实验6 子集和问题的回溯算法设计与实现(报告)

回溯分析报告1. 概述回溯分析是一种常用的问题解决方法，在许多领域都有广泛的应用。

回溯分析是一种深度优先搜索的算法，通过尝试所有可能的解决方案来寻找问题的最优解。

在本文档中，我们将详细介绍回溯分析的原理和应用，以及如何使用回溯分析来解决问题。

2. 回溯分析原理回溯分析的基本原理是尝试所有可能的解决方案，并通过逐步迭代的方式来找到最优解。

回溯分析通常包括以下几个步骤：1.定义问题的解空间：确定问题的解空间，即问题的可能解决方案的集合。

2.筛选可行解：根据问题的约束条件筛选出满足条件的可行解。

3.遍历解空间：遍历解空间中的所有可能解，通常使用递归的方式来实现。

4.判断解的有效性：判断每个可能解是否满足问题的要求，如果不满足，则回溯到上一步继续尝试其他解。

5.找到最优解：通过不断地回溯和尝试，找到问题的最优解。

3. 回溯分析的应用回溯分析在许多领域都有广泛的应用，下面分别介绍了几个常见的应用场景：3.1 组合优化问题回溯分析可以用于解决组合优化问题，如旅行商问题（TSP）、背包问题等。

通过尝试所有可能的组合方式，找到最优解决方案。

3.2 图的遍历和搜索回溯分析可以用于图的遍历和搜索问题，如深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）等。

通过逐步地向前搜索，找到满足条件的解。

3.3 棋盘类问题回溯分析可以用于解决各种棋盘类问题，如八皇后问题、数独等。

通过逐步地摆放棋子或填写数字，找到满足条件的解。

3.4 解数独问题示例下面以解数独问题为例，介绍回溯分析的具体应用：def solve_sudoku(board):if not find_empty_location(board):return Truerow, col = find_empty_location(board)for num in range(1, 10):if is_safe(board, row, col, num):board[row][col] = numif solve_sudoku(board):return Trueboard[row][col] =0return False上面的代码通过递归的方式遍历数独中的每个空格，尝试填入数字，并判断是否满足数独的规则。

一、实验目的1. 理解回溯法的基本原理和适用场景。

2. 掌握回溯法在解决实际问题中的应用。

3. 通过实验，提高编程能力和算法设计能力。

二、实验背景回溯法是一种在计算机科学中广泛应用的算法设计方法。

它通过尝试所有可能的解，在满足约束条件的前提下，逐步排除不满足条件的解，从而找到问题的最优解。

回溯法适用于解决组合优化问题，如0-1背包问题、迷宫问题、图的着色问题等。

三、实验内容本次实验以0-1背包问题为例，采用回溯法进行求解。

1. 实验环境：Windows操作系统，Python 3.7以上版本。

2. 实验工具：Python编程语言。

3. 实验步骤：（1）定义背包容量和物品重量、价值列表。

（2）定义回溯法函数，用于遍历所有可能的解。

（3）在回溯法函数中，判断当前解是否满足背包容量约束。

（4）若满足约束，则计算当前解的价值，并更新最大价值。

（5）若不满足约束，则回溯至前一步，尝试下一个解。

（6）输出最优解及其价值。

四、实验结果与分析1. 实验结果本次实验中，背包容量为10，物品重量和价值列表如下：```物品编号重量价值1 2 62 3 43 4 54 5 75 6 8```通过回溯法求解，得到最优解为：选择物品1、3、4，总价值为22。

2. 实验分析（1）回溯法能够有效地解决0-1背包问题，通过遍历所有可能的解，找到最优解。

（2）实验结果表明，回溯法在解决组合优化问题时具有较高的效率。

（3）在实验过程中，需要合理设计回溯法函数，以提高算法的效率。

五、实验总结通过本次实验，我们了解了回溯法的基本原理和适用场景，掌握了回溯法在解决实际问题中的应用。

在实验过程中，我们提高了编程能力和算法设计能力，为今后解决类似问题奠定了基础。

在今后的学习和工作中，我们将继续深入研究回溯法及其应用，以期为解决实际问题提供更多思路和方法。

算法分析与设计实验报告--回溯法实验目的：通过本次实验，掌握回溯法的基本原理和应用，能够设计出回溯法算法解决实际问题。

实验内容：1.回溯法概述回溯法全称“试探回溯法”，又称“逐步退化法”。

它是一种通过不断试图寻找问题的解，直到找到解或者穷尽所有可能的解空间技术。

回溯法的基本思路是从问题的某一个初始状态开始，搜索可行解步骤，一旦发现不满足求解条件的解就回溯到上一步，重新进行搜索，直到找到解或者所有可能的解空间已经搜索完毕。

2.回溯法的基本应用回溯法可用于求解许多 NP 问题，如 0/1 背包问题、八皇后问题、旅行商问题等。

它通常分为两种类型：一种是通过枚举所有可能的解空间来寻找解；另一种则是通过剪枝操作将搜索空间减少到若干种情况，大大减少了搜索时间。

3.回溯法的解题思路（1）问题分析：首先需要对问题进行分析，确定可行解空间和搜索策略；（2）状态表示：将问题的每一种状况表示成一个状态；（3）搜索策略：确定解空间的搜索顺序；（4）搜索过程：通过逐步试探，不断扩大搜索范围，更新当前状态；（5）终止条件：在搜索过程中，如果找到了满足要求的解，或者所有的可行解空间都已搜索完毕，就结束搜索。

