线性多时变时滞系统的指数稳定性

切换系统的稳定性分析切换系统是混杂动态系统中的其中一种重要的模型，具有特殊性，混杂动态系统包括了两种动态系统，即离散事件动态系统和连续或离散时间变量动态系统。

切换系统在混杂动态系统中是非常重要的其中的模型。

1 切换系统的稳定性切换系统的正常运行，是基于系统的稳定性能的前提下的，所以，稳定性是切换系统的研究的话题。

研究为了提高切换系统的稳定性，使切换系统正常运行。

由于对于系统内部的复杂的程序与序列进行符号识别与切换，并保证切换得当，方能确保切换系统的稳定操作与运行。

对于切换系统内的子系统的稳定性能如何，若切换得当，切换系统都能稳定运行。

因此，切换系统中的切换是否得当，关系到切换系统能否稳定运行。

以下通过介绍公共Lyapunov函数与多Lyapunov 函数是如何控制切换系统的稳定性的。

1.1 公共Lyapunov函数为了研究切换系统在任意的切换信号下都能保持稳定性，其中达到该目的需要有什么条件，在公共Lyapunov函数的系统中对于任意的切换信号下切换系统保持着相对稳定地状态，因此，公共Lyapunov 函数可以解决在任意切换信号下控制切换系统的稳定性的问题。

对于公共Lyapunov函数的假设，我们可以认为：切换系统内的所有子系统都存在公共Lyapunov函數，切换系统在任意切换信号下，都能保持切换系统的稳定性。

对于公共Lyapunov函数，如果Lyapunov函数V（x）0，那么有：上式则是公共Lyapunov函数，由以上的式子可以看出，当V（x）0时，系统能够达到趋于稳定状态，但是，如果V（x）没有这一局限性，则系统的稳定性是全局性的，不能很好地保证系统的稳定性。

在一组稳定地矩阵Ai（i∈Q），则存在一个正定矩阵P0，有：该式称为公共二次Lyapunov函数。

对于切换系统中的公共Lyapunov函数若符合以下两个条件：若线性切换系统Lie代数可解，全部指数稳定，则存在二次型公共Lyapunov函数；若非线性切换系统，当且仅当，系统趋向稳定，不分指数稳定，则存在公共Lyapunov函数。

稳定性 (stability)系统受到扰动后其运动能保持在有限边界的区域内或回复到原平衡状态的性能。

稳定性问题是自动控制理论研究的基本问题之一。

稳定性分为状态稳定性和有界输入-有界输出稳定性。

状态稳定性如果充分小的初始扰动只引起系统偏离平衡状态的充分小的受扰运动，则称系统是稳定的。

如果当时间趋于无穷大时，所有这些受扰运动均回复到原平衡状态，则称系统是渐近稳定的。

如果对任意初始扰动引起的受扰运动，系统都能随时间趋于无穷大而回复到平衡状态，则称系统是全局或大范围渐近稳定的。

有界输入－有界输出稳定性如果对应于每个有界的输入，系统的输出均是有界的,就称系统是有界输入-有界输出稳定的，简称BIBO稳定。

一个向量信号称为有界，是指组成信号的每一个分量的函数值都为有限值。

对于可用常系数线性微分方程描述的系统，在系统是联合能控和能观测时（见能控性和能观测性），BIBO稳定等价于全局渐近稳定。

在线性控制理论中，系统稳定即指其平衡状态是全局渐近稳定。

稳定性的判别判定系统稳定性主要有两种方法：①李雅普诺夫方法：它同时适用于线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统。

对于线性定常系统，这种方法在使用上并不简便（见李雅普诺夫稳定性理论。

②基于对系统传递函数的极点分布的判别方法：只适用于线性定常系统。

传递函数的极点即是其分母多项式为零的代数方程的根。

这种方法在应用上比较简便。

其中按代数方法进行判别的为代数稳定判据，如劳思稳定判据和胡尔维茨稳定判据；按复变函数方法进行判别的有奈奎斯特稳定判据和米哈伊洛夫稳定判据；按图解方法通过研究极点随增益的变化关系来进行判别的为根轨迹法。

