO时，＝，∴CH＝3t，HP＝3t，∴P（3t，﹣3﹣3t），∴﹣3﹣3t＝﹣9t2+12t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝，∴P（5，﹣8）；当∠CMP＝∠ACO时，＝3，∴CH＝t，HP＝t，∴P（t，﹣3﹣t），∴﹣3﹣t＝﹣t2+t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝15，∴P（5，﹣8）；②当∠CMP＝90°时，过点M作EF∥x轴，交y轴于点E，过点P作PF⊥EF交于点F，∴∠EMC+∠FMP＝90°，∵∠EMC+∠ECM＝90°，∴∠FMP＝∠ECM，∴△ECM∽△FMP，∴＝＝，设M（t，t﹣3），∴EM＝EC＝t，当∠CPM＝∠OCA时，＝，∴MF＝FP＝3t，∴P（4t，﹣2t﹣3），∴﹣2t﹣3＝﹣16t2+16t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝，∴P（，﹣）；当∠CMP＝∠OCA时，＝3，∴MF＝FP＝t，∴P（t，t﹣3），∴﹣t﹣3＝﹣t2+t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝，∴P（，﹣）；③如图3，当∠CPM＝90°时，过点P作KL⊥y轴交于点L，过点M作MK⊥LK交于K点，∴∠CPL+∠MPK＝90°，∵∠CPL+∠PCL＝90°，∴∠MPK＝∠PCL，∴△CLP∽△PKM，∴＝＝，设P（m，﹣m2+4m﹣3），∴LP＝m，CL＝m2﹣4m，当∠CMP＝∠OCA时，＝，∴MK＝3m，PK＝3m2﹣12m，∴M（3m2﹣11m，﹣m2+7m﹣3），∴﹣m2+7m﹣3＝3m2﹣11m﹣3，解得m＝0（舍）或m＝，∴P（，﹣）；当∠MCP＝∠OCA时，＝3，∴MK＝m，PK＝m2﹣m，∴M（m2﹣m，﹣m2+m﹣3），∴﹣m2+m﹣3＝m2﹣m﹣3，解得m＝0（舍）或m＝，∴P（，﹣）；综上所述：P点坐标为（5，﹣8）或（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．15．【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，先求得点C的坐标，然后由点B和点D的坐标设函数的交点式，再将点C的坐标代入求得函数的解析式即可；（2）过点P作PH⊥x轴，交BC于点H，先求得直线BC的解析式，再设点P的坐标，得到点H的坐标，然后求得△PBC的面积，结合点B、C、D求得△BCD的面积，从而求得四边形PBDC的面积，最后由二次函数的性质求得四边形PBDC的面积最大值，及点P的坐标；（3）①分别求得tan∠ABO和tan∠CDE的大小，从而得到∠ABO＝∠CDE，然后得证CD∥AB；②由∠ABO＝∠CDE，∠ABC＝90°得到BC⊥CD，即∠BCD＝90°，由旋转得BC＝AB，然后分情况讨论，（i）△BCM∽△AOB；（ii）△BCM∽△BOA，先由相似三角形的性质求得CM的长，再求得直线CD的解析式，设点M的坐标，借助两点间的距离公式求得点M的坐标即可．【解答】（1）解：如图1，过点C作CE⊥x轴于点E，则∠BEC＝∠AOB＝90°，由旋转得，∠ABC＝90°，AB＝CB，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠CBE＝∠OAB，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO，CE＝OB，∵点A（0，2），B（1，0），∴BE＝2，CE＝1，∴点C的坐标为（3，1），由点B（1，0），点D（3.5，0）可设函数的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3.5），将点C（3，1）代入，得a（3﹣1）×（3﹣3.5）＝1，解得：a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3.5）＝﹣x2+x﹣．（2）解：过点P作PH⊥x轴，交BC于点H，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，设点P的坐标为（x，﹣x2+x﹣），则点H的坐标为（x，x﹣），∴PH＝﹣x2+x﹣﹣x+＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∵S△PBC＝S△PBH+S△PCH＝，∴S△PBC＝×2×[﹣（x﹣2）2+1]＝﹣（x﹣2）2+1，∵B（1，0），C（3，1），D（3.5，0），∴BD＝2.5，CE＝1，∴S△BCD＝＝，∴S四边形PBDC＝S△PBC+S△BCD＝﹣（x﹣2）2+1+＝﹣（x﹣2）2+，∴当x＝2时，四边形PBDC的面积最大值为，此时，点P的坐标为（2，）．（3）①证明：由（1）得，AO＝BE＝2，BO＝CE＝1，BD＝2.5，∴tan∠ABO＝，ED＝BD﹣BE，2.5﹣2＝0.5，∴tan∠CDE＝＝2，∴∠ABO＝∠CDE，∴CD∥AB．②解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，由①得，∠ABO＝∠CDB，∴∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠BCD＝90°，由旋转得，BC＝AB＝＝，设直线CD的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+7，设点M（x，﹣2x+7），则CM＝，如图2，（i）当△BCM∽△AOB时，，∴，∴CM＝，∴＝，解得：x1＝，x2＝，∴点M1（，2），M2（，0）；（ii）当△BCM∽△BOA时，，∴，∴CM＝2，∴＝2，解得：x3＝1，x4＝5，∴点M3（1，5），M4（5，﹣3）；综上所述，当点M的坐标为（，2）或（，0）或（1，5）或（5，﹣3）时，△MBC 与△AOB相似．16．【分析】（1）根据线段关系求出A点、B点、C点的坐标，用待定系数法求出解析式即可；（2）求出直线AB的解析式，设出D点坐标，得出DE的表达式，根据二次函数的性质求出最大值即可；（3）根据（2）设出P点的坐标，分请款根据线段比例关系求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵4CO＝2BO＝OA＝4，∴OA＝4，OB＝2，OC＝1，即A（4，0），B（0，2），C（﹣1，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）由（1）知A（4，0），B（0，2），设直线AB的解析式为y＝kx+d，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，设D（t，﹣t+2），则E（t，﹣t2+t+2），∴DE＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，∴当t＝2时DE有最大值，最大值为2，即D点坐标为（2，1）时，DE有最大值为2；（3）存在，由（2）知F点和P点的横坐标为2，OA＝4，OB＝2，OC＝1，∴F（2，0），AB＝＝2，BC＝＝，AC＝4+1＝5，。
2023年中考数学高频压轴题突破——旋转与等边三角形综合一、单选题1．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD。
下列结论一定正确的是()A．△ABD=△E B．△CBE=△CC．AD=DE D．△ADB是等边三角形2．如图，在长方形AGFE中，AEF绕点A旋转，得到ABC，使B，A，G三点在同一条直线上，连接CF，则ACF是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形3．如图，在等边三角形ABC 中，D是边AC上一点，连接BD，将ΔBCD绕点B逆时针旋转60°，得到ΔBAE，连接ED．若BC=5,BD=4.5，则下列结论错误的是()A．AE△BC B．△ADE=△BDCC．ΔBDE是等边三角形D．ΔADE的周长是9.54．如图，P为正方形ABCD内的一点，△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBE，则△BPE是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，△ACB=90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，对于下列说法不一定正确的是（）A．△EAC＝△B B．△EDC是等腰直角三角形C．2222BD AD CD+=D．△AED=△EDC6．如图，在等边三角形ABC中，点D是AC边上的一点，连接BD，将BCD绕点B逆时针旋转60°，得到BAE，连接ED，若BC a=，BD b=，则下列结论正确的有（）①AE BC；②ADE BDC∠=∠；③ADE的周长等于()a b+；④BDE是等边三角形A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④二、填空题7．把18个边长都为1的等边三角形如图拼接成平行四边形，且其中6个涂上了阴影，现在，可以旋转、翻折或平移某一个阴影等边三角形到某一个空白的等边三角形处，使新构成的阴影部分图案是轴对称图形，共可得种轴对称图形.8．如图，已知等边三角形ABC 绕点B 顺时针旋转60°得△BCD ，点E 、F 分别为线段AC 和线段CD 上的动点，若AE=CF ，下列结论正确的有 个．①四边形ABDC 为菱形；②△ABE△△CBF ；③△BEF 为等边三角形；④△CFB=△CGE ；⑤若CE=3，CF=1，则BG=134． 9．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，△ADB ＝90°，将△ABD 绕点A 旋转得到△ACE ，延长BD 交CE 于点G ，连接ED 并延长交BC 于点F.则下列结论：①△ADE 是等边三角形；②四边形ADGE 是轴对称图形；③AC ，EF 互相平分；④BF ＝CF.其中正确的有 .（填序号）10．已知，P 为等边三角形ABC 内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，则S △ABC ＝.11．在平面直角坐标系中，AOB 是等边三角形，点 B 的坐标为(2，0)，将AOB 绕原点逆时针旋转90︒ ，则点 A ' 的坐标为 .12．如图，点O 是等边△ABC 内一点，△AOB=110°，△BOC=α.以OC 为一边作等边三角形OCD ，连接AD ，当△AOD 是等腰三角形时，求α的角度为三、解答题13．如图，在等边三角形 ABC 内有一点P ，且 2PA = ， 3PB =， 1PC = ，求 BPC ∠ 的度数和等边三角形 ABC 的边长．14．如图，四边形ABCD 是正方形．△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD(不含B ，D 点)上任意一点，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接 EN ，AM 、CM ．请判断线段 AM 和线段 EN 的数量关系，并说明理由．15．如图，点D 在等边三角形ABC 的边BC 上，将△ABD 绕点A 旋转，使得旋转后点B 的对应点为点C ．小明是这样做的：如图，过点C画BA 的平行线l ，在l上取CE BD =，连接AE ，则△ACE 即为旋转后的图形．你能说明小明这样做的道理吗？16．请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形 ABC 内有一点 P ，且 2PA = ， 3PB =， 1PC = .求 BPC ∠ 度数的大小和等边三角形 ABC 的边长. 李明同学的思路是：将 BPC 绕点 B 顺时针旋转 60︒ ，画出旋转后的图形（如图2）.连接 PP ' ，可得P PB ' 是等边三角形， PP A ' 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）.所以 150AP B ︒∠=' ，而 BPC ∠ 150AP B ︒=='∠ .进而求出等边ABC 的边长为7，问题得到解决.请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形 ABCD 内有一点 P ，且PA 5=， BP 2=， PC 1= .求 BPC ∠ 度数的大小和正方形 ABCD 的边长.17．已知：如图，将△ADE 绕点A 顺时针旋转得到△ABC ，点E 对应点C 恰在D 的延长线上，若BC△AE.求证：△ABD 为等边三角形.18．在平面直角坐标系中， O 为原点，点 (3,0)A - ，点 3)B ．以 AB 为一边作等边三角形ABC ，点 C 在第二象限．（1）如图①，求点 C 的坐标； （2）将AOB 绕点 B 顺时针旋转得 A O B '' ，点 ,A O 旋转后的对应点为 ,A O '' ．①如图②，当旋转角为30°时， ,A B A O ''' 与 AC 分别交于点 ,,E F A O '' 与 AB 交于点 G ，求A OB '' 与 ABC 公共部分面积 S 的值；②若 P 为线段 CO ' 的中点，求 AP 长的取值范围(直接写出结果即可)．19．已知：如图，在 ABC ∆ 中， 120BAC ∠=︒ ，以 BC 为边向形外作等边三角形 BCD ∆ ，把ABD ∆ 绕着点D 按顺时针方向旋转 60︒ 后得到 ECD ∆ ，若 3AB = ， 2AC = ，求 BAD ∠ 的度数与 AD 的长.20．将等边三角形 ABC 如图放置在平面直角坐标系中， 8AB = ， E 为线段 AO 的中点，将线段AE 绕点 A 逆时针旋转60°得线段 AF ，连接 EF．（△）如图1，求点 E 的坐标；（△）在图1中，EF与AC交于点G，连接EC，N为EC的中点，连接NG，求线段NG的长．请你补全图形，并完成计算；（△）如图2，将AEF绕点A逆时针旋转，M为线段EF的中点，N为线段CE的中点，连接MN，请直接写出在旋转过程中MN的取值范围．答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵△BDE是由△BDE旋转而来的，∴AB=DE，△ABC=△DBE，即△ABD+△CBD=△CBE+△CBD，∴△ABD=△CBE=1802CBD︒-∠=60°，∴△ADB是等边三角形；∵△C和△E的度数不确定；△DBE=120°，∴DE>BD，则DE>AD，故ABC错误，D正确；故答案为：D.【分析】根据旋转图形的性质得出AB=DE，△ABC=△DBE，结合旋转角为60°，推出△ADB是等边三角形则可判断D；由于△DBE=120°为钝角，可求出DE>AD，则可判断C；由于△C和△E的度数不确定，而△ABD=△CBE=60°，则可判断AB.2．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形AGFE为矩形，∴△GAE＝90°，△EAB＝90°；由题意，△AEF绕点A旋转得到△ABC，∴AF＝AC；△FAE＝△CAB，∴△FAC＝△EAB＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形.故答案为：D.【分析】根据矩形的性质得出△GAE＝90°，△EAB＝90°，根据旋转的性质证得AF＝AC，△FAE＝△CAB，得到△FAC＝△EAB＝90°，即可解决问题.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴△ABC=△C=60°，∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴△EAB=△C=△ABC=60°，∴AE△BC，A符合题意；∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=5，∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD，BD=BE，△EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=5，∵△EBD=60°，BE=BD，∴△BDE是等边三角形，C符合题意；∴DE=BD=4.5，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9.5，D符合题意；而选项B没有条件证明△ADE=△BDC，∴结论错误的是B，故答案为：B．【分析】首先由旋转的性质可知△EBD=△ABC=△C=60°，所以看得AE△BC，先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由△EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=4.5，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9.5，问题得解．4．【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBE，其旋转中心是点B，旋转角度是90度，∴△PBE=90°，BP=BE，∴△BPE是等腰直角三角形．故选B．【分析】根据旋转的性质，△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBE，则可知旋转角度是90度、BP=BE，故△BPE形状可求．5．【答案】D【解析】【解答】解：∵AC=BC，△ACB=90°，∴△ABC=△BAC=45°．由旋转的性质可知△EAC=△B=45°，A符合题意；∵△ACB=90°，∴△ACD+△BCD=90°．由旋转的性质可知：△DCB=△ACE，CE=CD，∴△ECD=90°．∴△EDC是等腰直角三角形，B符合题意．∵AC=BC，△ACB=90°，∴△ABC=△BAC=45°．由旋转的性质可知△EAC=△B=45°， ∴△EAD=90°， ∴222AE AD DE +=， ∵△EDC 是等腰直角三角形，∴222CE CD DE +=，即222CD DE = ∴2222AE AD CD += ∵AE=BD ，∴2222BD AD CD +=，C 符合题意；从题目已知条件无法推导出选项D 符合题意，D 不一定符合题意， 故答案为：D ．【分析】由AC=BC ，△ACB=90°，得出△ABC=△BAC=45°，由旋转的性质可知△EAC=△B=45°，△ACD+△BCD=90°，A 、B 符合题意；根据△EAD=90°，得出222AE AD DE +=，即可得出2222AE AD CD +=，判断C 正确；不能证明△AED=△EDC ，判断D 错误。
03挑战压轴题（解答题一）(1)尺规作图：将法）；(2)在（1）所作的图中，连接V①求证：ABD②若tan BAC∠2．（2022·广东广州·统考中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD = 1.6m，BC =5CD．(1)求BC的长；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．条件①：CE = 1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）设PAO V 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式：并写出x 的取值范围；（3）作PAO V 的外接圆C e ，延长PC 交C e 于点Q ，当POQ △的面积最小时，求C e 的半径．(1)沿AC BC 、剪下ABC V ，则ABC V 是_______三角形（填“锐角______．(2)分别取半圆弧上的点E 、F 和直径AB 上的点G 、H ．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm 的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；2．（2022上·陕西西安·九年级校考期中）如图，在等边ABC V 中，点D 是AB 边上的一个动点（不与点A ，B 重合），以CD 为边作等边EDC △，AC 与DE 交于点F ，连接AE ．(1)求证：ADF BCD △∽△；(2)若:5:2AB BD =，且20AB =，求ADF △的面积．3．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，在正方形ABCD 中，9AB =，E 为AC 上一点，以AE 为直角边构造等腰直角AEF △（点F 在AB 左侧），分别延长FB ，DE 交于点H ，DH 交线段BC 于点M ，AB 与EF 交于点G ，连结BE ．(1)求证：AFB AED≅V V (2)当62AE =时，求sin MBH ∠的值．(3)若BEH △与DEC V 的面积相等，记△(1)当点D 与圆心O 重合时，如图2所示，求DE 的长．(2)当CEF △与ABC V 相似时，求cos BDE ∠的值．6．（2023下·安徽蚌埠·九年级校考开学考试）如图，矩形ABCD 中，8AB =厘米，12BC =厘米，P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点，若点P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度沿AB 方向运动，同时，点Q 从点B 出发以2厘米/秒的速度沿BC 方向运动，设点P ，Q 运动的时间为x 秒．(1)设PBQ V 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2)当x 为何值时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与BDC V 相似？7．（2021下·湖北随州·七年级统考期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程0x y -=的一个解11x y =⎧⎨=⎩可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程0x y -=的解为坐标的点的全体叫作方程0x y -=的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程0x y -=的图象称为直线0x y -=．直线x －y ＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M （x 0，y 0）的坐标满足不等式x －y ≤0，那么点M （x 0，y 0）就在直线x －y ＝0的上方区域内。