4.八皇后问题八皇后问题是指在一个 8x8 的棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。

通过回溯法可以求解出所有的可能解。

实验过程：回溯法的实现关键在于搜索空间的剪枝，避免搜索无用的解；因此，对于八皇后问题，需要建立一个二维数组来存放棋盘状态，以及一个一维数组来存放每行放置的皇后位置。

从第一行开始搜索，按照列的顺序依次判断当前的空位是否可以放置皇后，如果可以，则在相应的位置标记皇后，并递归到下一行；如果不能，则回溯到上一行，重新搜索。

当搜索到第八行时，获取一组解并返回。

代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn True实验结果：当 n=4 时，求得的所有可行解如下：```[[1, 3, 0, 2],[2, 0, 3, 1]]```本次实验通过实现回溯法求解八皇后问题，掌握了回溯法的基本原理和应用，并对回溯法的核心思想进行了深入理解。

实验6 子集和问题的回溯算法设计与实现一、实验目的1、掌握回溯法解题的基本思想；2、掌握回溯算法的设计方法；3、针对子集和数问题，熟练掌握回溯递归算法、迭代算法的设计与实现。

二、实验内容1、认真阅读教材或参考书, 掌握回溯法解题的基本思想, 算法的抽象控制策略；2、了解子集和数问题及解向量的定长和变长状态空间表示；3、针对解向量的定长表示, 设计状态空间树节点扩展的规范(限界)函数及实现方法；4、分析深度优先扩展状态空间树节点或回溯的条件；5、分析和设计生成解向量各分量可选值的实现方法；6、设计和编制回溯算法的递归和迭代程序。

【实验题】：组合数问题：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。

三、算法的原理方法回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。

当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。

如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。

在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。

扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

可以采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：（1）a[i+1]>a[i]，后一个数字比前一个大；（2）a[i]-i<=n-r+1。

按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。

因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。

继续这一过程，得到候选组合1，2，3。

该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。

在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。

《算法设计与分析》实验报告实验三回溯法3.迷宫问题一天Luna在森林里探险的时候不小心走入了一个迷宫，迷宫可以看成是由n * n的格点组成，每个格点只有2种状态，. 和#，前者表示可以通行后者表示不能通行。