除此之外，在研究某些类型的稳定性问题时，也常采用波波夫稳定判据。

而泛函分析和微分几何的方法也已在研究稳定性问题中得到应用。

稳定性(stability)在一定条件下，物体在偏离平衡位置后能恢复到原来平衡位置的性能。

如塔式起重机一般要加适当的配重，使其承受各种载荷时重心始终在支承点周围的范围内而不翻倒。

线性时变系统有限时间稳定性的数值判定算法陈志华;解永春【摘要】针对系统的初值和系统的状态均限定在多面体集合的情形,本文从数值计算角度研究了连续线性时变(linear time-varying,LTV)系统有限时间稳定性(finite-time stability,FTS)的判定问题.首先,通过求解特定的函数优化问题,给出了该类系统有限时间稳定的充分必要条件.然后,利用所得充分必要条件以及特定函数的Lipschitz连续性质,从数值计算角度给出了判定该类系统有限时间稳定性的充分条件.进一步,基于所得充分条件,将特定的函数优化问题转化为相应的线性规划,提出了一种判定该类系统有限时间稳定性的数值算法.最后,给出的4个数值算例说明了本文算法的正确性和有效性,以及相比已有结果的优越性.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2019(036)002【总页数】11页(P220-230)【关键词】线性时变系统;有限时间稳定性;多面体集合;线性规划;数值算法【作者】陈志华;解永春【作者单位】北京控制工程研究所, 北京 100190;北京控制工程研究所, 北京100190;空间智能控制技术重点实验室, 北京 100190;天津市微低重力环境模拟技术重点实验室, 天津 300301【正文语种】中文1 引言在目前的系统稳定性理论研究中,Lyapunov稳定性理论已经得到了广泛和深入的研究.众所周知,Lyapunov稳定性研究系统在无穷时间区间上的动态行为.然而,实际工程中有不少系统是工作在有限时间区间上的,如高超声速飞行器爬升过程[1]、飞行器再入过程[2]、航天器交会对接过程[3]等.对于这类系统,通常要求其在有限的工作时间段内满足正常工作所需的性能指标.而有限时间稳定性(finite-time stability,FTS)的概念,即刻画系统从某个限定区域Ωα出发的状态在给定的有限时间内不超过另一个限定区域Eβ,恰好能描述工作在有限时间段内的系统对于稳定性的要求条件.Kamenkov在1953年首次提出了有限时间稳定性概念[4],经过其后60多年的发展,有限时间稳定性的研究已取得了大量结果[5–11].需要指出的是,有限时间稳定的系统不一定是Lyapunov稳定的,反之亦然,即这两种稳定性不存在必然的联系.关于有限时间稳定性和Lyapunov稳定性区别的详细讨论可参见文献[9,12].注意到文献[13]也定义了一种有限时间稳定性,但文献[13]中的有限时间稳定性定义要求系统是Lyapunov稳定的,且要求系统轨线在有限时间内收敛到平衡点,而本文研究的有限时间稳定性和Lyapunov稳定性没有必然联系.针对连续线性时变(linear time-varying,LTV)系统的有限时间稳定性分析问题,目前主要有两种方法:一是构造满足特定要求的V型函数方法[5–6].利用该方法,文献[5]以一组代数、微分和积分不等式形式给出了一般非线性时变系统有限时间稳定的充分条件,但所要求的V型函数通常难以构造.文献[6]构造了一种V型函数,最终以一组代数、微分不等式形式给出了一般非线性时变系统有限时间稳定的充分必要条件.然而,文献[5]和文献[6]给出的判定条件实际上都难以检验,因为需要遍历所考察区间上的所有时刻进行检验,因此仅具有理论意义.二是基于系统所有轨线包线的方法[9–10].文献[9]通过不等式技术估计系统所有轨线包线,以微分线性矩阵不等式(differential linear matrix inequality,DLMI)形式给出了一系列充分必要条件.由于没有直接求解DLMI的成熟算法,通常需要在一定的条件下把DLMI离散化得到LMI再求解,但这一过程中不可避免地会引入保守性.文献[10]通过求解系统所有轨线包线的方法,以代数不等式形式给出了连续LTV系统有限时间稳定的充分必要条件,但该条件要求精确计算得到系统轨线的包线,因此必须在理论上对计算误差给出估计,否则将影响到判定结果的正确性.此外,离散LTV系统的有限时间稳定性分析也得到了充分必要条件[11].还有一些文献研究了存在时滞[14–15]、随机过程[7,16]、不确定性[2,14,16]、干扰[2]、脉冲[12,17]、系统切换[18]等因素时的LTV系统有限时间稳定性分析问题.尽管关于LTV系统有限时间稳定性分析的研究已经取得了不少结果,但大都是针对系统的初值和状态都限定在椭球体集合的情形.当系统的初值或系统的状态限定在多面体集合时,据笔者所知,仅有文献[2,10,19]进行了相关报道.针对系统的初值限定在椭球体集合而系统的状态限定在多面体集合的情形,文献[10]给出了连续LTV系统有限时间稳定的充分必要条件.针对系统的初值和系统的状态都限定在时不变多面体集合的情形,文献[19]通过构造多面体形式的V型函数给出了LTI系统有限时间稳定的充分条件,但该结果不适用于系统状态限定在时变多面体集合的情形,也不能用于LTV系统.针对系统的初值限定在时不变多面体集合而系统的状态限定在时变多面体集合的情形,文献[2]给出了一种判定连续LTV系统有限时间稳定性的数值算法.然而,该算法没有从理论上给出所考察区间的离散划分段数(步长)确定方法,因此无法在理论上保证判定结果的正确性,即可能会由于人为离散划分的盲目性而得出错误的判定结果,第4节的算例2就证实了这个论断.因此,如何从数值计算角度简便且可靠地分析LTV系统的有限时间稳定性是需要进一步解决的问题.基于上述分析,本文研究了连续LTV系统有限时间稳定性的数值判定算法.