根据考试大纲，填空压轴题仍将以探究规律类型题为主要考察方向。
题型一：数字规律【例1】一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（0a ≠）,则第n 个式子是 （n为正整数）．【答案】【例2】按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n 个数是 ．【答案】1125,122+n n【例3】一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）.【答案】67；32+n （n 为正整数）【例4】将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为 ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第 行第 列.【答案】81;第45行第15列2a 52a 83a 114a 31(1)n na n --例题精讲填空题压轴题【例5】某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）第n 年 1 2 3 4 5 … 老芽率 a a 2a 3a 5a … 新芽率 0 a a 2a 3a … 总芽率a2 a3a5a8a…照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .【解析】由规律可以看出，从第3年开始，老芽率、新芽率，总芽率都分别是前两年之和，因此，第8年的老芽为21，总芽为34，因此答案为2134． 【解析】2134题型二：多边形上存在的点数【例6】如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【解析】此类型题首先要找到边数的特点，然后找每条边上点的数目，第n 个图形是2n +边形，而且每个边上有n 个点。
【答案】(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-【例7】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”字需用棋子___________【答案】4n【例8】用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“O”．① ② ③ ④ 【答案】181第2个“口”第1个“口” 第3个“口”第n 个“口”………………第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形题型三：藏头露尾型【例9】如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．【解析】此类问题重点要找到“头是谁”“尾是谁”，①13+；②132+⨯；③133+⨯，……第n 个31n + 【答案】31n +【例10】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．图1 图2 图3【答案】83．题型四：成倍数变化型【例11】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC ∆的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．【解析】注意每一次变化所变化的倍数 【答案】81；11(2)2n n - 【例12】如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________； 所作的第n 个四边形的周长为_________________．【答案】2,24()2n【例13】如图，在ABC ∆中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，则1______A ∠=．1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，……，2009A BC ∠的平分线与2009A CD ∠的平分线交于点2010A ，得2010A ∠，则2010A ∠= ．【答案】2α,20102α(1)(2)(3)……A 2A 1DC A【例14】如图，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111A B C D ，正方形1111A B C D 的面积为 ； 再把正方形1111A B C D 的各边延长一倍得到正方形2222A B C D ， 如此进行下去，正方形n n n n D C B A 的面积为 ． （用含有n 的式子表示，n 为正整数）【答案】5，n5【例15】把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n 次挖去后剩下的三角形有 个．第一次 第二次 第三次 第四次【答案】3n题型五：相似与探究规律【例16】已知ABC AB AC m ∆==中，，72ABC ∠=︒，1BB 平分ABC ∠交AC 于1B ，过1B 作12B B //BC交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠，交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC ，交AB 于4B ……依次进行下去，则910B B 线段的长度用含有m 的代数式可以表示为 .【答案】m 6215⎪⎪⎭⎫⎝⎛-【例17】如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使 点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点 为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠【答案】2；12332n n -- B AD C 1O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B AD C B ADCBA DC【例18】如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线 交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于 点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）； 点n A （ ， ）．【答案】（938，0）（1)332(-n ，0） 【例19】如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，……，如此作下去，若1OA OB ==，则第n 个等腰直角三角形的面积n S = ________（n 为正整数）.【解析】由题干可知：123124 (222)S S S ===，，可知22n n S -=【答案】22n -【例20】如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C ∆的面积为1S ，322B D C ∆的面积为2S ，…，1n n n B D C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．【答案】233,31nn + 【例21】如图，P 为ABC ∆的边BC 上的任意一点，设BC a =，当1B 、1C 分别为AB 、AC 的中点时，1112B C a =，当2B 、2C 分别为1BB 、1CC 的中点时，2234B C a =，当3B 、3C 分别为2BB 、2CC 的中点时，3378B C a =，当4B 、4C 分别为3BB 、3CC 的中点时，441516B C a =当5B 、5C 分别为4BB 、4CC 的中点时，55_____B C =当n B 、n C 分别为1n BB -、1n CC -的中点时，则n n B C = ；设ABC ∆中BC 边上的高为h ，则n n PB C ∆的面积为______(用含a 、h 的式子表示)．【答案】a 3231,a n n 212-, ah n n 12212+-D 4D 3D 2D 1C 5C 4C 3C 2C 1B 5B 4B 3B 2B 1A……B 2B 1A 1BOAC 3B 3B 2C 2C 1B 1CBA【例22】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB a =，CD b =，E 为边AD 上的任意一点，EF AB ∥，且EF 交BC 于点F ．若E 为边AD 上的中点，则______EF =（用含有a ，b 的式子表示）；若E 为边AD 上距点A 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则______EF =（用含有n ，a ，b 的式子表示）．【答案】2a b +；(1)b n an+-【例23】已知在ABC ∆中，BC a =.如图1，点1B 、1C 分别是AB 、AC 的中点，则线段11B C 的长是_______； 如图2，点1B 、2B ,1C 、2C 分别是AB 、AC 的三等分点，则线段1122B C B C +的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的(1)n +等分点，则线段1122n n B C B C B C ++⋅⋅⋅+的值是 ______.【答案】1,2a a ,12na 【例24】已知：如图，在Rt ABC ∆中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，连接2BE ，交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点4D 、5D 、…n D ， 分别记11BD E ∆、22BD E ∆、33BD E ∆、…n n BD E ∆的面积 为1S 、2S 、3S …n S ．设ABC ∆的面积是1,则1______S =， ______n S =（用含n 的代数式表示）.【答案】14，21(1)n +题型六：折叠与探究规律【例25】如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．设2AB =，当12CE CD =时，则________AMBN=． 若1CE CD n =（n 为整数），则_______AM BN=．（用含n 的式子表示） 【答案】15；1)1(22+-n n【例26】如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）连接DE ，作DE 的中垂线，交图3图2图12n-1B 2C 2A BCB 1C 1C 1B 1CBA FE D CBANMFEDCBAB321AD 于点F ．⑴若E 为AB 中点，则______DFAE= ⑵若E 为AB 的n 等分点(靠近点A )，则________DFAE= 【答案】251,42n n+题型七：其他类型【例27】图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+3中线段AB 的长为 .图1 图2 图31+【例28】如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --=()2n ≥【答案】1)41(2,32---n ππ【例29】如图，图①是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第)3(≥n n 块纸板的周长为n P ，则=-34P P ；1--n n P P = ．P 3P 2P 1【答案】81,121-⎪⎭⎫⎝⎛n【例30】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了 个小等边三角形；当n k =时，共向外作出了 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是 （用含k 的式子表示）．【答案】18； 【例31】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(10)，，点D 的坐标为(02)，．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样 的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n 个正方形的面积为___________（用含n 的代数式表示）．【答案】4235）（,22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n【例32】如图所示，111()P x y ，、222()P x y ，，……()n n n P x y ，在函数4y x=(0x >)的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆…1n n n P A A -∆都是等腰三角形，斜边1OA 、12A A …1n n A A -，都在x 轴上， 则1_____y =，12______n y y y ++⋅⋅⋅+=【答案】2 , 2n【例33】如图所示，直线1+=x y 与y 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111OA B C ，然后延长11C B 与直线1+=x y 交于点2A ，得到第一个梯形112AOC A ；再以12C A 为边作正方形1222C A B C ，同样延长22C B 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形2123A C C A ；，再以23C A 为边作正方形2333C A B C ，延长33C B ，得到第三个梯形；……则第2个梯形2123A C C A 的面积是 ；第n （n 是正整数）个梯形的面积是 （用含n 的式子表示）．3(-2)k 23(2)k s k-n =3n =5……n =4① ② ③ ④C 2B 2A 2C 1B 1A 1DC B AO yx【答案】6；2n 2223-⨯或1n 423-⨯【例34】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)-，n ， (0)，n ，(20)，n ，(0)-，n （n 为正整数）， 则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的 个数为_________（用含有n 的式子表示）．【答案】单位格点个数为48，单位格点个数为n n 442-【例35】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形1111A B C D 、2222A B C D 、3333A B C D 每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形10101010A B C D 四条边上的整点共有 个．【答案】80【例36】对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于n A ，n B 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；112220112011A B A B A B +++的值为 ．【答案】()20122011,11+n nyxOD 1D 2D 3C 1C 2C 3B 1B 2B 3A 3A 2A 1123-1-2-3-3-2-1321-8-448ODC BAyx。
02挑战压轴题（填空题）<≤【答案】 1.23S【分析】根据三角形中位线定理可得形DEFG是平行四边形，结合【详解】解：∵点D，E分别是由题意得，DE AM ∥，且DE ∴1122DE AM x ==，又F 、G 分别是MN AN 、的中点，∴FG AM ∥，12FG AM =，【答案】120°/120度75°/75度【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论．【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．∵△BPP′是等边三角形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，∴∠ABP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中BA BEABP EBPBP BP'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，∴△ABP≌△EBP′（SAS），∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，∴点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°－60°＝120°，当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，51【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．【答案】15 4【分析】如图，连接PC交AB于直角三角形求出AC，PA，利用相似三角形的性质求出题．【详解】解：如图，连接PC交AB∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵BC＝23，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝43，AC＝3BC＝6，∵∠EPB＝∠EBP＝60°，（1）∠AEB 的度数为 （2）若15EBA ∠=︒，【答案】 135° 【分析】（1）如图，连接∵E 是△ADC 的内心，∠∴∠ACE ＝12∠ACD ，∠EAC ∴∠AEC ＝180°−12(∠ACD 在△AEC 和△AEB 中，【详解】【答案】171++/117【分析】连接CE，AE'，可证AE'=的圆，当E F'经过圆心半径为1【详解】解：如图，连接CE四边形ABCD是正方形，=∴∠=︒，AD CDADC90ADE CDE∴∠+∠=︒，90将DE绕D顺时针旋转∠=DE DE'∴=，EDE'∴22AF AD DF =+224117=+=，FE AF AE ''∴=+171=+；【答案】17【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由V V，可得BE≅BDE BDF=，由勾股定理可求解．AE CF∠=BD DE，BDE2==∴∠=∠=︒，90BDE BDF()SAS∴≅V V，BDE BDF∠=∠BE BF∴=，BEA BFA【答案】8【分析】本题考查动点最值问题法求线段长等知识，在Rt PBE△中，求出在等腰ABCV中，∴在Rt△ABD中，ABsinAD ABDAB∴∠==在Rt PBE△中，sin313【答案】5【分析】本题考查了正方形的综合题，关键是借助相似三角形对应边成比例解决问题．先画出点E 运动的路线EE '，过E 作EF AQ ⊥，交AQ 于点F ，根据EAF CAB △∽△，可得EF AF =，设cm EF x =，则()3cm BF x =-，()4.5cm QF x =-，再根据EQF DQA V V ∽，可求得EF E F '、，利用勾股定理可得EE '．【详解】解：当点P 在点A 处时，如图，，23cm BP BQ BP == ，，15cm BQ .∴=，当点P 运动到点B 时，如图，，所以点E 运动的路线EE '，如图，，过E 作EF AQ ⊥，交AQ 于点F ，即90AFE EFQ ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 为正方形，【答案】32【分析】本题考查了垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，取连接DK ，EK ，由V AE 绕点A 顺时针旋转∵ABC V 是等边三角形，∴60BAC ∠=︒，3AD =∵线段AE 绕点A 顺时针旋转∴60PAE ∠=︒，AE =∴60PAE BAC ∠=∠=︒【答案】23【分析】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，于G ，延长CG 交AB 于点F ，证明V 据3AC =，得21CD AD ==，，进而根据勾股定理求出【详解】解：过G 作GD AC ⊥于G ，延长∵ 90GD AC BAC ⊥∠=︒，，∴ DE AB ∥，90CDG CAF ==∠∠又∵ DCG ACF ∠=∠，∴ DCG ACF V V ∽，∴ CD DG CG ==，【答案】26【分析】连接,,OA AC OC ,OF CF ，先求出AD =后利用勾股定理求出OE 则52OA OC OF ===，12AOD AOC ∴∠=∠，弦CD AB ⊥于点E ，CD ∴142CE CD ==，∴2225BC CE BE =+=设OC x =，则2=-OE x ，2C BAD ∠=∠ ，设BAD ∠=α，则2C α∠=，90ABD ∠=︒ ，90ADB ADE α∠=︒-=∠ ，180EDC ADB ADE ∴∠=︒-∠-∠=ED EC ∴=，【答案】AP的长为25或2或10【分析】分三种情况：PA'平行于行于x轴时，过点C作CN PA⊥于的坐标，从而求得CM AM，，再由折叠性质得PA '平行于x 轴时，如图，过点设AP a =，点5512P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，则则5512A m a m ⎛⎫++ ⎪⎝'⎭，，50,12M ⎛ ⎝当P 靠近A 且PA '平行于x 轴时，延长设AP a =，点5512P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，则0m <，则5512A m a m ⎛⎫-+ ⎪⎝'⎭，，50,512M m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴555321212CM m m ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，PM =综上，AP 的长为25或2或10．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质，等腰三角形的性质角平分线的性质，勾股定理，等积法，利用等积法是解题的关键与难点．17．（2024上·山东济南·八年级统考期末）平面直角坐标系中，点123B B B ⋯，，，在x 轴上，11122233OA B B A B B A B ⋯V V V ，，是等腰直角三角形．【答案】94，设22A C m =，33A C n =，点()111A ，，1111OC A C ∴==，【答案】8【分析】如图，记AB BC 、1122DP BC AB DQ ===，证明()SAS FDQ EDC V V ≌1124BM PM BP AB ===又∵D 是AC 的中点，∴DP DQ 、是ABC V 的中位线，∴1122DP BC AB DQ ===∴四边形BPDQ 是菱形，∴1122DP BQ BC AB ===∵等边DFE △，【答案】3212+2【分析】（1）连结AB，取AB的中点D，连结CD 以定点D为圆心，1为半径的圆上运动，所以当点即得OC的最小值；（2）连结AB，取AB的中点D，连结DM，ODC为AP的中点，M 为AC 的中点，1122DM BC ∴==，所以点M 在以定点D 为圆心，90AOB ∠=︒Q ，2OA =，OB 2222AB OA OB ∴=+=，1。