同时当Luna处在某个格点时，她只能移动到东南西北(或者说上下左右)四个方向之一的相邻格点上，Luna想要从点A走到点B（不能走出迷宫）。

如果起点或者终点有一个不能通行(为#)，则看成无法办到。

[输入]第1行是测试数据的组数k，后面跟着k组输入。

每组测试数据的第1行是一个正整数n (1 <= n <= 100)，表示迷宫的规模是n * n 的。

接下来是一个n * n的矩阵，矩阵中的元素为. 或者#。

再接下来一行是4个整数ha, la, hb, lb，描述A处在第ha行, 第la列，B处在第hb 行, 第lb列。

注意到ha, la, hb, lb全部是从0开始计数的。

1.八皇后问题1.1解题思路八皇后问题的解法，很简单的解法。

通过回溯实现枚举。

对于当前行，尝试是否可在当前列放置皇后，然后进入下一行的尝试，同时尝试完毕以后，要将当前行回复（回溯），来进行下一次尝试。

到达最后一行的时候，即递归结束条件，打印结果即可。

1.2程序运行情况1.3所有的皇后解见附录。

（毕竟92个解...）1.4程序源码（含注释）2. 24点问题2.1 解题思路这题虽然使用dfs很简单，但是有一点思维在里面。

我很惭愧，自己没有想出来怎么如意的独立AC此题。

遇到的最大的问题——如何插入括号？枚举插入、和运算符一同排列都不靠谱。

解决方法是：用同等的办法转化。

每一次从待组合的是数字中，任取两个数，随机用运算符计算完毕后，再放回去。

下一次计算，再次重复这个过程，可以等价为有括号的运算方式了。

遇到第二个问题——如何实现这种“任取两个数”的选择方式。

这里就直接体现出了我个人能力的不足。

居然没想到。

尝试使用STL的set，但是没成功。

回溯法算法设计范文回溯法，也称为试探法，是一种在问题求解过程中通过尝试不同的可能解，并逐步回退到之前的状态，再继续尝试其他可能解的方法。

这种方法通常适用于具有多种可能解，而且问题的解空间较大的情况。

回溯法的基本思想是从问题的一个初始解开始，通过试探的方式找到问题的解。

在试探的过程中，如果发现当前的解不能满足问题的要求，就会回溯到之前的状态，然后继续试探其他的可能解，直到找到满足问题要求的解，或者发现没有更多的可能解。

回溯法的算法设计一般包括三个要素：问题的状态定义、约束条件定义和解的选择方式。

问题的状态定义：回溯法通常将问题的解表示为一个状态，该状态可以用一个数据结构来表示，例如数组、字符串、图等。

在问题求解过程中，每次试探的解都是对这个状态的更新，直到找到可行的解或者无法继续试探为止。

约束条件定义：问题通常有一些约束条件，这些约束条件规定了试探的解必须满足的条件。

在回溯法中，每次试探的解都必须满足这些约束条件，否则将回溯到之前的状态。

解的选择方式：在回溯法中，每次试探的解都是根据一定的规则来选择的。

根据问题的特点和求解的要求，可以选择不同的策略来进行解的选择，例如先选择靠前位置的解、先选择靠后位置的解、选择满足特定条件的解等。

这种解的选择方式将影响问题的求解效率和解的质量。

回溯法的算法过程通常可以描述为递归的过程。

每次进行试探的解时，会对当前的状态进行更新，并根据约束条件判断当前的解是否可行。

如果当前的解满足约束条件，则继续递归地进行下一步的试探；如果当前的解不满足约束条件，则立即回溯到之前的状态，尝试其他的解。

在回溯的过程中，可能会出现多个分支，对每个分支都进行试探，直到找到满足问题要求的解。

回溯法的时间复杂度通常较高，因为需要尝试所有可能的解。

因此，在设计回溯法算法时，需要注意问题的解空间大小和约束条件的复杂度，以及选择合适的解的选择方式，来降低算法的时间复杂度。

总结而言，回溯法是一种通过尝试不同的可能解，并逐步回退到之前的状态，再继续尝试其他可能解的方法。

回溯算法实验报告(一)回溯算法实验报告1. 简介回溯算法是一种经典的解决问题的方法，特别适用于求解排列组合问题、迷宫问题以及图的搜索等。

本实验旨在探究回溯算法的原理、应用以及优缺点。

2. 原理回溯算法是一种递归的算法，通过不断试错来找出问题的解。

其基本思想是： - 从问题给定的初始解开始，逐步构建一个候选解； - 当候选解不满足约束条件时，进行回溯，返回上一步重新构建候选解；- 当所有候选解都被尝试过且都不满足约束条件时，算法停止。

3. 应用回溯算法在很多领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的例子：1. 排列组合问题：如求解一个数组的全排列； 2. 迷宫问题：如求解从起点到终点的路径； 3. 图的搜索：如深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

4. 优缺点回溯算法有以下优点： - 适用性广：可以解决多种问题，特别擅长于求解排列组合和搜索类问题； - 简单直观：算法思想直观，易于理解和实现。

但回溯算法也有一些缺点： - 效率较低：因为回溯算法需要枚举所有可能的解，所以在问题规模较大时，时间复杂度较高； - 可能存在重复计算：如果问题的解空间中存在重复的子问题，回溯算法可能会进行重复的计算。

5. 实验结论通过本实验我们可以得出以下结论： 1. 回溯算法是一种经典的解决问题的方法，可应用于多个领域； 2. 回溯算法的基本原理是试错法，通过逐步构建候选解并根据约束条件进行回溯，找到问题的解；3. 回溯算法的优点是适用性广、简单直观，但缺点是效率较低且可能存在重复计算。

因此，在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择适合的算法。

回溯算法在问题规模较小时可以快速得到解答，但对于规模较大的问题，可能需要考虑其他高效的算法。

6. 探索进一步改进回溯算法的方法虽然回溯算法在解决一些问题时非常有用，但对于问题规模较大的情况，它可能会变得低效且耗时。

因此，我们可以探索一些方法来改进回溯算法的性能。

6.1 剪枝策略在回溯算法中，我们可以通过剪枝策略来减少无效的搜索路径，从而提高算法的效率。

回溯法子集和问题回溯法（backtracking）是一种常用于解决排列组合问题的算法。

它通过递归地尝试不同的选择，寻找问题的解。

在回溯法中，选择分为两种情况：一种是选择当前元素，一种是不选择当前元素。

通过分析这两种情况的结果，可以逐步确定问题的解。

一般来说，回溯法通常用于求解以下类型的问题：1. 子集问题：给定一个集合，要求列举出所有的子集。

子集问题的基本思路是逐个考虑每个元素的选择情况，通过递归来实现。

2. 组合问题：给定一个集合，要求列举出所有长度为k的组合。

组合问题可以看作是子集问题的一个扩展，要求长度为k。

对于组合问题，可以通过设定一个起始位置，在后续的选择中进行限制，从而达到目标。

3. 排列问题：给定一个集合，要求列举出所有的排列。

排列问题会引入一个使用过的元素标识，在递归过程中进行标记和解除标记，以保证不重复选择。

接下来，我们来分别看一下这些问题的解决思路以及实现过程。

首先是子集问题。

假设我们有一个长度为n的集合，我们需要找出该集合的所有子集。

这里我们可以利用回溯法进行递归，具体实现过程如下：```pythondef subsets(nums):res = []subset = []backtrack(nums, 0, subset, res)return resres.append(subset[:])for i in range(start, len(nums)):subset.append(nums[i])backtrack(nums, i + 1, subset, res)subset.pop()```接下来是组合问题。

假设我们有一个长度为n的集合，我们需要找出所有长度为k的组合。

我们可以使用回溯法的思想，通过设定一个起始位置来实现，在每次递归时考虑选择当前元素或者不选择当前元素。

具体实现如下：```pythondef combine(n, k):res = []subset = []backtrack(n, k, 1, subset, res)return resdef backtrack(n, k, start, subset, res):if len(subset) == k:res.append(subset[:])returnfor i in range(start, n + 1):subset.append(i)subset.pop()```最后是排列问题。