相比于上述文献,本文的创新和贡献体现在以下3个方面:1)针对系统的初值和系统的状态都限定在多面体集合情形,通过直接求解特定的函数优化问题,给出了连续LTV系统有限时间稳定的充分必要条件.2)从理论上证明了特定函数的Lipschitz连续性质,并利用该性质和所得的充分必要条件,从数值计算角度分别给出了连续LTV系统有限时间稳定和有限时间不稳定的充分条件.3)基于所得充分条件,通过将特定的函数优化问题转化为相应的线性规划求解问题,提出了一种判定连续LTV系统有限时间稳定性的数值算法.相比文献[2]算法,本文算法给出了所考察区间离散划分段数(步长)的计算公式,从理论上保证了所提算法的可靠性,避免了文献[2]算法中人为离散划分的盲目性和由此造成的误判风险.此外,本文算法相比文献[19]方法的适用范围更广.本文后续内容安排如下:第2节给出了本文研究的问题描述以及用到的相关引理;第3节给出了连续LTV系统的有限时间稳定的充分必要条件和充分条件,以及有限时间不稳定的充分条件,并提出了判定连续LTV系统有限时间稳定性的数值算法;第4节给出了4个算例,检验了本文结果的正确性和有效性;第5节给出了本文结论.符号说明:∀表示任意.R表示实数域,Rn×1表示n维实列向量空间,Rn×n表示全体n阶实矩阵构成的空间.C[W,Rn×n]表示定义在区间W,W ⊆R上的所有连续n阶实矩阵值函数构成的空间,C2[W,Rn×1]表示定义在区间W上的所有二阶连续可微的n维实列向量值函数构成的空间.∥·∥1和∥·∥分别表示矩阵或向量的1范数和2范数.上标“T”表示矩阵或向量的转置.In表示n阶单位矩阵,0表示Rn×1中的零向量.「a」表示最接近实数a且不小于a的整数.2 问题描述与预备知识2.1 问题描述考虑LTV系统其中:x(t)∈Rn×1为状态变量,x0=x(t0)为系统初值,且系统矩阵A(t)∈C[J,Rn×n],J=[t0,+∞].注1 上述条件保证了系统(1)在J的任意闭子区间上的解是存在且唯一的[20].针对系统初值和系统状态均限定在多面体集合的情形,文献[19]给出了系统(1)的有限时间稳定性定义,且采用不等式形式[19]表示相应的多面体集合.本文也采用不等式形式表示系统(1)的初值限定集合和状态限定集合,分别如式(2)和式(3)所示.考虑多面体集合和时变多面体集合其中:为考察区间,T>0为给定常数,常值向量fj∈ Rn×1,函数向量hi(t)∈Rn×1,t∈Tw,且Ω0⊆Et0.注2 1)集合Ω0具有中心对称性,即对于∀x0∈Ω0,有−x0∈Ω0.2)容易验证集合Ω0和Et均为紧凸多面体.3)相比文献[19],本文定义的多面体集合Et是时变的,故本文定义的多面体集合Et的适用范围更广.定义1[19] 给定(Ω0,Et,Tw),称系统(1)相对于参数(Ω0,Et,Tw)有限时间稳定(finite time stable,FTS):若对于∀x0∈ Ω0,t∈ Tw,有x(t)∈Et.图1给出了有限时间稳定性的示意图(以n=2为例).图1 有限时间稳定性示意图Fig.1 Sketch of the finite-time stability定义2 给定(Ω0,Et,Tw),称系统(1)相对于参数(Ω0,Et,Tw)有限时间不稳定(finite time unstable,FTUS):若存在x0∈ Ω0和t∈Tw,使得下面给出本文主要研究问题的描述.问题针对系统(1),给定集合Ω0,Et和考察区间Tw,确定在什么条件下,系统(1)相对(Ω0,Et,Tw)有限时间稳定.2.2 相关引理假设1 设,且Ma已知.其中,aij(t)表示系统矩阵A(t)的元素,i,j=1,···,n.假设2 假设式(3)中函数向量hi(t)∈C2[Tw,Rn×1],满足且Mddhi已知,i=1,···,N.引理1 考虑系统(1),给定考察区间Tw=[t0,t0+T],函数Mi(t)和mi(t),t∈Tw,i=1,···,N分别定义为下述优化问题(4)和(5)的解:则有下述性质:其中:为系统(1)的状态转移矩阵,即满足方程参数而参数m=证根据函数Mi(t)的定义式(4),函数mi(t)的定义式(5)和注2即可证明,不再详细给出. 证毕.注3 根据集合Ω0的定义式(2)可知,对于任意给定的t∈Tw,求解优化问题(4)和(5)等价于求解相应的线性规划,故可以利用MATLAB优化工具箱的linprog函数[21]求解.引理2 考虑系统(1),给定集合Ω0,Et和考察区间Tw=[t0,t0+T],则函数Mi(t)在Tw 上Lipschitz连续,且Lipschitz常数其中:同引理1,参数而证根据Lipschitz连续定义来证.下面首先证明函数Mi(t)在Tw上Lipschitz连续. 对于∀t16t2∈ Tw,记注意到0∈Ω0,则根据式(4)可知Mi(t)>0,i=1,···,N,故Mi(t2)和Mi(t1)同非负号. 若Mi(t1)>Mi(t2),则若Mi(t1)6Mi(t2),则因此,其中再根据微分中值定理[20]和矩阵范数的性质[20,22]可知其中:而因此,Mi(t),i=1,···,N在Tw上Lipschitz连续,且Lipschitz常数为LMi=MX0MΦ(Mdhi+MhiMA),i=1,···,N. 证毕.引理2从理论上证明了函数Mi(t),i=1,···,N,是Lipschitz连续的,下述引理3给出了函数Mi(t),i=1,···,N 的Lipschitz常数的具体估算方法.引理3 考虑系统(1),给定集合Ω0,Et和考察区间Tw=[t0,t0+T],设定数值计算精度E∈(0,0.01],则函数Mi(t),i=1,···,N的Lipschitz常数LMi的估计值为其中:MX0为多面体集合Ω0的所有顶点处∥x0∥的最大值,而h>0满足参数证根据引理2可知其中:参数首先估计MX0的上界,则根据文献[23]可知:多面体集合Ω0所有顶点(有限多个)处的∥x0∥的最大值即为MX0.考虑估计上界,则根据矩阵范数性质[22]可知其中n为系统(1)的阶次.再根据假设1可知故可计算得到MA的上界估计值考虑估计MΦ上界.