初中数学选择题、填空题、压轴题解题技巧！含例题分析01选择题解题技巧▼ 方法一：排除选项法选择题因其答案是四选一，必然只有一个正确答案，那么我们就可以采用排除法，从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案，那么留下的一个自然就是正确的答案。
▼方法二：赋予特殊值法即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。
用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。
▼方法三：通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。
▼方法四：直接求解法有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来的，因此往往可采用直接法，直接由从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项。
我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。
例如：商场促销活动中，将标价为200元的商品，在打8折的基础上，再打8折销售，现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元▼方法五：数形结合法解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。
▼方法六：代入法将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。
▼方法七：观察法观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。
▼方法八：枚举法列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。
例如：把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( )A.5种B.6种C.8种D.10种分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B。
▼方法九：待定系数法要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。
中考数学填空压轴题型提高练习1． 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段AB.图Z 1－1求作：线段AB 的垂直平分线． 小芸的作法如下： 如图，图Z 1－2(1)分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点；(2)作直线CD.所以直线CD 就是所求作的垂直平分线． 老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 2．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线l 和l 外一点P.图Z 1－3求作：直线l 的垂线，使它经过点P. 作法：如图．图Z 1－4(1)在直线l 上任取两点A ，B ；(2)分别以点A ，B 为圆心，AP ，BP 长为半径作弧，两弧相交于点Q ； (3)作直线PQ.所以直线PQ 就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.一、填写尺规作图的理论依据 1． 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线l 及其外一点A.求作：l 的平行线，使它经过点A.图Z 1－5小云的作法如下：(1)在直线l 上任取一点B ，以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，交直线l 于点C ； (2)分别以A ，C 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧相交于点D ； (3)作直线AD.图Z 1－6所以直线AD 即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是________________________________________________________________________． 2．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 上一点C. 求作：AB 的垂线，使它经过点C.图Z 1－7小艾的作法如下：图Z 1－8如图，(1)在直线AB 上取一点D ，使点D 与点C 不重合，以点C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AB 于D ，E 两点； (2)分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 长为半径作弧，两弧相交于点F ；(3)作直线CF.所以直线CF就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是________________________________________________________________________．3．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC.图Z1－9甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．图Z1－10请你判断哪位同学的作法正确________；这位同学作图的依据是________________________________________________________________________．4．如图Z1－11，已知∠AOB.小明按如下步骤作图：图Z1－11①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E.②分别以D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，在∠AOB的内部两弧交于点C.③画射线OC.所以射线OC为所求∠AOB的平分线．根据上述作图步骤，回答下列问题：(1)写出一个正确的结论：________________________________________________________________________.(2)如果在OC上任取一点M，那么点M到OA，OB的距离相等．依据是：________________________________________________________________________.5．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：图Z 1－12尺规作图：作一角等于已知角． 已知：∠AOB.求作：∠FBE，使得∠FBE＝∠AOB. 小明的解答如图Z 1－13所示：图Z 1－13老师说：“小明的作法正确．” 请回答：(1)小明的作图依据是________________________________________________________________________；(2)他所画的痕迹弧MN 是以点________为圆心，________为半径的弧． 6． 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图，作一个角的平分线．图Z 1－14已知：∠AOB .求作：射线OC ，使它平分∠AOB. 小米的作法如下： 如图，图Z 1－15(1)以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交OA 于点D ，交OB 于点E ； (2)分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点C ；(3)作射线OC.所以射线OC 就是所求作的射线． 老师说：“小米的作法正确．”请回答：小米的作图依据是________________________________________________________________________．7. 数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：(1)用直尺的一边贴在∠AOB的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；(2)再用直尺的一边贴在∠AOB的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点P；(3)作射线OP.射线OP是∠AOB的平分线．图Z1－16请回答：小明的画图依据是________________________________________________________________________．8．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.图Z1－17小敏的作法如下：①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝BO；③连接DA，DC.则四边形ABCD即为所求．图Z1－18老师说：“小敏的作法正确．”请回答：小敏的作图依据是________________________________________________________________________．9．阅读下面材料：实际生活中，有时会遇到一些“不能接近的角”，如图Z1－19中的∠P，我们可以采用下面的方法作一条直线平分∠P.图Z1－19(1)作直线l与∠P的两边分别交于点A，B，分别作∠PAB和∠PBA的平分线，两条角平分线相交于点M；(2)作直线k与∠P的两边分别交于点C，D，分别作∠PCD和∠PDC的平分线，两条角平分线相交于点N；(3)作直线MN.所以，直线MN平分∠P.请回答：上面作图方法的依据是____________________________．10．在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，线段AB，BC，求作：平行四边形ABCD.图Z1－20小明的作法如下：如图：(1)以点C为圆心，AB长为半径作弧；图Z1－21(2)以点A为圆心，BC长为半径作弧；(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD为所求作的平行四边形．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明的作图依据是________________________________________________________________________．11．在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.图Z1－22小明的作图过程如下：图Z1－23(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于M；(2)连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD.∴四边形ABCD 即为所求．老师说：“小明的作法正确．” 请回答：小明这样作图的依据是________________________________________________________________________．二、纠正错误并填写解题依据12．小明同学用配方法推导关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，他是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a，第一步x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，第二步⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，第三步 ∵b 2－4ac>0，∴x ＋b 2a ＝b 2－4ac2a ，第四步x ＝－b ＋b 2－4ac 2a第五步小明的解法从第________步开始出现错误；这一步的运算依据应是________________________________________________________________________．13． 在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1＝2”的结论． 设a ，b 为正数，且a ＝b.∵a ＝b ，∴ab ＝b 2.①∴ab －a 2＝b 2－a 2.②∴a(b －a)＝(b ＋a)(b －a)．③ ∴a ＝b ＋a.④ ∴a ＝2a.⑤ ∴1＝2.⑥大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是__________(填入编号)，造成错误的原因是________________________________________________________________________．三、平面直角坐标系中的规律探究14．在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是________；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是________．15． 如图Z 1－24，在棋盘中建立直角坐标系xOy ，三颗棋子A ，O ，B 的位置分别是(－1，1)，(0，0)和(1，0)．如果在其他格点位置添加一颗棋子C ，使A ，O ，B ，C 四颗棋子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的棋子C 的位置的坐标：________________________________________________________________________.图Z1－2416．已知：如图Z1－25，在平面直角坐标系xOy中，点B1，C1的坐标分别为(1，0)，(1，1)．将△OB1C1绕原点O 逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB2＝OC1，得到△OB2C2；将△OB2C2绕原点O逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB3＝OC2，得到△OB3C3.如此下去，得到△OB n C n.(1)m的值为________；(2)在△OB2016C2016中，点C2016的纵坐标为________．图Z1－2517．如图Z1－26，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(－1，0)．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；……照此规律重复下去，则点P5的坐标为________，点P2016的坐标为________．图Z1－26四、与图形有关的规律探究图Z1－2718．有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图Z1－27所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字3和4固定在图中所示的位置时，x 代表的数字是________，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有________种．19．下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，图Z1－28揭示了(a＋b)n(n为正整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：(a ＋b)7的展开式共有________项，(a ＋b)n的展开式共有________项，各项的系数和．．．是________．图Z 1－2820．为预防“手足口病”，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量y(mg )与时间x(min )的函数关系如图Z 1－29所示．已知，药物燃烧阶段，y 与x 成正比例，燃完后y 与x 成反比例．现测得药物10 min 燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg .当每立方米空气中含药量低于1.6 mg 时，对人体才能无毒害作用．那么从消毒开始，经过________min 后教室内的空气才能达到安全要求．图Z 1－2921． 在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图Z 1－30①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图Z 1－30②是由图Z 1－30①放入矩形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，那么矩形KLMJ 的面积为________．图Z 1－30五、定义新运算22．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1，0)，P 是第一象限内任意一点，连接PO ，PA.若∠POA＝m °，∠PAO ＝n °，则我们把P(m °，n °)叫做点P 的“双角坐标”．例如，点(1，1)的“双角坐标”为(45°，90°)．(1)点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32的“双角坐标”为________；(2)若点P 到x 轴的距离为12，则m ＋n 的最小值为________．23．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC 是等径三角形，则等径角的度数为________．24．定义：对于任意一个不为1的有理数a ，把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.记a1＝12，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2＝________；a2015＝________．六、方案设计25．如图Z1－31，为了使电线杆稳固地垂直于地面，两侧常用拉紧的钢丝绳索固定，由于钢丝绳的交点E在电线杆上的三分之一处，所以知道BE的高度就可以知道电线杆AB的高度了．要想得到BE的高度，需要测量出一些数据，然后通过计算得出．请你设计出要测量的对象：________________________；请你写出计算AB高度的思路：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.图Z1－31参考答案1．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上(C 、D 都在AB 的垂直平分线上)；两点确定一条直线(CD 垂直AB )(其他正确依据也可以)2．(1)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上(A ，B 都在PQ 的垂直平分线上)；(2)两点确定一条直线(AB 垂直PQ )(其他正确依据也可以)一、填写尺规作图的理论依据1．四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行(本题答案不唯一)2．等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线3．丁；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等量代换4．(1)OD ＝OE 或DC ＝EC 或OC 平分∠AOB 等均可(2)角平分线上的点到角两边的距离相等5．(1)略 (2)E CD6．全等三角形“SSS ”判定定理；全等三角形对应角相等；两点确定一条直线7．菱形的每一条对角线平分一组对角8．对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形9．三角形的三条角平分线交于一点；两点确定一条直线10．两组对边分别相等的四边形是平行四边形11．对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形二、纠正错误并填写解题依据12．四；平方根的定义13．④；等式两边除以值为零的式子，不符合等式性质三、平面直角坐标系中的规律探究14．(9，2)；(2016，672)15．C 1(2，1)，C 2(－1，2)，C 3(－1，－1)，C 4(0，－1) 16.2；－(2)201517．(－2，0)；(0，0)四、与图形有关的规律探究18．2；619．8；(n ＋1)；2n20．5021．110五、定义新运算22．(1)(60°，60°)；(2)9023．30°或150°24．2；2六、方案设计25．∠BCE 和线段BC 的长；思路：①在Rt △BCE 中，由tan ∠BCE ＝BE BC ，求出BE ＝BC ·tan ∠BCE ；②由AE ＝13AB ，可求BE ＝23AB ，求得AB ＝32BE ＝32BC ·tan ∠BCE .。