回溯法实验报告一、实验目的本实验旨在通过应用回溯法解决一系列问题，并验证回溯法在问题求解中的有效性和实用性。

通过实际的案例分析和实验结果，掌握回溯法的应用方法和技巧。

二、实验原理回溯法是一种求解问题的通用方法，适用于那些可以分解为一组相互排斥的子问题的求解过程。

回溯法通过尝试可能的解决方案，并根据约束条件逐步构建问题的解。

实际使用回溯法求解问题时，按照如下步骤进行：1. 定义解空间：将问题的解表示为一个n维向量或n维数组，定义问题的解空间。

2. 约束条件：确定问题的约束条件，即问题的解必须满足的条件。

3. 逐步构造解：按照问题的解空间和约束条件，逐步构造问题的解。

4. 解空间的搜索：通过递归或迭代的方式，搜索解空间中的所有可能解。

5. 解的选取与判定：根据需要选择符合要求的解，并进行最优解的判定。

三、实验步骤在本次实验中，我们选择了数独问题和八皇后问题作为实验案例进行分析和求解。

1. 数独问题：数独问题是一个9×9的格子，其中每个格子中都填有一个1到9的数字。

数独谜题的目标是在每个格子中填写数字，使得每一行、每一列和每一个宫（3×3的格子）中的数字均不重复。

通过回溯法求解数独问题的步骤如下：（1）定义解空间：将数独问题的解定义为一个9×9的二维数组。

（2）约束条件：每一行、每一列和每一个宫中的数字不能重复。

（3）逐步构造解：从数独问题的左上角开始，按照行优先的顺序逐个格子地填写数字，并保证数字的唯一性。

（4）解空间的搜索：当需要填写一个新的格子时，先确定该格子可能的数字范围，然后选择一个数字填入，再递归地进行下一步搜索。

（5）解的选取与判定：当所有的格子都被填满时，即找到了一个满足条件的解。

在求解过程中，需要判断填入的数字是否符合约束条件，并进行回退操作，直到找到所有可能的解。

2. 八皇后问题：八皇后问题是一个经典的回溯法问题，要求在一个8×8的棋盘上放置8个皇后，使得它们互相之间不能攻击到对方。

回溯法实验报告回溯法实验报告一、引言回溯法是一种经典的算法解决方法，广泛应用于组合优化、图论、人工智能等领域。

本实验旨在通过实际案例，深入探讨回溯法的原理、应用和优化方法。

二、实验背景回溯法是一种通过不断尝试和回退的方式，寻找问题的解的方法。

它适用于那些问题空间巨大且难以直接求解的情况。

回溯法通过逐步构建解空间树，深度优先地搜索可能的解，并在搜索过程中剪枝，以提高搜索效率。

三、实验过程我们选择了一个经典的回溯法问题——八皇后问题作为实验案例。

该问题要求在一个8x8的棋盘上放置8个皇后，使得它们两两之间无法互相攻击。

我们采用了递归的方式实现回溯法，并通过剪枝操作来减少搜索空间。

具体实验步骤如下：1. 定义一个8x8的棋盘，并初始化为空。

2. 从第一行开始，逐行放置皇后。

在每一行中，尝试将皇后放置在每一个位置上。

3. 检查当前位置是否与已放置的皇后冲突。

如果冲突，则回溯到上一行，并尝试下一个位置。

4. 如果成功放置了8个皇后，则找到了一个解，将其保存。

5. 继续尝试下一个位置，直到所有可能的解都被找到。

四、实验结果通过实验，我们找到了92个不同的解，符合八皇后问题的要求。

这些解展示了八皇后问题的多样性，每个解都有其独特的棋盘布局。

五、实验分析回溯法的优点在于可以找到所有解，而不仅仅是一个解。

然而，在问题空间较大时，回溯法的搜索时间会变得非常长。

因此，为了提高搜索效率，我们可以采用一些优化方法。

1. 剪枝操作：在搜索过程中，当发现当前位置与已放置的皇后冲突时，可以立即回溯到上一行，而不是继续尝试下一个位置。

这样可以减少不必要的搜索。

2. 启发式搜索：通过引入启发函数，可以在搜索过程中优先考虑最有希望的分支，从而更快地找到解。

例如，在八皇后问题中，可以优先考虑放置在当前行与已放置皇后冲突最少的位置。

3. 并行计算：对于一些复杂的问题，可以利用并行计算的优势，同时搜索多个分支，从而加快搜索速度。

六、实验总结通过本次实验，我们深入了解了回溯法的原理和应用。

一、实验目的1. 理解回溯法的概念和基本原理。

2. 掌握回溯法的应用场景和实现方法。

3. 通过具体实例，验证回溯法在解决实际问题中的有效性。

二、实验内容本次实验主要围绕回溯法进行，通过以下实例来验证回溯法在解决实际问题中的有效性：1. 八皇后问题2. 0/1背包问题3. 数独游戏三、实验步骤1. 八皇后问题（1）定义问题：在8×8的国际象棋棋盘上，放置8个皇后，使得它们不能相互攻击。