对于给定数值计算精度E,取步长h>0满足,则对于∀t16t2∈[t,t+h]⊆Tw,根据矩阵范数性质和∥Φ(t,t0)∥的估计式[22]可知令t=t1,则对于∀t2∈ [t1,t1+h]⊆ Tw,则因此,故将Tw均匀划分Nh=「T/h」段,即可计算得到MΦ的近似值再考虑估计参数Mhi和Mdhi,i=1,···,N的上界,则根据假设2可知hi(t)∈C2[Tw,Rn×1],且对于∀t16t2∈ Tw,有故将Tw均匀划分Ndhi=「MddhiT/E」段,即可计算得到Mdhi的上界估计值为类似地,将Tw均匀划分段,即可得到Mhi的上界估计值为因此,函数Mi(t)的Lipschitz常数LMi的估计值为显然,证毕.引理4 考虑系统(1),给定集合Ω0,Et和考察区间Tw=[t0,t0+T],设定数值计算精度E∈(0,0.01],则,分别满足和其中:离散划分点tk=t0+kT/Ni,k=0,···,Ni,而参数同引理3.证根据引理2可知Mi(t)在Tw上Lipschitz连续,且Lipschitz常数L=LMi.显然,必存在某个p ∈ {0,···,Ni− 1},使得t∗位于离散划分点区间[tp,tp+1]上,故再由题设可知Ni>「LMiT/E」,故显然,而故因此,至此,证明了式(7)成立.再根据引理1的结论(1)和(2)可得即式(8)成立. 证毕.3 主要结果本节首先给出系统(1)有限时间稳定的充分必要条件.然后,从数值计算角度分别给出系统(1)有限时间稳定和有限时间不稳定的充分条件.3.1 充分必要条件(Necessary and sufficient condition)定理1 考虑系统(1),给定集合Ω0,Et和考察区间Tw=[t0,t0+T],则系统(1)相对(Ω0,Et,Tw)有限时间稳定的充分必要条件为其中同引理1.证充分性.若则根据的定义可知注意到因此,根据定义1可知系统(1)相对(Ω0,Et,Tw)有限时间稳定.必要性.采用反证法,假设由于故存在某一个k∈{1,···,N},使得即根据集合Et的定义可知x(t∗)/∈Et,因此根据定义2可得:系统(1)相对(Ω0,Et,Tw)有限时间不稳定,产生矛盾.因此假设不成立,即因此,系统(1)相对(Ω0,Et,Tw)有限时间稳定当且仅当证毕.注4 1)由于集合Ω0为多面体,因此难以得到像文献[10]中定理4的显式判定条件.2)定理1为分析系统(1)的有限时间稳定性提供了理论依据,但该定理不便于直接检验,因为不可能遍历所有的t∈Tw来计算函数值Mi(t).3.2 充分条件基于定理1,下述定理2和推论1分别从数值计算角度给出了系统(1)的有限时间稳定和有限时间不稳定的理论基础.定理2 考虑系统(1),给定集合Ω0,Et和考察区间Tw=[t0,t0+T],设定数值精度E∈(0,0.01],则系统(1)相对(Ω0,Et,Tw)有限时间稳定的充分条件为其中:参数而Mi同引理3.证证明略去,根据引理4和定理1即可证明.推论1 考虑系统(1),给定集合Ω0,Et和考察区间Tw=[t0,t0+T],设定数值精度E∈(0,0.01],则系统(1)相对(Ω0,Et,Tw)有限时间不稳定的充分条件为其中参数同定理2.证证明略去,根据引理4和定理1即可证明.注5 由于不可能计算出所有时刻t∈Tw处的函数值Mi(t),故采用定理2和推论1的不必要性就是由来近似的离散误差造成的.3.3 数值算法基于定理2、推论1以及引理3,即可设计出判定系统(1)有限时间稳定性的数值算法,具体见表1.表1 连续LTV系统有限时间稳定性的数值判定算法Table 1 Numericalalgorithm for analyzing the finitetime stability of continuous LTV systemsInput:系统(1)的系统矩阵A(t),集合Ω0,Et,考察区间Tw=[t0,t0+T],数值计算精度E∈(0,0.01].Output:Flag=1,有限时间稳定;Flag=0,有限时间不稳定;Flag=−1,算法失效.1) 对于每个i∈{1,···,N},按照引理3方法,计算得到函数Mi(t)的Lipschitz常数的估计值Mi;2)将Tw均匀划分Ni=「MiT/E」段,得到离散划分点序列{tk},k=0,···,Ni;3) 数值求解方程(6)得到状态转移矩阵Φ(t,t0)在离散划分点tk,k ∈ {0,···,Ni}处的值Φ(tk,t0),代入优化问题(4),再将优化问题(4)转化为标准线性规划形式[21];4) 调用MATLAB优化工具箱的linprog函数[21]求解第3步中所得的线性规划,得到参数Mi(tk);5) 对所有tk,k=0,···,Ni,按照第3)−5)步循环,计算i的近似值i=max Mi(tk);6) 对于每个i=1,···,N,按照第1)−5)步循环,计算得到参数的近似注 6 1)算法第4步中函数Mi(t),i=1,···,N在tk处的函数值Mi(tk),k=0,···,Ni的数值计算误差远小于设定的数值计算精度E,因此忽略不计.2)参数的计算过程具有并行性,即算法第1)−6)步可并行执行.此外,函数值Mi(tk),k=0,···,Ni的计算过程也具有并行性,即算法第3)−5)步可并行执行以提高计算效率.4 算例分析下面通过4个数值算例,来说明所提数值算法的正确性和有效性.例1 考察本文算法的判定效果给定t0=0,T=3,即Tw=[0,3],系统初值限定集合及系统状态限定集合计算可知Ω0⊆Et0,且h1(t)=(1−0.1e−t)[1 −1]T,h2(t)=(5−2.5e−t)[1/3 1/3]T.设定数值计算精度E=0.01,利用本文数值算法判断例1系统的有限时间稳定性,则函数曲线Mi(t)=如图2所示.图2 Tw=[0,3]时的函数曲线Mi(t),i=1,2Fig.2 FunctioncurveMi(t),i=1,2whenTw=[0,3]此外,计算得到参数即参数因此根据定理2可知,例1系统相对(Ω0,Et,Tw)有限时间稳定.再考虑T0=0,T=10,即Tw=[0,10]的情形.设定数值计算精度E=0.01,再次利用本文数值算法判断例1系统的有限时间稳定性,则函数曲线Mi(t),i=1,2,如图3所示. 计算得到参数即参数因此根据推论1可知,例1系统相对(Ω0,Et,Tw)有限时间不稳定.