专题07一次函数与反比例函数综合问题通用的解题思路：1.三角形面积的解题步骤：类型一：三角形有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，以这边为底边，以该边所对的顶点的坐标的绝对值为高•底边平行于V轴，则以所对顶点的横坐标的绝对值为高，反之则以纵坐标的绝对值为高.类型二：三角形没有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，可以用公式水平宽X铅垂高求解.2.利用图象法解不等式解集的解题步骤：①求交点：联立方程求出方程组的解；②分区间：将一次函数和反比例函数两个交点以及y轴左右两侧分层4个区间；③比大小：图象谁在上方谁就大；④：写出对应区间自变量的取值范围.3.两线段和差的最值问题利用将军饮马模型：做对称，连定点，求交点.1.（2024广东东莞•一模）如图，一次函数y=+3的图象与'轴交于点,与反比例函数日的图象在第一象限内交于点瓦点B的横坐标为1,连接。
8,过点B作BClx轴于点C.⑴求一次函数和反比例函数的解析式；.....................................~4〜.......................⑵设点。
是x轴上一点，使得S^BCD=~S^AOB,求点Q的坐标.【答案】(1)必=2x+3,J=-x⑵点。
的坐标为(-1,0)或(3,0)【分析】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.(1)把点代入一次函数了=心+3中，解得m=2,进而可得点B的坐标为(1,5),再利用待定系数法解答即可；(2)根据坐标求得S△朝=可知S%co=：S△皿=5,再根据S^cd=?CD・BC,得CD=2,即可求解.【详解】(1)解：把点｛―代入一次函数:Y=m+3中，，一3___——m+3=0,解得m=2,园一次函数的解析式为"2x+3.把点B的横坐标工二1代入y=2x+3中，得"5,国点B的坐标为(1,5),国点B为一次函数和反比例函数图象的交点，园把点8(1,5)代入反比例函数y=|中，得S5,园反比例函数的解析式为:y=-；(2)园jo],8(1,5),BClx轴，0OA=-,BC=5,C(l,0),S5aaob=-AO-BC=-x-x5=—,△如2224[?]Q=—V-^x—=5U*BCD3°AA(9B34，0S ABCn=-CD BC=-CD=5,园CD=2,M（l,0）,回点。
专题训练122. 如图，抛物线923212--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC 。
（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合）。
过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D 。
设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）。
参考答案： 解：（1）令y=0，即0923212=--x x ， 整理得 01832=--x x ， 解得：31-=x ，62=x ， ∴ A （—3，0），B （6，0） 令x = 0，得y = —9， ∴ 点C （0，—9）∴ 9)3(6=--=AB ，99=-=OC ， （2）281992121=⨯⨯=⋅=∆OC AB S ABC， ∵ l ∥BC ，∴ △ADE ∽△ACB ， ∴22ABAE S S ABC=∆，即229281m S = ∴ 221m S =，其中90<<m 。
（3）88129212192122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⨯⨯=-=∆∆∆m m m S S S ADEACE CDE ， ∵ 021<-∴ 当29=m 时，S △CDE 取得最大值，且最大值是881。
这时点E （23，0），yA OB xElCD题22图∴29236=-=-=OE OB BE ，133962222=+=+=OC OB BC ， 作EF ⊥BC ，垂足为F ，∵∠EBF=∠CBO ，∠EFB=∠COB ， ∴△EFB ∽△COB ，∴CB BEOC EF =，即133299=EF ∴132627=EF ， ∴ ⊙E 的面积为：πππ5272913262722=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⋅=EF S 。
专题02 填空压轴题1．（2021•广东）在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB =，3BC =．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为 ．【答案】【详解】如图所示．45ADB ∠=︒，2AB =，作ABD ∆的外接圆O （因求CD 最小值，故圆心O 在AB 的右侧），连接OC ，当O 、D 、C 三点共线时，CD 的值最小． 45ADB ∠=︒， 90AOB ∴∠=︒，AOB ∴∆为等腰直角三角形，sin 45AO BO AB ∴==︒⨯=45OBA ∠=︒，90ABC ∠=︒， 45OBE ∴∠=︒，作OE BC ⊥于点E ， OBE ∴∆为等腰直角三角形． sin451OE BE OB ∴==︒⋅=， 312CE BC BE ∴=-=-=，在Rt OEC ∆中，OC = 当O 、D 、C 三点共线时，CD 最小为CD OC OD =-．2．（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，90ABC ∠=︒，点M ，N 分别在射线BA ，BC 上，MN 长度始终保持不变，4MN =，E 为MN 的中点，点D 到BA ，BC 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为 ．【答案】2【详解】如图，连接BE ，BD ．由题意BD =90MBN ∠=︒，4MN =，EM NE =， 122BE MN ∴==，∴点E 的运动轨迹是以B 为圆心，2为半径的弧， ∴当点E 落在线段BD 上时，DE 的值最小，DE ∴的最小值为2．（也可以用DE BD BE -，即252DE -确定最小值）故答案为2．3．（2021•东莞市模拟）如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连接BE 分别交AC 、AD 于点F 、G ，连接OG ，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①12OG AB =； ②与EGD ∆全等的三角形共有5个； ③ABF ODGF S S ∆>四边形；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形．【答案】①④【详解】四边形ABCD 是菱形，AB BC CD DA ∴===，//AB CD ，OA OC =，OB OD =，AC BD ⊥， BAG EDG ∴∠=∠，ABO BCO CDO AOD ∆≅∆≅∆≅∆，CD DE =，AB DE ∴=，在ABG ∆和DEG ∆中，BAG EDG AGB DGEAB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABG DEG AAS ∴∆≅∆， AG DG ∴=，OG ∴是ACD ∆的中位线， 1122OG CD AB ∴==，①正确；//AB CE ，AB DE =，∴四边形ABDE 是平行四边形，60BCD BAD ∠=∠=︒，ABD ∴∆、BCD ∆是等边三角形， AB BD AD ∴==，60ODC ∠=︒，OD AG ∴=，四边形ABDE 是菱形，④正确；AD BE ∴⊥，由菱形的性质得：ABG BDG DEG ∆≅∆≅∆， 在ABG ∆和DCO ∆中，60OD AGODC BAG AB DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABG DCO SAS ∴∆≅∆，ABO BCO CDO AOD ABG BDG DEG ∴∆≅∆≅∆≅∆≅∆≅∆≅∆，②不正确；OB OD =，AG DG =， OG ∴是ABD ∆的中位线， //OG AB ∴，12OG AB =， GOD ABD ∴∆∆∽，ABF OGF ∆∆∽，GOD ∴∆的面积14ABD =∆的面积，ABF ∆的面积OGF =∆的面积的4倍，:2:1AF OF =，AFG ∴∆的面积OGF =∆的面积的2倍，又GOD ∆的面积AOG =∆的面积BOG =∆的面积，ABF ODGF S S ∆∴=四边形；不正确； 正确的是①④． 故答案为：①④．4．（2021•东莞市校级二模）如图，已知(2,3)A ，(0,2)B ，在x 轴上找一点C ，使得||AC BC -的值最大，则此时点C 的坐标为 ．【答案】(4,0)-【详解】如图所示，连接AB 交x 轴于点C ，此时AC BC AB -=值最大，即点C 为所求的点．设直线AB 的解析式为y kx b =+，代入点(2,3)A ，(0,2)B ， 得232k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．故直线AB 解析式为122y x =+． 令122y x =+中0y =，则得4x =-，故点C 坐标为(4,0)-． 故答案为：(4,0)-．5．（2021•东莞市一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点(10,0)A ，OA 绕点O 逆时针旋转60︒得到OB ，连接AB ，双曲线(0)ky x x=>分别与AB ，OB 交于点C ，(D C ，D 不与点B 重合）．若CD OB ⊥，则k 的值为 ．【答案】【详解】作DE x ⊥轴于点E ，作CF x ⊥轴于点F ． OAB ∆为等边三角形， 60BOA B BAO ∴∠=∠=∠=︒．设OE a =，则DE =，2OD a =．102BD a ∴=-，故点D 坐标为()a ． 2(102)204cos60BDBC a a ∴==⨯-=-︒，10(204)410AC a a ∴=--=-．1cos60(410)252FA AC a a ∴=⋅︒=-=-，sin 6010)5)CF AC a a =⋅︒-=-． 1025152OF AO FA a a ∴=-=-+=-．故点C 坐标为(152a -5))a -． 点D 、C 在反比例函数图象上，∴(152)5)a a a =--．解得：13a =，25a =（不合题意，舍去）．3a ∴=，故点D 坐标为(3，，∴3k xy ==⨯=．故答案为：6．（2021•东莞市校级一模）如图1，点P 从ABC ∆的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则ABC ∆的面积是 ．【答案】48【详解】根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大， 由图象可知：点P 从B 向C 运动时，BP 的最大值为10， 即10BC =，由于M 是曲线部分的最低点，∴此时BP 最小，即BP AC ⊥，8BP =，∴由勾股定理可知：6PC =，由于图象的曲线部分是轴对称图形， 图象右端点函数值为10， 10AB BC ∴==，6PA PC ∴==（三线合一）， 12AC ∴=，ABC ∴∆的面积为：1128482⨯⨯=，故答案为：48．7．（2021•东莞市模拟）如图，线段AB 是直线51y x =+的一部分，点A 的坐标为(0,1)，点B 的纵坐标是6，曲线BC 是双曲线ky x=的一部分，点C 的横坐标是6．由点C 开始，不断重复曲线“A B C --”，形成一组波浪线．已知点(18,)P m ，(21,)Q n 均在该组波浪线上，分别过点P ，Q 向x 轴作垂线段，垂足分别为D 和E ，则四边形PDEQ 的面积是 ．【答案】92【详解】A ，C 之间的距离为6，1863÷=，故点P 离x 轴的距离与点A 离x 轴的距离相同，∴点P 离x 轴的距离为1，1m ∴=，21183-=，故点Q 与点P 的水平距离为3，在51y x =+中，当6y =时，1x =，即点(1,6)B 61k =， 解得6k =，∴双曲线6y x=， 把3x =代入得2y =， 即点Q 离x 轴的距离为2， 四边形PDEQ 的面积是(12)3922+⨯=． 故答案为92． 8．（2021•中山市模拟）如图，△11OA B ，△122A A B ，△233A A B ，⋯是分别以1A ，2A ，3A ，⋯，为直角顶点且一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点11(C x ，1)y ，22(C x ，2)y ，33(C x ，3)y ，⋯，均在反比例函数4(0)y x x=>的图象上，则12310y y y y +++⋯+的值为 ．【答案】【详解】过点1C ，2C ，3C ⋯分别作x 轴的垂线，垂足分别为1D ，2D ，3D ⋯， 由题意可得，11111OD C D D A ==，122222A D C D D A ==，233333A D C D D A ==，⋯⋯ 设1OD a =，则1(,)C a a ，由点1(,)C a a 在反比例函数4(0)y x x=>的图象上，4a a ∴⋅=，解得2a =（取正值）， 12y ∴=，设12A D b =，则2(4,)C b b +，由点2(4,)C b b +，在反比例函数4(0)y x x=>的图象上，(4)4b b ∴+⋅=，解得2b =（取正值），22y ∴=，设23A D c =，则3C c ，)c ，由点3C c ，)c ，在反比例函数4(0)y x x=>的图象上，)4c c ∴⋅=，解得c =，3y ∴=，同理可求4y =5y =，6y =，10y ⋯⋯=121022y y y ∴++⋯+=++，故答案为9．（2021•珠海校级一模）如图①，在矩形ABCD 中，AB AD >，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿A B C →→运动．设点P 的运动路程为x ，AOP ∆的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AB 边的长为 ．【答案】6【详解】从图象看，当点P 到达点B 时，AOP ∆的面积为6，此时AOP ∆的高为12BC ，AOP ∴∆的面积11()622AB BC =⨯⨯=，解得24AB BC ⋅=①，而从图②看，10AB BC +=②， 联立①②并解得64AB BC =⎧⎨=⎩．故答案为：6．10．（2021•香洲区校级三模）如图正方形ABCD 的顶点A 在第二象限ky x=图象上，点B 、点C 分别在x 轴、y 轴负半轴上，点D 在第一象限直线y x =的图象上，若25S =阴影，则k 的值为 ．【答案】45-【详解】四边形ABCD 为正方形，90BAD ABC BCD CDA ∴∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD AD ===，过点D 作DM y ⊥轴于M ，DN x ⊥轴于N ， 点D 在直线y x =上， DM DN ∴=，DM y ⊥轴，DN x ⊥轴， 90DMO DNO MON ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形DMON 为正方形，90MDN ADC ∴∠=∠=︒， GDM HDN ∴∠=∠，在DMG ∆与DNH ∆中， 90GDM HDN DM DNDMG DNH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()DMG DNH ASA ∴∆≅∆， DMG DNH S S ∆∆∴=，25DMON S S ∴==正方形阴影， ∴225DM =，∴DM OM ==， 过A 作AQ OB ⊥于Q ，90BCO DCM DCM CDM ∠+∠=∠+∠=︒， BCO CDM ∴∠=∠，在BOC ∆与CMD ∆中， 90BOC CMD BCO CDMBC CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BOC CMD AAS ∴∆≅∆，同理，ABQ BCO ∆≅∆，OC DM ∴==，OB MC OM OC ∴==+ ABQ BCO ∆≅∆，AQ OB ∴=，BQ OC =，OQ OB BQ ∴=-=∴点A的坐标为(， 将点A 的坐标代入到反比例函数解析式中得， 45k =-，故答案为：45-．11．（2021•佛山一模）如图，已知点A 在反比例函数(0)ky x x=<上，作Rt ABC ∆，点D 是斜边AC 的中点，连接DB 并延长交y 轴于点E ，若BCE ∆的面积为7，则k 的值为 ．【答案】14【详解】BCE ∆的面积为7，∴172BC OE ⋅=， 14BC OE ∴⋅=，点D 为斜边AC 的中点， BD DC AD ∴==， DBC DCB EBO ∴∠=∠=∠，又90EOB ABC ∠=∠=︒， EOB ABC ∴∆∆∽，∴BC ABOB OE=， AB OB BC OE ∴⋅⋅=⋅，122k OB AB ⋅⋅=， 14k AB BO BC OE ∴=⋅=⋅=，故答案为14．12．（2021•禅城区一模）如图，点A 、B 的坐标分别为(2,0)A ，(0,2)B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最小值为 ．12【详解】(2,0)A，(0,2)B，2OA OB∴==，点C为坐标平面内一点，1BC=，C∴在B上，且半径为1，取2OD OA==，连接CD，M为线段AC的中点，OD OA=，OM∴是ACD∆的中位线，12OM CD∴=，当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，当C在线段DB上时，OM最小，2OB OD==，90BOD∠=︒，BD∴==1CD∴=，1122OM CD∴==，即OM12，12．13．（2021•南海区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线213222y x x=--与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上位于直线BC下方一动点，当2PCB ABC∠=∠时，点P的坐标为．【答案】(2,3)-【详解】过C点作//CQ x轴，过B点作//BM y轴交CP的延长线于M点，如图，当0y=时，2132022x x--=，解得11x=-，24x=，则(1,0)A-，(4,0)B，当0x=时，2132222y x x=--=-，则(0,2)C-，//CQ AB，ABC BCQ∴∠=∠，2PCB ABC∠=∠，MCQ BCQ∴∠=∠，BM CQ⊥，M∴点和B点关于直线CQ对称，(4,4)M∴-，设直线CM的解析式为y kx b=+，把(0,2)C-，(4,4)M-代入得244bk b=-⎧⎨+=-⎩，解得122kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线CM的解析式为122y x=--，解方程组213222122y x xy x⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得2xy=⎧⎨=-⎩或23xy=⎧⎨=-⎩，∴点P 的坐标为(2,3)-．故答案为(2,3)-．14．（2021•南海区模拟）如图，CB CA =，90ACB ∠=︒，点D 在边BC 上（与B 、C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC FG =；②:1:2FAB CBFG S S ∆=四边形；③ABC ABF ∠=∠；④2AD FQ AC =⋅．其中正确的结论是 ．【答案】①②③④【详解】四边形ADEF 为正方形， 90FAD ∴∠=︒，AD AF EF ==， 90CAD FAG ∴∠+∠=︒， FG CA ⊥， 90G ACB ∴∠=︒=∠， CAD AFG ∴∠=∠，在FGA ∆和ACD ∆中， G C AFG CAD AF AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()FGA ACD AAS ∴∆≅∆， AC FG ∴=，①正确； BC AC =， FG BC ∴=，90ACB ∠=︒，FG CA ⊥， //FG BC ∴，∴四边形CBFG 是矩形，90CBF ∴=︒，1122FAB CBFG S FB FG S ∆=⨯⨯=四边形，②正确；CA CB =，90C CBF ∠=∠=︒， 45ABC ABF ∴∠=∠=︒，③正确；FQE DQB ADC ∠=∠=∠，90E C ∠=∠=︒， ACD FEQ ∴∆∆∽， ::AC AD FE FQ ∴=，2AD FE AD FQ AC ∴⋅==⋅， ④正确； 故①②③④．15．（2021•高明区二模）如图，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒，AB CDBC+= ．【详解】过点A 作AE BC ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，由（1）可知，EF AE DF =+，45B C ∠=∠=︒，AE BC ⊥，DF BC ⊥， 45B BAE ∴∠=∠=︒，45C CDF ∠=∠=︒，BE AE ∴=，CF DF =，AB =，CD =，2()BC BE EF CF AE DF ∴=++=+，∴)2()2AB CD AE DF BC AE DF ++==+．． 16．（2021•顺德区二模）如图，在矩形ABCD 中，将ADC ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到FDE ∆，使得B 、F 、E 三点恰好在同一直线上，AC 与BE 相交于点G ，连接DG ．以下结论正确的是 ． ①BCG GAD ∆∆∽； ②AC BE ⊥；③点F 是线段CD 的黄金分割点；④CG EG +=．