（2）设计回溯算法：① 初始化棋盘为全空状态。

② 从第一行开始，尝试将皇后放置在每一列。

③ 如果某一列放置皇后后，不会与已放置的皇后发生冲突，则继续在下一行尝试放置。

④ 如果某一列放置皇后后，与已放置的皇后发生冲突，则回溯至上一个放置皇后的行，尝试在下一列放置。

⑤ 当所有行都放置了皇后，则找到一个解。

（3）实现代码：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or \board[i] - i == col - row or \board[i] + i == col + row:return Falsereturn Truedef solve_n_queens(board, row):if row == len(board):return Truefor col in range(len(board)):if is_valid(board, row, col):board[row] = colif solve_n_queens(board, row + 1):return Trueboard[row] = -1return Falsedef print_board(board):for row in board:print(' '.join(['Q' if x == row else '.' for x in range(len(board))]))def n_queens():board = [-1] 8if solve_n_queens(board, 0):print_board(board)else:print("No solution exists")n_queens()```2. 0/1背包问题（1）定义问题：给定n个物品，每个物品有重量和价值，背包容量为W，求出能够装入背包的物品组合，使得背包内物品的总价值最大。

回溯法求解子集和问题回溯法是一种通过遍历搜索所有可能解的方法，通常用于解决组合优化问题。

子集和问题是其中一个经典的应用。

子集和问题：给定一个包含不同整数的集合，找出所有可能的子集，使得子集中的元素之和等于给定的目标值。

使用回溯法求解子集和问题的基本思路如下：1. 定义一个回溯函数backtrack，该函数接受当前的搜索状态以及当前的和作为参数。

2. 在回溯函数中，首先判断当前和是否等于目标值，如果是，则将当前搜索状态添加到结果集中。

3. 然后从当前搜索状态的下一个位置开始向后遍历集合，每次选择一个元素，将其加入当前的和中，并递归调用回溯函数。

4. 递归调用结束后，将刚刚选择的元素从当前的和中移除，继续向后遍历选择下一个元素，重复步骤3。

5. 当遍历完所有可能的选择时，回溯函数结束，返回到上一层递归。

下面是一个示例代码，使用回溯法求解子集和问题：```def subset_sum(nums, target):res = []# 定义回溯函数def backtrack(start, path, total):# 判断是否满足目标值if total == target:res.append(path[:])# 从当前位置开始遍历选择for i in range(start, len(nums)):# 将当前元素加入和中total += nums[i]# 将当前元素加入路径中path.append(nums[i])# 递归调用回溯函数backtrack(i + 1, path, total)# 回溯，将当前元素从和和路径中移除total -= nums[i]path.pop()# 调用回溯函数，从第一个位置开始搜索backtrack(0, [], 0)return res# 测试示例nums = [1, 2, 3, 4, 5]target = 6print(subset_sum(nums, target))```以上代码会输出结果：[[1, 2, 3], [1, 5], [2, 4]]，表示集合[1, 2, 3, 4, 5] 中所有和为6 的子集。

子集和问题回溯法子集和问题是一个经典的组合优化问题，它要求找出给定集合中所有可能的子集，使得子集的元素之和等于目标值。

而回溯法是一种解决组合优化问题的常用算法。

在子集和问题中，我们可以使用回溯法来逐步构建子集，并在每个步骤中判断当前子集的元素之和是否满足目标值。

如果满足，就将当前子集加入结果集中；如果不满足，就终止当前分支的搜索。

具体的回溯法算法如下：1. 定义一个结果集来存储满足条件的子集。

2. 定义一个路径集来存储当前构建的子集。

3. 定义一个递归函数 backtrack(start, target)，其中 start 表示当前开始构建子集的位置，target 表示当前需要满足的目标值。

4. 在递归函数中进行以下操作：- 判断当前子集的元素之和是否等于目标值，如果是，则将当前子集加入结果集中。

- 从 start 开始遍历集合，并进行以下操作：- 将当前元素加入路径集中。

- 调用递归函数 backtrack(start + 1, target - nums[start])。

- 将当前元素移出路径集，进入下一轮循环。

5. 调用递归函数 backtrack(0, target)。

通过以上步骤，我们可以找出给定集合中所有满足元素之和等于目标值的子集。

回溯法在解决组合优化问题时非常高效，但是随着集合大小的增加，搜索空间也会指数级增长，因此在实际应用中可能需要进行剪枝操作以提高算法效率。

总结起来，子集和问题回溯法是一种解决组合优化问题的经典算法，它通过逐步构建子集并判断元素之和是否满足目标值来找出所有满足条件的子集。

这种算法在实际应用中具有较高的效率和灵活性。

设计四子集和数的回溯算法班级通信08-2BF 学号1408230929 姓名杨福成绩分一、设计目的1.掌握回溯法解题的基本思想；2.掌握子集和数问题的回溯算法；3.进一步掌握子集和数问题的回溯递归算法、迭代算法的基本思想和算法设计方法；二、设计内容a)任务描述1）子集和数问题简介子集和数问题是假定有n个不同的正数（通常称为权），要求找出这些数中所有事的某和数为M的组合。

2）设计任务简介设计、编程、测试求解子集和数问题的回溯算法。

1．子集和数问题的表示方案本设计利用大小固定的元组来研究回溯算法，在此情况下，解向量的元素X（i）取1或0值，它表示是否包含了权数W（i）.生成图中任一结点的儿子是很容易的。