图3 Tw=[0,10]时的函数曲线Mi(t),i=1,2Fig.3 FunctioncurveMi(t),i=1,2whenTw=[0,10]例2 对比本文算法与文献[2]算法的判定效果给定t0=0,T=5,即Tw=[0,5],系统初值限定集合及系统状态限定集合计算可知Ω0⊆Et0,且h1(t)=(1−0.1e−t)[1 −1]T,h2(t)=(5−2.5e−t)[1/3 1/3]T.设定数值计算精度E=0.01,利用本文数值算法判断例2系统的有限时间稳定性,则函数曲线Mi(t)=如图4所示.图4 利用本文算法的函数曲线Mi(t),i=1,2Fig.4 Function curveMi(t),i=1,2by using the proposed algorithm in this paper计算得到参数即参数因此根据推论1可知,例2系统相对(Ω0,Et,Tw)有限时间不稳定.再利用文献[2]算法判定例2系统的有限时间稳定性.取等距步长∆=0.01划分区间Tw=[0,5],函数曲线Mi(t),i=1,2,如图5所示.图5 利用文献[2]算法的函数曲线Mi(t),i=1,2Fig.5 Function curveMi(t),i=1,2by using the algorithm in[2]计算得到参数即参数因此根据文献[2]算法可知,例2系统相对(Ω0,Et,Tw)有限时间稳定,这就得出了错误结论.例3 对比本文算法与文献[19]方法的适用范围给定t0=0,T=2,即Tw=[0,2],系统初值限定集合及系统状态限定集合计算可知Ω0⊆Et0,且h1(t)=(1−0.1e−t)[1 −0.5]T,h2(t)=[1 1]T/(1+e−t).给定数值计算精度E=0.01,利用本文数值算法判断例3系统的有限时间稳定性,则函数曲线Mi(t)=如图6所示.计算得到参数即参数因此根据定理2可知,例3系统相对(Ω0,Et,Tw)有限时间稳定. 由于例3系统为LTV系统,而文献[19]方法仅适用于LTI系统且要求多面体集合Et 是时不变的,因此文献[19]方法不再适用.该算例说明了本文算法相比文献[19]方法的适用范围更广.图6 函数曲线Mi(t),i=1,2Fig.6 Function curveMi(t),i=1,2例4 卫星姿态控制系统有限时间稳定性分析.以静止轨道三轴稳定刚体卫星姿态控制过程为例,卫星姿态动力学[24]可表示为其中:状态表示滚动角、俯仰角、偏航角及相应的角速度,而控制向量u=[uφ uθ uψ]T.其中系统矩阵其中:控制矩阵其中:I(t)=diag{Ix(t),Iy(t),Iz(t)}表示卫星的惯量矩阵,ω0表示静止轨道角速度,其具体数值[24]为ω0=7.2921158×10−5rad/s.考虑到卫星燃料消耗,设刚体卫星的惯量矩阵为单位为kg·m2.设定姿态控制初始时刻t0=0s,姿态控制总时间为T=30s,即Tw=[0,30].设滚动角φ(t),俯仰角θ(t)和偏航角ψ(t)的初始允许范围分别为且滚动角速度俯仰角速度和偏航角速度的初始允许范围分别为采用国际单位表示,则系统初值集合为控制目标:要求在姿态控制过程中,即t∈Tw内满足采用国际单位表示,则系统状态限定集合为计算可知Ω0⊆Et0,且针对系统(9),设计PD控制律为其中:s表示滚动角φ(t),俯仰角θ(t)以及偏航角ψ(t).设定PD控制律参数给定数值计算精度E=0.01,利用本文数值算法判断由式(9)和式(10)组成的闭环系统的有限时间稳定性,则函数曲线∈Tw,i=1,2,3,4,5,6,如图7所示.图7 函数曲线Mi(t),i=1,2,3,4,5,6Fig.7 Function curveMi(t),i=1,2,3,4,5,6图7中:i=1,2,3分别对应滚动角φ,俯仰角θ和偏航角ψ,而i=4,5,6分别对应滚动角速度,俯仰角速度θ和偏航角速度计算得到参数=0.9583,而参数因此根据定理2可知,例4闭环系统相对(Ω0,Et,Tw)有限时间稳定.进一步,选取x(t0)=[5,−3,4,0.8,0.5,−0.7]T∈Ω0(单位为◦和(◦)/s)进行仿真验证,仿真结果如图8和图9所示.图8 滚动角φ(t)、俯仰角θ(t)及偏航角ψ(t)的变化曲线Fig.8 Time history of the roll angleφ(t),pitch angleθ(t)and yaw angleψ(t)图9 滚动角速度(t)、俯仰角速度θ(t)及偏航角速度(t)的变化曲线Fig.9 Time history of the roll angle rate(t),pitch angle rate(t)and yaw angle rate(t)其中表示使得Et的第1个表达式取等号时的边界曲线±6(0.1+e−0.1t)(单位为◦).类似地,表示±4(0.1+e−0.1t)(单位为◦),表示±5(0.1+e−0.1t)(单位为◦),而曲线表示±0.1(0.5+10e−0.1t)(单位为(◦)/s).图8−9表明:当闭环系统的初值x(t0)∈Ω0,则对应的系统状态x(t)∈Et,∀t∈Tw,即例4闭环系统相对(Ω0,Et,Tw)有限时间稳定.5 结论本文从数值计算角度研究了当系统的初值和状态都限定在多面体集合时的连续LTV系统有限时间稳定性判定问题,给出了连续LTV系统有限时间稳定的充分必要条件,并从数值计算角度给出了该类系统有限时间稳定和有限时间不稳定的充分条件.基于所得充分条件,本文提出了一种判定连续LTV系统有限时间稳定性的数值方法.理论分析和算例仿真都说明了本文算法的有效性和正确性,相比已有结果不存在误判风险,且适用范围更广.如何利用本文结果研究连续LTV系统的有限时间镇定问题将是未来的研究方向. 参考文献:【相关文献】[1]SUN Jingguang,SONG Shenmin,CHEN Haitao.Finite-time tracking control of the hypersonic vehicle with input 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劳斯-赫尔维茨定理：描述稳定性的性质和判断方法第一章：引言劳斯-赫尔维茨定理是控制理论中的重要定理之一，它描述了线性时不变系统的稳定性的性质和判断方法。

