二元一次方程组知识点整理

第五章 二元一次方程组知识点整理知识点1:二元一次方程（组）的定义1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程注意：1、（1）方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数⑵含有未知数的项的次数都是1.（3）二元一次方程的左右两边都必须是等式 •（三个条件完全满足的就是二元一次方程）2•含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为 m=1, n=11。

即若ax^+bylc 是二元一次方程，则 a 丰0, b 丰0且例1:已知（a - 2） x - by ° = 5是关于x 、y 的二元一次方程，则其中属于二元一次方程组的个数为（） A . 1B. 2C . 3D . 41、若x 3m 1 5y 3n 3m 7是关于 x 、y 二元一次方程，则 m = ___________________ n = ________知识点2 :二元一次方程组的解定义例2:下列方程为二元一次方程的有 ① 2x 5 y ，② x 4 1,③ xy⑧ 3x 2y ，⑨ a b c 1 【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（22 1A . 3x-y =0B .+ — =1x y22，④ x y 3，⑤ x y 1 2，⑥ xy 2x y 2，⑦ y 7xx 5C . — - — y=6D . 4xy=33 22、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组注意：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）1。

③方程组中每个方程均为整式方程。

A x y 4B .2a 3b 112x 3y 75b 4c 6C.2x 9x y 8D.9y 2x2x y 4x 3y3xy 2(2)(3)y 2y z 41x — 3yx y3,(4)，1x y x _ 0【巩固练习】1，已知下列方程组：（1）般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都 相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。

类型题1 根据定义判断 例：方程组 2x 2的解是（ 4 【巩固练习】 B . x C . y D.y m 1满足方程2x 0,则2、下面几个数组中，哪个是方程 7x+2y=19 的一个解（ A、 类型题2 B 、 c 、已知方程组的解, 而求待定系数。

此类题型只需将解代入到方程中, 求出相应系数的值，从而求代数式的值 x —2 例1 :已知 是方程组 y 1 3mx 2 y 1 “ ” “ 2 2 — 的解，贝U m — n 的值为 4x n y 7 2例2:若满足方程组 3x kx 2y (2k 44 的X 、y 的值相等，则k =1）y 6【巩固练习】 1、若方程组 2x2kx (k 1)y 103x 4y 2 a by 与 xb 3 ax y 5 2x2 y2、若方程组 列方程组求待定字母系数是常用的解题方法. 4 有相同的解，则a= 5 的解互为相反数，则 k 的值为,b=，类型 例:例:关于x , 【巩固练习】 1 1都是关于x 、y 的方程ax + by = 6的解, 3 y 的二元一次方程 ax + b = y 的两个解是a +b 的值为21，则这个二元一次方程是X如果 y1 ax 2是方程组bxby cy 10的解, 那么，下列各式中成立的是 （）A 、a + 4c = 2B 、4a + c = 2C 、 a + 4c + 2= 0D 、4a + c + 2 = 0知识点3 :二兀一次方程组的解法方法一：代入消元法 【典型例题】 例2x 7y 8 3x 8y 10我们通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个 一元一次方程 来解，这种解法叫做 代入消元法。

用代入消元法解二元一次方程组的步骤：(1) 从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来 (2) 把(1 )中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数 (3) 解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值 (4)把所求得的一个未知数的值代入( 1)中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解【巩固练习】1，方程 x 4y 15用含y 的代数式表示，x 是(方法二：加减消元法解：②一①得，2x y x y 40 22 即 x 18,得到一个一元一次方程这种方法 叫做加减消元法，简称加减法。

2m 3n 1例1、方程组中，n 的系数的特点是 __________ ，所以我们只要将两式 __________ , ?就可以消去未知数,5m 3n 4A . x 4y 15B . x 15 4yC . x 4y 154y 152、把方程7x 2y15写成用含x 的代数式表示y 的形式，得(B.x15x 2y 7C.y 7x 15D.y15 7x3、用代入法解方程组2x 5y x 3y21较为简便的方法是( )A •先把①变形B .先把②变形C .可先把①变形, 也可先把②变形D .把①、 ②同时变形x 例:对于方程组：2x y 20y 40分析：这个方程组的两个方程中,y 的系数有什么关系? ?利用这种关系你能发现新的消元方法吗?把x 18代入①得y 4。

x=18所以y 4定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的.3x 4y 1例2、用加减法解' 时，将方程①两边乘以，？把方程②两边乘以，可以比较简便地2x 3y 6消去未知数__________ .【方法掌握要诀】用加减法解二元一次方程组时，两个方程中同一个未知数的系数必须相同或互为相反数，？即它们的绝对值相等.当未知数的系数的符号相同时，用两式相减；当未知数的系数的符号相反时，用两式相加。

①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；？②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.【巩固练习】3x 2y 6时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四2x 3y 1种变形正确的是（）9x6y69x 6y189x6y186x4y12⑴(2)(3)(4)4x6y24x 6y24x6y26x9y3A.(i)(2)B. (2) ( 3)C.(3)(4)D. (4)(1)对于方程组2x 3y 5而言，你能设法让两个方程中x的系数相等吗？你的方法是_____________________ ；若让3x 4y 332、两个方程中y的系数互为相反数，你的方法是__________________________3、用加减消元法解方程组2x 3y 5x 3y7正确的方法是（）A.①②得2x 5B.①②得3x 12C.①②得3x 7 5D.先将②变为x 3y7③，再①③得x 2以下教科书中没有的几种解法（可以作为培优学生的拓展）（一）加减-代入混合使用的方法•例1, 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把⑶代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2 1、用加减法解方程组把y=2代入⑶得x=1 所以：x=1, y=2特点:两方程相加减，单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元（二）换元法例2，（x+5）+（y-4）=8（x+5）-（y-4）=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8 m-n=4 解得m=6,n=2所以x+5=6, y-4=2 所以x=1, y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

（三）另类换元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t, y=4t 方程2 可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4知识点4:实际问题与二元一次方程组列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数;（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3 ）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案列方程组解应用题中常用的基本等量关系1•行程问题：（1）追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，画线段，用图便于理探唐路程时询路程;解与分析。

其等量关系式是：两者的行程差=开始时两者相距的路程;（2）相遇问题相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和=总路程。

（3）航行问题：①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度；③顺水速度—逆水速度= 2X水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2 .工程问题：工作效率X工作时间=工作量.3 .商品销售利润问题：利润奉=售忙芳介X100%（1）利润=售价—成本（进价）；（2^ -■；（3）利润=成本（进价）X利润率；标价=成本（进价）X（1 +利润率）；⑸实际售价=标价X打折率；打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4 •储蓄问题:①利息=本金X利率X期数②本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期数=本金X （1 +利率X期数）③利息税=利息X利息税率=本金X利率X期数X利息税率。

④税后利息=利息X （1—利息税率）。

5.配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

6 .增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量X （1 +增长率）=增长后的量；原量X （1 —减少率）=减少后的量•7 .和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量=较小量+多余量，总量=倍数X倍量8.数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。

如当n为整数时，奇数可表示为2n +1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字::10+个位数字9 .优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。