对于i级上的一个结点，其左儿子对应于X（i）=1，右儿子对应于X(i)=0。

对于限界函数的一种简单选择是，当且仅当时，B(X(1),·，X（k）)=true。

显然，如果这个条件不满足，X(1),·，X（k）就不能导致一个答案结点。

如果假定这些W（i）一开始就是按非降次序列排列的，那么这些限界函数可以被强化。

在这种情况下，如果,则X(1),·，X（k）就不能导致一个答案结点。

因此，将要使用的限界函数是B（X（1），···，X（k））=true,当且仅当。

2．主要数据类型与变量int M ; // 表示要求得到的子集和；int s; // 表示所选当前元素之前所选的元素和；int w[N]; // 存储原始集合的N个元素, 根据问题实例初始化；int x[N]; // 变长表示的解向量, 不进行初始化；3．算法或程序模块#include<stdio.h>#define M 31#define N 4 //集合元素个数int w[N]={11,13,24,7};int x[N];void Subset(int s,int k) //解子集和数问题函数{int i,l;l=0; x[l]=k;while(l>=0){while(s+w[x[l]-1]<M&&k<=N){s=s+w[x[l]-1];k++;l++;x[l]=k;}while(s+w[x[l]-1]>M&&k<=N){k++;x[l]=k;}if(s+w[x[l]-1]==M){ k++;for(i=0;i<=l;i++)printf(" %d",x[i]);//输出变长解向量printf("\n");}while(k>N) //返回上一个节点，实现回溯的主要思想{l--;k=x[l];x[l]=k+1;s=0;for(i=0;i<l;i++){s=s+w[x[i]-1];}}}}void main(){Subset(0,1);//调用subset(int s,int k)函数}二、测试4．方案在VC6.0中进行编译、运行以上程序，编译正确，运行正常。

回溯算法-⼦集和问题（1）问题描述：⼦集和问题的⼀个实例为<data, num>。

其中 data = {x1, x2, ......, x n} 是⼀个正整数的集合，targetValue 是⼀个正整数。

⼦集和问题判定是否存在 data 的⼀个⼦集 data1，使得x1 + x2 + ...... + x n = targetValue (x € data1)（2）算法设计：使⽤回溯算法⼦集树来解决，对于给定的集合 data = {x1, x2, ......, x n} 和正整数 targetValue，计算 data 的⼀个⼦集 data1，满⾜【x1 + x2 + ...... + x n = targetValue (x € data1)】（3）算法代码：public class SubsetSum {/*** ⽬标值*/private static Integer targetValue;/*** 当前所选元素之和*/private static Integer sum = 0;/*** 数据个数*/private static Integer num;/*** 未确定值*/private static Integer indeterminacyValue = 0;/*** 数据数组*/private static Integer[] data;/*** 数据存放【0：不存放 1：存放】*/private static Integer[] store;/*** 初始化数据*/private static void initData() {Scanner input = new Scanner(System.in);System.out.println("请输⼊⽬标值:");targetValue = input.nextInt();System.out.println("请输⼊数据个数:");num = input.nextInt();data = new Integer[num];store = new Integer[num];System.out.println("请输⼊各个数:");for (int i = 0; i < data.length; i++) {data[i] = input.nextInt();store[i] = 0; // 初始化都不存放indeterminacyValue += data[i];}}/*** 回溯查找*/private static Boolean backtrack(int i) {if (sum == targetValue) { // 找到可⾏解，直接返回 truereturn true;}if (i == data.length) { // 找不到可⾏解，直接返回 falsereturn false;}indeterminacyValue -= data[i]; // 计算还未确定数的总和if (sum + data[i] <= targetValue) { // 当前 sum + data[i] <= targetValue 直接进⼊左⼦树store[i] = 1; // 数据 i 存放，列⼊所选加数之中sum += data[i];if (backtrack(i + 1)) { // 继续深⼊下⼀层判定求和return true;}sum -= data[i]; // 求解深⼊完毕，若不满⾜所求的解，需要回溯，恢复当前的 sum 起始值}if (sum + indeterminacyValue >= targetValue) { // 剪枝函数【若当前 sum + 未确定的值 >= ⽬标值，才进⼊右⼦树深度搜索；否则没有任何意义】store[i] = 0; // 数据 i 此时不存放，列⼊所选加数之中if (backtrack(i + 1)) {return true;}}indeterminacyValue += data[i]; // 求解深⼊完毕，若不满⾜所求的解，需要回溯，恢复当前的 indeterminacyValue 起始值return false;}/*** 输出*/private static void print() {System.out.println("\n数据数组:");Stream.of(data).forEach(element -> System.out.print(element + " "));System.out.println();System.out.println("数据存放:");Stream.of(store).forEach(element -> System.out.print(element + " "));System.out.println();System.out.println("组成该⽬标值的数为:");for (int i = 0; i < store.length; i++) {if (store[i] == 1) {System.out.print(data[i] + " ");}}System.out.println();}public static void main(String[] args) {// 初始化数据initData();// 回溯查找backtrack(0);// 输出print();}}⼦集和问题核⼼代码（4）输⼊输出：请输⼊⽬标值:10请输⼊数据个数:5请输⼊各个数:2 2 6 5 4数据数组:2 2 6 5 4数据存放:1 1 1 0 0组成该⽬标值的数为:2 2 6输⼊输出（5）总结：⼦集和同样也完全体现了回溯法中⼦集树的核⼼思想，时间复杂度 O(2n) ，通过存与不存，判断是否剪枝，进⼊深度搜索⼀个解，⼀旦搜索到⼀个解直接返回即可； 建议：若⾁眼看不太懂，可以在纸上根据我的代码思路，画⼀画⾛⼀遍求解的流程，便于理解代码，掌握回溯法⼦集树的核⼼思想；。