稳定性是系统控制中一个非常重要的概念，它涉及到系统在输入变化时的响应能力。

本章将介绍劳斯-赫尔维茨定理的背景和重要性，为后续章节的讨论奠定基础。

第二章：劳斯-赫尔维茨定理的基本概念2.1 动力系统在开始介绍劳斯-赫尔维茨定理之前，我们首先需要了解动力系统的基本概念。

动力系统是指由动态方程和初始条件所描述的一种数学模型，在控制理论中被广泛应用。

动力系统可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。

理解动力系统的特性对于理解劳斯-赫尔维茨定理至关重要。

2.2 稳定性的定义稳定性是对系统响应的一种性质描述。

一个稳定的系统在输入变化时，其响应不会无限增长或震荡，而是趋于有限的范围内。

稳定性可以分为渐进稳定和有界稳定两种形式。

渐进稳定是指系统的响应趋于零或某个有限的值，而有界稳定是指系统的响应保持在有限的范围内。

第三章：劳斯准则3.1 劳斯定理的基本原理劳斯定理是劳斯-赫尔维茨定理的基本原理，它是通过对系统特征方程的根进行判断来确定系统的稳定性。

具体而言，劳斯定理使用代数方法来判断系统特征方程的根的位置，从而得出系统的稳定性判据。

3.2 劳斯准则的推导劳斯准则的推导是建立在特征方程的根与稳定性之间的关系上。

通过对特征方程进行变换和整理，可以得到劳斯准则的具体表达式。

劳斯准则的推导过程是相对复杂的，但是它为后续的稳定性判断提供了重要的理论基础。

第四章：劳斯-赫尔维茨定理的应用4.1 劳斯-赫尔维茨定理的基本应用劳斯-赫尔维茨定理的基本应用是判断系统的稳定性。

通过计算特征方程的根，并根据劳斯准则进行判断，可以得出系统的稳定性结论。

这在系统控制和工程实践中具有重要的意义，可以帮助工程师们设计和优化控制系统，提高系统的稳定性和性能。

4.2 劳斯-赫尔维茨定理的拓展应用除了稳定性的判断，劳斯-赫尔维茨定理还可以应用于其他领域。

解线性变分不等式的一种时滞神经网络的稳定性分析陈丰盈;高兴宝【摘要】A delayed projection neural network for the linear variational inequality is considered. Based on the theory of functional differential equations and linear matrix inequality (LMI) method, the existence and uniqueness of the solution of the model is proved and a delay- dependent criteria for globally exponential stability of this network is presented by constructing appropriate Liapunov functionals. Meanwhile, the global asymptotic stability of this network with free delay are also shown under mild conditions. Finally, the performance of the model and the obtained results are illustrated by some numerical examples.%考虑了求解线性变分不等式的一种时滞投影神经网络．利用泛函微分方程理论和线性矩阵不等式方法，通过构造恰当的Liapunov泛函，证明了该模型解的存在唯一性，并给出了确保其全局指数稳定的延时依赖准则．对任意延时，在适当条件下证明了该模型的全局渐近稳定性．用数值实例验证了模型的性能和所得结论的正确性．【期刊名称】《陕西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(040)006【总页数】6页(P11-15,21)【关键词】线性变分不等式;时滞投影神经网络;全局指数稳定性【作者】陈丰盈;高兴宝【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062【正文语种】中文【中图分类】O231.2考虑如下一类线性变分不等式问题（LVI）：找向量x＊∈Ω，使其中M∈Rn×n，p∈Rn 和Ω＝｛x∈Rn｜hi≤xi≤li，i＝1，2，…，n｝（某些hi （－lj）可以是＋∞）.显然x＊∈Ω是（1）的解当且仅当它是投影方程［1］的解，其中α＞0是常数，PΩ（x）＝［PΩ（x1），PΩ（x2），…，Pn（xn）］T 且PΩ（xi）＝min｛li，max｛xi，hi｝｝（i＝1，2，…，n）.问题（1）包括线性方程组（Ω＝Rn）和线性互补问题［1］（Ω＝｛x∈Rn｜x≥0｝），并且线性和二次规划问题均可转化为它.在经济、电路和优化等科学与工程领域，问题（1）具有广泛的应用［1］.在许多实际应并在M对称半正定的条件下分析了其稳定性和收敛性.然而与文献［4-7］中的模型一样，文献［8］并未考虑时滞因素.而时滞在神经元处理过程和信号传输中不可避免，且可能导致网络的震荡或不稳定，因此在神经网络模型设计中必须考虑这一因素.近年来，许多研究者提出了求解变分不等式以及相应优化问题的时滞神经网络模型［9－12］.为求解（2），文献［9］提出了时滞投影神经网络：用中，往往要求实时求解问题（1）［1－2］.自H¨opfield神经网络成功应用于线性规划［3］后，基于电路实现的人工神经网络成为实时求解优化问题的有效途径，而且已建立了许多求解线性变分不等式的神经网络［4－10］.特别地，文献［8］提出了求解（2）的投影神经网络其中τ≥0是传输延迟，C（［－τ，0］，Rn）是从［－τ，0］到Rn的所有连续的向量值函数的集合.利用LMI（线性矩阵不等式）方法，文献［9］分别给出了确保模型（4）全局渐近稳定和指数稳定的条件.尽管该模型简单，可求解非单调问题，但其稳定性条件比较复杂，且要求I－αM（其中I为n阶单位矩阵）的非奇异性.用PΩ［x（t－τ）－αMx（t－τ）－αq］代替（4）中的x（t－τ），文献［10］提出了求解问题（1）的一种时滞投影神经网络，并在I－αM 非奇异的条件下证明了全局指数稳定性，但其结构复杂.通过引入随时间变化的时滞，文献［11］提出了求解问题（1）的一个时变时滞神经网络.由于文献［9-10］中的模型均是其特例，因此该模型结构复杂.利用矩阵分裂技术，即令M ＝A＋B（A、B∈Rn×n），文献［12］提出了求解问题（1）的时滞神经网络并通过构造合适的Liapunov泛函，给出了确保其全局指数稳定的充分条件.这些条件要求‖I－αA‖＋a‖B‖＜1（‖·‖为l1或l2范数，见文献［12］的定理3.2和3.3）.但在实际应用中，往往不存在满足该条件的M的分裂（见第2节中的注2），因而它限制了模型（5）的应用.