【答案】②③④【详解】证明：FDE ∆是ADC ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到的， FDE ADC ∴∆≅∆，AD DF ∴=，DC DE =，DEF DCA ∠=∠，又四边形ABCD 是矩形， 90ADC ∴∠=︒， 90DAC DCA ∴∠+∠=︒，即90DAG DEF ∠+=︒， 90AGE ∴∠=︒，即AC BE ⊥， 故②正确； AC BE ⊥， 90BGC ∴∠=︒，即BGC ∆是直角三角形，而AGD ∆显然不是直角三角形，∴①错误；在Rt FCB ∆和Rt FDE ∆中，BFC EFC ∠=∠， Rt FCB Rt FDE ∴∆∆∽，∴FC BCDF DE=， BC AD DF ==，DE DC =，∴FC DFDF DC=， ∴点F 是线段CD 的黄金分割点， ∴③正确；在线段EF 上作EG CG '=，如图所示，连接DG '，DC DE =，DEF DCA ∠=∠， DEG DCG ∴∠'=∠，在DCG ∆和DEG ∆'中， DC DE DCG DEG CG EG =⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩， ()DCG DEG SAS ∴∆≅∆'， DG DG ∴='，CDG EDG ∠=∠'，90CDG GDA ∠+∠=︒， 90EDG GAD ∴∠'+∠=︒， 90GDG ∴∠'=︒，GDG ∴∆'是等腰直角三角形，GG ∴'，EG CG '=，EG EG GG CG ∴='+'=，∴④正确，故答案为：②③④．17．（2021•三水区一模）如图，点1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，⋯，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，4B ，⋯在射线OM 上，点1C ，2C ，3C ，⋯分别在线段22A B ，33A B ，44A B ，⋯上，且四边形1112A B C A ，四边形2223A B C A ，四边形3334A B C A ，⋯均为正方形，若14OA =，112A B =，则正方形2021202120212022A B C A 的边长为 ．【答案】20202 1.5⨯【详解】14OA =，112A B =， 在Rt △11OA B 中，11121tan 42A B O OA ∠===， 在Rt △22OA B 中，2121tan 422B C O +∠==+， 211B C ∴=， 223A B ∴=，在Rt △33OA B 中，3231tan 4232B C O +∠==++，32 1.5B C ∴=， 33 4.5A B ∴=，在Rt △44OA B 中，43 4.51tan 423 4.52B C O +∠==+++，43 2.25B C ∴=， 44 6.75A B ∴=，∴正方形边长的变化规律为：(1)2 1.5n -⨯，∴正方形2021202120212022A B C A 的边长为(20211)20202 1.52 1.5-⨯=⨯．故答案为：20202 1.5⨯．18．（2021•禅城区校级一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，4BC =．点1M ，1N ，1P 分别在AC ，BC ，AB 上，且四边形111M CN P 是正方形，点2M ，2N ，2P 分别在11P N ，1BN ，1BP 上，且四边形2122M N N P 是正方形，⋯，点n M ，n N ，n P 分别在11n n P N --，1n BN -，1n BP -上，且四边形1n n n n M N N P -是正方形，则线段n n M P 的长度是 ．【答案】123n n+【详解】11//M P BC ，∴△11AM P ACB ∆∽， ∴111M P AM CB AC=， 设11M P x =，则242x x-=， 解得：43x =， 111484233BN BC x M P ∴=-=-==， 同理，122412333BN M P ==⨯⨯， 22333341141222()333333M P M P ==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， ，n n M P ∴的长度是1114122()333n n n n +--=⨯⨯=．故答案为：123n n +．19．（2021•潼南区一模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，6AC =，以C 为圆心，以AC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留)π【答案】3π 【详解】如图，连接CD ．90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，6AC =，60BAC ∴∠=︒，BC = CA CD =， ACD ∴∆是等边三角形 60ACD ∴∠=︒，30ECD ∠=︒， 212AB AC ==，AC AD =， 6AD BD ∴==，211130663222360ABC CDE S S S ππ∆⋅∴=-=⨯⨯⨯=阴扇形．故答案为3π．20．（2021•广东模拟）如图，CB CA =，90ACB ∠=︒，点D 在边BC 上（与B 、C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC FG =；②:1:2FAB CBFG S S ∆=四边形；③ABC ABF ∠=∠；④2AD FQ AC =⋅， 其中正确的结论的个数是 ．【答案】4【详解】四边形ADEF 为正方形， 90FAD ∴∠=︒，AD AF EF ==， 90CAD FAG ∴∠+∠=︒，FG CA ⊥，90GAF AFG ∴∠+∠=︒， CAD AFG ∴∠=∠，在FGA∆和ACD∆中，G CAFG CAD AF AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FGA ACD AAS∴∆≅∆，AC FG∴=，①正确；BC AC=，FG BC∴=，90ACB∠=︒，FG CA⊥，//FG BC∴，∴四边形CBFG是矩形，90CBF∴∠=︒，1122FAB CBFGS FB FG S∆=⋅=四边形，②正确；CA CB=，90C CBF∠=∠=︒，45ABC ABF∴∠=∠=︒，③正确；FQE DQB ADC∠=∠=∠，90E C∠=∠=︒，ACD FEQ∴∆∆∽，::AC AD FE FQ∴=，2AD FE AD FQ AC∴⋅==⋅，④正确；故答案为：4．21．（2021•佛山模拟）如图，在矩形ABCD中，8AB=，4BC=，一发光电子开始置于AB 边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45︒，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与AB边的碰撞次数是．【答案】674【详解】如图以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点(6,0)，且每次循环它与AB 边的碰撞有2次， 202163365÷=⋯，当点P 第2021次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹，点P 的坐标为(6,0)，∴它与AB 边的碰撞次数是33622674=⨯+=次，故答案为：674．22．（2021•禅城区二模）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与轴交于点(2,0)A -、(1,0)B ，直线0.5x =-与此抛物线交于点C ，与x 轴交于点M ，在直线上取点D ，使MD MC =，连接AC 、BC 、AD 、BD ，小明根据图象写出下列结论：①0a b -=：②当21x -<<时，0y >；③四边形ACBD 是菱形；④930a b c -+>；其中正确的是 （填序号）．【答案】①②③【详解】该抛物线对称轴为直线122b x a =-=-， ∴1ba=，即a b =， 0a b ∴-=，故①正确；抛物线与x 轴交于点(2,0)A -，(1,0)B ，且开口向下，∴当21x -<<时，0y >，故②正确；点A 、B 关于对称轴对称，AM BM ∴=，又MD MC =，且CD AB ⊥，∴四边形ACBD 为菱形，故③正确；当3x =-时，0y <，即930y a b c =-+<，故④错误． 故答案为：①②③．23．（2021•南海区一模）如图，在Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，45B ∠=︒，点A ，B 恰巧都落在反比例函数ky x=的图象上，若点A 的横坐标为1，则k 的值为 ．【详解】过点B 作BM y ⊥轴于点M ，过点A 作AN x ⊥轴于点N ，并延长MB ，NA 交于一点P ，∴四边形MONP 是矩形，由点A 的横坐标为1，则A 点坐标为：(1,)k ， 在Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，45B ∠=︒， OAB ∴∆是等腰直角三角形， AB AO ∴=， 90OAB ∠=︒， 90BAP OAN ∴∠+∠=︒， 90AON OAN ∠+∠=︒，BAP AON ∴∠=∠，在AON ∆和BAP ∆中， P ANO BAP AON AB OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AON BAP AAS ∴∆≅∆，1AP NO ∴==，PB AN k ==， 1MB k ∴=-，(1,1)B k k ∴-+，B 在反比例函数ky x=的图象上， (1)(1)k k k ∴=-+，即210k k --=，解得：1k =，2k =．24．（2021•海丰县模拟）如图，OABC 的顶点A 在x 轴的负半轴上，点(3,2)D -在对角线OB 上，反比例函数(0,0)k y k x x =<<的图象经过C ，D 两点，已知OABC 的面积是152，则点B 的坐标为 ．【答案】9(2-，3)【详解】如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，延长BC 交y 轴于点H ，四边形OABC 是平行四边形， OA BC ∴=，BH OF =， CH AF ∴=，点(3,2)D -在对角线OB 上，反比例函数(0,0)ky k x x =<<的图象经过C 、D 两点，2(3)6k ∴=⨯-=-，即反比例函数解析式为6y x=-，∴设点C 坐标为6(,)a a-，//DE BF ， ODE OBF ∴∆∆∽，∴DE OEBF OF=，即DE OF OE BF ⋅=⋅， 623()OF a ∴=⨯-，9OF a∴=-，99()OA OF AF OF HC a a a a∴=-=-=---=-，∴点B 坐标为9(a ，6)a-，OABC 的面积是152， 9615()()2a a a ∴-⨯-=，解得：12a =-，22a =（舍去），∴点B 坐标为9(2-，3)，故答案为：9(2-，3)．25．（2021•南海区四模）如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且6AC =，8BD =，E 、F 分别为AO 、DO 上两点，且2AE DF =，连接BE 、CF ，则ABE ∆与DCF ∆的面积比为 ．【答案】23【详解】如图，过点B 作BM AC ⊥，CN BD ⊥于点M ，N ，MOB NOC ∠=∠，90BMO CNO ∠=∠=︒， MOB NOC ∴∆∆∽，::4:3BM CN OB OC ∴==， 43BM CN ∴=，11422233ABE S AE BM AE CN AE CN ∆=⨯⋅=⨯=⋅，11222DCF S DF CN AE CN AE CN ∆=⨯⋅=⨯⋅=⋅，∴23ABE DCF S S ∆∆=， 则ABE ∆与DCF ∆的面积比为23． 故答案为：23． 26．（2021•三水区校级二模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，6BC =，点D 是ABC ∆内部的一个动点，且满足ACD CBD ∠=∠，则AD 的最小值为 ．【答案】2【详解】90∠=︒，ACB∴∠+∠=︒，90BCD DCA∠=∠，DBC DCA∴∠+∠=︒，CBD BCD90∴∠=︒，BDC90∴点D在以BC为直径的O上，连接OA交O于点D，此时DA最小，在Rt CAOAC=，3∠=︒，4OC=，OCA∆中，90OA∴=，5DA OA OD∴=-=-=．532故答案为227．（2020•顺德区三模）如图，分别以ABC∆的边AB、AC为一边向外做正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE、BG交于点P，连接AP和EG．在不添加任何辅助线和字母的前提下，写出四个不同类型的结论．【答案】AEC ABG⊥，AP平分EPG∠（答案不唯一）∆≅∆，EC BG=，EC BG【详解】AEC ABG∠，（答案不唯一）⊥，AP平分EPG∆≅∆，EC BG=，EC BG理由如下：如图，连接BE，正方形ABDE 和正方形ACFG ，AB AE ∴=，AC AG =，90BAE CAG ∠=∠=︒，45ABE ∠=︒EAC BAG ∴∠=∠，()EAC BAG SAS ∴∆≅∆， EC BG ∴=，CEA GBA ∠=∠， CEA GBA ∠=∠，∴点P ，点A ，点E ，点B 四点共圆，90EPB EAB ∴∠=∠=︒，45APE ABE ∠=∠=︒， EC BG ∴⊥，90EPG ∠=︒， 45APG APE ∴∠=∠=︒，AP ∴平分EPG ∠．28．（2021•高州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的顶点A ，C 的坐标分别是(0,3)，(3,0)．90ACB ∠=︒，2AC BC =，则函数(0,0)ky k x x=>>的图象经过点B ，则k的值为 ．【答案】274【详解】过B 点作BD x ⊥轴于D ，如图，A ，C 的坐标分别是(0,3)，(3,0)．3OA OC ∴==，OAC ∴∆为等腰直角三角形，AC ∴=，45ACO ∠=︒，90ACB ∠=︒， 45BCD ∴∠=︒，BCD ∆为等腰直角三角形，CD BD ∴==， 2AC BC =，BC ∴，32CD BD ∴===， 39322OD ∴=+=， 9(2B ∴，3)2，函数(0,0)ky k x x =>>的图象经过点B ，9327224k ∴=⨯=． 故答案为274．29．（2021•惠东县二模）如图，圆心都在x 轴正半轴上的半圆1O ，半圆2O ，⋯，半圆n O 与直线l 相切．设半圆1O ，半圆2O ，⋯，半圆n O 的半径分别是1r ，2r ，⋯，n r ，则当直线l 与x 轴所成锐角为30︒，且11r =时，2021r =【答案】20203【详解】分别过半圆1O ，半圆2O ，⋯，半圆n O 的圆心作1O A l ⊥，2O B l ⊥，3O C l ⊥，如图，半圆1O ，2O ，3O ，⋯，n O 与直线l 相切， 11O A r ∴=，22O B r =，33O C r =，当直线l 与x 轴所成锐角为30︒时，1122OO O A ==， 在2Rt OBO ∆中，222OO BO =，即22212r r ++=， 23r ∴=，在3Rt OCO ∆中，332OO CO =，即3321232r r ++⨯+=，2393r ∴==，同理可得，34273r ==，202020213r ∴=， 故答案为：20203．30．（2021•紫金县模拟）如图，半径为4的O 中，CD 为直径，弦AB CD ⊥且过半径OD 的中点，点E 为O 上一动点，CF AE ⊥于点F ．当点E 从点B 出发逆时针运动到点C 时，点F 所经过的路径长为 ．【详解】连接AC ，AO ，AB CD ⊥，G ∴为AB 的中点，即12AG BG AB ==， O 的半径为4，弦AB CD ⊥且过半径OD 的中点， 2OG ∴=，∴在Rt AOG ∆中，根据勾股定理得：AG = 又426CG CO GO =+=+=，在Rt AGC ∆中，根据勾股定理得：AC == CF AE ⊥，ACF ∴∆始终是直角三角形，点F 的运动轨迹为以AC 为直径的半圆， 当E 位于点B 时，CG AE ⊥，此时F 与G 重合； 当E 位于D 时，CA AE ⊥，此时F 与A 重合， ∴当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长AG ，在Rt ACG ∆中，tan AG ACG CG ∠==， 30ACG ∴∠=︒， ∴AG 所对圆心角的度数为60︒，直径AC =∴AG =，则当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F ．．。
专题02 填空压轴题1．（2021•广州）如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，以点为圆心，3为半径的圆分别交、于点、，与交于点．并与交于点，连结、．给出下列四个结论．其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）．（1）是的中点（2）（3）（4）【答案】（1）（3）（4）【详解】（1）在与中，，，，，，由垂径定理，得：，即是的中点，故（1）正确；（2）如图，过分别作于，于，ABCD E BC3BE =AAB AD F G DF AE H A K HG CHH FKHGD HEC∆≅∆:9:16AHG DHCS S∆∆=75DK=ABE∆DAF∆AD ABDAF ABEAF BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE DAF SAS∴∆≅∆AFD AEB∴∠=∠90AFD BAE AEB BAE∴∠+∠=∠+∠=︒AH FK∴⊥FH HK=H FKH HM AD⊥M HN BC⊥N，，，，，，，， ， 即，，， ， ，，是错误的，故（2）不正确；（3）由（2）知，， ， ， ， ，故（3）正确； （4）由（2）知，， 4AB =3BE =225AE AB BE ∴=+=BAE HAF AHM ∠=∠=∠cos cos cos BAE HAF AHM ∴∠=∠=∠∴45HM AH AB AH AF AE ===125AH ∴=4825HM =485242525HN ∴=-=HM HN ≠//MN CD MD CN ∴=22HD HM MD =+22HC HN CN =+HC HD ∴≠HGD HEC ∴∆≅∆223625AM AH HM =-=366442525DM ∴=-=//MN CD 6425MD HT ∴==∴1921162AHGHCD AG HM S S CD HT ∆∆⋅==⋅2295HF AF AH =-=， ，故（4）正确． 2．（2019•广州）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接，，，则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值． 其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）【答案】①④【详解】如图1中，在上截取，连接．，，，，，，，，，， ，，，，，，，，故①正确， 如图2中，延长到，使得，则，，∴1825FK HF ==75DK DF FK ∴=-=ABCD a E AB A B 45DAM ∠=︒F AM 2AF BE =CF AD G EC EF EG 45ECF ∠=︒AEG ∆2(1)2a +222BE DG EG +=EAF ∆218a BC BH BE =EH BE BH =90EBH ∠=︒2EH BE ∴=2AF BE =AF EH ∴=45DAM EHB ∠=∠=︒90BAD ∠=︒135FAE EHC ∴∠=∠=︒BA BC =BE BH =AE HC ∴=()FAE EHC SAS ∴∆≅∆EF EC ∴=AEF ECH ∠=∠90ECH CEB ∠+∠=︒90AEF CEB ∴∠+∠=︒90FEC ∴∠=︒45ECF EFC ∴∠=∠=︒AD H DH BE =()CBE CDH SAS ∆≅∆ECB DCH ∴∠=∠，，，，，，，，，故③错误，的周长，故②错误， 设，则，，， ， 时，的面积的最大值为．故④正确3．（2021•广州模拟）如图，在中，，是的中点，点在上，，，垂足分别为，，连接．则下列结论中：①；②；③；90ECH BCD ∴∠=∠=︒45ECG GCH ∴∠=∠=︒CG CG =CE CH =()GCE GCH SAS ∴∆≅∆EG GH ∴=GH DG DH =+DH BE =EG BE DG ∴=+AEG ∴∆2AE EG AG AE AH AD DH AE AE EB AD AB AD a =++=+=++=++=+=BE x =AE a x =-2AF x =222222*********()()()222244228AEF S a x x x ax x ax aaxaa ∆∴=-⨯=-+=--+-=--+102-<12x a ∴=AEF ∆218a Rt ABC ∆CA CB =M AB D BM AE CD ⊥BF CD ⊥E F EM BF CE =AEM DEM ∠=∠2AE CE ME -=④；⑤若平分，则； 正确的有．（只填序号）【答案】①②③④⑤【详解】，， ，，又，，，，故①正确；由全等可得：，， ，连接，，点是中点， ，， 在和中，，，，又，，，，，，，即为等腰直角三角形，，故③正确，， ，，故②正确，设与交于点，连接，，，，2222DE DF DM +=AE BAC ∠:2EF BF 90ACB ∠=︒90BCF ACE ∴∠+∠=︒90BCF CBF ∠+∠=︒ACE CBF ∴∠=∠90BFD AEC ∠=︒=∠AC BC =BCF CAE ∴∆≅∆()AAS BF CE ∴=AE CF =BF CE =AE CE CF CE EF ∴-=-=FM CM M AB 12CM AB BM AM ∴===CM AB ⊥BDF ∆CDM ∆BFD CMD ∠=∠BDF CDM ∠=∠DBF DCM ∴∠=∠BM CM =BF CE =BFM OCEM ∴∆≅()SAS FM EM ∴=BMF CME ∠=∠90BMC ∠=︒90EMF ∴∠=︒EMF ∆2EF EM AE CE ∴==-45MEF MFE ∠=∠=︒90AEC ∠=︒45MEF AEM ∴∠=∠=︒AE CM N DN DMF NME ∠=∠FM EM =45DFM DEM AEM ∠=∠=∠=︒，，，为等腰直角三角形，，而，，故④正确；，，，平分，，，，，即，，，，，，为等腰直角三角形，，4．