一、实验目的通过本次实验，旨在掌握回溯算法的基本原理和应用方法，加深对回溯算法的理解，并学会运用回溯算法解决实际问题。

实验内容包括：设计回溯算法解决八皇后问题、0-1背包问题以及TSP问题，并对算法进行时间复杂度和空间复杂度的分析。

二、实验内容1. 八皇后问题问题描述：在8x8的国际象棋棋盘上，放置8个皇后，使得它们互不攻击。

即任意两个皇后不能在同一行、同一列或同一斜线上。

算法设计：使用回溯算法，通过递归尝试在棋盘上放置皇后，当出现冲突时回溯到上一步，重新尝试。

代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn Truedef solve_n_queens(n):def backtrack(row):if row == n:result.append(board[:])returnfor col in range(n):if is_valid(board, row, col):board[row] = colbacktrack(row + 1)board[row] = -1board = [-1] nresult = []backtrack(0)return result```2. 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个价值v[i]和重量w[i]，以及一个背包容量W，如何选择物品使得背包中的物品总价值最大且不超过背包容量。

算法设计：使用回溯算法，递归尝试选择每个物品，当背包容量不足或物品价值超过剩余容量时回溯到上一步。

代码实现：```pythondef knapsack(weights, values, capacity):def backtrack(i, cw, cv):if cw > capacity or i == len(weights):return cvif not backtrack(i + 1, cw, cv):return cvif cw + weights[i] <= capacity:return max(backtrack(i + 1, cw, cv), backtrack(i + 1, cw + weights[i], cv + values[i]))else:return cvreturn backtrack(0, 0, 0)```3. TSP问题问题描述：给定n个城市，以及每对城市之间的距离，求出一条最短路径，使得路径上的城市互不相同，并且最终回到起点。

回溯算法实验报告实验目的：回溯算法是一种递归算法，通常用于解决有限集合的组合问题。

本实验旨在通过实现回溯算法来解决一个具体的问题，并对算法的性能进行评估。

实验内容：本实验将以八皇后问题为例，展示回溯算法的应用。

八皇后问题是一个经典的问题，要求在一个8x8的棋盘上放置8个皇后，使得任意两个皇后不能在同一行、同一列或同一对角线上。

算法步骤：1. 创建一个二维数组，表示棋盘。

初始化所有元素为0，表示棋盘上无皇后。

2. 逐行进行操作，尝试在每一列放置皇后。

在每一列，从上到下逐个位置进行尝试，找到一个合适的位置放置皇后。

3. 如果找到合适的位置，则将该位置标记为1，并向下一行进行递归操作。

4. 如果当前位置无法放置皇后，则回溯到上一行，尝试放置皇后的下一个位置。

5. 当所有皇后都放置好后，得到一个解。

将该解加入结果集中。

6. 继续回溯，尝试寻找下一个解。

7. 当所有解都找到后，算法终止。

实验结果：在本实验中，我们实现了八皇后问题的回溯算法，并进行了性能测试。

根据实验结果可以看出，回溯算法在解决八皇后问题上表现出较好的性能。

实验中，我们使用的是普通的回溯算法，没有进行优化。

对于八皇后问题来说，回溯算法可以找到所有解，但是随着问题规模的增加，算法的执行时间也会大大增加。

回溯算法是一种非常灵活的算法，可以用于解决各种组合问题。

对于规模较大的问题，回溯算法的时间复杂度很高，需要考虑优化算法以提高性能。

在实际应用中，可以结合其他算法，如剪枝等技巧，来改进回溯算法的性能。

回溯算法是一种非常有价值的算法，值得进一步研究和应用。

《算法设计与分析》实验报告回溯法姓名：XXX专业班级：XXX学号：XXX指导教师：XXX完成日期：XXX一、试验名称：回溯法（1）写出源程序，并编译运行（2）详细记录程序调试及运行结果二、实验目的(1)掌握回溯算法思想(2)掌握回溯递归原理(3)了解回溯法典型问题三、实验内容(1)编写一个简单的程序，解决8皇后问题(2)批处理作业调度(3)数字全排列问题四、算法思想分析（1）编写一个简单的程序，解决8皇后问题（2）批处理作业调度[问题描述]给定n个作业的集合J=(J1, J2, … , Jn)。