事实上，对给定模型（5）的稳定性条件，往往难以选择满足它的M的分裂.为克服上述模型的不足，本文考虑如下时滞投影神经网络：显然该模型包含模型（3）（τ＝0），其结构比模型（4）更简单，并且避免了对M进行恰当分裂的困难.此外，尽管模型（6）可由模型（5）导出，但它并不满足模型（5）的稳定性条件［12］.事实上，在（5）中令A ＝（I＋M）／α和B ＝－I／α，即得（6）.但‖I－αA‖＋α‖B‖＝‖M‖＋1，因此模型（5）的稳定性条件［12］并不能确保模型（6）的稳定性.基于上述考虑，本文利用泛函微分方程理论和LMI方法，通过构造恰当的Liapunov泛函，证明了模型（6）解的存在唯一性，给出了确保其全局指数稳定的延时依赖准则.此外对任意延时，在适当条件下证明了模型（6）的全局渐近稳定性.由于所给稳定性条件既不需要矩阵M的半正定性，也不需要矩阵I－αM的非奇异性，所以模型（6）比模型（4）、（5）更适合于实际应用.此外，通过简化线性矩阵不等式，本文给出只需检验简单不等式的充分条件.全文假定问题（1）的解集Ω＊＝｛x∈Ω｜x＝PΩ（x－Mx－q）｝≠∅.用‖·‖表示向量或矩阵的l2 范数，D＝diag（d1，d2，…，dn）∈Rn×n（di＞0）表示正对角矩阵.对任一对称矩阵A∈Rn×n，A＞0（＜0）表示A正定（负定），λmin（A）表示A的最小特征值；称（1）的解x＊为（6）的平衡点.引理1［13］（Schur补）设Q＝QT ∈Rm×m，R＝RT ∈ Rn×n，S∈ Rm×n，则本节分析模型（6）的动态行为.首先讨论（6）的基本特性.定理1 ∀φ∈C（［－τ，0］，Rn），系统（6）在［0，＋∞）上存在唯一连续的解x（t）.证明记（6）式右端为 T［x（t）］，则由映射PΩ（·）的非扩张性［2］，易证T在C上Lipschitz连续.所以根据泛函微分方程解的存在性定理［14］，系统（6）存在满足初始条件的唯一连续的解x（t），且其最大存在区间为［0，γ）.在（10）式中令κ＝0，可得神经网络（6）全局渐近稳定的如下结果.定理3 若存在对称正定矩阵P、Q、E∈Rn×n，正对角矩阵D ∈Rn×n，使所以由条件得，当v≠0时，dV［x（t）］／dt＜0，并且dV［x（t）］／dt＝0⇔x（t）＝x＊，y（t）＝y＊和x（t－τ）＝x＊.另一方面，V［x（t）］径向无界，即当‖x（t）－x＊‖→∞时，V［x（t）］→∞.因此系统（6）的平衡点x＊全局渐近稳定.定理得证.定理2和定理3表明神经网络（6）的稳定性并不需要矩阵I－M的非奇异性和M 的半正定性.因此（6）可用来求解非单调的问题（参见第2节例1）.此外，不像（6），文献［9-10］中的模型的稳定性需要I－M的非奇异性.注1 设W1和W2定义于定理2，W3＝2DQM，则由引理1得则神经网络（6）的平衡点x＊全局渐近稳定，其中W1定义见定理2.证明为方便，使用定理2证明中的记号.类似于定理2的证明，得进一步，在注1（ⅱ）中取Q＝0，则由定理3可得神经网络（6）的如下全局渐近稳定性条件：推论1 若存在对称正定矩阵P、E∈Rn×n，正对角矩阵D ∈ Rn×n，使则神经网络（6）的平衡点x＊全局渐近稳定，其中W1定义同定理2.推论2 若存在正对角矩阵D∈Rn×n，使DM正定，则神经网络（6）的平衡点x＊全局渐近稳定.证明取E＝D，P＝MTD＋DM，则由DM的正定性和推论1立得结论.特别地，由推论2知，当M正定时，神经网络（6）的平衡点x＊全局渐近稳定.为方便检验，在注1中令P＝δI，D＝ηI，E＝βI，Q＝σI（δ、η、β、σ均为正常数），立得如下结论：推论3 （ⅰ）若存在正常数δ、η、β、κ和σ及常数τ≥0，使α＝β（2－κ）e－κτ ＞α和2ηλmin（MT＋M）＞σ‖M‖2＋4η2／a＋（1－σ／a）／［（2－κ）（β－2η）＋δ＋κ2η2／σ］，则神经网络（6）的平衡点x＊指数稳定.（ⅱ）若存在正常数δ、η、β和σ，使2β＞σ和2ηλmin（MT ＋ M）＞σ‖M‖2 ＋2η2／β ＋［1 －σ／（2β）］［2（β－2η）＋δ］，则神经网络（6）的平衡点x＊全局渐近稳定.本节用两个例子说明系统（6）的有效性及所结果的适用性.因此由定理2和注1（ⅰ）知，神经网络（6）可求解该问题，且其平衡点x＊全局指数稳定.取初始函数φ（t）＝［－sin（t），cos（t），t］T（t∈ ［－1，0］），图1显示了神经网络（6）收敛于其平衡点x＊的轨线性态.注2 例1中M的任一分裂均不满足文献［12］中给定的模型（5）的稳定性条件.事实上，∀α＞0，易证‖I－αM‖ ≥1（对l1和l∞范数，有‖I－αM‖1＝‖I－αM‖∞ ＝｜1－0.5α｜＋1.7α＞1）.所以对M的任一分裂A、B（M＝A＋B），均有‖I－αA‖＋α‖B‖≥‖I－αM‖≥1（该不等式对l1和l∞范数成立）.经计算知，定义于（12）中的矩阵~W 和＾W 均负定.因此由定理2和注1（ⅰ）知，神经网络（6）可求解该问题，且其平衡点x＊全局指数稳定.取初始函数φ（t）＝［－t2，et，cos（t）］T（t∈ ［－1，0］），图2显示了神经网络（6）收敛于其平衡点x＊（该问题的解）的轨线性态.此外，对相同的初始参数，尽管模拟显示文献［9-10］中的模型均收敛于该问题的解，然而由于I－M 奇异，所以不像神经网络（6），文献［9-10］中给定的条件并不能确保它们的稳定性.本文利用泛函微分方程理论，证明了求解线性变分不等式的一种时滞投影神经网络模型解的存在唯一性.构造了恰当的Liapunov泛函，利用LMI方法，给出了确保该时滞投影神经网络全局指数稳定的延时依赖准则.同时对任意延时，在适当条件下证明了该模型的全局渐近稳定性.由于所给稳定性条件并不需要矩阵I－M的非奇异性和M 的半正定性，因此该模型更适合于实际应用.【相关文献】［1］Harker P T，Pang J S.Finite-dimensional variationalinequality and nonlinear complementarity problems：a survey oftheory，algorithms，and applications［J］.Mathematical Programming，1990，48（1／3）：161-220.［2］Gao Xingbao.A novel neural network for solving 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问题2：带时滞环节的系统稳定性分析线性时滞系统稳定性分析综述从工程实践的角度来看, 时滞的存在往往导致系统的性能指标下降,甚至使系统失去稳定性. 例如系统Ûx(t) = - 0. 5 x ( t) (1)是稳定的,但加入时滞项后,系统Ûx( t) = - 0. 5 x ( t) + 1. 3 x ( t - 1) (2)变得不稳定。