（2018•广州）如图，是的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点．连接，，，与交于点，则下列结论： ①四边形是菱形；②；③；④． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）DFM NEM ∴∆≅∆()ASA DF EN ∴=DM MN =DMN ∴∆2DN DM ∴=90DEA ∠=︒2222DE DF DN DM ∴+==AC BC =90ACB ∠=︒45CAB ∴∠=︒AE BAC ∠22.5DAE CAE ∴∠=∠=︒67.5ADE ∠=︒45DEM ∠=︒67.5EMD ∴∠=︒DE EM =AE AE =AED AEC ∠=∠DAE CAE ∠=∠ADE ACE ∴∆≅∆()ASA DE CE ∴=MEF ∴∆2EF EM ∴=∴22EF EF EF EM BF CE DE ===CE ABCD AB O CE DA E AC BE DO DO AC F ACBE ACD BAE ∠=∠:2:3AF BE =:2:3COD AFOE S S ∆=四边形【答案】①②④【详解】四边形是平行四边形，，，垂直平分，，， ，， ，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故①正确，，，，，故②正确，，， ，故③错误， 设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积，四边形的面积为，的面积为．故④正确ABCD //AB CD ∴AB CD =EC AB 1122OA OB AB DC ∴===CD CE ⊥//OA DC ∴12EA EO OA ED EC CD ===AE AD ∴=OE OC =OA OB =OE OC =∴ACBE AB EC ⊥∴ACBE 90DCE ∠=︒DA AE =AC AD AE ∴==ACD ADC BAE ∴∠=∠=∠//OA CD ∴12AF OA CF CD ==∴13AF AF AC BE ==AOF ∆a OFC ∆2a CDF ∆4a AOC ∆AOE =∆3a =∴AFOE 4a ODC ∆6a:2:3COD AFOE S S ∆∴=四边形5．（2021•天河区一模）如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的是 ． （1）；（2）； （3）是等边三角形；（4）．【答案】（1）（3）（4）【详解】，点是中点，， ，，， 是等边三角形，故（3）正确；设，则， 由勾股定理得，，为中点，，， 在中，由勾股定理得，，四边形是矩形，，，故（1）正确；，， ABCD O AC EF O EF AC ⊥DC F AB E G AE 30AOG ∠=︒3DC OG =12OG BC =OGE ∆16AOE ABCD S S ∆=矩形EF AC ⊥G AE 12OG AG GE AE ∴===30AOG ∠=︒30OAG AOG ∴∠=∠=︒90903060GOE AOG ∠=︒-∠=︒-︒=︒OGE ∴∆2AE a =OE OG a ==2222(2)3AO AE OE a a a =-=-=O AC 223AC AO a ∴==1123322BC AC a a ∴==⨯=Rt ABC ∆22(23)(3)3AB a a a -=ABCD 3CD AB a ∴==3DC OG ∴=OG a =132BC =，故（2）错误； ，， ，故（4）正确； 综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）．6．（2021•越秀区一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线，在下列结论中：①当时，直线一定经过第一、第二、第三象限；②直线一定经过第三象限；③过点作，垂足为，则；④若与轴交于点，与轴交于点，为等腰三角形，则或，其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．【答案】②③【详解】当，，即时，直线经过第一，第二，第三象限； 当，即时，直线经过第一，第三象限； 当，，即时，直线经过第一，第三，第四象限； 当时，，直线经过第二，第三，第四象限；故①错误，②正确； 一次函数，当时，，即直线经过定点，当点和定点重合时， ；即③正确；若与轴交于点，与轴交于点，则，，， 若为等腰三角形，则，，解得或， 又当时，点和点，点重合，故不成立， 当为等腰三角形，；故④错误．7．（2019•葫芦岛）如图，点是正方形的对角线延长线上的一点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点，则下列结论中：12OG BC ∴≠213322AOE S a a a ∆=⋅=23333ABCD S a a a ==16AOE ABCD S S ∆∴=矩形xOy 21y mx m =+-l 0m >l l O OH l ⊥H OH 5l x A y B AOB ∆1m =-120m >210m ->12m >l 210m -=12m =l 0m >210m ->102m <<l 0m <210m -<l 21(2)1y mx m m x =+-=+-2x =-1y =-l (2,1)--H (2,1)--OH 5l x A y B 12(m A m-0)(0,21)B m -AOB ∆||||OA OB =12|||21|m m m -∴=-1m =±1212m =A B O ∴AOB ∆1m =±P ABCD BD PA P PE PA ⊥BC E E EF BP ⊥F①；②；③；④正确的是（填写所有正确结论的序号）【答案】①②③【详解】①解法一：如图1，在上取一点，使，连接、，，，四边形是正方形，，，在和中，，，，，，，，，，，PA PE=CE =12BF PD BD-=PEF ADPS S∆∆=EF G FG FP=BG PG EF BP⊥90BFE∴∠=︒ABCD45FBC ABD∴∠=∠=︒BF EF∴=BFG∆EFP∆BF EFBFG EFPFG FP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BFG EFP SAS∴∆≅∆BG PE∴=PEF GBF∠=∠45ABD FPG∠=∠=︒//AB PG∴AP PE⊥90APE APF FPE FPE PEF∴∠=∠+∠=∠+∠=︒APF PEF GBF∴∠=∠=∠//AP BG∴四边形是平行四边形，，；解法二：如图2，连接，，、、、四点共圆，，，，是等腰直角三角形，，故①正确；②如图3，连接，由①知：，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，即，，；故②正确； ∴ABGP AP BG ∴=AP PE ∴=AE 90ABC APE ∠=∠=︒A ∴B E P 45EAP PBC ∴∠=∠=︒AP PE ⊥90APE ∴∠=︒APE ∴∆AP PE ∴=CG //PG AB PG AB=AB CD =//AB CD //PG CD ∴PG CD =∴DCGP CG PD ∴=//CG PD PD EF ⊥CG EF ∴⊥90CGE ∠=︒45CEG ∠=︒22CE CG PD ∴==③如图4，连接交于，由②知：，四边形是正方形，，，四边形是矩形，，， 故③正确；④如图4中，在和中，， ，，，故④不正确；本题结论正确的有：①②③8．（2021春•拱墅区期中）如图，正方形中，在的延长线上取点，，使，，连接分别交，于，．下列结论：①图中有8个等腰三角形；②；③；④其中正确的有（填序号）．【答案】③④【详解】如图，在正方形中，AC BD O 90CGF GFD ∠=∠=︒ABCD AC BD ∴⊥90COF ∴∠=︒∴OCGF CG OF PD ∴==∴12BD OB BF OF BF PD ==-=-AOP ∆PFE ∆90AOP EFP APF PEFAP PE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOP PFE AAS ∴∆≅∆AOP PEF S S ∆∆∴=ADP AOP PEF S S S ∆∆∆∴<=ABCD AD E F DE AD =DF BD =BF CD CE H G 2EC DG =GHC DGE ∆≅∆22BDG DEGS S ∆∆=+ABCD，，和是等腰三角形；，，和是等腰三角形；，，，，和是等腰三角形；，，是等腰三角形，且，， ，，和是等腰三角形，综上，图中共有9个等腰三角形；故①不正确；是等腰三角形，正方形，，，，，四边形是平行四边形，，，，，要使，只要为的中点即可，且，，，即和不全等，点不是中点，②错误由①分析可知，在和中，，；故③正确；由上分析可知，，，，AB BC CD AD ===45ADB DBC ∠=∠=︒ABD ∴∆BCD ∆DE DC =DF BD =DEC ∴∆BDF ∆45DCE DEC ∴∠=∠=︒22.5F DBC ∠=∠=︒22.5CBG EGF F ∴∠=∠=∠=︒22.5BGC EGF ∴∠=∠=︒BCG ∴∆EFG ∆BC CG CD ∴==67.5CDG CGD ∠=∠=︒CDG ∴∆22.5GDF ∠=︒67.5DHG BHC ∠=∠=︒GDF F ∴∠=∠DG HG =DHG ∴∆DGF ∆CDG∴∆ABCD DE AD =//AD BC ∴DE BC =90EDC ∠=︒∴DECB BD CE ∴=//BD CE DE BC AD ∴==45DCE DEC ∴∠=∠=︒2CE DG =G CE DE DC =DF BD =EF BC ∴≠EFG ∆BCG ∆∴G CE GHC ∆DGE ∆22.5CG ED GDE HGC GH DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()GHC DGE SAS ∴∆≅∆22.5DBG GDE ∠=∠=︒45DGB DEG ∠=∠=︒DBG GDE ∴∆∆∽， 如图，过点作交的延长线于点，，设，则，， ， ，综上，③④正确．9．（2021春•安丘市月考）如图，已知正方形的边长为4，点是对角线上一动点（不与，重合），于点，于点，连接，．则下列结论正确的是 ．．；．，且； ．四边形的周长是8；．．【答案】、、【详解】，，是矩形，是正方形的对角线，则， ∴222()BDG DEG S BG BG S DE DE ∆∆==G GM BC ⊥BC M 45GCM ∴∠=︒BC a =CG a =22CM GM a ∴==222222()()(22)22BG a a a a ∴=++=+DE BC a ==∴222(22)22BDG DEG S BG a S DE ∆∆+===ABCD P BD D B PF CD ⊥F PE BC ⊥E AP EF A 2PD EC =B AP EF =AP EF ⊥C PECF D 12BD EF AB <B C D PF CD ⊥PE BC ⊥PECF ∴BD 45PDF ∠=︒为等腰直角三角形，，故错误；延长交于点，延长交于点．四边形是正方形．又，，四边形是正方形，，，在与中，，，；，与中，，，，，故正确；，，，四边形为矩形，四边形的周长，故正确；设，，，PDF ∴∆22PD PF EC ∴==A FP AB N AP EF M ABCD ABP CBD ∴∠=∠NP AB ⊥PE BC ⊥∴BNPE ANP EPF ∠=∠NP EP ∴=AN PF ∴=ANP ∆FPE ∆NP EP ANP EPF AN PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ANP FPE SAS ∴∆≅∆AP EF ∴=PFE BAP ∠=∠APN ∆FPM ∆APN FPM ∠=∠NAP PFM ∠=∠90PMF ANP ∴∠=∠=︒AP EF ∴⊥B PE BC ⊥PF CD ⊥90BCD ∠=︒∴PECF ∴PECF 222228CE PE CE BE BC =+=+==C BE x =2222(4)28162(2)4EF x x x x x ∴=+-=-+=⋅-+04x， ， ，，， 故正确，10．（2021春•零陵区期末）如图，在边长为2的正方形中，动点，分别以相同的速度从，两点同时出发向和运动（任何一个点到达即停止），连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，在运动过程中则下列结论： ①；②；③；④线段． 其中正确的结论有．（填写正确的序号）【答案】①②③④【详解】动点，分别以相同的速度从，两点同时出发向和运动， ，四边形是正方形，，，，，故①正确；，，故②正确；，，，即，故③正确； 点在运动中始终保持，点的路径是一段以为直径的弧，如图，设的中点为，连接交弧于点，此时的长度最小，在中，，22EF ∴12EF BD∴4EF <EF AB ∴<∴12BD EF AB <D ABCD F E D C C B AE BF P P //PM CD BC M //PN BC CD N MN ABE BCF ∆≅∆AE BF =AE BF ⊥MN 51F E D C C B DF CE ∴=ABCD 2AB BC CD ∴===90ABC BCD ∠=∠=︒CF BE ∴=()ABE BCF SAS ∴∆≅∆AE BF ∴=BAE CBF ∠=∠90CBF ABP ∠+∠=︒90BAE ABP ∴∠+∠=︒90APB ∴∠=︒AE BF ⊥P 90APB ∠=︒∴P AB AB H CH P CP Rt BCH ∆225CH BC BH +=， ，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，即线段，故④正确．11．（2021•海珠区校级模拟）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．【答案】①②③【详解】，，，，，，，，，故①正确；，112PH AB ==51CP CH PH ∴=-=-//PM CD //PN BC ∴PMCN 90BCD ∠=︒∴PMCN 51MN CP ∴==-MN 51ABCD BPC ∆BP CP AD E F BD DP BD CF H DFP BPH ∆∆∽3FP DF PH CD ==2PD PH CD =⋅31BPD ABCD S S ∆-=正方形PC CD =30PCD ∠=︒75PDC ∴∠=︒15FDP ∴∠=︒45DBA ∠=︒15PBD ∴∠=︒FDP PBD ∴∠=∠60DFP BPC ∠=∠=︒DFP BPH ∴∆∆∽906030DCF ∠=︒-︒=︒， ，， ， ，故②正确； ，，，又， ，而，，，即， 又，，故③正确；如图，过作，， 设正方形的边长是4，为正三角形，则正方形的面积为16， ，，，，，3tan3DF DCF CD ∴∠==DFP BPH ∆∆∽∴3FP DF PH BP ==BP CP CD ==∴3FP DF PH CD ==PC DC =30DCP ∠=︒75CDP ∴∠=︒75DHP DCH CDH ∠=∠+∠=︒DHP CDP ∴∠=∠DPH CPD ∠=∠DPH CPD ∴∆∆∽∴PH PD PD PC=2PD PH CP =⋅CP CD =2PD PH CD ∴=⋅P PM CD ⊥PN BC ⊥ABCD BPC ∆ABCD 60PBC PCB ∴∠=∠=︒4PB PC BC CD ====30PCD ∴∠=︒1sin6043232PN PB ∴=⋅︒=⨯=sin302PM PC =⋅︒=BPD BCD PBC PDC BCD PBCD S S S S S S ∆∆∆∆∆=-=+-四边形1114232444222=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯4348=+-434=-∴31BPDABCD S S ∆-=正方形12．（2021•南沙区一模）如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点，连接．点、分别是线段，上的动点（与端点不重合），且：以下结论：①：②；③最小值为1；④若为等腰三角形，则点的位置有三种不同情况．其中正确的是 ．【答案】②③【详解】（1）如图1中，四边形是矩形，，，， 由翻折可知：．， 设，则． 在中，，，在中，则有：， ， ．故①错误；四边形是矩形，ABCD 4AB =5AD =E CD AE ABCD AE D BC F AE BC G DG M N AG DG DMN DAM ∠=∠2CE =2DM DN AF =⋅DN DMN ∆M ABCD 5AD BC ∴==4AB CD ==90B BCD ∴∠=∠=︒5AD AF ==DE EF =EC a =4DE EF a ==-Rt ABF ∆223BF AF AB =-=532CF BC BF ∴=-=-=Rt EFC ∆222(4)2a a -=+32a ∴=32EC ∴=ABCD，， ，， ，，，又，四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 故②正确；如图2中，设，．，， ， ，，在中，//AD BG ∴DAG AGB ∴∠=∠DAG GAF ∠=∠GAF AGF ∴∠=∠AF FG ∴=AD AF =AD FG ∴=//AD FG ∴AFGD AF DG ∴=DMN DAG DGM ∠=∠=∠MDN GDM ∠=∠DMN DGM ∴∆∆∽∴DM DG DN DM=2DM DN DG ∴=⋅2DM DN AF ∴=⋅AM x =DN y =//AD CG ∴AD DE CG CE=∴55232CG =3CG ∴=8BG BC CG ∴=+=Rt ABG ∆22224845AG AB BG =++在中，，，，，，，，， ， ． 时，有最小值1． 的最小值是1．故③正确．由②可知， 不与点重合，，， 为等腰三角形，有或两情况，故④不正确．13．（2021•越秀区模拟）如图，正方形纸片，为正方形边上的一点（不与点，重合）．将正方形纸片折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，折痕为，连接，，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②③Rt DCG ∆225DG DC CG =+5AD DG ==DAG AGD ∴∠=∠DMG DMN NMG DAM ADM ∠=∠+∠=∠+∠DMN DAM ∠=∠ADM NMG ∴∠=∠ADM GMN ∴∆∆∽∴AD AM MG GN =∴545x yx =--2145555y x x ∴=-+25x ∴=y DN ∴DNM DMG ∠=∠N G DNM DMN ∴∠≠∠DM DN ∴≠DMN ∴∆MN DN =MN MD =ABCD P AD A D B P C G PG DC H EF BP BH BH EF M PM BP EF =PB APG ∠PH AP HC =+MH MF =【详解】如图1，根据翻折不变性可知：，．又，．即．又，．．故②正确；如图2，作于．设交于．，四边形是矩形，，，，，，，，，，故①正确，如图3，过作，垂足为．PE BE =EBP EPB ∴∠=∠90EPH EBC ∠=∠=︒EPH EPB EBC EBP ∴∠-∠=∠-∠PBC BPH ∠=∠//AD BC APB PBC ∴∠=∠APB BPH ∴∠=∠FK AB ⊥K EF BPO 90FKB KBC C ∠=∠=∠=︒∴BCFK KF BC AB ∴==EF PB ⊥90BOE ∴∠=︒90ABP BEO ∠+∠=︒90BEO EFK ∠+∠=︒ABP EFK ∴∠=∠90A EKF ∠=∠=︒()ABP KFE ASA ∴∆≅∆EF BP ∴=B BQ PH ⊥Q由（1）知，，．，，又，．又，，，，即，故③正确；设与的交点为点，如图4，，，，，， 即，由折叠知，，，，，，APB BPH ∠=∠BA BQ ∴=BP BP =Rt ABP Rt QBP(HL)∴∆≅∆AP QP ∴=AB BC =BC BQ ∴=90C BQH ∠=∠=︒BH BH =Rt BCH Rt BQH(HL)∴∆≅∆CH QH ∴=QP QH AP CH ∴+=+PH AP CH =+EF BPN Rt ABP Rt QBP ∆≅∆BCH BQH ∆≅∆ABP QBP ∴∠=∠CBH QBH ∠=∠1452QBP QBH ABP CBH ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒45PBM ∠=︒45BPM PBM ∠=∠=︒EBM EPM ∠=∠90PNF BNF ∠=∠=︒//AB CD 45MHF EBM EPM EPN ∴∠=∠=∠=︒+∠在四边形中，，，，，当时，，则，此时，，则此时，故④错误；14．（2021•包河区二模）正方形的边长为8，点、分别在边、上，将正方形沿折叠，使点落在处，点落在点处，交于．以下结论： ①当为中点时，△三边之比为；②图当△三边之比为时，为中点；③当在上移动时，△周长不变；④当在上移动时，始终有．其中正确的有（写出所有正确结论的序号）【答案】①③④【详解】解：为中点，正方形的边长为8，，，，折叠，设，则在△中，，，解得：，DPNF 90D PNF ∠=∠=︒180MFH DPN ∴∠+∠=︒180DPN APN ∠+∠=︒APN MFH ∴∠=∠AP AE ≠45APE ∠≠︒APN EPM ∠≠∠MFH MHF ∠≠∠MH MF ≠ABCD E F AD BC EF A A 'B B 'A B ''BC G A 'CD A DE '3:4:5A DE '3:4:5A 'CD A 'CD A CG 'A 'CD A G A D BG '='+A 'CD ABCD 8AD ∴=142A D CD '==90o D ∠=∴A E AE x '==8DE x =-Rt A DE '222A D DE A E ''+=2224(8)x x ∴+-=5x =，，当为中点时，△三边之比为，故①正确；当△三边之比为时，假设，，，则， ，，解得：， ，， 此时不是中点，故②错误；如图，过点作，垂足为，连接，，则， 折叠，，，，，△△，，， ，，在与中，， ，，△周长，当在上移动时，△周长不变，故③正确；5AE ∴=3DE =∴A 'CD A DE '3:4:5A DE '3:4:53A D a '=4DE a =5A E a '=5AE A E a '==8AD AE DE =+=548a a ∴+=89a =833A D a '∴==816833A C CD A D ''=-=-=∴A 'CD A AH A G '⊥H A A 'AG 90AHA AHG '∠=∠=︒90EA G EAB '∴∠=∠=︒A E AE '=90o D ∠=90o EAA DA A ''∴∠+∠=AA G DA A ''∴∠=∠∴AA D '≅()AA H AAS 'AD AH ∴=A D A H ''=AD AB =AH AB ∴=Rt ABG ∆Rt AHG ∆AB AH AG AG =⎧⎨=⎩Rt ABG Rt AHG(HL)∴∆≅∆HG BG ∴=∴A CG 'A C A G CG ''=++A C A H HG CG ''=+++A C A D BG CG ''=+++CD BC =+88=+16=∴A 'CD A CG '△△，，，，，故④正确．