每一个作业Ji都有两项任务需要分别在2台机器上完成。

每一个作业必须先由机器1处理，然后再由机器2处理。

作业Ji需要机器i的处理时间为tji，i=1,2, … ,n; j=1,2。

对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器i上完成处理的时间。

则所有作业在机器2上完成处理的时间和成为该作业调度的完成时间和。

批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定一个最佳的作业调度方案，使其完成时间和达到最小。

要求输入：1、作业数2、每个作业完成时间表：要求输出：1、最佳完成时间2、最佳调度方案提示提示：算法复杂度为O(n!),建议在测试的时候n值不要太大，可以考虑不要超过12。

（3）数字全排列问题：任意给出从1到N的N个连续的自然数，求出这N个自然数的各种全排列。

如N=3时，共有以下6种排列方式：123，132，213，231，312，321。

注意：数字不能重复，N由键盘输入（N<=9）。

五、算法源代码及用户程序(1)编写一个简单的程序，解决8皇后问题N皇后问题代码1：#include<stdio.h>#define NUM 8 //定义数组大小int a[NUM + 1];int main (){int a[100];int number;int i;int k;int flag;int notfinish = 1;int count = 0; i = 1; //正在处理的元素下标，表示前i－1个元素已符合要求，正在处理第i个元素a[1] = 1; //为数组的第一个元素赋初值printf ("Result:\n"); while (notfinish) //处理尚未结束{while (notfinish && i <= NUM) //处理尚未结束且还没处理到第NUM个元素{for (flag = 1, k = 1; flag && k < i; k++) //判断是否有多个皇后在同一行{if (a[k] == a[i])flag = 0;}for (k = 1; flag && k < i; k++) //判断是否有多个皇后在同一对角线{if ((a[i] == a[k] - (k - i)) || (a[i] == a[k] + (k - i)))flag = 0;} if (!flag) //若存在矛盾不满足要求，需要重新设置第i个元素{if (a[i] == a[i - 1]) //若a［i］的值已经经过一圈追上a［i－1］的值{i--; //退回一步，重新试探处理前的一个元素if (i > 1 && a[i] == NUM){a[i] = 1; //当a［i］的值为NUM时将a［i］的值置1}else if (i == 1 && a[i] == NUM){notfinish = 0; //当第一位的值达到NUM时结束}else{a[i]++; //将a［i］的值取下一个值}}else if (a[i] == NUM){a[i] = 1;}else{a[i]++; //将a［i］的值取下一个值}}else if (++i <= NUM) //第i位已经满足要求则处理第i＋1位{if (a[i - 1] == NUM) //若前一个元素的值为NUM则a[i]＝1 {a[i] = 1;}else{a[i] = a[i - 1] + 1; //否则元素的值为前一个元素的下一个值}}}if (notfinish){++count;printf ((count - 1) % 3 ? "[%2d]:" : "\n[%2d]:", count);for (k = 1; k <= NUM; k++) //输出结果{printf (" %d", a[k]);} if (a[NUM - 1] < NUM) //修改倒数第二位的值{a[NUM - 1]++;}else{a[NUM - 1] = 1;} i = NUM - 1; //开始寻找下一个满足条件的解}}//whileprintf ("\n");return 0;}(2)批处理作业调度import java.util.*;public class FlowShop{static int n; //作业数static int f1; //机器1完成处理时间static int f; //完成时间和static int bestf; //当前最优值static int[][] m; //各作业所需要的处理时间static int[] x; //当前作业调度static int[] bestx; //当前最优作业调度static int[] f2; //机器2完成处理时间public static void trackback(int i) {if (i == n) {for (int j = 0; j < n; j++) {bestx[j] = x[j];}bestf = f;} else {for (int j = i; j < n; j++) {f1 += m[x[j]][0];if (i > 0) {f2[i] = ((f2[i - 1] > f1) ? f2[i - 1] : f1) + m[x[j]][1]; } else {f2[i] = f1 + m[x[j]][1];}f += f2[i];if (f < bestf) {swap(x, i, j);trackback(i + 1);swap(x, i, j);}f1 -= m[x[j]][0];f -= f2[i];}}}private static void swap(int[] x, int i, int j) {int temp = x[i];x[i] = x[j];x[j] = temp;}private static void test() {n = 3;int[][] testm = {{2, 1}, {3, 1}, {2, 3}};m = testm;int[] testx = {0, 1, 2};x = testx;bestx = new int[n];f2 = new int[n];f1 = 0;f = 0;bestf = Integer.MAX_V ALUE;trackback(0);System.out.println(Arrays.toString(bestx)); System.out.println(bestf);}public static void main(String[] args){test();System.out.println("Hello World!");}}(3)数字全排列问题#include "stdio.h"#include "conio.h"int num,cont=0;main(){ int i,n,a[30];printf("enter N :");scanf("%d",&num);for(i=1;i<=num;i++)a[i]=i;perm(a,1);printf("\n%d",cont);getch();}int perm(int b[], int i){int k,j,temp;if(i==num){for(k=1;k<=num;k++)printf("%d ",b[k]);printf("\t");cont++;}elsefor(j=i;j<=num;j++){temp=b[i];b[i]=b[j],b[j]=temp;perm(b,i+1);temp=b[i];b[i]=b[j],b[j]=temp;}return(0);}六、实验结果与思想这次的实验是回溯法，我也对回溯法有了一个基本印象，所谓回溯法，就是把所有的可行解都遍历一遍，遇到不可行的就回溯到上一步，然后通过添加约束条件和限界条件就可以得到最优解。