同时,时滞也可以用来控制动力系统的行为,例如时滞反馈控制已成为控制混沌的主要方法之一。

通常用泛函微分方程来描述时滞系统, 以含单时滞的微分方程为例,即Ûx( t) = A x + B x ( t - h)其中 A , B ∈Rn×n ,x ( t) = φ( t) , t ∈[ - h ,0 ] (3)其中: h > 0 为时滞,初始条件由定义在[ - h ,0 ] 的连续可微函数φ(·) 确定,系统t > 0 时的行为不仅依赖于0 时刻的状态,而且与时间段[ - h ,0 ] 内的运动有关,因此解空间是无穷维的. 其特征方程是含有指数函数的超越方程,即det (λI - A - exp ( - λh) B) = 0 (4)讨论特征根需要用到很多复变函数的知识. 早在1942 年, Pont ryagin 就提出了一种原则性方法———Pont ryagin 判据来解决这一问题, 之后很多工作致力于对这一判据具体化,使之更加实用。

总之,时滞系统稳定性分析方法可分成3 类。

2. 1 无限维系统理论方法这种方法是将时滞系统看成无穷维系统, 用无穷维空间的适当算子来描述时滞系统的状态变化,一方面可对时滞系统进行一般建模;另一方面,也可表述系统的可观性和可控性等结构方面的概念。

2. 2 代数系统理论方法代数系统理论对于时滞系统的建模和分析都比较方便,但在控制器的设计方面目前尚处于初期阶段,还缺乏有效方法。

2. 3 泛函微分方程理论方法泛函微分方程理论考虑了系统的过去对系统变化率的影响,利用有限维空间以及泛函空间提供一套适当的数学结构以描述时滞系统的状态变化。