15．（2021春•顺德区期末）在等腰三角形中，，边上的中垂线交边于点，垂足为点，的平分线交边于点，交于点，连接交于点．则下列结论正确的是 ．①表示周长）；②；③若，则；④若，则图中有6个等腰三角形；⑤若，则．【答案】①③⑤【详解】是的垂直平分线，，，故①正确；是的角平分线， 是的角平分线， 当时，有，故②错误；是的垂直平分线，，， ，，，，，在中，，AA D '≅AA H 'Rt AHG ABG ≅∆A D A H ''∴=HG BG =A G A H HG A D BG '''∴=+=+ABC AB AC =AC BC D E ABC ∠AC F DE G AD BF H (ABD C AC BC C ∆=+AH DH =AB DB =36C ∠=︒BD CD =BDE α∠=3602BAC α∠=︒-DE AC AD CD ∴=AB AC =ABD C AB BD AD AC BD CD AC BC ∆∴=++=++=+BG ABC ∠BH ∴ABC ∠AB BD =AH DH =DE AC AD CD ∴=CAD C ∴∠=∠2ADB CAD C C ∴∠=∠+∠=∠AB AC =ABC C ∴∠=∠AB BD =2BAD BDA C ∴∠=∠=∠ABD ∆180ABC ADB BAD ∠+∠+∠=︒即，即，故③正确；，为等腰三角形，是的垂直平分线，，为等腰三角形，，，为等腰三角形，， ，，，，，是的垂直平分线，，，，和是等腰三角形，是的角平分线，， ，，，为等腰三角形，，，，，为等腰三角形，综上共有7个等腰三角形，故④错误；是的垂直平分线，，22180C C C ∠+∠+∠=︒36C ∠=︒AB AC =ABC ∴∆DE AC AD CD ∴=ACD ∴∆BD CD =BD AD ∴=ABD ∴∆12AD BC ∴=90BAC ∴∠=︒AB AC =45ABC C ∴∠=∠=︒45BAD ABD ∴∠=∠=︒45CAD C ∠=∠=︒DE AC 90AED CED ∴∠=∠=︒45ADE CAD ∴∠=∠=︒45CDE C ∠=∠=︒ADE ∴∆CDE ∆BG ABC ∠122.52DBG ABG ABC ∴∠=∠=∠=︒67.5AHF ABG BAD ∴∠=∠+∠=︒18067.5AFH CAD AHF ∴∠=︒-∠-∠=︒AHF AFH ∴∠=∠AHF ∴∆18090ADB ABC BAD ∠=︒-∠-∠=︒135BDG ADB ADE ∴∠=∠+∠=︒18022.5BGD BDG DBG ∴∠=︒-∠-∠=︒BGD DBG ∴∠=∠BDG ∴∆DE AC 90CED ∴∠=︒，，，，故⑤正确16．（2018•济南）如图，矩形的四个顶点分别在矩形的各条边上，，，．有以下四个结论：①；②；③；④矩形的面积是．其中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号填在横线上）【答案】①②④【详解】，．又， ，故①正确．同理可得．． 又，，，故②正确．同理可得．．易得．设、为， ．． ． ． ． 在中， 90C BDG CED α∴∠=∠-∠=-︒AB AC =90ABC C α∴∠=∠=-︒1803602BAC ABC C α∴∠=︒-∠-∠=︒-EFGH ABCD AB EF =2FG =3GC =BGF CHG ∠=∠BFG DHE ∆≅∆1tan 2BFG ∠=EFGH 4390FGH ∠=︒90BGF CGH ∴∠+∠=︒90CGH CHG ∠+∠=︒BGF CHG ∴∠=∠DEH CHG ∠=∠BGF DEH ∴∠=∠90B D ∠=∠=︒FG EH =BFG DHE ∴∆≅∆AFE CHG ∆≅∆AF CH ∴=BFG CGH ∆∆∽GH EF a ∴BF FG CG GH =∴23BF a=6BF a∴=6AF AB BF a a ∴=-=-6CH AF a a∴==-Rt CGH ∆，．解得．． 在中，，． ，故③错误． 矩形的面积17．（2021•越秀区校级模拟）如图，已知正方形，点是边延长线上的动点（不与点重合），且，由平移得到．若过点作，为垂足，则有以下结论：①点位置变化，使得时，；②无论点运动到何处，都有；③无论点运动到何处，一定等于；④无论点运动到何处，都有．其中正确结论的序号为 ．【答案】①②④【详解】①如图，在正方形中，，， ，，，，；由平移得，，，，；以的中点为圆心，以为直径作，连结、，则， 点、在上． 当时，则，222CG CH GH +=22263()a a a ∴+-=23a =23GH ∴=63BF a a∴=-=Rt BFG ∆3cos BF BFG FG ∠=30BFG ∴∠=︒3tan tan303BFG ∴∠=︒=EFGH 22343FG GH =⨯=⨯ABCD M BA A AM AB <CBE ∆DAM ∆E EH AC ⊥H M 60DHC ∠=︒2BE DM =M 2DM HM M CHM ∠150︒M 2ACE ADH S S ∆∆=ABCD AB CB AD CD ===90B ADC ∠=∠=︒45DAH BAC ∴∠=∠=︒EH AC ⊥90AHE ∴∠=︒45MEH EAH DAH ∴∠=∠=︒=∠AH EH ∴=AM BE =EM AB AD ∴==()ADH EMH SAS ∴∆≅∆DHA MHE ∴∠=∠90DHM DHA AHM MHE AHM AHE ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠=︒DM O DM O OA OH 12OA OH DM OD ===∴A H O 60DHC ∠=︒18060BEC AMD DHA DHC ∠=∠=︒-∠=∠=︒，．故①正确；②由①得，，，．故②正确；③，的大小随即的变化而变化，如当时，则．故③错误；④作于点，于点，则． 设正方形的边长为，，则．，， ．故④正确．18．（2021•越秀区校级三模）如图，矩形的对角线与交于点，点在上，且，连接，，与相交于点，，则下列结论：①；②；③是等腰三角形；④当，则，其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）30BCE ∴∠=︒2BE CE DM ∴==HD HM =90DHM ∠=︒22222DM HD HM HM ∴=+=2DM HM ∴=90CHM DHC DHM DHC ∠=∠+∠=∠+︒CHM ∴∠DHC ∠AM D ∠75AMD ∠=︒165150CHM ∠=︒≠︒HP AB ⊥P HQ AD ⊥Q 12HP HQ AE AP EP ====ABCD x HP HQ a ==2AE a =122ACE S ax ax ∆=⨯=12ADH S ax ∆=2ACE ADH S S ∆∆∴=ABCD AC BD O E ADDE CD =OE BE AC BE F 12ABE ACB ∠=∠BE DE =OE BD ⊥AEF ∆2AE =OE 13【答案】③④【详解】四边形是矩形，，，，，，，故①错误；，，与不垂直，故②错误；如图，作于，于．设与的交点为．则，四边形为矩形，，，，，，，， ，，，，设，则，，所以，，，，，故③正确；，在中：，，解得，（舍，，，，与交于点，ABCD AB CD ∴=90BAE ∠=︒DE CD =AB DE ∴=AB BE <BE DE ∴≠BO DO =BE DE ≠OE ∴BD CH BE ⊥H EG BD ⊥G BE ACF 90HBC BCH BHC ∠+∠=∠=︒ABCD AD BC ∴=AB CD =90ABC BAD ∠=∠=︒//AD BC AC BD =90ABE CBH ∴∠+∠=︒ABE BCH ∴∠=∠12ABE ACB ∠=∠BCH GCH ∴∠=∠BH FH ∴=BC CG =CBH CGH ∠=∠AB x =ED CD AB x ===2AE =2AD AE ED x =+=+2CB CF x ∴==+//AD BC AEG CBH CGH AGE ∴∠=∠=∠=∠2AF AE ∴==4AC AG CG x ∴=+=+Rt ABC ∆222AB BC AC +=222(2)(4)x x x ∴++=+16x =22x =-)6AB CD ∴==8AD AC ==10AC BD ==AC BD O， ，， ，， ， 在中： ， ，故④正确． 故其中正确的结论是③④．19．（2020•海珠区一模）如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，，则下列结论：①；②；③为等边三角形；④当时，． 其中正确的是．【答案】①②③④【详解】①于点，于点，为边的中点，，， ，正确；②在与中， ，，，，正确； ③，于点，于点，5AO BO CO DO ∴====3sin 5AB EG BDA BD DE ∠===4cos 5AD DG BDA BD DE ∠===31855EG ED ∴==42455DG ED ==241555OG OD DG ∴=-=-=Rt OGE ∆22222118325()()135525OE EG OG =+=+==13OE ∴=ABC ∆60A ∠=︒BM AC ⊥M CN AB ⊥N P BC PM PN PM PN =AM AN AB AC=PMN ∆45ABC ∠=︒2BN PC BM AC ⊥M CN AB ⊥N P BC 12PM BC ∴=12PN BC =PM PN ∴=ABM ∆ACN ∆A A ∠=∠90AMB ANC ∠=∠=︒ABM ACN ∴∆∆∽∴AM AN AB AC=60A ∠=︒BM AC ⊥M CN AB ⊥N，在中，，点是的中点，，，，，，，，是等边三角形，正确；④当时，于点，，，，为边的中点，，为等腰直角三角形，正确．20．（2020•天河区一模）如图，在正方形中，对角线，交于点，点，分别在，上，且，交于点，连接．得到下列四个结论：①；②；③；④四边形是菱形，其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【详解】四边形是正方形，，由，可得：， 30ABM ACN ∴∠=∠=︒ABC ∆1806030260BCN CBM ∠+∠=︒-︒-︒⨯=︒P BC BM AC ⊥CN AB ⊥PM PN PB PC ∴===2BPN BCN ∴∠=∠2CPM CBM ∠=∠2()260120BPN CPM BCN CBM ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒60MPN ∴∠=︒PMN ∴∆45ABC ∠=︒CN AB ⊥N 90BNC ∴∠=︒45BCN ∠=︒BN CN ∴=P BC PN BC ∴⊥BPN ∆22BN PB PC ∴==ABCD AC BD O E F AB BD ADE FDE ∆≅∆DE AC G GF 22.5ADG ∠=︒AGD OGD S S ∆∆=2BE OG =AEFG ABCD 45GAD ADO ∴∠=∠=︒∴ADE FDE ∆≅∆122.52ADG ADO ∠=∠=︒故①正确；，，，又，，，故②错误；，，，，，．，，，，，，四边形是菱形，故④正确；四边形是菱形，，，为等腰直角三角形，，，为等腰直角三角形，，③正确．综上，正确的有①③④．21．（2020•越秀区一模）如图，为正方形，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点，与的延长线交于点，连接、、与相交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．ADE FDE ∆≅∆AD FD ∴=ADG FDG ∠=∠GD GD =()ADG FDG SAS ∴∆≅∆AGD OGD S S ∆∆∴>ADE FDE ∆≅∆EA EF ∴=ADG FDG ∆≅∆GA GF ∴=AGD FGD ∠=∠AGE FGE ∴∠=∠90EFD AOF ∠=∠=︒//EF AC ∴FEG AGE ∴∠=∠FGE FEG ∴∠=∠EF GF ∴=EF GF EA GA ∴===∴AEFG AEFG //AE FG ∴45OGF OAB ∴∠=∠=︒OGF ∴∆2FG OG ∴=2EF OG ∴=BFE ∆2222BE EF OG OG ∴==⨯=∴ABCD CAB ∠BC E C CF AE ⊥AE G CF AB F BG DG AC H ABE CBF ∆≅∆GF CG =BG DG ⊥(21)DH AE =【答案】①②③【详解】①四边形为正方形，，，，，，，，，故此小题结论正确；②是的角平分线，，，，，，故此小题结论正确；③，，，，，，，，，，，，故此小题结论正确；ABCD AB CB ∴=90ABC CBF ∠=∠=︒AG CF ⊥90AGF ∴∠=︒90GAF F ∴∠+∠=︒90BCF F ∠+∠=︒GAF BCF ∴∠=∠()ABE CBF ASA ∴∆≅∆AG CAB ∠BAG CAG ∴∠=∠90AGF AGC ∠=∠=︒AG AG =()AFG ACG ASA ∴∆≅∆FG CG ∴=90CBF ∠=︒FG CG =BG CG ∴=CBG BCG ∴∠=∠90ABC DCB ∠=∠=︒ABG DCG ∴∠=∠AB DC =()ABG DCG SAS ∴∆≅∆AGB DGC ∴∠=∠90DGC AGD AGC ∠+∠=∠=︒90AGB AGD ∴∠+∠==︒BG DG ∴⊥④，，，， ， 故此小题结论错误．由上可知，正确的结论是①②③22．（2020•增城区一模）如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确结论的是 ．（请将正确结论的序号填写在横线上）【答案】①④【详解】四边形是正方形，，， ，，在与中，ABG DCG ∆≅∆CDG BAG CAG ∴∠=∠=∠DCH ACE ∠=∠DCH ACE ∴∆∆∽∴2DH DC AE AC ==22DH AE ∴=ABCD BP CQ =AQ DP O CD BC F E AE AQ DP ⊥2OA OE OP =⋅AOD OECF S S ∆<四边形1BP =13tan 16OAE ∠=ABCD AD BC ∴=90DAB ABC ∠=∠=︒BP CQ =AP BQ ∴=DAP ∆ABQ ∆，，，，，，，故①正确；，， ，，， ，，，，；故②错误；在与中， ，，，在与中，，，，，即；故③错误；AD AB DAP ABQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DAP ABQ SAS ∴∆≅∆P Q ∴∠=∠90Q QAB ∠+∠=︒90P QAB ∴∠+∠=︒90AOP ∴∠=︒AQ DP ∴⊥90DOA AOP ∠=∠=︒90ADO P ADO DAO ∠+∠=∠+∠=︒DAO P ∴∠=∠DAO APO ∴∆∆∽∴AO OP OD OA=2AO OD OP ∴=⋅AE AB >AE AD ∴>OD OE ∴≠2OA OE OP ∴≠⋅CQF ∆BPE ∆FCQ EBP CQ BPQ P ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()CQF BPE ASA ∴∆≅∆CF BE ∴=DF CE ∴=ADF ∆DCE ∆AD CD ADC DCE DF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADF DCE SAS ∴∆≅∆ADF DCE S S ∆∆∴=ADF DFO DCE DOF S S S S ∆∆∆∆∴-=-AOD OECF S S ∆=四边形，，，，， ， ， ，， ，， ， ，故④正确， 23．（2020•天桥区模拟）如图，正方形的边长是3．，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列到结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确结论是： ．【答案】①③⑤【详解】四边形是正方形，，， ，，在和中，1BP =3AB =4AP ∴=PBE PAD ∆∆∽∴43PB PA BE DA ==34BE ∴=134QE ∴=QOE PAD ∆∆∽∴1345OQ OE QE PA AD PD ===135QO ∴=3920OE =1255AO QO ∴=-=13tan 16OE OAE OA ∴∠==ABCD BP CQ =AQ DP O CD BC F E AE DF CE =2OQ OA OF =⋅AOD OECF S S ∆=四边形222AO OE BC +=1BP =13tan 16OAE ∠=ABCD AD AB BC CD ∴===90DAB ABC ∠=∠=︒BP CQ =AP BQ ∴=DAP ∆ABQ ∆，，，，，，，，，， ，不一定等于，故②不正确；在和中，， ，，，故①正确；在和中，，，，即，故③正确；，，DA AB DAB ABQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DAP ABQ SAS ∴∆≅∆P Q ∴∠=∠90Q QAB ∠+∠=︒90P QAB ∴∠+∠=︒90AOP ∴∠=︒90DAO ADO ADO FDO ∴∠+∠=∠+∠=︒DAO FDO ∴∠=∠DAO FDO ∴∆∆∽∴OD OA OF OD=2OD OA OF ∴=⋅OD OQ CQF ∆BPE ∆FCQ EBP CQ BPQ P ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()CQF BPE ASA ∴∆≅∆CF BE ∴=DF CE ∴=ADF ∆DCE ∆AD CD ADC DCE DF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADF DCE SAS ∴∆≅∆ADF DOF DCE DOF S S S S ∆∆∆∆∴-=-AOD OECF S S ∆=四边形AQ DP ⊥222AQ OE AE ∴+=，，故④错误；，，，正方形中，，，，， ， ，，， ， ，， ， ， 故⑤正确．综上，正确的有①③⑤．24．（2020•番禺区模拟）如图，是正的外接圆，过点的直线交于点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点、，连接、．已知，，现在有如下4个结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号为 ． AE AB BC >=222AQ OE BC ∴+>1BP =3AB =4AP ∴=ABCD //BC AD PBE PAD ∴∆∆∽∴43BP AP BE AD ==34BE ∴=134QE ∴=P Q ∠=∠90PAD QOE ∠=∠=︒PAD QOE ∴∆∆∽∴1345OQ OE QE AP AD PD ===135OQ ∴=3920OE =1255AO OQ ∴=-=13tan 16OE OAE AO ∴∠==O ABC ∆A l O D B C l E F BD CD 3BE =2CF =60CDF ∠=︒EDB FDC ∆∆∽221BC =23ADB EDB S S ∆∆=【答案】①②③④【详解】是等边三角形，，，、、、四点共圆，，故①正确．，，，，，，故②正确．，，，， ． 过点作于点．如图：四边形是矩形，，， ． 在中，由勾股定理可得：， 故③正确．在中，， 由勾股定理可得：， ABC ∆60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒AB BC =A B C D 60CDF ABC ∴∠=∠=︒60BDE ACB ∠=∠=︒60BDE CDF ∴∠=∠=︒BE AD ⊥CF AD ⊥90E F ∴∠=∠=︒EDB FDC ∴∆∆∽33BE DE ==32CF DF ==3DE ∴=23DF 533EF DE DF ∴=+=C CG BE ⊥G ∴EGCF 2EG FC ∴==2253531()33CG EF ==+1BG BE EG ∴=-=Rt BGC ∆222213BC BG CG +=Rt AEB ∆2213AB BC ==22222213()333AE AB BE =-=-=， ．， 故④正确． 25．（2019•咸宁）如图，先有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论： ①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的取值范围是． 其中正确的是（把正确结论的序号都填上）．【答案】②③ 【详解】如图1，， ，，323333AD DE AE ∴=-=-=:2:3AD DE ∴=23ADB EDB S S ∆∆∴=ABCD 4AB =8BC =M N AD BC MN C AD P D G PC MN Q CM CQ CD =CMPN P A 25MN =PQM ∆S 35S //PM CN PMN MNC ∴∠=∠MNC PNM ∠=∠，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故②正确；，，，，若，则，，这个不一定成立，故①错误；点与点重合时，如图2，设，则，在中，，即，解得，，， ． 故③正确；PMN PNM ∴∠=∠PM PN ∴=NC NP =PM CN ∴=//MP CN ∴CNPM CN NP =∴CNPM CP MN ∴⊥BCP MCP ∠=∠90MQC D ∴∠=∠=︒CM CM =CQ CD =Rt CMQ Rt CMD ∆≅∆30DCM QCM BCP ∴∠=∠=∠=︒P A BN x =8AN NC x ==-Rt ABN ∆222AB BN AN +=2224(8)x x +=-3x =835CN ∴=-=2245AC AB BC =+=∴1252CQ AC ==∴225QN CN CQ -225MN QN ∴==当过点时，如图3，此时，最短，四边形的面积最小，则最小为， 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ，故④错误．26．（2021•咸宁一模）如图，先有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的取值范围是．其中正确的 （把正确结论的序号都填上）．【答案】②③④【详解】如图1，， ，，，，， ，，四边形是平行四边形， MN D CN CMPN S 1144444CMPN S S ==⨯⨯=菱形P A CN CMPN S 15454S =⨯⨯=45S ∴ABCD 4AB =8BC =M N AD BC MN C AD P D G PC MN Q CM CQ CD =CMPN P A 25MN =PQM ∆S 45S .//PM CN PMN MNC ∴∠=∠MNC PNM ∠=∠PMN PNM ∴∠=∠PM PN ∴=NC NP =PM CN ∴=//MP CN ∴CNPM，四边形是菱形，故②正确；，，，，若，则，，这个不一定成立，故①错误； 点与点重合时，如图2所示：设，则，在中，，即，解得，，， ， ， ．故③正确；当过点时，如图3所示：此时，最短，四边形的面积最小，则最小为， 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ，故④正确．CN NP =∴CNPM CP MN ∴⊥BCP MCP ∠=∠90MQC D ∴∠=∠=︒CM CM =CQ CD =Rt CMQ Rt CMD(HL)∆≅∆30DCM QCM BCP ∴∠=∠=∠=︒P A BN x =8AN NC x ==-Rt ABN ∆222AB BN AN +=2224(8)x x +=-3x =835CN ∴=-=22224845AC AB BC =++=1252CQ AC ∴==225QN CN CQ ∴=-=225MN QN ∴==MN D CN CMPN S 1144444CMPN S S ==⨯⨯=菱形P A CN CMPN S 15454S =⨯⨯=45S ∴27．（2020•越秀区校级二模）已知边长为2的正方形中，、分别是、的中点，将绕点逆时针旋转，射线交于点，交于点，连接．以下结论正确的是 ．①；②平分；③；④若将从一开始旋转至时，点．【答案】①②③ 【详解】四边形是正方形，，，，，，，故①正确，，ABCD E F AB AD AEF ∆A (090)o o αα<<BE DF P AD Q AP AEB AFD ∆≅∆AP BPF ∠2DP BQ EF DQ ⋅=⋅AEF ∆AE BP ⊥P 2ABCD AB AD ∴=90BAD ∠=︒90EAF BAD ∠=∠=︒BAE DAF ∴∠=∠AE AF =()BAE DAF SAS ∴∆≅∆ABE ADF ∴∠=∠，，，，，，四点共圆，，，即平分，故②正确， ，，，， ， ，故③正确，连接，取中点，连接，，如图3，中，由勾股定理得：， ，， ，， 在以圆心，以为半径的圆上，当时，，如图4，AQB DQP ∠=∠90DPQ BAQ ∴∠=∠=︒180EPF EAF ∴∠+∠=︒A ∴E P F 45EPA EFA ∴∠=∠=︒45EPA APF ∴∠=∠=︒PA EPF ∠90BAQ DPQ ∠=∠=︒AQB DQP ∠=∠ABQ PDQ ∴∆∆∽∴BQ AB DQ PD=22AB AE EF ==∴2BQ EF DQ =2DP BQ EF DQ ∴⋅=⋅BD BD O OP OA Rt ABD ∆222222BD =+AEB AFD ∆≅∆ABE ADP ∴∠=∠90BAD BPD ∴∠=∠=︒122OP OA BD ∴===P ∴O OA AE BE ⊥AF DF ⊥， ，，，，，，点．故④错误．28．（2020•南沙区一模）如图，在边长为的正方形中，点为的延长线上的动点，线段于点，且与的外角平分线交于点，直线与边交于点，与延长线交于点．下列结论： ①；②；③；④平分；⑤的周长为定值．其中正确的是 ．（请填写序号）12AF AD =30ADF ∴∠=︒OD OP =453075ODP OPD ∴∠=∠=︒+︒=︒30DOP ∴∠=︒90AOD ∠=︒60AOP ∴∠=︒∴P 6022π⋅⋅a ABCD M CB MN AM ⊥M BCD ∠N AN BC E DC F BAM CAE ∠=∠AE EF =2AC CN CM +=AF M FD ∠MCF ∆【答案】①③④【详解】四边形是正方形，，， 平分，，，，，点，点，点，点四点共圆，，，， ，，，，，故①正确；，， 当时，，点在的平分线上移动，点的位置随点的变化而变化，不一定等于，即不一定等于，故②错误； 如图1，过点作，交的延长线于，ABCD 45ACB ACD BAC ∴∠=∠=∠=︒AB BC CD AD ===CN BCF ∠45BCN NCF ∴∠=︒=∠90ACN ∴∠=︒AM MN ⊥90AMN ACN ∴∠=∠=︒∴A C N M CAN CMN ∴∠=∠45MAN MCN ∠=∠=︒45MNA MCA ∠=∠=︒MAN MNA ∴∠=∠AM MN ∴=90BAM AMB NMC AMB ∠+∠=︒=∠+∠BAM NMC ∴∠=∠BAM CAE ∴∠=∠//AB CD ∴AE BE EF CE=∴BE CE =AE EF=N BCF ∠∴E N BE ∴EC AE EF M MH MC ⊥CA H，，，，，，，，，故③正确； 如图2，在上截取，连接，，，， ，，，，，，在和中，45ACB ∠=︒45ACM H ∴∠=∠=︒MH MC ∴=2MH CM ∴=90AMN HMC ∠=∠=︒HMA CMN ∴∠=∠()AHM NCM ASA ∴∆≅∆CN AH ∴=2CN AC AH AC HC CM ∴+=+==CD DG MB =AG AD AB =90D ABM ∠=∠=︒DG BM =()ADG ABM SAS ∴∆≅∆AG AM ∴=BAM DAG ∠=∠90MAG BAD ∴∠=∠=︒45MAN ∠=︒45MAN GAN ∴∠=∠=︒AFM ∆AFG ∆。
中考数学试题一、选择题1．如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对2．对于反比例函数y=kx(k≠0)，下列所给的四个结论中，正确的是（）A．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A，B，则矩形O APB的面积为k B．若点(2,4)在其图象上，则(−2,4)也在其图象上C．反比例函数的图象关于直线y=x和y=−x成轴对称D．当k>0时，y随x的增大而减小3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝x﹣1与函数y=1x的图象可能是（）A．B． C．D．4．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3 D．x1＝0，x2＝3二、填空题（共24分）5．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=kx(x<0)图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为（）。
6．已知方程x2+mx﹣6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是。
7.如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO=70∘，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO=50∘，那么AC的长度约为（）米。
三、解答题（共20分）8．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E。
求证：DE是⊙O的切线。
9.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B 的坐标为（﹣1，﹣1）。
（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并写出点B2的坐标；（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△AB3C3的图形。
广东中考数学选择题和填空题压轴类一、选择题：（每题3分）1、如图，Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，设直线x=t 截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ）A ．B ．C ．D ．2、把两个相同的矩形按如图方式叠合起来，重叠部分为图中的阴影部分， 已知 AD=4，DC=3，则 重叠部分的面积为（ ）A.6B.163 C.214 D.4583、甲、乙两同学同时从400m 环形跑道上的同一点出发，同向而行，甲的速度为6/m s ，乙的速度为4/m s ，设经过x （单位：s ）后，跑道上两人的距离（较短部分）为y （单 位：m ），则y 与x （0x ≤≤300）之间的函数关系可用图像表示为（4、如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B 、C 都不重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的角平分线交AB 于点E ．设BP=x ，BE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）C ．D ．A. B. C. D. 5、如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，若y 关于x 的图象如图所示，则ABC ∆的面积是（ A 、10 B 、16 C 、18 D 、20DC BA6、如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形 EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A. B. C. D.7、如图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（）8、如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，4），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线勻速运动，设动点P的运动路程为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．9、如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10、如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题。
《2020年广东省中考数学“填空题”题型高分突破必备解题秘笈》专题三函数中“填空题”高分突破必备解题秘笈填空题是中考数学试卷中的主要试题类型，在广东省各地中考数学中的分数普遍占百分之二十左右，所占分数比重比较大，是中考数学夺取高分的关键题型。
因此，我们掌握填空题这类题型的答题技巧至关重要。
中考数学中的填空题主要题型一是定量型填空题，主要考查计算能力的计算题，同时也考查考生对题目中所涉及到数学公式的掌握的熟练程度；二是定性型填空题，考查考生对重要的数学概念、定理和性质等数学基础知识的理解和熟练程度。
当然这两类填空题也是互相渗透的，对于具体知识的理解和熟练程度只不过是考查有所侧重而已。
解答填空题的基本策略是准确、迅速、整洁。
准确是解答填空题的先决条件，填空题不设中间分，一步失误，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于填空题的答题时间，应该控制在不超过20分钟左右，速度越快越好，要避免"超时失分"现象的发生.求解填空题的基本策略是要在"准"、"巧"、"快"上下功夫。
常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
学生掌握多种解题方法，需要教师在每次试题讲解中详细讲解解题技巧，在对学生进行讲解时，针对不同的填空题选择不同的解题方法. 因此，教师在试题讲解中要对填空题的解题方法进行详细的讲解，让学生掌握多种解题技巧，提高解题效率。
本套资料通过对广东省近十多年来中考数学中填空题的深度剖析，让学生做填空题时可以做到高效快捷，对广大中考考生攻克填空题夺取高分具有重要的意义。
本专题介绍函数中填空题题型必备解题技巧的方法。
通过对中考数学涉及函数中填空题题型的深度剖析，可以使学生更容易攻克填空题夺取高数。
本专题的主要方法汇总：直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
填空题难题突破备考提示：近几年广东中考填空题中难度较大、考查最多的均为求面积的题目，2016年出现了考圆的综合题，这类几何综合题也值得重视起来，几何图形规律题（常以三角形、四边形为背景）也是需要适当练习.1．（2017广东，16，4分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H 处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为．2．（2016广东，16，4分）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA，PB，PC，若PA=a，则点A 到PB和PC的距离之和AE+AF=．3.（2015广东，16，4分）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分面积是___.4.（2014广东，16，4分）如图，△ABC绕点A按顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC= ，则图中阴影部分的面积等于____.5.（2013广东，16，4分）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是____.（结果保留π）6.（2012广东，10，4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°.以点A 为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是______ （结果保留π）7.（2011广东，10，4分）如图1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图2中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图3中阴影部分，如此下去，……，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为____强化训练：1．如图，AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，且AG=2GD，连接BG，若S△ABC=6，则图中阴影部分面积是．2．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE中点，且S△ABC=4平方厘米，则S△BEF的值为3．如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则阴影分的面积为4．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE 相交于点Q，若S△APD=16cm2，S△BQC=25cm2，则图中阴影部分的面积为cm2．5．如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=5，EF过AC、BD的交点O，图中阴影部分的面积为．6．如图，在矩形ABCD中，AD=9cm，AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合，则重叠部分（△BEF）的面积为．7．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为．8．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和4，∠A=120°．则阴影部分面积是．（结果保留根号）9．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为．10．如图，将边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形ECGF（CE＜AB）拼接在一起使B、C、G三点在同一条直线上，CE在边CD上，连接AF，M为AF的中点，连接DM、CM，则图中阴影部分的面积为．11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再AB 边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是（结果保留π）12．如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为13．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为．14．如图，AB是⊙O直径，CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则S阴影=．15．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到△ADE，若AC=1，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（结果保留π）17．如图，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积是．19．如图，螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成的，其序号依次为①②③④⑤…，若第1个等腰直角三角形的直角边为1，则第2016个等腰直角三角形的面积为．20．如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A=60°，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2016B2016C2016D2016的面积是．21．如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，正方形A n B n C n D n的面积为．（用含有n的式子表示，n为正整数）22．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．若⊙O的半径为5，cos∠BCD= ，那么线段AD=．23．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为．24．如图，⊙O的直径AB=8，P是圆上任一点（A，B除外），∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC，BC的中点M，N，则EF的长是．课后作业1.如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是．3.如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB=2cm．则图中阴影部分面积为．4.如图，正方形ABCD的边长为3，E为AD的中点，连接BE、BD、CE，则图中阴影部分的面积是．5.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为．6.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=4，则图中阴影部分的面积为7.如图，矩形ABCD的长AD为2 ，宽AB为2，若以A点为圆心，AB为半径作出扇形，则图中阴影部分的面积为．（用含π的式子表示）8.如图，△ABC是边长为4个等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．9.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角线坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为．10.如图，正方形ABCD的边长为1，分别以A、D为圆心，1为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积11.如图，已知A1A2=1，∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，以斜边OA2为直角边作直角三角形，使得∠A2OA3=30°，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形，则Rt△A2014OA2015的面积为．项目管理工作经验总结一、项目管理模式讨论1、基层分公司B级项目单独考核制度，在绩效薪酬上面与分公司分开考核，调动职工参与外埠项目一线劳动积极性；2、设备和操作人员划归公司，由人力资源部和装备中心统一管理，公司统一协调各基层单位和外部项目部调配资源；3、专业机组实行个人承包，当年兑现考核或者周期长的大项目进行预考核预兑现。
4、项目效益是盯出来的，项目经理必须亲赴现场检查督促，小型项目事宜__________________________________________________三人团队，设置项目负责人（生产、协调、成本）、安全员、技术员（质量、分包、合同），其他岗位由三人兼职。
5、在市场开发方面，挑选合适的骨干人员长期扎根一个业主处级单位或者一片地区，建立起以点辐射面的效果。
项目负责人必须心正品良，敢于担当责任，目前寒冬期，广大职工情绪低落，但职工石油人的使命感、荣誉感仍存。
一个好的带头人可以带出一个作风优良的队伍，开拓一片全新的市场。
6、项目经理在项目投标期间编制的项目成本测算；在项目中标后，参照项目成本计划组建项目团队；在项目实施过程中，动态调整项目成本计划，实时掌握项目成本，合理进行成本纠偏。
二、项目总承包管理三、合同管理合同管理工作是企业的一项重要管理内容，在市场经济日益发达的现代社会，企业的“重合同、守信用”已成为企业在市场竞争中不可或缺的重要标签。
建立健全的合同管理制度才能保障公司避免和防范法律风险，不断完善和规范企业经营行为，维护企业的合法权益，促进公司持续有效健康发展。
在公司领导的重视及主管部门的指导帮助下，无论是在合同的准备、审查、签订、履行、变更、解除、归档等工作都严格按照《合同法》相关法律法规以及《油建公司合同管理办法》的要求，严格有序按流程规范执行，使合同管理工作做到了有人负责、有据可查、有章可循。
按照公司合同管理办法，针对不同业务需求及合同类别办理合同的流程、需要办理的收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。
